Sang kien kinh nghiem Phat huy tinh tich cuc cua hoc sinh qua viec giai toan phan tich da thuc thanh nhan tu

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trờng đại học s phạm hà nội
---

---Đề tài khoa học

<b>Phát huy tính tích cực học tập của học sinh</b>
<b>qua việc dạy giải toán phân tích đa thức</b>

<b> thành nhân tử.</b>

<b>Ngời hớng dẫn: T.S Nguyễn Văn Khải</b>
<b> Ngời thực hiện: Trần Văn Chung</b>
<b> Trêng : THCS Tân Trào.</b>

Hải dơng 2005

<b>I .t vn </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

hc sinh phát triển t duy và hình thành kĩ năng giải tốn. Muốn đạt đợc
điều đó phải địi hỏi tính tích cực, tính t duy của ngời học nhng phơng
pháp của ngời thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhng
có thể làm đợc hai ba. Từ bài tốn đơn giản mở rộng lên bài khó .
Khi tính tốn các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải
biến đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử
đợc áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu
thức các phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của
biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích
đa thức thành nhân tử, có nhiều phơng pháp, ngồi ba phơng pháp cơ
bản nh : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức
ta cịn có các phơng pháp khác nh tách một hạng tử thành hai hay
nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số

nhất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều
phơng pháp khác nhau do đó khi giảng dạy ngời giáo viên giúp học
sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để phát huy đợc trí lực của học
sinh, phát triển đợc t duy toán học.

Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần
bồi dỡng thêm cho học sinh các phơng pháp khác ngoài sách giáo
khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn
các phơng pháp thích hợp để giải quyết các bài tốn khó. Vì vậy, tơi
cũng nêu ra phơng pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc dạy, giải
bài tập áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

<b>B. Néi Dung</b>

<b>Phần I: Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử </b>

<i><b>1. Các phơng pháp cơ bản </b></i>

<b>a. Phơng pháp </b>

- Tỡm nhõn t chung l nhng n,a thức có mặt trong tất cả các hạng
tử.

- Ph©n tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử
khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của
mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dÊu cđa chóng ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

15a2_b2_{- 9a}3_{b + 3a}2_{b = 3a}2_{b ( 5b - 3a - b}2 ₎

2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
xm + 3 _{+ x}m_{( x}3 _{+ 1) = x}m_{(x + 1) (x}2_{- x + 1)}

<i><b>2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thc</b></i>

<b>a. Phơng pháp:</b>

- Dựng cỏc hng ng thc ỏng nh để phân tích đa thức thành nhân
tử

<b>b. VÝ dơ:</b>

9x2_{- 4 = (3x)}2_{- 2}2_{= (3x-2)(3x+2)}

8 -27a3_b6_{= 2}3_{- (3ab}2₎3_{= (2-3ab}2_)(4+6ab2_+9a2_b4₎
25x4_{- 10x}2_y+y2_{= (5x}2_-y)2

<i><b>3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.</b></i>

<b>a. Phơng pháp</b>

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- ỏp dng tip tc các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng
đẳng thức.

<b>b. VÝ dô:</b>

2x3_{- 3x}2_{+ 2x - 3 = (2x}3_{+ 2x}_{) - (3x}2_{+ 3)}

= 2x(x2_{+1) - 3(x}2₊₁₎
= (x2_{+1) (2x - 3)}

x2 _{- 2xy + y}2_{- 16 = (x -y )}2_{- 4}2 _{= (x - y - 4) (x - y + 4)}
<i><b>4. Phối hợp nhiều phơng pháp</b></i>

<b>a. Phơng pháp: - Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiªn</b>

+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.

<b>b. VÝ dô:</b>

3xy2_{- 12xy + 12x =3x( y}2_{- 4y + 4)}
=3x (y -2 )2

3x3_{y - 6x}2_{y - 3xy}3_{- 6axy}2_{- 3a}2_{xy +3xy}

=3xy(x2 _{- 2x - y}2_{- 2ay - a}2 _{+ 1)}
=3xy

2 2 2

(x 2x 1) (y 2ay a )

      

 

=3xy



 



2 2

x 1 y a

 _ _ _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=3xy 



x 1 

 

ya

 

   x 1 

 

y a




=3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a )
<i><b>5. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.</b></i>

<b>a. Phơng pháp:</b>

Tỏch một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn
<i>rồi dùng Phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.</i>

<b>b. VÝ dô: </b>

Phân tích đa thức x2_{- 6x + 8 thành nhân tử .}
* C¸ch 1: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 2x - 4x + 8}

= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4)
* C¸ch 2: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 6x + 9 - 1}

= ( x - 3)2_{- 1}

=( x -3 - 1)( x- 3 + 1)
= (x - 4)(x -2)

* C¸ch 3: x2_{- 6x + 8 = x}2 _{- 4 - 6x + 12}

=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)

* C¸ch 4: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4)}
=(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2)

* C¸ch 5: x2_{- 6x + 8 = x}2 _{- 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)}2_{- (x - 2)}
=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)

Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:
*Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mi.

áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2_{+ bx + c thành nhân}
tử ta lµm nh sau:

- T×m tÝch ac

- Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.

- Chän hai thõa sè cã tæng b»ng b

Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành hai hạng tử bậc nhất.
Ví dụ: 4x2 _{- 4x - 3}

- TÝch ac lµ 4.(- 3) = - 12

- Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4)

- Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

=(2x + 1)(2x - 3)

* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về
dạng hiệu hai bình phơng.

VÝ dô: 4x2_{- 4x - 3 = 4x}2 _{- 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)}2_{- 2}2

= (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3)
3x2_{- 8x + 4 = 4x}2_{- 8x + 4 - x}2_{= (2x - 2 )}2_{- x}2

= ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2)
<i><b>6. Phơng pháp thêm bít cïng mét h¹ng tư.</b></i>

<b>a. Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về dạng </b>

hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thơng thờng hay đa về dạng
a2_{- b}2_{sau khi thêm bớt .}

<b>b. VÝ dô: </b>

4x2 _{+ 81 = 4x}4_{+ 36x}2_{+ 81 - 36x}2
_{=( 2x}2_{+ 9)}2_{- (6x)}2

= (2x2_{+ 9 - 6x)(2x}2 _{+ 9 + 6x)}

x7_{+ x}2_{+1= x}7 _{- x + x}2_{+ x + 1 = x(x}6_{- 1) + (x}2_{+ x + 1)}
= x(x3_{- 1)(x}3_{+ 1) +(x}2_{+ x + 1)}

= x(x3 _{+1)(x -1)(x}2_{+ x + 1) + (x}2 _{+ x + 1)}
= (x2 _{+ x + 1)(x}5 _{- x}4_{- x}2_{+ 1)}

<b> II. Các ph ơng pháp khác:</b>

<i><b>1. Phng phỏp i bin s( t n ph )</b></i>

<b>a. Phơng pháp: </b>

Đặt ẩn phụ đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp
cơ bản.

<b>b. Ví dụ:</b>

* Phõn tớch a thc 6x4 _{- 11x}2_{+ 3thành nhân tử .}
đặt x2 _{= y ta đợc 6y}2_{- 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)}
Vậy: 6x4 _{- 11x}2_{+ 3 = ( 3x}2_{- 1 )(2x}2_{- 3)}

* Phân tích đa thức (x2_{+ x)}2_{+ 3(x}2 _{+ x) +2 thành nhân tử.}
đặt x2_{+ x = y ta đợc y}2_{+ 4y + 2 = (y +1)(y+2)}
Vậy: (x2_{+ x)}2_{+ 3(x}2 _{+ x) +2 = ( x}2_{+ x + 1)( x}2_{+ x +2)}
<i><b>2. Phơng pháp hệ số bất định .</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa
thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2_{+ dx +m) rồi biến}
đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.

<b>b.VÝ dô: </b>

Phân tích đa thức x3_{- 19x - 30 thành nhân tử.}

Nu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
x(x2_{+ bx + c) = x + (a+b)x}2_{+ (ab + c)x +ac}

Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:
a+ b = 0
ab + c = -19
ac =-30
Chọn a = 2, c = -15

Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy : x3_{- 19x - 30 =(x + 2)(x}2_{- 2x - 15)}
<i><b>3. Phng phỏp xột giỏ tr riờng.</b></i>

<b>a. Phơng pháp:</b>

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các
biến giá trị cụ thể xác định thừa số cịn lại.

<b>b.VÝ dơ </b>

P = x2_{(y - z) + y}2_{(z - c) + z(x - y) thay x bëi y th× thÊy}
P = y2_{( y- z) + y}2_{(z - y) = 0 nh vËy P chøa thõa sè (x -y)}

Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi ( đa
thức P có thể hốn vị vịng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y)
thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z -
x).

Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,

z.

cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x,
y,z

Vì đẳng thức x2_{(y - z) + y}2_{(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).}
đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng
chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0

ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

_{k =-1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>c)Ngồi ra ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức </b>
<b>F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trị nh nhau trong biểu</b>
<b>thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử </b>
<b>a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhng F(a,b,c) ≠ 0</b>
<b>khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu </b>
<b>thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử </b>
<b>b+c, c+a.</b>

<b> c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử</b>

F(a,b,c) = a2_(b-c)+b2_(c-a)+c2_(a-b)

- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2_(a-c)+a2_{(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa}
nhân tử (a-b).

Tơng tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) .Vì F(a,b,c) là biểu
thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a). Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

1+1 = k.1.1.(-2)  k = -1

VËy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

<b> c2)VÝ dô 2:Phân tích đa thức thành nhân tử </b>

F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz .

- Khi x = -y th× F(x,y,z)= -y2_{z + y}2<b>_{z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tư}</b>
x+y

<b>LËp ln t¬ng tù vÝ dơ 1,ta cã F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).</b>
<i><b>4. Ph¬ng pháp tìm nghiệm của đa thức:</b></i>

<b>a. Phơng pháp: </b>

Cho a thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Nh vậy nếu
đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã
biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
Ví dụ: x3_{+ 3x - 4}

NÕu ®a thøc trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì
nhân tử còn lại có d¹ng (x2_{+ bx + c)}

_{-ac = - 4}_{a lµ íc cđa - 4}

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ớc
của hạng tử khơng đổi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

*C¸ch 1: x3_{+ 3x - 4 = x}3_{- x}2 _{+ 4x}2 _{- 4 = x}2 _{(x -1) + 4(x -1)(x}

+1)

= (x - 1)(x2_{+ 4x + 4) =(x -1)(x + 2)}2
*C¸ch 2: x3_{+ 3x - 4 =x}3 _{- 1 + 3x}2 _{- 3 = (x}3_{- 1) + 3(x}2_{- 1)}
= ( x - 1)(x2_{+ x +1 +3(x}2+ _{- 1)}

= ( x - 1)(x + 2)2

<b>Chó ý:</b>

- NÕu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì ®a thøc chøa nh©n tư
(x-1)

-NÕu ®a thøc cã tỉng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).

<b> Ví dụ:</b>

* Đa thức: x2 _{- 5x + 8x - 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0}

_{§a thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa sè ( x - 1)}

*§a thøc: 5x3_{- 5x}2_{+ 3x + 9 cã -5 + 9 =1 + 3}

_{Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chøa thõa sè ( x + 1).}

+ NÕu ®a thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có thể có nghiệm
hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có

dạng

p

q_{trong đó p là ớc của hạng tử khơng đổi, q là ớc dơng của hạng}

tư cao nhÊt.

<b>VÝ dơ: 2x</b>3_{- 5x}2_{+ 8x - 3}

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (

1
2


),

1
2_{, (}

3
2


),(

3
2₎

(- 3),...Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân

tử (x - a) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức
để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1)

2x3_{- 5x}2_{+ 8x - 3 = 2x}3_{- x}2_{- 4x}2_{+ 2x + 6x - 3}
= x2_{(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)}
= (2x - 1)(x2_{- 2x + 3)}

<i><b>5. Phơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai</b></i>

<b>a.Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2_{+ bx + c}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Nếu b2 _{- 4ac không là bình phơng của số hữu tỷ nào thì khơng thể}
phân tích tiếp đợc nữa.

<b>b. VÝ dơ: 2x</b>2_{- 7x + 3}
a =2, b = -7, c = 3.

xÐt b2 _{- 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 5}2

_{phân tích đợc thành nhân tử : 2x}2_{- 7x + 3 = (x - 3)(2x -1)}
hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phơng đủ

2x2_{- 7x + 3 = 2(x}2_-

7

2_{x +}

3
2₎

= 2 (x2_{- 2.}

7
4_{x +}

49 25
16 16 ₎

= 2
 _ _ 
 
 
2 2
7 5

(x ) ( )

4 4 _{= 2}

 

 

 

7 5 7 5

(x - - )(x - + )

4 4 4 4 ₌

2(x-3)(x-1
2

)

<b> Chó ý: P(x) = x</b>2_{+ bx = c cã hai nghiÖm x}

1, x2 th×:
P(x) = a(x - x1)(x - x2)

<b> Phần 2: Giải các bài toán phân tích đa thức </b>

<i><b>1. Bài toán rót gän biĨu thøc.</b></i>

<b> a. VÝ dơ: Cho</b>

A = 2

2 x 3 x 2 x

x 3 x 2 x 5x 6x

  

 _ _ 

 _ _ _ _ 

 

a1). Rót gän A

a2). Tính giá trị của A với x = 998
a3).Tìm giá trị của x để A > 1

<b> b. Đờng lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại </b>
số, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử
chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thơng qua
các nhân tử nằm dới mẫu.

Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích
đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc
sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trớ thụng minh.

<b>b. Ví dụ 2: (Các bài toán tơng tù )Rót gän biĨu thøc :</b>

A =

4 3

4 3 2

1

2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

B =

2 2 2

2 2 3 2

( ) ( ) ( )

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

<i>ab</i> <i>ac</i> <i>b</i> <i>bc</i>

    

  

C =

3 3 3

2 2 2

3

( ) ( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>

 

<b> Đờng lối giải :Để rút gọn các phân thức trên:</b>

- Bớc 1: ta phải phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
- Bớc 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

<i><b>2.Bài toán giải phơng trình:</b></i>

<b>a.Đờng lối giải: Với các phơng trình bậc hai trở lên việc áp dụng các </b>

phng phỏp phõn tớch đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi
phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích. A.B = 0 khi và chỉ
khi A = 0 hoc B = 0

<b>b. Ví dụ: Giải phơng tr×nh </b>

(4x + 3)2_{- 25 = 0}

Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa
phơng trình về dạng.

8(2x - 1)(x +2) = 0 x =

1

2_{hoặc x = -2}

<i><b>3. Bài toán giải bất phơng trình</b></i>

<b>a. Đờng lối giải: Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng </b>

trỡnh cú cha n ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phơng trình thành
đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trị rất quan trọng khi đa bất
phơng trình về dạng bất phơng trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay
bất phơng trình thờng.

<b>b. Ví dụ: Giải các bất phơng trình</b>

b1)

2

2 3

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i> _{> 1}



2
(<i>x</i> 2)(<i>x</i> 3)



  _{> 0}

NhËn xÐt: v× (- 2) < 0  (x- 2)(x - 3) < 0  2 < x< 3
b2) 3x2 - 10x - 8 > 0

(3x+ 2)( x- 4) > 0

Ta lËp b¶ng xÐt dÊu tÝch .KÕt qu¶ x <

2
3


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>a . Đờng lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất </b>

hiƯn thõa sè cã d¹ng chia hÕt .

<b>b .VÝ dô: </b>

b1) Chøng minh r»ng x  ta cã biÓu thøc
P = (4x+3)2_{- 25 chia hÕt cho 8.}
Ph©n tÝch : P = 8(2x-1)(x+1) chia hÕt cho 8
b2)Chøng minh r»ng biÓu thøc :

2 3

3 2 6

<i>n n</i> <i>n</i>

là số nguyên n

Biến đổi biểu thức về dạng

2 3

2 3

6
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

vµ chøng minh
(2n+3n2_+n3₎

chia hÕt cho 6 .

Ta cã 2n+3n2_+n3_{= n(n+1)(n+2) lµ tích của ba số nguyên liên tiếp,vì}
vậy có ít nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho 2,mét thõa sè chia hết cho 3 mà

(2;3)=1 nên tích này chia hÕt cho 6.VËyn  th×

2 3

3 2 6

<i>n n</i>_ <i>n</i>

là số
nguyên.

<i><b>5. Bài toán tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt.</b></i>

<b> a)Đờng lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng </b>
thức

A2_{+ m , A}2_{- m ,A}2_+B2_{. . .(m là hằng số) rồi nhận xét để đi đến kết}
quả cuối cùng.

<b>b. VÝ dô 1 :Chøng tá x</b>2_{+x+1 > 0}_x
Ta viÕt : x2_{+x+1 = x}2_+2.

1

2_x+

1 3

4 4 _{= (x+}
1
2₎2₊

3
4_≥

3

4_>0_x.

<b> Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhá nhÊt) cđa ®a thøc </b>
A(x,y) = 2005 + x2_{+ 15 y}2_{+ xy}_{+ 8x + y}

(T¬ng tù :B = x2_+y2_{+xy - x- y )}

Ta cã : A(x,y) = 2005 + x2_{+ 15 y}2_{+ xy}_{+ 8x + y}
= (x2₊

1

4_y2_{+16+xy+8x+4y) + (}

59

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

=(x+

1

2_y+4)2₊

59

4 _{( y}2_{- 2.}

6
59_y+

36
3481_)+1989-
9
59

= (x+

1

2_y+4)2₊

59
4 

(y-6
59₎2₊

117342
59 _≥
117342
59
V× (x+
1

2_y+4)2≥ 0 ,

59
4 

(y-6

59₎2 ≥ 0.DÊu " =" x¶y ra


239
1
4 0
59
2
6 6
0
59 59
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i>

 _ _{ } _{ }

 _
 
 _ _  _
 

  _{. Vậy A(x,y) t GTNN l}

117342
59

Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tơng tự .

<b> Kết luận</b>

Trên đây là 5 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử.Tất nhiên khơng chỉ có 4 dạng này mà cịn có một số bài tập
khác cũng vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với những
bài tập vận dụng này đã giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm
tới phơng pháp giải bài tốn nhanh hơn,thơng minh hơn.Đờng lối giải
những bài tập này là học sinh biết vận dụng phơng pháp tích hợp để
giải.Giáo viên hãy tác động đến từng đối tợng sao cho phù hợp nh với
học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỷ, học sinh khá -giỏi nên ra nét cơ
bản hớng dẫn giải theo con đờng ngắn nhất.Có nh vậy học sinh sẽ hoạt
động tích cực hơn, phát huy đợc t duy-trí tuệ của mình.

Qua các bài tập vận dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
học sinh đợc rèn luyện - củng cố t duy tổng hợp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>c . KÕt luËn chung</b>

Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng
trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp tới các phơng pháp khác
tạo lên sự lơgíc chặt chẽ của tốn học. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát
triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích.

Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác,
năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.

Trong năm học qua tối đa đã vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong
q trình tìm tịi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng

rút gọn biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích đa thức tử và mẫu của
các phân thức rất quan trọng, nó khơng những giúp việc rút gọn từ phân
thức (nếu có thể ) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu
thức chung của biểu thức.

Số học sinh nắm vững các phơng pháp cơ bản phân tích đa thức thành
nhân tử và vận dụng đợc vào các bài tập là 85%.

Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển t duy học sinh
qua việc dạy giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử.

Rất mong sự góp ý của đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn !

Thanh miện ngày 08 tháng 06 năm 2005
Xác nhËn cđa hiƯu trëng Ngời viết
<i><b> Trần văn </b></i>
<i><b>Chung </b></i>

</div>

<!--links-->