Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov

NGÀNH TỐN

Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến
theo phương pháp hàm Lyapunov
Exponential stability of nonlinear differential equations
by the method of Lyapunov function
Nguyễn Thị Huệ
Email:
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 15/01/2019
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 24/3/2019
Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2019

Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov đưa ra điều kiện đủ để hệ phương
trình vi phân phi tuyến ổn định mũ bằng cách xác định tựa hàm Lyapunov. Ngồi ra, trong trường hợp
phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân bằng ổn định, thì chỉ ra được công thức xác định hàm
Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng.
Từ khóa: Phương trình vi phân phi tuyến; phương pháp hàm Lyapunov; điểm cân bằng; ổn định mũ.
Abstract
In this paper, we use the method of Lyapunov function to give sufficient conditions for the nonlinear
differential equations to exponential stabilize the caps by Lyapunov-like function. In addition, in the
case of nonlinear differential equations having a stable equilibrium point, the formula for determining
Lyapunov function in the compact neighborhood of equilibrium is shown.
Keywords: Nonlinear differential equations; the method of Lyapunov function; equilibrium point;
exponentially stable.
1. GIỚI THIỆU
Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý
thuyết các hệ thống kỹ thuật. Để khảo sát sự ổn
định của những quá trình trên người ta thường mơ
hình hóa tốn học các hệ đó, sau đó nghiên cứu

sự ổn định nghiệm của mơ hình tốn học.
Chúng ta đã biết một số phương pháp chính
như: phương pháp xấp xỉ; phương pháp so sánh;
phương pháp Lyapunov thứ nhất, thứ hai. Trong
đó phương pháp thứ hai của Lyapunov là một
công cụ được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên
cứu tính ổn định của hệ thống kỹ thuật.

Lyapunov. Ngồi ra, bài báo nghiên cứu trường
hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân
bằng ổn định, khi đó kết hợp phương pháp CPA
[5]) tìm được cơng thức xác định hàm Lyapunov
trong lân cận compact của điểm cân bằng.
2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU
Một số kí hiệu sử dụng trong bài báo:  n là không
gian vectơ Euclidean n chiều;  + là tập các số
thực không âm; x là chuẩn Euclidean của vectơ
x ∈ n .
Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có dạng

Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến
=
x ( t ) f ( t , x ( t ) ) , t ≥ 0,
(1)
bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov
x ( t0 ) x0 , t0 ≥ 0.
đã được nghiên cứu rộng rãi ([4, 6]). Đã có một =
số tiêu chí ổn định cho các hệ phi tuyến, nhưng
.
có hạn chế là làm giảm các điều kiện ổn định tiệm Ở đây x ( t ) ∈  n , f ( t , x ) :  + ×  n →  n là một

cận hoặc đặt các điều kiện khá chặt cho hàm
hàm phi tuyến thỏa mãn f ( t,0 ) = 0 với mọi t ∈  + .
Lyapunov.
.

Mục đích của bài báo này là thiết lập các điều kiện
đủ cho sự ổn định mũ của một lớp các hệ phi tuyến
bằng cách xây dựng một lớp hàm giống như hàm

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện đặt trên hệ
(1) sao cho sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ
được đảm bảo.

Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh
2. TS. Đào Trọng Quyết

Định nghĩa 2.1. Nghiệm ban đầu của (1) là ổn
định mũ nếu mọi nghiệm x ( t , x 0 ) của (1) thỏa mãn

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 87


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
x ( t ,x 0 ) ≤ β ( x0 , t0 ) e

−δ ( t − t0 )

, ∀t ≥ t0 ,

.

ii. V ( t ,x ) ≤ 0, ∀x ≠ 0.

Ở đây: β ( h, t ) :  + ×  + →  + là hàm không âm,

Định nghĩa 2.4. Điểm x * là điểm cân bằng của

tăng với h ∈  + , và δ là một hằng số dương.

hệ phương trình vi phân phi tuyến x = f ( t , x ) khi

Nếu hàm β (.) trong định nghĩa trên không phụ
thuộc t0 , nghiệm ban đầu được gọi là ổn định tiệm
cận mũ. Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, nếu
nghiệm ban đầu ổn định thì ta nói rằng hệ ổn định.

f t , x * = 0, ∀t ≥ 0.

.

Đặt D ⊂  n là một tập mở chứa gốc và đặt
V ( t , x ) :  + × D →  là một hàm đã cho. Ta định

nghĩa W
=  + × D và

Df+V ( t , x ) = lim+ sup

)

3

Giả sử x * là điểm cân bằng của hệ phương trình
.

vi phân phi tuyến x = f ( t , x ) . Nếu tồn tại hàm
Lyapunov V ( t,x ) thỏa mãn:
i. =
V ( t ,x * ) 0,V ( t ,x ) > 0 khi x ∈ U x * \ { x * }.
.

V ( t + h, x + hf ) − V ( t , x )
h

h →0

(

ii. V ( t ,x ) ≤ 0, ∀x ∈ U x * .
Thì x * được gọi là điểm cân bằng ổn định.

,

Ở đây f (.) là hàm bên vế phải của (1). Df+V được

Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định thì kí hiệu

{

( )

}

gọi là đạo hàm trên Dini của V (.) dọc theo quỹ

A x * := x ∈  | lim sup φ ( t , x ) − x * =0

đạo của (1).

thu hút của x * .

Đặt x ( t ) là một nghiệm của (1) và kí hiệu d +V ( t , x )
là đạo hàm trên - phải của V ( t , x ( t ) ) ,

Định nghĩa 2.5. Một hàm V ( t ,x ) :  + × D → 

d +V ( t , x ( t ) ) = lim+ sup

V ( t + h, x ( t + h ) ) − V ( t , x ( t ) )
h

h →0

gọi là Lipschitz theo x nếu tồn tại số L > 0 , thỏa

được gọi là hàm tựa Lyapunov của (1) nếu V ( t,x )
số dương λ1, λ 2 , λ 3 , K , p, q, r , δ sao cho
λ1 x

p

≤ V ( t, x ) ≤ λ2 x , ∀ ( t, x ) ∈ W ,
q

Df V ( t , x ) ≤ −λ 3 x

mãn với mọi t ∈  + ,

r

+ Ke −δt , ∀t ≥ 0, x ∈ D \ {0}.

(5)

gọi là hàm tựa Lyapunov tổng quát của (1) nếu

Phần tiếp theo, chúng ta giả sử rằng V ( t , x ) là
hàm liên tục theo t và Lipschitz theo x với hệ
số Lipschitz L > 0 . Trong trường hợp này d +V và
df+V có liên hệ:

thỏa mãn

d +V ( t ,x ) ≤ df+V ( t ,x ) .

λ1 ( t ) x

(2)

V ( t,x ) là hàm liên tục theo t ∈  + và Lipschitz

theo x ∈ D , tồn tại các số dương K , p, q, r , δ
≤ V ( t, x ) ≤ λ2 ( t ) x , ∀ ( t, x ) ∈ W ,

(6)

Df+V ( t ,x ) ≤ −λ 3 ( t ) x + Ke −δt , ∀t ≥ 0, x ∈ D \ {0}.

(7)

p

q

r

Khi đó, nếu d V ( t,x ) ≤ 0 và theo (2) suy ra
+
f

d +V ( t,x ) ≤ 0 thì hàm V ( t ,x ( t ) ) là hàm không

tăng theo t, điều đó có nghĩa là V ( t,x ) là không
tăng theo một nghiệm của (1).
Định nghĩa 2.3. Hàm V ( t ,x ) :  + × D →  được
gọi là hàm Lyapunov nếu V ( t,x ) là hàm liên tục
i. V ( t ,x ) ≥ 0, V ( t ,x ) = 0 ⇔ x = 0.

(4)

Định nghĩa 2.6. Một hàm V ( t ,x ) : W →  được

( x1, x2 ) ∈  n ×  n .

theo t ∈  + và x ∈ D và

là miền

là hàm liên tục theo t ∈  + và x ∈ D , tồn tại các

.

Định nghĩa 2.2. Một hàm V ( t , x ) :  + ×  n → 

V ( t , x1 ) − V ( t , x2 ) ≤ L x1 − x2 ,

t →∞

3. KẾT QUẢ CHÍNH
Trong bài báo này, chúng tơi chỉ ra điều kiện đủ
cho hệ phi tuyến ổn định và giới thiệu một phương
pháp chỉ ra phiếm hàm Lyapunov trong trường
hợp hệ có điểm cân bằng ổn định.
3.1. Điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của hệ
phi tuyến
Trước hết, ta có kết quả từ [7] về sự ổn định mũ
của (1), với sự tồn tại một hàm tựa hàm Lyapunov.

88 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019

NGÀNH TOÁN
Định lý 3.1.

Sử dụng (9), ta được

([7]) Giả sử rằng hệ (1) thừa nhận một hàm tựa
Lyapunov khi p= q= r . Hệ (1) là ổn định tiệm cận
mũ nếu

Q ' ( t, x ) ≤ ( K + M γ ) e(

δ>

λ3
.
λ2

Trong hai định lý dưới đây, chúng tơi có điều kiện
đủ cho sự ổn định mũ của hệ (1) với một hàm tựa
Lyapunov tổng quát.

M −δ )( t − t0 )

.

Tích phân từ t0 đến t hai vế của bất đẳng thức,
ta được
t

Q ( t , x ) − Q ( t0 , x ) ≤

∫ (K + M γ ) e

( M −δ )( s − t0 )

ds,

t0

=

(K + M γ )

{

}

1
M −δ t − t
e( )( 0 ) − 1 .
M −δ

Định lý 3.2

Đặt δ1 = − ( M − δ ) , theo (8) ta có δ1 > 0 và

Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu có một hàm tựa
Lyapunov và hai điều kiện sau được thỏa mãn với
mọi ( t , x ) ∈ W :

Q ( t , x ) ≤ Q ( t0 , x ) +

i. δ >

λ3
λ2

r

(8)

,
q

ii. ∃γ > 0, sao cho V ( t , x ) − V ( t , x )

r

q

≤ γe −δt .

(9)

Chứng minh
Xét thời gian ban đầu bất kỳ t0 ≥ 0, và đặt x ( t ) là
một nghiệm của (1) với x ( t0 ) = x0 . Đặt

λ3

=
Q ( t , x ) V=
( t, x ) e ( 0 ) , M
M t −t

λ2

Thế thì
=
Q ' ( t , x ) Df V ( t , x ) e

M ( t − t0 )

r

( −λ (t ) x

r

3

)

+ Ke −δt e

+ MV ( t , x ) e

M ( t − t0 )

M ( t − t0 )

− x

r

V ( x, t ) 
≤ −

 λ2 

r

q

V ( x, t )
λ2

, bất đẳng

{

Q ' ( t, x ) ≤ M V ( t, x ) − V ( t, x )

(10)

p

≤ V ( t, x ( t ) ) ,

V ( t , x ( t ) )  p
≤
 .
λ1



Thay thế V ( t , x ) = Q ( t , x ) / eM ( t −t0 ) vào bất đẳng
thức cuối, ta được
Q ( t , x ( t ) )  p
x ( t ) ≤  M (t −t )  .
0
.λ1 
 e
Kết hợp (10) và (11) ta được

(11)

1

Bây giờ ta có điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của
(1) khi có một tựa hàm Lyapunov tổng quát.

.

}e

Q ( t , x ( t ) ) ≤ β ( x0 ) , ∀t ≥ t0 .

Chú ý rằng, Định lý 3.1 là trường hợp đặc biệt của

Định lý 3.2 khi p= q= r.

λ3
= M, ∀t ≥ 0, ta có
r
λ2 q
q

) > 0, ta có

Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng (1) là ổn định
tiệm cận mũ. Vì vậy, việc chứng minh định lý đã
hoàn thành.



r
λ3
−δt  M ( t − t0 )
+
Q ' ( t , x ) ≤  −V ( t , x ) q
Ke
e
r


λ2 q



r

K + Mγ
.
δ1

K + Mγ
=
β ( x0
δ1

1

Vì thế, ta có

Từ

+

+

p
 β ( x0 )  p − Mp ( t −t0 )
 β ( x0 ) 
≤  M (t −t ) 
x ( t )=
, ∀t ≥ t0 . (12)

 e
0

.λ1 
 e
 λ1 

.

M ( t − t0 )

q

q

, ta có

1

q

+ MV ( t , x ) e

Đặt λ 2 x0

x (t )

M ( t − t0 )

≥

Q ( t , x ( t ) ) ≤ λ 2 x0

q

1

.

.

Theo điều kiện (4) ta có x
thức tương đương

Từ Q=
( t 0 , x0 ) V ( t 0 , x0 ) ≤ λ 2 x0

λ1 x ( t )

+ MV ( t , x ) e

K + Mγ
.
δ1

Mặt khác, từ (4) chứng tỏ rằng

.
q

Thế (5) vào đẳng thức trên, với mọi t ≥ t0 , x ∈ D,
ta có

Q ' ( t, x ) =

≤ Q ( t0 , x ) +

K + M γ K + M γ ( M −δ)( t −t0 )
−
e
δ1
δ1

Định lý 3.3
M ( t − t0 )

+ Ke

( M −δ )( t − t0 )

.

Hệ (1) là ổn định mũ nếu nó thừa nhận một hàm
Lyapunov tổng quát và hai điều kiện sau được
thỏa mãn với mọi ( t , x ) ∈ W ::

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 89


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

i. δ > inf+
t ∈

λ3 ( t )
λ2 (t )

r

(13)

> 0.
q

ii. ∃γ > 0 sao cho V ( t , x ) − V ( t , x ) 

r

q

≤ γe −δt .

(14)

Đặt δ1 = − ( M − δ ) , theo điều kiện (13) ta có δ1 > 0
và
K + M γ K + M γ ( M −δ)( t −t0 )
Q ( t , x ( t ) ) ≤ Q ( t 0 , x0 ) +
−
e
δ1
δ1

M ( t − t0 )
, ở
Chúng ta xét hàm Q ( t , x ( t ) ) = V ( t , x ( t ) ) e

đây M = inf+
t ∈

K + Mγ
.
δ1

≤ Q ( t 0 , x0 ) +

Chứng minh

λ3 ( t )
λ2 (t )

r

Từ Q=
( t 0 , x0 ) V ( t 0 , x0 ) ≤ λ 2 ( t 0 ) x0

Q ( t , x ( t ) ) ≤ λ 2 ( t 0 ) x0

.
q

M ( t − t0 )

+

Đặt

Chúng ta thấy rằng M < δ và
=
Df+Q ( t , x ( t ) ) Df+V ( t , x ( t ) ) e

q

+ MV ( t , x ( t ) ) e

M ( t − t0 )

.

λ 2 ( t 0 ) x0

q

+

ta có

q

K + Mγ
.
δ1

K + Mγ
=
β ( x0 , t0 ) > 0,
δ1

Bằng lập luận được sử dụng trong Định lý 3.2,
chúng tơi dẫn đến thực tế rằng

Ta có

D Q ( t , x ( t ) ) ≤ −λ 3 ( t ) x + Ke

Hơn nữa, từ điều kiện (6), nó chứng tỏ rằng

(

+
f

r

+ MV ( t , x ( t ) ) e

−δt

)e

M ( t − t0 )

M ( t − t0 )

λ1 ( t ) x ( t )

.

Sử dụng điều kiện (6) và từ giả thiết λ 2 ( t ) > 0 với
mọi t ∈  + , ta có

x

q

V ( t, x )

≥

λ2 (t )

,

r

.



λ3 ( t )
r q
−δt  M ( t − t0 )
+

Df+Q ( t , x ) ≤  −V ( t , x ( t ) )
Ke
e
r q


λ 2 ( t ) 


+ MV ( t , x ( t ) ) e

λ 2 ( t ) 
Ta có

r q

M ( t − t0 )

x (t )

V ( t, x ) =

Q ( t, x )

,
M t −t
e ( 0)
Vào bất đẳng thức trên, ta được
1

.

x (t )

≥ M, ∀t ≥ 0, và theo điều kiện (14)

p
 Q ( t , x ) 
.
≤  M (t −t )

0
λ1 ( t0 ) 
 e

(16)

Kết hợp (15) và (16),
1

{

Df+Q ( t , x ) ≤ M V ( t , x ( t ) ) − V ( t , x ( t ) )
+ Ke (
≤ M γe −δt e

r q

}e

1

−M
p

p 
 β ( x0 , t 0 ) 
( t − t0 )
 β ( x0 , t 0 ) 

=
x ( t ) ≤  M (t −t )
ep
.



0
λ1 ( t0 ) 
 λ1 ( t0 ) 

e



(17)

M ( t − t0 )

M −δ )( t − t0 )

M ( t − t0 )

+ Ke −δt e

Liên hệ (17) chứng tỏ rằng hệ (1) ổn định mũ. Định
lý đã được chứng minh.

M ( t − t0 )

( K + M γ ) e −δt eM (t −t )
−δ t − t
M t −t
≤ ( K + M γ ) e ( )e ( ) .
M −δ t − t
Df+Q ( t , x ) ≤ ( K + M γ ) e( )( ) .
=

0

0

Vì vậy,

1

V ( t ,x ( t ) )  p
≤
 .
 λ1 ( t ) 

V ( t ,x ( t ) )  p
x (t ) ≤ 
 .
 λ1 ( t0 ) 
Thay thế

r q

Vì vậy, ta có

Từ

≤ V ( t ,x ( t ) ) ,

1

V ( t , x ) 
≥ −

 λ 2 ( t ) 

λ3 ( t )

p

(15)

Từ λ1 ( t ) không giảm, λ1 ( t ) ≥ λ1 ( t0 ) , ta có

Tương đương

− x

Q ( t , x ( t ) ) ≤ β ( x0 , t0 ) , ∀t ≥ t0 .

Ghi chú: Chú ý rằng trong Định lý 3., chúng ta giả
thiết rằng hàm λ1 ( t ) là hàm không giảm. Trong

0

trường hợp hàm λ1 ( t ) thỏa mãn điều kiện

0

Khi đó
t

Q ( t , x ( t ) ) − Q ( t 0 , x0 ) ≤ ∫ ( K + M γ ) e (

∃a > 0 : a < M, λ1 ( t ) ≥ e − at , ∀t ≥ 0,
M −δ )( s − t0 )

Thì ta có thể thay thế giả thiết hàm không giảm bởi

ds

t0

=

{

(18)

}

1
M −δ t − t
e ( )( 0 ) − 1 .
(K + M γ )
M −δ

điều kiện (18), ở đây M = inf+
t ∈

90 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019

λ3 ( t )
λ 2 ( t ) 

r q

.


NGÀNH TOÁN
Các kết quả trong Định lý 3.2 và Định lý 3.3 đã chỉ
ra điều điện đủ để phương trình phi tuyến là ổn
định. Tuy nhiên, chưa có cơng thức cụ thể để xác

định các tựa hàm Lyapunov.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu
phương pháp để xác định một hàm V giống như
một hàm Lyapunov hoàn chỉnh trên một tập hợp
con nhỏ gọn của không gian trạng thái D chứa
điểm cân bằng ổn định x * .
3.2. Một phương pháp tìm hàm Lyapunov
Phương pháp CPA ([5, 8]): Trước tiên, tính tốn
các xấp xỉ bên ngồi của miền thu hút bằng
phương pháp lý thuyết đồ thị ([5]); tiếp theo là một
tính tốn số tìm một ứng cử viên hàm Lyapunov;
Sau đó, ứng viên được sử dụng để tham số hóa
một hàm Lyapunov liên tục và từng phần (CPA),
trong đó điều kiện giảm theo quỹ đạo nghiệm có
thể được xác minh chính xác bằng cách kiểm tra
một tập hợp bất đẳng thức tuyến tính nhất định.
Xét hệ thống liên tục theo thời gian bởi phương
trình vi phân

x ( t ) = f ( t, x ( t ) )
.

(19)

trong đó:

(

)

f ∈ C 2  d ,  d . Giả sử φ ( t , x ( t ) ) là nghiệm của

pháp CPA: Chia tập D thành tập hợp T các d −
đơn giản ℑ có đầy đủ các tính chất; sau đó tính

gần đúng hàm W ( x ) tại x0 ∈ ℑ bằng cách giải

bài toán giá trị ban đầu x = f ( x ) , x ( 0 ) = x0 và
.

T

tính tích phân

∫ γ ( φ ( t, x ) ) dt.
0

0

Trong bài báo này, chúng tôi xét trường hợp đặc
biệt, khi tập hút chứa các điểm cân bằng ổn định
mũ. Khi đó, áp dụng CPA trong [5] ta xác định
f ( x ) , và sẽ chứng minh rằng hàm
được γ ( x ) =

V (=
x)

T

∫ f ( φ ( t, x ) ) dt

(20)

0

Là hàm Lyapunov trong lân cận K x * ⊂ D của điểm
cân bằng x * ∈ D khi T đủ lớn.
Kết quả của định lý sau chứng tỏ rằng nghiệm
của phương trình (19) ổn định mũ trong lân cận
compact của điểm cân bằng với hàm Lyapunov
có dạng (20).
Bổ đề 3.1
([9]) Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của

( )

phương trình (19).

*
hệ (19) và K x * ⊂ A x là tập compact. Thì tồn tại

Trong [5], đầu tiên tính tốn các xấp xỉ bên ngồi

các hằng số C ≥ 1 và λ > 0 thỏa mãn

Fi của các tập hút địa phương Ωi , i =
1,2,..., N
chứa tập compact D ⊂  d

xác định trước.

Định nghĩa hàm đủ trơn γ : D →  + thỏa mãn
N

γ ( x ) ≥ 0, γ ( x )= 0 ⇔ x ∈ ∪ Fi . Theo Định lý 3.2
i=
([5]), ta có hàm

W ( x ) =:

∫ γ ( φ ( t, x ) ) dt
T

0

Có quỹ đạo đạo hàm không âm trong lân cận của
mỗi Fi .
.

W ( x ) = lim+ sup

W ( φ ( h, x ) ) − W ( x )
h

h →0

.

Ngoài ra, W ( x )= 0, ∀x ∈ Ωi và W ( x ) > 0 trong

lân cận của Fi . Vậy W ( x ) giống như một hàm
Lyapunov theo nghĩa là các thành phần được kết

(

)

φ ( t , x ) − x * ≤ Ce −λt x − x * , ∀x ∈ K x * , t > 0.
Định lý 3.4
Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ

( )

*
(19) và K x * ⊂ A x là tập compact. Thì tồn tại các

hằng số a, b, c, T > 0 thỏa mãn

a x − x* ≤ V ( x ) ≤ b x − x*

(21)

V ' ( x ) ≤ −c x − x *

(22)

Với ∀x ∈ K x * và V ( x ) được xác định bởi (20).
Chứng minh
Theo bổ đề 1 thì tồn tại C ≥ 1 và λ > 0 thỏa mãn

φ ( t , x ) − x * ≤ Ce −λt x − x * , ∀x ∈ K x * , t > 0.

−1
nối của W [0, c ] , là các tập hợp con của D 0 và

Chọn x ∈ K x * ta tính tốn

bao quanh Fi .

V ( x=
)

Rõ ràng W ( x ) có thể được xác định bởi một số
lượng hữu hạn các tính tốn. Trong [5] đã xác định
thuật tốn hữu ích bằng cách kết hợp với phương

T

T .

0

0

∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ ≥ ∫ φ ( τ, x ) d τ

=
φ (T , x ) − x ≥ x − x * − φ (T , x ) − x *

(

(23)

)

=
1 − Ce −λT x − x * .

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 91


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Đặt L > 0 là hằng số Lipchitz của f . Ta có
T

∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ ≤ ∫ L φ ( τ, x ) − x

V ( x=
)

0

*

dτ

0

T

≤ LC x − x * ∫ e −λτ
=
dτ
0

Ngoài ra
.

W ( x ) = lim+ sup

(

(24)

)

LC
1 − Ce −λT x − x * .
λ

a x − x* ≤ V ( x ) ≤ b x − x*

V ( φ ( h, x ) ) − V ( x )

h
T +h
T


1

= lim+ sup  ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ − ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ 
h →0
h h
0

T +h
h


1
= lim+ sup  ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ − ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ  (25)
h →0
h T
0

h →0

= f ( φ (T , x ) ) − f ( x ) ≤ L φ (T , x ) − x * − f ( x )

≤ LCe

( )

F thỏa mãn

( )(

)

2

≤ F x − x * , ∀x ∈ Fx * .

Vì x * ổn định mũ và µ > 0 là bình phương của
giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận xác định dương

( )

( )
f ( x ) ≥ Df ( x )( x − x ) − F

Df x *

T

Df x * ta có
*

*

(

≥ x − x* µ − F x − x*
≥

x−x

)

* 2

(26)

1
µ x − x*
2

*
Với mọi x ∈ K x * cùng với x − x ≤ µ / ( 2F ) . Do

( )
với mọi x ∈ B ( x ) .

*
đó có ε − cầu Bε x quanh x * sao cho (26) đúng
*

ε

*
Đặt α = inf
x∈K

x*

f (x)

( ) x − x*

\ Bε x *

.

*

chứa điểm cân bằng của f ta có α * > 0. Đặt

 µ
=
α min α * ,  , ta có
 2
Và nó chứng tỏ bởi (25) rằng

(

)

V (=
x)

T

∫ f ( φ ( t, x ) ) dt

có thể được xác định bằng

V ( x )=

T

∫

f ( φ ( t , x ) ) dt =

T / ∆t

0

∑ ∆t f ( φ (i ∆t, x ) ) .
i =0

Kết luận
Bài báo đã xét được tính ổn định mũ của hệ phi
tuyến. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chỉ
ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi
tuyến ổn định bằng các tựa hàm Lyapunov.
Ngoài ra, bài báo giới thiệu phương pháp CPA và
sử dụng phương pháp CPA trong trường hợp hệ
phi tuyến có điểm cân bằng ổn định thì chỉ ra được
cơng thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận
compact của điểm cân bằng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương
trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục.

[3]. Nguyen Manh Linh, Vu Ngoc Phat (2001),
Exponential stability of nonlinear time-varying,
Electronic Joural of Differential equations, Vol
2011, No 34.

[4]. Bellman B (1959), Stability Theory of Diferential
Equations, Mac Graw-Hill.

f ( x ) ≥ α x − x * với ∀x ∈ K x *
V ' ( x ) ≤ − α − LCe −λT x − x * .

Chú ý: Khi làm ví dụ cụ thể thì việc xác định hàm

[2]. Bùi Quý Lực (2011), Kỹ thuật điều khiển tự động,
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

( ) là tập compact nhỏ nhất và khơng

Vì K x * \ Bε x

V ' ( x ) ≤ −c x − x * , ∀x ∈ K x * .

phương pháp số

*
Vì f x = 0 và f ∈ C 2 theo định lý Taylor thì tồn
tại lân cận compact Fx * . của điểm x * và hằng số

f ( x ) − f ' x* x − x*

Và

0

x − x * − f (x) .

−λT

ln C
và từ (23)
λ
suy ra tồn tại a > 0, từ T > 0 và (24) suy ra tồn tại
ln (CL \ α )
a, b > 0, từ (27) và T >
suy ra tồn tại
λ
a, c > 0 thỏa mãn

ràng L ≥ α, C ≥ 1 và λ > 0. Từ T >

T

(27)

1
L
Do đó, với T >  ln C + ln  ta có T > 0 bởi vì rõ
λ
α

[5]. J. Bjornsson, P. Giesl, S. Hafstein, C. Kellett and
H. li (2015), Computation of Lyapunov functions for
systems with multiple attractors, Discrete Contin.
Dyn. Syst.Ser. A, 35(9):4019-4039.
[6]. Katko J. and Jaqi P (1990), Stability via the Lyapunov

function with a discontinuous derivative, J. Math.
Anal. Appl., 152 (1990), 299-239.

92 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019


NGÀNH TOÁN
[7]. Sun Y.J, Lien C.H. and Hsieh J.G (1998), Global
exponential stabilization for a class of uncertain
nonlinear systems with control constrain, IEEE
Trans. Aut. Contr., 43(1998), 67-70.

[8]. C. Kellett (2015), Converse Theorems in Lyapunov’s
Second Method, Discrete Contin. Dyn. Syst.
Ser.B,20(8):2333-2360,2015.

THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ
Nguyễn Thị Huệ
- Tóm tắt q trình đào tạo, nghiên cứu:
+ Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh
+ Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường Đại
học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
- Tóm tắt cơng việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết và các ứng dụng của toán trong các ngành
kỹ thuật
- Email:
- Điện thoại: 0977944536

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 93