Bài tập về khoảng cách trong không gian môn toán lớp 11 của thầy Vũ Văn Tài | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.3 MB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LÝ THUYẾT

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 





d A  AH

( AH vng góc với  tại H ).
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 





d A  AH

( AH vng góc với

 

 tại H ).
Chú ý

Nếu đường thẳng AB cắt

 

 tại M . Gọi A ’ , B ’ lần lượt là hình chiếu của A và B 
trên

 

 thì

 





BA



 



d B d A

BM

  

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Gọi A là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (β), 
khi đó d



   

 , 



d A



 





AH.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

TH1. Nếu a và b chéo nhau và ab.

Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vng góc với b tại B .

Trong (α) dựng BAa tại A , khi đó d a b





AB. ( AB là đoạn vng góc chung của a

và b ).

TH2. Nếu a và b chéo nhau và khơng vng góc với nhau.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nếu (α ) và ( β) là hai mặt phẳng lần lượt chứa a , b và song song với nhau thì







   



d a b d  
BÀI TẬP

1. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có SH là đường cao. Chứng minh SABC và

SBAC

2. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Gọi O là
tâm của hình vng ABCD .

a) Tính chiều cao của hình chóp S . ABCD .

b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC . Chứng minh mặt phẳng (MBD ) vng góc với
mặt phẳng (SAC ) .

c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD ) và ( ABCD).

3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A 60 ,

cạnh

6
2
a
SC 

và SC vng góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh mặt phẳng (SBD ) vuông góc với mặt phẳng (SAC) .

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA tại K . Hãy tính độ dài đoạn IK .
c) Chứng minh BKD  90 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng

(SAD ).

4. Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a .

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD .
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .

5. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên SA tạo với
đáy một góc bằng 60 . Gọi O là giao điểm của AC và BD .

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SB .
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC ) .
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) .

6. Cho tam giác ABC với AB=7 cm , BC=5 cm , CA=8 cm. Trên đường thẳng vng góc
với mặt phẳng ( ABC) tại A lấy điểm O sao cho AO =4 cm. Tính khoảng cách từ
điểm O đến đường thẳng BC .

7. Cho góc vng xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vng. Khoảng cách
từ M đến đỉnh O của góc vuông bằng 23 cm và khoảng cách từ M đến hai cạnh
Ox và Oy đều bằng 17 cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vng.
8. Cho tam giác ABC vuông tại A , có cạnh AB=a nằm trong mặt phẳng (α ) , cạnh

AC a và tạo với (α ) một góc 60 . H là hình chiếu vng góc của C trên (α ). 
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α).

b) Tính góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (α ). 
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACH ).

d) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( ABC).

9. Cho hình chóp S . ACBD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , có cạnh SA a 3 và
vng góc với mặt phẳng ( ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong
các trường hợp sau:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

10. Cho tứ diện OABC có OA ,OB , OC đơi một vng góc với nhau và OA=OB=OC =a .
Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các
trường hợp sau:

a) OA và BC . b) AI và OC .

11. Cho lăng trụ tam giác ABC . A ’ B’ C ’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Các
cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vng góc của đỉnh A trên
mặt phẳng ( A ’ B’ C ’) trùng với trung điểm của cạnh B ’ C ’ .

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC ’ B ’ là hình vng.

---hết---BÀI TẬP BỔ SUNG – ƠN TẬP HKII

1. Cho hình tứ diện ABCD có AB=AC = AD , BAC BAD  60 ,CAD 90 .

 

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .

b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và C D . Chứng minh IJ  AB và IJ CD.

2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 2, SC vuông góc với

CA và CB, SC=2. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC . Tính góc
giữa hai đường thẳng CE và SF .

3. Cho hai mặt phẳng ( P) và (Q) vng góc với nhau. Trên giao tuyến ∆ của (P) và (Q)
lấy hai điểm A và B . Gọi C và D lần lượt là các điểm thuộc mặt phẳng ( P) và

(Q) sao cho ACAB BD, AB và AB=AC=BD . Một mặt phẳng (α) đi qua A và 
vuông góc với CD .

a) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (α ).
b) Tính diện tích thiết diện khi AB=a .

4. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 3 a , cạnh bên bằng 2 a . Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC .

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG .

5. Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABCD) .

b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD ).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC .

6. Cho hình vng ABCD cạnh a và tam giác SAB đều nằm trên hai mặt phẳng vng góc
với nhau.

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD ) .

b) Gọi I là trung điểm của AB , K là trung điểm của AD . Chứng minh rằng hai mặt
phẳng (SCK ) và (SID ) vng góc với nhau.

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD ).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và SD .

7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ’ B’ C ’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a .
Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vng góc của đỉnh A
lên mặt phẳng ( A ’ B’ C ’) trùng với trung điểm của cạnh B ’ C ’ .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

8. Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7 a , có cạnh SC
vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC) và SC=7 a .

a) Tính góc giữa SA và BC .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và SD .

9. Cho hình thoi ABCD tâm O , có cạnh a và có

3
.
3
a
OB 

Trên đường thẳng vng góc
với mặt phẳng ( ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB=a .

a) Chứng minh tam giác SAC vng và SC vng góc với BD .

b) Chứng minh



SAD

 

 SAB

 

, SCB

 

 SCD



c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD .

10. Tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC, , vng góc với nhau từng đôi một và có

, , .

OA a OB b OC c   Gọi , ,   lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng
(OBC),(OCA ), (OAB) với mặt phẳng



ABC



. Chứng minh rằng cos2 cos2cos .2
11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vng ABCD vng tại A và B . Hình

thang có cạnh AD =2 a , AB=BC=a và hình chóp có cạnh SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi C ’ và D’ lần lượt là hình chiếu của đỉnh A trên SC và SD .
12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh SA=a và vng

góc với mặt phẳng ( ABCD) .

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng.

b) Mặt phẳng

 

 vng góc với SC lần lượt cắc SB , SC , SD tại B ’ ,C ’ , D’ . Chứng
minh B ’ D ’ song song với BD và AB ’ vng góc với SB .

c) M là điểm di động trên đoạn BC , gọi K là hình chiếu của S trên DM . Tìm
tập hợp các điểm K khi M di động.

d) Đặt BM =x . Tính độ dài đoạn SK theo a và x . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn
SK .

13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a , góc BAD 60 .

Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABC) và đoạn

4
.
4

a
SO 

Gọi E là trung
điểm của BC , F là trung điểm của BE .

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC ) .
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC ) .

c) Gọi

 

 là mặt phẳng qua AD và vng góc với mặt phẳng (SBC ) . Xác định thiết diện
của hình chóp với

 

 . Tính diện tích này.

d) Tính góc giữa

 

 và ( ABCD) .

14. Cho tam giác đều SAB và hình vng ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vng
góc với nhau. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD và E , F lần lượt là trung
điểm của SA , SB .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD ) và tang của góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD ).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK . Tính khoảng cách từ G đến mặt
phẳng (SCD ).

d) Gọi M là điểm di động trên đoạn SA . Tìm tập hợp những điểm là hình chiếu của S
trên mặt phẳng (CDM ).

15. Hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , các cạnh bên đều bằng a 3.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABCD) .

b) Gọi

 

 là mặt phẳng qua A và vng góc với SC . Hãy xác định thiết diện của hình
chóp với

 

 .

c) Tính diện tích thiết diện nói trên.

d) Gọi  là góc giữa AB và

 

 . Tính sin .

16. Cho hình lập phương ABCD . A ’ B ’ C ’ D ’ cạnh a .

a) Chứng minh BC ’ vng góc với mặt phẳng ( A ’ B’ CD) .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ’ và BC ’ .

17. Cho hình lập phương ABCD . A ’ B ’C ’ D ’ cạnh a . Gọi E , F và M lần lượt là trung
điểm của AD , AB và CC ’ .

a) Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng ( EFM ).
b) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD) và (EFM ).
c) Tính diện tích thiết diện dựng được ở câu a¿.

</div>