Bài 16. Bài tập có đáp án chi tiết về ứng dụng thể tích | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 1.</b> <b>[2D3-3.5-4] (ĐH Vinh Lần 1) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An</b>
đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ơng già Noel có hình dáng một khối trịn xoay. Mặt cắt
qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng <i>OO</i>' = 5cm ,<i>OA</i> = 10cm , <i>OB</i> = 20cm ,
đường cong <i>AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A</i>. Thể tích của chiếc mũ bằng

<b>A. </b>

(

)

3
2750

cm
3

<i>p</i>

. <b>B. </b>

(

)

3
2500

cm
3

<i>p</i>

. <b>C. </b>

(

)

3
2050

cm

3

<i>p</i>

. <b>D. </b>

(

)

3
2250

cm
3

<i>p</i>

.
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen</b></i>

<b>Chọn B</b>

Gọi <i>V</i> là thể tích của nón, <i>V là thể tích khối trụ có chiều cao </i>1 <i>OO</i>'_{, bán kính đáy}<i>OA</i>_{, nên}
2

1 5.10 . 500
<i>V</i> = <i>p</i>= <i>p</i>_.

Gọi <i>V là thể tích phần cịn lại của nón.</i>2

<b>Cách 1: chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.</b>

Khi đó, <i>V là thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nhánh parabol AB </i>2
<i>và hai trục tọa độ quanh trục Oy .</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Vì (P) đi qua điểm ( 0;20)<i>B</i> nên
1
5
<i>a</i>=

; do đó (P):

(

)

2
1

10
5

<i>y</i>= <i>x</i>
.

Suy ra <i>x</i>=- 5<i>y</i>+ ( do 10 <i>x</i><10 ). Vậy,

(

)

20

2
2

0

1000

5 10

3

<i>V</i> =<i>p</i>

ò

- <i>y</i>+ <i>dy</i>= <i>p</i>

₍

_cm3

₎

Đáp số: 1 2

2500
3

<i>V</i> = + =<i>V</i> <i>V</i> <i>p</i>

₍

_cm3

₎

.

<b>Cách 2: chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.</b>

Khi đó, <i>V là thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nhánh parabol AB </i>2
và hai trục tọa độ quanh trục<i>Ox</i>.

<i>Phương trình parabol (P) chứa nhánh AB có dạng y</i>=<i>a x</i>+10.

Vì (P) đi qua điểm ( 20;0)<i>B</i> nên <i>a</i>=- 5 ; do đó (P): <i>y</i>=- 5<i>x</i>+10 .

Vậy

(

)

20

2
2

0

1000

5 10

3
<i>V</i> =<i>p</i>

_ò

- <i>x</i>+ <i>dx</i>= <i>p</i>

(

_cm3

)

.

Đáp số: 1 2

2500
3

<i>V</i> = + =<i>V</i> <i>V</i> <i>p</i>

₍

_cm3

₎

.

<b>Dạng tốn: Tính thể tích khối trịn xoay.</b>

<b>Phương pháp: dùng ứng dụng của tích phân để tính khối trịn xoay, có thể dùng trực tiếp các </b>

cơng thức tính thể tích chỏm cầu, chảo parabol, hình nêm, phiến trụ, nón cụt…

<b>Câu 2.</b> <b>[2D3-3.5-4] (ĐH Vinh Lần 1) Cây dù ở khu vui chơi “cơng viên nước” của trẻ em có phần</b>
trên là một chỏm cầu, phần thân là một khối nón cụt như hình vẽ. Biết <i>ON</i> <i>OD</i>2<i>m</i>_;

40

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>A. </b>





3

336000 <i>cm</i>

(

3

)

2750
cm
3

<i>p</i>

. <b>B. </b>





3
896000

3 <i>cm</i>



.

<b>C. </b>





3

112000 <i>cm</i>

(

3

)

2050
cm

3

<i>p</i>

. <b>D. </b>





3

896000 <i>cm</i>

(

3

)

2250
cm
3

<i>p</i>

.
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen</b></i>

<b>Chọn A</b>

Thể tích phần trên của cây dù là thể tích của khối chỏm cầu:

2
1

3
<i>h</i>

<i>V</i> <i>h R</i>_  _

 

2

. .

3
<i>MN</i>

<i>MN</i> <i>ON</i>

  

 _  _

 

2 40

.40 200
3

  

 _  _

 





3
896000

3  <i>cm</i>



<b>.</b>

Thể tích phần thân của cây dù là thể tích của khối nón cụt:



2 2



2 1 2 1 2

1

. . .

3

<i>V</i>   <i>h R</i> <i>R</i> <i>R R</i> 1 . .



2 2 .



3<i>OM MB</i> <i>OE</i> <i>MB OE</i>

   1 .160. 400 100 200





3

  



3



112000

3  <i>cm</i>



<b>.</b>

Vậy thể tích của cây dù: <i>V V V</i> 1 2

896000 112000

3  3 

  ₃₃₆₀₀₀

_

<i>_cm</i>3

_




.

<b>Câu 3.</b> <b>[2D3-3.5-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Sân vận động Sports Hub</b>
(Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore

năm 2015. Nền sân là một Elip

 

<i>E</i> <i> có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m . Nếu cắt sân vận</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Hình a</b> <b>Hình b</b>

<b>A. </b><i>57793m .</i>3 <b>B. </b><i>115586m .</i>3 <b>C. </b><i>32162m .</i>3 <b>D.</b><i>101793m .</i>3

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Ngô Minh Ngọc Bảo ; Fb: Ngô Minh Ngọc Bảo</b></i>

<b>Chọn B</b>

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau

Phương trình chính tắc Elip

 

<i>E</i> là:

2 2

2 2 1

45 75

<i>x</i> <i>y</i>

 

. Từ đó, suy ra

2 2

2 2 2 2

2 2

45

1 .45 2 45

75 75

<i>x</i>

<i>y</i> _  _  <i>MN</i>   <i>x</i>

  _.

Diện tích thiết diện là:

 

2

2 2

2 2 2 2

2

1 1 1 45

1 45

4 2 4 2 4 2 2 2 75

<i>R</i> <i>MN</i>

<i>S x</i>   <i>R</i> _  _<i>R</i> _  __ _ _  __  <i>x</i> _

       

Thể tích cần tính là:

 

75 75 2

2 2 3

2

75 75

45

d 1 45 d 115586

2 75

<i>V</i> <i>S x x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

 

 

 

  _  __  _ 

 _{ } 





.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Các tứ giác <i>ABCD CDPQ là các hình vng cạnh 2,5cm . Tứ giác </i>, <i>ABEF</i>_{là hình chữ nhật có}

3,5

<i>BE</i> <i>cm_{. Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol}</i>

 

<i>P</i> _{có đỉnh parabol nằm trên}
cạnh <i>EF</i> _{. Thể tích của chi tiết máy bằng}

<b>A. </b>

3
395

24 <i>cm</i> _. <b>_B.</b>

3
50

3 <i>cm</i> _. <b>_C.</b>

3
125

8 <i>cm</i> _. <b>_D.</b>

3
425

24 <i>cm</i> _.
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Phạm Văn Chuyền; Fb: Good Hope</b></i>

<b>Chọn D</b>

Gọi hình chiếu của ,<i>P Q trên AF</i> _và<i>BE</i>_là<i>R</i>_và<i>S</i>_{. Vật thể được chia thành hình lập phương}

.

<i>ABCD PQRS có cạnh 2,5cm , thể tích </i> 1 3
125

8
<i>V</i>  <i>cm</i>

và phần cịn lại có thể tích <i>V . Khi đó thể </i>2

tích vật thể 1 2 2

125
8
<i>V</i> <i>V</i> <i>V</i>  <i>V</i>

.

<i>Đặt hệ trục Oxyz sao cho O</i> trùng với<i>F</i>_,<i>Ox</i>_{trùng với}<i>FA_{, Oy trùng với tia Fy song song}</i>

với <i>AD</i>_{. Khi đó Parabol}

 

<i>P</i> _{có phương trình dạng}<i>y ax</i> 2_{, đi qua điểm}
5
1;

2
<i>P </i>_ _

 _{do đó}
2

5 5

2 2

<i>a</i>  <i>y</i> <i>x</i>
.

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vng góc với <i>Ox</i> và đi qua điểm <i>M x</i>



;0;0



,0 <i>x</i> 1 ta được thiết

diện là hình chữ nhật <i>MNHK</i> có cạnh là

2
5
2


<i>MN</i> <i>x</i>

và

5
2

<i>MK</i>

do đó diện tích

 

2
25

4
<i>S x</i>  <i>x</i>

Áp dụng cơng thức thể tích vật thể ta có
1

2
2

0

25 25

4 12

<i>V</i> 

_

<i>x dx</i>

Từ đó

3
125 25 425

8 12 24

</div>

<!--links-->