Tải bản đầy đủ (.pdf) (37 trang)

Slide Giải tích 1 - Lecture 2 - Phạm Thành Nam - Tài liệu VNU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (517.5 KB, 37 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phép tính vi phân hàm</b>

<b>số</b>


<b>một biến</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Nội dung</b>



• Tính đạo hàm



• Đạo hàm cấp cao



• Cơng thức Taylor và ứng dụng


• Quy tắc L’Hospital



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Định nghĩa đạo hàm</b>



1


<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



  



1


<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>



  



1


( )

( )



(

)

( )




<i>f x</i>

<i>f x</i>



<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>




  


tan

<i>y</i>


<i>x</i>




0

'

lim


<i>x</i>

<i>dy</i>

<i>y</i>


<i>y</i>



<i>dx</i>

 

<i>x</i>







</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Một số quy tắc tính đạo hàm</b>



<b>Nếu c là hằng số, u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm:</b>



( )'

<i>c</i>

0

( )' 1

<i>x</i>



(

<i>u</i>

<i>v</i>

)'

 

<i>u</i>

'

<i>v</i>

'

(

<i>cu</i>

)'

<i>cu</i>

'




2


'

'


( )'

<i>u</i>

<i>u v</i>

<i>v u</i>



<i>v</i>

<i>v</i>





2


'


( )'

<i>c</i>

<i>cv</i>



<i>v</i>

 

<i>v</i>


<b>Đạo hàm của hàm hợp f(u(x)):</b>



' '


'( ( ))

<i><sub>u</sub></i> <i><sub>x</sub></i>


<i>f u x</i>

<i>f u</i>



<b>Đạo hàm của hàm ngược: Nếu y=y(x) có hàm ngược x=x(y)</b>


<b>và có</b>

<b>đạo hàm là y’(x) ≠ 0. Khi đó:</b>



' '


1 /




</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Đạo hàm của các hàm cơ bản</b>


'
' 1
'
'
'
2
'
2

0


,



sin

cos


cos

sin



1


t g


cos


1


cot g


sin



<i>y</i>

<i>c</i>

<i>y</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>




<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>



<i>x</i>


<sub></sub>

<sub></sub>



 


 



 



 


'
'
'
'
' 2
' 2
' 2
' 2

ln



log

1 / ln


ln

1 /



sin

1 / 1


arccos

1 / 1



arctan

1 / (1

)


arc cot

1 / (1

)



<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>a</i>


<i>y</i>

<i>a</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>a</i>


<i>y</i>

<i>e</i>

<i>y</i>

<i>e</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>a</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>arc</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



4
3


3


2

1



<i>y</i>

<i>x</i>



<i>x</i>

<i>x</i>





<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số có chứa căn thức sau:</b>


3

<i>y</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



3


1

1

1



<i>y</i>



<i>x</i>

<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>x</sub></i>



 



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



1.


2.


3.



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



5sin

3cos



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:</b>


tg x - cotg x


<i>y</i>



arctg x + arccotg x



<i>y</i>



arcsin



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



2


2 sin

(

2)cos



<i>y</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i>



1.


2.
3.



4.


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



arcsin



<i>x</i>


<i>y</i>

<i>e</i>

<i>x</i>



<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số lũy thừa, logarith sau:</b>


5
<i>x</i>

<i>x</i>


<i>y</i>


<i>e</i>



3
3

ln


3


<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



1

ln



2ln

<i>x</i>




<i>y</i>

<i>x</i>



<i>x</i>

<i>x</i>



 



ln log

ln log

<i><sub>a</sub></i>


<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>



1.


2.


3.


4.


</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>


2
3
3

1


sin


cos


<i>y</i>

<i>x</i>



<i>x</i>



5
3


2

<i>x</i>

2

<i>x</i>

1

ln



<i>y</i>

<i>e</i>

 

<i>x</i>



cos

<i>x</i>


<i>y</i>

<i>arc</i>

<i>e</i>



ln(

<i>x</i>

5sin

4arcsin )



<i>y</i>

<i>e</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



ln

1 ln(

1)



<i>y</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>



1.


2.


3.


4.


</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>




3


ln

;

(2

1),



1 cos



<i>x</i>


<i>e</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>n</i>

<i>n</i>



<i>x</i>







<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>


2
4 7
3

1


;

,


sin


<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>n n</i>




<i>x</i>

<i>x</i>





1.
2.


(2

cos )

<i>x</i>


<i>y</i>

 

<i>x</i>



3.


<i>2 x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Tính</b> <b>đạo hàm của các hàm số sau:</b>


1.


2.


3.


4.


2 3 2



3
2

1


sin

cos


1


<i>x</i>



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>





9
5 11

(

2)



(

1) (

3)



<i>x</i>


<i>y</i>


<i>x</i>

<i>x</i>





sin


(cos )

<i>x</i>


<i>y</i>

<i>x</i>




<i>x</i>


<i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Đạo hàm của các hàm số ngược:</b>


' '


1 /



<i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i>

<i>y</i>

<i>dx</i>

1



<i>dy</i>


<i>dy</i>



<i>dx</i>





<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>x</i>

'<i><sub>y</sub></i> <b>trong các</b> <b>trường hợp sau:</b>


1.
2.


3.



ln



<i>y</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>


3


3



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



1



sin


2



<i>y</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>



2


2


0.1



<i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Đạo hàm của các hàm số có chứa tham số:</b>


( )



( )


<i>x</i>

<i>t</i>


<i>y</i>

<i>t</i>






 



'
'
'
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>t</i>

<i>y</i>


<i>y</i>


<i>x</i>



<i>dy</i>


<i>dy</i>

<i><sub>dt</sub></i>


<i>dx</i>


<i>dx</i>


<i>dt</i>



2

1


1


1


<i>x</i>



<i>t</i>


<i>t</i>


<i>y</i>


<i>t</i>


 


<sub></sub>





  


<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



1.
2
2

1


1


1


<i>x</i>

<i>t</i>


<i>t</i>


<i>y</i>


<i>t</i>


 



<sub></sub>





2.
3

3

cos


sin



<i>x</i>

<i>a</i>

<i>t</i>



<i>y</i>

<i>a</i>

<i>t</i>



 










3.

ln tan

<sub>2</sub>

cos

sin



(sin

cos )



<i>t</i>



<i>x</i>

<i>a</i>

<i>t</i>

<i>t</i>



<i>y</i>

<i>a</i>

<i>t</i>

<i>t</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>1. Tính</b> <b>tại</b> <b>nếu:</b>


<b>2. Tính</b> <b>tại</b> <b>nếu:</b>



<b>3. Chứng minh rằng hàm số y xác định bởi các tham số</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Đạo hàm của các hàm số dạng ẩn:</b>


( , )

0



<i>F x y</i>



( , )



0



<i>dF x y</i>



<i>dx</i>



'


<i>x</i>


<i>y</i>




<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>y</i>

'<i><sub>x</sub></i> <b>trong</b> <b>trường hợp:</b>

<i>F x y</i>

( , )

<i>x</i>

3

<i>y</i>

3

3

<i>axy</i>

0



2 2 ' '



( , )



3

3

<i><sub>x</sub></i>

3 (

<i><sub>x</sub></i>

)

0



<i>dF x y</i>



<i>x</i>

<i>y y</i>

<i>a y</i>

<i>xy</i>



<i>dx</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>y</i>

'<i><sub>x</sub></i> <b>trong các</b> <b>trường hợp sau:</b>


2 2 2


3 <sub>3</sub> 3


<i>x</i>

<i>y</i>

<i>a</i>



2


cos (

)



<i>a</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>b</i>



2 2


1




arctan( )

ln(

)


2



<i>y</i>



<i>x</i>

<i>y</i>



<i>x</i>



1.


2.


</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>1. Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>y</i>

' <b>tại điểm M (1,1) nếu:</b>


<b>2. Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>y</i>

' <b>tại điểm N (2,1) nếu:</b>


<b>3. Tính</b> <b>đạo hàm</b>

<i>y</i>

' <b>tại điểm P (0,1) nếu:</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm</b>



<b>1. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương </b>
<b>trình:</b>


<b>2. Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn phương </b>
<b>trình :</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>1.</b> <b>Chứng minh rằng hàm số:</b> <b>thỏa mãn</b>
<b>phương trình</b>


<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



<b>2. Chứng minh rằng hàm số:</b> <b>thỏa mãn</b>
<b>phương trình</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



<b>Đạo hàm cấp hai của hàm chứa tham số:</b>


' '' '' '
''


' 3


( )



<i>t</i> <i>tt</i> <i>tt</i> <i>t</i>


<i>xx</i>


<i>t</i>


<i>x y</i>

<i>x y</i>




<i>y</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



<b>Tính</b> <b>trong các</b> <b>trường hợp:</b>


2
2


<i>d y</i>


<i>dx</i>



1. 2.


</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



<b>Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:</b>


1


1



<i>y</i>



<i>x</i>






1


1




<i>x</i>


<i>y</i>



<i>x</i>








1. 2.


3.

<i>y</i>

<sub>2</sub>

1

<sub>2</sub>


<i>x</i>

<i>a</i>





4.

<i>y</i>

<i>x</i>



cos 2



<i>y</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Tính</b>

<b>đạo hàm cấp cao</b>



<b>Cơng thức Leibniz:</b>


( ) ( ) ( 1)

(

1)

( 2) ( )


(

)

'

'' ...



1.2



<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i>

<i>n</i> <i>n</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>Công</b>

<b>thức Taylor</b>



<b>Giả sử f(x) liên tục trong lân cận x<sub>0</sub></b> <b>và</b> <b>khả vi n lần tại điểm đó, </b>
<b>khi x x<sub>0</sub></b> <b>thì:</b>


<b>hay</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>Cơng</b>

<b>thức Taylor</b>



<b>Ví</b> <b>dụ: Khai triển đa thức sau dưới dạng lũy thừa của (x-2):</b>


3 2


( )

2

3

5



<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<b>Ta có:</b>


' 2


( )

3

4

3




<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

''

( )

<i>x</i>

6

<i>x</i>

4

<i>f</i>

'''

( )

<i>x</i>

6



' '' '''


(2) 11;

(2)

7;

(2)

8;

(2)

6



<i>f</i>

<i>f</i>

<i>f</i>

<i>f</i>



' '' '''


2 3


(2)

(2)

(2)



( )

(2)

(

2)

(

2)

(

2)



1!

2!

3!



<i>f</i>

<i>f</i>

<i>f</i>



<i>f x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>



<b>Áp</b> <b>dụng công thức Taylor ta có:</b>


2 3


11 7(

<i>x</i>

2)

4(

<i>x</i>

2)

(

<i>x</i>

2)



</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>Cơng</b>

<b>thức Taylor</b>




<b>Tìm 3 số hạng đầu của khai triển Taylor tại x<sub>0</sub></b> <b>= 1 của hàm số sau:</b>


10 6 2


( )

3

2



<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>Các</b>

<b>trường hợp đặc biệt</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>Công</b>

<b>thức Taylor</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Công</b>

<b>thức Taylor</b>



</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>Áp</b> <b>dụng công thức Maclaurin khai triển các hàm sau tới o(xn<sub>):</sub></b>


<b>Công</b>

<b>thức Maclaurin</b>



2


( )

(

5)

<i>x</i>


<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>e</i>



3



( )

ln



2


<i>x</i>



<i>f x</i>


<i>x</i>





2 3



( )

ln



2 3


<i>x</i>


<i>f x</i>


<i>x</i>





2


( )

ln(

3

2)



</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>Cơng</b>

<b>thức Maclaurin</b>



<b>Tính</b> <b>xấp xỉ</b>


0


cos10


ln1.3



1.4




3


</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>Cơng</b>

<b>thức Maclaurin</b>



<b>Tính</b> <b>giới hạn bằng cách áp dụng công thức Maclaurin</b>


1. <sub>2.</sub>


3. 4.


</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>Công</b>

<b>thức L’Hospital</b>



0


lim ln



<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

0


lim

<i>x</i>


<i>x</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<b>Công</b>

<b>thức L’Hospital</b>



1. <sub>2.</sub>


3. 4.


</div>


<!--links-->

×