Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về ứng dụng của tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 1.</b> <b>[2D3-3.7-4] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) </b>Cho hàm số

 

<i>y</i><i>f x</i>

có đạo hàm <i>f x</i>

 

liên tục trên đoạn



0;1



thỏa <i>f</i>

 

1  ;0

 

2 ₁₂

 

₂₁ 4 _{12 ,}



_0;1



     

 

 <i>f x</i>  <i>xf x</i> <i>x</i> <i>x x</i> _{. Tính giá trị của}

 

1

0

<i>I</i> 

_

<i>f x dx</i>

<b>A. </b>
3
4


. <b>B. </b>

1
4



. <b>C. </b>

1

2 _. <b>_D.</b>

1
4 _.

<b>Lời giải</b>

<i><b>ĐỀ SAI NÊN TỔ THỐNG NHẤT SỬA ĐỀ</b></i>

<i><b>Tác giả: Tổ 9-Strong team Toán VD-VDC ; Fb: Tổ 9-Strong team Toán VD-VDC</b></i>

<b>Chọn A</b>

Lấy tích phân hai vế của đẳng thức đã cho trên đoạn



0;1



ta được

 

 





1 1 1

2 ₄

0 0 0

9

12 21 12

5

<i>f x</i> <i>dx</i> <i>xf x dx</i> <i>x</i>  <i>x dx</i>

 

 







.

Xét tích phân

 

1

0

<i>J</i> 

_

<i>xf x dx</i>

. Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta có

 

 

 

 

 

 

1

1 2 2 1 2 1 1

2 2

0 0 0 0 0

1 1 1

1

2 2 2 2 2 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>J</i>  <i>f x d</i>_ __ _ <i>f x</i>  <i>d f x</i>_ _  <i>f</i>  <i>x f x dx</i>  <i>x f x dx</i>

   









Ta có

 

 

 

 

1 1 1 1 1

2 ₂ 2 ₂ ₄

0 0 0 0 0

9

6 0 2 .3 9 0

5

<i>f x</i> <i>dx</i> <i>x f x dx</i>    <i>f x</i> <i>dx</i> <i>f x</i> <i>x dx</i> <i>x dx</i>

   

   











 

 





1

2

2 2

0

3 0 3 , 0;1

<i>f x</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



_

_  _     

.

Do đó

 

 

_

_

1 1

3 3

0 0

3

1 1

4

<i>f x</i> <i>x</i>  

_

<i>f x dx</i>

_

<i>x</i>  <i>dx</i>

. Chọn đáp án A.

<i><b></b></i>

<b>Câu 2.</b> <b>[2D3-3.7-4] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) </b>Biết rằng với mỗi
<i>số thực x thì phương trình t</i>3<i>tx</i> 27 0_{ có nghiệm dương duy nhất}<i>t t x</i>

 

_với<i>t x</i>

 

_{là hàm}

liên tục trên



0;  



. Giá trị của

 

26

2

0

d

<i>I</i>  

_

_<i>t x</i> _ <i>x</i>

là

<b>A. </b>26. <b>B. </b>48. <b>C. </b>81. <b>D. </b>94.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình</b></i>

<b>Chọn D</b>

- Với  <i>x</i>



0;  ta có



<i>t x </i>

 

0 thỏa mãn

 

 

3

. 27 0
<i>t x</i> <i>t x x</i> 

 

  ₍₁₎

Suy ra

 









 





3

3

0 27 0 0 3

26 1

26 26. 26 27 0

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

_ _ _ _ _ _

  



 




  

 

_ _ 

 _.

- Mặt khác ta có

 

 

 

2
27

1 <i>x</i> <i>t x</i>

<i>t x</i>

   _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Do <i>t t x</i>

 

liên tục trên



0;  



nên với <i>x  ta có </i>0 0 0 0

 

 

0 0

lim lim 0

<i>x</i><i>x</i> <i>t</i><i>x</i><i>x</i> <i>t x</i> <i>t x</i>  <i>t</i> .

Xét

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0

0 0 0

2 2 ₂ ₂

0

0
0

0
0

lim lim lim

27 27

27 27

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t t</i>

<i>t x</i> <i>t x</i> <i>t x</i> <i>t x</i> <i>t t</i>

<i>x x</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t x</i> <i>t x</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t x</i> <i>t x</i>

  

  

 

     _ _  

  

      

 _ _   _ _  _ _  

   

   









0 0

2

0 0

3

2 2 0

0 2 0

0

0 0

0

1 1

lim lim

27 27 2 27

1 1 ₂

27 _.

<i>t t</i> <i>t t</i>

<i>t t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

<i>t t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>_{t t}</i> <i>_t</i>

<i>t t</i>

 



   

 _

  _ _ _

  

 

  _{(hữu hạn)}

Suy ra <i>t t x</i>

 

có đạo hàm trên



0; 



.

Ta lại có

 

 





3 2

0 3 ₂ 3 3

0 3 3 1

lim lim lim lim

27

0 27 3 9 9

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t x</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>_t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

   

   

   

   

 _   

Suy ra <i>t t x</i>

 

có đạo hàm phải tại 0.

Tóm lại <i>t t x</i>

 

có đạo hàm trên



0;  



là <i>t x</i>'

 

.
- Đạo hàm hai vế của (2) ta được

 

 

   

 

 

 

 

2 3

2

27. '

1 <i>t x</i> 2<i>t x t x</i>. ' <i>t x</i> 27 '<i>t x</i> 2 <i>t x</i> <i>t x</i>'

<i>t x</i>

   _ _   _ _

 

 

Do đó

 

 

 

 

 

 

26 26 26

2 3 4

0 0 0

26 1 26

d 27 ' 2 ' d 27.

0 2 0

<i>I</i> 

_

_<i>t x</i> _ <i>x</i>

_

<i>t x</i> 

_

_<i>t x</i> _ <i>t x x</i> <i>t x</i>  _<i>t x</i> _





 

1







4

 

4



27 26 0 26 0 94

2

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

</div>

<!--links-->