Bài 34. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.89 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

C/ TÌM NHÂN TỬ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM VƠ TỶ
- Phương án 01: Sử dụng các chức năng TABLE

Ví dụ 1. Tìm nhân tử của phương trình x23 x4 x2 2x 1

THỨ TỰ NỘI DUNG

THAO TÁC
TRÊN MÁY
TÍNH CASIO

KẾT QUẢ

HIỂN THỊ Ý NGHĨA

3.a.1

Viết phương trình
3

2 4 2

x  x  x 2x 1

trên máy tính CaSiO

Tương tự các
bước từ: 1.1

đến 1.14

2 4 2

X X X

2X 1

 

 

3.a.2

Gán giá trị: Solve for
X là: 9 và chờ kết

quả…

Thực hiện lại
các bước từ
1.15 đến 1.18

2 4 2

X X X

2X 1

 

 

X 1.618033989
R 0

 

Phương trình
có nghiệm
1.618033989
- Chú ý: Chúng ta khơng quy đổi kết quả đó có giá trị chính xác là bao nhiêu mà đi tìm nhân tử 
của phương trình ban đầu dựa vào kết quả đó.

3.a.3

Gán biến X cho biến
A

ALPHA

3.a.4 )

3.a.4 SHIFT

3.a.5 RCL

3.a.6

 

 X A

1.618033989
3.a.7 Kiểm tra giá trị của

hàm số

 

f X A  AX

MODE

SETUP Nhập hàm số

3.a.8 7 f X 

 

3.a.9

Trong khoảng



9;9



và cách nhau 1 đơn vị

ALPHA

3.a.10

 



3.a.11 x2 f X

 

A2

3.a.12 

3.a.13 ALPHA

3.a.14

 



3.a.15 ALPHA

3.a.16 ) f X

 

A2 AX

 

3.a.17  Start ?1 Giá trị bắt đầu

3.a.18  Bắt đầu bằng:

9


3.a.19 9

3.a.20  End ?5 Giá trị kết thúc

3.a.21 9 Kết thúc là: 9

3.a.22  Step ?1 Cách nhau 1

đơn vị

3.a.23 1

3.a.24

Kiểm tra các giá trị
của F X

 

thể hiện
trên bảng. Chúng ta
chỉ quan tâm đến giá

trị F X

 

nguyên

 ...

 

...

F X
X
11

1 1

Phương trình
có nhân tử là

x  x 1 0 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đề xuất: Phương pháp giải tốn Nhân liên hợp đưa phương trình về dạng:



x2 x 1 .f x



 

0

  

- Nhận xét: Phương án 01 chỉ đưa về chương trình:
2

x  mx n 0 



m, n  không đưa về được phương trình:



, x2 px q 0 



p,q 



Nguyên nhân: Trên bảng TABLE ta cho Step? Nhận giá trị là 1 nên máy tính chỉ được kiểm tra các giá 
trị biến X nguyên và cách nhau 1 đơn vị.

- Phương án 02: Sử dụng các chức năng RCL (gán biến)

Ví dụ 2: Tìm nhân tử của phương trình: 4x214x 11 4 6x 10  
THỨ

TỰ NỘI DUNG

THA TÁC
TRÊN MÁY
TÍNH CASIO

KẾT QUẢ HIỂN

THỊ Ý NGHĨA

3.b.1

Viết phương
trình









2
2

4x 14x 11
16 6x 10

 

 

Trên máy tính
CaSiO

Tương tự các
bước từ 1.1 đến

1.14









2
2

4X 14X 11
16 6X 10

 

 

3.b.2

Gán giá trị:
Solve for X là:

9 và chờ kết
quả…

Thực hiện lại các
bước từ 1.15 đến
1.15









2
2

4X 14X 11
16 6X 10

 

 

X 0.1513878189
R 0

 

Phương trình có
nghiệm
0.1513878189

Tìm nghiệm của phương trình và gán biến X cho biến A
3.b.3

Gán biến X cho
biến A

ALPHA

3.b.4 )

3.b.5 SHIFT

3.b.6 RCL

3.b.7

 

 X A

0.1513878189

Tìm nghiệm khác của phương trình và gán biến X cho biến B

3.b.8

Viết phương

trình









2
2

4x 14x 11
16 6x 10

 

 

Trên máy tính
CaSiO

Tương tự các
bước từ 1.1 đến

1.14









2
2

4X 14X 11

16 6X 10

 

 

3.b.9

Gán giá trị:
Solve for X là:

9 và chờ kết
quả…

Thực hiện lại các
bước 1.15 đến 
1.18









2
2

4X 14X 11
16 6X 10

 

 

X1.651387819
R 0

 

Phương trình có
nghiệm
1.651387819


3.b.10

Gán biến X cho
biến B

ALPHA

3.b.11 )

3.b.12 SHIFT

3.b.13 RCL

3.b.14 ''' X B

1.651387819


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3.b.15

Tìm tổng:

A B

ALPHA

3.b.16

 

 A

3.b.17 

3.b.18 ALPHA

3.b.19 ''' A B

3.b.20 

A B
3
2


3.b.21

Tìm tích A.B

ALPHA

3.b.22

 



3.b.23 X

3.b.24 ALPHA

3.b.25 ''' AxB

3.b.26 

AxB
1
4


Kết quả:

Nhân tử của phương trình đã cho là:





x  A B x A.B, 

tức là:

2 3 1

x x

2 4

 

 

 

 

Đề xuất: Phương pháp giải
toán

Nhân liên hợp, đưa phương trình về dạng:

 

2 3 1

x x .f x 0

2 4

 

  

 

 

- Nhận xét: Điểm mạnh cuả phương án 02 là tìm nhân tử đối với những phương trình khơng chứa căn 
thức (phương trình sau phép lũy thừa).

Nguyên nhân: Một phương trình vơ tỷ có thể có 2 nghiệm, nhưng một nghiệm khơng thảo mãn điều 
kiện. Vì vậy máy tính đã tự động loại bỏ nó!

- MỜI CÁC BẠN CÙNG THỰC HÀNH VỚI CÁC VÍ DỤ SAU:
C1. Tìm nhân tử của phương trình sau:





2 3

2 x 2 5 x 1.

KQ:





x  5x 3 .

C2. Tìm nhân tử của phương trình: x23x 1 



x 3



x2 KQ: 1.





x  8

C3. Tìm nhân tử của phương trình: 2 2x 4 4 2 x    9x216. KQ:

2 32

x .

 



 

 

C4. Tìm nhân tử của phương trình: 3x2 3x 1 2x  2 4x 1 0  KQ:

2 5

x x 1

 

 

 

 

C5. Tìm nhân tử của phương trình 3 x32x2  3x 1 2x  2 4x 1 0  KQ:

2 3 1

x x .

2 2

 

 

 

 

D/ KIỂM TRA MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Y F X

 

BẰNG CHỨC NĂNG TABLE.

Ví dụ: Kiểm tra miền giá trị của hàm số f x

 

2x211x 21 3 4x 4  3  định hướng cách giải phương
trình: 2x211x 21 3 4x 4 0  3   (VMO – 1995)

- Bước 1: Kiểm tra được rằng phương trình có nghiệm duy nhất x 3 (xem mục B)

- Bước 2: Kiểm tra miền giá trị của hàm số f x

 

x2 22x 21 3 4x 4  3  trong khoảng



9;9



và
cách nhau 1 đơn vị.

THỨ

TỰ NỘI DUNG

THAO TÁC
TRÊN MÁY
TÍNH CASIO

KẾT QUẢ HIỂN

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4.a.1

Kiểm tra trên
TABLE hàm số

 

f x 2x 11x
21 3 4x 4

 

  

trong khoảng



9;9



và cách
nhau 1 đơn vị

Tương tự các
bước từ 3.a.7 đến 
3.a.22

 

F X
X

1 9 292.25
2 8 246.9
... ... ...
12 2 2.2377

13 3 0

14 4 2.1317
...

19 9 74.475




1. Tại vị trí 13 ta
thấy X 3 và

 

F X  nghĩa0,
là phương trình

có nghiệm
x 3.
2. Các giá trị
còn lại của X
luong cho giá trị

 

F X 0.

Bước 3: Kiểm tra giá trị của X trong khoảng



2; 4



với độ rộng 0.1 (lân cận nghiệm x 3 )

4.a.2

Viết hàm số

 

f x 2x 11x
21 3 4x 4

 

  

Trong TABLE

Tương tự các
bước từ 3.a.7
đến 3.a.16

 

f X 2X 11X
21 3 4X 4

 

  

4.a.3

Kiểm tra giá trị của
X trong khoảng



2;4



với độ rộng
0.1

 Start ?

4.a.4 2 Bắt đầu vớix 2



4.a.5  End ?5

4.a.6 4 Kết thúc vớix 4



4.a.7  Step ?1

4.a.8 0 Kiểm tra các giá

trị cách nhau
một khoảng 0.1

4.a.9 

4.a.10 1

4.a.11 Kiểm tra dấu F X

 

thể hiện trên bảng.



 

F X
X

1 2 2.2377
2 2.1

... ... ...
10 2.9 0.0217

11 3 0

12 0.0216
...

21 2.1317

1.804

3.1

Các giá trị của
X khác 3 trong

bảng luôn làm
cho F X

 

0

Nhận định: 2x2 11x 21 3 4x 4 0,3

       x

Đề xuất: Phương pháp giải 
toán

Đánh giá, hàm số, liên hợp

- Nhận xét: Trong quá trình giải tốn, chúng ta sẽ gặp những phương trình cần sử dụng phương pháp 
đánh giá để giải quyết trọng vẹn bài toán. Chức năng kiểm tra các giá trị của F X

 

trên bảng TABLE sẽ
giúp chúng ta có những nhận định chính xác hơn như: f x

 

 hay 0 f x

 

 , hàm số có đơn điệu 0
khơng?...

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ Nếu các giá trị của F X

 

tăng dần theo giá trị của X chứng tỏ hàm số đồng biến, và giá trị F X

 

giảm
dần khi giá trị của X tăng dần chứng tỏ hàm số nghịch biến.

+ Khơng nên thử các giá trị ngồi tập xác định, bởi chúng ta sẽ hông nhận được kết quả với những giá trị
đó.

- CÁC VÍ DỤ THỰC HÀNH:

D1. Kiểm tra dấu của f x

 

x2  x 2 2 x 1, từ đó đề xuất phương án giải phương trình
2

x   x 2 2 x 1 0 

D2. Kiểm tra dấu của f x

 

5x2  x 2 4x 3x 1 , từ đó đề xuất phương án giải phương trình
2

5x   x 2 4x 3x 1

D3. Kiểm tra dấu của

 





f x  3 7x 15  x 2x ,

từ đó đề xuất phương án giải phương trình





3 7x 15  x 2x

D4. Kiểm tra dấu của f x

 

 x 1 2 4 x   2  2 x 2 ,







từ đó đề xuất phương án giải phương trình





2 x 2  x 1 2 4 x  

D5. Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số f x

 

 x 3  2x 1 3,  từ đó đề xuất phương án giải phương
trình x 3  2x 1 3 0  

D6. Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số

 

6 8

f x 3 14,

3 x 2 x

  

  từ đó đề xuất phương án giải

phương trình

6 8

3 14

3 x  2 x 

D7. Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số f x

 

 3x 1  x 7x 2 4  , từ đó đề xuất phương án giải
phương trình 3x 1  x 7x 2 4

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ CASIO
Tác giả: Bùi Thế Việt – chuyên Thái Bình

Trên diễn đàn tốn học www.k2pi.net, tác giả Bùi Thế Việt đã giải phương trình vơ tỷ bằng phương pháp
đưa về tích các nhân tử, điểm mạnh của phương pháp chính là tính nhanh gọn trong q trình xử lý
phương trình vơ tỷ. Sau đây chúng tơi xin được chia sẽ bài viết của Bùi Thế Việt đến các bạn đọc quan
tâm.

Thơng thường một phương trình vơ tỷ có nghiệm ln được quy về dạng tích f x .f x ...f x1

 

 và 0

để chế tác một phương trình vơ tỷ ta cũng xuất phát từ một tích nào đó rồi biến đổi VT VP như các ví 
dụ:

- VT



x 3  2x 1 3x 2

 

  2x 1



3x25x 7 



2x 5



2x 1 VP 

- VT



x 3  x 3 1 

 

x 3 5 x 3 5   



4x 23 6 x 3 4 x    2 9 VP

Nhiệm vụ của người giải toán là làm sao để biến đổi VP VT một cách nhanh chóng, chuyên đề này sẽ 
giúp các bạn làm cơng việc đó một cách nhanh chóng nhờ sự hỗ trợ của máy tính CaSiO.

I. Phương trình vơ tỷ chỉ có một căn thức dạng ax b 
Chúng ta sẽ xét phương trình dạng f x

 

g x

 

ax b 0 
1. Ý tưởng tìm lời giải:

Chúng ta thử làm một ví dụ đơn giản sau:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Phần nháp: Nếu đặt t 4x 5

2
t 5
x

4


 

thì từ PTVT, ta được
2

2 2

2 t 5 t 5

2x 3x 7 4x 5 2 3 7 t

4 4

   

         

 



 



2 2 2

t 1 1

2t t t 4t 1 t 4t 1

8 8 8

        

Nhưng chúng ta sẽ không giải tiếp t mà sẽ ngược lại t 4x 5 vào từng nhân tử:



 



t 4t 1 t 4t 1

8    



 



4x 5 4 4x 5 1 4x 5 4 4x 5 1
8

        



2x 3 2 4x 5 x 1

 

4x 5



      

Vậy tóm lại ta có:



 



 

2x  3x 7  4x 5  2x 3 2 4x 5 x 1     4x 5 *

Lời gải: Bạn đọc biến đổi PTVT như biểu thức

 

* , từ đó ta được nghiệm của phương trình là
x 5 1.

- Nhận xét: Hướng đi của bài này tuy hơi dài, nhưng cũng đủ để cho bạn đọc thấy việc tìm ra nhân tử 
trong PTVT dạng này là có cơ sở. Chúng ta tạm gọi cách này là phương pháp đặt ẩn.

Tuy nhiên nếu biết trước nghiệm của PTVT, chúng ta có thể tìm ra nhân tử rất nhanh chóng
Thật vậy với x 5 1 thì 4x 5  4 5 9 2   5 1

 

Nhưng vì đây là PTVT với các hệ số nguyên (gọi tạm là PTVT đơn giản), các nhân tử của nó cũng
thường chỉ là có hệ số nguyên. Bạn đọc thử quan sát

 

* , các hệ số của x, hệ số tự do, hệ số trong và
ngồi căn thức đều ngun…

Rất có thể 4x 5 ax b   với a, b .

Kết hợp với

 

1 ta thấy: 4x 5 2   5 1 1   5 1 x. 

Vậy là PTVT sẽ có nhân tử



x 1  4x 5 .



Bước tiếp theo là chỉ cấn biến đổi PTVT để có nhân tử này:





2 2

2x  3x 7  4x 5 2x   4x 8  x 1  4x 5



 



2 x 1 4x 5 x 1 4x 5 x 1 4x 5

          



2x 3 2 4x 5 x 1

 

4x 5



      

Chúng ta cũng tạm gọi cách làm này là phương pháp biết trươc nghiệm

- Lưu ý: Việc tìm nghiệm và phân tích đa thức bậc 4 thành nhân tử được dùng rất nhiều để tìm nhân tử 
của PTVT. Vì vậy:

+ Xem cách giải phương trình bậc 4 ở trang

 

...

+ Xem cách tìm các nghiệm của phương trình vơ tỷ bằng CaSiO ở trang

 

...
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 2x 5 



5x 1 3x 2 0



 

Phần nháp:

Phương pháp đặt ẩn: Đặt t 3x 2

2
t 2

x .

3


 

Từ PTVT ta có:





2 1 4 5 3 2 2 7

3x 2x 5 5x 1 3x 2 t t t t 5

3 3 3 3

         



 







t 5 t 1 t t 3

     1



3x 2 5

 

3x 2 1 3x 1

 

3x 2



       

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó, giả sử PTVT có chứa 1 nhân tử là



3x 2 ax b  



và nó chứa nghiệm x 9 thì nó cũng có thể
chứa một nghiệm khác nghiệm x 9 (trái với điều kiện là PTVT có nghiệm duy nhất).

Hơn nữa, x 9 là một nghiệm đẹp. Vì vậy, với a 0 sẽ giúp biểu thức bên trong nhân tử sẽ chỉ có
nghiệm duy nhất.

Từ đó ta được nhân tử là



3x 2 5 



(vì nhân tử này chứa nghiệm x 9 )
Do đó, các bước tiếp theo chỉ cần biến đổi PTVT để có nhân tử



3x 2 5 







3x  2x 5  5x 1 3x 2 0  









3x 27x 5x 1 3x 2 5

      3x x 9





 

 5x 1





3x 2 5 





 











x 3x 2 5 3x 2 5 5x 1 3x 2 5

        



3x 2 5 x

 



3x 2 5



5x 1



        



3x 2 5 x 3x 2 1 

 

 



0
Lời giải: Dành cho bạn đọc từ làm…

Ví dụ 3: Giải phương trình:





2 2

15x  8x 1  3x 17x 9 x 1 0 

Phần nháp: Đặt t x 1  x t 21

Ta được:





2 2

15x  8x 1  3x 17x 9 x 1





4 2 4 2

15t 22t 6 3t 23t 29 t

     



3t2 9t 2 t

 

3 2t2 t 3



      



9 x 1 3x 1 x x 1 2x 1  

 

  



Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…

</div>


Bài soạn SKNN Giai phuong trinh vo ty toan 10CB

Bài giảng CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

Các dạng phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ trọng tâm trong đề thi đại học

Khóa học LTĐH môn Toán Chuyên đề 2&3 -Phương trình vô tỷ- Thầy Trần Phương ppsx

Bài tập phương trình vô tỷ

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ potx

skkn phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ . thpt vĩnh lộc

100 bài tập phương trình vô tỷ hay và khó

LTĐH chuyên đề ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số phương trình vô tỷ

Bài 34. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 

 

 





 

<sub> </sub>

 

 

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

















<sub></sub>

<sub></sub>













 









<sub></sub>

<sub></sub>













 

 





 

















 

 

 





 





 

 

 





 

 





 

 

 

 

 