Bài 7. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.69 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 8. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

Bài 1. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 cú
n im phõn bit

(

n 3, nẻ Ơ

)

. Tỡm n, biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã

cho.

Lời giải

Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo
thành từ n+6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d1 và n điểm (thẳng hàng) thuộc

d là 3 3 3

6 6

n n

C+ - C - C .

Theo giả thiết, ta có Cn3+6- C63- Cn3=96 vi n 3, nẻ Ơ.

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

)

6 ! 20 ! 96

3! 3 ! 3! 3 !

4 5 6 120 2 1 576

18 72 576 .

n n

n n n n n n

n

n n

n

Û - - =

-Û + + + - - - - =

é =
ê
Û + - Û ê

=-ë

Đối chiếu điều kiện ta chọn n=4 thỏa yêu cầu bài tốn.

Bài 2. Cho hình vng ABCD. Trên các cạnh AB BC CD DA, , , lần lượt lấy 1, 2, 3 và n
điểm phân biệt

(

n 3, nẻ Ơ

)

khỏc A B C D, , , . Tìm n, biết số tam giác lấy từ n+6
điểm đã cho là 439.

Lời giải

Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo
thành từ n+6 điểm gồm: 1 điểm trên cạnh AB, 2 điểm trên cạnh BC, 3 điểm (thẳng
hàng) trên cạnh CD và n điểm (thẳng hàng) trên cạnh DA là Cn3+6- C33- Cn3.

Theo giả thiết, ta có Cn3+6- C33- Cn3=439 vi n 3, nẻ Ơ .

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

6 ! 1 ! 439
3! 3 ! 3! 3 !

4 5 6 6 2 1 2634

18 72 2520 .

n n

n n n n n n

n

n n

n

Û - - =

-Û + + + - - - - =

é =
ê

Û + - Û ê

=-ë

Đối chiếu điều kiện ta chọn n=10 thỏa yêu cầu bài tốn.

Bài 3. Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2 , 4 , 6 , 8cm cm cm cm và 10cm. Lấy ngẫu
nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập
thành một tam giác.

Lời giải

Không gian mẫu là số cách lấy 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C53=10.

Gọi A là biến cố ''3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác''. Để ba đoạn thẳng
tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp:

(

4 , 6 , 8cm cm cm

)

hoặc

(

6 , 8 , 10cm cm cm

)

hoặc

(

4 , 8 , 10cm cm cm

)

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 3.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 4. Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng không
thẳng hàng. Giả sử các đường thẳng nối các điểm từng đôi một cắt nhau và 3 trong số
các đường thẳng đó chỉ có thể đồng quy tại một trong 10 điểm đã cho. Gọi S là tập hợp
các tam giác tạo bởi các đường thẳng đó. Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ tập S, tính

xác suất để tam giác được chọn có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã cho.

Lời giải

Số đường thẳng được tạo thành từ 10 điểm đã cho là C =102 45.

Nếu cứ 3 đường thẳng bất kỳ trong 45 đường thẳng tạo thành 1 tam giác thì ta có
tất cả C453 tam giác. Nhưng thực tế có một trường hợp 3 đường thẳng không tạo thành
tam giác đó là khi chúng đồng quy. Xét một điểm bất kỳ trong 10 điểm đã cho, ta gọi
điểm đó là A thì

● Có 9 đường thẳng qua A.

● Số cách chọn 3 trong 9 đường thẳng đó là C93. Tương ứng một cách chọn là
có một tam giác bị loại (do 3 điểm trùng nhau tại A).

Vì có 10 điểm như thế nên có tất cả 10.C93 tam giác bị loại.
Suy ra tập hợp S có C453 - 10.C93=13350 tam giác.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 tam giác trong 13350 tam giác.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C133501 =13350.

Gọi X là biến cố ''Tam giác được chọn có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã
cho''. Số tam giác được tạo thành có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã cho là

3
10 120

C = . Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C1201 =120.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

= WWX =13350120 =4454 .

Bài 5. Cho một đa giác đều 12 đỉnh A A1 2...A12 nội tiếp đường tròn

( )

O . Chọn ngẫu nhiên
4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ
nhật.

Lời giải

Không gian mẫu là cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 12 đỉnh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C124 =495.

Gọi A là biến cố '' 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật''. Gọi đường chéo
của đa giác đều A A1 2...A12 đi qua tâm đường tròn

( )

O là đường chéo lớn thì đa giác đã
cho có 12 6

2= đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh
1 2... 12

A A A có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn

có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành
là số cách chọn 2 đường chéo lớn trong 6 đường chéo lớn.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C62=15.
Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =49515 =331 .

Bài 6. Cho một đa giác đều có 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh
lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S, tính xác suất để
được một hình chữ nhật.

Lời giải
Đa giác có 30 cạnh nên có 30 đỉnh.

Gọi

( )

O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C304 =27405.

Gọi A là biến cố ''tứ giác được chọn là hình chữ nhật''. Gọi đường chéo của đa giác
đều đi qua tâm đường tròn

( )

O là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có 30 15

2 = đường
chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 30 đỉnh có các đường chéo là
hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của
một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là số cách chọn 2 đường chéo
lớn trong 15 đường chéo lớn, tức là có tất cả C =152 105 hình chữ nhật.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C1051 =105.
Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =27405105 =2611 .

Bài 7. Cho một đa giác đều 2n đỉnh A A1 2...A2n

(

n³ 2, nỴ ¥*

)

nội tiếp đường tròn

( )

O .

Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật
có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n.

Lời giải
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh là C2n3 .

Gọi đường chéo của đa giác đều A A1 2...A2n đi qua tâm đường tròn

( )

O là đường chéo

lớn thì đa giác đã cho có 2

n
n

= đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4

đỉnh trong 2n đỉnh A A1 2...A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi

cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ
nhật được tạo thành là số cách chọn 2 đường chéo lớn trong 2n đường chéo lớn, tức là
có tất cả C2n2 hình chữ nhật.

Theo giả thiết, ta có 23 2

(

( )

)

(

)

2 ! !

20 20

3! 2 3 ! 2! 2 !

n n

C C

n n

= Û =

-(

) (

)

(

)

2 2 1 2 2 1

20 2 1 15 8

6 2

n n n n n

n n

- -

-Û = Û - = Û = .

Vậy n=8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 8. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh

(

n³ 2, nẻ Ơ

)

. Chn ngu nhiờn ba nh trong
s 2n nh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vng là 1

5.
Tìm n.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chọn 3 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C2n3 .

Gọi A là biến cố ''Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông''. Để ba đỉnh
được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu
mút của một đường kính của đường trịn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong

số

(

2n- 2

)

đỉnh cịn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có 2
2

n
n

= đường kính.

● Số cách chọn 1 đường kính là Cn1=n.

● Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong

(

2n- 2

)

đỉnh là C21n-2=2n- 2.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A n n

(

2 - 2

)

Do đó xác suất của biến cố A là

( )

(

)

2 2

A

n
n n

P A

C

-= =

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x 
y
A
B C
D
O 
1
2

1 2 3 4
-1

-2
Theo giả thiết, ta có

(

)

(

(

) (

)

)

2 2 1 6 2 2 1 8

5 2 2 1 2 2 5

n

n n n n

n

n n n

C

-= Û = Û =

- - .

Vậy n=8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập tương tự. Cho đa giác

( )

H có n đỉnh

(

nẻ Ơ, n>4

)

. Tỡm n, bit s cỏc tam
giỏc cú 3 đỉnh là đỉnh của

( )

H và không có cạnh nào là cạnh của

( )

H gấp 5 lần số các
tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của

( )

H và có đúng 1 cạnh là cạnh của

( )

H .

Lời giải

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là Cn3.

Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n.
Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n-

(

)

.
Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là

(

)

3 4

n

C - n n n- - .

Theo giả thiết, ta có Cn3- n n n-

(

- 4

)

=5.n n

(

- 4

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

3
2
!

6. 4 6. 4

3!. 3 !

2 1 35

6 4 1 39 140 0 .

4
6

n

C n n n n n n

n

n n n

n
Û = - + Û = - +

-é
- - ê=
Û = - + Û - + = Û ê =
ë
Do n>4 nên ta chọn n=35 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A

(

- 2;0 ,

)

B

(

- 2;2 , 4;2 ,

)

C

(

)

D

(

4;0

)

.
Chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ

(

x y;

)

với x y, là các số nguyên nằm trong hình
chữ nhật ABCD (kể cả các điểm nằm trên các cạnh). Tính xác suất để điểm

(

x y;

)

được
chọn thỏa mãn x y+ <2.

Lời giải
Dựng thêm các đường thẳng y =1 và

x =- , x =1, x =2, x =3. Các đường thẳng
trên cùng với các cạnh và các trục tọa độ cắt

nhau tại 21 điểm có tọa độ nguyên. Do đó ta có

(

)

{

x y; 2 x 4,0 y 2 & ,x y

}

W= - £ £ £ £ Ỵ ¢ .

Suy ra số phần tử của không gian mẫu
21

W= .

Gọi A là biến cố ''Chọn được điểm

(

x y;

)

thỏa mãn x y+ < ''2 .
Ta có những kết quả thuận lợi cho biến cố A là

(

) (

)

{

2;0 , 2;1 , 2;2 , 1;0 , 1;1 , 1;2 , 0;0 , 0;1 , 1;0

}

A

W = - - - .

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 9.

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =21 79=3.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ
thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các

điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác
suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.

Lời giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gọi A là biến cố ''Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ''. Để xảy ra
biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư
thứ hai và thứ tư.

● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C C2 41 1 cách.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C C3 51 1 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C1 12 4+C C3 51 1=23.

</div>

Bài 7. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

DẠNG 8. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

<sub>(</sub>

( )

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

-(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

<sub>(</sub>

(

<sub>) (</sub>

)

<sub>)</sub>

( )

(

)