Slide Giải tích 1 - Lecture 2 - Phạm Thành Nam - Tài liệu VNU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (517.5 KB, 37 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phép tính vi phân hàm

số

một biến

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

• Tính đạo hàm

• Đạo hàm cấp cao

• Cơng thức Taylor và ứng dụng

• Quy tắc L’Hospital

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Định nghĩa đạo hàm

x

  

y

  

( )

(

)

( )

f x

x

f x







  

tan

y

x







'

lim

x

dy

y

dx

 

x





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Một số quy tắc tính đạo hàm

Nếu c là hằng số, u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm:

( )'

c



0 ( )' 1

x



(

u



v

)'

 

u

'

v

'

(

cu

)'



cu

'

( )'

u

u v

v u

v





'

( )'

c

cv

v

 

v

Đạo hàm của hàm hợp f(u(x)):

' '

'( ( ))

u x

f u x



f u

Đạo hàm của hàm ngược: Nếu y=y(x) có hàm ngược x=x(y)

và có

đạo hàm là y’(x) ≠ 0. Khi đó:

' '

1 /

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Đạo hàm của các hàm cơ bản

'
' 1
'
'
'
2
'
2

0 ,

sin

cos

sin

1 t g

cos

1 cot g

sin

y

c

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x







 



 









 









 

'
'
'
'
' 2
' 2
' 2
' 2

ln

log

1 / ln

ln

1 /

sin

1 / 1

arccos

1 / 1

arctan

1 / (1

)

arc cot

1 / (1

)

x x

a

y

a

y

a

y

e

y

e

y

x

y

x

a

y

x

y

x

y

arc

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tính

đạo hàm

4
3

2

1 y

x







Tính đạo hàm của các hàm số có chứa căn thức sau:

y

 

x



x

1 y

x

x

 



y



x



x



x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tính

đạo hàm

5sin

3cos

y



x



x

Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:

tg x - cotg x

y



arctg x + arccotg x

y



arcsin

y



x

2 sin

(

2)cos

y



t



t



t

2.
3.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tính

đạo hàm

arcsin

x

y



e

x

Tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, logarith sau:

5
x

x

y

e



3
3

ln

3 x

y



x



1 ln

2ln

x

y

x

 



ln log

a

y



x



a

x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tính

đạo hàm

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2
3
3

1 sin

cos

y

x





5
3

2

x

2

x

1 ln

y



e



 

x

cos

x

y



arc

e

ln(

x

5sin

4arcsin )

y



e



x



x

ln

1 ln(

1)

y



x

 

x



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tính

đạo hàm

ln

;

(2

1),

1 cos

x

e

y

x

n

x













Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2
4 7
3

1 ;

,

sin

x

y

x

n n

x











1.
2.

(2

cos )

x

y

 

x

2 x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tính

đạo hàm

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2 3 2

3
2

1 sin

cos

1 x

y

x







9
5 11

(

2)

(

1) (

3)

x

y

x







sin

(cos )

x

y



x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tính

đạo hàm

Đạo hàm của các hàm số ngược:

' '

1 /

y x

x



y

dx

1 dy

dx





Tính đạo hàm

x

'y trong các trường hợp sau:

1.
2.

ln

y

 

x

3 y



x



x

1 sin

2 y

 

x

0.1

x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Tính

đạo hàm

Đạo hàm của các hàm số có chứa tham số:

( )

x

t

y

t









 



'
'
'
t
x
t

y

x





dy

dt

dx

dt





1 x

t

y

t

 













  













1.
2
2

1 x

t

y

t

 

















2.
3

cos

sin

x

a

t

y

a

t

 









ln tan

2

cos

sin

(sin

cos )

t

x

a

t

y

a

t

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tính

đạo hàm

1. Tính tại nếu:

2. Tính tại nếu:

3. Chứng minh rằng hàm số y xác định bởi các tham số

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tính

đạo hàm

Đạo hàm của các hàm số dạng ẩn:

( , )

0 F x y



( , )

0 dF x y

dx



x

y



Tính đạo hàm

y

'x trong trường hợp:

F x y

( , )



x



y



3 axy



0

2 2 ' '

( , )

3

x

3 (

x

)

0 dF x y

x

y y

a y

xy

dx











</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Tính

đạo hàm

Tính đạo hàm

y

'x trong các trường hợp sau:

2 2 2

3 3 3

x



y



a

cos (

)

a

x



y



b

2 2

1 arctan( )

ln(

)

2 y

x

y

x





</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tính

đạo hàm

1. Tính đạo hàm

y

' tại điểm M (1,1) nếu:

2. Tính đạo hàm

y

' tại điểm N (2,1) nếu:

3. Tính đạo hàm

y

' tại điểm P (0,1) nếu:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tính

đạo hàm

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tính

đạo hàm

1. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương 
trình:

2. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương 
trình :

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20></div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tính

đạo hàm cấp cao

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1. Chứng minh rằng hàm số: thỏa mãn
phương trình

Tính

đạo hàm cấp cao

2. Chứng minh rằng hàm số: thỏa mãn
phương trình

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Tính

đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp hai của hàm chứa tham số:

' '' '' '
''

' 3

( )

t tt tt t

xx

t

x y

y

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Tính

đạo hàm cấp cao

Tính trong các trường hợp:

2
2

d y

dx

1. 2.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Tính

đạo hàm cấp cao

Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1 y

x





1 x

y

x







1. 2.

y

2

1

2

x

a





y



x

cos 2

y



x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tính

đạo hàm cấp cao

Cơng thức Leibniz:

( ) ( ) ( 1)

(

1)

( 2) ( )

(

)

'

'' ...

1.2

n n n

n n

n n

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Công

thức Taylor

Giả sử f(x) liên tục trong lân cận x0 và khả vi n lần tại điểm đó, 
khi x x0 thì:

hay

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Cơng

thức Taylor

Ví dụ: Khai triển đa thức sau dưới dạng lũy thừa của (x-2):

3 2

( )

2

3

5 f x



x



x



x



Ta có:

' 2

( )

3

4

3 f x



x



x



f

( )

x



6 x



4 f

'''

( )

x



6

' '' '''

(2) 11;

(2)

7;

(2)

8;

(2)

6 f



f



f



f



' '' '''

2 3

(2)

( )

(2)

(

2)

(

2)

(

2)

1!

2!

3!

f

f x



f



x

 

x





x



Áp dụng công thức Taylor ta có:

2 3

11 7(

x

2)

4(

x

2)

(

x

2)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cơng

thức Taylor

Tìm 3 số hạng đầu của khai triển Taylor tại x0 = 1 của hàm số sau:

10 6 2

( )

3

2 f x



x



x



x



</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Các

trường hợp đặc biệt

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Công

thức Taylor

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Công

thức Taylor

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Áp dụng công thức Maclaurin khai triển các hàm sau tới o(xn):

Công

thức Maclaurin

( )

(

5)

x

f x



x



e

3 ( )

ln

2 x

f x

x







2 3

( )

ln

2 3

x

f x

x







( )

ln(

3 2)

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Cơng

thức Maclaurin

Tính xấp xỉ

cos10

ln1.3

1.4

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Cơng

thức Maclaurin

Tính giới hạn bằng cách áp dụng công thức Maclaurin

1. 2.

3. 4.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Công

thức L’Hospital

lim ln

x

x

lim

x

x

x

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Công

thức L’Hospital

1. 2.

3. 4.

</div>

Slide Giải tích 1 - Lecture 2 - Phạm Thành Nam - Tài liệu VNU

<b>Phép tính vi phân hàm</b>

<b>số</b>

<b>một biến</b>

<b>Nội dung</b>

• Tính đạo hàm

• Đạo hàm cấp cao

• Cơng thức Taylor và ứng dụng

• Quy tắc L’Hospital

<b>Định nghĩa đạo hàm</b>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

  

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

  

( )

( )

(

)

( )

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>







  

tan

<i>y</i>

<i>x</i>









'

lim

<i>dy</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>







<b>Một số quy tắc tính đạo hàm</b>

<b>Nếu c là hằng số, u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm:</b>

( )'

<i>c</i>



0

( )' 1

<i>x</i>



(

<i>u</i>



<i>v</i>

)'

 

<i>u</i>

'

<i>v</i>

'

(

<i>cu</i>

)'



<i>cu</i>

'

'

'

( )'

<i>u</i>

<i>u v</i>

<i>v u</i>