ĐỀ THI HSG TOÁN 9 2010-2011

Đề chính thức
Trường THCS An Trạch KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
Đề gồm 6 câu / 1 trang NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN : TOÁN 9
Thời gian 120 phút ( KKGĐ)
I. PHẦN ĐẠI SỐ
Câu 1:(4 điểm ) Chứng minh đẳng thức
( )
. 9 17. 9 17 8
1 1
. 15 2 6 201
5 2 6 5 2 6
a
b
− + =
 
+ + =
 ÷
− +
 
Câu 2: (3 điểm ) Giải phương trình
5 1
4 20 3 9 45 4
9 3
x
x x
−
− + − − =
Câu 3(3 điểm ) Giải hệ phương trình
1 1
2

2 1
( )
2 3
1
2 1
x y
I
x y

+ =

− −



− = −

− −

Câu 4: ( 4 điểm )
Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm
20km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ, nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đi
tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
II. PHẦN HÌNH HỌC
Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho biết chu vi của tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a. Chứng minh rằng tam giác đó vuông
b. Tính khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
Câu 6: (3 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8, AC = 15. vẽ đường cao AH. Gọi D là

điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC tại E.
a. Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn
b. Tính độ dài HE
--- HẾT ---
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
Thi chọn học sinh giỏi vòng trường năm 2010 - 2011
Câu Nội dung Thang điểm
I. Phần đại số
Câu 1
( )
( )
( )
. 9 17. 9 17 8
9 17. 9 17
(9 17)(9 17) 9 17 8
1 2
. 15 2 6 201
5 2 6 5 2 6
1(5 2 6) 2(5 2 6)
15 2 6
(5 2 6)(5 2 6)
5 2 6 10 4 6
15 2 6
25 4.6
(15 2 6)(15 2 6) 225 24 201
a
VT
VP
b
VT

VP
− + =
= − +
= − + = − = =
 
+ + =
 ÷
− +
 
 
+ + −
= +
 ÷
 ÷
− +
 
 
+ + −
= +
 ÷
 ÷
−
 
= − + = − = =
0.5 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
0.5 điểm
Câu 2

5 1
4 20 3 9 45 4
9 3
3 1.3
2 5 5 5 4
3 3
2 5 5 5 4
2 5 4
5 2
5 4
9
x
x x
x x x
x x x
x
x
x
x
−
− + − − =
− + − − − =
⇔ − + − − − =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ − =
⇒ =
1 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm

0.5 điểm
0.5 điểm
Câu 3
1 1
2
2 1
( )
2 3
1
2 1
x y
I
x y

+ =

− −



− = −

− −

Đặt U =
1 1
;
2 1
V
x y

=
− −
(*) thay vào (I) ta có
2 3 3 6
( )
2 3 1 2 3 1
1
1
U V U V
I
U V U V
U
V
+ = + =
 
⇔ ⇔
 
− = − − = −
 
=

⇔

=

0.5 điểm
0.5 điểm
0.5điểm
Thay U, V vào (*) ta có
1

1
2 1 3
2
1
1 1 2
1
1
x x
x
y y
y

=

− = =
 
−

⇔ ⇔
  
− = =
 

=
−


Vậy nghiệm của hệ (I) là (x;y) = ( 3;2)
1 điểm
0.5 điểm

Câu 4
Gọi vận tốc ô tô là x (km/h) và thời gian dự định là y (h)(x,y
>0)
Ta có hệ phương trình
( 20)( 1)
( 10)( 1)
40
3
x y xy
x y xy
x
y
+ − =


− + =

=

⇔

=

Vận tốc của ô tô là 40km/h và thời gian dự định là 3 giờ
1 điểm
1điểm
1 điểm
1 điểm
II. Phần hình học
Câu 5

a. ta có
120
3
8 15 17 8 15 17 4
AB AC BC AB AC BC+ +
= = = = =
+ +
suy ra AB = 24, AC = 45, BC = 51
ta có 24
2
+ 45
2
= 51
2

=>
ABC∆
vuông tai A
b. Gọi khoảng cách từ giao điểm O của ba đường phân giác
đến mỗi cạnh là x
ta có
1 1
(24 45 51) 24.45
2 2
60 540
9( )
BOC COA AOB ABC
S S S S
x
x

x cm
+ + =
⇒ + + =
⇒ =
⇒ =
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
Câu 6 a. điểm E nằm trên đường tròn đường kính CD nên góc DEC
bằng 90
0
suy ra DE //AB
Gọi F là tyrung điểm của AE thì HF là đường trung bình của
hình thang ABDE, do đó HF
AE⊥
HAE∆
cân =>
1 1
ˆ
ˆ
A E=
OEC∆
cân =>
2
ˆ
ˆ
E C=

Suy ra
0
1 2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
90E E A C+ = + =
Do đó
0
ˆ
90HEO HE OE= ⇒ ⊥
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. Áp dụng định lý Py ta go ta tính BC = 17
áp dụng hệ thức lượng AH.BC=AB.AC
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
O
. 8.15 120
17 17
7.1
AB AC
HA
BC
HE

⇒ = = =
⇒ ≈
0.25 điểm
( thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa )