Đề và đáp án HSG 9

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút
-----------------------------------------------
Câu 1:
Tính giá trị biểu thức:
( )
2007
23
283
++=
xxA
Với
( )
25
56145
38517
3
+
+

=
x
Câu 2:
Cho hàm số y = mx
2
+ (m + 3)x + 1 6m (1)
Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ xOy, đồ thị của hàm số (1) đã cho luôn
luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Câu 3:
Chứng minh bất đẳng thức:

1
12007.3
1
2007.3
1
32007
1
22007
1
12007
1
>
+
+++
+
+
+
+
+
Câu 4:
Gọi hai nghiệm x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
x
2 +
(m
2
+5)x

1 = 0 với
m Z

a. Tính tổng
6
2
6
1
xx
+
theo m
b. Tìm các giá trị của m để sao cho
6
2
6
1
xx
+
chia hết cho 3.
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA
tại E. Tia Cx vuông gốc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
1. Chứng minh rằng :
a.
BCMACE
=
và
EAC

MBC

.
b. Khi điểm N chạy trên cạnh AB nhng không trùng với A,B thì trung điểm M
của đoạn EF luôn chạy trên một đờng thẳng cố định.
2. Xác định vị trí của N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần
diện tích hình vuông ABCD.
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
đề I
Câu 1:
Biến đổi tử số:
( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2
2
17 5 38 5 2
17 5 38 17 5 38
17 5 38 1
+
= +
= =
Biến đổi mẫu số:
( )
3535
535
56145

2
=+=
+=

Vậy
3
1
thay vào biểu thức A ta có:
2007
2007
22
2007
23
32
3
8
3
1
2
3
1
.8
3
1
.3
=

++=








+






+






=
A
Vậy A=3
2007
Gọi A (x

0
; y
0
) là điểm nào đó mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua mọi giá trị của m.
Vậy x
0
; y
0
phải thoả mãn với mọi m:
( )
(*)13)6(:
613
000
2
0
0
2
00
=+
+++=
xymxxHay
mxmmxy
Phơng trình (*) đúng với mọi m nên phải có :
)2(013
)1(06
00
0
2
0
=

=+
xy
xx
Phơng trình (1) có 2 nghiệm x
0
=2 ; x
0
=-3
Thay x
0
= 2 vào (2) ta có y
0
=7; thay x
0
=-3 vào (2) ta có y
0
= -8
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn đi qua hai điểm
A(2;7) và B(-3;-8)
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:
1
12007.3
1
2007.3
1
32007
1
22007
1
12007

1
>
+
+++
+
+
+
+
+
Đặt n=2007 ta cần chứng minh:

1.3
1
.3
1
3
1
2
1
1
1
+
+++
+
+
+
+
+
=
nnnnn

P
(1)
Viết :
1
1
2
1
3
1
13
1
+
+
+
+++
+
=
nnnn
P
(2)
Cộng (1) với (2) đợc
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
)3(
113
1
23
1
...

3.2
1
131
1
122
113
24
23
24
...
3.2
24
131
24
1
1
13
1
2
1
3
1
...
3
1
2
1
13
1
1

1
2






++
+
+
++
+
+
++
+=
++
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
=

+
+
+
+






+
+++






+
+
+

+
+
+
=
nnnnnnnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nnnnnnnn
P
Mỗi mẫu số trong các số hạng của(3) có dạng:
(n + k)(3n k + 2)=(2n + 1)
2
- (n k + 1)
2
< (2n + 1)
2
với 1 k 2n + 1
Tổng của (3) có 2n + 1 số hạng nên
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,75 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

( )
12
12
12
).12(22
2
>=
+
+
+>
PraSuy
n
n
nP
Câu 4
Đặt a=m
2
+ 5, ta có phơng trình:
x
2
+ ax 1 = 0 với a

Z. theo định lý Vi ét : x
1
+ x
2
=-a, với a

Z và x
1
.x
2
=-1
Biến đổi
( ) ( ) ( )( )
)1(
4
221
4
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
6

2
6
1
xxxxxxxxxx
++=+=+
từ
( )
22
2
21
2
21
2
2
2
1
+=+=+
axxxxxx

và
( ) ( )
323
2
22
1
2
1
2
2
2

2
1
4
221
4
1
+=+=+
axxxxxxxx
Thay vào (1) đợc:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
6 6 2 2 2 2
1 2
2 2 3 2 3 2 (2)x x a a a a

+ = + + = + +


a. Thay a = m
2
+ 5 vào (2) ta đợc:

( ) ( )
3
2 2
6 6 2 2
1 2
5 2 3 5 2x x m m

+ = + + + +

b. Từ (2)ta có:
( )
)3(323
3
26
2
6
1

++
axx
Ta chứng minh rằng:
33
3
bb


đặt b = 3t + r với r = 0,1,2 thì b
3
= 27t
3
+ 27t
2
r + 9tr
2
+ r
3
nghĩa là

tbrb 303
3
==


vậy (3) xẫy ra khi
313312
222

+=+
aaa
hay
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
5 1 3 6 4 3 1 3m m m m m+ + + +
(4)
đặt m = 3t + rvới r= 0,1,2 thì (4) xẫy ra

m = 3t
Vậy
6 6
1 2
3 3x x m
+

Câu 5:
1.Hai điểm A và C cùng nhìn EF dới 1 góc vuông nên A,C dều nằm trên đờng tròn
tâm M, đờng kính EF.
Từ đó

0
45
==
FACFEC
và các góc
CFMMCFECM

,,
đều bằng 45
0
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Suy ra: CE = CF từ đó
BCMECBACE
==
0
45

Hơn nữa
raSuyMBCEAC .135
0

==
EAC


MBC
2. Đặt BN = x với 0 < x < a thì AN=a x

0 từ đó
AEN


BCN

suy ra:
( )
a
x
a
x
xaa
AE
BN
AN
BC
AE
=

==
2
(1)

Từ CD = CB, CE = CF và
BCFBCMACEDCE
==+=
00
4545

Suy ra
CBFCDE
=
do đó BF = DE = DA + AE =
x
a
a
x
a
a
22
=+
(2)
Ta có AF = AB + BF =
x
a
a
2
+
(3)
Từ (1), (2), (3) tính đợc : S
ACFE

= S

CBF
+ S
ACB
+ S
FAE
=ẵ(a
2
+ AE.AF +CB.BF)
=
2
34322
2
22
1
x
xaa
x
a
a
x
a
a
x
a
a
+
=

+








+








+

Để S
ACFE
= 3S
ABCD
cần giải phơng trình
2
2

34
3
2
a
x
xaa
=
+
hay 6a
2
x
2
- a
3
x a
4
= 0 <=> 6x
2
- ax a
2
= 0
Giải phơng trình này đợc :
3
;
2
21
a
x
a
x

==
(loại)
vậy
2
a
BN
=
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm