PP đổi biến để chứng minh BĐT

Phơng pháp đổi biến
để chứng minh bất đẳng thức


Phần lớn các bất phơng trình nhiều biến có giả thiết về điều kiện tổng không
đổi hặc tích không đổi của các đại lợng.Một số bài nh vậy ta có thể đổi biến để
chuyển bất đẳng thức phức tạp về bất đẳng thức đơn giản
A) Lý thuyết:
Nhận xét 1: Nếu a và b là các số dơng thoả mãn điều kiện: a + b = k ( k là
hằng số dơng ) Thì :
a)Tồn tại : t

(-
;
2 2
k k
) thoả mãn
a =
2
k
- t ; b =
2
k
+ t
b)Tồn tại x , y > 0 thoả mãn a = k.
x
x y
+
; b = k.
y
x y

+
NhËn xÐt 2: NÕu c¸c sè d¬ng a
1
; a
2
;…..a
n
cã tæng b»ng k th× tån t¹i c¸c sè d-
¬ng x
1
; x
2
;…..x
n
tho¶ m·n :
a
1
= k.
1
1 2
...
n
x
x x x
+ + +
; …..; a
i
= k.
1 2
...

i
n
x
x x x
+ + +
; …;
a
n
= k.
1 2
...
n
n
x
x x x
+ + +
NhËn xÐt 3: NÕu c¸c sè d¬ng a,b,c cã tÝch b»ng 1 th× tån t¹i c¸c sè d¬ng x,y,z
tho¶ m·n : a =
x
y
; b =
y
z
; c
2
=
z
x
Nếu các số dơng a
1

; a
2
;; a
n
có tích bằng 1 thì tồn tại các số dơng x
1
, x
2
,
.,x
n
thoả mãn :
a
1
=
1
2
x
x
; ; a
i
=
1
i
i
x
x
+
; .; a
n

=
1
n
x
x
B) Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho các số dơng x , y thoả mãn x + y = 2.
Chứng minh x
2
y
2
(x
2
+y
2
)

2
3
Giải:
Vì x + y = 2 nên có thể đặt x = 1 + t ; y = 1- t ( - 1 < t < 1)
Bất đẳng thức trở thành: (1- t)
2
(1 + t)
2
[(1-t)
2
+ (1 + t)
2
]

2
Ta có
(1- t)
2
(1 + t)
2
[(1-t)
2
+ (1 + t)
2
] = (1-t
2
)
2
(2 + 2t
2
) = 2(1- t
2
)(1-t
4
)
Vì -1< t < 1 nên t
2
< 1 và t
4
< 1 ta có :
0 < 1-t
2

1 ; 0 < 1- t4

1
=> (1-t2)(1-t4)

1 => 2(1-t2)(1-t4)

2
4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 0
=>
x
2
y
2
(x
2
+y
2
)

2 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
= y =1
Bài 2 : Cho các số dơng x, y thoả mãn x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1-
2
1
x
)(1 -

2
1
y
)
Giải :
Vì x , y là các số dơng có tổng bằng 1 nên tồn tại các số dơng a , b thoả mãn :
5
x =
a
a b
+
; y =
b
a b
+
=>
1
x
=
a b
a
+
= 1 +
b
a
=> 1-
2
1
x
= 1 -

2
1
b
a
 
+
 ÷
 
= 1-
2
2
1
b b
a a
 
 
+ +
 
 ÷
 
 
 

6
= -
2
b b
a a
 
+

 ÷
 
T¬ng tù ta cã :
1
y
= 1+
a
b
=> 1
-
2
1
y
= -
2
a a
b b
 
+
 ÷
 
(1-
2
1
x
)(1 -
2
1
y
) = -

7
2
b b
a a
 
+
 ÷
 
.
2
a a
b b
   
− +
 ÷  ÷
   
=
2 2
b a
a b
   
+ +
 ÷  ÷
   

= 5 + 2
a b
b a
 
+

 ÷
 
≥
5 + 2.2
.
a b
b a
= 9
8
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =
1
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1-
2
1
x
)(1 -
2
1
y
) là 9.
Đạt đợc khi x = y =
1
2
9
Bài 3 : Cho các số dơng a,b,c thoả mãn:
1 1 1
1
a b c
+ + =

Chứng minh rằng :
1 1 1 3 2a b c
+ +
Giải:
Vì
1 1 1
1
a b c
+ + =
nên tồn tại x, y , z dơng thoả mãn :
1 x
a x y z
=
+ +
;
1 y
b x y z
=
+ +
;
10