Bài 4. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.99 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 3. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN NHĨM – BẢNG ĐẤU

A – NHÓM

Bài 1. Đội thanh niên tình nguyện của trường có 3 học sinh khối lớp 10; 6 học sinh khối
lớp 11 và 6 học sinh khối lớp 12. Nhân ngày thương binh liệt sĩ, nhà trường cần cử ba
nhóm, mỗi nhóm có 5 học sinh đi làm các cơng tác sau: Nhóm 1 đi thăm gia đình mẹ Việt
nam anh hùng, nhóm 2 đi viếng tại nghĩa trang liệt sĩ của Thành phố và nhóm 3 đi thăm
một thầy giáo là thương binh. Tính xác suất để số học sinh của mỗi khối trong các nhóm
bằng nhau.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chia ngẫu nhiên 15 học sinh thành 3 nhóm, mỗi nhóm 5
học sinh.

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C C155. 105. 55=756756.

Gọi A là biến cố ''Số học sinh của mỗi khối trong các nhóm bằng nhau''. Ta mô tả
không gian của biến cố A như sau:

● Đầu tiên chọn 1 học sinh trong số 3 lớp 10; 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp
11 và 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp 12 xếp vào nhóm 1 nên có

1 2 2
3 6 6 675

C C C = cách.

● Tiếp theo chọn 1 học sinh trong số 2 còn lại lớp 10; 2 học sinh trong số 4 học
sinh còn lại lớp 11 và 2 học sinh trong số 4 học sinh còn lại lớp 12 xếp vào

nhóm 2 nên có C C C =1 22 4 42 72 cách.

● Cuối cùng số học sinh còn lại xếp vào nhóm 3 nên có 1 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 675.72 48600= .

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =75675648600 =7007450.

Bài 2. Một đồn cảnh sát có 9 người trong đó có hai trung tá An và Bình. Trong một nhiệm
vụ cần huy động 3 đồng chí thực hiện ở địa điểm A, 2 đồng chí thực hiện ở địa điểm B
và 4 đồng chí cịn lại trực ở đồn. Tính xác suất để phân cơng sao cho hai trung tá An và
Bình khơng ở cùng khu vực làm nhiệm vụ.

Lời giải

Không gian mẫu là cách sắp xếp tùy ý 9 đồng chí vào các vị trí như yêu cầu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C C93. .62 44=1260.

Gọi X là biến cố ''Hai trung tá An và Bình khơng ở cùng khu vực làm nhiệm vụ''.
Để tìm số phần tử của biến cố X , ta đi tìm số phần tử của biến cố X tức là phân công
sao cho hai trung tá An và Bình ở cùng khu vực làm nhiệm vụ, ta có các trường hợp:

● An và Bình ở cùng vị trí A, chọn thêm 1 người trong 7 người cịn lại cho đủ
ở vị trí A có C71 cách; chọn 2 người trong 6 người cịn lại cho vị trí B có C62
cách; 4 người cịn lại trực ở đồn có 1 cách. Do đó trong trường hợp này có

1 2
7. 6

C C cách.

● An và Bình ở cùng vị trí B có 1 cách; chọn 3 người trong 7 người còn lại cho
vị trí A có C73 cách; 4 người cịn lại trực ở đồn có 1 cách. Do đó trong trường
hợp này có C73 cách.

● An và Bình ở cùng vị trí trực ở đồn, chọn thêm 2 người trong 7 người cịn lại
cho đủ ở đồn có C72 cách; chọn 3 người trong 5 người cịn lại cho vị trí A có

3
5

C cách; 2 người cịn lại trực ở vị trí B có 1 cách. Do đó trong trường hợp

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C71. 62+C73+C C72. 53=350.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = W- W =X X 1260 350 910.- =

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =1260 18910 =13.

Bài 3. Một câu lạc bộ gồm 14 người, trong đó có hai bạn An và Bình. Người ta chọn một
tổ gồm 6 người để làm vệ sinh. Tính xác suất để chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa An
và Bình khơng đồng thời có mặt.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên.
● Chọn 1 tổ trưởng có C141 cách.

● Chọn 5 tổ viên có C135 cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C141. 135 =18018.

Gọi A là biến cố ''Chọn được 1 tổ trưởng và 5 tổ viên, với An và Bình khơng đồng
thời có mặt''. Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là
chọn ra 1 tổ trưởng và 5 tổ viên đồng thời An, Bình đều có mặt. Ta xét các trường hợp:

● Nếu An hoặc Bình làm tổ trưởng, khi đó
Có 2 cách chọn tổ trưởng.

Có C124 cách chọn thêm 4 người làm tổ viên.
Do đó trường hợp này có 2.C =124 990 cách chọn.
● Nếu An và Bình khơng làm tổ trưởng, khi đó

Có 1 cách chọn An và Bình làm tổ viên.
Có C121 cách chọn 1 tổ trưởng.

Có C113 cách chọn 3 người nữa làm tổ viên.
Do đó trường hợp này có 1.C C =121. 113 1980 cách chọn.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 990 1980 2970.+ =

Suy ra số phần tử của biến cố A là W = W- W =A A 18018 2970 15048- = .

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =1504818018=7691.

B – BẢNG ĐẤU

Bài 1. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3
bảng A B C, , và mỗi bảng có 3đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng
khác nhau.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C C93. .63 33.

Gọi X là biến cố '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau''.
● Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách.
● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng A B C, , này có C C C62. .42 22 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 3!. . .C C C62 42 22.

Vậy xác suất cần tính

( )

2 2 2
6 4 2
3 3 3
9 6 3

3!. . . 540 9

1680 28
. .

X C C C

P X

C C C

= = = =

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 2. Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham
gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B,
mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên,
tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu.

Lời giải

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C84. 44.

Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu''.

● Bước 1. Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có C21 cách.
● Bước 2. Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng A B, cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có

2 4
6. 4

C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C C21. .62 44.

Vậy xác suất cần tính

( )

1 2 4
2 6 4

4 4
8 4

. . 3

7
.

X C C C

P X

C C

= = =

W .

Bài 3. Trong một trị chơi ''Rung chng vàng'', đội của trường có 20 bạn lọt vào vịng
chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia
các bạn thành 4 nhóm A B C D, , , và mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực
hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chia tùy ý 20 bạn thành 4 nhóm.
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C C C205. 155. 105. .55
Gọi X là biến cố '' 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm''.

● Bước 1. Xếp 5 bạn nữ vào 1 nhóm nên có C41 cách.

● Bước 2. Xếp 15 bạn nam cịn lại vào 3 nhóm cịn lại nên có C C C155. 105. 55 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C C C41. 155. 105. .55

Vậy xác suất cần tính

( )

1 5 5 5 1
4 15 10 5 4
5 5 5 5 5
20 15 10 5 20

. . . 1

3876
. . .

X C C C C C

P X

C C C C C

= = = =

W .

Bài 4. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp 12, tổ 1 có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ
trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Nam. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm
gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Tính xác suất để Hoa và Nam cùng một
nhóm.

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi
nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử

● Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C C42. 82 cách.
● Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C C21. 63.

● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì cịn lại 1 nữ và 3 nam nên
nhóm thứ ba có duy nhất 1 cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C C C42. . .82 12 63=6720.

Gọi A là biến cố ''Hoa và Nam cùng một nhóm''. Ta mơ tả các khả năng thuận lợi
cho biến cố A như sau:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

● Trường hợp thứ hai. Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên
có C72 cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có

2 2
5. 3

C C . Cuối
cùng cịn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ
ba. Do đó trong trường hợp này có C C C =72. .52 32 630 cách.

● Trường hợp thứ ba. Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm.
Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam
và 2 bạn nữ. Trường hợp trùng với trường hợp thứ hai nên ta khơng tính.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 840 630 1470+ = .

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =14706720=327.

Bài 5. Giải bóng đá vơ định Đơng Nam Á có 11 đợi tham gia, trong đó có 2 đợi loại mợt
là Việt Nam và Thái Lan; 3 đội loại hai là Singapore, Malaysia, Indonesia; cịn lại là các
đợi loại ba. Ban tổ chức giải chia làm hai bảng đấu gồm: bảng A có 6 đợi, bảng B có 5
đợi sao cho mỗi bảng đấu có 1 đợi loại mợt, ít nhất 1 đợi loại hai. Tính xác suất để bảng

B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đợi loại hai là Singapore.

Lời giải

Không gian mẫu là chia 11 đội thành 2 bảng đấu thỏa mãn: bảng A có 6 đợi, bảng

B có 5 đợi sao cho mỗi bảng đấu có 1 đợi loại mợt, ít nhất 1 đợi loại hai. Ta xét các khả
năng sau:

● Bảng B gồm 1 đội loại một, 1 đợi loại hai, 3 đợi loại ba.
Do đó có C C C =21. .31 63 120 cách.

● Bảng B gồm11 đội loại một, 2 đội loại hai, 2 đội loại ba.
Do đó có C C C =21. .32 62 90 cách.

● Khi chọn đợi cho bảng B thì bảng A chỉ có 1 cách chọn.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=120 90 210+ = .

Gọi X là biến cố ''Bảng B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đợi loại hai là
Singapore''. Vì bắt buộc bảng B có 5 đội nên 3 đội cịn lại được chọn từ 6 đội loại 3
nên có C =63 20 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 20.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =21020 =212.

Bài 6. Giải bóng đá Đơng Nam Á có 8 đội bóng của 8 quốc gia tham gia dự, trong số đó
có 4 đội: Việt Nam, Lào, Thái Lan và Myanma. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên chia 8
đội thành hai bảng A B, và mỗi bảng có 4 đội để thi đấu vịng loại. Tính xác suất để hai
đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vòng loại, biết rằng Việt Nam và Thái Lan là hai đội
hạt giống nên không cùng thuộc một bảng.

Lời giải

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 đội thành 2 bảng đồng thời thỏa mãn Việt
Nam và Thái Lan nằm ở 2 bảng khác nhau.

● Bước 1. Xếp 2 đội Việt Nam và Thái Lan ở 2 bảng khác nhau, có 2! cách.
● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 2 bảng A B, nên có C C63. 33 cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=2!. . .C C63 33

Gọi X là biến cố '' 2 đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vịng loại''. Do đó 2 đội
Lào và Myanma phải cùng 1 bảng.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

● Bước 3. Xếp 4 đội còn lại vào 2 bảng A B, cho đủ mỗi bảng 4 đội nên có
1 3

4. 3

C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 2!. . . .C C C21 14 33

Vậy xác suất cần tính