Bài tập có đáp án chi tiết về quy tắc đếm môn toán lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.24 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP QUI TẮC ĐẾM

Câu 1. Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các
đường thẳng nối hai điểm bất kì khơng có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc
vng góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vng góc với các đường thẳng được xác định
bởi 2 trong n 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vng góc giao nhau nhiều
nhất là bao nhiêu?

A.   





2 2 3

1
1 2

2Cn n n  n Cn 1 5Cn . B.   





2 2 3

1
1 2

2 n 1 5 n

n n n

C    n C    C 

  .

C.   





2 2 3

1
1 2

3Cn n n  2n Cn 1 5Cn. D.   





2 2 3

1
1 2

1 5

n n

n n n

C    n C    C  .

Lời giải

Chọn A.

* Gọi n điểm đã cho là A A1, ,...,2 A . Xét một điểm cố định, khi đó có n Cn21 đường thẳng được
xác định bởi 2 trong n 1 điểm cịn lại nên sẽ có 2

n

C  đường thẳng vng góc đi qua điểm cố
định đó.

* Do đó có tất cả 2



 



1 2

n

n n n

nC     đường thẳng vng góc nên có   
2

1 2
2

n n n

C   giao điểm

(tính cả những giao điểm trùng nhau)
* Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại
- Qua một điểm có 2



 



1
1 2
2
n
n n
C 
 

 đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi n C



n211



điểm.

- Qua ba điểm , ,A A A của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vng góc với 1 2 3 A A và 3 đường4 5
thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3 3

n

C
- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam
giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 2 3

n

C .

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là:   





2 2 3

1
1 2

1 5

n n

n n n

C    n C    C 

  .

(Lời giải này mình lấy ở trong Cơng phá Tốn 2)

Câu 2. Tính các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2,3, 4,5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần,
chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại có mặt không quá 1 lần.

A. 630. B. 15120. C. 1260. D. 1430.

Lời giải
Chọn C.

Vì số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần
nên chỉ cịn 2 vị trí nữa. Do đó để thực hiện ta làm như sau:

+ Bước 1: Chọn 2 số trong 3 số còn lại để ghép với chữ số 2 và chữ số 3, có 2
3

C cách lấy.
+ Bước 2: Coi 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3 là các số độc lập. Khi đó cách sắp xếp 7 số vào 7 vị trí
là 7!.

+ Do chữ số 2 lặp 2 lần và chữ số 3 lặp 3 lần nên số các số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài
toán là:

3.7! 1260
2!.3!

C

 số.

Câu 3. Cho đa giác đều A A1, 2,..., A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh

là 3 trong 2n điểm A A1, 2,..., A2n gấp 20 lần so với hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm

1, 2,..., A2n

A A . Vậy giá trị của n là:

A. n 10. B. n 12. C. n 8. D. n 14.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chọn C.

+ Số tam giác được có đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, 2,..., A2n là:

3
2n
C .

+ Số đường chéo đi qua tâm O của đa giác đều là n. Để có hình chữ nhật có đỉnh 4 trong 2n
điểm A A1, 2,..., A2n thì 2 đường chéo của hình chữ nhật cũng là 2 đường chéo đi qua tâm O của

đa giác đều đã cho. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là: Cn2.

Theo giả thiết ta có phương trình: 3 2
2n 20 n

C  C với n N n , 2.

Giải phương trình (hoặc sử dụng MTCT) ta thấy n 8 là nghiệm của phương trình.

Câu 4. Sắp xếp 5 học sính lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao
cho 2 học sinh đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách sắp xếp là:

A. 460000. B. 460500. C. 460800. D. 460900.

Lời giải
Chọn C.

Giả sử 2 dãy ghế có dạng như hình vẽ. Khi đó để sắp xếp 10 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài tốn
thì ta làm như sau:

+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ nhất: Có 10 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 6: có 5 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 2: Có 8 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 7: Có 4 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 3: Có 6 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 8: Có 3 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 4: Có 4 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 9: Có 2 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 5: Có 2 cách chọn.
+ Chọn 1 học sinh vào ghế thứ 10: Có 1 cách chọn.

Theo qui tắc nhân, có 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800 cách sắp xếp 10 học sinh thỏa mãn yêu cầu
bài toán.

Câu 5. Từ các số 0,1, 2,3, 4,5,6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Số
các số lập được là:

A. 312. B. 360. C. 288. D. 386.

Lời giải
Chọn B.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:abcde.

Vì số tự nhiên cần tìm nhỏ hơn 25000 nên có 2 trường hợp:
+ TH1: a 1. Khi đó e 



0; 2;4;6



và có 3

A cách sắp xếp cho các vị trí cịn lại
 Có 1.4.A 53 240 số.

+ TH2: a 2

1. Nếu b



1;3



 e



0; 4;6



và có A42 số cách sắp xếp cho 2 vị trí cịn lại hay có
2

1.2.3.A 72 số.

2. Nếu b



0; 4



 e cịn 2 cách chọn và có 2
4

A số cách sắp xếp cho 2 vị trí cịn lại hay

có 2

1.2.2.A 48 số.

Vậy tổng có 240 72 48 360   số thỏa mãn u cầu bài tốn

Câu 6. Ơng bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng
khác nhau nếu ơng An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng?

A. 720. B. 1440. C. 20160. D. 40320.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ Số cách sắp xếp ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là: 2! 2 .
+ Số cách sắp xếp 6 người con ở giữa hàng là: 6! 720 .

Theo qui tắc nhân, số cách xếp hàng dọc để ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:
2.720 1440 cách.

Câu 7. Từ tập hợp X 



0;1;2;3; 4;5



có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

A. 180. B. 300. C. 30. D. 50.

Lời giải
Chọn B.

Gọi số cần tìm là: abcd.

+ Do a 0 nên có 5 cách chọn a.

+ Số cách chọn 3 số khác nhau vào 3 vị trí cịn lại và khác a là: A53.
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập là: 3

5.A 300.

Câu 8. Một tổ học sinh có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em
chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và
2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

A. 19600. B. 167960. C. 4845. D. 17900.

Lời giải
Chọn A.

Để lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức.
ta thực hiện các bước sau:

+ Chọn 3 học sinh biết tiếng Anh: có C83 cách chọn.
+ Chọn 4 học sinh biết tiếng Pháp có: 4

C cách chọn,
+ Chọn 2 học sinh biết tiếng Đức có: C52 cách chọn.
Theo qui tắc nhân, có 3 4 2

8. .7 5 19600

C C C  cách chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh,
4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức.

Câu 9. Một lớp học có 25 học sinh khá mơn Tốn, 24 học sinh khá môn Ngữ văn, 10 học sinh khá cả
môn Toan và môn Văn và ba học sinh không khá cả Tốn và Ngữ văn. Hỏi lớp học có bao
nhiêu học sinh?

A. 39. B. 42. C. 62. D. 52.

Lời giải
Chọn B.

Theo giả thiết bài tốn, có 15 học sinh chỉ khá mơn Tốn, 14 học sinh chỉ khá mơn Văn, 10 học
sinh khá cả 2 mơn Tốn và Ngữ văn, 3 học sinh không khá môn nào. Vậy sĩ số lớp học đã cho
là: 15 14 10 3 42    học sinh.

Câu 10. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Có bao
nhiêu cách để lấy 4 viên bi từ hộp sao cho trong 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng.

A. 125. B. 275. C. 150. D. 270.

Lời giải
Chọn C.

Để lấy 4 viên bi từ hộp sao cho trong 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng, ta có các
trường hợp sau:

TH1: Lấy được 1 bi vàng, 2 bi đỏ, 1 bi xanh có 1 1 2
3. .4 5

C C C cách lấy.
TH2: Lấy được 1 bi vàng, 3 bi đỏ có C C13. 53 cách lấy.

Theo qui tắc cộng có 1 1 2 1 3
3. .4 5 3. 5 150

C C C C C  cách lấy.

Câu 11. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát.
Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ
trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là

như nhau?

A. 11. B. 36. C. 25. D. 18.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chọn B.

Để chọn 1 vở kịch để diễn có 2 cách chọn.
Để chọn 1 điệu múa để diễn có 3 cách chọn.
Để chọn 1 bài hát để diễn có 6 cách chọn.

Theo qui tắc nhân có 2.3.6 36 cách chọn chương trình để diễn.

Câu 12. Cho hai đường thẳng song song d d1; 2. Trên đường thẳng d1 lấy 10
điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành mà ba đỉnh
của nó được chọn từ 25 điểm nói ở trên?

A. 2 1

10. 15

C C . B. 1 2

10. 15

C C . C. 2 1 1 2

10. 15 10. 15

C C C C . D. 2 1 1 2
10. 15. 10. 15

C C C C .

Lời giải
Chọn C.

Để tạo thành 1 tam giác từ 25 điểm trên, ta có thể làm như sau:
TH1: Chọn 1 điểm trên d1 và chọn 2 điểm trên d2. Khi đó có

1 2
10. 15

C C tam giác được tạo thành.
TH2: Chọn 2 điểm trên d1 và chọn 1 điểm trên d2. Khi đó có

2 1
10. 15

C C tam giác được tạo thành.
Theo qui tắc cộng, có C C102. 151 C C101. 152 tam giác được tạo thành từ 25 điểm đã cho.

Câu 13. Tính các tập hợp con của X 



0;1;2;3;4;5;6



chứa 1 mà không chứa 0.

A. 30 . B. 32 . C. 35 . D. 38 .

Lời giải
Chọn B.

Số tập con của X không chứa 0 là 26 64
 .
Số tập con của X không chứa 0 và 1 là 25 32

 .
Số tập con của X có chứa 1 là 64 32 32  .

Câu 14. Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A, B, C đang chiếu thì thu được kết quả như sau.

bộ phim A, có 28 người đã xem. Bộ phim B có 26 người đã xem. Bộ phim C có 14 người đã
xem. Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B. Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C. Có 3
người đã xem hai bộ phim A và C. Có 2 người đã xem ba bộ phim A, B và C. Số người không
xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B, C.

A. 55 . B. 45 . C. 32 . D. 51.

Lời giải

Chọn B.

28 26 14 8 4 3 2 55

n A B C

           .

Nên Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B, C là 100 – 55 = 45.

Câu 15. Có 7 bơng hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bơng hồng khác nhau từng

đơi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bơng hoa có đủ 3 màu.

A. 560. B. 310. C. 3014. D. 319.

Lời giải

Chọn A.

Số cách lấy 3 bơng có đủ 3 màu là (1 đỏ, 1 vàng, 1 trắng): 7.8.10 560.

Câu 16. Xếp 6 người (trong đó có một cặp vợ chồng) ngồi quanh bàn trịn có 6 cái ghế sao cho cặp vợ

chồng ngồi cạnh nhau. Số cách xếp là.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải
Chọn B.

Hai vợ chồng coi như 1. Ta xếp 5 người vào 5 vị trí trên bàn trịn 2.4! 48 .

Câu 17. Một dãy ghế dài có 10 ghế. Xếp một cặp vợ chồng vào 2 trong 10 ghế sao cho người vợ ngồi

bên phải người chồng (không bắt buộc ngồi gần nhau). Số cách xếp là.

A. 45. B. 50. C. 55. D. 90 .

Lời giải

Chọn A.

TH1: Chồng ở vị trí 1. Vợ có 9 cách xếp.
TH2: Chồng ở vị trí 2. Vợ có 8 cách xếp.

TH3: Chồng ở vị trí 3. Vợ có 7 cách xếp.
TH4: Chồng ở vị trí 4. Vợ có 6 cách xếp.
TH5: Chồng ở vị trí 5. Vợ có 5 cách xếp.
TH6: Chồng ở vị trí 6. Vợ có 4 cách xếp.
TH7: Chồng ở vị trí 7. Vợ có 3 cách xếp.
TH8: Chồng ở vị trí 8. Vợ có 2 cách xếp.
TH9: Chồng ở vị trí 9. Vợ có 1 cách xếp.
Vậy có 45 cách.

Câu 18. Cho hai đường thẳng d d1, 2 song song nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm

phân biệt



n  . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Vậy n có giá trị là.2



A. 20. B. 21. C. 30. D. 32.

Lời giải

Chọn A.
Số tam giác là





1 2 2 1

10 10

. . 2800 10 45 2800

2! 2 !

n n

n

C C C C n

n

    







2 20

5 1 45 2800 5 40 2800 0

n

n n n n n

n




         




Câu 19. Một bữa tiệc bàn tròn của các câu lạc bộ trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội trong đó có 3

thành viên từ câu lạc bộ Máu Sư Phạm, 5 thành viên từ câu lạc bộ Truyền thông và 7 thành
viên từ câu lạc bộ Kỹ năng. Hỏi có bao nhiêu người cùng câu lạc bộ thì ngồi cạnh nhau.

A. 7257600. B. 7293732. C. 3174012. D. 1418746.

Lời giải
Chọn B.

Số cách xếp là: 2!3!5!7! = 7257600.

Câu 20. Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh và 15 viên bi vàng. Các viên bi có cùng kích

cỡ. Số cách lấy ra 5 viên bi và sắp xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi
đỏ.

A. 146611080. B. 38955840. C. 897127. D. 107655240.

Lời giải
Chọn B.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Số cách chọn 5 bi khơng có bi đỏ sắp vào 5 vị trí A .355
Số cách chọn 5 bi, có ít nhất 1 đỏ sắp vào 5 vị trí 5 5

45 35 107655240

A  A  .

Câu 21. Biển đăng ký xe mơ tơ có 6 chữ số và hai chữ cái trong 26 chữ cái (Không dùng các chữ I và

O). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ơ tơ được đăng ký nhiều nhất có thể là bao nhiêu?

A. 5

5184.10 . B. 6

576.10 . C.33384960 . D. 5

4968.10 .
Lời giải

Chọn A.

Số ô tô được đăng ký nhiều nhất là: 9.10 .24.24 5184.105 5

 .

Câu 22. Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau

và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.

A. 720 số. B. 504 số. C. 936 số. D. 1440 số.

Lời giải
Chọn A.

Gọi số cần tìm có dạng abcdef c d e,    .8
, ,

c d e được chọn từ



1, 2,5 vậy có 6 cách chọn.



, ,

a b f được chọn từ 6 số cịn lại a b f, , có 3
6 120

A  cách chọn.
Vậy có 6.120 = 720 số.

Câu 23. Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước đơi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bi này

thành 1 hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?

A. 28800. B. 86400. C. 43200. D. 720.

Lời giải
Chọn A.

Số cách xếp là 2.5!.5! 28800 cách xếp.

Câu 24. Cho tập A 



2,5



. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho khơng có chữ số 2

nào đứng cạnh nhau?

A. 144 số. B. 143 số. C. 1024 số. D. 512 số.

Lời giải
Chọn A.

Để không có hai chữ số 2 nào cạnh nhau ⇒ số chữ số 2 trong số cần lập thành luôn nhỏ hơn
bằng 5.

Nếu có 5 chữ số 2 ⇒ lập được 6 số thỏa mãn.

Nếu khơng có chữ số 2 nào ⇒ lập được duy nhất một số thỏa mãn.
Nếu có 1 chữ số 2 ⇒ lập được 10!9! 1010!9! 10  số thỏa mãn.

Nếu có 2 chữ số 2 ⇒ số số lập được bằng số cách chọn ra 2 vị trí trong số 9 khoảng trống giữa
8 chữ số hai ⇒ lập được C  số.92 36

Nếu có 3 chữ số 5 lập luận tương tự như trên ⇒ lập được C  số.83 56
Nếu có 4 chữ số 5 lập được C  số. 74 35

Vậy có 144 số.

Câu 25. Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là một trong 5 em gái và Thiện là một

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó ít nhất một trong 2 em Thùy hoặc Thiện
không được chọn?

A. 286. B. 3003. C. 2717. D. 1287.

Lời giải
Chọn A.

Số cách chọn 5 em từ 15 em là C .155

</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về quy tắc đếm môn toán lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện



















 





 







































 

 

 

































<sub></sub>

<sub></sub>





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về