<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Phép tính vi phân hàm</b>
<b>số</b>
<b>một biến</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>Nội dung</b>
• Tính đạo hàm
• Đạo hàm cấp cao
• Cơng thức Taylor và ứng dụng
• Quy tắc L’Hospital
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>Định nghĩa đạo hàm</b>
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
1
( )
( )
(
)
( )
<i>f x</i>
<i>f x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>f x</i>
tan
<i>y</i>
<i>x</i>
0
'
lim
<i>x</i>
<i>dy</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>Một số quy tắc tính đạo hàm</b>
<b>Nếu c là hằng số, u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm:</b>
( )'
<i>c</i>
0
( )' 1
<i>x</i>
(
<i>u</i>
<i>v</i>
)'
<i>u</i>
'
<i>v</i>
'
(
<i>cu</i>
)'
<i>cu</i>
'
2
'
'
( )'
<i>u</i>
<i>u v</i>
<i>v u</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
2
'
( )'
<i>c</i>
<i>cv</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<b>Đạo hàm của hàm hợp f(u(x)):</b>
' '
'( ( ))
<i><sub>u</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>f u x</i>
<i>f u</i>
<b>Đạo hàm của hàm ngược: Nếu y=y(x) có hàm ngược x=x(y)</b>
<b>và có</b>
<b>đạo hàm là y’(x) ≠ 0. Khi đó:</b>
' '
1 /
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<b>Đạo hàm của các hàm cơ bản</b>
'
' 1
'
'
'
2
'
2
0
,
sin
cos
cos
sin
1
t g
cos
1
cot g
sin
<i>y</i>
<i>c</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
'
'
'
'
' 2
' 2
' 2
' 2
ln
log
1 / ln
ln
1 /
sin
1 / 1
arccos
1 / 1
arctan
1 / (1
)
arc cot
1 / (1
)
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>e</i>
<i>y</i>
<i>e</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>arc</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
4
3
3
2
1
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số có chứa căn thức sau:</b>
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
1
1
1
<i>y</i>
<i>x</i>
<i><sub>x</sub></i>
<i><sub>x</sub></i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1.
2.
3.
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
5sin
3cos
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:</b>
tg x - cotg x
<i>y</i>
arctg x + arccotg x
<i>y</i>
arcsin
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
2 sin
(
2)cos
<i>y</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
1.
2.
3.
4.
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
arcsin
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>e</i>
<i>x</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số lũy thừa, logarith sau:</b>
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>e</i>
3
3
ln
3
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
ln
2ln
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
ln log
ln log
<i><sub>a</sub></i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
1.
2.
3.
4.
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>
2
3
3
1
sin
cos
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
5
3
2
<i>x</i>
2
<i>x</i>
1
ln
<i>y</i>
<i>e</i>
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>arc</i>
<i>e</i>
ln(
<i>x</i>
5sin
4arcsin )
<i>y</i>
<i>e</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
ln
1 ln(
1)
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1.
2.
3.
4.
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
3
ln
;
(2
1),
1 cos
<i>x</i>
<i>e</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>
2
4 7
3
1
;
,
sin
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>n n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1.
2.
(2
cos )
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
3.
<i>2 x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>
1.
2.
3.
4.
2 3 2
3
2
1
sin
cos
1
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
9
5 11
(
2)
(
1) (
3)
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
sin
(cos )
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Đạo hàm của các hàm số ngược:</b>
' '
1 /
<i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>dx</i>
1
<i>dy</i>
<i>dy</i>
<i>dx</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>x</i>
'<i><sub>y</sub></i> <b>trong các</b> <b>trường hợp sau:</b>
1.
2.
3.
ln
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
sin
2
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
2
0.1
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Đạo hàm của các hàm số có chứa tham số:</b>
( )
( )
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>t</i>
'
'
'
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>dy</i>
<i>dy</i>
<i><sub>dt</sub></i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>dt</i>
2
1
1
1
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>t</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
1.
2
2
1
1
1
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>t</i>
<sub></sub>
2.
3
3
cos
sin
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>t</i>
3.
ln tan
<sub>2</sub>
cos
sin
(sin
cos )
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>1. Tính</b> <b>tại</b> <b>nếu:</b>
<b>2. Tính</b> <b>tại</b> <b>nếu:</b>
<b>3. Chứng minh rằng hàm số y xác định bởi các tham số</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Đạo hàm của các hàm số dạng ẩn:</b>
( , )
0
<i>F x y</i>
( , )
0
<i>dF x y</i>
<i>dx</i>
'
<i>x</i>
<i>y</i>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>y</i>
'<i><sub>x</sub></i> <b>trong</b> <b>trường hợp:</b>
<i>F x y</i>
( , )
<i>x</i>
3
<i>y</i>
3
3
<i>axy</i>
0
2 2 ' '
( , )
3
3
<i><sub>x</sub></i>
3 (
<i><sub>x</sub></i>
)
0
<i>dF x y</i>
<i>x</i>
<i>y y</i>
<i>a y</i>
<i>xy</i>
<i>dx</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>y</i>
'<i><sub>x</sub></i> <b>trong các</b> <b>trường hợp sau:</b>
2 2 2
3 <sub>3</sub> 3
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
2
cos (
)
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
2 2
1
arctan( )
ln(
)
2
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
1.
2.
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>1. Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>y</i>
' <b>tại điểm M (1,1) nếu:</b>
<b>2. Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>y</i>
' <b>tại điểm N (2,1) nếu:</b>
<b>3. Tính</b> <b>đạo hàm</b>
<i>y</i>
' <b>tại điểm P (0,1) nếu:</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm</b>
<b>1. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương </b>
<b>trình:</b>
<b>2. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương </b>
<b>trình :</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
<b>1.</b> <b>Chứng minh rằng hàm số:</b> <b>thỏa mãn</b>
<b>phương trình</b>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
<b>2. Chứng minh rằng hàm số:</b> <b>thỏa mãn</b>
<b>phương trình</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
<b>Đạo hàm cấp hai của hàm chứa tham số:</b>
' '' '' '
''
' 3
( )
<i>t</i> <i>tt</i> <i>tt</i> <i>t</i>
<i>xx</i>
<i>t</i>
<i>x y</i>
<i>x y</i>
<i>y</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
<b>Tính</b> <b>trong các</b> <b>trường hợp:</b>
2
2
<i>d y</i>
<i>dx</i>
1. 2.
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
<b>Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:</b>
1
1
<i>y</i>
<i>x</i>
1
1
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
1. 2.
3.
<i>y</i>
<sub>2</sub>
1
<sub>2</sub>
<i>x</i>
<i>a</i>
4.
<i>y</i>
<i>x</i>
cos 2
<i>y</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>
<b>Tính</b>
<b>đạo hàm cấp cao</b>
<b>Cơng thức Leibniz:</b>
( ) ( ) ( 1)
(
1)
( 2) ( )
(
)
'
'' ...
1.2
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
<b>Công</b>
<b>thức Taylor</b>
<b>Giả sử f(x) liên tục trong lân cận x<sub>0</sub></b> <b>và</b> <b>khả vi n lần tại điểm đó, </b>
<b>khi x x<sub>0</sub></b> <b>thì:</b>
<b>hay</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
<b>Cơng</b>
<b>thức Taylor</b>
<b>Ví</b> <b>dụ: Khai triển đa thức sau dưới dạng lũy thừa của (x-2):</b>
3 2
( )
2
3
5
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Ta có:</b>
' 2
( )
3
4
3
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
''
( )
<i>x</i>
6
<i>x</i>
4
<i>f</i>
'''
( )
<i>x</i>
6
' '' '''
(2) 11;
(2)
7;
(2)
8;
(2)
6
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
' '' '''
2 3
(2)
(2)
(2)
( )
(2)
(
2)
(
2)
(
2)
1!
2!
3!
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>f x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Áp</b> <b>dụng công thức Taylor ta có:</b>
2 3
11 7(
<i>x</i>
2)
4(
<i>x</i>
2)
(
<i>x</i>
2)
</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>
<b>Cơng</b>
<b>thức Taylor</b>
<b>Tìm 3 số hạng đầu của khai triển Taylor tại x<sub>0</sub></b> <b>= 1 của hàm số sau:</b>
10 6 2
( )
3
2
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>
<b>Các</b>
<b>trường hợp đặc biệt</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>
<b>Công</b>
<b>thức Taylor</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>
<b>Công</b>
<b>thức Taylor</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>
<b>Áp</b> <b>dụng công thức Maclaurin khai triển các hàm sau tới o(xn<sub>):</sub></b>
<b>Công</b>
<b>thức Maclaurin</b>
2
( )
(
5)
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>e</i>
3
( )
ln
2
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
2 3
( )
ln
2 3
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
2
( )
ln(
3
2)
</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>
<b>Cơng</b>
<b>thức Maclaurin</b>
<b>Tính</b> <b>xấp xỉ</b>
0
cos10
ln1.3
1.4
3
</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>
<b>Cơng</b>
<b>thức Maclaurin</b>
<b>Tính</b> <b>giới hạn bằng cách áp dụng công thức Maclaurin</b>
1. <sub>2.</sub>
3. 4.
</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>
<b>Công</b>
<b>thức L’Hospital</b>
0
lim ln
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
0
lim
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>
<b>Công</b>
<b>thức L’Hospital</b>
1. <sub>2.</sub>
3. 4.
</div>
<!--links-->