Phân dạng bài tập phần so sánh phân số nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán của học sinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.4 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài

Tốn học là cơng cụ giúp học tốt các mơn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trị vơ cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó cịn có tiềm năng phát
triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.

Tốn học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lơgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học cịn có tiềm năng phát triển phẩm chất
đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời
từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Tốn học cịn hình thành và hồn
thiện những nét nhân cách như say mê và có hồi bão trong học tập, mong muốn
được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí
vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,….
Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện
hơn. Mặt khác tốn học cịn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn tốn để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.

- Kỹ năng vận dụng tri thức tốn học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính tốn,
sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời
giải một bài tốn.

Là giáo viên dạy tốn, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong q trình giảng
dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp và tìm tịi những phương pháp thích hợp để giúp

các em học sinh u thích và học tốt mơn tốn hơn, vững bước vào các kỳ thi, kiểm
tra và có kĩ năng vận dụng vào cuộc sống.

Vì vậy, tơi chọn đề tài “Phân dạng bài tập phần so sánh phân số nhằm

nâng cao kết quả học tập mơn Tốn của học sinh”
II. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
nêu về tốn học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài tốn nói riêng và đạt kết quả
cao trong q trình học tập nói chung.

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu
nhất để trong quỹ thời gian cho phép hồn thành được một hệ thống chương trình
quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các
bài tốn. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học
sinh, gây hứng thú học tập cho các em.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Các dạng toán về so sánh phân số và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng
cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh.

- Học sinh lớp trường THCS XXX

V. Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn
thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được
(nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết
luận.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHẦN II. NỘI DUNG

Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các
phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí. Tính chất bắc cầu của

thứ tự thường được sử dụng ( &

a c c m a m

thì

b  d d  n b  n ), trong đó phát hiện ra một số
trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.Sau đây tôi xin giới thiệu một số
phương pháp so sánh phân số

CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH

I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số
đó lớn hơn

Ví dụ : So sánh

11 17
&

12 18



 ?

Ta viết :

11 33 17 17 34

12 36 18 18 36

    



33 34 11 17

36 36 12 18

Vì     


Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương .

II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng 
dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn .

Ví dụ 1 :

2 2

5 4;
5 4vì  

  
3 3

7 5
7 5vì 

Ví dụ 2: So sánh

2 5
&
5 7?

Ta có :

2 10 5 10
&

525 7 24

10 10 2 5

25 24 5 7

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 3: So sánh

3 6

4 7

 

?
Ta có :

3 3 6 6 6

4 4 8 7 7

 

  

  

6 6 3 6

8 7 4 7

Vì     

 

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương .
III/CÁCH 3:

(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )
 +Nếu a.d>b.c thì

a c

b d + Nếu a.d<b.c thì 
a c
b d

+ Nếu a.d=b.c thì

a c
b d

Ví dụ 1:

5 7

5.8 7.6
68vì 

Ví dụ 2:

4 4

4.8 4.5
5 8 vì

    

Ví dụ 3: So sánh

3 4

& ?

4 5

  Ta viết

3 3 4 4

4 4 5 5

 

 

 

Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên

3 4

4 5

 

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương

vì chẳng hạn

3 4

4 5




 do 3.5 < -4.(-4) là sai 
IV/CÁCH 4: Dùng số hoặc phân số làm trung gian .

1) Dùng số 1 làm trung gian:

a) Nếu 1&1

a c a c

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) Nếu 1; 1

a c

M N

b  d   mà M > N thì 
a c
b d

 M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .

 Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

c) Nếu 1; 1

a c

M N

b  d   mà M > N thì 
a c
b d

 M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số

đó.

 Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
 Bài tập áp dụng :

Bài tập 1: So sánh

19 2005
& ?
18 2004

Ta có :

19 1 2005 1

1& 1

18 18  2004 2004 

1 1 19 2005

18 2004 18 2004

Vì   

Bài tập 2: So sánh

72 98
& ?
73 99

Ta có :

72 1 98 1

1& 1
73 73  99 99 

1 1 72 98

73 99 73 99

Vì   

Bài tập 3 : So sánh

7 19
& ?
9 17

Ta có

7 19 7 19

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2) Dùng 1 phân số làm trung gian :(Phân số này có tử là tử của phân số thứ

nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh

18 15
&

31 37ta xét phân số trung gian 
18
37.

Vì

18 18 18 15 18 15
&

31 37 37 3731 37

*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , 
vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều 
dương ).

*Tính bắc cầu : &

a c c m a m

thì
b d d  n b  n
 Bài tập áp dụng :

Bài tập 1: So sánh

72 58
& ?
73 99

-Xét phân số trung gian là

99, ta thấy

72 72 72 58 72 58
&

7399 999973 99

-Hoặc xét số trung gian là

73, ta thấy

72 58 58 58 72 58
&

73 73 73 99  7399

Bài tập 2: So sánh

& ;( )

3 2

n n

n N

n n

 

 

Dùng phân số trung gian là 2

n
n

Ta có :

1 1

& ;( )

3 2 2 2 3 2

n n n n n n

n N

n n n n n n

 

    

     

Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:

12 13
& ?

49 47 e)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

64 73
& ?

85 81 f)

2003.2004 1 2004.2005 1

& ?

2003.2004 2004.2005

 

19 17
& ?

31 35 g)

149 449
& ?
157 457

67 73
& ?

77 83 h)

1999.2000 2000.2001

& ?

1999.2000 1 2000.2001 1
(Hướng dẫn : Từ câu ac :Xét phân số trung gian.

Từ câu dh :Xét phần bù đến đơn vị )
3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.

Ví dụ : So sánh

12 19
& ?
47 77

Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là

1
4.

Ta có :

12 12 1 19 19 1 12 19
&

47 484 77 76 4 47 77

 Bài tập áp dụng :

Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :

11 16 58 36 12 19 18 26

) & ; ) & ; ) & ; ) &

32 49 89 53 37 54 53 78

13 34 25 74 58 36

) & ; ) & ; ) & .
79 204 103 295 63 55

a b c d

e f h

V/ CÁCH 5:Dùng tính chất sau với m0 :

*a 1 a a m

b b b m


  

 * 1 .

a a a m

b b b m


  



Bài tập 1: So sánh

11 10

12 11

10 1 10 1

& ?

10 1 10 1

A  B 

 

Ta có :

11
12

10 1

1
10 1

A  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



11 11 11 10

12 12 12 11

10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1

A         B

    

Vậy A < B .

Bài tập 2: So sánh

2004 2005 2004 2005

& ?

2005 2006 2005 2006

M   N  



Ta có :

2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006



 








 Cộng theo vế ta có kết quả M > N.

Bài tập 3:So sánh

37 3737
&

39 3939?

Giải:

37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939



  

 (áp dụng .

a c a c
b d b d


 

 )

VI/CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :

+Hỗn số nào có phần ngun lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.

+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo.

Bài tập 1:Sắp xếp các phân số

134 55 77 116
; ; ;

43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần.

Giải: đổi ra hỗn số :

5 13 1 5

3 ; 2 ; 4 ;3
43 21 19 37

Ta thấy:

13 5 5 1

2 3 3 4

21 43 37  19 nên

55 134 116 77
21 43  37 19.

Bài tập 2: So sánh

8 8

10 2 10

& ?

10 1 10 3

A  B

 

Giải: 8 8

3 3

1 & 1

10 1 10 3

A B

  mà 8 8

3 3

10 1 10 3 A B
47 17 27 37

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Giải: Xét các phân số nghịch đảo:

223 98 148 183
; ; ;

47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là :
35 13 13 35

4 ;5 ;5 ; 4
47 17 27 37

Ta thấy:

13 13 35 35

5 5 4 4

17 27  37  47 

17 27 37 47

( )

98 148 183 223

a c b d
vì

b d a c

     

Bài tập 4: So sánh các phân số :

3535.232323 3535 2323

; ;

353535.2323 3534 2322

A B C 

Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số A<B<C.

Bài tập 5: So sánh





5 11.13 22.26 138 690

& ?

22.26 44.54 137 548

M   N  

 

Hướng dẫn giải:-Rút gọn

5 1 138 1

1 & 1 .

4 4 137 137

M    N    M N

( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )

Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số

63 158 43 58

; ; ;

31 51 21 41theo thứ tự giảm dần.
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP .

Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
) & ; ) & ) & ) & ) &

8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261

a b c d e

(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :

10 100 100
41 410 413

d)Chú ý:

53 530

57570 Xét phần bù đến đơn vị

e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài tập 2: Khơng thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số

để so sánh các phân số sau:

244.395 151 423134.846267 423133

) &

244 395.243 423133.846267 423134

a A  B 

 

Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac

+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…
+Kết quả A=B=1

53.71 18 54.107 53 135.269 133

) ; ; ?

71.52 53 53.107 54 134.269 135

b M   N   P 

  

(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)

Bài tập 3: So sánh

3 3

33.10 3774

2 .5.10 7000 5217

A B



Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn

33 3774 :111 34
&

47 5217 :111 47

A B 

Bài tập 4: So sánh 2 3 4 4 2 3

4 3 5 6 5 6 4 5

5 & 5 ?

7 7 7 7 7 7 7 7

A     B    

Gợi ý: Chỉ tính 2 4 4 2 4 4

3 6 153 6 5 329

... & ...
7 7   7 7 7   7

Từ đó kết luận dễ dàng : A < B

Bài tập 5:So sánh

1919.171717 18
&

191919.1717 19

M  N 

Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N

 Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…..

Bài tập 6: So sánh

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng .
a c a c
b d b d


 

 ; chú ý :

17 1700
19 1900

+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101….
 Bài tập 7: Cho a,m,n N* .Hãy so sánh :

10 10 11 9

& ?

m n m n

A B

a a a a

   

Giải:

10 9 1 10 9 1

m n n m n m

A B

a a a a a a

   

     

   

Muốn so sánh A & B ,ta so sánh

1
n

a &

1
m

a bằng cách xét các trường hợp 
sau:

a) Với a=1 thì am = an A=B

b) Với a0:

 Nếu m= n thì am = an A=B

 Nếu m< n thì am < an 

1 1

m n

a  a A < B

 Nếu m > n thì am > an 

1 1

m n

a  a A >B

Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng:

31 32 33 60

. . .... & 1.3.5.7....59

2 2 2 2

P Q

30 30

31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2.3....30)
. . ....

2 2 2 2 2 2 .(1.2.3....30)

(1.3.5....59).(2.4.6....60)

1.3.5....59
2.4.6....60

P

Q

  

Vậy P = Q

Bài tập 9: So sánh

7.9 14.27 21.36 37
& ?
21.27 42.81 63.108 333

M    N 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải: Rút gọn

7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1
&

21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9

M       N 

   

Vậy M = N

Bài tập 10: Sắp xếp các phân số

21 62 93
; &

49 97 140 theo thứ tự tăng dần ?

Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .

Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết:

1 1

18 12 9 4

x y

  

?
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được

2 3 4 9

36 36 36 36

x y

  

2 < 3x < 4y < 9

Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.

Bài tập 12: So sánh

7 6 5 3

1 1 3 5

) & ; ) &

80 243 8 243

a A  B  b C   D 

       

Giải: Ap dụng công thức:

 

n n

n

m m n

n
x x
x x
y y
 
 

 
 

7 7 7 6 6

4 28 5 30 28 30

5 5 3 3

3 15 5 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1

) & ;

80 81 3 3 243 3 3 3 3

3 3 243 5 5 125

) & .

8 2 2 243 3 3

a A B Vì A B

b C D

         
              
         

       
         
       

Chọn 15

125

2 làm phân số trung gian ,so sánh 15

125
2 > 15

125

3  C > D.

Bài tập 13: Cho

1 3 5 99 2 4 6 100
. . ... & . . ...
2 4 6 100 3 5 7 101

M  N 

a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh:

1
10

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a)Và

1 2 3 4 5 6 99 100

; ; ;...

23 4 5 67 100 101 nên M < N

b) Tích M.N

1
101

c)Vì M.N
1
101


mà M < N nên ta suy ra được : M.M <

1
101<

1
100

tức là M.M <

1
10.

10  M < 
1
10

Bài tập 14: Cho tổng :

1 1 1

...

31 32 60

S    

.Chứng minh:

3 4

5 S 5

Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ
nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ
giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của
phân số sẽ tăng lên.

Ta có :

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... ...

31 32 40 41 42 50 51 52 60

S                 

     



1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... ...

30 30 30 40 40 40 50 50 50

S                 

     

hay

10 10 10
30 40 50

S   

từc là:

47 48
60 60

S 

Vậy
4
5
S 
(1)
Mặt khác:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... ...

40 40 40 50 50 50 60 60 60

S                 

     



10 10 10
40 50 60

S  

tức là :

37 36
60 60

S 

Vậy

3
5

S 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2. Thống kê được một số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chuyên
đề thực hiện.

3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.

4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.

5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.

6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.

Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy mơn Tốn tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài tốn cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tơi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình
bày lời giải bài tốn cho học sinh đó là :

1 – Trình bày bài giải mẫu.

2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài tốn có gợi ý giải.

4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để u cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho
đúng.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên
đã áp dụng trong chuyên đề này.

2. KIẾN NGHỊ

1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo

viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong
tỉnh.

2. Với BGH nhà trường

- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách
tham khảo mơn Tốn để học sinh được tìm tịi, học tập khi giải tốn để các em có
thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả
học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.

3. Với PHHS

</div>