rat hay 123

Created by TEAM 6 Khoảng cách
CHUYÊN ĐỀ
Khoảng cách
Mục lục:
I. Lý thuyết và ví dụ . trang 1-11
II. Luyện tập . trang 11-14
Thành viên TEAM 6:
1. Phạm Thị Thanh Thuý
2. Trịnh Thị Thu Hiền
3. Nguyễn Tiến Hùng
4. Bùi Đức Anh
I. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
A, Lí thuyết:
1.Khoảng cách giữa hai điểm
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
là:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −
2.Khoảng cách từ điểm
0 0
( , )M x y
đến đường thẳng
Ax By C∆ = + +
là :
0 0
2 2

| |
( , )
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
3.Trường hợp đặc biệt:
0
( , ) | |x a d M x a∆ = = ⇒ ∆ = −
0
( , ) | |y b d M y b∆ = = ⇒ ∆ = −
4.Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là:
0 0
( )d M x y
= +
Định nghĩa: Cho đường cong (C) và đường thẳng
( )
∆
. Lấy bất kỳ điểm
( )
M C∈
và điểm
( )
N ∈ ∆
khi đó
( )
; mind C MN∆ =
.

Bài toán: Cho (C): y=f(x) và
( ) : 0Ax By C
+ + =
V
Tìm
( , )d CV
.
Cách 1: Lấy bất kì
0 0 0 0
( , ) ( ) ( )M x y C y f x∈ ⇒ =
Tính
( )
0 0
2 2
;
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
và tìm
( )
min ;d M ∆
Khi đó
( ) ( )
; min ;d C d M∆ = ∆
Cách 2: Viết pt tiếp tuyến (t) của (C) song song
( )V
⇒

Tiếp điểm
0 0
( , )A x y
và
( ) ( )
; ;d C d A∆ = ∆
1
Created by TEAM 6 Khoảng cách
B, Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số:
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Giải:
Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x

x
 
+
 ÷
+
 
là điểm thuộc (C) (
0
1x ≠ −
)
2x 1 2x 1
lim lim 2
1 1
x x
x x
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2
1
2 1
lim
1
x
x
x
+
→−
+

= +∞
+
1
2 1
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= −∞
+
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = -1
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
0
0 0
0 0
2 1
1
1 2 1 2
1 1
x
d x x
x x
+
= + + − = + + ≥
+ +
(BĐT Cauchy)

Dấu = xảy ra khi:
0 0
2
0 0
0 0
0
0 1
1
1 ( 1) 1
2 3
1
x y
x x
x y
x
= ⇒ =

+ = = + = ⇔

= − ⇒ =
+

Vậy 2 điểm M(0; 1) và N(-2; 3) thoả mãn đề bài
Ví dụ 2 : Cho (P)
2
2 2y x x= − +
và (d) y = x - 2. Tính khoảng cách ngắn nhất từ 1
điểm trên (P) đến (d).
Giải:
Cách 1: Khoảng cách cần tính chính là khoảng cách giữa (d) và tiếp tuyến (d') của (P)

song song với (d)
Ta có (d')//(d), nên tao dạng (d'): y = x + b
Để (d') tiếp xúc (P) thì :
hệ
2
2x 2
1 2x 2
x b x

+ = − +

= −

có nghiệm
3
2
1
4
x
b

=


⇔


= −



Lấy
1
0;
4
A
 
−
 ÷
 
thuộc (d). Do đó khoảng cách giữa (d) và (d') cũng chính là khoảng cách
từ A đến (d): x - y - 2 = 0
2
Created by TEAM 6 Khoảng cách
1
2
7 2
4
( ;( ))
8
2
AH d A d
−
= = =
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d) là: MK =
7 2
8
Cách 2: Lấy tuỳ ý M(
2
; 2 2a a a− +
) thuộc (P)

2
2
2 2
3 4
2
1 3 7 7 2
( ;( )) ( )
2 4 8
2 2
1 ( 1)
7 2 3
min ( ;( ))
8 2
M M
a a
x y
d M d a
d M d a
− + −
− −
 
⇒ = = = − + ≥
 
 
+ −
⇒ = ⇔ =
Khi đó
3 5
;
2 4

M
 
 ÷
 
Ví dụ 3 : Cho hàm số
4 2
0 0 0 0
2 3 2 1y x x x= − + +
có đồ thị là (C) và đường thẳng
( ) 2 1x∆ = −
.Tìm trên đồ thị (c) điểm A có khoảng cách đến (
∆
) là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Mỏ-Địa chất -1999)
Giải:
Giả sử
0 0
( , )A x y ( )C∈
,ta có:
4 2
0 0 0 0
2 3 2 1y x x x= − + +
Khoảng cách từ A đến (
∆
) là :
4 2
0 0 0 0
| 2 3 2 1 2 1|
( , )
5

x x x x
d A
− + + − +
∆ =
4 2
0 0
| 2 3 2 |
5
x x− +
=
4 2
0 0
2 3 2
5
x x− +
=
4 2
0 0
2 3
2 1
4
5
x x
 
= − +
 ÷
 
2
2
0

2 3 7
4 16
5
x
 
 
= − +
 
 ÷
 
 
 
7
8 5
≥
⇒
Mind=
7
8 5
khi
0
3
2
x = ±
Vậy có hai điểm cần tìm:
1
3 1
; 3
2 8
A

 
− − −
 ÷
 ÷
 

2
3 1
; ; 3
2 8
A
 
− +
 ÷
 ÷
 
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
5 15
3
x x
y
x
+ +
=
+
.Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách
từ M tới trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ M tới trục tung.
Giải:
Gọi (x,y) là tọa độ của M, ta có hệ

2
5 15
3
| | 2 | |
x x
y
x
y x

+ +
=

+


=

Từ đó ta giải hai hệ sau:
3
Created by TEAM 6 Khoảng cách
2
5 15
3
2
x x
y
x
y x

+ +

=

+


=

(I) hoặc
2
5 15
3
2
x x
y
x
y x

+ +
=

+


= −

(II)
Giải hệ (I) ta được hai điểm:
1
1 61
; 1 61

2
A
 
− −
− −
 ÷
 ÷
 

2
1 61
; ; 1 61
2
A
 
− +
− +
 ÷
 ÷
 
Hệ (II) vô nghiệm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
−

. Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng
cách từ M đên tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Giải:
Giả sử
0 0
( ; )M x y

( )C∈
, ta có:
0
0
0
2
3
x
y
x
+
=
−
2 2
lim lim 1
3 3
x x
x x
x x
→+∞ →−∞
+ +
= =
− −

Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận ngang y=1
3
2
lim
3
x
x
x
+
→
+
= +∞
−

3
2
lim
3
x
x
x
−
→
+
= +∞
−
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = 3
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là:
0
| 3|x −

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là:
0
0
5
| 1|
| 3|
y
x
− =
−
Ta phải có:
0
| 3|x −
0
5
| 3|x
=
−
0
3 5x⇒ = ±
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu nằm trên (C) có hoành độ là
0
3 5x = ±
// Chỗ này tìm điểm M cụ thể, theo yêu cầu của bài toán
Ví dụ 6: Cho hàm số
1
2
x
y
x

+
=
−
. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tồng
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Ngoại thương, năm 1997)
Giải:
Giả sử
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
0 0
; | | | |d x y= +
4
Created by TEAM 6 Khoảng cách
Ta có :
1
0;
2
M
 
−
 ÷
 
( )C∈
và
1
2
M
d =
Dựa vào đồ thị ta có:

i)
0
1
| |
2
x >
thì
1
2
d >
ii)
0
1
0
2
x< <
thì
0
1
2
y < −

1
2
d⇒ >

0
0 0 0
0
1

2
x
d x y x
x
+
= − − = − −
−

2
0 0
0
1
2
x x
x
− + −
=
−
Tìm GTNN của y
2
1
2
x x
x
− + −
=
−
trên
1
;0

2
 
−
 
 
Ta có:
2
'
2
4 1 1
0, ;0
( 2) 2
x x
y x
x
− + −
 
= < ∀ ∈ −
 
−
 
⇒
y giảm trên
1
;0
2
 
−
 
 

Vậy miny=
(0)y
1
2
=
và điểm M cần tìm là
1
0;
2
M
 
−
 ÷
 
Ví dụ 7: Cho (C):
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
Tìm
1 2
( , ) ( )M x y C∈
với
1
1x >

để khoảng cách từ
M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Giải:
2
2 1 2
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +
= = + +
− −
1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
−
→
= −∞
⇒
đồ thị hàm số nhận x=1 làm tiệm cân đứng.

lim ( 2 1) lim ( 2 1) 0
x x
y x y x
→+∞ →−∞
− − = − − =
⇒
đồ thị hàm số nhận y=2x+1 làm tiệm cận xiên.
Tọa độ giao điểm 2 đường tiệm cận là nghiệm hệ phương trình
1 1
(1;3)
2 1 3
x x
I
y x y
= =
 
⇔ ⇔
 
= + =
 
Giả sử
2
( 1,3 2 ) ( )M a a C
a
+ + + ∈
với
0a
>
2 2 2 2 2
2 2

2 4 4
( 1 1) (3 2 3) 5 8 2 5 . 8 4(2 5)
min 2 2 5
⇒ = + − + + + − = + + ≥ + = +
⇒ = +
MI a a a a
a a a
MI
Dấu “=” xảy ra
2
2
4
4 2
5 2 5
20
a a
a
⇔ = = ⇔ =
5