Bài 21. Bài tập có đáp án chi tiết về tích phân của hàm ẩn. Tích phân đặc biệt | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (388.34 KB, 26 trang )
Câu 1.
f x
[2D3-2.4-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho
liên tục trên
và
1
I f x dx
3 f x 2 f x x10 , x
. Tính
1
I
11 .
B.
A. I 55 .
0
.
C. I 11 .
D.
I
1
55 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết; Fb: Thuyết Nguyễn Đăng
Chọn D
Ta có
3 f x 2 f x x10 , x
.
3 f x 2 f x x10 , x
Do đó ta thay x x ta được
.
3 f x 2 f x x10
3 f x 2 f x x10
Khi đó ta có hệ phương trình
.
1
1
1
x10
x11
1
1 10
I
f
x
d
x
=
d
x
=
f x x
5
55 0 55
0
0
5 . Khi đó
Giải hệ phương trình ta tìm được
.
Câu 2.
[2D3-2.4-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho
1
f 2 16,
trên và thỏa mãn
A. I 14 .
f x
có đạo hàm liên tục
2
f 2 x dx 6
0
B. I 20 .
I x. f x dx
0
. Tính
C. I 10 .
ta được kết quả
D. I 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb Thu Thủy
Chọn B
1
Ta có
1
f 2 x dx 6
0
1
f 2 x d 2 x 6
2
0
2
f x dx 12
0
.
2
Xét
Đặt
I x. f x dx
0
u x
dv f x dx
Khi đó
Câu 3.
2
I xf x
0
du dx
v f x
2
f x dx 2 f 2 12 20
0
.
[2D3-2.4-3]
(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3f x
Bắc-Ninh-2019) Cho
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
1
f 2 16,
0
A. I 14 .
2
f 2 x dx 6
I x. f x dx
. Tính
B. I 20 .
0
ta được kết quả
C. I 10 .
Lời giải
D. I 4 .
Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb Thu Thủy
Chọn B
1
Ta có
1
1
f 2 x dx 6 f 2 x d 2 x 6
20
0
2
f x dx 12
0
.
2
Xét
Đặt
I x. f x dx
0
u x
dv f x dx
I xf x
Khi đó
Câu 4.
2
0
du dx
v f x
2
f x dx 2 f 2 12 20
0
.
[2D3-2.4-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
4
Giá trị của biểu thức
A. 2 .
y f x
2
I f ' x 2 dx f ' x 2 dx
0
0
bằng
C. 6 .
D. 10 .
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh
B. 2 .
Chọn C
Cách 1:
4
2
I1 f ' x 2 dx I 2 f ' x 2 dx
0
0
Đặt
,
.
I
Tính 1 : Đặt u x 2 du dx .
Đổi cận:
2
2
I1 f ' u du f ' x dx
2
2
Ta có:
Tính I 2 : Đặt v x 2 dv dx .
f x
2
2
f 2 f 2 2 2 4
Đổi cận:
4
4
I 2 f ' v dv f ' x dx
Ta có:
Vậy: I I1 I 2 4 2 6 .
2
2
có đạo hàm
f x
4
2
f 4 f 2 4 2 2
.
.
4
2
4
2
I f ' x 2 dx f ' x 2 dx f ' x 2 d x 2 f ' x 2 d x 2
ách 2:
C
f x 2
Câu 5.
0
4
0
0
f x 2
2
0
0
0
f 2 f 2 f 4 f 2 2 2 4 2 6
1
2
109
2
1 f x 2 f x . 3 x dx 12
2
A.
ln
7
9.
ln
B.
1
2
. Tính
1 1
2 ; 2
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa
f x
[2D3-2.4-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số
mãn
f x
dx
2
1
x
0
.
.
5
ln
C. 9 .
2
9.
D.
ln
8
9.
Lời giải
Tác giả: Phan Chí Dũng; Fb: Phan Chí Dũng
Chọn B
1
2
1
2
109
f x 2 f x . 3 x dx 12
2
1
2
.
1
2
1
2
2
f x 3 x dx 3 x
1
2
2
2
f x 3 x 3 x
dx
1
2
1
2
2
dx 109
12
109
12
.
1
x 2
109
2
2
2
1 3 x dx 1 9 6 x x dx 9 x 3 x 3 1 12
2
2
2
Mà
1
2
1
2
1
2
f x 3 x
Suy ra
3
2
dx 0
1
2
.
2
1 1
1 1
x ;
f x 3 x 0, x ;
2 2 nên f x 3 x ,
2 2 .
Vì
1
2
Vậy
1
1
1
2
2
2
f x
3 x
1 x 2
1
2
d
x
d
x
d
x
+
dx
2
2
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
0
0
0
0
1
x 1
2
ln x 1 ln
2 ln
x 1
9
0
.
Câu 6.
[2D3-2.4-3]
(THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho
2
5
5
f x dx 4
2 f x dx 200
f x dx
1
A. 104.
;
1
B. 204.
. Khi đó
2
bằng
C. 196.
D. 96.
Lời giải
Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn D
Ta có:
5
5
2 f x dx 200
f x dx 100
1
.
1
5
Theo tính chất của tích phân:
2
5
5
f x dx f x dx f x dx 100 4 f x dx
1
1
2
2
.
5
Suy ra
Câu 7.
f x dx 96
2
[2D3-2.4-3]
.
(KIM
LIÊN
HÀ
NỘI
NĂM
2018-2019
1
1
3
3x 1 f x dx 2019, 4 f 1 f 0 2020
f 3x dx
0
1
A. 9 .
B. 3 .
. Tính
1
C. 3 .
0
LẦN
03)
Cho
.
D. 1 .
Lời giải.
Tác giả: Trịnh Duy Thanh. Fb: Trịnh Duy Thanh
Chọn A
Ta có:
1
1
3x 1 f x dx 2019 3x 1 d f x 2019 3x 1 f x
0
0
1
1
0
3f x dx 2019
0
1
4 f 1 f 0 3f x dx 2019 2020 3f x dx 2019
0
1
1
0
1
f x dx 3 1
0
1
3
I f 3x dx
Xét:
Đặt
0
3x t dt 3dx dx
1
Vậy:
Câu 8.
:
dt
1
x 0 t 0; x t 1
3 ; Đổi cận:
3
.
1
1
1
1 1 1
I f t dt f x dx .
30
30
3 3 9
[2D3-2.4-3]
2
I f x dx 2
1
A. 2.
(THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)
2
Cho
sin x. f 3cos x 1
J
dx
3cos
x
1
0
. Giá trị của
bằng
4
4
B. 3 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang
Chọn C
t 3cos x 1 dt
Đặt
3sin x
dx
2 3cos x 1 .
x t 1
2
Đổi cận : x 0 t 2 ;
.
1
J
Khi đó:
Câu 9.
2
2
2
2
2
2
2
4
f t dt f t dt f x dx .2
3
3
31
3
3.
1
[2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x ) liên tục trên R và
3
có đồ thị của hàm số f '( x) như hình vẽ, Biết
x 1
1
f '( x)dx a
và
0
f '( x) dx b
0
,
3
3
f '( x) dx c
1
, f (1) d . Tích phân
A. a b 4c 5d .
f ( x)dx
0
B. a b 3c 2d .
bằng
C. a b 4c 3d .
D. a b 4c 5d.
Lời giải
Tác giả: Trần Duy Khương; Fb: Trần Duy Khương
Chọn C
Tích phân từng phần có
3
3
3
(
x
1
)
f
'(
x
)d
x
( x 1)d f ( x) ( x 1) f ( x )
0
0
0
3
Suy ra
f ( x)dx 4 f (3)
0
1
3
f ( x)dx 4 f (3) f (0)
0
3
f (0) ( x 1) f '( x )dx 4 f (3) f (0) a
0
0
1
1
0
2
3
c f '( x) dx f '( x)dx f (1) f (3) d f (3) f (3) d c
1
f ( x)dx
3
b f '( x) dx f '( x)dx f (1) f (0) d f (0) f (0) d b
0
3
1
3
3
1 , 2 , 3
Từ
f ( x)dx 4(d c) (d b) a a b 4c 3d .
0
Câu 10. [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ( x) liên tục
trên và có đồ thị hàm số f ( x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm
x 1; đường thẳng trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) tại điểm có
ln 3
e x 1
x
e
f
dx
2
x
2
0
hồnh độ
. Tích phân
bằng
A. 8 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hồng Vân; Fb: Hồng Vân
Phản biện: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Chọn D
ex 1
1
t
dt e x dx
2
2
Đặt
Đổi cận x 0 t 1; x ln 3 t 2.
ln 3
2
2
e x 1
x
e
f
''
dx
2
f ''(t ) dt 2 f '(t ) 2 f '(2) f'(1) .
1
2
1
Khi đó 0
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 và có đạo hàm trên f (1) 0 .
yB y A
3
x
x
A
(1;0)
B
(0;
3)
B
A
Mặt khác đường thẳng Δ đi qua hai điểm
,
nên có hệ số góc
.
Do tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x) tại điểm có hoành độ x 2 nên f (2) 3 .
k
ln 3
e x 1
x
e
f
dx
2 2(3 0) 6.
0
Vậy
Câu 11. [2D3-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số
f x
liên tục có đồ thị như hình bên dưới
14
f x dx
3 . Tính F 2 F 5 .
Biết F ( x) f ( x), x [ 5; 2] và 3
1
A.
145
6 .
B.
89
6 .
145
C. 6 .
Lời giải
89
D. 6 .
Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong
Chọn C
5; 3
Trên đoạn
f x
ta có
5 x
2 ; trên đoạn 1; 2 ta có f x x 3 .
2
Khi đó:
F 2 F 5 f x dx
5
3
1
2
5
3
1
.
1
2
5 x
145
dx f x dx x 3 dx
2
6 .
5
3
1
3
f x dx f x dx f x dx
Câu 12. [2D3-2.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)
Cho hàm số
3
thỏa mãn
f x
có đạo hàm trên và
1
x f 2 x 4 dx 8
0
A. I 5 .
;
f 2 2
. Tính
B. I 10 .
I f 2 x dx
2
C. I 5 .
.
D. I 10 .
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Quy; Fb: huynhquysp
Chọn B.
3
+ Xét
J x f 2 x 4 dx 8
0
.
1
1
dv f 2 x 4 dx d f 2 x 4
v f 2x 4
2
, ta được du dx và
2
Đặt u x và
.
3
2
3 13
1
3
1
1
J x. f 2 x 4 f 2 x 4 dx f 2 f 2 x 4 dx 3 f 2 x 4 dx
0 20
2
2
20
20
3
3
Vì J 8
1
f 2 x 4 dx 8
2
0
3
f 2 x 4 dx 10
0
.
.
Đặt 2t 2 x 4 2dt 2dx dt dx
Đổi cận:
1
x
0
3
t
2
1
1
I1 f 2t dt f 2 x dx 10
2
2
.
Vậy I 10 .
Câu 13. [2D3-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm
f : 0,
2
là
hàm
liên
tục
thỏa
mãn
điều
kiện
2
02 f x 2 f x sin x cos x dx 1 2 . Tính 02 f ( x)dx .
A.
2
0
f ( x)dx 1 .
B.
2
0
f ( x)dx 1 .
2
0
C.
Lời giải
f ( x)dx 2
.
D.
2
0
f ( x)dx 0 .
Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: />Chọn D
2
0
2
0
1
2
sin x cos x dx 1 sin 2 x dx x 2 cos 2 x 0 2 1
Ta có
.
2
2
0
f x
2
2
2 f x sin x cos x sin x cos x dx
.
2
0
2
2
f x 2 f x sin x cos x dx 2 sin x cos x dx 1 1 0
0
2 2
.
2
0
f x sin x cos x
f x sin x cos x
2
0
2
dx 0
.
.
f x dx 2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0
0
.
Câu 14. [2D3-2.4-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số
1
1
x. f 1 x f x dx
f x
0;1
f 0
2
liên tục trên
. Biết 0
. Tính
.
1
1
f 0
f 0
f 0 1
f 0 1
2.
2.
A.
.
B.
C.
D.
.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb:Nguyễn Thị Bích Ngọc.
Chọn C
1
Ta có
1
A x. f 1 x f x dx x. f 1 x dx
0
0
1
f x dx
0
.
1
Đặt
I x. f 1 x dx
0
.
u x
d
v
f
1
x
d
x
Đặt
du dx
v f 1 x
1
Khi đó
0
1
Do đó
1
I f 1 x .x 10 f 1 x dx f 0 f x dx
0
1
1
1
A f 0 f x dx f x dx f 0
2
2
0
0
.
f x
Câu 15. [2D3-2.4-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số
có đạo
2
0; và f x 0 , x 0; thỏa mãn f x x. f x với mọi
hàm trên khoảng
2
1
f 1
f 2
x 0;
a 3 và
4 . Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là
, biết
A. 14 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb: Nguyen Phuc
Chọn D
Trên
0;
f x x. f 2 x
ta có
f x
x
f 2 x
1
x
f x
.
1
1
x2
C
dx xdx
f x 2
f x
.
2
a 3 1
a2
f 1
C C
a 3
2
2
2 .
Có
1
2
1
2 a
1
a2
2
f 2
0 6a2
2
f 2
4
a 6 4
4 a 6
f 2
2
a 6
;
.
2
1
x a 2
f x 0 x 0; a 2
f x
2
2
Ta có
. Do đó
,
.
a a 2; 1;0;1
Với
. Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là 2 .
f x
Câu 16. [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số
e6
1
f ln x
x
A. 10 .
2
dx 6
và
liên tục trên thỏa mãn
3
f cos x sin 2 xdx 2
2
0
B. 16 .
. Tích phân
C. 9 .
f x 2 dx
1
bằng
D. 5 .
Lời giải
Tác giả:Trịnh Ba ; Fb: trinh.ba.180.
Chọn D
1
1
t ln x 2dt dx
2
x .
Đặt
Đổi cận
x
t
1
0
e6
Khi đó
1
f ln x
x
e6
3
dx
1
f ln x
3
2
dx 2f t dt 6
x
1
0
e6
3
3
f t dt 3
f x dx 3
0
0
.
2
Đặt u cos x du 2 cos x.sin xdx sin 2 xdx
Đổi cận
x
0
u
1
2
0
2
Khi đó
0
1
1
2
f cos x sin 2 xdx f u du f u du 2
0
3
1
3
0
3
3
f x dx 2
0
1
.
3
3
1
Do đó
f x 2 dx f x dx 2dx f x dx f x dx 2dx 3 2 2 x | 5
1
1
1
0
0
1
.
f x
Câu 17. [2D3-2.4-3] (Nguyễn Du số 1 lần3) Giả sử hàm số
liên tục, dương trên ; thỏa mãn
x
f ' x 2
f x
T f 2 2 2 f 1
f 0 1
x 1
và
. Khi đó hiệu
thuộc khoảng nào?
2;3 .
7;9 .
0;1 .
9;12 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Tuấn Minh ; Fb: Tuấn Minh
Phản biện: Lê Thị Hồng Vân – Fb: Rosy Cloud.
Chọn C
Ta có:
f ' x
f ' x
x
x
1 2x
f ' x 2
f x
2
dx 2
dx
f x x 1
f x
2 x 1
x 1
1
ln f x ln x 2 1 C ln f x ln x 2 1 C
f x
2
( vì
ln dương trên ).
Mà
f 0 1 C 0 f x x 2 1 T f 2 2 2 f 1 3 2 2 0;1
.
y f x
C như hình vẽ. Biết đồ thị
Câu 18. [2D3-2.4-3] (THTT lần5) Cho hàm số bậc ba
có đồ thị
hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hồnh độ x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng
C và trục Ox là S . Diện tích S1 của
và x3 x1 2 3 . Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y f x 1 y f x 1 x x1
hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
,
và x x3 bằng
A. S 2 3 .
B. R S 4 3 .
C. 4 3 .
D. 8 3 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp
Chọn C
y f x 1
Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng S1 giới hạn bởi các đường
,
y f x 1 x x1
,
và x x3 ta được:
x3
x3
S1 f x 1 f x 1 dx 2 f x 1dx
x1
x1
x3
2 f x 1 dx
x1
x3
f x 1 trên x1; x3
x3
2 f x dx 2 dx
x1
x1
.
x ; 0
Vì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x2 cách đều x1 và x3 . Khi đó điểm 2
là điểm uốn của đồ thị
C , ta thấy hình phẳng giới hạn bởi C
và trục Ox gồm 2 phần có
x3
cùng diện tích nhưng nằm khác phía so với trục Ox , do đó
f x dx 0
x1
.
x3
Suy ra:
S1 2 0 2 dx 2 x3 x1 4 3
x1
.
Câu 19. [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và thỏa mãn
2
5
5
f x
2
dx 3
f x dx
2
f x 5 x dx 1
x
2
1
1
,
. Tích phân
bằng
15
13
A.
.
B. 2 .
C.
.
D. 0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen
Chọn C
2
Đặt t x 5 x suy ra
2
t x x 2 5 t x x 2 5 t 2 2tx 5 x
Đổi cận: x 2 t 5; x 2 t 1.
5 t
5 1
dx 2 dt
2t 2
2
2t
2
Ta có:
1
5
1
5 1
5
x 5 x dx f t 2 dt f t 2 1 dt 1
2
21
2t
t
5
.
f
2
2
5
5
5
f t
5
f
t
1
d
t
2
5
d
t
f t dt 2
2
2
t
t
1
1
Suy ra 1
5
5
f x
f x dx 2 5 2 dx 2 5.3 13
x
1
1
.
5
5
f t
f
t
d
t
2
5
dt
2
t
1
1
Câu 20. [2D3-2.4-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số
f x
f 3 21
liên tục trên và
,
1
3
f x dx 9
0
A. I 15 .
I x. f 3x dx
0
. Tính tích phân
B. I 12 .
.
C. I 9 .
Lời giải
D. I 6 .
Tác giả: Quỳnh Thụy Trang ; Fb:Quỳnh Thụy Trang
Chọn D
Đặt
u x
dv f (3 x)dx
du dx
1
v 3 f (3x)
.
1
1
I x. f (3x )
0
3
Suy ra
1
3
1
1
1
f (3x)dx f (3) f ( x )dx 6
3
3
90
0
.
Vậy I 6 .
Câu 21. [2D3-2.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên thỏa mãn
2
2
f ( x ) f (2 x ) x.e x , x . Tính tích phân
4
A.
I
e 1
4 .
B.
I
2e 1
2 .
I f ( x )dx
0
.
4
C. I e 2 .
Lời giải
4
D. I e 1 .
Tác giả:Đặng Văn Long ; Fb:Đặng Long
Chọn A
Đặt x 2 t dx dt .
0
2
2
I f 2 t dt f 2 t dt f 2 x dx
2
0
2
0
2
.
2
2
1
1 2
2 I f x f 2 x dx xe dx e x d x 2 e x
20
2
0
0
e4 1
I
4 .
Vậy
x2
2
0
e4 1
2
.
f x 0
Câu 22. [2D3-2.4-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số
f 0 1
f x x 1. f x
với x ,
và
với mọi x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
f 3 2
2 f 3 4
4 f 3 8
f 3 f 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đơng
Chọn C
Ta có:
f x x 1. f x
f x
f x
1
x 1
với mọi x .
f x
f x dx
1
dx ln f x 2 x 1 C
x 1
.
Mà
f 0 1 ln 1 2 C C 2
Hay
ln f x 2 x 1 2 f x e 2
.
x 1 2
f 3 e 2
.
f x . f x 1
thỏa mãn
, với mọi
2
2
x
dx
f x dx a
f 1 b f 2 c
f x
x . Biết 1
1
và
,
. Tích phân
bằng
Câu 23. [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số
A. 2c b a .
B. 2a b c .
f x
C. 2c b a .
D. 2a b c .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen
Chọn A
Ta có
2
1
f x
f x . f x 1
f x
2
xf x 1
suy ra
2
2
x
d
x
xf
x
d
x
x.d f x
f x
1
1
1
2
2
f x dx 2 f 2 f 1
f x dx 2c b a
1
1
.
y f x
Câu 24. [2D3-2.4-3] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm
2
5 f x 7 f 1 x 3 x 2 x
trên thỏa mãn
, x . Biết rằng tích phân
1
a
a
I x. f ' x dx
b
0
( với b là phân số tối giản ). Tính T 8a 3b .
A. T 1 .
B. T 0 .
C. T 16 .
D. T 16 .
Lời giải
Tác giả:ĐẶNG DUY HÙNG ; Fb: Duy Hùng
Chọn B
Ta có :
5 f x 7 f 1 x 3 x 2 2 x
Lần lượt chọn x 0, x 1 , ta có hệ sau :
5 f 0 7 f 1 0
5 f 1 7 f 0 3
5
f 1
8
f 0 7
8
1
Tính
I x. f ' x dx
0
u x
dv f ' x dx
Đặt :
Chọn
1
1
I x. f x 0
du dx
v f x
5
f x dx 8 J
0
0
Đặt x 1 t
1
1
J f 1 t dt f 1 x dx K
1
0
. Suy ra
5 J 7 K 3 x 2 2 x dx 2
0
J K
J K 1
5
J
7
K
2
Ta có :
5
3 a 3
I 1
8
8
b 8 T 8a 3b 0
Vậy
; và có
Câu 25. [2D3-2.4-3] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y f ( x) liên tục, có đạo hàm trên
1
đồ thị như hình vẽ. Tích phân
9
A. 5 .
B. 9 .
I f 5 x 3 dx
0
bằng
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Bảo Châu; Fb: Đỗ Bảo Châu
Chọn A
Từ đồ thị hàm số
f x
, ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
3; 2
1
Xét,
I f 5 x 3 dx
0
.
1
u 5 x 3 du 5dx dx du
5
Đặt
Đổi cận:
x
u
1
2
0
3
y f x
Kết hợp với bảng xét dấu của hàm số
2
1
, Ta được:
2
1
2
1
1
1
1
1
I f u du f u du f u du f u du f u du
5 3
5 3
5 1
5 3
5 1
f x
Câu 26. [2D3-2.4-3] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn
2
f 2x
2
e2
4
f
ln
x
dx
2
dx 2
tan x. f cos x dx 2
x
1
x ln x
0
và e
. Tính 4
.
0
A. .
B. 1 .
C. 4 .
D. 8 .
Lời giải
Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn
Chọn D
4
*
4
2
1 f cos x
I1 tan x. f cos x dx
.sin2xdx
2 0 cos 2 x
0
2
.
2
Đặt cos x t sin 2 xdx dt .
Đổi cận
x
0
t
1
1
1
2
f t
dt 4
1 f t
I1
dt
t
1
21 t
2
Khi đó
.
2
2
2
2
e
e
f ln x
1 f ln x 2ln x
I2
dx 2
.
dx
x ln x
2 e ln x
x
e
*
.
2 ln x
dx dt
2
x
Đặt ln x t
.
Đổi cận
x
e
4
1
2
e2
t
4
I2
Khi đó
1 f t
dt
2
t
1
4
1
f t
t
1
4
dt 4
.
2
f 2x
I
dx
x
1
* Tính
Đổi cận
4
1
dx dt
2 .
. Đặt 2x t
1
4
1
2
x
t
2
4
4
Khi đó
1
4
f t
f t
f t
I
dt
dt
dt 4 4 8
t
t
t
1
1
1
2
2
.
Câu 27. [2D3-2.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
y f x
0; thỏa mãn
NGÃI) Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên khoảng
x 2 f x f x 0
f x 0 x 0;
f 2
f 1 e
và
,
. Tính
biết
.
2
2
3
f 2 e
f 2 2e
f 2 e
f 2 e
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Quy ; Fb: huynhquysp
Chọn D
Ta có
f x 0 x 0; f x 0
0;
,
khơng có nghiệm trên khoảng
f x 0 khơng có nghiệm trên khoảng 1; 2 f 1 . f 2 0 , x 1; 2 .
Mà
f 1 e 0
nên
f 2 0
.
f x
1
2
x f x f x 0 x
f x
Do đó
.
2
2
2
2
f x
1
1
d
x
dx
ln f x
2
x
f x
x
1
1
1
Suy ra
1
1 ln f 2 ln f 1
2
2
1
1
ln f 2 ln e
2
1
1
1
ln f 2 1
ln f 2
2
2
2 f 2 e e .
f x
Câu 28. [2D3-2.4-3] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số
x 0;
f x . f x cos x 1 f 2 x
2
với mọi
A. 2 .
B. 1 .
C.
Lời giải
0;
liên tục không âm trên 2 , thỏa mãn
f
f 0 3
và
. Giá trị của 2 bằng
2 2.
D. 0 .
Chọn C
2 f x . f x
f x . f x cos x 1 f 2 x
cos x *
x 0;
2
2
1
f
x
2
ta có
Với
.
1 f 2 x sin x C
Suy ra
Ta có
f 0 3 C 2
Dẫn đến
f x
.
.
sin x 2
2
1
.
f 2 2
Vậy 2
.
1
x3 2 x ex3 2 x
1
1
e
dx
.ln p
x
e.2
m e ln n
e
Câu 29. [2D3-2.4-3] (Lý Nhân Tông) Biết 0
với m , n ,
p là các số nguyên dương. Tính tổng P m n p
A. P 5 .
B. P 6 .
C. P 8 .
D. P 7 .
Lời giải
Chọn D
1 3
1
x e.2 x 2 x
3
x3 2 x ex3 2 x
2x
d
x
d
x
x
e.2 x
e.2 x
e.2 x
0
0
0
1
1
x4
1
.ln e.2 x
4 0 e ln 2
1
0
1
1
e
.ln 1
4 e.ln 2
e
dx
.
Vậy m 4 , n 2 , p 1 nên P m n p 7 .
Câu 30. [2D3-2.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn
2
2
5
2
f ( x)
5
3
2
f '( x) dx ln
dx
ln
2
1; 2 đồng thời thỏa mãn f (2) 0 , 1
12
3 và 1 ( x 1)
12
2 . Tính
2
I f ( x)dx
1
.
3
2
I 2 ln
4
3 .
A.
B.
I ln
2
3.
3
3
I 2 ln
4
2.
C.
3
2
I 2 ln
4
3 .
D.
Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh
Chọn A
u f x
dv 1 dx
2
x 1
+ Đặt
du f x dx
1 x 1
v 2 x 1
.
Khi đó
2
f ( x)
1
x 1
dx f ( x)
( x 1) 2
2
x 1 1
1
2
2
x 1
f
(
x
)d
x
x 1
1
5
3 1
1
ln f (2)
12
2 2
3
2
x 1
x 1 f '( x)dx
1
2
5
3
x 1
2 ln
f ( x)dx
6
2 1 x 1
2
2
1
.
2
2
2
x 1
dx 1
dx
x
1
x
1
1
1
Xét
2
4
4
4
1
dx x 4 ln x 1
1 4 ln 3 4 ln 2 4 2 5 4 ln 3
x 1 x 1 2
x
1
1
1
3
3
2
2
2
2
1 x 1
5
3
dx ln
4 1 x 1
12
2
2
Theo đề
f '( x)
1
2
2
.
5
3
dx ln (3)
12
2
.
Từ (1), (2), (3) ta có
2
2
1 x 1
1 x 1
1 x 1
2 x 1 f ( x ) dx 0 2 x 1 f ( x ) 0 f '( x )
2 x 1 .
1
1
f ( x) x 2 ln x 1 C
2
f (2)
1
2 2 ln 3 C 0 C ln 3 1
2
1
f (x) x 2 ln x 1 ln 3 1
2
2
1
I x 2 ln x 1 ln 3 1dx
2
1
2
2
2
x2
ln 3 1 x ln x 1 dx 1 ln 3 ln x 1 dx
4
4
1 1
1
2
1
ln 3 x 1 ln x 1 1
4
2
x
d
x
1
1
3
2
ln 3 3ln 3 2 ln 2 1 2 ln
4
2
3.
Câu 31. [2D3-2.4-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục
xf ( x) 2 f ( x) ln x x3 f ( x) , x (1; ) ; biết
trên khoảng (1; ) và thỏa mãn
f
e 3e . Giá trị
3
25
12;
2 .
A.
f (2) thuộc khoảng nào dưới đây?
27
13;
2 .
B.
23
;12 .
C. 2
29
14;
2 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Viết Chiến ; Fb:Viết Chiến
Chọn C
Vì x (1; ) nên ta có
x
2
f ( x) 2 xf ( x ) ln x x 4 xf ( x)
x 2 f ( x ) 2 xf ( x )
f ( x)
ln x 1 3
4
x
x
f ( x)
f ( x )
2 ln x 1 3
x
x
f ( x)
f ( x)
2 ln xdx 1 3 dx
x
x
f ( x) ln x
x2
x2 x C
f ( x ) ln x
f ( x) ln x
x
C
x
C
f
(
x
)
x2
x2
ln x
.
f
Theo bài ra
f (2) =
Do đó
f ( x)
x
3
dx x
f ( x)
x
3
dx C
3
e 3e C 0 f ( x ) =
x3
ln x .
8 23
;12 .
ln 2 2
0; 2
f x
Câu 32. [2D3-2.4-3] (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
, thoả
2
f x cos
2
2
xdx 10
mãn
A. 13
f 0 3
và
B. 13
0
f x sin2xdx
. Tích phân 0
C. 7
Lời giải.
bằng
D. 7
Tác giả: Trịnh Duy Thanh; Fb: Trịnh Duy Thanh
Chọn B
Từ công thức tính vi phân của hàm số, ta có f (x) dx d( f (x)) , và
d(cos 2 x ) (cos 2 x)dx sin 2 xdx
2
Do đó, áp dụng cơng thức tích phân từng phần, với u cos x và v f (x) , ta thu được
2
f x cos
0
2
2
0
xdx f x .cos 2 x f x sin2xdx
2
Theo giả thiết, ta có
2
2
f x cos
2
0
xdx 10
f x sin2xdx 10 f 2 .cos
0
. Từ đó
0
2
2
0
2
f x .cos 2 x f x sin2xdx 10
f 0 .cos 2 0 13
2
0
Câu 33. [2D3-2.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
0;1
f x f 1 x 2 x 2 2 x 1
NGÃI) Cho hàm y f ( x) liên tục trên đoạn và thỏa mãn
1
Tính tích phân
I
A.
I f ( x)dx.
0
4
3
B.
I
2
3
I
C.
1
2
.
D.
I
1
3
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền
Chọn D
f x f 1 x 2 x 2 2 x 1
Ta có:
1
1
I f (1 x )dx (2 x 2 2 x 1)dx
0
0
1
2
1
I f (1 x)dx x 3 x 2 x
3
0
0
1
I f (1 x) dx
0
2
1
3
1
Xét
f (1 x)dx
0
t 1 x dt dx
, đặt:
Đổi cận
x
t
0
1
1
Ta có:
0
1
f (1 x)dx f (t )( dt ) f (t )dt I 2
0
1
0
1
Từ (1) và (2)
1
1
0
2 f ( x) dx
0
2
3
1
f ( x)dx 3
0
.
Câu 34. [2D3-2.4-3] (KonTum 12 HK2) Cho hàm số
f x
f 3x 6 dx 3
mãn
A. 3 .
1
có đạo hàm liên tục trên tập hợp thỏa
0
2
và
f 3 2
B. 11 .
Chọn A
Đặt t 3 x 6 dt 3dx .
. Giá trị của
x f x dx
3
bằng
C. 6 .
D. 9 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh
