Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chuyên đề:

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. MỘT SỐ DẠNG TỐN

Nội dung các dạng tốn xoay quanh bài tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả
thiết bài toán cho bởi đồ thị hàm liên quan.

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích.

Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.
Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính tốn đơn giản.
Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

II. BÀI TẬP MINH HỌA

1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích.

Câu 1: (Đề THPT QG 2019)Cho hàm số y f x

 

liên tục trên _{ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn}_.
bởi các đường y  f x y

 

, 0,x   và 1 x  (như hình vẽ bên). 5

y=f(x)

y

x

O

1

5

-1

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

1 5

1 1

( )d ( )d

S f x x f x x



 







. B.

1 5

1 1

( )d ( )d

S f x x f x x











.

C.

1 5

1 1

( )d ( )d

S f x x f x x











. D.

1 5

1 1

( )d ( )d

S f x x f x x



 







.

Lời giải
Chọn C

Ta có

 

 

 

1 5 1 5

1 1 1 1

( ) d d d d

S f x x f x x f x x f x x

 

















.

Câu 2: Cho đồ thị hàm số _y __{f x}_{( )} trên  _{ }_{  như hình vẽ.}_0;8

(S2)

(S1) _(S

3)

y

x

O 3 5 8

3

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất?
A.

1
0

( )

f x dx



. B.

3
0

( )
f x dx



. C.

5
0

( )
f x dx



. D.

8
0

( )
f x dx



.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Dễ thấy S₃ S₂. Mà

3 5 8

1 2 3

0 3 5

( ), ( ), ( )

S 



f x S  



f x S 



f x , nên
8

1 2 3

0
( )

f x dx S  S S



lớn

nhất.

Câu 3: Cho hàm số _y __{f x}

 

liên tục trên _{ có đồ thị tạo với trục hồnh các miền có diện tích}_{S S S S}₁_{, , ,}₂ ₃ ₄
như hình vẽ. Biết ₁ ₄ 2; ₂ ₃ 13

3 384

S S  S S  , tích phân

 

1
1

2 2x x

I f dx







bằng

y=f(x)

S

2

S

3

S

4

S

1

2

1

₁

₂

-1

y

x

O

A. 2 .

3ln2

I   B. 47 .

64

I  C. 2 .

3

I  D. 81 .

128 ln2
I  

Lời giải
Chọn D

Đặt ₂ _{2 ln2}

ln2

x x dt

t  dt dx dx  _t

Đổi cận: 1 1

2

x     ; t x    1 t 2

 

 

 

 





1 2 1 2

3 4

1 1/2 1/2 1

1 1 1 81

2 2x x _ln2 _ln2 _ln2 _128ln2

I f dx f t dt f t dt f t dt S S



 _

 _



   _  __   

 









.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2
y

x
O

-1

A.

2

4 2

1

1 3 _{4 d}

2x x 2x x



 _

_ _{ } _ _

 _

 

 



. B.

2

4 2

1

1 3 _{1 d}

2x x 2x x



 _

_ _{ } _ _

 _

 

 



.

C.

2

4 2

1

1 3 _{1 d}

2x x 2x x



 _

 _{ } _ _

 _

 

 



. D.

2

4 2

1

1 3 _{4 d}

2x x 2x x



 _

_ _{ } _ _

 _

 

 



.

Lời giải
Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm

số:

 

3 3

2 2

y  f x  x ;

 

1 4 2 5

2 2

y g x  x  x và hai đường thẳng x  1;x  . 2

Ngoài ra ta thấy đường _y __{f x}

 

nằm trên đường _{y g x}_

 

trên đoạn ____1;2__nên ta có diện tích
phần gạch chéo trên hình vẽ là:

2

4 2

1

3 3 1 _{5 d}

2 2 2 2

S x x x x



_  _ _ _

 _ _

 ___  __ __   ___

   

 

 



2 4 2

1

1 3 _{1 d}

2x x 2x x



 _

 _

 __    __




.

Câu 5: Cho hình phẳng

 

_{H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số}_y _ _{f x}₁

 

và _y __{f x}₂

 

liên tục trên đoạn
;

a b
 
 

  và hai đường thẳng x a , x b (tham khảo hình vẽ dưới). Cơng thức tính diện tích của hình

 

H là

y=f2(x)

y=f1(x)

c2

c1 b

a
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A. ₁

   

₂ d

b
a

S 



f x f x x. B.



₁

   

₂



d

b
a

S 



f x f x x.

C. ₁

   

₂ d

b
a

S 



f x f x x. D. ₂

 

d ₁

 

d

b b

a a

S 



f x x 



f x x.
Lời giải

Chọn A

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng.

Câu 6: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên đoạn __3;3__{ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện}
tích hình phẳng S S giới hạn bởi đồ thị hàm số ₁; ₂ y  f x

 

và đường thẳng d lần lượt là ;a b . Tính tích

phân

 

1
1

3
f x dx




.

-1

S2

S1

d
y=f(x)

3
1

2

-4
-2

-3

y

x
O

A. 2.

3 3
a b

   B. 2.

3 3

a b_{ } _C. _2.

3 3
a b

   D. 2.

3 3
a b_{ }
Lời giải

Chọn A

Đặt ₃ ₃ 1

3
t x  dt dx dx  dt

 

 

 

1 3 3

1 3 3

1 1

3 ₃ ₃

f x dx f t dt f x dx

  

 







</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

   

 

 

1 1 1

3 3 3

g x f x dx a g x dx f x dx a

  

 _  _{ } _ _

 

 







 

 

1 1

3 3

1_2.2 1_2.2

2 2 _ f x dx a _ f x dx a

  



 



 

   

 

 

3 3 3

1 1 1

1_.4.4 1_.2.2 ₆

2 2

f x g x dx b f x dx   b f x dx b

 _  _{ } __ _ ___{ } _{ }

  

  _ _







Do đó

 

 

 

 





1 3 1 3

1 3 3 1

1 1 1

3 6 2.

3 3 3 a b3 3

f x dx f x dx f x dx f x dx a b

  

 

 

  _  _       

 

 









Câu 7: Cho hàm số _y _ _{f x}_{( )} liên tục trên  và có đồ thị

 

C là đường cong như hình bên. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

C , trục hoành và hai đường thẳng x 0,x  (phần tô màu) là 2

2
1
3
y

x
O

A.

1 2

0 1

( )d ( )d

S  



f x x



f x x. B.

1 2

0 1

( )d ( )d

S 



f x x



f x x.
C.

2
0

( )d

S 



f x x . D.

2
0

( )d
S 



f x x.
Lời giải

Chọn B

Diện tích S của hình phẳng cần tìm là:

 

2
0

d
S 



f x x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Do đó

 

 

1 2

0 1

d d

S 



f x x 



f x x.

Dựa vào đồ thị ta thấyf x

 

    0, x  _{  và}0;1 f x

 

    0, x  _{  .}1;2

Vậy

 

 

1 2

0 1

d d

S 



f x x



f x x.

Câu 8: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên  _{ }_{  , có đồ thị như hình vẽ sau:}a b;

b
a

y

x

N M

P
B
A

O

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

 

_d

b
a

f x x



là diện tích hình thang ABMN. B.

 

_d

b
a

f x x



là dộ dài đoạn BP .
C.

 

d

b
a

f x x



là dộ dài đoạn MN. D.

 

d

b
a

f x x



là dộ dài đoạn cong AB .
Lời giải

Chọn B

 

d

 

   

b _b

a
a

f x x f x  f b f a BM PM BP 



.

Câu 9: Cho hàm số y  f x

 

liên tục trên _{ và hàm số}y g x

 

x f x

 

2
có đồ thị trên đoạn  _{ }_{  như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tơ màu là}_0;2

5
2

S  . Tính tích phân 4

 

1

d
I 



f x x
A. 5

4

I  B. 5

2
I 

C. _{I }₁₀ D. _{I }₅

Lời giải
Chọn D

Quan sát đồ thị ta thấy _{g x}

 

_{    }_0, _{x  }_{  .}_1;2

S
y=g(x)

2
1

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S
y=g(x)

2
1

y

x
O

Từ giả thiết ta có

 

2
1

5

d ₂

S I 



g x x  2

 

2

 

2

1 1

5

d d ₂

g x x x f x x











Đặt _x2 __t __{2 d}_{x x} __d_t_{. Khi}_x _{  }₁ _t ₁_{, khi}_x _{  }₂ _t ₄

 

 

2 4

2

1 1

1 5

d d

2 2

x f x x f t t









 4

 

1

d 5

f t t





 4

 

1

d 5

f x x I





 

Câu 10: Cho hàm số y  f x

 

xác định và liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ được
giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x

 

và trục hoành đồng thời có diện tích S a . Biết rằng



  

1
2
0

2 1 2

2
b
x f x dx 



và f

 

3  . Tính c

 

1
0

.
f x dx



3
1

y

x
O

y=f'(x)

A. _{a b c}_{ }_. B. _{a b c}_{ }_. C. _{  }_{a b c}_. D. _{  }_{a b c}_.
Lời giải

Chọn A

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C



  

   

   



  

1

1 1 1

2

0 0 0 0

1

2 1 ' 2 1 1 1

2 2
b

x f x dx   t f t dt  t f t dt b   x  f x dx b 









Đặt

 

1

 

u x du dx

dv f x dx v f x

 

    

 

 _

 _ 

   

 

 

 



  



  

 

 

   

1 ₁ 1 1

0

0 0 0

1 1 2 1 0

x f x dx b   x f x  f x dx  f x dx  f f b







Ta lại có

 

 

       

   

1 3

0 1

1 0 1 3 2 1 0

a 



f x dx 



f x dx  a f f f f  f f  a c

Do đó

 

   

1
0

2 1 0 .

f x dx  f f    b a b c



Câu 11: Cho hàm số y  f x

 

có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f x'

 

như hình bên dưới.

Biết diện tích hình phẳng

 

H bằng 8

3 và f

 

 1 1912; 2f

 

  . Tính 23

 

0

1
2

' 2

I f x dx







.

A. 5 .
24

I  B. 8 .

13

I  C. 4 .

13

I  D. 4 .

26

I 

(H)
(K)

2

-1

y

x

O

y=f'(x)

Lời giải
Chọn A

 

 

 

0 0 0

2
2

1 1 1

2

1 1

' 2 ' '

2 2

t x
dt dx

I f x dx  I f t dt f x dx



 







 







Ta có

 

 

 

   

 

2 0 2 0

1 1 0 1

8

' ' ' 2 1 '

3

f x dx f x dx f x dx f f f x dx

  

      

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

 

0
1

2 19 _' 8

3 12 _ f x dx 3

   





 

0
1

5

' ₁₂

f x dx






 .

Do đó

 

0

1

1 _' 5 _.

2 24

I f x dx









Câu 12: Cho hàm số _y _ _{f x}

 

xác định và liên tục trên _{ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình}
phẳng

     

_{A B C giới hạn bởi đồ thị hàm số}_, _, _{f x và trục hoành lần lượt bằng 124 37 53}

 

; ;

15 60 60. Tích phân







  





3 2

1

15 2f x 4 3x 5 dx bằng

y=f(x)

(C)

(B)

(A)
y

x

O 1 2

-2

A. _{28 .} B. 437

4 . C. 293 . D. 15815

Lời giải
Chọn A

Tính







 











  





3 3 3

2 2

1 1 1

15

15 2f x 4 3x 5 dx ₂ f x(2 4) (2d x 4) (3x 5)dx

 







2 

2

15 ₃₆

2 f x dx

Mà

 

 

  _ _

   _

 _   _  __   __ 



 

 



2₂



0₂



1₀



2₁

15 15 _{( )} _{( )} _{( )} 15 124 37 53 ₆₄

2 f x dx 2 f x dx f x dx f x dx 2 15 60 60

Vậy







_{ }



_



_{  } _{ }

3

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 13: (Đề thi thử THPT QG VTED năm 2019) Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên đoạn
5;3

_ 

 

  có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng

       

A B C D giới hạn bởi đồ thị hàm số , , ,

 

f x và trục hoành lần lượt bằng 6;3;12;2 . Tích phân 1









3

2 2f x 1 1 dx


 



bằng

3
-5

y

x
O

(D)

(C)

(B)

(A)

A. 27 . B. 25. C. 17 . D. 21

Lời giải
Chọn A

Tính















 



1 1 1 1

3 3 3 3

2 1

2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 4

2

d x

f x dx f x dx dx f x

   



       









 

3
5

4
f x dx








Mà

 

3
5

f x dx




bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số _{f x và trục hoành}

 

Suy ra

 

3
5

6 3 12 2 23
f x dx



    



Vậy









1
3

2 2f x 1 1 dx 23 4 27



    



Câu 14: Cho đường cong

 

C y: 8x 27x3 và đường thẳng _{y m}_{ cắt}

 

C tại hai điểm phân biệt nằm

trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng có diện tích _{S S bằng nhau}₁_, ₂
(tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0 1
2
m

  . B. 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S2

S1 y=m

y

x
O

Lời giải
Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm 8x27x3 m. Giả sử như hình vẽ, hồnh độ các giao điểm là
0 a b  . Ta có hệ 33

 

8 27

1

8 27

a a m

b b m

  



  

 . Gọi F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

₈ ₂₇ 3

f x  x x m.

Khi đó các diện tích

 

   

 

   

1 2

0 0

( ) 0 ; ( )

a a b b

a a

S 



f x dx  



f x dx F F a S 



f x dx 



f x dx F b F a .
Theo giả thiết thì

   

2 4

1 2 0 4 27₄b 0

S S F b F  b  mb  .

Kết hợp với (1), ta được 4 32

9 27

b  m .

Câu 15: Cho hàm số _y __{f x}

 

xác định và liên tục trên đoạn ____2;1_{ . Biết rằng diện tích hình phẳng}_ _{S S}₁_, ₂
giới hạn bởi đồ thị hàm số _{f x và đường thẳng}

 

_{y g x}_

 

__{ax b}_{ lần lượt là ,}_{m n . Tính tích phân}

 

1
2

.

I f x dx






S2
S1

3

1
-1

-2
y=g(x)

y=f(x)

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A. 9 .

2

I    m n B. 9 .

2

I    n m C. 9 .

2

I    m n D. 9 .

2
I    n m
Lời giải

Chọn C

 

 

 

 

   

 

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

I f x dx f x dx g x dx g x dx f x g x dx g x dx

     

 





















__  __ 



   

   

 

1 1 1

2 1 2

1_.3.3 9

2 2

f x g x dx f x g x dx g x dx m n m n



  

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2) Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Câu 1: Cho các hàm số f x

 

ax2  và bx c g x

 

mx n có đồ thị lần lượt là đường cong

 

C và
đường thẳng d (như hình vẽ). Biết AB  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 5

 

C và đường thẳng d
(phần tô màu) là S p

q

 (trong đó_{p q N p q}_, _ *_{; ( ; ) 1}_{ ). Khẳng định nào sau đây đúng?}

B
A

5
1

d

(C)
y

x
O

A. p q 20. B. p11q. C. pq 69. D. p q 35.

Lời giải
Chọn D

Ta có _{A c}_{(0; ) ( ), (0; )}_ _{C B n} _{ và}_d _AB _{   }₅ _{c n} _{5 (}_{c n}_₎
Phương trình hồnh độ giao điểm của

 

C và d

2 2 ₍ ₎ ₀ 2 ₍ ₎ _{5 0(*)}

ax   bx c mx n ax  b m x c n   ax  b m x  

Lại có hồnh độ giao điểm của

 

_{C và}d là x  và 1 x  nên (*)có dạng (5 _{a x}_₁₎₍_x_{ }_{5) 0}

Đồng nhất hệ số ta được a  1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

_{C và d là}

5 5

2

1 1

32

( 1)( 5) 6 5

3
S 



x x dx 



x  x dx 
Suy ra _p__32,_q _{   }₃ _{p q} _35.

Câu 2: Cho hai hàm số f x

 

ax3 bx2   và cx d g x

 

mx n ( , , , , ,a b c d m n   ). Biết rằng đồ
thị hàm số y  f x

 

và y g x

 

cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ 1;2;3 (tham khảo hình vẽ phía bên
dưới); đồng thời diện tích S  (phần hình phẳng tơ màu xanh). Tính diện tích ₁ 45 S (phần hình phẳng tơ ₂
màu đỏ).

A. ₂ 7
3

S  . B. ₂ 7

12

S  . C. ₂ 128

3

S  . D. ₂ 7

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

y=g(x)

y=f(x)

3

2

-1

S

2

S

1

y

x

O

Lời giải
Chọn A

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f x

    

g x a x 1



x2



x  3



0

Có









2
1

1

45

1 2 3 45 45 4.

4

S a x x x dx a a







       

Vậy

 





3
2

2

7

4 1 2 3 ₃.

S  



x x x dx 

Câu 3: Hình phẳng được tơ màu ở trong hình vẽ bên được giới hạn bởi một đồ thị hàm số bậc _{3 với một}
đường thẳng _{ cùng với trục hoành và trục tung. Diện tích hình phẳng đó bằng}

A. _{4 .} B. 4

3. C. 13. D. 2

2

1

-2

y

x

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2  có: cx d
+ Giao với Oy tại điểm có tung độ bằng 2  d 2
+ Đi qua điểm

 

_1;0 _{    }_{a b c} ₂

+ Đi qua điểm

 

__2;0 _{           }₈_a ₄_b ₂_c ₂ ₄_a ₂_{b c} ₁
+ Có x  là điểm cực trị của hàm số nên là nghiệm của phương trình 1

' 0 3 2 0

y   a   b c

Từ đó _{a }_{1;b 0;c}_ _{ }₃

Vậy hàm số bậc ba là: y x 3 3x 2

Ta có đường thẳng đi qua hai điểm

   

2;0 ; 0;2 là y x  2
Giao điểm của hai đồ thị là x  2;x 0;x  2

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị trên như hình vẽ là:





2

3

0

4 4

S 



x x dx 
Chọn đáp án A.

Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số

 

3 2 1
2

f x ax bx   và cx _{g x}

 

__dx2 _{ }_ex ₁



a b c d e   . Biết rằng đồ thị hàm số , , , ,



y f x

 

và y g x

 

cắt nhau tại 3 điểm có hồnh độ lần lượt là
3

 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

1

y

x

O

-1

-3

A. 5 B. 9

2 C. 8 D. 4

Lời giải
Chọn D

Từ giao điểm hai đồ thị ta có _{f x}

    

__{g x} __{a x} _₃



_x _₁

 

_x_{ .}₁

Suy ra



3



1

 

1 3

 

2

 

3

2
a x  x  x ax  b d x  c d x
Xét hệ số tự do suy ra ₃ 3 1

2 2

a a

     .
Do đó

    

1 3



1

 

1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Diện tích bằng





 





 

1 1

3 1

1 ₃ ₁ _{1 d} 1 ₃ ₁ _{1 d}

2 2

S  x x x x x x x x

 





   



    . 4

Câu 5: Cho hai hàm số f x

 

 x3 ax2  bx c và g x

  

 f dx e



với _{a b c d   có đồ thị như}_{, , ,}
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số _{y f x}_

 

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường cong y f x

 

và y g x

 

gần nhất với kết quả nào dưới đây?

2

3

3

1

y=g(x)

y=f(x)

y

x

O

A. _4,5. B. _4,25. C. _3,63. D. _{3,67 .}

Lời giải
Chọn A

Từ đồ thị suy ra _{f x}_{( )}__{a x}₍ __{3) .}2_x_và_f_{(1) 4}_{  }_a ₁
2

( ) ( 3)

f x x x

  

( )

g x là hàm số bậc ba nên _{( )} ₍ 3_{) (}2 ₃₎
2

g x m x x và (1) 4g     m 8
2

3

( ) 8( ₂) ( 3)

g x x x

    

Vậy 3

   

1

9

. ₂ 4,5

S 



f x g x dx  

Câu 6: Cho hai hàm số f x

 

ax3bx2  và cx 1

 

2 ₁

g x dx   với ex a b c d e là các số thực. Biết rằng đồ thị ; ; ; ;
của hàm số _y __{f x}

 

và _{y g x}_

 

cắt nhau tại ba điểm A B C có , ,
hồnh độ lần lượt là 1; 1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới
hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. 37

12. B. 2712.

C. 8

3. D. 125 .

Lời giải
Chọn A

-1

-3
1

2
1
-1

y=g(x)
y=f(x)

C
B

A
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có

   



3 2 ₁

 

2 ₁



3

 

2

 

₂

f x g x  ax bx   cx dx   ex ax  b d x  c e x

Vì đồ thị của hàm số y  f x

 

và y g x

 

cắt nhau tại ba điểm A B C có hồnh độ lần lượt là , ,
1; 1; 2

 nên phương trình _{f x}

   

__{g x} có ba nghiệm là __{1; 1; 2}.

Kết hợp với điều kiện giả thiết suy ra f x

    

g x a x1

 

x1 x . 2



Đồng nhất hệ số tự do hai dạng biểu thức f x

   

g x ta được 2a   . 2 a 1

Vậy f x

    

g x  x 1

 

x1 x  2



x3 2x2  . x 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:
2

3 2

1

37

2 2d

12

S x x x x







    .

Câu 7: Hình phẳng

 

_{H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn}_y _ _{f x}_{( )} và _{y g x}_ _{( ).}
Biết rằng đồ thị của hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là −3;−1;2.
Diện tích của hình phẳng

 

_{H (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần nhất với kết quả nào dưới đây?}

5
-3
2
-3

2
-1

-3 O

y

x

A. _3,11. B. _{2,45 .} C. _{3,21 .} D. _2,95

Lời giải
Chọn A

Tại điểm có hồnh độ _{x   hai đồ thị hàm số này tiếp xúc với nhau.}₃
Có f x( )g x( )a x



3 (



2 x 1)(x2).

Mà ₍₀₎ ₍₀₎ 3 3 9

5 2 10

f g  _{ }_{ }_{ }    a.9.1.( 2) ₁₀9  a ₂₀1.

Vì vậy





2 2

2
( )

3 3

1 3733

( ) ( ) 3 ( 1)( 2) 3,11.

20 1200

H

S f x g x x x x dx

 





  



    

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S

2

S1

3

1

-1

y=g(x)

y=f(x)

y

x

O

A. S  . ₂ 4 B. S  . ₂ 2 C. S  . ₂ 1 D. ₂ 3

2
S 
Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị của hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là
1, 1, 3

 nên f x

    

g x a x1

 

x1 x và 3



a  . 0

Mặt khác diện tích

1
1

1

4 ( 1)( 1)( 3) 4 4

S a x x x dx a



 



     

Từ đó suy ra





3 3

2

1 1

( ) ( ) 4( 1)( 1)( 3) 4

S 



g x f x dx  



x x x dx 
Vậy chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hàm số _y _ _{f x}_{( )} xác định và liên tục trên đoạn ____5;3__{ . Biết rằng diện tích hình phẳng}_{S S S}₁_{, ,}₂ ₃
giới hạn bởi đồ thị hàm số _y _ _{f x}_{( )} và đường thẳng _{y g x}_

 

__ax2 _{  lần lượt là , ,}_{bx c} _{m n p . Tích}

phân

3
5

( )
f x dx




bằng

A. 211

45

m n p   . B. 208

45

m n p   . C. 24

5

m n p   . D. 26

5
m n p   .
Lời giải

Chọn B

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

0

4 2 0

9 3 2

c

a b

a b

 

 _{ }

 _{ }





2
15

4
15
0
a
b
c
 


 

 





 

2 2 4

15 15

g x  x  x.

   

   

   

2 0 3

5 2 0

m n p  f x g x dx g x f x dx f x g x dx

 

     

  



__  __ 



__  __ 



__  __

 

 

3 3

5 5

f x dx g x dx

 









.

 3

 

3

 

5 5

208
45

f x dx m n p g x dx m n p

 

       





y=g(x)

y=f(x)
S2

S3

S1

2
-1

5

-2
2

3

-5 O x

y

Câu 10: Cho hàm số _y _ _{f x}_{( )} là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

-1 1

1
y

x
O

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x y( ); f x'( )có diện tích gần bằng số nào sau
đây?

A. _{34,8 .} B. 60. C. _63,5 D. _72,3

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Hàm số đã cho có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung nên nó là hàm số chẵn. Lại có hàm số
( )

y  f x _{là hàm đa thức bậc bốn nên hàm số đã cho là hàm trùng phương. Do đó}

4 2

( ) , 0

f x ax bx c a  .

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm _{(1;0),(0;1) và có điểm cực tiểu (1;0), điểm cực đại}

(0;1) nên ta có hệ

(1) 0

0 1

(0) 1

1 2

'(1) 0

4 2 0 1

'(0) 0
f

a b c a

f

c b

f

a b c

f

 

 _ _

 _    _ 

 _ _ _

 _ _

 _ _ _ _{ }

  

   

  _{ }  _

  

 _ _ _



Với _a__1,_b_{ }_2,_c _{ ta có}₁ _{f x}_{( )}_{ }_x4 ₂_x2__{1 ; '( ) 4}_{f x} _ _x3__{4 ; ''( ) 12}_x _{f x} _ _x2_{ thỏa}₄
''(0) 0, ''(1) 0

f  f  nên các giá trị a 1,b  2,c_{ thỏa mãn yêu cầu bài tốn.}1
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số _y _ _{f x y}_{( );} _ _{f x}_{'( )}:





2





2

4 2 3 2 2

2

1
1 0

2 1 4 4 1 4 1 ₄ _{1 0}

2 5

x
x

x x x x x x x _x _x

x


 _{ } _ _{ }



         _{   } _{ }

 


 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số_y __{f x y}_{( );} _ _{f x}_{'( )}là













2 5 2 5

4 3 2

1 1

2 5 1

4 3 2 4 3 2

1 2 5

2 5

4 3 2

1

( ) ( ) 4 2 4 1

4 2 4 1 4 2 4 1

4 2 4 1 63,52

S f x f x dx x x x x dx

x x x x dx x x x x dx

x x x x dx

 

 



 





      

          

     









</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

3) Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.
Câu 1: Cho hàm số y  f x( )x416x321x220x  và 3

hàm số y g x

  

a x 2



2  có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng b
diện tích hình phẳng _{S S S giới hạn bởi đồ thị hàm số}₁_{, ,}₂ ₃ _y _ _{f x}_{( )}
và đường cong y g x

 

lần lượt là m n p . Tính , ,

M a b m p n     .
A. 2456

15

M  . B. 2531

15

M  .

C. 2411
15

M  . D. 2501

15

M  .

Lời giải
Chọn B

Đồ thị hàm y g x

 

đi qua các điểm O

  

0;0 ,A   nên 2; 4



4 0

4
a b
b

  


  

 

1
4
a
b
 

  

 

  



2 ₂

2 4 4

g x  x    . x x

Nhận xét đồ thị hai hàm số nhận đường thẳng x   là trục đối xứng nên 2 m p    . m p 0

Do đó,



   







1 1

4 3 2

3 3

2531

5 5 8 20 24 3

15

a b n  f x g x dx  x x x x dx

 

   



  



     .

Câu 2: Cho hàm số _{y x}_ 4 __bx2 _{ (*) có đồ thị như hình vẽ. Gọi}₅

1, ,2 3

S S S lần lượt là diện tích của hình

phẳng

 

_{A ,}

 

_{B ,}

 

_{C giới hạn bởi đồ thị hàm số (*) và trục hoành. Biết}_S₁_{ }_S₃ _S₂. Giá trị của _S₂ là

C
B

A
y

x
O

A. 32

5 . B. 16 . C. 5. D. 193 .

Lời giải

y=f(x)

y=g(x)

S2

S3
S1

-1

-3
-3

-1
-2

-4

-4

O x

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn A

Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  b 0

Gọi t t t_{1 2 1}, ( t₂) là nghiệm dương của phương trình _x4 __bx2_{  . Ta có}_{5 0} 4 2

2 2 5 0 (1)

t bt  
Vì đồ thị hàm số (*) nhận trục tung làm trục đối xứng nên 2

1 3 2 ₂ 3

S

S S S   S

Do đó

1 2 2

1

4 2 4 2 4 2

0 0

( 5) - ( 5) ( 5) 0

t t t

t

x bx  dx  x bx  dx  x bx  dx 







5 3 4 2

2 2 2 2 2

1 1 ₅ ₀ 1 1 _{5 0(2)}

5t 3bt t 5t 3bt

       

Từ (1) và (2) suy ra _b2 _₃₆_{   (vì b <0) và}_b ₆

1 1

t 

Vậy

1

4 2

2
0

32

2 ( 6 5)

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

4) Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y  f x

 

là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số _{y f x y}_

 

_; _ _{f x}

 

có diện tích bằng

y

=

f(x)

1

-1

-2 -1

1

y

x

O

A. 127

40 . B. 1075 . C. 135 . D. 12710 .

Lời giải
Chọn B

Từ giả thiết đi đến _{f x}

  

__{a x} _₂

  

2 _x_{ .}₁ 2
Vì đồ thị đi qua điểm _A

 

_0;1 nên 1

4

a  f x

  

 1₄ x2

  

2 x 12

  

1

 

2 1

 



2 1



 



2 1 1 2 2 1 2 1

2 2 2

f x x x x x x x x

           .

Phương trình

 

  

 



2



1

2 1 2 4 2 0 2

4
x

f x f x x x x x x x

x
  



           _



Vậy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f x và

 

f x

 

là:



  



 



4 2 2

2

1 ₂ ₁ 1 ₂ _{1 2} ₁ 107

4 2 5

S  



_ x  x  x x x  dx  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

d

y=f(x)

2
-1

-1
y

x
O

A. 6,75 B. 4,5 C. 8,45 D. 4,75

Lời giải
Chọn A

Đường thẳng _{d y mx n}_: _ _{ cắt đồ thị hàm số}_{f x}_{( )}__x3__ax2 _{  tại điểm có hồnh độ}_{bx c}

1; 2

x   x  trong đó tại điểm có hồnh độ x   là điểm tiếp xúc của hai đường. 1
Vì vậy



x3ax2  bx c



(mx n  ) (x 1) (2 x2).

Diện tích hình phẳng cần tính bằng:

2 2

3 2 2

1 1

( ) ( ) ( 1) ( 2) 6,75.

S x ax bx c mx n dx x x dx

 





     



  

Câu 3: Cho hàm số y x 3ax2   có đồ thị bx c

 

C . Biết rằng tiếp
tuyến

 

d của

 

C tại điểm A có hồnh độ bằng 1 cắt

 

C tại B có
hồnh độ bằng _{2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi}

 

_d
và

 

_{C (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng}

A. 13

2 . B. 254 .

C. 27

4 . D. 112

Lời giải
Chọn C

Ta có _A



__1;_{a b c}_{  }₁



và _y_{ }₃_x2_₂_{ax b}_ __y_

 

_{    .}₁ _{3 2}_{a b}

y

x

B

A

O 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Phương trình tiếp tuyến

 

d của

 

C tại A : y   



3 2a b x



     . 1



a b c 1
Phương trình hồnh độ giao điểm của

 

C và

 

d là :







3 2 _{3 2} ₁ ₁

x ax     bx c a b x     a b c

 

1 .
Phương trình

 

1 có nghiệm x  1;x  2





4a 2b c 8 3 3 2a b a b c 1

           9a    . 0 a 0

Suy ra

 

_{C :}_{y x}_ 3 _{  và}_{bx c} _{d y}_: _{ }



₃ _{b x}



_{    .}₁



_{b c} ₁

Diện tích hình phẳng là :

 







2

3
1

3 1 1

S b x b c x bx c dx



 





__         __





2

3
1

27

3x x 2 dx ₄







   .

Câu 4: Cho hàm số _y __{f x}

 

là hàm bậc ba có đồ thị

 

_{C như hình vẽ bên dưới}
y=f(x)

y

x
O

1
1
-1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

C và trục hoành bằng:
A. 4

3. B. 34. C. 53. D. 35.

Lời giải
Chọn A

Phương trình của đồ thị

 

_{C có dạng}_y _ _{f x}

    

__{a x}_₁2 _x_{ .}₁



 

C qua A

 

0;1 nên _{a  .}₁

Suy ra

 

C y f x: 

    

 x 12 x1



    . x3 x2 x 1
Diện tích hình phẳng cần tìm





1

3 2

1

1 d

S x x x x







  

1

4 3 2

1

4 3 2

x x x _x



 _

 _

 _    __

 

4
3
 .

Câu 5: Cho hàm số _{y ax}_ 4 __bx2 _{ có đồ thị}_c

 

_{C , biết rằng}

 

_{C đi qua điểm}_{A }

 

_1;0 _{. Tiếp tuyến}_

tại _{A của đồ thị}

 

_{C cắt}

 

_{C tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn}
bởi _{, đồ thị}

 

_{C và hai đường thẳng}_{x  ;}₀ _{x  có diện tích bằng 56}₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

B

A

y

x
O

3

2
1

-1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị

 

_{C và hai đường thẳng}x   ; 1 _{x  .}₀
A. 2

5. B. 201 . C. 101 . D. 15.

Lời giải
Chọn A

Cách 1:

Hàm số y ax 4 bx2  . TXĐ: c D  
Ta có: _y_{' 4}_ _ax3_₂_bx_.

Phương trình tiếp tuyến _{ của đồ thị}

 

_{C tại}_{A }

 

_1;0 có dạng _y _{  }



₄_a ₂_{b x}

 

_{ .}₁
Do tiếp tuyến  tại A của đồ thị

 

C cắt

 

C tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và 2 nên
phương trình ax4 bx2    c



4a 2b x



 nhận ba nghiệm là: 1



x   ; 1 x  ; 0 x  . 2

Suy ra:

3

c a b

b a

   


  


2
3

c a

b a

 


   _ .

Vậy

 

C :y ax 4 3ax2 2a a x



43x2  và 2



:y 2a x



 . 1



Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị

 

C và hai đường thẳng x  ; 0 x  có diện 2
tích bằng 56

5 nên:









2

4 2

0

56

2 1 3 2 d

5

a x a x  x  x 















2

4 2

0

56

2 1 3 2 d

5

a x a x x x





    





2

4 2

0

56

3 2 d ₅

a x x x x





   

2
5

3 2

0
56
.

5x 5

a x x 

 _   __ 

 

28 56

.

5 5

a

    . a 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi _{, đồ thị}

 

C và hai đường thẳng _{x   ;}₁ x  là: 0









0

4 2

1

3 2 2 1 d

S a x x a x x







   





0

0 5

4 2 3 2

1 ₁

2

2x 6x 4 dx x 2. x₅ x x ₅

 _

 _

 _

    _   __ 

 



.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Giả sử đường thẳng d y kx m:   là tiếp tuyến với

 

C tại A  nên

 

0; 1 c   và 1 m   . 1
Phương trình hồnh độ giao điểm của _{d và}

 

_{C là}_ax4 __bx2_{  }_kx ₀ _{a x}



__{1 . .}

 

2 _{x x}_{ }₂



₀
(do phương trình trên có 3 nghiệm như bài tốn đã cho).

Theo bài ta có phương trình



 



2

2
0

56

1 . 2 d 2

5

a



x  x x x   a .

Từ đó ta được





0

4 2

1

2( 3 2) 4 1 d

S x x x x



 





__     __ 0



4 2



1

2
2x 6x 4x dx ₅






   .

Câu 6: Cho hàm số y ax 4 bx2  có đồ thị c

 

C , biết rằng

 

C đi qua điểm A 

 

1;0 , tiếp tuyến _{d tại}
A của

 

C cắt

 

C tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và _{2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ}
thị

 

C và hai đường thẳng x 0; _{x  có diện tích bằng 28}₂

5 .

2
2

1
-1

y

x
O

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

C và hai đường thẳng _{x   ;}₁ x 0 có diện tích bằng
A. 2

5 B. 14 C. 29 D. 15

Lời giải
Chọn D

Ta có _y_{ }₄_ax3 _₂_bx _ _{d y}_: _{  }



₄_a ₂_{b x}

 

_₁ _.

Phương trình hồnh độ giao điểm của _{d và}

 

C là:



 4a 2b x

 

 1 ax4 bx2c

 

1 .
Phương trình

 

1 phải cho _{2 nghiệm là}_{x }₀, _{x  .}₂

_  ₁₂4a_a_{ }2b c₆_b ₁₆_a_{ }₄_{b c}



 

 

4 2 0 2

28 10 0 3

a b c

a b c

   


    _ .

Mặt khác, diện tích phần tơ màu là







2

4 2

0

28 ₄ ₂ ₁ _d

5 



 a b x ax bx c x





28 _{4 4} ₂ 32 8 ₂

5 a b 5 a 3b c

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Giải hệ 3 phương trình

 

2 ,

 

3 và

 

4 ta được _{a  ,}₁ _{b   ,}₃ _{c  .}₂
Khi đó,

 

C y x:  4 3x22, d y: 2

 

x 1 .

Diện tích cần tìm là





0

4 2

1

3 2 2 1 d

S x x x x



 





__     __ 0



4 2



1

1

3 2

5

x x x dx



</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

5) Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính tốn đơn giản.

Câu 1: Cho parabol

 

P y₁ :  x2 2x3 cắt trục hoành tại hai điểm A , B và đường thẳng :d y a



0  . Xét parabol a 4



 

P đi qua A , B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a₂  (đồ thị như hình vẽ). Gọi
1

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

P và d . 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

 

P và trục 2
hoành. Biết S₁  , tính S₂ T a 3 8a248a.

y = a

B
A

y

x
O

A. _{T  .}₉₉ B. _{T  .}₆₄ C. _{T  .}₃₂ D. _{T }₇₂.

Lời giải
Chọn B.

y = a
B

A

N
M

y

x
O

Để việc tính tốn trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị. Khi đó, phương
trình các parabol mới là

 

2

1 : 4

P y   , x

 

2

2 : a₄

P y   x  . a

Gọi A, B là các giao điểm của

 

P và trục Ox₁  A

 

2;0 , B

 

2;0 AB . 4
Gọi M , N là giao điểm của

 

P và đường thẳng d₁ M



 4 a a;



, N



4a a;



.
Ta có

4

1 2 4 .d

a

S 



y y





4
3
2
4 4

3 y _a

 _

 _



  _  __

   4 43



a



4 . a
2

2
2

0

2 .d

4
a

S  __ x a x__




2
3

0
2

12

ax _ax

 _

 _

 _  __

 

8
3a

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Theo giả thiết S₁ S₂ 4



4



4 8

3 a a 3a

    _{ }



₄ _a



3 _₄_a2 _{ }_a3 ₈_a2_₄₈_a_{ .}₆₄
Vậy T  . 64

Câu 2: Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x2 4x và trục hoành. Hai đường thẳng
y m và y n chia ( )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức

3 3

(4 ) (4 )

T  m  n bằng

y = n
y = m
y

x

O

A. 320
9

T  . B. 512

15

T  . C. T 405. D. 75

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

6) Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2018)Cho

 

_{H là hình phẳng giới hạn bởi parabol}_y _ ₃_x2_{, cung trịn}
có phương trình _y _ ₄_{ (với}_x2 ₀_{  ) và trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của}_x ₂

 

H bằng

2

2
y

x
O

A. 4 3
12

  _. _B.4 3

6

  _. _C.4 2 3 3

6

   _. _D.5 3 2

3 .
Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được ₃_x2 _ ₄__x2 _{  }_x ₁
với ₀_{  nên ta có}_x ₂ _{x }₁

Ta có diện tích

1

1 2 2 2

2 2 3 2 2

0 1 ₀ 1 1

3 3

3 4 ₃ 4 ₃ 4

S 



x dx



x dx  x 



x dx  



x dx

Đặt 2sin 2cos ; 1 ; 2

6 2

x  t dx  tdt x   t  x    t 
2

6

3 ₂ 1_sin2 4 3

3 2 6

S t t






 _ _

 _

   __  __ 



Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   ,

 

x 13 y 3x . Đường cong 1

2

2 x

y _  _chia_{S thành hai phần có diện tích là}
1, 2

S S (trong đó S nằm trên trục hồnh). Tính tỉ số ₁ 1
2
S
S .
A. 1

2

9ln 4
4
S

S  . B. SS1₂  9 ln 4 14  . C. SS₂1  9ln2 14  . D. SS1₂  9ln24
Lời giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

8

2

1

3

2

1

-1

y=(x 1)

3

y=3x 1

y=2

2 x

y

x

O

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường cong _y _{  ,}

 

_x ₁3 _y _₃_x_{ là:}₁

 

3

1 3 1

x  x __x3_₃_x2 _₀ 0

3
x
x
 


  _ .

Do vậy

 

3

3

0

27

3 1 1 ₄

S 



__ x  x __dx  .

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường cong y   ,

 

x 13 y 22x là:

 

3 ₂

1 2 x

x_ _ 

 

_{1 .}

Dễ thấy _{x  là nghiệm của}₂

 

_{1 đồng thời hàm số} _y _{  đồng biến trên  , hàm số}

 

_x ₁ 3
2

2 x

y _  _{nghịch biến trên}_{ nên}

 

_{1 có nghiệm duy nhất}_{x  .}₂

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường cong _y _₃_x_{ ,}₁ _y _₂2x là:
2

3_x_{ }1 2x_(1).

Dễ thấy _{x  là nghiệm của}₁

 

_{2 đồng thời hàm số}_y _₃_x_{ đồng biến trên}₁ _{ , hàm số}_y _₂2x
nghịch biến trên _{ nên (1) có nghiệm duy nhất}_{x  .}₁

Ta có





 

2 3

3
2

1

0 2

3 1 2 x 3 1 1

S _ x_{ }  dx _ _ x_{  }x _dx

 

 





 27₄ _{ln 4}3 .

2 1 _{ln 4}3

S   S S .

Vậy 1
2

27 3

9ln 4

4 ln 4 ₁

3 4

ln 4
S

S



</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 3: Gọi tam giác cong



OAB là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số



y 2x2, y   , 3 x y  0
(tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của



OAB bằng



B
A

y

x
O

y=3-x
y=2x2

A. 8

3. B. 53. C. 43. D. 103 .

Lời giải
Chọn A

S2

S1
2

3
1

y

x
O

y=3-x

y=2x2

Gọi parabol

 

P y: 2x2 và đường thẳng

 

d y:   . 3 x
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của

 

P và

 

d là:

2 2 1

2 3 2 3 0 ₃

2
x

x x x x

x
 


   _{     }


Suy ra tọa độ điểm _A_(1;3) và _{( )}_{d Ox B}_ _ _(3;0).

Khi đó

1 3

2

( ) 1 2

0 1

2 8

2 d (3 )d ₃ 2 ₃

OAB

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 4: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: y 2 ,x y    và x 3 y  là: 1

A. _{S  1} 1

ln2 2 . B. S  ln21 1. C. S  4750. D. S  ln21 3.
Lời giải

Chọn A

y

x

O 1 2

2

1 y=1

y=3-x y=2x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của các đường. Ta có:
* 2x      x 3 x 1

* ₂x _{  }₁ _x ₀
* _{    }_x _{3 1} _x ₂

Diện tích cần tìm là:









1 2

1 2 ₂

0 1 0 1

2 1 1

2 1 d 3 1 d 2

ln2 2 ln2 2

x

x x

S   x   x x __ x__ __  x__  

   





</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

1

y

x

O

A. 3 1
12

  _. _B.3 2

12

  _. _C.4 1

6

  _. _D.4 2

12
  _.
Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm :

2

2 2 0

2 1

0 2

x x

x x x

x

   


  _{  }  


Do đó

1 2

2

0 1

3 2

d 2 d

12
S 



x x 



x x    .

Câu 6: Cho

 

_{H là hình phẳng giới hạn bởi parabol} 1 2 ₁
4

y  x  (với 0 x 2 2), nửa đường trịn có
phương trình _y _ ₈_{ và trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của}_x2

 

H bằng

1
y

x

O 2 2

A. 3 14
6

  _. _B.2 2

3

  _. _C.3 4

6

  _. _D.3 2

3
  _.
Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm:

4 2

2 1 2 24 112 0

8 1 2

4 0 2 2

x x

x x x

x

   



   _{  }  

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Do đó

2 2 2

2 2

0 2

1 _{1 d} ₈ _d 3 2

4 3

S  __ x  __ x  x x  






.

Câu 7: Cho _{( )}_{H là hình phẳng giới hạn bởi parabol} 3 2
2

y  x và đường Elip có phương trình 2 2 ₁
4

x _{ }_y
(phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( )H bằng

1

-1

-2 1 2

y

x
O

A. 2 3
6

  _. _B.2

3. C.  4 3. D. 34

Lời giải
Chọn A

Ta có 2 2 ₁

4

x _{ }_y 2

1
4
x
y

    .

Phương trình hồnh độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là
2
2
3
1
4 2
x _x

  _₃_x4 _{  }_x2 _{4 0}
2
2
1 ₁
4 ₁
3
x _x
x
x
  
 _  

 _ _{ } _
  _

.
Suy ra diện tích hình phẳng ( )H cần tính là

1 2
2

( )
1
3
1 d
4 2
H x

S x x


 _
 _

 __   __
 



1 2

1

1 ₄ _d 3

2 x x 3





  .
Xét
1
2
1
4 d

I x x







 , đặt _x __2sin_t ta được
6

2
6

1 _{4 4 sin 2cos d}

2

I t t t










 6 2

6

2 cos dt t










6





6

1 cos2 dt t









 6

6
sin2
2 t
t



 _
 _
 __ __

3
3 2

  .

Do đó _{( )} 3 3

3 2 3

H

S    2 3

6
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Vậy
4

1
6
a
b
c
 
 _{ }
 _


9
P a b c
     .

Câu 8: Tính diện tích S của hình phẳng (phần tơ màu) trong hình sau

4
2

O x

y

A. 8
3

S  . B. 10

3

S  . C. 11

3

S  . D. 7

3
S  .
Lời giải

Chọn B

Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 2
0

y x

y x
y
 

 _{ }
 _


.

Suy ra





2 4

0 2

d 2 d

S 



x x



x x  x π_a2 ₂_.

Câu 9: Cho

 

H là hình phẳng được tơ đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình
2

10
3

y  x x , y _{  }_xx ₂ _khikhi x_x _₁1

 . Diện tích của

 

H bằng?

-1

1 2 3

O
y

x

A. 11

6 . B. 132 . C. 112 . D. 143 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số _y _{  và}_x _{y x}_{  là}₂      . x x 2 x 1
Diện tích hình phẳng cần tính là

1 3

2 2

0 1

10 _d 10 _{2 d}

3 3

S  __ x x x x__  __ x x  x __ x

   





.

1 3

2 2

0 1

13 _d 7 _{2 d}

3 3

S  x x  x  x x  x
  __  __  __   __

   





1 3

2 2

0 1

13 _d 7 _{2 d}

3 3

S  x x  x  x x  x
  __  __  __   __

   





1 3

3 3

2 2

0 1

13 7 ₂ 13

6 x3 6 x3 2

S  x   x x
 __  __ __   __ 

    .

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2_; 2_; 27
27

x

y x y y

x

   bằng

A. 27 ln2 . B. 27 ln 3. C. 28 ln 3 . D. 29ln 3 .

Lời giải
Chọn B

Xét các pthđgđ 2 2 0; 2 27 3; 2 27 9

27 27

x x

x x x x x

x x

         .

3
9

9
3

y=

27
x

27x

2

y=
y=x2

y

x
O

Suy ra

3 ₂ 9 ₂

2

0 3

27 _{27 ln 3}

27 27

x x

S x dx dx

x

 _  _

 _  _

 __  __  __  __ 

   





.

Câu 11: Cho parabol

 

: 1 2
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

B
A

I

x
y

O

y=0.5x2

A. 27 3 8

24 . B. 9 3 9 4 12 . C. 29 3 924 . D. 3 3 2 3 .
Lời giải

Chọn A

Gọi _{I b là tậm của đường tròn}

 

_;1

 

_{C b  ;}₀



_;1 2
2
A a a__ __

 là tiếp điểm của

 

P và

 

C



a  . 0



Phương trình tiếp tuyến chung của

 

P và

 

C : : 1 2 1 2 0

2 2

y ax a ax y a

       .

Tiếp tuyến  có véctơ chỉ phương u 

 

1;a . ;1 2 1
2

IA __a b a  __



.

Ta có _. ₀ 1 2 ₁ ₀ 1 3

2 2

IA  u IA    a b a a__    ___ b a .
Hơn nữa

 





2 2 2

2

2 2 3 2

4 2

1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2

1 ₃ ₀ ₃ 3 3_.

4 2

IA a b a a a a

a a a b

 _  _  _

 _  _  _

   __  __   __ __ __  __ 

     

      

Phần tô đậm trong hình vẽ là hình giới hạn bởi nhánh bên phải parabol

 

_{P x  , nữa bên trái đường}₀



tròn

 

3 3

2
C x __ __

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có:

 

 

 

2

2 2

3 3 3 3

: 1 1 1 1

2 2

C __ x __  y   x   y

  (vì

3 3
2

x  )

 

_: 1 2 ₂

2

P y  x  x y (vì _{x  ).}₀

Vậy diện tích phần tô đậm:

 

3

2 ₂

0

3 3 ₁ ₁ ₂ 27 3 8 _.

2 24

S  __   y  y dy_   


 



Câu 12: Cho parabol

 

P y x:  và đường trịn 2

 

C có bán kính
bằng 17

2 tiếp xúc với hai nhánh của

 

P (như hình vẽ). Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi

 

_{P và}

 

_{C (phần tơ đậm trong hình) gần}
nhất với giá trị nào sau đây?

A. _{5,12 .} B. _{7,06 .}

C. 8,74 . D. 6,03.

Lời giải
Chọn D

Gọi _{I b là tậm của đường tròn}

 

_0;

 

_{C b  ;}₀



_{A a a là tiếp}

 

_; 2
điểm nhánh bên phải của

 

_{P và}

 

_C



_{a  .}₀



Phương trình tiếp tuyến chung của

 

_{P và}

 

_{C :}__:_y _₂_{ax a}_{ }2 ₂_{ax y a}_{   .}2 ₀
Tiếp tuyến  có véctơ chỉ phương u 

 

1;2a . IA 



a a; 2b



.

Ta có _. ₀ ₂



2



₀ 2 1

2
IA  u IA   a a a     b b a .

Hơn nữa 2 17 2



2



2 17 2 1 17 2 9.

4 4 4 4 2

IA   a a b  a       a b

Phần tơ đậm trong hình vẽ là hình giới hạn bởi parabol

 

P và nữa bên dưới đường tròn

 

9
2
C y__  __

.
Ta có

 

2

2 9 17 9 17 2

: ₂ ₄ ₂ ₄

C x  __y __    y x

 (vì

9
2
y  )

4,5
4

2
A
I

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Vậy diện tích phần tơ đậm

2

2 2

0

9 17

2 6,03.

2 4

S  __   x x dx__ 

 



Câu 13: Cho parabol

 

P y x:  và đường tròn 2

 

C có bán kính bằng 2 tiếp xúc với

 

P tại gốc tọa độ
(như hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

P và

 

C (phần tơ đậm trong hình) bằng:

I

y=x

2

y

x

O

2

A. 5 _{2 3}

3  . B. 43 3 3. C. 83 5 3. D. 83 3 3.
Lời giải

Chọn D

Vì tính đối xứng, ta chỉ cần tính phần tơ màu phía bên phải trục Oy x  .



0



Qua hình vẽ, ta thấy:

 

C có tâm I

   

0;2  C x: 2  

 

y 2 2   4 x 4 

 

y 2 2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm của

 

P và

 

C :





2

2 2 ₂ ₄ 4 ₃ 2 ₀ 0 0 _.

3 3

x y

x x x x

x y

   


     _{     }



Khi đó diện tích phần tơ màu

 





3

2
0

1

2 4 2 ₃ 8 9 3 .

S 



__  y   y dy___ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

-1

4

3

2

2

1

-1

-4

-5

y

x

O

Biếtf

 

0  giá trị của 0, 2f

 

 5 3 2f

 

bằng
A. 109

3 . B. 33 . C. 353 . D. 11.

Lời giải
Chọn C

Cách 1.

Parabol _{y ax}_ 2 _{  có đỉnh}_{bx c} I

 

1;4 và đi qua điểm

 

2;3 nên ta có:

2

1 ₁

2

4 2 2 3.

4 2 3 3

b

a
a

a b c b y x x

a b c c

_ _ __

 _  

 _

 _

          

 

 

 _{  }  _

 

 



Do _f

 

₀ _{ nên}₀ ₂_f

 

_{ }₅ _{3 2}_f

 

_₂___f

   

_{   }₅ _f ₁ __ ₂___f

   

_{ }₁ _f ₀ ____{3 2}___f

   

__f ₀ __

 









1 0 2

2 2

5 1 0

2 f x dx 2 x 2x 3 dx 3 x 2x 3 dx

 

 

_

 

_

   

_

  









0 2

2 2

1

1 0

2.7 5 22 35

2S 2 x 2x 3 dx 3 x 2x 3 dx ₂ 2.₃ 3. ₃ ₃





  



   



       .

Trong đó S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ₁ _y _ _{f x}

 

_, trục _{Ox và hai đường thẳng}

5, 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta tính được:

 

2

3 14 , 5 4

2 _{2 ,} ₄ ₁

3 3

2 3, 1

x x

f x x x

x x x

     




  _     

    



.

Ta có

   

 





   

4 4

5 5

1 1

4 5 3 14 4 5

2 2

f f  f x dx  x dx f f

 



   







       .(1)

   

1

 

1

   

4 4

2 2

1 4 ₃ ₃ 3 1 4 3

f f  f x dx  x dx f f

 

 _



 

     __  __      







. (2)

Từ (1) và (2)

   

1 5 7
2

f f

     . (3)

 

0

 

0



2



   

1 1

5 5

0 1 2 3 0 1

3 3

f f f x dx x x dx f f

 



  







        . (4)

   

2

 

2



2



   

0 0

22 22

2 0 2 3 2 0

3 3

f f 



f x dx 



 x x dx  f f  .(5)

Mà f

 

0  (6) 0.

Từ (3),(4),(5),(6)

 

₁ 5_{, 2}

 

22_,

 

₅ 31

3 3 6

f f f

       

Do đó: 2

 

5 3 2

 

35
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

7) Dạng 7. Tốn thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan.

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B ₁, , ,₂ ₁ ₂
như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 vn / m và phần còn lại đ 2 100.000 vn / m . đ 2
Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết AA _{1 2} 8m, B B _{1 2} 6m và tứ giác

MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3m?

A2

B2

B1

A1

Q P

N
M

A. _{5.526.000 đồng.} B. _{5.782.000 đồng.} C. _{7.322.000 đồng.} D. _{7.213.000 đồng.}
Lời giải

Chọn C

4
3

A2

B2

B1

A1

y

x
O

Q P

N
M

Gọi phương trình chính tắc của elip

 

_{E có dạng:}x₂2 y2₂ ₁

a b 

Với 1 2
1 2

8 2 4

6 2 3

AA a a

B B b b

 

    

 _

 

    

 

 

 

2 2

2
3

: 1 16

16x y9 4

E y x

       .

Suy ra diện tích của hình elip là S_{ }_E a b. 12 m

 

2 .
Vì _{MNPQ là hình chữ nhật và} ₃ _;3

 

2
MQ  M x__{ }__ E
2

2

1 ₁ ₁₂ _{2 3; ; 2 3;}3 3

16 4x x M 2 N 2

  _ _

 _  _

      __ __ __ __

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Gọi S S lần lượt là diện tích phần bị tơ màu và khơng bị tơ màu ₁; ₂
Ta có

4 4

2 2

2

2 3 2 3

3

4. 16 d 3 16 d

4

S 



x x 



x x.

Đặt _x __{4 sin}_t ta tính được

 

2

2 4 6 3 m

S  

Suy ra _S₁ __S_{ }_E _{ }_S₂ ₈___{6 3}. Gọi _{T là tổng chi phí. Khi đó ta có}



4 6 3 .100





8 6 3 .200 7.322.000



T      (đồng).

Câu 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vng cạnh 40 (cm) như
hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình _y2 _₂_x_và₄



_x _₁



3 __y2
để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích được tơ đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 506 (cm2) B. 747(cm2) C. 507(cm2) D. 746(cm2)

Lời giải
Chọn B

2

1

y

x

O

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích phần tô đậm là





 

 

 

1 2

3 ₂ ₂

0 1

112

4 2 0 2 2 1 747

15

S  _ x  dx  __ x  x ___dx_  dm  cm

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 3: (Đề thi thử THPT QG Bắc Ninh lần 2 năm 2017)Một xưởng sản xuất gỗ muốn thiết kế những có
hình dạng là một phần của hình elip có kích thước giống hình bên. Biết miếng gỗ dày _{2 .}_{cm Thể tích miếng}
gỗ đã cho tính theo _{cm nằm trong khoảng nào?}3

A.



2340;2350 .



B.



1170;1180 .



C.



2240;2250 .



D.



1200;1210 .



Lời giải

Chọn A

10 12,5

25

y

x
M

O A

B

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, khi đó Elip đi qua các điểm _B



_{0;12,5 ,}

 

_M _25;10



ta có

2 3

2

2 2

25 100 ₁ 25

9

12,5 a

a    

Ta được phương trình Elip: 2₃ 2₂ 1 12,5 1 2₃

25 12,5 25

9 9

x _ y _{  }_y _ x

Diện tích bề mặt miếng là

25 2

3
0

4 12,5 1 23,406 2340,6

25

9
x

S 



 dx   V

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A. _519.000 đồng. B. _610.000 đồng. C. _639.000 đồng. D. 279.000 đồng.
Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình chính tắc của elip

 

E có dạng: x₂2 y2₂ 1

a b 

Với 1 2
1 2

1,2 2 0,6

0,6 2 0,3

AA a a

B B b b

 

    

 _

 

    

 

 

 

2 2

2

1

: 1 0,36

0,36 0,09x y 2

E y x

       .

Suy ra diên tích của hình elip là:

 

 

0,6 0,6

2 2 2

0 0

1

4 0,36 2 0,36 0,18

2
E

S 



x dx 



x dx   m .

Gọi S S lần lượt là diện tích phần đá hoa cương và bộ tranh ₁; ₂
Ta có S₂ 2x0,25x0,4 0,2

 

m2

Suy ra S₁ S_{ }_E  S₂ 0,180,2

 

m2 .
Gọi _{T là tổng chi phí. Khi đó ta có}



0,18 0,2 .600000 300000 519.000



T     (đồng).

Câu 5: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là _{120cm , chiều rộng là 60cm . Anh Hải muốn gắn đá hoa cương}
cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần màu vàng
cũng là elip có chiều dài _{100cm và chiều rộng là 40cm . Biết rằng đá hoa cương màu trắng có giá}

đ 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A. _355.000 đồng. B. _339.000 đồng. C. _368.000 đồng. D. _353.000 đồng
Lời giải

Chọn A

O
y

x
B'2

B'1

B2

B1

A'2

A'1 A2

A1

Gọi phương trình chính tắc của elip

 

E có dạng: x₂2 y2₂ 1

a b 

Với 1 2
1 2

1,2 2
0,6 2

AA a

B B b

  



  



0,6
0,3
a
b
 


  _

 

: 2 2 1

0,36 0,09

L x y

E

   1 0,36 2

2

y x

   

Suy ra diện tích của hình elip lớn là:

 

 

0,6 0,6

2 2 2

0 0

1

4 0,36 2 0,36 0,18

2

L

E

S 



x dx 



x dx   m .

Với 1 2

1 2

' ' 1 2 0,5

' ' 0,4 2 0,2

A A a a

B B b b

 

    

 _

 

    

 

 

 

2 2

2

2

: 1 0,25

0,25 0,04 5

N x y

E y x

       .

Suy ra diện tích của hình elip nhỏ là:

 

 

0,5 0,5

2 2 2

0 0

2 8

4 0,25 0,25 0,1

5 5

N

E

S 



x dx 



x dx   m .

Gọi _{S S lần lượt là diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng và phần gắn đá hoa cương màu}₁_; ₂
vàng. Ta có ₂ _{ } 0,1

 

2 .

N

E

S S   m

Suy ra ₁ _{ } _{ } 0,18 0,1 0,08

L N

E E

S S S    . Gọi _{T là tổng chi phí. Khi đó ta có}
0,08 .600000 0,1 .650000 355.000

T      (đồng).

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

M B2

B1

A1 A2

Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B₁, trục đối xứng B B_{1 2} và đi qua các điểm M N, . Sau đó
sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/_{m và trang trí đèn led phần cịn lại với giá}2 _500.000
đồng/_{m . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng}2 _{A A}_{1 2} _₄_m,

1 2 2m

B B  ,_{MN }_{2 m}.

A. _{2.431.000 đồng.} B. 2.057.000 đồng. C. 2.760.000 đồng. D. _{1.664.000 đồng.}
Lời giải

Chọn A

N
M

-2 2

-1
1
y

x
O

B2

B1

A1 A2

+ Chọn hệ trục tọa độ _{Oxy sao cho O là trung điểm của}AA_{1 2}. Tọa độ các đỉnh _{A }₁

 

_{2;0 ,}

 

2 2;0 ,

A B₁

 

0; 1 , B₂

 

0;1 .

+ Phương trình đường Elip

 

_{E :} 2 2 ₁ ₁ 2

4 1 4

x _y _{    }_y x _.

+ Ta có 1; 3 , 1; 3

 

2 2

M___  __ N___ __ E

    .

+ Parabol

 

_{P có đỉnh}_B₁

 

_{0; 1}_{ và trục đối xứng là Ox nên}

 

_{P có phương trình}





2 _1, ₀

y ax  a .

 

P đi qua _{M N}_, 3 1
2
a

  

 

P

 có phương trình 3 1 2 1

2

y __  __x 

  .

+ Diện tích phần tơ đậm

1 ₂

2
1

0

3

2. 1 1 1 d

4 2

x

S  _  __  _x  _ x




   

 



1 2

0

2 3

4 x xd _{3 2} 1 2

   __  __

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Đặt 2sin , ;

2 2
x  t t  _  _

  dx 2cos dt t. Đổi cận: x 0 t 0;x 1 t 6



      .

6

2
1

0

2 3

4 4 sin .2cos d 1 2

3 2

S t t t



 _

 _



    __  _



 



6 2

0

3 4

4. cos d

3 3

t t






 





6
0

3 4

2. 1 cos2 d

3 3

t t






   





6

0

3 4 3 4

2 sin2

3 3 3 6 3

t t  

       .

+ Diện tích hình Elip là _S ___ab _₂_.

 Diện tích phần cịn lại ₂ ₁ 5 3 4

3 6 3

S   S S   .

+ Kinh phí sử dụng là: 200000S₁500000S₂ 2431000 (đồng).

Câu 7: Một người định xây một hòn non bộ bằng cách vẽ một đường trịn bán kính _{2m trên mặt đất sau đó}
lấy tâm đường trịn làm tâm của một hình vng cạnh _{2m như hình vẽ. Phần}S₁ (tất cả phần màu trắng) xây
thành bể để xếp hòn non bộ và thả cá, phần S S₂, ₃ để trồng hoa. Tính diện tích trồng hoa.

2

2
S2

S1 S₃

A. 3,65m2 B. 3,56m2 C. 4,65m2 D. 4,56m 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2
-1

-1

1

1
S2

S1 S3

y

x
O

Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường trịn, khi đó phương trình đường trịn tâm _{O bán kính 2 là.}

2 2 ₄ ₄ 2

x       y y x

Diện tích của hình trịn là _{4 m}_

 

2
Diện tích hình vng là _{4 m}

 

2

Các cạnh của hình vuông nằm trên các đường thẳng _y _{ }_1,_x _{ }₁
Phương trình hồnh độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng _{y  là.}₁

2

4x    1 x 3

Diện tích phần bể ngồi hình vuông là 3



2



3

2



_ 4 x 1dx





3 ₂

1 4 2 ₃ 4 1

S _ x dx

  



 

Diện tích phần trồng hoa S₂S₃ 4 S₁ 3,65

 

m2 .

Câu 8: Nhà ơng An có một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính bằng 4 5( )m . Ông An muốn thiết
kế khuôn viên một phần để lát gạch Ý (phần tô đậm) và hai phần còn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần khơng
tơ màu). Phần tơ đậm có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình trịn và hai
đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn, cách nhau một khoảng bằng 4 (m). Biết các kích thước cho
như hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản là _{150.000 đồng / m}2 và kinh phí để lát gạch Ý là 250.000
đồng/ m2. Hỏi kinh phíơng An để làm cơng trình đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

4m

4m
4m

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn B

(P)
M
y

x
O

4

2

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là:

 

2

2 2 _{2 5} 2 ₂₀ 2

y  R x  x   x

Phương trình Parabol ( )P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y ax 2.Mặt khác ( )P đi qua điểm (2;4)M
nên 4a.(2)2   a 1

Gọi S là phần diện tích của hình phẳng hạn bởi ( )₁ _{P là nửa đường tròn ( phần tơ màu).}
Diện tích phần lát gạch Ý của khuôn viên là:

2

2 2

1
2

( 20 ). 11,940

S x x dx







  

Phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản của khuôn viên là:
2

2 2 2

2 2

2

1 _{1 (2 5)} _{( 20} ₎ _19,476

2 hinh tron 2

S S S  x x dx



   



  

Vậy số tiền cần có là: T 250.000.S 150.000.S₁ ₂ 5.906.400 (đồng)

Câu 9: Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao _GH _₄_m, chiều rộng _AB _₄_m,
0,9

AC BD  m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là
1200000 đồng/m2_{, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là}_{900000đồng/m}2_.

H
G

F E

D

C B

A

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho _{AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh}_G

 

_2;4 và
đi qua gốc tọa độ.

y=-x

2

_+4x

H

G

F

E

D

C

B

A

y

x

O

0,9

2

3,1

4

4

Gọi phương trình của parabol là _{y ax}_ 2 _{ }_{bx c}

Do đó ta có
2

0 ₁

2 4

2 ₀

2a 2 4

c _a

b _b

c

a b c

  _

 _{  }

 

_ 

 

 _ _ _

 

 

 _{ }

 _{  } 

 



.

Nên phương trình parabol là _y _ _{f x}_{( )}__{ }_x2 ₄_x
Diện tích của cả cổng là

4 3

2 2 4 2

0
0

32

( 4x) 2 10,67( )

3 3

x

S   x dx   _ x __   m

 



Do vậy chiều cao _{CF DE}_ _ _f

 

_0,9 __{2,79( )}_m

 

4 2.0,9 2,2

CD    m

Diện tích hai cánh cổng là _S_CDEF __CDCF_. __{6,138 6,14}_

 

_m2
Diện tích phần xiên hoa là S_xh  S S_CDEF 10,67 6,14 4,53( )  m2
Nên tiền là hai cánh cổng là _{6,14.1200000 7368000}_

 

đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 10: Bồn hoa của một trường X có dạng hình trịn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các
phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần bên trong hình vng ABCD để trồng hoa.
Phần phần gạch xọc dùng để trồng cỏ. Ở _{4 góc cịn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết}_AB _₄_m, giá trồng
hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000 đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực
hiện việc trang trí bồn hoa đó (làm trịn đến hàng nghìn).

A. 13.265.000 đồng. B. 12.218.000 đồng. C. 14.465.000 đồng. D. 14.865.000 đồng.
Lời giải

Chọn A

8

2

y

x

O

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình trịn, suy ra phương trình
đường trịn là: _x2_{  .}_y2 ₆₄

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

 Số tiền để trồng hoa là: T  ₁ 16 200.000 3.200.000 (đồng).

+ Diện tích trồng cỏ là:





 

2

2 2

2

4 64 2 d 94,654

S x x m







   .

 Số tiền trồng cỏ là: T ₂ 94,654 100.000 9.465.000  (đồng).
+ Số tiền trồng 4 cây cọ là: T ₃ 150.000 4 600.000  (đồng).
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

1 2 3 13.265.000

T T T T    (đồng).

Câu 11: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật như hình dưới đây, trong đó

   

P₁ , P là các ₂
parabol giống nhau,

 

_{C là đường trịn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm}
chung với các parabol tại chính các đỉnh của các parabol ấy. Tính và làm trịn đến hai chữ số thập phân diện
tích phần lát gạch của mảnh sân trong trường hợp diện tích hình trịn bao bởi

 

C lớn nhất.

A. _{8,39 .} B. _{10,12 .} C. _{9,18 .} D. _11,45.

Lời giải
Chọn A

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ĩ

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

y
x
4a-r
2
S
-r
r
O
M

Lúc này ta có

 

_{C x}_: 2_{ }_y2 _{r P y ax}2_,

 

_: _ 2__{r a}₍ _{ .}₀₎

Do

 

_{C và}

 

_{P có duy nhất một điểm chung là đỉnh của}₁

 

_{P nên hệ phương trình}₁

2 2 2

2

x y r

y ax r

  


  


có duy nhất một nghiệm là



0; r (*)



Do





2

2 2 2 2 2 4 2 2 2

2

2 2 2

2
0

2 x ₂ ₁

x y r x a x arx r r _ar

x

y ax r y ax r a

y ax r

 


  
   _     _ _
 _  _ _
  _
      _
  
  _{  }


nên (*) 1

2
r

a

  .

Do _2; 7

 

₁
2

M__  ___ P nên 2 7
8
r

a  . Tức

1
2
2 7
8
r
a
r
a
 

 
 


. Từ đây tìm được
1
2
2 7
8
r
r
a
 


 
 

.

Do hình trịn có diện tích lớn nhất nên 1₂
1
r
a
 

 


. Lúc này

 

P cắt tia Ox tại điểm có hồnh độ 2₁
2 .
Diện tích cần tính là

2 2

2
2
2

1 ₄ ₄ 1 _.d _8,39

2 S 4 x 2 x

  _{ }_{ }    

 



.

Câu 12: Cho một mơ hình _{3 D}_{ mơ phỏng một đường hầm. Biết rằng đường hầm mơ hình có chiều dài}

 

5 cm ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vng góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có
độ dài đáy gấp đơi chiều cao parabol như hình vẽ. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức

2
3

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

5m
h

h
h

A. _29. B. _{27 .} C. _31. D. _{33 .}

Lời giải
Chọn A

h

h

y

x

O

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là _h và độ dài đáy _2h và chọn hệ trục _Oxy như hình vẽ

trên. Parabol

 

_P có phương trình y ax 2 h a,



0



Ta có B h

 

;0 

 

P  0 ah2h a 1



do h 0



h

   

Diện tích _S của thiết diện: 1 2 _d 4 2

3
h

h

h

S x h x

h


 _

 _

 __  __ 




, ₃ 2

5

h   x

 

2

4 ₃ 2

3 5

S x  x
  __  __


Suy ra thể tích khơng gian bên trong của đường hầm mơ hình:

 

2

5 5

0 0

4 2

d 3 d 28,888

3 5

V S x x  x x

   __  __ 



</div>

<!--links-->