Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.8 MB, 30 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 36. [HH11.C3.5.D03.c] (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp có đáy
là hình vng tâm , vng góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải
Chọn B

- Vì là trung điểm của nên Do đó câu A đúng.

- Kẻ vng góc với mà hai mặt phẳng và vng góc với nhau theo giao
tuyến , suy ra vng góc với mặt phẳng .

Ta có và nên

Do đó câu B sai.

- Ta có và nên Do đó câu

C đúng.

- Vì vng góc với mặt đáy nên . Do đó câu D đúng.

Câu 45. [HH11.C3.5.D03.c] (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật, cạnh Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc
với đáy Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Kẻ

Do tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy .

là trung điểm của và .

đều cạnh

Kẻ ,

Kẻ

Ta có

Từ (1) và (2) suy ra

Ta có:

là trung điểm

Câu 27. [HH11.C3.5.D03.c] (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng
bằng.

A. . B. . C. . D. .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì chóp là chóp đều nên là hình vng cạnh .
Gọi O là tâm hình vng, ta có .

Ta có .

Gọi trung điểm . Lại có .

Suy ra suy ra .

Trong kẻ .

Xét vng tại , đường cao , ta có

Câu 32. [HH11.C3.5.D03.c] (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp có tam
giác là tam giác vuông tại , , . Góc giữa và mặt phẳng
bằng . Cạnh bên vuông góc với đáy. Khoảng cách từ đến bằng bao
nhiêu ?

A. . B. . C. . D.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dựng ;
Ta có:

và

Tam giác vng tại =

Tam giác vuông tại

Tam giác vuông tại A

Câu 41. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc

, và . Gọi là điểm đối xứng với qua . Khoảng cách từ
đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vì đều. Gọi là trung điểm của
. Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Mà .

Gọi là hình chiếu của trên và hay là

hình chiếu của trên .

Ta có .

Vì nên .

Câu 18. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh ,
. Tính khoảng cách từ điểm đến .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B

Gọi . Vì là hình vng nên .

Ta lại có: .

Từ và .

Mà .

Vậy .

Câu 45.[HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vng cạnh . Tam giác
cân tại và mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng

. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. .

B. .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

D. .

Lời giải
Chọn A

Gọi là trung điểm của cạnh và là hình chiếu vng góc của trên . Ta có

Suy ra

.
Ta có

Xét tam giác vng tại với là đường cao ta có

Vậy .

Câu 63. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình vng tâm vng góc với
mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?

A. . B. .

C. . D. .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lời giải
Chọn B

Xét đáp án A có:

nên A là mệnh đề đúng, A loại.

Xét đáp án B: Gọi là hình chiếu của trên Khi đó:

nên B là mệnh đề sai, chọn B.

Xét đáp án C:

nên C là mệnh đề đúng, C loại.
Xét đáp án D: Do

do đó D là mệnh đề đúng, D loại.

Câu 78. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh .
Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B

- Gọi là trung điểm của . Tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- suy ra

- Kẻ tại I, kẻ tại

Suy ra

- Tính , , .

+ Tam giác đều suy ra

+ Dùng đồng dạng suy ra:

+ Tam giác vuông tại suy ra:

Suy ra .

Câu 41: [HH11.C3.5.D03.c] Cho tứ diện có các tam giác và vuông cân và nằm
trong hai mặt phẳng vng góc với nhau, . Khoảng cách từ đến
mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Gọi lần lượt là trung điểm của thì .

Ta có .

Lại có nên .

Kẻ .

Tam giác vng tại có , .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vì là trung điểm nên .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] (Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho hình chóp
có đáy là hình thoi cạnh , , và vng góc với mặt phẳng

đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

Ta có , suy ra .

Trong mặt phẳng , kẻ tại ( là trung điểm vì đều) khi đó

Trong mặt phẳng , kẻ tại .

Ta có:

Vậy .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] (DỰ ÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA
2019-Đề 07) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, , ,

, và vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chọn C.

Ta có , suy ra .

Trong mặt phẳng , kẻ tại khi đó tam giác vuông tại và có

Trong mặt phẳng , kẻ tại .

Do nên tam giác vuông cân tại suy ra .

Vậy .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho hình chóp có đáy là

hình bình hành, , , , và vng góc với mặt phẳng đáy.

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Xét tam giác ta có nên mà

lại có nên từ dựng tại thì

Ta có

Vậy .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình thang cân đáy có
, và vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến

mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C

Gọi là trung điểm của khi đó tứ giác là hình thoi nên

vng tại mà

Ta có nên từ dựng tại thì

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có .

Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của và khi đó là đường trung bình

của tam giác .

Câu 22.[HH11.C3.5.D03.c] (Nơng Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho tứ diện đều có tất cả
các cạnh đều bằng , gọi là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính khoảng cách từ đến

mặt phẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải
Chọn C

Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác BCD, AG là đường cao của tứ diện

Xét tam giác đều BCD có .

Xét tam giác vng ABG có

Mà

Câu 9: [HH11.C3.5.D03.c] (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh , vng góc với mặt phẳng đáy,
, với . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi là hình chiếu của trên . Ta có:

mà .

hay khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
.

Trong tam giác vng có .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] (STRONG_Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho hình chóp

có đáy là hình chữ nhật, . Cạnh bên vng góc với đáy, biết
tam giác có diện tích . Tính khoảng cách từ đến .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Ta có: .

Gọi là giao điểm của và . Suy ra là giao điểm của và mặt phẳng .

Kẻ tại (Định lý 3 đường vng góc).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Mà .

Từ suy ra .

Xét tam giác vng tại ta có: .

Lại có tam giác vuông tại nên ta có: .

Câu 12: [HH11.C3.5.D03.c] (THPT Đồn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vng cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho
. Hai mặt phẳng và đều vng góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách từ B đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B

Trong mặt phẳng dựng .

Ta có: .

Khi đó: .

Xét trong tam giác vng tại ta có:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 23. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với ;
và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C

Ta có và

Kẻ , mà

Vậy

Xét tam giác ta có , chọn C.

Câu 39. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình lăng trụ đứng có , , và

. Gọi lần lượt là trung điểm của . Khoảng cách từ đến mặt phẳng
bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Thể tích khối lăng trụ là:
Dễ thấy

Mà nên

Ta lại có,

Xét thấy

Do đó, vng tại

Khoảng cách từ đến mặt phằng là:

Vậy, ta chọn B.

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , ,
và vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

Ta có và nên . Do đó .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Trong kẻ (với ) .

Ta có nên và suy ra . Do đó (2).

Từ (1) và (2) suy ra . Suy ra .

Trong tam giác vuông ta có (vì )

Trong tam giác vng ta có .

Vậy .

Câu 32. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh ;
và Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A.

Có

Ta có:

theo giao tuyến

Xét vng tại . Kẻ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 50. [HH11.C3.5.D03.c] (LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp có tất cả
các cạnh đều bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính khoảng cách từ đến mặt

phẳng ?

A. . B. . C . . D. .

Lời giải
Chọn C

Gọi , là trọng tâm tam giác .

Do đó: .

Lại có: là hình thoi nên là trung điểm của và .

Mà: là hình vng.

Khi đó: là tứ diện vuông đỉnh .

Vậy .

Câu 22. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh Mặt bên
tạo với đáy một góc Khi đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là

A. B. C. D.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Gọi là trung điểm của đoạn nên . Do đó:

Dựng tại

* vuông tại O

* vng tại có:

Vậy

Câu 39. [HH11.C3.5.D03.c] Hình chóp đáy là hình vng cạnh
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Gọi là trung điểm do tam giác cân tại

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 42. [HH11.C3.5.D03.c] Hình chóp có đáy là tam giác vng cân tại ,
. Tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

Gọi là trung điểm , khi đó .

Vì .

Kẻ theo giao tuyến . Kẻ

Ta có , , .

Câu 34. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh . Cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng . Tính
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chọn B

Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng .

Xét vuông tại có .

Gọi . Gọi là hình chiếu của lên .

Ta có .

Xét có .

Ta có .

Câu 18. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật:
Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm H của tạo
với đáy góc Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

A. B. C. D.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

vuông cân tại H

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vng góc của H lên SK

Xét vng ở H, có đường cao HI

Vì

Câu 30. [HH11.C3.5.D03.c] Cho tứ diện biết , , đơi một vng góc với nhau, biết
và thể tích khối tứ diện bằng 6. Khi đó khoảng cách từ đến mặt
phẳng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C

Ta có

Vẽ .

Ta có

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 44. [HH11.C3.5.D03.c] (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp
có đường cao , đáy là hình thang vng ở và ,

. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn A

+ Lấy là trung điểm tứ giác là hình vng cạnh bằng

+ vng cân

có: vng tại

(1)

(2)
Từ (1) và (2)

+ Dựng , có (vì )

Câu 12: [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,
và

. Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn B

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24></div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cách 2: z
 S

M
A D y
O
 B C
x

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Suy ra VTPT của là và phương trình mp là:

Câu 33. [HH11.C3.5.D03.c] (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình chóp 
có và là hình vng cạnh khoảng cách từ đến mặt phẳng

bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn C

Ta có: theo giao tuyến

Trong kẻ

Vậy

Đặt Ta có

Theo bài nên

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Do đó vng cân tại có:

Câu 8. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy. Cho biết , , . Tính khoảng cách
từ đến mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Do , , nên là

tứ diện vuông tại . Suy ra:

.
Câu 25. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là nữa lục giác đều nội tiếp trong
đường trịn đường kính và có cạnh vng góc với mặt phẳng đáy với .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ta có: và .

Mặt khác: và

Từ kẻ đường thẳng vuông góc với tại , suy ra:
Tam giác vng tại có góc , suy ra:
Xét tam giác vng tại có đường cao , ta có:

Vậy .

Câu 31. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh , vng
góc với đáy và .

Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

+ Gọi là giao điểm của ,

.
+ Gọi là trung điểm của

+ Trong (với ).

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

+ Ta có: .

Từ và suy ra .

+ Tính

- Trong tam giác vuông .

- Mặt khác: , .

Vậy .

Cách 2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

Vì là trung điểm của
Gọi là giao điểm của ,

Ta có: là một VTPT của mp

Vậy phương trình mặt phẳng

Câu 37. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật cạnh .
Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy . Tính khoảng cách từ
điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Gọi là trung điểm của . Tam giác đều nên suy ra . Theo giả thiết
vng góc với và có giao tuyến nên suy ra tại .

Có nên .

Trong kẻ tại , kết hợp ta suy ra

, mà nên trong nếu ta kẻ

tại thì tại , do đó .

Ta tính được : , .

Tam giác đều cạnh nên

vuông tại đường cao nên

Vậy khoảng cách từ đến là: .

Câu 24. [HH11.C3.5.D03.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác vng đỉnh , ,
vng góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng