HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.02 MB, 148 trang )

CHƯƠNG III
HỆ HAI PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN

1

GHI CHÚ CÁ NHÂN

............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................................................ .............................................................
................................................................................................................................................................................................... ..........................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
........................ ................................................................................................................... .................................................................................
............................................................................................................................................................................... ..............................................
.................................................................................................................................................................................................................. ...........
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................. ................................................................................................... ........................................................................
........................................................................................................................................................................................ .....................................
.............................................................................................. ............................................................................................................................. ..
................................................................................................................................. ............................................................................................
........................................................................ ........................................................................................... .........................................................
....................................................................................................................................................................................................... ......................
..................................................................................................................... ........................................................................................................
.......................................................................................................................................... ...................................................................................
................................................................................................. ........................................................................... ................................................
................................................................................................................................................................................................................ .............
...................................................................................................................... .......................................................................................................
......................................................................................................................................................... ....................................................................
........................................................................................................................ ................................................................... .................................

a) Điểm M(1 ; 0) thuộc đường thẳng mx – 5y = 7
b) Điểm N(0 ; –3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = –21
c) Điểm P(5 ; –3) thuộc đường thẳng 3x – my = –1
d) Điểm Q(2 ; –3) thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1) y = 2m + 1
Giải
........................................................................................................ .....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
......................................................................................................................................................... ....................................................................
.................................................................................................................................................... .........................................................................
....................................................................................................................................................................................... .....................................

Bài 2 : Cho phương trình : x – y = 2
a) Xác định m để cặp số (1 ; m +2) là một nghiệm của phương trình
b) Cặp số

(

2 + 1; 2 − 1) có phải là một nghiệm của phương trình hay khơng ?

Giải
.......................................................................................................................... ...................................................................................................
............................................................................................................................................................. ................................................................
................................................................................................................................................................................................ .............................
......................................................................................................... ............................................................................................................. .......
............................................................................................................................................ .................................................................................

4

DẠNG 2: TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ax + by = c VÀ
VẼ ĐƯỜNG THẲNG BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA NĨ
Phương pháp giải :
1) Tìm nghiệm tổng qt của phương trình ax + by = c
c − by
• Nếu a ≠ 0 thì tìm x theo y : x =
và công thức nghiệm tổng quát là :
a
c − by

x =
a

 y  R
c − ax
• Nếu b ≠ 0 thì tìm y theo x : y =
và cơng thức nghiệm tổng quát là :
b
c − ax

y =
• 
b
 x  R
2) Vẽ đường thẳng có phương trình : ax + by = c
1
• Nếu b ≠ 0 thì vẽ đường thẳng : y = ( c − ax )
b
c
• Nếu b = 0 thì đường thẳng : x =

cùng phương với trục tung
a
Ví dụ 1 ( Bài 2/7 SGK) Với mỗi phương trình sau tìm nghiệm tổng quát của phương trình
và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó :
a)3x − y = 2
c) 4x − 3y = −1

b) x + 5y = 3
d) 4x + 0y = −2
Giải

a) Ta có 3x − y = 2  y = 3x − 2 .

 y = 3x − 2
Nghiệm tổng quát của phương trình là : 
x  R
b) Ta có x + 5y = 3  x = −5y + 3 .
 x = −5y + 3
Nghiệm tổng quát của phương trình là : 
y  R
1
c) Ta có 4x − 3y = −1  y = (4x + 1) .
3
1

 y = (4x + 1)
Nghiệm tổng quát của phương trình là : 
3
 x  R

5

1
d) Ta có 4x + 0y = −2  x = − .
2

1

x = −
Nghiệm tổng quát của phương trình là : 
2
 y  R
BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Với mỗi phương trình sau tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường
thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó :

a) 2x − y = 3
c) 0x + 5y = −10

b) 3x − 2y = 6
d) - 4x + 0y = −12
Giải

............................................................................................................................................... ..............................................................................
.................................................................................................................................................................................. ...........................................
..................................................................................................................................................................................................................... ........
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................

Cho hệ phương trình (HPT) : a 'x + b' y = c' (d ')

Dựa vào hệ số góc và tung độ góc của hai đường thẳng (d) và (d’) để biết số nghiệm của HPT
• Nếu (d) cắt (d’) thì hệ có một nghiệm
• Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vơ nghiệm
• Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ vơ số nghiệm

Ví dụ 1 : (Bài 4/11 SGK) khơng cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương
trình sau đây và giải thích vì sao :

 y = 3 − 2x
a) 
 y = 3x − 1
1

y
=
−
x+3

2
c) 
y = − 1 x + 1

2

 2y = −3x
b) 
3y = −2x
3x − 2y = 3


d) 
1
 x − 3 y = 1
Giải

a) Đường thẳng y = 3 – 2x có hệ số góc a = – 2 cịn đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc
a’ = 3 . Vì a ≠ a’ nên hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm, do đó hệ đã cho có 1
nghiệm
3
2
3
2
b) Hai đường thẳng y = − x và y = x có hệ số góc lần lượt là a = − và a ' = .
2
3
2
3
Vì a ≠ a’ nên hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm, do đó hệ đã cho có 1 nghiệm
1
1
1
c) Hai đường thẳng y = − x + 3 và y = − x + 1 có hệ số góc lần lượt là a = a ' = − .
2
2
2
Vì a = a’ nên hai đường thẳng này song song nhau, do đó hệ đã cho vơ nghiệm
1
d) Hai đường thẳng 3x − y = 3 và x - y = 1 là hai đường thẳng này trùng nhau, do đó hệ
3

đã cho vơ số nghiệm

7

Ví dụ 2 ( Bài 5/11 SGK) Đốn nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học

 2x − y = 1
a) 
 x − 2y = −1

 2x + y = 4
b) 
− x + y = 1
Giải

a) Vẽ hai đường thẳng 2x – y =1 và x – 2y = –1 trên cùng trục tọa độ như hình vẽ dưới,
chúng cắt nhau tại điểm có tọa độ (1 ; 1) . Vậy nghiệm của hệ là (1 ; 1)
b) Vẽ hai đường thẳng 2x + y =4 và –x + y = 1 trên cùng trục tọa độ như hình vẽ dưới,
chúng cắt nhau tại điểm có tọa độ (1 ; 2) . Vậy nghiệm của hệ là (1 ; 2)

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ,
rồi xác định nghiệm của chúng
Giải
............................................................................................. ..............

...........................................................................................................

b) 
3x + 3y = 2
 −6x + 4y = 0
Giải
...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................


 2x + y = 2
 x + ay = 1
Giải
x − y = 1
Hệ phương trình 
có nghiệm (1 ;0)
 2x + y = 2

 ax − 2y = 2
Để hai hệ đã cho tương đương nhau thì nghiệm (1 ; 0) phải là nghiệm của hệ 
 x + ay = 1
a.1 − 2.0 = 2
Khi đó ta có 
a=2
1 + a.0 = 1
 2x − 2y = 2
Ngược lại với a =2 thì hệ thứ hai trở thành : 
có nghiệm (1 ;0) .
 x + 2y = 1
Vậy a =2 thì hai hệ pt đã cho tương đương.
9

Bài tập áp dụng
Xác định a để hệ hai phương trình sau tương đương :
 2x − 3y = 5
 2x − 3y = 5
x − y = 2
 2ax − 2y = 1

a) 
b) 
và 
và 
 4x + y = 3
12x + 3y = a
3x + y = 1
 x + ay = 2
Giải
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................................................ .............................................................
................................................................................................................................................................................................... ..........................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................
............................................................................................................................................................................... ..............................................
............................................................................................... ................................................................................................................... ...........
............................................................................................................................. ................................................................................................
..................................................................................................................................................... ........................................................................
........................................................................................................................................................................................ .....................................
.............................................................................................. ............................................................................................................................. ..
................................................................................................................................. ............................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................... ............................................................................................. ......
............................................................................................................................. ................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ...................................................................
............................................................................................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................... ....................................................

a) Ta có 


3x − 4y = 2
3x − 4y = 2
3x − 4(y − 3) = 2
y = x − 3
 y = x − 3  x = 10



 − x + 12 = 2
 x = 10
y = 7
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (10;7)
b)

7x − 3y = 5
7x − 3y = 5
7x − 3(2 − 4x) = 5



 4x + y = 2
 y = 2 − 4x
 y = 2 − 4x
7x − 6 + 12x) = 5
19x = 11
 x = 11/19




 y = 2 − 4x
 y = 2 − 4x
 y = −6 /19
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (11/19 ; -6/19)

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :
 x + y 5 = 0
3x − 2y = 11
a) 
b) 
 4x − 5y = 3
 x 5 + 3y = 1 − 5
x y
 (2 − 3)x − 3y = 2 + 5 3
 − =1
c) 
)  2 3
4x
+
y
=
4
−
2
3

5x − 8y = 3

11

Giải

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

............................................................................................... ............

.......................................................................................................... .

...........................................................................................................

Giải
a) Cộng từng vế hai phương trình ta có :
3x + y = 3
3x + y = 3
 y = −3



 2x − y = 7
5x = 10
x = 2
Vậy hệ có nghiệm ( 2 ; -3)
b) Lấy phương trình thứ nhất của hệ trừ phương trình thứ hai ta có :
 2x + 5y = 8
 2x + 5y = 8
x = 3 / 2
 


 2x − 3y = 0
8y = 8
y = 1
Vậy hệ có nghiệm ( 3/2 ; 1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
 4x + 3y = 6
 2x + 3y = −2
0,3x + 0,5y = 3
a) 

b) 
c) 
 2x + y = 4
3x − 2y = −3
1,5x − 2y = 1,5
Giải
...................................................................................................................................................................................... .......................................
......................................................................................................................................................................................................................... ....
.............................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
........................................................................................................................................ .....................................................................................

13

........................................................................................................................................................................... ..................................................
.............................................................................................................................................................................................................. ...............
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................. ...............................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ..... ..........................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................................................ .............................................................
................................................................................................................................................................................................... ..........................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................... .......................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................... ..........................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................
............................................................................................................................................................................... ..............................................
........................................................................................................... ....................................................................................................... ...........
............................................................................................................................. ................................................................................................
..................................................................................................................................................... ........................................................................
........................................................................................................................................................................................ .....................................
.............................................................................................. ............................................................................................................................. ..
................................................................................................................................. ............................................................................................
.................................................................................................................................. ..........................................................................................
....................................................................................................................................................................................................... ......................
............................................................................................................................. ................................................................................................
.......................................................................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................................................................. ................................................
................................................................................................................................................................................................................ .............
.............................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... ....................................................................
........................................................................... .................................................................................................................................................
........................................................................................................................ .....................................................................................................
............................................................................................................................... ..............................................................................................
.................................................................................................................................................................. ...........................................................
..................................................................................................................................................................................................... ........................
........................................................................................................... ..................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................. ................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

3x − 2y = 11
 −5x + 2y = 4
 2x − 3y = 11

a) 
b) 
) 
2
1
x− y=3
 6x − 3y = −7
 −4x + 6y = 5

3
3

15

Giải
............................................................................................................................. ..................................................................................
.............................................................................................................................................................................. .................................
.................................................................................................. .............................................................................................................
................................................................................................................................................... ............................................................
.................................................................................................................................................................................................... ...........
............................................................................................................................. ..................................................................................
................................................................................................................................................................... ............................................
...............................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ .......................................................................
......................................................................................................................................................................................... ......................

..................................................................................................................... ..........................................................................................
........................................................................................................................................................ .......................................................
......................................................................................................................................................................................................... ......
........................................................................................... ...................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................. .................................
.......................................................................................................... .....................................................................................................
............................................................................................................................................. ..................................................................
.............................................................................................................................................................................................. .................
.................................................................................................................. .............................................................................................
................................................................................................................................................................... ............................................
............................................................................................... ................................................................................................................
.................................................................................................................................. .................. ..........................................................
................................................................................................................................................................................... ............................
....................................................................................................... ........................................................................................................
........................................................................................................................................................ .......................................................
......................................................................................................................................................................................................... ......
............................................................................................................................. ..................................................................................
........................................................................................................................................................................ .......................................
...............................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................. .................
.......................................................................................................................... ......................................................................................

16

DẠNG 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp giải :
• B1 : Đặt điều kiện (nếu có)
• B2 : Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

• B3 : Giải HPT theo các ẩn phụ đã đặt
• B4 : Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau:

 2(x + y) + 3(x − y) = 4
a) 
(x + y) + 2(x − y) = 5

 2(x − 2) + 5(1 + y) = −2
b) 
3(x − 2) − 2(1 + y) = −3

Giải
a) Đặt u = x +y và v = x – y ta có hệ phương trình mới theo ẩn u, v là :
 2u + 3v = 4  2u + 3v = 4 (1)


u
+
2v
=
5

 2u + 4v = 10 ()
Lấy PT(2) – PT(1) của hệ trên ta được hệ mới :
 2u + 3v = 4 (1)
 2u + 3v = 4
 u = −7




 2u + 4v = 10 ()
v = 6
v = 6
Thay u, v bằng ẩn x, y ta có hệ mới sau :
1

x=−

 x + y = −7

2


x − y = 6
 y = − 13 .

2
 1 13 
 − ;− 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  2 2 

b) Đặt u = x – 2 và v = 1 + y ta có hệ :
 2u + 3v = −2 6u + 9v = −6
6u + 9v = −6
 u = −1





3u − 2v = −3
6u − 4v = −6
13v = 0
v = 0
Thay u, v bằng ẩn x, y ta có hệ mới sau :
 x − 2 = −1
x = 1


1 + y = 0
 y = −1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1 ; -1)

17

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
 2(3x − y) − 4 = 5(3y + 2)
3(x + y) + 5(x − y) = 12
a) 
b) 
 4(3x − 2) + 7(3y + 2) = −2
 −5(x + y) + 2(x − y) = 11
Giải
...................................................................................................................................................... .......................................................................
......................................................................................................................................................................................... ....................................
............................................................................................................................................................................................................................ .
.............................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................. ................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
........................................................................................................................................... ..................................................................................
.............................................................................................................................................................................. ...............................................
................................................................................................................................................................................................................. ............
.............................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................................................................................
............................................................................................................................. ..... ..........................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................ .............................................................................................
................................................................................................................................................................... ..........................................................
...................................................................................................................................................................................................... .......................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................... ...................................................................................................
........................................................................... .................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
........................................................................................................................................................ .....................................................................
........................................................................................................................................................................................... ..................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................... ..............................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

18

Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :
1 1
x − y =1


a) 
3 + 4 = 5
 x y

 1
x − 2 +

b) 
 2 −
 x − 2

1
=2
y −1
3
=1
y −1

Giải
.................................................................................................. ..........................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................ .............................................................................................
................................................................................................................................................................... ..........................................................
...................................................................................................................................................................................................... .......................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................... ..................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

............................................................................................................................. ................................................................................................
........................................................................................................................................................ .....................................................................
................................................................................................................................... .........................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................ .............................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................................. ................................................................................
................................................................................................................................................................................ .............................................
............................................................................ ...................................................................................................................................... ..........
.............................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................... ........................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
.................................................................................................................................. ...........................................................................................
..................................................................................................................................................................... ........................................................
..............................................................................................................................................................................................................................

19

CHỦ ĐỀ 4 : GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Các bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình :
Bước 1 : (Lập hệ phương trình ). Bao gồm :
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số ;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng
Bước 2 : ( Giải hệ phương trình ) . Giải hệ phương trình thu được

Bước 3 : ( Trả lời ) Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào
thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời .
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
Phương pháp giải :
• Biểu diễn số có hai chữ số : ̅̅̅
ab = 10a + b
a là chữ số hàng chục : 0 < a ≤ 9, a thuộc N
b là chữ số hàng đơn vị : 0 ≤ b ≤ 9, b thuộc N
̅̅̅̅̅ = 100a + 10b + c
• Biểu diễn số có ba chữ số : abc
a là chữ số hàng trăm, b là chữ số hàng chục, c là chữ số hàng đơn vị

Ví dụ 1 : Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số
nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Giải
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là x, y (x là số lớn). Theo đề bài ta có hệ phương trình
 x + y = 1006 (1)

 x = 2y + 124 (2)
Thay (2) vào (1) : 3y +124 = 1006  y =294 . Từ đó suy ra x = 712
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là : 712 và 294
Ví dụ 2 : Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6 . Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì
số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại . Hãy tìm số đó .
Giải
Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b : 0 < a,b   và a,b  
Theo đề bài ta có :
a + b = 6
a + b = 6
a + b = 6

a + b = 6
a = 2
 





10a + b + 18 = 10b + a
9a − 9b = −18
 a − b = −2
b = 4
 ab + 18 = ba
Vậy số cần tìm là số 24 .
20

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Tổng hai số bằng 59. Hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7 . Tìm hai số đó
Giải
................................................................................................................................................................................................. ............................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................................... ..........................................................................
...................................................................................................................................................................................... .......................................
......................................................................................................................................................................................................................... ....
.............................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................. ...............................................................................................................................

Bài 2 : Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã
cho là 63 . Tổng của hai số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 . Tìm số đã cho
Giải
.............................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................... ......................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
...................................................................................................................................... .......................................................................................
......................................................................................................................................................................... ....................................................
............................................................................................................................................................................................................ .................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................ .................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
.............................................................................................................................................................. ...............................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................. ............................................................................................................................

21

Bài 3 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m . Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng
là 20 m . Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường
Giải
............................................................................................................. ................................................................................................................
......................................................................................................................................... ....................................................................................

1
x

bể, vòi thứ 2 chảy được

1
y

bể
22

Hai vịi cùng chảy đầy bể sau
phương trình :

1 1 5
+ =
x y 24

24
5

giờ nên 1 giờ cả hai cùng chảy được

5
24

bể .Ta có

(1)

Trong 9 giờ, vịi thứ nhất chảy được

9
x

bể và trong

6
5

giờ hai vòi cùng chảy được

6 1 1 
9 6 1 1 
+  +  =1
 +  nên ta có phương trình :
5 x y
x 5 x y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 5
(1)
 x + y = 24


 9 + 6  1 + 1  = 1 (2)
 x 5  x y 
1
1

Đặt u = và v = . Ta có hệ sau :
x
y

(2)

5
1


5
u=

 u + v = 24

 x = 12
u + v =

12


24  

y = 8
9u + 6 ( u + v ) = 1
51u + 6v = 5
v = 1


5

8
Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể .
Ví dụ 2 : Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất
làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hồn thành được 25% cơng việc . Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng việc đó trong bao lâu ?
Giải
Ta có 25% = 1/4
Gọi x(giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc (x > 0)
Y(giờ) là thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc (y > 0)

- Trong một giờ người thứ nhất hồn thành được
được

1
y

1
x

cơng việc, người thứ 2 hồn thành

cơng việc .

- Hai người cùng làm cơng việc trong 16 giờ thì xong vậy trong 1 giờ hai người cùng làm
được

1
16

cơng việc . Ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên trên ta được x = 24 ; y = 48
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong 24
giờ và người thứ 2 hồn thành cơng việc trong 48 giờ

23

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn ( khơng có nước) thì bể sẽ đầy trong
1 giờ 20 phút . Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ
được 2/15 bể nước . Hỏi nếu mở riêng từng vịi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là
bao nhiêu ?
Giải
........................................................................................................................................................ .....................................................................
........................................................................................................................................................................................... ..................................
.............................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................................. ................................................................................
................................................................................................................................................................................ .............................................
................................................................................................................................................................................................................... ..........
.............................................................................................. ...............................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
.................................................................................................................................. ...........................................................................................
..................................................................................................................................................................... ........................................................
........................................................................................................................................................................................................ .....................

.............................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................... .......................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................... ............................................................. ................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ...................................................................
............................................................................................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................... ........................................................................................................................
...................................................................................................................................... .......................................................................................

24

Bài 2 : Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong .Nếu người thứ
nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được 3/4 bức tường .
Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường ?
Giải
............................................................................................................................................... ..............................................................................
.................................................................................................................................................................................. ...........................................
..................................................................................................................................................................................................................... ........
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
.................................................................................................................................... .........................................................................................
....................................................................................................................................................................... ......................................................
.......................................................................................................................................................................................................... ...................
.............................................................................................. ...............................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................................................ .................................................................
............................................................................................................................................................................................... ..............................
.............................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................... .......................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................... ............................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................................. ............................................................................
.................................................................................................................................................................................... .........................................
....................................................................................................................................................................................................................... ......

Bài 3 : Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong bốn ngày thì xong việc . Nếu
người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong
một ngày nữa thì xong việc . Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc ?
25

Giải
............................................................................................................................... ..............................................................................................
.................................................................................................................................................................. ...........................................................
..................................................................................................................................................................................................... ........................
......................................................................................................... ....................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
....................................................................................................................................................... ......................................................................

.......................................................................................................................................................................................... ...................................
.............................................................................................. ...............................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................
............................................................................................................................................................................... ..............................................
.................................................................................................................................................................................................................. ...........
...................................................................................................................... .......................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................
............................................................... ............................................................. ................................................................................................
................................................................................................................................. ............................................................................................
.................................................................................................................................................................... .........................................................
....................................................................................................................................................................................................... ......................
........................................................................................................... ..................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................................................................

Bài 4 : Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô một lơ hàng ở cảng Sài Gịn . Sau 3 giờ có thêm năm cần
cẩu bé ( cơng suất bé hơn) cùng làm việc . Cả bảy cần cẩu làm việc trong 3 giờ nữa thì
xong . Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy
cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc.
26

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về