Bài 12. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (190.46 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

 f x

 

e ,x    vàx

 

0 2

f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x

là

A.



x 2 e



xexC. B.



x2 e



2xexC.
C.



1 e



x

x C

. D.



1 e



x

x C
.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có f x

 

 f x

 

ex f x

 

exf x

 

ex 1



 



x

f x 

  f x

 

ex x C

  

Vì f

 

0 2  2.e0 C  C2  f x

 

e2x 



x2 e



x.

Vậy

 

2
e dx

f x x









x2 e d



x x 





x2 d e



 

x 



x2 e



x



e dx



x2





x 2 e



x e dx x

  







x2 e



x exC 



x1 e



xC
.

Phân tích: Bài tốn cho hàm số yf x

 

thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f x

 

và f x

 

đưa ta tới cơng thức đạo hàm của tích



u v.



u v u v.  .  với uf x

 

. Từ đó ta cần chọn hàm
v cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số yf x

 

và yg x

 

liên tục trên K , thỏa mãn

 

   

 

f x g x f x k x

(Chọn v e G x ).

Ta có f x

 

g x f x

   

k x

 

G x G x G x

e f x g x e f x k x e

   .

 



eG x f x



 k x e

 

G x 

   eG x f x

 





k x e

 

G x dx  f x

 

eG x 



k x e

 

G x dx
.

Với G x

 

là một nguyên hàm của g x

 

Admin tổ 4 – Strong team : Bản chất của bài toán là cho hàm số yf x

 

thỏa mãn điều kiện

chứa tổng của f x

 

và f x

 

liên quan tới công thức đạo hàm của tích



u v.



u v u v.  . với

 

uf x

. Khi đó ta cần chọn hàm v thích hợp. Cụ thể, với bài toán tổng quát :

Cho hàm số yf x

 

, y g x

 

, y h x

 

, y k x

 

liên tục trên K, g x 

 

0 với x K 
và thỏa mãn g x f x

 

. 

 

h x f x

   

. k x

 

Ta sẽ đi tìm v như sau :

 

h x h x

v v

v g x  vdx g x dx


 





Khi đó :

 

 
 

ln x

h x
g xd

dx e

h x

v v

g x







 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 2. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

 

2 2 x ,

f x xf x xe x

    

và f

 

0  . Tất cả các nguyên hàm của 1

 

. ex

x f x
là

A.





2
2 1

x  C

. B.





2
2
1

1
2

x

x e C

 

. C.





2
2 1 x

x e C

 

. D.





2
2
1

1
2 x  C.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có

 

2 2 x

f x xf x xe

    ex2



f x

 

2xf x

 



ex2.2xex2



 



x

e f x  x

 

 

2 2

2 d

x

e f x x x x C

 



 

Vì f(0) 1  C1

 





2 1 x

f x x e

  

Vậy

 

x

xf x e x







x x



21 d



x



 



2 2

1 d 1

2 x x





  1



2 1



2 x C

  

Câu 3. [2D3-1.3-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x

 

là nguyên hàm trên  của hàm số

 

2eax



0



f x x a

, sao cho

 

0 1.

F F
a

 

 

 

  Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. 0  .a 1 B. a   .2 C. a  .3 D. 1  .a 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My

Chọn A

 

2e dax

F x 



x x
. Đặt

2 d 2 d

1
e

d e dax ax

u x x
u x

v

v x

a



 

 



 






 

 .

 

1 2eax 2 e dax 1 2 ax 2.

 

F x x x x x e A

a a a a

  



 

Xét e d

ax

A



x x
. Đặt

d d

d axd ax

u x
u x

v e
v e x

a





 



 




 

 .

 

1 1

d 2

ax ax

A xe e x

a a

  



Từ

 

1 và

 

2 suy ra

 

2 2

2 2 2 3

1 2 2 1 2 2

eax ax e dax eax eax eax

F x x xe x x x C

a a a a a a

  



   

Mà

 

0 1

F F
a

 

 

 

   3 3 3 3

1 2 2 2

e e e C 1 C

a  a a  a  

3 e 2 3e 2 0 1.

a a a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 4. [2D3-1.3-3] (Trần Đại Nghĩa) Cho





2
1

ln 1

ln 2
1

x x a

I dx

b c

x


  





với , ,a b c là các số nguyên

dương và các phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

a b
S

c




A. 
5
6

S 

. B.

1
3

S 

. C.

2
3

S 

. D.

1
2

S 

.
Lời giải

Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh

Chọn A

Ta có













2 2 2

1 1 1

ln ln

1 1 1

x x x x

I dx dx dx

x x x



  

  



Xét





1 2

1 1

x

I dx

x






Đặt t x  1 dt dx .

3 3 3

1 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 3 1

ln ln

2 6
t

I dt dt dt t

t t















   

Xét









2 2 2

2 2

1 1 1

ln 1 1 1 1 1

ln ln 2

1 1 3 1

1
x

I dx x dx dx

x x x x x

x

 

       

    





.
2

1 1 4

ln 2 ln ln 2 ln

3 1 3 3

x
I

x

   

 .

Do đó

3 1 1 4 2 1

ln ln 2 ln ln 2

2 6 3 3 3 6

I      
.
2 3 5

6 6

a b
S

c

 

   

Câu 5. [2D3-1.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho ( )f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

 

f x  f x     và x x f

 

0  . Tính 1 f

 

1
.

A. 
2

e . B.

e . C. e. D.

e
2 .
Lời giải

Chọn A

 

(1)

f x  f x x

Nhân 2 vế của (1) với e ta được x e .x f x

 

e .x f x

 

x.ex.

Hay e .

 

.e e .

 

.e d

x f x  x x x f x x x x

    

 



.

Xét .e d

x

I 



x x
.

Đặt

d d

e dx d ex

u x u x

x v v

  




  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

.e dx .ex e dx .ex ex

I 



x xx 



xx  C

. Suy ra exf x

 

x.ex exC.

Theo giả thiết (0) 1f  nên C 2

 

.e e 2 2

e e

x x

x

f x   f

   

Câu 6. [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) (2f x  x1) lnx là

A.





2
2 ln

2
x

x x x  x C

. B.





2
2 ln

2
x

x x x  x C
.

C.





2
2 1 ln

2
x

x  x  x C

. D.

1
2ln x C

x

 
.
Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung.

Chọn B

Tìm I 



(2x1) ln dx x

Đặt

(

)

ln d d

d 2 1 d

u x u x

x

v x x

ìï

ì = ï =

ï ï

ï Þ ï

í í

ï = + ï

ï ï

ỵ ïïỵ = +









(2 1) ln d ln ( 1)d ln .

2
x

x x x x x x x x x x x x C





   



     

Câu 7. [2D3-1.3-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng xex là một nguyên
hàm của f



 x



trên khoảng



  ;



. Gọi F x

 

là một nguyên hàm của

 

x

f x

thỏa mãn

 

0 1

F 

, giá trị của F 

 

1 bằng

A. 
7

2. B.

5 e
2


. C.

7 e
2


. D.

5
2.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tất Thành; Fb: Thanh Nguyen

Chọn A

Vì xex là một nguyên hàm của f



 x



trên khoảng



  ;



 f



x







xex



 ex xex,     x



;



.

Do đó f



x



e  x 



x



e  x ,     x



;



 f x

 

ex



1 x



,     x



;



.

Nên

 









x x

f x  x   x

 

      f x

 

ex ex



x 2 .e



x  x 2

Bởi vậy

 









2
1

2 d 2

F x 



x x x C
.

Từ đó

 





2
1

0 0 2 2

F   C C 

; F

 

0  1 C1.

Vậy

 





 





2 2

1 1 7

2 1 1 1 2 1

2 2 2

F x  x   F      

.
Nhận xét:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



f x dx

 

f x

 

C.

+ Nếu đề bài không cho “xex là một nguyên hàm của f



 x



trên khoảng



  ;



”màcho

có nguyên hàm trên khoảng



a b;







  ;



mà làm









e e

x x x

f x  x  x

là chưa
đúng. Nên khi dạy bài này GV nên cho thêm ví dụ 32.1, 32.2 ( 3 ví dụ này dạy cùng 1 buổi là
tuyệt đỉnh các thầy cơ nhé! Hi hi)

Bài tốn tương tự

Câu 8. [2D3-1.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

2 2 lnx



 x



là

A.

2 2

2x x x. B.

2 2
3

ln
2x x x C .

C.

2 2
5

2x x x. D.

2 2
5

ln
2x x x C .
Lời giải

Tác giả: Đồn Ngọc Hồng; Fb:Hồng Đồn

Chọn B

Ta có họ ngun hàm của hàm số f x

 

2 2 lnx



 x



là

 

2 2 ln





I 



f x dx



x  x dx

Đặt 2

2 ln
2

dx
du

u x

x
dv xdx

v x



 

 



 



  

 .





2 2 ln 2 2 2ln 1 2 3 2 2ln

2 2

I x x xdx x x x x C x x x C

   



      

Câu 9. [2D3-1.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số



2x2 x



ln 1

y

x

 



là

A.





2
2 1 ln

2
x

x x x

x     C

. B.





2
2 1 ln

2
x

x x x

x     C

C.





2
2 1 ln

2
x

x x x

x     C

. D.





2
2 1 ln

2
x

x x x

x     C

.
Lời giải

Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê

Chọn C

Ta có:









1 2
l

2 ln 1 1

n d

d 2 1 d

x x

x x x I

x

x x   x I

 





 



.





1 2 1 ln d
I 



x x x

. Đặt





ln
d

d
1

1
d

2 d

x

v x x

u

x

u x

x
v x


 



 



 

 

 

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





















2 2 2

2
2

ln 1d ln 1 d

n .

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x x x C

   



   

   



2
2

dx ln

I x C

x





 













1 2

2 2

1 2

2
ln 1

ln ln 1 ln .

2
x

x I
x

x
x

x x

I

x

x x x C x C x x x x C



    

 



       



Câu 10. [2D3-1.3-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số yf x

 

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức

 

sin =

 

cos cos

x

f x xdx  f x x  xdx



. Hỏi hàm số

 

yf x

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.

 

x

f x  

. B.

 

x

f x 





. C.

 

x

f x  

. D.

 

x

f x 




.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

Chọn B

Hệ thức

 

sin =

 

cos cos

x

f x xdx  f x x  xdx



(1).

Xét



f x

 

sinxdx.

Đặt

 

sin cos

u f x du f x

dv xdx v x

  





  



 . Ta được



f x

 

sinxdx f x

 

cosx



f x'

 

cosxdx.

Theo hệ thức (1), suy ra f x'

 

x.

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là

 

x

f x 




Câu 11. [2D3-1.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

cos

f x x x
.

A.



f x x x

 

d  sinx cosx C . B.



f x x x

 

d  sinxcosx C .
C.



f x x

 

d xsinxcosx C . D.



f x x

 

d  xsinx cosx C .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có:



xcos dx x.

Đặt d cos d
u x

v x x








d d

sin

u x

v x



 



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy



xcos dx xxsinx



sin dx xxsinxcosx C .

Câu 12. [2D3-1.3-3] Bắc-Ninh-2019) 
(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx.

A.



f x x x

 

d  sinx cosx C . B.



f x x x

 

d  sinxcosx C .
C.



f x x

 

d xsinxcosx C . D.



f x x

 

d  xsinx cosx C .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có:



xcos dx x.

Đặt d cos d
u x

v x x








d d

sin

u x

v x



 



 .

Vậy



xcos dx xxsinx



sin dx xxsinxcosx C .

Câu 13. [2D3-1.3-3] (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và có 
3

( ) 8

f x dx 



và

( ) 4.
f x dx 



Tính
1

( 4 1) .

f x dx





A. 
9

4 B.

4 C. 3. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Chọn C

Ta có

1 4 1

1 1

( 4 1) ( 4 1) ( 4 1)

f x dx f x dx f x dx

 

    



1
4

1
1

(1 4 ) (4 1)

f x dx f x dx







 





.
I J
 

+) Xét
1
4

(1 4 ) .

I f x dx








Đặt t 1 4x dt4 ;dx

Với

1 5; 0.

x  t  x  t

0 5 5

1 5 0 0

1 1 1

(1 4 ) ( )( ) ( ) ( ) 1.

4 4 4

I f x dx f t dt f t dt f x dx



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+) Xét
1

1
4

(4 1) .
J 



f x dx

Đặt t4x 1 dt4 ;dx

Với

1 3; 0.

x  t  x  t

1 3 3 3

1 0 0 0

1 1 1

(4 1) ( )( ) ( ) ( ) 2.

4 4 4

J 



f x dx



f t dt 



f t dt 



f x dx

Vậy
1

( 4 1) 3.

f x dx



 



Câu 14. [2D3-1.3-3] (Yên Phong 1) Cho hàm số f x

 

liên tục trên tập  thỏa mãn

 

2 1 2

 

f x x   x f x 

và f x  

 

1, f

 

0  . Tính 0 f

 

3 .

A. 3 . B. 9. C. 3. D. 0.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng

Chọn C

Cách 1.

Với điều kiện bài tốn

Ta có

 

2 1 2 1

f x x   x f x 

 

2 1 1

f x x
f x x



 

 

Suy ra

 

d 2 d

2 1 1

f x x

x x

f x x





 



 f x

 

 1 x2 1 C

.
Với f

 

0  ta có 1 10  C  C .0

Khi đó

 

1 1

f x   x   f x

 

x2

Vậy f

 

3 3.

Cách 2.

Từ giả thiết ta suy ra được

 

2 1 1

f x x
f x x





 

Ta có

 

3 3

0 0

d d

2 1 1

f x x

x x

f x x





 



 

3 3

0 0

1 1

f x x

   

 

3 1

 

0 1 1

f f

      f

 

3  1 2  f

 

3 3
.

Câu 15. [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Tìm một nguyên hàm của hàm số f x

 

xtan2 x.

A.

2
2

tan d tan ln cos
2

x
x x x x x x  C



. B.

2
2

tan d tan ln cos
2

x
x x x x x x  C



.

C.

2
2

tan d tan ln cos
2

x
x x x x x x  C



. D.

2
2

tan d tan ln cos
2

x
x x x x x x  C



.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

Phản biện: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

2
2

2 2 2

tan d 1 d d d d

cos cos cos 2

x x x

x x x x x x x x x

x x x

 

       

 



Tính cos2 d
x

x
x



. Đặt 2

d d

tan

d d

cos

u x u x

v x

x









 



 




sin

d tan tan d tan d

cos cos

x x

x x x x x x x x

x x





 



 







d cos

tan tan ln cos

cos

x

x x x x x C

x

 



  

Vậy

2
2

tan d tan ln cos
2

x
x x x x x x  C



.

Câu 16. [2D3-1.3-3] (Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x



cosx



là
A. x33 sin



x xcosx



C. B. x3 3 sin



x xcosx



C.
C. x33 sin



x x cosx



C. D. x3 3 sin



x x cosx



C.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn A

Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Ta có: yf x

 

3x x



cosx



. Đặt I 



f x x

 

d .

I =



3x x



cosx x



d =



3 dx x2 +



3 cos dx x x =x3C1 + 3.I (với 1 I1



xcos dx x).

Đặt d cos d

u x

v x x








d d

sin

u x

v x



 



 .

1 cos d sin sin d sin cos 2

I x x x x x x x x x x C

 



 



  

I

 = x3C1 + 3 sin



x xcosx C 2



=





3 3 sin cos
x  x x x C

(với C C 13C2).

Câu 17. Cho hàm số ye sinx x. Họ nguyên hàm của hàm số trên là

A.

1 1

e cos e sin

2 2

x x

x x C

. B.

1 1

e cos e sin

2 2

x x

x x C

  

C.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

 

. D.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

  

Câu 18. Biết
1

d .tan
1 cos

x
x a C
x  b





. Giá trị của S a b  là

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 19. [2D3-1.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm cấp hai trên



0; 



thỏa mãn 2xf x

 

 f x

 

x2 xcos ,x  x



0;



;f



4



0. Giá trị biểu thức





f  là:

A. 0. B. 3  . C.   . D. 2  .

Lời giải

Tác giả: Quang Pumaths ; Fb: Quang Pumaths

Chọn B

Với mọi x 



0; , ta có



 

2 cos

cos
2

cos sin cos

2 2 2

xf x f x x x x

x f x f x

x x

x
x

f x x x f x x x x

C

x x

  

 

 



 

       

  .

Mà f



4  suy ra



1
2

C

. Vậy

 

sin cos 1

2 2 2

x x x

f x     x

  .

Suy ra f



9



3 .

Câu 20. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm ca hm s f x

( )

=xtan2x trờn khong
;0

p

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗố ứ l

A.

( )

(

)

tan ln cos .

2
x

F x =x x+ x - +C

B.

( )

(

)

tan ln cos .

2
x

F x =- x x+ x - +C

C.

( )

(

)

tan ln cos .

2
x

F x =x x- x - +C

D.

( )

tan ln cos .

2
x

F x =x x- x - +C

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A
Gọi

( )

(

)

(

)

tan d tan 1 1 d tan 1 d d d d .

cos
x

F x x x x x x x x x x x x x x x

x

ò

+ - =

ò

+ -

ò

Đặt 2

d d

1 tan

d d

cos

u x

v x

x
ì =

ïï ỡù =

ù ị ù

ớ ớ

ù = ù =ùợ

ùùợ

Khi ú:

( )

2
2

sin

d d tan d

cos cos 2

x x x

F x x x x x x x

x x

ò

= -

ò

-(

)

2 2

d cos

tan tan ln cos .

cos 2 2

x x x

x x x x x C

x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vỡ

;0
2

xẻ -ổỗỗỗố p ửứữữữ

nờn cosx>0, suy ra ln cosx =ln cos

(

x

)

Vậy:

( )

tan ln cos

(

)

2 .
2

x

</div>

Bài 12. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 

 

 

 

 

















 

 

 

 



 



<sub> </sub>

 

 





 



<sub></sub>





<sub></sub>





 





<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





 

 

 





 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 





 

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

 

<sub></sub>

 

 

 

 

 

 