Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————–
NGUYỄN THỊ THANH
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN BÉ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI - 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban
giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Cừ
cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện
thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh

ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Không gian Banach, không gian Hilbert, không gian L(X,Y) 7
1.2.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Không gian L(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Một số không gian hàm: Không gian R
k
, C
[a,b]
, C
k
[a,b]
. . 11
1.3.1 Không gian R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Không gian C
[a,b]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Không gian C
k
[a,b]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Một số khái niệm về phương trình vi phân thường . . . . 13
1.5. Phương pháp sai phân, phương pháp Euler . . . . . . . . 17
iii
iv
1.5.1 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3 Phương pháp Euler cải biên . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7. Phương pháp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . 27
1.8. Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải một số phương
trình vi phân phi tuyến 30
2.1. Phương pháp tham biến bé liên tục . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Hàm trừu tượng giải tích và chuỗi Taylor . . . . . 30
2.1.2 Phương pháp tham biến bé trong trường hợp đơn
giản nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Phương pháp tham biến bé liên tục . . . . . . . . 34
2.1.4 Ví dụ về phương pháp tham biến bé liên tục . . . 37
2.2. Phương pháp thác triển theo tham số . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Phương pháp thác triển theo tham số . . . . . . . 39
2.2.2 Ví dụ về ứng dụng phương pháp thác triển theo
tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. Phương pháp tham biến bé rời rạc . . . . . . . . . . . . 49

3 Ứng dụng phần mềm Maple để giải số một số phương
trình vi phân phi tuyến 53
v
3.1. Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
C Tập số phức
C
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
C
n
[a;b]
Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến
cấp n trên [a, b]
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
k
Không gian vectơ thực k chiều
L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
Ø Tập hợp rỗng
. Chuẩn

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp tham biến bé là một phương pháp được ứng dụng nhiều
trong giải phương trình. Phương pháp tham biến bé đã được đề xuất
trong công trình của Schauder để giải phương trình đạo hàm riêng elliptic
vào giữa thế kỷ XIX. Sau đó nó được áp dụng trong nhiều công trình
của các nhà toán học Liên Xô vào việc giải phương trình toán tử. Đặc
biệt nó giúp cho việc giải xấp xỉ phương trình toán tử. Với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tham biến bé và ứng dụng vào giải
phương trình vi phân phi tuyến, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình
của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, nên tôi đã chọn nghiên cứu đề
tài: "Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải một số phương
trình vi phân phi tuyến"
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp
thác triển theo tham số và phương pháp tham biến bé rời rạc giải phương
trình toán tử. Luận văn cũng trình bày ứng dụng của phương pháp nói
trên vào giải phương trình tích phân, phương trình vi phân phi tuyến và
giải số trên máy tính bằng phần mềm Maple.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp tham biến bé nêu trên.
- Nghiên cứu phương pháp tham biến bé.
- Nêu ứng dụng của từng phương pháp tham biến bé vào giải một số
phương trình toán tử vi phân phi tuyến cụ thể, phương trình toán tử
tích phân.
- Giải số một số phương trình vi phân cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phương pháp tham biến bé liên tục.
- Phương pháp thác triển theo tham số.

- Phương pháp tham biến bé rời rạc.
- Một số ứng dụng vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến
cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
- Vận dụng một số phương pháp phân tích, tổng hợp, các phương
pháp của Giải tích cổ điển, Phương trình vi phân, Giải tích hàm, Giải
tích số và lập trình cho máy tính.
3
6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham
biến bé rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số.
- Ứng dụng các phương pháp nói trên vào giải phương trình toán tử
vi phân, phương trình toán tử tích phân.
- Lập trình trên Maple để giải một số phương trình vi phân phi tuyến
cụ thể.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co
1.1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X = φ cùng
với một ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i)(∀x, y ∈ X)d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);
ii)(∀x, y ∈ X)d (x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng);
iii)(∀x, y, z ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x, y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề i), ii), iii)
gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là M = (X, d).
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con

bất kỳ X
0
= φ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không
gian metric. Không gian metric M
0
= (X
0
, d) gọi là không gian metric
con của không gian metric đã cho.
4
5
Ví dụ 1.1.1. Với hai điểm bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k
)
thuộc không gian vectơ thực k chiều R
k
(k là số nguyên dương nào đó)
ta đặt:
d (x, y) =





k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
. (1.1.1)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn các tiên đề i), ii) về metric. Dễ
kiểm tra hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta
chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2k số thực a
j
, b
j
(j = 1, 2, ,k) ta có:





k

j=1
a
j

b
j





≤




k

j=1
a
2
j
.




k

j=1
b
2
j
. (1.1.2)

Thật vậy
0 ≤
k

i=1

k

j=1
(a
i
b
j
− a
j
b
i
)
2

=
k

i=1
k

j=1
a
2
i

b
2
j
− 2.
k

i=1
k

j=1
a
i
b
i
a
j
b
j
+
k

i=1
k

j=1
a
2
j
b
2

i
= 2

k

j=1
a
2
j

k

j=1
b
2
j

− 2

k

j=1
a
j
b
j

2
.
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.2).

Với ba vectơ bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k
), z = (z
1
, z
2
, , z
k
)
thuộc R
k
ta có:
d
2
(x, y) =
k

j=1
(x
j

− y
j
)
2
=
k

j=1
[(x
j
− z
j
) + (z
j
− y
j
)]
2
=
k

j=1
(x
j
− z
j
)
2
+2.
k


j=1
(x
j
− z
j
) (z
j
− y
j
)+
k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
6
≤ d
2
(x, y)+2.

k

j=1
(x
j

− z
j
)
2
.

k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
+d
2
(z, y)
= d
2
(x, y) + 2.d (x, z) .d (z, y) + d
2
(z, y)
= [d (x, z) + d (z, y)]
2
⇒ d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).
Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric.
Vì vậy hệ thức (1.1.1) xác định một metric trên không gian R
k
.

Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là R
k
và thường được gọi là
không gian Euclidean, còn metric (1.1.1) gọi là metric Euclidean.
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co
Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn
điều kiện:
d (T x, Ty) ≤ αd (x, y),
với hằng số 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử
x
∗
∈ X sao cho x
∗
= T x
∗
, hơn nữa với x
0
∈ X thì dãy {x
n
}
n∈N
xác định
bởi x
k+1
= T x
k
, ∀k ∈ N, là hội tụ đến x
∗
, đồng thời ta có ước lượng:
d (x

n
, x
∗
) ≤
α
n
1 − α
d (x
1
, x
0
) (1.1.3)
7
1.2. Không gian Banach, không gian Hilbert, không
gian L(X,Y)
1.2.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. ( Không gian định chuẩn) Một không gian định
chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính
X trên trường P (P = R hoặc P = C ) cùng với một ánh xạ X → R,
được gọi là chuẩn và ký hiệu là . thỏa mãn các tiên đề sau:
i)(∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
ii)(∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α|x;
iii)(∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) dãy điểm
{x
n
} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X,
nếu lim

x→∞
x
n
− x = 0. Ký hiệu lim
x→∞
x
n
= x hay x
n
→ x (n → ∞).
Định nghĩa 1.2.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {x
n
} trong không gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.2.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X
được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.2.1. Xét không gian vectơ k- chiều R
k
, với mỗi x ∈ R
k
,
x = (x
1
, x

2
, , x
k
). Đặt x =

k

i=1
|x
i
|
2
.
Khi đó R
k
là không gian Banach.
Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được R
k
là không gian định chuẩn.
8
Lấy {x
n
} là dãy cơ bản trong R
k
, x
n
=

x
(n)

1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

. Ta có
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0 nghĩa là:
(∀ε > 0) (∃M ∈ N
∗
) (∀m, n ≥ M) : x
n
− x
m
 < ε
⇔
k

j=1




x
(n)
j
− x
(m)
j



2
< ε
2
. (1.2.1)
Suy ra (với mỗi j ≤ N ≤ k cố định), (∀ε > 0) (∃M
j
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ M
j
):



x
(n)
j
− x
(m)
j




< ε.
Vậy với mỗi j cố định thì dãy

x
(n)
j

là một dãy cơ bản hội tụ.
Ký hiệu x
j
= lim
n→∞
x
(n)
j
, j = 1, k nghĩa là:
(∀ε > 0) (∀j = 1, 2, , k) (∃M
j
∈ N
∗
) (∀n ≥ M
j
) :



x
(n)

j
− x
j



<
ε
√
k
.
Đặt x = (x
j
)
j=1,k
, ta sẽ chứng minh {x
n
} hội tụ đến x.
Đặt M
0
= max {M
1
, M
2
, , M
k
} thì:




x
(n)
j
− x
j



<
ε
√
k
, j = 1, 2, , k ⇒



x
(n)
j
− x
j



2
<
ε
2
k
⇒

k

j=1



x
(n)
j
− x
j



2
< ε
2
⇒

k

j=1



x
(n)
j
− x
j




2
< ε.
Vậy {x
n
} hội tụ đến x.
1.2.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.5. Cho X là một không gian tuyến tính.
Ánh xạ ψ : X × X → R thỏa mãn các điều kiện:
1) ψ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X;
2) ψ(x, x) = 0 ⇔ x = θ;
9
3) ψ(x, y) = ψ(y, x), ∀x, y ∈ X;
4) ψ (αx
1
+ βx
2
, y) = αψ (x
1
, y) + βψ (x
2
, y) , ∀x
1
, x
2
, y ∈ X và
∀α, β ∈ R,
được gọi là một tích vô hướng trên X, còn ψ(x, y) được gọi là tích vô

hướng của hai phần tử x, y và thường được kí hiệu là (x, y).
Nhận xét 1.1. Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định
một tích vô hướng ( . ), khi đó ánh xạ . : X → R xác định bởi
x =

(x, x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là một
không gian tuyến tính định chuẩn.
Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng.
Từ đó có ánh xạ d : X × X → R xác định bởi
d(x, y) = x − y =

(x − y, x −y)
là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric.
Khoảng cách d vừa xác định được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi
tích vô hướng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng
( . ). Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, d)
trở thành một không gian metric đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng
( . ) được gọi là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2.2. Xét X = R
k
, với x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R
k
,

y = (y
1
, y
2
, , y
k
) ∈ R
k
, đặt (x, y) =
k

i=1
x
i
y
i
. Có thể thấy R
k
cùng với
tích vô hướng được xác định như trên là một không gian Hilbert.
10
1.2.3 Không gian L(X,Y)
Cho hai không gian định chuẩn X, Y . Ta ký hiệu L(X, Y ) là tập tất
cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .
Trong L(X, Y ) ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau:
Ta gọi tổng của hai toán tử A, B là toán tử A + B sao cho
(∀x ∈ X) (A + B) x = Ax + Bx,
và tích của toán tử A với số α là toán tử αA sao cho
(∀x ∈ X) (αA) x = αAx.
Rõ ràng các toán tử A + B và αA cũng tuyến tính và liên tục, tức là

thuộc L(X, Y ), và với các phép toán tuyến tính như trên, L(X, Y ) trở
thành một không gian vectơ.
Hơn nữa, trong L(X, Y ) ta đã định nghĩa chuẩn A của mỗi toán
tử A theo công thức A = sup
x=0
Ax
x
= sup
x=1
Ax. Chuẩn ấy thỏa mãn
đầy đủ các tiên đề về chuẩn, cụ thể là:
1) Nếu A = 0 thì do (∀x ∈ X) Ax ≤ A. x ta có Ax = 0 ∀x,
tức A = 0 (toán tử không). Ngược lại nếu A = 0 thì dĩ nhiên A = 0.
2) αA = |α|. A là do ∀x : αAx = |α|. Ax.
3) A + B ≤ A + B là do
∀x : (A + B)x = Ax + Bx ≤ Ax + Bx.
Như vậy L(X, Y ) là một không gian định chuẩn.
Cũng như trong mọi không gian định chuẩn, trong L(X, Y ) ta có thể
nói đến sự hội tụ: một dãy toán tử A
n
∈ L (X, Y ) hội tụ tới toán tử
A ∈ L (X, Y ) nếu A
n
− A → 0. Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ theo
11
chuẩn, để phân biệt sự hội tụ từng điểm, định nghĩa như sau: một dãy
toán tử A
n
hội tụ từng điểm đến A nếu (∀x ∈ X)A
n

x → Ax (nghĩa là
A
n
x − Ax → 0 ).
Rõ ràng sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ từng điểm vì
A
n
x − Ax ≤ A
n
− A. x. Nhưng ngược lại không đúng.
Định lý 1.2.1. Nếu A, B ∈ L(X, Y ), A
−1
liên tục và có bất đẳng thức


(B −A) A
−1


< 1,
thì tồn tại B
−1
liên tục và các đánh giá


B
−1


≤



A
−1


1 − (B −A) A
−1

,


B
−1
− A
−1


≤


A
−1




(B −A) A
−1



1 − (B −A) A
−1

.
1.3. Một số không gian hàm: Không gian R
k
, C
[a,b]
,
C
k
[a,b]
1.3.1 Không gian R
k
Giả sử R là kí hiệu của trường các số thực. Với mỗi số nguyên không
âm k, không gian của các bộ k số thực tạo thành một không gian vectơ
k chiều trên R, kí hiệu là R
k
được viết là:
x = (x
1
, x
2
, , x
k
)
trong đó mỗi x
i
là một số thực. Các phép toán của không gian vectơ

trên R
n
được định nghĩa bởi:
12
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
k
+ y
k
)
αx = (αx
1
, αx
2
, , αx
k
)
Ví dụ 1.3.1. Không gian R
2
với x = (x
1
, x
2

)
Không gian R
3
với x = (x
1
, x
2
, x
3
)
1.3.2 Không gian C
[a,b]
Cho −∞ < a < b < +∞. Khi đó, không gian X = C
[a,b]
là không gian
các hàm x = x(t) xác định và liên tục trên [a, b]. X = C
[a,b]
là không
gian Banach thực với chuẩn x = max
a≤t≤b
|x (t)|.
Sự hội tụ x
n
→ x khi n → ∞ trong X tương đương với sự hội tụ
x
n
− x = max
a≤t≤b
|x
n

(t) − x (t)| → 0 khi n → ∞.
Nghĩa là dãy (x
n
), n = 1, 2, các hàm số liên tục x
n
: [a, b] → R liên tục
đều trên đoạn [a, b] đến hàm số liên tục x : [a, b] → R, n = 1, 2,
1.3.3 Không gian C
k
[a,b]
Cho −∞ < a < b < +∞. Khi đó, không gian X = C
k
[a,b]
(k ∈ N
∗
) là
không gian các hàm x = x(t) xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp
k trên [a, b]. X = C
k
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
x =
k

i=0
max
a≤t≤b


x

(i)
(t)


.
13
1.4. Một số khái niệm về phương trình vi phân
thường
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa
hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn hàm) và đạo hàm của hàm
số đó:
F

x, y(x), y

(x), , y
(n)
(x)

= 0. (1.4.1)
Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong
phương trình. Xét phương trình vi phân cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất
y
(n)
biểu diễn dưới dạng:
y
(n)
= f

x, y, y


, , y
(n−1)

. (1.4.2)
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.4.2) là tìm hàm y = y(x) thỏa
mãn phương trình (1.4.2) và điều kiện ban đầu
y (x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y

0
, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)
0
, (1.4.3)
trong đó x
0
, y
0

, y

0
, , y
(n−1)
0
là những số cho trước.
Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường

















dy
1
dx
= f
1

(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, , y

n
)
(1.4.4)
là tìm các hàm y
1
, y
2
, , y
n
thỏa mãn hệ phương trình (1.4.4) và thỏa
mãn điều kiện ban đầu
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
, , y
n
(x
0
) = y
n0
, (1.4.5)

14
trong đó y
10
, y
20
, , y
n0
là những số đã biết. Phương trình (1.4.2) có thể
đưa về hệ n phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt
y
1
= y

, y
2
= y

, , y
n−1
= y
(n−1)
,
khi đó phương trình (1.4.2) có dạng


























dy
dx
= y
1
dy
1
dx
= y
2

dy
n−2

dx
= y
n−1
dy
n−1
dx
= f (x, y
1
, y
2
, , y
n−1
) .
(1.4.6)
Điều kiện ban đầu (1.4.3) được viết dưới dạng (1.4.5).
Hàm số y = ϕ (x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.2) nếu thay
y = ϕ (x) , y

= ϕ

(x) , , y
(n)
= ϕ
(n)
(x) vào (1.4.2) thì ta được đồng
nhất thức.
Hàm số y = ϕ (x, c) (c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được
gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.2) nếu: ∀(x, y) ∈ D (D là
miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra đối với c, c = ψ (x, y).
Hàm y = ϕ (x, c) thỏa mãn (1.4.2) khi (x, y) chạy khắp D, ∀c ∈ R.

Người ta chia các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường
thành hai nhóm sau:
1) Các phương pháp giải tích – Đó là các phương pháp tìm nghiệm
dưới dạng biểu thức giải tích.
2) Các phương pháp số - Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới
dạng bảng.
Chẳng hạn: phương pháp xấp xỉ liên tiếp
15
Xét bài toán Cauchy
y

= f (x, y) , y (x
0
) = y
0
. (1.4.7)
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy hàm y
n
(x)
theo công thức
y
n
(x) = y
0
+
x

x
0
f (x, y

n−1
(x)) dx, y
0
(x) = y
0
, (1.4.8)
và nghiệm của (1.4.7) là giới hạn của dãy hàm y
n
(x).
Trong lý thuyết phương trình vi phân thường đã chứng minh rằng:
Nếu hàm f(x, y) thỏa mãn điều kiện Lípschitz theo biến y,
|f (x, y
1
) − f (x, y
2
)| ≤ N |y
1
− y
2
|, N = const, (1.4.9)
trong hình chữ nhật D, D =

(x, y) ∈ R
2
| |x − x
0
| ≤ a, |y −y
0
| ≤ b


,
thì dãy hàm (y
n
(x)) hội tụ đều tới nghiệm y(x) của phương trình (1.4.7)
trên đoạn [x, x + h], h > 0 là một số dương nào đó và hàm y
0
(x) tùy ý
cho trước.
Sai số giữa y
n
(x) và y(x) được đánh giá bởi công thức sau
ε
n
= |y
n
(x) − y (x)| ≤ M N
n
(x − x
0
)
n+1
(n + 1)!
, (1.4.10)
trong đó M = max
(x,y)∈D
|f (x, y)|, h = min

a,
b
M


.
Ví dụ 1.4.1. Tìm nghiệm xấp xỉ thứ ba liên tiếp của bài toán sau bằng
phương pháp xấp xỉ liên tiếp y

=
√
x + y
2
, y (0) = 0.
Lời giải. Nghiệm xấp xỉ của bài toán trên được xây dựng như sau:
y
n
(x) =
x

0

x
1
2
+ y
2
n−1

dx, n = 1, 2,
16
Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ đầu tiên
y
0

(x) ≡ 0, ta có:
y
1
(x) =
x

0

x
1
2
+ y
2
0
(x)

dx =
x

0
x
1
2
dx =
2
3
x
3
2
y

2
(x) =
x

0

x
1
2
+ y
2
1
(x)

dx =
x

0

x
1
2
+

2
3
x
3
2


2

dx =
=
x

0

x
1
2
+
4
9
x
3

dx =
2
3
x
3
2
+
1
9
x
4
y
3

(x) =
x

0

x
1
2
+ y
2
2
(x)

dx =
x

0

x
1
2
+

2
3
x
3
2
+
1

9
x
4

2

dx =
=
x

0

x
1
2
+
4
9
x
3
+
4
27
x
11
2
+
1
81
x

8

dx =
=
2
3
x
3
2
+
1
9
x
4
+
8
351
x
13
2
+
1
729
x
9
.
Ta ước lượng sai số của y
3
(x)
Lấy a = 1, b = 0, 5. Khi đó D =


(x, y) ∈ R
2
||x| ≤ 1, |y| ≤ 0, 5

.
M = max
(x,y)∈D
|f (x, y)| = max
(x,y)∈D




x
1
/
2
+ y
2




= 1, 25,
N = max
(x,y)∈D


f


y
(x, y)


= max
(x,y)∈D
|2y| = 1,
h = min

a,
b
M

= min

1,
0, 5
1, 25

= 0, 4.
Do vậy trên đoạn [0; 0, 4] ta có
ε
3
= |y
3
(x) − y (x)| ≤ M N
n
(x − x
0

)
3+1
(3 + 1)!
= 1, 25.1
3
x
4
4!
=
5
96
x
4
,
Từ đó max |y
3
(x) − y (x)| ≤
5
96
(0, 4)
4
≈ 0, 00133.
17
1.5. Phương pháp sai phân, phương pháp Euler
1.5.1 Phương pháp sai phân
Xét bài toán:



L[y] ≡ y


− q(x)y = f(x),
y(a) = y
a
, y(b) = y
b
.
(1.5.1)
Giả sử có đủ điều kiện để bài toán (1.5.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.
Giả sử các hàm f(x) liên tục trên [a, b] và q(x) ≥ 0. Chia [a, b] thành n
phần bằng nhau bởi các điểm chia.
x
i
= a + hi, i = 0, 1, 2, , n; h =
b − a
n
.
Ta có:
y

(x
i
) =
y(x
i+1
) − 2y(x
i
) + y(x
i−1
)

h
2
+ r
i
.
Nếu y
(4)
(x) tồn tại và liên tục trên [a, b] thì
|r
i
| ≤ r =
h
2
M
12
, M = max
a≤x≤b


y
(4)
(x)


.
Khi đó bài toán (1.5.1) tương đương với






y(x
i+1
) − 2y(x
i
) + y(x
i−1
)
h
2
+ r
i
− q(x
i
)y(x
i
) = f(x
i
); i = 1, 2, , n − 1
y(x
0
) = y
a
, y(x
n
) = y
b
(1.5.2)
Trong hệ (1.5.2) chúng ta bỏ r
i

thì nhận được lược đồ sai phân hữu hạn:





L
n
y
i
=
y
i+1
− 2y
i
+ y
i−1
h
2
− q(x
i
)y(x
i
) = f(x
i
); i = 1, 2, , n − 1
y
0
= y
a

, y
n
= y
b
(1.5.3)
Giải hệ phương trình tuyến tính (1.5.3) ta được các y
i
đó là giá trị gần
đúng của nghiệm bài toán (1.5.1) tại các điểm x
0
, x
1
, , x
n
.
18
Sai số nhận được sẽ là:
Max
a≤i≤b
|y(x
i
) − y
i
| ≤
M(b − a)
2
96
h
2
.

Ví dụ 1.5.1. Giải gần đúng phương trình sau bằng phương pháp sai phân:
y

(x) + (x − 1) y

(x) − 2y (x) = −4x, 0 ≤ x ≤ 1,
với các điều kiện biên sau



4y (0) − y

(0) = 2
y (1) = 3.
Sử dụng công thức
y

i
(x) =
y
i+1
− y
i−1
2h
; y

i
(x) =
y
i+1

− 2y
i
+ y
i−1
h
2
và thay vào phương trình trên ta được











y
i+1
− 2y
i
+ y
i−1
h
2
+ (x
i
− 1)
y

i+1
− y
i−1
2h
− 2y
i
= −4x
i
4y (0) − y

(0) = 2
y (1) = 3.
Sau khi biến đổi ta được
[h (x
i
− 1) + 2] y
i+1
− 4y
i

1 + h
2

+ [2 − h (x
i
− 1)] y
i−1
= −8x
i
h

2
. (*)
Chọn bước h = 0.2. Khi đó có bốn nút bên trong
x
i
= 0.2i; i = 1, 2, 3, 4.
Ta viết phương trình sai phân (∗) theo các nút là