giao an boi duong hoc sinh gioi toan lop 7

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Đề khảo sát
Cõu 1:
a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + … + 220
Hỏi A có chia hết cho 128 khơng?
b, Tính giá trị biểu thức

212.13 + 212.65
310.11 + 310.5
+
210.104
3 9 .2 4
Bài 2 :
a, Cho A = 3 + 32 + 33 + …+ 32009
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm;
OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm.
So sánh AB với AC

1


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Hướng dẫn chấm
Bài

Hướng dẫn chấm
a, 2A – A = 2 27
A128

Điểm
0.5
0.5

212.78
b, = 10
+
2 .104

0.5

21

1

=3+3 =6

2

3

4

a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +

c 9 và
2b = a + c nên 3b 9 ⇒ b 3 vậy b ∈ { 0;3;6;9}
abc 5 ⇒ c∈ { 0;5}

0.5
1
0.5

Xét số abo ta được số 630
Xét số ab5 ta được số 135 ; 765
P có dạng 3k + 1; 3k + 2
k∈ N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
⇒ p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9 3
⇒ p + 8 là hợp số

0.5

Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a ≤ b) ta có (a,b) = 1 nên
a = 6a/ b= 6b/ trong đó (a/,b/) = 1 ( a,b,a/,b/∈N)
⇒ a/ + b/ = 14
a/
1
3
5
/
b
13
11
9

a
6
18
30
b
78
66
54

0.5

O

5

310.16
39.16

C

A

B

0.5
1

x

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6) nên

điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA
AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)

2

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
0.5


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1.
Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
a
m

b

( a,b,m ∈ Z m ≠ 0 )
m
a
b
a +
b
x +
y = + =
m
m
m
a
b
a −
b
x −
y = − =
m
m
m

Với x= , y=

a
c
x =
, y =
(y ≠
0)
b

d
a
c
a.c
x. y =
.
=
b
d
b.d
a
c
a
d
a.d
x : y =
:
=
.
=
b
d
b
c
b.c

2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ
+/ Với x ∈ Q Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x= 

 -x neỏu x < 0
Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x= -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y ∈ Q Ta có
x + y ≤ x + y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y ≥ 0 )
x − y ≥ x − y ( //
…..
//
)
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:
(

(

1
1
1
1
1 −3 −5 −7 −... −49
+
+
+... +
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89

1

1
1
1
1 −3 −5 −7 −... −49
+
+
+... +
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89

=

1 1 1 1 1
1
1
1
1 2 − (1 + 3 + 5 + 7 +... + 49)
( − + −
+
−
+ ... +
− ).
5 4 9 9 14 14 19
44 49
12

3

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
=

1 1
1
2 −(12.50 +25)
5.9.7.89
9
( −
).
=−
=−
5 4
49
89
5.4.7.7.89
28

Bài 2: Thực hiện phộp tớnh:

A=

A=

212.35 −46.9 2

( 2 .3)
2

6

+8 .3
4

5

212.35 −46.9 2

( 2 .3) +8 .3
2

6

4

5

−

−

510.7 3 − 255.492

( 125.7 )

3

+59.143

510.7 3 −255.49 2

( 125.7 )

3

+59.143

10

212.35 −212.34
510.73 −5 .7 4
= 12 6
− 9 3
2 .3 +212.35
5 .7 +59.23.7 3
212.34. ( 3 −1)
510.7 3. ( 1 −7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 +1) 59.73. ( 1 +23 )

:

10
3
212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 −
2 .3 .4

59.7 3.9
1 −10
7
= −
=
6
3
2

Bài 3. a) Tìm x biết: 2x + 3 = x + 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết: 2x + 3 = x + 2
Ta có: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2.
+ Nếu x ≥ -

3
thì 2x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
2

+ Nếu - 2 ≤ x < => x = -

3
Thì 2x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2
2

5
(Thoả mãn)
3

+ Nếu - 2 > x Khơng có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
4


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tỡm x biết:
a. x −

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b. ( x − 7 )

− ( x − 7)
=0
- GV: Hướng dẫn giải a,
1 4
2

1 4 −16 2
x − + = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+
3 5
5
3 5
5
5
x +1

x +11

⇔ x−

b)

1 4 14
+ =
3 5 5

 x −1 = 2
1
⇔ x − = 2 ⇔  13
 x − =−2
3
 3
 x = 2+ 1 = 7
3 3
⇔ 
x=−2+ 1= −5

3 3

x +1
x +11
( x − 7) − ( x − 7) = 0
⇔ ( x − 7)

x +1

1 − ( x − 7 ) 10  = 0



5


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

⇔ ( x − 7)

( x +1)

1 − ( x − 7 ) 10  = 0



  x −7  x +1=0

÷


⇔ 
1−( x −7)10 =0


⇔  x −7=010⇒ x=7
 ( x −7) =1⇒ x=8
1,11 + 0,19 − 1,3.2 1 1
−( + ):2
2, 06 + 0,54
2 3
Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
7
1
23
B = (5 − 2 − 0,5) : 2
8
4
26
A=

a, Rút gọn A và B
b, Tìm x ∈ Z để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M= x − 2002 + x − 2001

6


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đề:

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

CI.Lý

thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x ∈ Q Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x= 
 -x neỏu x < 0
2, Tính chất : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x= -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y ∈ Q Ta có
x + y ≤ x + y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y ≥ 0 )
x − y ≥ x − y ( //
…..
//
)
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a, A= 3x2- 2x+1 với x=

1
2

1
1
1

suy ra x= hoặc x= −
2
2
2

Ta có x=

HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
+/ Với x= −

1
3
thì A=
2
4

1
11
thì A=
2
4

b, B= 6 x − 3x + 2 x + 4 với x= -2/ 3
c, C= 2 x − 3 y với x=1/2 và y=-3
d, D= 2 x − 2 − 3 1 − x với x=4
3

2

1

5x2 − 7 x + 1
e, E=
với x= (về nhà )
2
3x − 1

Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c
KQ:

B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a, x − 7 + 2 x + 5 = 6

x − 7 =1-2x

Do x − 7 ≥ 0 với mọi x nên xét với 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤

7

1
2


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Trường hợp 1:

x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=

8
(loại do không thoả mãn điều kiện
3

1
2

x≤ )
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1 ⇒ x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b, 2 x − 3 − x = 2 − x
c, x + 3 + x + 1 = 3x
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3:
Tìm x và y biết
1
2
7,5
−
3
5
−
2
x = −4,5
b,
c, 3x − 4 + 5 y + 5 = 0

a, 2 2 x − 3 =

GV: Tổ chức cho học sinh làm bài

Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A= 3, 7 + 4,3 − x
Ta có
4,3 − x ≥ 0 với mọi x
⇒ 4,3 − x + 3, 7 ≥ 3, 7 Hay A ≥ 3, 7
4,3 − x = 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4,3 − x = 0
x = 4,3

Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3
Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B= 3x + 8, 4 − 24, 2
c, C= 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a, D = 5,5 − 2 x − 1,5
b, E = − 10, 2 − 3 x − 14
c, F = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12

`
8


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đề:Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết

1/ Định nghĩa
+/ Với x ∈ Q Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x= 
 -x neỏu x < 0
2, Tính chất

Vụựi mói x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x= -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y ∈ Q Ta có
x + y ≤ x + y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y ≥ 0 )
x − y ≥ x − y ( //
…..
//
)
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|;
b) a < |a|;
c) a > |a|;
d) |a| = - a;
e) a ≤ |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b| ⇒ a = b; b) a > b ⇒ |a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x2y > 0;
b) x + y = 0;
c) xy < 0;
1

1

x

d) x − y = 0;
d) y + 1 = 0.
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a;
b) |a| - a;
c) |a|.a;
d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|;
g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5;
b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1;
d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|;
b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20;
b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu ≥, ≤, = để các khẳng định sau đúng với
mọi a và b.
9

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|;
b) |a – b|…|a| - |b| với |a| ≥ |b|;
c) |ab|…|a|.|b|;

d)

a |a|
...
.
b |b|

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x – 2| - 1;
b) B = 5|1 – 4x| - 1;
2
c) C = x + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
1

b) B = | x − 1 | +3 ;
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
a) A = 5 - |2x – 1|;

Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:

A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.

10


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đề:Luỹ thừa của số hữu tỉ
A--Lý thuyết
n
1, x m . x n =
x m+
n
2, x m : x n =
x m−
(x ≠
0, m ≥
n)

3, ( x m ) n =
x m .n
4, ( x. y ) m =
xm.ym
x m
xm
5, (
)
= m (y ≠
0)
y

y
1
n
6,
=
a−
n
a
GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các cơng thức
B – Bài tập
Bài 1:
a,Có thể khẳng định được x2 luôn luôn lớn hơn x hay không ?
1
2

Không khẳng định được như vậy chẳng hạn x=1/2 thì ( ) 2 <

1
2

b, Khi nào x2< x
x2< x ⇔ x 2 − x < 0 ⇔ x( x − 1) < 0 xảy ra nếu x và x-1 trái dấu
Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1
Vậy 0 < x <1 thì x2 < x
Bài 2: Tính
a, (32 ) 2 − (23 ) 2 − (−52 ) 2
1
1
1


b, 23 + 3.(− ) 0 − ( ) 2 .4 + (−2) 2 :  : 8
2
2
2

1
c, (4.25 ) : (23. )
16

GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày
Bài 3: Thực hiện phép tính :
  1 2
1
 1 
a- 6. −  − 3. −  + 1 : (− − 1
3
 3  
  3 
3

b-

)

2

2  3
2003
  . −  .( − 1)
3  4

2
3
2  5 
  . − 
 5   12 

? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính
11


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
-

GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày

Bài 4: Tính
a,
b,

( )

0

8
 3 4 1 15  1 6
 7 . 15 + 3 . 9  . 3 . 12 4
10 4.81 − 16.152
4 4.675

Gv: Hướng dẫn học sinh giải

0

( )

3 4 1 15  1 68
1 2 8 .3 8

a,
 7 . 15 + 3 . 9  . 3 . 12 4 =1. 3 . 2 8.3 4
= 35

10 4.81 − 16.152
2 4.5 4.3 4 − 2 4.3 2.5 2 2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2 − 1)
b,
=
=
=….
2 8.33.5 2
2 8.33.5 2
4 4.675
124
2
2 5.7 14
=4
= 4 = 4 =
3
2 .3 2 .3 3
Bài 5:
a,Tính tổng A

= 1+5+52+53+… +52008+52009

b , B= 2100-299+298-297+…..+22
suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng C = 3100- 399 + 398 - 397 +…. +32 - 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100
12


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đề : LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ (Tiếp theo)
I. Mục tiêu.
Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến
đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức
lũy thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình
bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu
thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề

III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà khơng dùng các phép tính
cộng, trừ,
nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32;

b) (-0,125)3.804;

c)

82.45
;
220

d)

8111.317
.
2710.915

Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0. Hãy viết x12 dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?
b) Luỹ thừa của x4 ?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;

b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12);
c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4;
g) (2x – 1)3 = -8.
1 2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2x ;
4 6 8 10 12 62 64

h) . . .

Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n < 128; b) 2.16 ≥ 2n > 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x − 4)( x −5)

( x +5)
( x −6 )( x + 6)

13

. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;

c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x
và y nào ta
cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.

14


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đề: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (Tiết 1)
I.
Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng tốn cơ bản nhất :
Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài
tốn về dãy có quy luật
Một số bài tốn khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài tốn cơ bản. Biết
vận dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tịi sáng tạo để hiểu sâu thêm và
tổng qt hóa cho các bài tốn
Thái độ : u thích, say mê, tìm tịi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến,
không nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các
bài tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ơn tập kiến thức cũ có liên quan .

III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dụng
I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ
1; 3; 5; 7;...
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: S = 1 + 3 + 5 + L + 2n + 1 với (n ∈ N )
d) Tớnh: S = 2 + 4 + 6 + L + 2n với (n ∈ N * )
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;...

Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:

n(n + 1)
2

Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vơ lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một
số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng
làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50
cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc
15

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1.
ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S1 = 1 + 2,

S 2 = 3 + 4 + 5,

Bài 5: Cho S3 = 6 + 7 + 8 + 9,
S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
...

Tớnh S100 ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với
số mũ băng bao nhiờu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 ; B = 321 : 2
Tớnh B − A
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22007

B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 n

C = 1 + 2 2 + 2 4 + ... + 2 2008

D = 1 + 22 + 24 + ... + 22 n

E = 2 + 23 + 25 + ... + 22007

F = 2 + 23 + 25 + ... + 22 n +1

Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
c) S 2 = a + a3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * )
Bài 11: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A <

B
.
3

Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a ) A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
50 ch÷sè

b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
200 ch÷sè

Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )
16

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo
qui luật:
1

1

1

1) n(n + 1) = n n + 1 .
k
1
1
= k ì
ữ.
n(n + 1)
n n +1
1
1 1
1
= ì
3)
ữ.
n( n + k ) k  n n + k 
k
1 
1
= −
4)

÷.
n(n + k )  n n + k
1
1
1 1
1 1 1
1
=
= ì
5)
ữ = × −
÷.
2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2  2n 2n + 2  4  n n + 1
1
1 1
1
= ì

6)
ữ.
(2n + 1)(2n + 3) 2  2n + 1 2n + 3 
1
1
1
7) n.(n + 1) < n2 < (n − 1).n .
(Trong đú: n, k ∈ N∗ , n > 1 )

2)

2. Bài tập

TỪ MỘT BÀI TỐN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài tốn tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :

Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài tốn khó hơn
chút xíu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
17


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Hơn nữa ta có :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :

Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và
khác nhau thỡ
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.

Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 <
a45 và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
1 1 1 1
1 1
+ 3 + 4 +L + 7 + 8 .
2
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B = + 2 + 3 + 4 + L + 2007 + 2008 .
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
1
c) C = + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ .
3 3 3 3
3
3

a) A = +

Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
18

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
1
a

Tớnh nhanh: S = +

1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) .
2
a a a
a
a

Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug:
a)

1
1
1
1
;
;
;
;...
1.2 2.3 3.4 4.5

1

6

b) ;

1
1
1
;
;
,...
66 176 336

Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
1
1
1
1
+
+
+L +
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1
1
1
+

+
+L +
b) S =
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
∗
c) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.( n + 1).( n + 2) ; (n ∈ N ) .

a) S =

Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 1
1
1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A = 1
1
1
1
1 .
+
+
+L +

+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
+ + +L + +
2
3 4
99 100
B=
99 98 97
1 .
+ + +L +
1
2
3
99

b)

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +

1
1 1
1 1
1 1
100 100 100

100
) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95
49.51

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.

100 − 1 100 − 2 100 − 3
100 − 99
+
+
+L +
=
1
2
3
99
100   1 2 3
99 
 100 100 100
b) Biến đổi số chia: =  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ −  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ =
1 
1
1 

1 1
1 1
= 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 1 + 100  + + L + +
÷
99 
99 100 
2 3
2 3
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =
.
100

Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy:
1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35

Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35

19

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
22 32 42 52 6 2
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
.
98.100
22 32 42 52 62
992
99
A=
× × × × L
=
Ta cần tớnh:
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

Do đú số hạng thứ 98 cú dạng

1
2

1
3

Bài toỏn 7: Cho A = 1 + + +  +

1
. Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số
100

tự nhiờn.
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 26
với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1, k2, …, k100 là cỏc thừa số phụ tương ứng,
tổng A cú dạng:
B=

k1 + k 2 +  + k n
. Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số 1/64
2 6.3.5.7.9...99

cú mẫu chứa 26 nờn trong cỏc thừa số phụ k1,..., k100 chỉ cú k64 là số lẻ, cũn cỏc
thừa số phụ khỏc đều chẵn.
1
2

1
3

1
n

Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho A = 1 + + +  + . Hóy chứng minh rằng
A khụng phải là số tự nhiờn.

Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật ( tiếp )
Phần 2 . Các dạng khác.
20


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Các bài toán
n +1

Bài 2: Tớnh a) ( 22 ) (2

2)

Bài 2: So sỏnh

224 và 316

b)

 5
− ÷
 7  (n ≥ 1)
c)
n
 5
− ÷
 7

814
412

Bài 3: Tớnh giỏ trị biểu thức
a)

( 0,8 ) 5
b)
( 0, 4 ) 6

4510.510
7510

c)

215.94
63.83

d)

810 + 410
84 + 411

Bài 1: Khai triển các tích sau:
a) (x – 2)(y + 3);
1

 3



3

2  10 x − 27

b)  x + 5 ÷ y − 1÷; c)  x + y ÷
.
3 
7
2
 2

5
Bài 3: Viết các tổng sau thành tích:
a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 – 5y + 6;
c) x2 - 7x + 12;
d) 2a2 + 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3;
N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
P=

1
1
1
1
1
1
1
1
+

+
+…+
73.80 2.9 9.16 16.23 23.30
3.10
10.17 17.24

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
Q=

1
1
1
1
1
1
+
+…+
1.3 2.4 3.5 4.6
97.99 98.100

Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
1 1
1
1 1
1


x  x + ÷− x −
x  x − ÷− x +
C =  2  5 10 ×  2  3 6

3
5

Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
K=

3x ( x + y ) − 6 ( x + y ) + 1
x−2

Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
H=

1996x + 1
1997x − 1997

21


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng
thức sau:
a a a
− =
b c b.c

Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c)

82.45
8111.317

;
d)
.
220
2710.915

Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)…(1000 - 503)
Bài 5: Tính giá trị của:
M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;
N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12);
P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4;
g) (2x – 1)3 = -8.

1 2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2x;
4 6 8 10 12 62 64

h) . . .

Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n < 128;
b) 2.16 ≥ 2n > 4;

c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x − 4)( x −5)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y
nào ta cũng có:
ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1.
( x −6 )( x +6)

( x +5)

Chuyên đề: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I. Mục tiêu
Kiến thức :- Nắm được các kiến thức, cơng thức, quy tắc các tính chất dãy
tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
22


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Kỹ năng :- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hồn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết
Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình tốn 7 từ đó có thái độ
nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi giỏi toán 7

Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chun mơn
III. Tiến trình tiết dạy :
Bài 1: Cho tỉ lệ thức
a)

a+b c+d
=
;
b
d

a c
= . Chứng minh rằng:
b d
a −b c−d
=
b)
;
b
d

Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
x

7

x

y

a) y = 3 và 5x – 2y = 87;
b) = và 2x – y = 34;
19 21
Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x y y z
= ; = và 2x + 3y – z = 186;
3 4 5 7
2x 3y 4z
=
=
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d)
và x + y + z = 49;
3
4
5
x −1 y − 2 z − 3
=
=
e)
và 2x + 3y – z = 50;
2
3
4

a)

x y z
= =
và 5x + y – 2z = 28;

10 6 24

b)

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)

x y z
= = và xyz = 810;
2 3 5

b)

x 3 y3
z3
=
=
và x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216

Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng:

y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
;
x
y

z
x+y+z
1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y
2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1
=
=
=
=
b)
;
c)
18
24
6x
5
7
6x

a)

a
b
c
,
,
. Tìm giá trị của mỗi tỉ số
b +c c +a a +b
a
c
2a +13b 2c +13d

=
= .
.
Chứng
minh
rằng:
3a −7b
3c −7d
b
d
a
c
= ; Chứng minh rằng:
b
d

Bài 7: Cho ba tỉ số bằng nhau:
Bài 8: Cho tỉ lệ thức:
Bài 9: Cho tỉ lệ thức:

23

đó ?


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
a)

5a + 3b 5c + 3d
=

;
5a − 3b 5c − 3d

Bài 10: Cho dãy tỉ số :
x
y
z
= =
a
b
c

7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
.
2
2
11a − 8b
11c 2 − 8d 2
bz −cy cx −az ay −bx
=
=
. Chứng
a
b
c

b)

minh rằng:

.

Bài 11: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
a13 + a 32 + a 33 a1
Chứng minh rằng: 3 3 3 = .
a2 + a3 + a4 a4

Bài 12*: Cho tỉ lệ thức :

a 2 +b 2
ab
=
2
2
c +d
cd

. Chứng minh rằng:

a
c
=
b
d

.

Chuyên đề: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (TIẾP THEO)

I. Mục tiêu
Kiến thức : - Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy
tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
24


Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7
Kỹ năng : - Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hồn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết
Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình tốn 7 từ đó có thái độ
nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
- II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi giỏi toán 7
Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chun mơn
II. Tiến trình tiết dạy :
Bài 1: Tìm phân số

a
b

biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và

mẫu thì giá trị
của phân số đó khơng thay đổi ?
Mở rộng: Với một phân số bất kỳ

a
b

ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số

y.
Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số
cộng ?
Bài 2: Cho

a b c
= = ;
b c a

a
b
c
,
,
.
b +c c +a a +b

a
c
= ; Chứng minh
b
d
5a + 3b 5c + 3d
a) 5a − 3b = 5c − 3d ;
2a +13b 2c +13d
5: Cho tỉ lệ thức: 3a −7b = 3c −7d ;

Bài 4: Cho tỉ lệ thức:

Bài 6: Cho

a
b
c
= =
b
c
d

không thay đổi sau khi

CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.

Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau:

Bài

a
b

Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

rằng :
b)

7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd

=
2
2
11a − 8b
11c 2 − 8d 2

Chứng minh rằng:

.

a
c
=
b
d

.

3

. CMR:

a
 a +b +c 

÷ =
b
+
c
+

d
d



a

a

; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.

a

a

1
2
3
2008
Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a = a = a = ... = a
2
3
4
2009

CMR: Ta có đẳng thức:

a1
a 2009

2008

 a + a 2 + a 3 +... + a 2008 
= 1
÷
 a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009 

Bài 8: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
a13 + a 32 + a 33 a1
Chứng minh rằng: 3 3 3 = .
a2 + a3 + a4 a4

Bài 9: Cho dãy tỉ số :
Bài 10: Cho biết :
Bài 11*: Cho tỉ lệ

bz −cy cx −az ay −bx
=
=
a
b
c

; CMR:

x
y
z
= =
a

b
c

a b'
b c'
+
=
1;
+ = 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
a' b
b' c
a
c
a 2 +b 2
ab
=
thức : 2
. Chứng minh rằng: =
2
b
d
c +d
cd

25

.

.