Giải Tích 1 - Chương 2 - Ứng dụng đạo hàm

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


2
Nội dung

1 – Taylor Maclaurint.
2 – Qui tắc Lôpital.
3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
3
Định lý 1
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
0 0
'
'
( ) ( )
lim lim
( )
( )
x x x x
f x f x
g x
g x

→ →
=
II. Qui tắc Lôpital
1) Xác định trong lân cận của điểm x
0
và

.
0 0
( ) ( )
f x g x
=
2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn
' '
0 0
( ), ( ) 0.
f x g x
≠
Khi đó:
0 0
0
0
0
0
( ) ( )
( )
lim lim
( ) ( )
( )
x x x x

f x f x
x x
f x
g x g x
g x
x x
→ →
−
−
=
−
−
0
'
'
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
=
4
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
II. Qui tắc Lôpital
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2)
'

( , ): ( ) 0.
x a b g x
∀ ∈ ≠
3) Tồn tại
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
→ →
= =
4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn.
'
'
( )
lim
( )
x a
f x
g x
→
'
'
( ) ( )
lim lim
( )
( )
x a x a
f x f x
g x
g x
→ →

=
Khi đó tồn tại và
( )
lim
( )
x a
f x
g x
→
0
0
5
Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital
6
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
II. Qui tắc Lôpital
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2)
'
( , ): ( ) 0.
x a b g x
∀ ∈ ≠
3) Tồn tại
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
→ →
= = ∞

4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn.
'
'
( )
lim
( )
x a
f x
g x
→
'
'
( ) ( )
lim lim
( )
( )
x a x a
f x f x
g x
g x
→ →
=
Khi đó tồn tại và
( )
lim
( )
x a
f x
g x
→

∞
∞
7
Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital
8
II. Qui tắc Lôpital
Dạng vô định:
0
⋅∞
0 0
, 1 , , 0
∞
∞ − ∞ ∞
Các dạng vô định:
Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định
0.
∞
0
f
g
→


→ ∞

1/
f
f g
g

⇒ ⋅ =
dạng
0
0
1/
f
f g
g
⇒ ⋅ =
dạng
∞
∞
9
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
2) Tìm đạo hàm cấp 1:
'
( )
y x
3) Tìm đạo hàm cấp hai
''
( )
y x
4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.
5) Lập bảng biến thiên.
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.
III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
10
( )
y f x

=
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số
3 3 2
2 2
2
,
1 1
t t t
x y
t t
−
= =
+ +
2 2
'
2 2
( 3)
( ) 0
( 1)
t t
x t
t
+
= >
+
(
)
0
t

∀ ≠
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x
x t
⇒ =
2
2
( 1)( 4)
( 3)
t t t
t t
− + −
=
+
'
( ) 0 1
y x t
= ⇔ =
Tồn tại hai điểm tới hạn:
1
0 ( 0); ( 1)
2
x t x t
= = = =

đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt
cực đại tại x = 0.
'
( )
y x
đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt
cực tiểu tại x = 1/2.
'
( )
y x
11
Ví dụ.
Tìm điểm uốn của hàm cho bởi p/trình tham số
( )
y y x
=
cos(2 )
1 cot( ), ,0
sin
t
x t y t
t
π
= + = < <
( )
'' ' '' '
''
3
'
( ) ( ) ( ) ( )

( )
( )
y t x t x t y t
y x
x t
⋅ − ⋅
=
''
3
( ) 0
4 4
y x t t
π π
= ⇔ = ∨ =
đổi dấu khi qua
''
( )
y x
3
4 4
t t
π π
= ∨ =
Vậy hàm có hai điểm uốn: và
(
)
0,0
(2,0)
(ứng với hai giá trị của t ở trên)
12

Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
Tiệm cận đứng:
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
là tiệm cận xiên
Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.
0
x x
⇒ =
là tiệm cận đứng.
Tiệm cận xiên:
( )
( )
lim
lim ( )
x
x
f x
a
x
b f x ax
→∞
→∞

=



= −


y ax b
⇒ = +
Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.
13
Ví dụ.
Tìm tiệm cận của đồ thị
arctan2
(1 )
x
y
x x
=
−
Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1.
x = 0 không là tiệm cận đứng.
0
arctan2
lim 2
(1 )
x
x
x x
→
=
−
x = 1 là tiệm cận đứng.

1
arctan2
lim
(1 )
x
x
x x
→
= ∞
−
y = 0 là tiệm cận ngang.
arctan2
lim 0
(1 )
x
x
x x
→∞
=
−
14
Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối
xứng qua Ox.
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối
xứng qua Oy.
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua
gốc O.
15
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):

Nếu , thì là tiệm cận đứng
0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t a
x a
y t
→
→
=


⇒ =

= ∞


x a
=
Nếu , thì là tiệm cận ngang
0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t

y b
y t b
→
→
= ∞


⇒ =

=


y b
=
Nếu
0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t
y t
→
→
= ∞



= ∞



và
( )
0
0
( )
lim
( )
lim ( ) ( )
t t
t t
y t
a
x t
y t a x t b
→
→

=


− ⋅ =


thì là tiệm cận xiên.
y ax b
= +
16
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):

1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t).
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.
17
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số
( )
y y x
=
2 3
, 3
x t y t t
= = −
'
( ) 2
x t t
=
' 2
( ) 3 3 0 1 1
y t t t t
= − = ⇔ = ∨ = −
Tiệm cận xiên: không có.
'
( ) 0 0
x t t
= ⇔ =
18

t
'
( )
x t
( )
y t
( )
x t
'
( )
y t
−∞
+∞
1
−
0
1
0
+
+
−
−
+∞
+∞
1
1
0
0
+
+

−
−
−∞
0
2
−
+∞
'
( ) 2
x t t
=
' 2
( ) 3 3
y t t
= −
2
0
3
−
3
−
+
3
3
+
+
0
0
19
20

Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số
( )
y y x
=
2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t
= =
− −
'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t
−
=
−
2
'
2
(2 3) 2
( ) 0 0
3

8( 1)
t t
y t t t
t
−
= = ⇔ = ∨ =
−
Điểm đặc biệt:
'
( ) 0 0 2
x t t t
= ⇔ = ∨ =
21
t
'
( )
x t
( )
y t
( )
x t
'
( )
y t
−∞
+∞
0
1
3/2
2

0
0
+
+
+
−
−
+∞
+∞
−∞
−∞
1
−
9/8
−
0
0
0
+
+
−
−
−
+∞
0
−∞
+∞
27/32
1
+∞

'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t
−
=
−
2
'
2
(2 3)
( )
8( 1)
t t
y t
t
−
=
−
22
2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t

= =
− −
Cách tìm tiệm cận
1) Tìm những điểm :
0
t
0
( )
t t
x t
→
→∞
Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức.
2) Tìm những điểm :
0
t
0
( )
t t
y t
→
→∞
Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức.
3) Tìm những điểm :
0
t
0
( ) & ( )
t t
x t y t

→
→∞
Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức.
1
2 8
x
y
−
= +
Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên:
23
24
25
1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị
đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy).
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực
(
)
r r
ϕ
=
2) Tính đạo hàm của theo
r
ϕ
3) Lập bảng biến thiên của hàm
( )
r
ϕ
Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên
một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh

gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.
[
]
0,
T
,
2 2
T T
 
−
 
 