Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán trong xây dựng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

HỌ TÊN HV
PHÙNG QUỐC TÂM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TỐN TRONG XÂY DỰNG

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 604636

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2016


Cơng trình được hồn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Lê Xuân Đại
Cán bộ chấm nhận xét 1:..........................................................
Cán bộ chấm nhận xét 2:..........................................................
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày...... tháng...... năm 2016
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1:......................................................................
2:......................................................................
3:......................................................................
4:......................................................................
5:......................................................................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản

lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
TRƯỞNG KHOA


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—————————

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

—————————

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: ..........Phùng Quốc Tâm........MSHV: ......12240580......
Ngày, tháng, năm sinh: .....05/06/1987............Nơi sinh: ...Bình Thuận...
Chun ngành: ............Tốn ứng dụng............Mã số: .......604636..........
I. TÊN ĐỀ TÀI: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải
các bài toán trong xây dựng.
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn
- Tổng quan lý thuyết giải cho các bài toán kết cấu trong xây dựng
(bài tốn lị xo, thanh dầm 2 chiều và 3 chiều. . . )
- Xây dựng thuật toán giải trên Matlab và làm giao diện phần mềm
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: (Ghi theo trong QĐ giao đề
tài)......................................................................................................

III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: (Ghi theo trong QĐ
giao đề tài)..........................................................................................
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Ghi rõ học hàm, học vị, họ, tên):
TS. Lê Xuân Đại
Tp. HCM, ngày..........tháng........năm 20...
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH TOÁN ƯD

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA KHƯD
(Họ tên và chữ ký)

Ghi chú: Học viên phải đóng tờ nhiệm vụ này vào trang đầu tiên của tập thuyết minh LV


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và
đầy nhiệt tâm của TS. Lê Xn Đại. Nhân đây tơi xin được bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Mặc dù đã rất nỗ lực cố
gắng nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót ngồi
ý muốn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Bách
Khoa, Phòng Sau đại học, đặc biệt là Khoa Tốn ứng dụng cùng q
thầy cơ giáo giảng dạy lớp cao học Tốn khố 2012 đã tận tình giúp
đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập
và nghiên cứu thực hiện đề tài.

Cuối cùng, tôi xin gửi đến Trường Đại học Bách Khoa Tp. HCM
lời cảm ơn chân thành. Tôi cũng xin được gửi đến gia đình, các đồng
nghiệp và bạn bè những lời tri ân trong suốt quá trình học tập của
mình.
Phùng Quốc Tâm


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: PHÙNG QUỐC TÂM
Sinh ngày: 05-06-1987
Quê qn: Bình Thuận
Tơi xin cam đoan Luận văn tốt nghiệp cao học ngành Toán ứng
dụng với đề tài: "Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để
giải các bài toán trong xây dựng" là luận văn do cá nhân tôi thực
hiện.
Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn
và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đều được ghi rõ nguồn gốc.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 07 năm 2016
Tác giả luận văn

Phùng Quốc Tâm


Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

iv

Mở đầu

v

0.1

Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

0.1.1

Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . .

v

0.1.2

Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước . . .

vi

Mục tiêu, nội dung và phương pháp nghiên cứu . . . .

vi

0.2.1

Mục tiêu và nội dung luận văn . . . . . . . . .

vi

0.2.2

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . .

vii

0.2.3

Ý nghĩa khoa học, kinh tế, xã hội . . . . . . . .

vii

0.2

1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
1
1.1

Giới thiệu sơ lược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Cách thức làm việc của phương pháp phần tử hữu hạn

2

1.3

Các bước tiến hành khi giải một bài toán bằng phương
pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Rời rạc hóa miền khảo sát . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Các phương trình phần tử . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Lắp ghép các phương trình phần tử . . . . . .

10

i


ii

1.4
1.5

1.3.4

Khử các điều kiện biên chính . . . . . . . . . .

13

1.3.5

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . .

13

1.3.6

Điều kiện số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

So sánh phương pháp phần tử hữu hạn với lời giải chính
xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

So sánh phương pháp phần tử hữu hạn với phương pháp
sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN CHO CÁC BÀI TOÁN NGÀNH KỸ THUẬT 22
2.1

Các nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
2.1.2

2.2

2.4

Nguyên lý thế năng toàn phần dừng hay nguyên
lý biến phân về chuyển vị . . . . . . . . . . . .

22

Nguyên lý cực tiểu của năng lượng bù toàn
phần, (nguyên lý biến phân của ứng suất) . . .

25

Phương pháp Galerkin cho bài toán biến dạng dọc trục

27

2.2.1

Dạng yếu (dạng biến phân) . . . . . . . . . . .

28

2.2.2

Thanh có tiết diện đều chịu tải dọc trục thay
đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Thanh có tiết diện ngang và chịu tải thay đổi
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Phương pháp Galerkin cho bài toán trị biên một chiều

36

2.3.1

Các bước tổng quát của phương pháp Galerkin

36

2.3.2

Các bài toán trị biên bậc cao . . . . . . . . . .

40

Phương pháp Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3
2.3

22

2.4.1
2.4.2

Hàm thế năng cho bài toán thanh biến dạng dọc
trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Các bước tổng quát khi sử dụng phương pháp
Rayleigh - Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


iii
2.5

Phần tử thanh biến dạng dọc trục . . . . . . . . . . .

44

2.5.1

Lời giải giả định tuyến tính . . . . . . . . . . .

45

2.5.2

Các phương trình phần tử khi sử dụng phương
pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Các phương trình phần tử khi sử dụng phương
pháp Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5.3

3 Ứng dụng

50

3.1

Cơ sở lý thuyết cho bài tốn lị xo (spring element) . .

50

3.2

Ứng dụng cho bài tốn lị xo (spring element) . . . . .

56

3.3

Cơ sở lý thuyết cho bài toán hệ thanh dàn 1 chiều
(linear bar element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.4

Ứng dụng cho bài toán thanh 1 chiều (linear bar element) 67

3.5

Cơ sở lý thuyết cho bài toán giàn phẳng . . . . . . . .

73

3.6

Ứng dụng cho bài toán giàn phẳng . . . . . . . . . . .

78

3.7

Cơ sở lý thuyết cho bài tốn giàn khơng gian . . . . .

87

3.8

Ứng dụng cho bài tốn giàn khơng gian . . . . . . . .

95

3.9

Cơ sở lý thuyết cho bài toán khung phẳng . . . . . . . 105

3.10 Cơ sở lý thuyết cho bài tốn khung khơng gian . . . . 108
3.11 Ứng dụng cho bài tốn khung phẳng và khung khơng
gian (plane frame element, space frame element) . . . 118
3.12 Ứng dụng cho bài toán dầm (beam element) . . . . . . 130
Kết luận

145

Tài liệu tham khảo

146


iv

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

rk s
r As
tx✉
⑥A⑥
td✉
tr✉
E
G
I
L
A
J
IP
Mx
Fx
θx
P
n
ne

:
:
:
:
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Ma trận độ cứng phần tử
Ma trận A gồm m hàng, n cột
Ma trận cột x
Chuẩn ma trận A
Vectơ chuyển vị nút
Vectơ tải trọng nút
Môđun đàn hồi của vật liệu
Môđun trượt của vật liệu
Moment quán tính của phần tử
Chiều dài của phần tử
Diện tích tiết diện ngang
Hằng số chống xoắn
Moment quán tính độc cực
Moment tác dụng quanh trục x
Lực tác dụng theo phương x
Góc xoay quanh trục x
Lực tác dụng lên phần tử
Số phần tử của hệ

Số bậc tự do của hệ

σ

: Ứng suất

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
PPPTHH
PPSPHH
PTHH
EBCs
NBCs

:
:
:
:
:

Phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp sai phân hữu hạn
Phần tử hữu hạn
Các điều kiện biên chính
Các điều kiện biên tự nhiên


v

Mở đầu
0.1

0.1.1

Đặt vấn đề
Tính cấp thiết của đề tài

Ngày nay phương pháp phần tử hữu hạn đang ngày càng phát
triển và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn lao động sản xuất, đặc biệt
trong các ngành xây dựng và vật lý học. Trong ngành xây dựng, việc
xác định và tính toán ứng suất và biến dạng của vật thể là tiền đề cần
thiết để người kỹ sư thiết kế được cơng trình. Cịn ngành vật lý, với
việc các nhà khoa học thường nghiên cứu ứng dụng trên các phương
trình sóng, phương trình truyền nhiệt có nhiều ẩn và nhiều điều kiện
biên. Vậy vấn đề đặt ra là các nhà xây dựng và nhà vật lý sẽ giải
quyết bài tốn đó như thế nào sao cho nhanh và hiệu quả nhất. Tất
nhiên tốn học đã đóng vai trị quan trọng trong giai đoạn tiền đề đó.
Trước đây để giải quyết các bài toán này họ thường dùng phương pháp
sai phân hữu hạn (PPSPHH), tuy nhiên bắt đầu từ những năm 1960
và đặc biệt trong thời gian gần đây họ đã chuyển dần sang phương
pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH). Phương pháp phần tử hữu hạn
là phương pháp số để giải các bài tốn được mơ tả bởi các phương
trình vi phân riên phần cùng với các điều kiên biên cụ thể. Cơ sở của
phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của
bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần
tử). Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền
con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ
dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thỏa mãn điều kiện trên
biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.
Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là một phương pháp để giải
phương trình vi phân từng phần, tuy nhiên về căn bản chỉ áp dụng
được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản và việc xấp

xỉ những điểm lưới cịn hạn chế. Trong khi đó, phương pháp phần
tử hữu hạn có khả năng áp dụng cho những bài tốn hình học và
những bài tốn biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Nói chung,


vi
PPPTHH là một phương pháp thích hợp để giải các bài toán về biến
dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu.
Với những điểm mạnh của PPPTHH và để đáp ứng cho nhu cầu phát
triển ngày càng cao của ngành xây dựng, nhiều phần mềm tích hợp
PPPTHH đã ra đời để tính tốn nhanh phần ứng suất và biến dạng.
Nhiều công ty đã cho ra đời nhiều phần mềm như ANSYS, Adina,
ABAQUS, PLEXPDE và chúng ngày càng phổ biến trên thị trường.
Tuy nhiên, đa số phần mềm này bắt buộc người dùng phải trả phí để
được sử dụng. Do vậy với những cơng ty nhỏ thì đây cũng được xem
là vấn đề. Luận văn “Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải
các bài toán trong xây dựng” ra đời để nhằm giải quyết các nhu cầu
đó.

0.1.2

Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

Về phương pháp phần tử hữu hạn đã có nhiều bài viết, bài báo
trong và ngoài nước viết về đề tài này. Tuy nhiên nhiều trong số đó là
nghiên cứu sâu về vấn đề lý thuyết và ít đề cập đến phần ứng dụng.
Nhận thấy rằng, để có hiệu quả về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn,
với kiến thức lý thuyết thơi thì chưa đủ mà cịn phải kết hợp khăng
khít giữa ba yếu tố: lý thuyết, cơng cụ tính tốn số và ngơn ngữ lập
trình. Do vậy luận văn này là sự dung hòa của ba yếu tố trên nhằm

giải quyết các bài toán trong ngành xây dựng.

0.2

0.2.1

Mục tiêu, nội dung và phương pháp
nghiên cứu
Mục tiêu và nội dung luận văn

Luận văn "ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các
bài toán trong xây dựng" với mục tiêu là xây dựng các ứng dụng tính
tốn biến dạng và kết cấu trong xây dựng dựa trên phần mềm Matlab.


vii
Để đạt được mục tiêu trên, trong luận văn này sẽ thực hiện các
nội dung sau:
• Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn
• Tổng quan lý thuyết giải cho các bài toán kết cấu trong xây
dựng (bài toán lò xo, thanh dầm 2 chiều và 3 chiều. . . )
• Xây dựng thuật tốn giải trên Matlab và làm giao diện phần
mềm

0.2.2

Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp sau đây được sử dụng để thực hiện đề tài:
• Phương pháp tổng hợp tài liệu: tổng hợp các tài liệu, bài báo,

sách , tạp chí về lý thuyết và ứng dụng phương pháp phần tử
hữu hạn dùng cho ngành xây dựng.
• Phương pháp mơ hình hóa: xây dựng thuật tốn giải các vấn đề
trong ngành xây dựng bằng phần mềm Matlab.

0.2.3

Ý nghĩa khoa học, kinh tế, xã hội

• Góp phần xây dựng được tính liên kết giữa ngành Tốn và ngành
Xây dựng thông qua ứng dụng sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn bằng Matlab.
• Việc thực hiện đề tài có giá trị tham khảo và hỗ trợ cơng việc
tính toán cho các kỹ sư xây dựng thiết kế các cơng trình.
• Ứng dụng mở nên mang lại lợi ích về mặt kinh tế cho người sử
dụng.


Chương 1

TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1

Giới thiệu sơ lược

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư phải thực
hiện nhiều dự án ngày càng phức tạp, đắt tiền và địi hỏi độ chính
xác, an toàn cao.

Phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) là một phương pháp
rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật
khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất biến dạng trong các
kết cấu xây dựng, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thủy, khung
nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường
như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn
hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông
tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính tốn
và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS,
SAP, v.v phục vụ cho nhu cầu tính tốn của kỹ sư ngành xây dựng,
cơ khí. Nó có thể áp dụng vào bất cứ một hệ nào, từ hệ đơn giản như
thanh đến hệ phức tạp như bản, tấm. Từ năm 1955, Argyris nêu lên
1


2
các định lý về năng lượng và phương pháp ma trận, đặt nền tảng cho
sự phát triển về sau của PPPTHH. Cuốn sách đầu tiên về PPPTHH
được Zienkiewicz và Chung xuất bản vào năm 1967. Về sau, phương
pháp đã được áp dụng vào các bài toán phi tuyến và bài toán biến
dạng. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt
có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền
xác định V của nó. Tuy nhiên PPPTHH khơng tìm dạng xấp xỉ của
hàm cần tìm trên tồn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần
tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với
hàng loạt bài tốn kỹ thuật và vật lý trong đó hàm cần tìm được xác
định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình
học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Trong
PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi

là phần tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định
trước trên biên phần tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại
lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản được gọi
là các hàm xấp xỉ. Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá
trị của hàm tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi
là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài
tốn.

1.2

Cách thức làm việc của phương pháp
phần tử hữu hạn

Các kỹ thuật chung và thuật ngữ của PPPTHH được giới thiệu
được thể hiện trên hình 1.1. Hình ảnh mơ tả hình dạng của một số
vật liệu hay nhiều vật liệu có các đặc tính vật lý đã biết. Để đơn giản,
tại điểm này, chúng ta giả định một trường hợp bài toán hai chiều với
trường biến φ ♣x, y q được xác định tại mỗi điểm P ♣x, y q như là một
phương trình đã biết thỏa mãn một cách chính xác tại mỗi điểm. Điều
này hàm ý một lời giải tốn học chính xác thu được; đó là nghiệm là
một biểu thức đóng đại số của các biến độc lập. Trong vấn đề thực tế,
miền có thể là dạng hình học phức tạp nên chỉ thu được các phương


3
trình xấp xỉ và khả năng có được một nghiệm chính xác là rất thấp.
Vì vậy, các nghiệm xấp xỉ dựa trên các kỹ thuật số và tính tốn kỹ
thuật số là thường được dùng trong việc phân tích các bài toán kỹ
thuật phức tạp. Phần tử hữu hạn là một kỹ thuật mạnh để đạt được
nghiệm gần đúng với độ chính xác tốt. [6]

Một phần tử tam giác có chứa một miền con kích thước hữu hạn
của vùng được quan tâm được thể hiện ở hình 1.1. Phần tử này khơng
phải là phần tử vi phân kích thước dx ✂ dy tạo nên một phẩn tử hữu
hạn. Với ví dụ này là bài tốn hai chiều, nó được giả định rằng độ
dày theo hướng z là không đổi và hướng z khơng được chỉ định trong
phương trình vi phân. Các đỉnh của phần tử tam giác được đánh số
để chỉ ra rằng những điểm này là các nút. Một nút là một điểm cụ thể
trong phần tử hữu hạn mà tại đó giá trị của các trường biến là phải
được tính tốn một cách rõ ràng. Các nút ngồi nằm trên biên của
phần tử hữu hạn và có thể được sử dụng để kết nối một phần tử đến
phần tử hữu hạn liền kề. Các nút mà không nằm trên các biên phần
tử là các nút trong và không thể kết nối với bất kỳ phần tử khác. Các
phần tử của tam giác trên hình 1.1b chỉ có các nút ngồi.

Hình 1.1: (a) Miền 2 chiều của biến trường φ ♣x, y q; (b) Phần tử
gồm 3 nút trong miền; (c) Mơ hình lưới phần tử trong miền


4
Nếu các giá trị của trường biến được tính tốn chỉ ở các nút, vậy
làm thế nào để thu được các giá trị ở các điểm khác trong một phần
tử hữu hạn? Đây là điểm then chốt của phương pháp phần tử hữu
hạn. Các giá trị của trường biến được tính tốn tại các nút được sử
dụng để xấp xỉ các giá trị của phần tử bên trong bằng cách nội suy
từ các giá trị của nút. Ví dụ đối với ba nút, các nút đều ngoài và tại
bất kỳ điểm nào trong phần tử, trường biến được mô tả bằng hệ thức
xấp xỉ sau:
φ ♣x, y q ✏ N1 ♣x, y q φ1   N2 ♣x, y q φ2   N3 ♣x, y q φ3

(1.1)

Ở đây φ1 , φ2 , φ3 là các giá trị của trường biến tại các nút và N1 , N2 , N3
là các hàm nội suy. Trong cách tiếp cận phần tử hữu hạn, các giá trị
nút của trường biến được xử lý như là các hằng số chưa biết cần được
xác định. Hàm nội suy thường là dạng đa thức của các biến độc lập,
dẫn suất để đáp ứng các điều kiện cần thiết nhất định tại các nút.
Các điểm chính cần thực hiện ở đây là các hàm nội suy được xác định
trước, được biết là các hàm của các biến độc lập, và các hàm mô tả
biến phân của các trường biến trong phần tử hữu hạn.
Các phần tử tam giác được mơ tả bởi phương trình 1.1 được cho là
có 3 bậc tự do, theo ba giá trị nút của trường biến được yêu cầu để mô
tả trường biến trong phần tử. Đây sẽ là trường hợp nếu trường biến
đại diện cho một trường vô hướng, chẳng hạn như nhiệt độ trong bài
tốn truyền nhiệt. Nếu miền của hình 1.1 đại diện cho vật thể mỏng,
rắn chịu ứng suất phẳng , trường biến trở thành các véc tơ thay thế
và các giá trị của hai thành phần phải được tính toán tại mỗi nút.
Trong trường hợp này, phần tử tam giác ba nút có 6 bậc tự do. Nhìn
chung, số bậc tự do gắn liền với một phần tử hữu hạn bằng với tích
của số nút với số giá trị của trường biến mà phải được tính tốn tại
mỗi nút.
Như mơ tả trong hình 1.1c, mỗi phần tử được kết nối tại các nút
bên ngồi của chính nó đến các phần tử khác. Các phương trình phần
tử hữu hạn được hình thành theo cách như vậy, tại các kết nối nút,
giá trị của trường biến tại kết nối bất kì là tương tự cho mỗi phần
tử kết nối với các nút. Như vậy, tính liên tục của trường biến tại


5
các nút được đảm bảo. Trong thực tế, việc hình thành phần tử hữu
hạn là như vậy để tính liên tục của trường biến qua biên cũng được

đảm bảo. Tính chất này tránh được khả năng vật lý không thể chấp
nhận những khoảng trống xuất hiện trong miền. Trong vấn đề kết
cấu, những khoảng trống đó sẽ đại diện cho đặc tính tách vật lý của
vật liệu. [6]

1.3

Các bước tiến hành khi giải một bài
toán bằng phương pháp phần tử hữu
hạn

Khi ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải một bài toán
tổng quát thường phải kể đến các bước sau: [3]
1. Rời rạc hóa miền khảo sát - tạo lưới phần tử hữu hạn.
2. Xây dựng các phương trình phần tử.
3. Lắp ghép các phương trình phần tử.
4. Khử các điều kiện biên.
5. Giải hệ phương trình tồn cục để tìm các giá trị nút.
6. Tính tốn các kết quả trên phần tử.

1.3.1

Rời rạc hóa miền khảo sát

Việc đầu tiên cần làm khi giải một bài toán bằng phương pháp
phần tử hữu hạn là chia miền khảo sát thành một số hữu hạn các
miền con đơn giản, gọi là các phần tử. Công việc này thường được gọi
là rời rạc hóa miền khảo sát, hay tạo lưới phần tử hữu hạn. Với mỗi
loại bài toán, chúng ta cần phải chọn loại phần tử thích hợp tương
ứng. Các loại phần tử cho bài toán 1, 2 hay 3 chiều thường có các

dạng như hình 1.2.


6

Hình 1.2: Các dạng phần tử tiêu biểu

Hình 1.3: Lưới phần tử hữu hạn


7
Số phần tử sử dụng để rời rạc hóa miền khảo sát bài toán phụ
thuộc vào một số các yếu tố sau:
1. Biên vật lý của miền: Số phần tử sử dụng để mơ hình miền khảo
sát phải đủ để xấp xỉ biên hình học một cách chính xác theo
u cầu. Ví dụ khi miền khảo sát có biên cong được rời rạc bằng
cách sử dụng các phần tử tam giác cạnh thẳng, lúc đó chúng ta
phải sử dụng một số lượng các phần tử đủ lớn để mơ hình miền
sao cho sự nhất quán giữa biên thực và biên rời rạc là đủ nhỏ
để có thể chấp nhận được.
Việc sử dụng nhiều phần tử dọc theo biên sẽ làm giảm sai số
xấp xỉ hình học. Tuy nhiên, để tránh sự suy biến xảy ra, biên
dạng phần tử phải bảo đảm có tỉ số cạnh (tỉ số giữa kích thước
lớn nhất và nhỏ nhất của một phần tử) không được vượt quá 3.
Các phần tử có tỉ số cạnh lớn hơn 3, khơng nhất thiết sẽ tạo ra
kết quả có sai số lớn, do còn phụ thuộc vào các điều kiện biên
và tải tác dụng, nhưng nó có nguy cơ gây ra sự suy biến trong
các ma trận phần tử. Vậy đối với các miền có biên cong, tốt hơn
hết là sử dụng các phần tử có biên cong nếu chúng có sẵn.
2. Mức độ chính xác cần thiết (mong đợi): Số phần tử yêu cầu càng

lớn khi độ chính xác yêu cầu càng cao.
3. Đặc trưng của lời giải: Ở những vùng mà trên đó lời giải có sự
thay đổi một cách đột ngột, như những vùng lân cận ở các góc,
rãnh, vùng có sự tập trung tải trọng, phản lực, vùng có vết nứt,
hay những vùng có sự thay đổi đột ngột về đặc trưng hình học,
ở đó thường yêu cầu một số lượng lớn các phần tử để có thể thu
được một kết quả diễn tả lời giải một cách thực hơn. Tuy nhiên
trong thực tế người ta thường bắt đầu bằng một lưới phần tử
tương đối thơ để nhận được tính chất của lời giải, sau đó mới sử
dụng lưới mịn hơn. Lời giải của mơ hình lưới thơ được sử dụng
để làm cơ sở định hướng cho quá trình làm mịn lưới.
4. Ngày nay việc giải các bài tốn kỹ thuật thường đi đơi với việc
ứng dụng thành tựu của khoa học máy tính, do đó số lượng


8

Hình 1.4: Sai số hình học khi rời rạc hóa miền khảo sát có biên cong

Hình 1.5: Các phần tử có tỉ số cạnh tốt hay xấu


9
phần tử của một mơ hình khơng những phu thuộc vào các yếu
tố đã nêu trên mà còn phụ thuộc vào các thiết bị có được của
người tính như bộ nhớ, dung lượng đĩa và cả bộ vi xử lý của
máy tính.
• Các phần tử trong mơ hình rời rạc được liên kết với nhau
tại các nút, mặc khác lời giải tại nút là các biến sơ cấp của
phương trình vi phân mơ tả bài tốn. Do đó để thỏa tính

liên tục trên lời giải, các phần tử lân cận phải được liên kết
với nhau chỉ tại các nút mà ở đó có bậc tự do của mơ hình
định nghĩa.

Hình 1.6: Lưới phần tử hợp lệ, không hợp lệ

1.3.2

Các phương trình phần tử

Sau khi đã rời rạc hóa miền khảo sát, bước kế tiếp là viết các
phương trình cho mỗi phần tử. Vì số phương trình cho một số phần
tử là tương đối lớn nên ở đây thường người ta sử dụng ký hiệu ma
trận để viết chúng. Quá trình tính tốn có thể chia thành hai bước
sau:
Bước 1: Các ma trận phần tử được phát triển đối với các dạng
phần tử tiêu biểu khi sử dụng mơ hình bài tốn. Các tính tốn ở đây
đều được thực hiện ở dạng symbolic (dạng chữ) để tìm cơng thức tổng
qt cho từng loại phần tử.
Bước 2: Sử dụng các công thức tổng quát ở trên, viết các ma trận
phần tử ở dạng số cho mỗi phần tử.


10
Ngày nay với sự trợ giúp của máy tính điện tử, cơng việc này có
thể dễ dàng làm được bằng cách viết những chương trình mà ở đó
khi đưa vào các thơng số hình học, đặc trưng vật liệu, chương trình
sẽ trả lại cho chúng ta các ma trận phần tử ở dạng số. Bên cạnh đó,
các phần mềm phần tử hữu hạn sẵn có trên thị trường đa phần chứa
đựng một thư viện lớn các loại phần tử thích hợp cho việc giải đa số

các bài toán kỹ thuật, tuy nhiên để ứng dụng một cách chính xác, địi
hỏi người dùng phải hiểu một cách sâu sắc về ý nghĩa lẫn bản chất
của mỗi loại phần tử.
Bước then chốt trong việc tìm các phương trình phần tử, là giả
định lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân mơ tả bài toán trên mỗi
phần tử. Lời giải trên phần tử thường được giả định ở dạng đa thức
tuyến tính, và được viết theo các lời giải chưa biết tại các nút (các
bậc tự do tại nút).[3]

1.3.3

Lắp ghép các phương trình phần tử

Sau khi rời rạc hóa miền khảo sát, viết các phương trình cho từng
phần tử, chúng ta thực hiện q trình lắp ghép để tìm hệ phương
trình tồn cục mô tả ứng xử vật lý của hệ. Ý tưởng nền tảng ở đây là,
tại một nút chung giữa nhiều phần tử, lời giải chưa biết (các bậc tự
do tại nút) sử dụng trong việc định nghĩa các phương trình cho mỗi
phần tử riêng rẽ phải trùng nhau. Điều này đồng nghĩa với việc chúng
ta phải thiết lập một mối quan hệ giữa các bậc tự do toàn cục và các
bậc tự do trên phần tử (bậc tự do địa phương). Dựa trên mối quan
hệ này chúng ta có thể lắp ghép các phần tử vào phương trình của
hệ một cách chính xác mơ tả đúng vị trí đóng góp của nó đối với hệ
tồn cục. Sau khi lắp ghép tất cả các phần tử hệ phương trình tồn
cục có dạng:
rK s tu✉ ✏ tR✉
(1.2)
nếu số bậc tự do tổng của bài tốn là n, lúc đó vectơ bậc tư do tồn
cục tu✉ có kích thước n ✂ 1, ma trận hệ số rK s có kích thước n ✂ n
và vectơ R là n ✂ 1. Trong bài toán kết cấu, rK s và tR✉ được gọi là

11
ma trận độ cứng và vectơ tải toàn cục tác dụng lên hệ. Quá trình lắp
ghép được bắt đầu bằng việc cho ma trận hệ số rK s và vectơ tR✉ bằng
r0s ♣t0✉q. Các ma trận phần tử được lắp vào ma trận tồn cục theo
đúng vị trí đóng góp của mỗi phần tử đối với hệ. Để minh họa điều
này chúng ta hãy khảo sát một lưới phần tử hữu hạn gồm 8 nút, 6
phần tử của một bài tốn có biên dạng như hình dưới. Các bậc tự do
tại nút mơ tả cho tải trọng tại đó. Vì mơ hình có 8 nút do đó ma trận
tồn cục rK s có kích thước 8 ✂ 8, vectơ tồn cục tR✉ có kích thước
8 ✂ 1. Q trình lắp ghép được thực hiện như sau:
Hệ phương trình tồn cục ban đầu:
✔
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✕

0

0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0

✜✩
✬
✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✫
✣✬
✣
✣
✣✬
✬

✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✣✬
✬
✬
✢✬
✬
✬
✪

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8

✱
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✳
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

✱
✩
✬
0 ✴
✴
✬
✴
✬

✴
✬
✴
✬
0
✴
✬
✴
✬
✴
✬
✴
✬
✴
✬
0
✴
✬
✬
✴
✴
✬
✳
✫

✏✬
✬
✬
✬
✬

✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✪

0
0
0
0
0

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

(1.3)

Lắp ghép phần tử 1 vào hệ toàn cục.

Hình 1.7: Lưới phần tử hữu hạn

Phần tử này được kết nối với miền tồn cục thơng qua các bậc
tự do (1, 2, 5), thứ tự các bậc tự do phải được lấy theo chiều ngược


12
chiều kim đồng hồ. Giả sử các phương trình cho phần tử 1 có dạng:
✔

1
✖
✕ 2
3

2
4
5

✜✩

3 ✬
✫ u1
✣
5 ✢

u2
✬
✪
6
u3

✱
✴
✳
✴
✲

✱
✩
✬
✳
✫ 11 ✴

✏✬
✪

(1.4)

12
✴
✲
13

Phương trình thứ nhất của hệ (1.4) trên có thể viết:
1u1   2u2   3u5

✏ 11

(1.5)

viết lại cho tất cả các bậc tự do toàn cục
1u1   2u2   0u3   0u4   3u5   0u6   0u7   0u8

✏ 11

(1.6)

vậy sau khi lắp ghép vào hệ toàn cục ta có:
✔
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✕

1

0
0
0
0
0
0
0

2
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

3
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0

✜✩
✬
✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✫
✣✬
✣
✣
✣✬
✬

✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✢✬
✬
✬
✪

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8

✱
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✳
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

✱
✩
✬
0 ✴
✴
✬
✴
✬

✴
✬
✴
✬
0
✴
✬
✴
✬
✬
✴
✴
✬
✴
✬
0
✴
✬
✴
✬
✴
✬
✳
✫

✏✬
✬
✬
✬
✬

✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✪

0
0
0
0
0

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

(1.7)

tương tự cho hai phương trình cịn lại.
Do đó hệ phương trình tồn cục sau khi lắp ghép phần tử 1 có dạng:
✔
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✕

1
2
0
0
3
0
0
0

2
4
0
0
5
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

3
5
0

0
6
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
0

✜✩
✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✫
✣
✣
✣✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✬

✢✬
✬
✬
✪

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8

✱
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✳
✴

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

✩
✱
✬
11 ✴
✬
✴
✬
✴
✬
✴
✬
12 ✴
✬
✴
✬
✴

✬
✴
✬
✴
✬
✴
0
✬
✴
✬
✴
✬
✴
✫
✳

✏✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✪

0
13
0
0
0

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

(1.8)

Cách lắp ghép phần tử 2 vào hệ toàn cục hoàn toàn tương tự như vậy.
Sau khi lắp ghép hai phần tử ta thu được hệ phương trình tồn cục


13
sau

✔
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✖
✕

1
2
0
0
3
0
0
0

2
11
0
0
14

8
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0 3
0 0
0 14 8 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 18 11 0
0 11 10 0
0 0
0 0
0 0
0 0

0
0
0

0
0
0
0
0

✜✩
✬
✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✫
✣✬
✣
✣
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬
✬
✣✬

✣✬
✬
✬
✢✬
✬
✬
✪

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8

✱
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴

✴
✳
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

✱
✩
✬
11 ✴
✴
✬
✴
✬
✴
✬
✬
13 ✴
✴

✬
✴
✬
✴
✬
✴
✬
✴
✬
0
✴
✬
✬
✴
✴
✬
✳
✫

✏✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✬

✬
✬
✪

0
16
2
0
0

✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✴
✲

(1.9)

hồn tồn tương tự cho các phần tử cịn lại. [3]

1.3.4

Khử các điều kiện biên chính

Trong q trình lắp ghép, giả sử rằng các bậc tự do tại nút là
các ẩn chưa biết. Tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thường một
số trong chúng có thể được định nghĩa trước, hoặc bằng không, hoặc
khác không. Các bậc tự do định nghĩa trước này gọi là các điều kiện
biên chính. Vậy để thỏa điều kiện tương thích trên biên, chúng ta phải
khử chúng trước khi giải hệ phương trình tồn cục.
Việc khử điều kiện biên chính trong hệ phương trình tồn cục bao
gồm:
• Thay các giá trị cho trước vào vectơ bậc tự do tồn cục tu✉
• Loại bỏ các phương trình phụ, rút gọn hệ phương trình cịn lại.

1.3.5

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Để xác định chuyển vị nút trong phương pháp phần tử hữu hạn ta
ln nhận được hệ phương trình tuyến tính tồn cục sau khi đã khử
các điều kiện biên, ta thu được hệ m phương trình m ẩn số.

rAs tx✉ ✏ tb✉

(1.10)