Phương pháp phần tử chuyển động trong phân tích động lực học tấm mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN CHÍ TRUNG

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG TRONG PHÂN
TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC TẤM MINDLIN TRÊN NỀN ĐÀN
NHỚT CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG
Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
Mã số: 60 58 02 08

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 03 năm 2016


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn:

PGS. TS. Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Văn Hiếu

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Nguyễn Hồng Ân
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM,
ngày 18 tháng 02 năm 2016.

Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS. TS. Bùi Công Thành

-

Chủ tịch Hội đồng

2. TS. Hồ Đức Duy

-

Thư ký

3. TS. Nguyễn Văn Hiếu

-

Ủy viên (Phản biện 1)

4. TS. Nguyễn Hồng Ân

-

Ủy viên (Phản biện 2)

5. PGS. TS. Nguyễn Trung Kiên

-

Ủy viên

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS. TS. Bùi Công Thành

PGS. TS. Nguyễn Minh Tâm


i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN CHÍ TRUNG

MSHV: 13210173

Ngày, tháng, năm sinh: 29/09/1987

Nơi sinh: Tiền Giang

Chun ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình DD&CN

Mã số: 60 58 02 08

I. TÊN ĐỀ TÀI: Phương pháp phần tử chuyển động trong phân tích động lực
học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần
tử kết cấu tấm sử dụng phương pháp phần tử chuyển động.
2. Phát triển thuật tốn, lập trình tính tốn bằng chương trình Matlab để giải hệ
phương trình động tổng thể của bài tốn.
3. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chương
trình với kết quả các bài báo tham khảo.
4. Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan
trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 06/07/2015

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 04/12/2015
V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. Lương Văn Hải
Tp. HCM, ngày 01 tháng 03 năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG NGÀNH

PGS. TS. Lương Văn Hải

PGS. TS. Bùi Công Thành

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS. TS. Nguyễn Minh Tâm


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ Xây dựng cơng trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ
thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho học viên cao học khả năng tự nghiên
cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng… Đó là
trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học.
Để hoàn thành Luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân. Tơi xin ghi nhận và tỏ lịng
biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tơi sự giúp đỡ q báu đó.
Đầu tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS. TS. Lương Văn Hải.
Thầy đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài, góp ý cho tơi rất
nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận
nghiên cứu hiệu quả.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại
học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tơi, đó cũng là
những kiến thức khơng thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp
của tôi sau này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến THS. Võ Hồng Nhi đã giúp đỡ tơi rất nhiều
trong q trình thực hiện Luận văn này.
Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản
thân, tuy nhiên khơng thể khơng có những thiếu sót. Kính mong q Thầy Cơ chỉ
dẫn thêm để tơi bổ sung những kiến thức và hồn thiện bản thân mình hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.

Tp. HCM, ngày 01 tháng 03 năm 2016

Nguyễn Chí Trung


iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Luận văn được thực hiện nhằm phân tích ứng xử động lực học của tấm Mindlin trên
nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động sử dụng phương pháp
phần tử chuyển động. Các nghiên cứu trước đây thường giải quyết bài toán kết cấu
tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn
truyền thống FEM (Finite Element Method). Để khắc phục những nhược điểm của
phương pháp FEM, phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element
Method) đã được đề xuất và phát triển. Trong phương pháp này các phần tử tấm sẽ
được xem như di chuyển và tải trọng được xem như đứng yên so với tấm. Phương
pháp MEM có các ưu điểm là tránh được việc cập nhật vị trí của véctơ tải trọng, cho
phép sử dụng các phần tử có kích thước không bằng nhau, tải trọng di chuyển sẽ
không bao giờ đến biên phần tử bởi vì phần tử và tải trọng di chuyển cùng một vận
tốc, ngoài ra phương pháp MEM yêu cầu số phần tử ít hơn phương pháp FEM.
Trong khoảng thời gian ngắn đã có nhiều nghiên cứu sử dụng phương pháp MEM
để phân tích ứng xử động lực học của tấm. Tuy nhiên các nghiên cứu trước đây
được thực hiện với tải trọng tĩnh di động, còn tải trọng động di động thì chưa được
xét đến. Do đó, ý tưởng mới của Luận văn nhằm phát triển phương pháp MEM
trong phân tích động lực học của tấm Mindlin chịu tải trọng động di động, trong đó
tải trọng điều hòa di động là một loại tải trọng thuộc dạng này. Ngoài ra, sự tương
tác giữa kết cấu và đất nền cũng được khảo sát vì đây là một trong những yếu tố
quan trọng ảnh hưởng đến ứng xử của tấm Mindlin. Các kết quả phân tích số được
thực hiện nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của

tấm Mindlin khi chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động trên nền đàn nhớt như
độ cứng và độ cản của nền, chiều dày của tấm, module đàn hồi của tấm, cường độ
tải trọng, tần số của tải trọng, vận tốc di chuyển, pha của tải trọng và khoảng cách
giữa các tải trọng. Các kết quả nghiên cứu trong Luận văn hy vọng có thể là một
trong những tài liệu tham khảo hữu ích nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho công việc
thiết kế, thi công và bảo dưỡng hệ thống mặt đường.


iv

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
Thầy PGS. TS. Lương Văn Hải.
Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên
cứu khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình.
Tp. HCM, ngày 01 tháng 03 năm 2016

Nguyễn Chí Trung


v

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ............................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ........................................................................... iii
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... iv
MỤC LỤC ................................................................................................................... v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................. viii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ............................................................................... x
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT................................................................................. xi
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN .................................................................................... 1
1.1 Giới thiệu ....................................................................................................... 1
1.2 Tình hình nghiên cứu ..................................................................................... 2
1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu ngồi nước ...............................................2
1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu trong nước ................................................6
1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu ...................................................................... 7
1.4 Cấu trúc Luận văn .......................................................................................... 8
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................................... 9
2.1 Lý thuyết tấm Mindlin ................................................................................... 9
2.1.1 Giới thiệu tổng quát ............................................................................9
2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị .......11
2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng .........13
2.1.4 Phương trình năng lượng của tấm .....................................................15
2.2 Phần tử đẳng tham số ................................................................................... 16
2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số.......................................................16
2.2.2 Hệ tọa độ tự nhiên của phần tử đẳng tham số Q9 ..............................16
2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss ....................................19
2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử
dụng phần tử chuyển động MEM ................................................................ 20


vi
2.4 Phương pháp Newmark................................................................................ 25
2.5 Tải trọng điều hòa di động ........................................................................... 28
2.6 Tần số tới hạn và vận tốc tới hạn trong bài toán tấm Mindlin chịu tác
dụng của tải trọng điều hịa di động ............................................................. 28
2.7 Thuật tốn sử dụng trong Luận văn ............................................................. 29
2.8 Lưu đồ tính tốn ........................................................................................... 31

CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ ............................................................ 32
3.1 Kiểm chứng chương trình Matlab ................................................................ 34
3.1.1 Bài tốn 1: Phân tích dao động tự do của tấm Mindlin.....................34
3.1.2 Bài tốn 2: Phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải
trọng điều hòa di động .................................................................................35
3.2 Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tác dụng
của tải trọng điều hòa di động ...................................................................... 36
3.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của bài toán .......................................36
3.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ảnh hưởng của hệ số độ cứng nền kf đến
ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hịa di động ...........................................................................................38
3.2.3 Bài tốn 5: Khảo sát ảnh hưởng của hệ số cản nền cf đến ứng
xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hòa di động ...........................................................................................39
3.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày tấm h đến ứng
xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hòa di động ...........................................................................................42
3.2.5 Bài toán 7: Khảo sát ảnh hưởng của module đàn hồi E đến ứng
xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hịa di động ...........................................................................................45
3.2.6 Bài tốn 8: Khảo sát ảnh hưởng của cường độ tải trọng Po đến
ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hòa di động ...........................................................................................46


vii
3.2.7 Bài toán 9: Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc di chuyển V đến
ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hịa di động ...........................................................................................47
3.2.8 Bài tốn 10: Khảo sát ảnh hưởng của tần số lực kích thích ωo

đến ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải
trọng điều hịa di động .................................................................................49
3.2.9 Bài tốn 11: Khảo sát ảnh hưởng của pha tải trọng φ đến ứng
xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng
điều hòa di động ...........................................................................................51
3.2.10 Bài toán 12: Khảo sát ảnh hưởng của khoảng cách a giữa các
tải trọng đến ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng
của tải trọng điều hòa di động ......................................................................54
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................... 57
4.1 Kết luận ........................................................................................................ 57
4.2 Kiến nghị ...................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 60
KẾT QUẢ CÔNG BỐ ĐẠT ĐƯỢC TỪ LUẬN VĂN ............................................ 66
PHỤ LỤC .................................................................................................................. 67
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ....................................................................................... 75


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1.

Mơ hình phương pháp FEM.....................................................................2

Hình 1.2.

Mơ hình phương pháp MEM ...................................................................2

Hình 2.1.

Mơ hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff ................10

Hình 2.2.

Mơ hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin ...................11

Hình 2.3.

Mơ hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt ................................................12

Hình 2.4.

Quy ước chiều dương của chuyển vị thẳng đứng w và hai chuyển
vị xoay βx, βy của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt ..................................12

Hình 2.5.

Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tổng thể ...........................................17

Hình 2.6.

Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên ...........................................17

Hình 2.7.

Tấm chịu tác dụng của tải trọng di chuyển trên đường thẳng ...............20

Hình 2.8.

Lưu đồ tính tốn .....................................................................................31

Hình 3.1.

Mơ hình tấm trên nền đàn nhớt ..............................................................35

Hình 3.2.

Chuyển vị ứng với các bước thời gian khác nhau .................................37

Hình 3.3.

Chuyển vị ứng với hệ số độ cứng nền thay đổi .....................................38

Hình 3.4.

Chuyển vị theo thời gian ứng với hệ số độ cứng nền thay đổi ..............39

Hình 3.5.

Chuyển vị ứng với các trường hợp hệ số cản nền..................................40

Hình 3.6.

Chuyển vị ứng với hệ số cản nền thay đổi .............................................41

Hình 3.7.

Chuyển vị theo thời gian ứng với hệ số cản nền thay đổi ......................42

Hình 3.8.

So sánh chuyển vị ứng với chiều dày tấm h thay đổi ...........................43

Hình 3.9.

Khảo sát chuyển vị lớn nhất ứng với các giá trị h thay đổi ...................44

Hình 3.10. So sánh chuyển vị ứng với module đàn hồi của tấm E thay đổi ............45
Hình 3.11. So sánh chuyển vị ứng với giá trị cường độ tải trọng Po thay đổi ........46
Hình 3.12. Chuyển vị theo tần số lực kích thích ứng với vận tốc di chuyển
V=0 .........................................................................................................48
Hình 3.13. Chuyển vị theo vận tốc ứng với nền có hệ số độ cản khác nhau ...........49
Hình 3.14. Hệ số động theo tần số ứng với nền có hệ số cản khác nhau.................51


ix
Hình 3.15. Mơ hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của hai tải
trọng điều hòa di động ...........................................................................52
Hình 3.16. Chuyển vị ứng với pha của tải trọng thay đổi ........................................52
Hình 3.17. Chuyển vị lớn nhất của tấm theo pha của tải trọng ...............................53
Hình 3.18. Chuyển vị theo pha của tải trọng ứng với các trường hợp khoảng
cách giữa hai tải trọng ............................................................................56


x

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss.................................20
Bảng 2.2. Thông số tấm Mindlin ............................................................................29
Bảng 2.3. Thông số nền đàn nhớt ...........................................................................29

Bảng 2.4. Thông số tải trọng ..................................................................................30
Bảng 3.1. Thông số tấm Mindlin ............................................................................32
Bảng 3.2. Thông số tải trọng ..................................................................................32
Bảng 3.3. Thông số nền đàn nhớt ...........................................................................33
Bảng 3.4. So sánh tần số dao động tự do không thứ nguyên của các phương
pháp ........................................................................................................34
Bảng 3.5. So sánh kết quả chuyển vị lớn nhất (  10-6 m) của Luận văn và Sun
(2007) [17] .............................................................................................36
Bảng 3.6. Sự hội tụ chuyển vị w theo các bước thời gian .....................................37
Bảng 3.7. Chuyển vị ứng với hệ số độ cứng nền thay đổi .....................................38
Bảng 3.8. Chuyển vị ứng với các trường hợp hệ số cản nền..................................40
Bảng 3.9. Chuyển vị ứng với hệ số cản nền thay đổi .............................................41
Bảng 3.10. So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi .....................43
Bảng 3.11. Chuyển vị tấm ứng với các trường hợp h thay đổi ................................44
Bảng 3.12. So sánh chuyển vị của tấm khi module đàn hồi của tấm E thay đổi......45
Bảng 3.13. So sánh chuyển vị của tấm khi cường độ tải trọng Po thay đổi ............47
Bảng 3.14. Chuyển vị ứng với các giá trị pha của tải trọng .....................................53
Bảng 3.15. Chuyển vị (  10-4 m) theo pha của tải trọng ứng với các trường
hợp khoảng cách giữa hai tải trọng ........................................................55
Bảng 3.16. Sai số chuyển vị (%) giữa hai trường hợp pha   0o và   72o
ứng với các trường hợp khoảng cách giữa hai tải trọng ........................55


xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
MEM

Phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method)

Q9

Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element)

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method)

FTM

Phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method)

Ma trận và véctơ
u

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của kết cấu tấm

z

Véctơ chuyển vị tổng thể của kết cấu tấm

κ

Véctơ độ cong

d

Véctơ chuyển vị nút của phần tử

γ

Ma trận biến dạng cắt

M

Ma trận khối lượng tổng thể

C

Ma trận cản tổng thể

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Me

Ma trận khối lượng phần tử

Ce

Ma trận cản phần tử

Ke

Ma trận độ cứng phần tử

M eff

Ma trận khối lượng hiệu dụng

Feff

Ma trận tải trọng hiệu dụng

K eff

Ma trận độ cứng hiệu dụng

NP

Ma trận chứa các hàm dạng ứng với vị trí của tải trọng P

Ký hiệu

L

Chiều dài tấm theo phương x

B

Chiều dài tấm theo phương y


xii

E

Module đàn hồi của vật liệu

G

Module chống cắt đàn hồi của vật liệu




Hệ số poisson của vật liệu

h

Chiều dày tấm

x

Góc xoay của tấm quay quanh trục y

y

Góc xoay của tấm quay quanh trục x

s
u, v, w

Hệ số hiệu chỉnh cắt

, x

Đạo hàm riêng bậc một của hàm  theo biến x

, xx

Đạo hàm riêng bậc hai của hàm  theo biến y

, xy

Đạo hàm riêng bậc hai của hàm  theo biến x và y

kf

Hệ số độ cứng nền

cf

Hệ số cản nền

Po

Cường độ của tải trọng điều hòa

V

Vận tốc của tải trọng di động

Vcr1 , Vcr 2

Vận tốc tới hạn thứ nhất và thứ hai của tải trọng điều hòa

Vcr 0

Vận tốc tới hạn của tải trọng hằng số



Tần số dao động tự do



Tần số dao động không thứ nguyên

o

Tần số lực kích thích

cr 0

Tần số tới hạn của tải trọng điều hịa đứng n



Góc pha

Trọng lượng riêng của vật liệu tấm

Chuyển vị của tấm theo phương x , y và z


Tổng quan

1

CHƯƠNG 1.
TỔNG QUAN
1.1

Giới thiệu

Trong thời gian qua mơ hình tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng chuyển động được
ứng dụng khá nhiều vào trong thực tiễn, như xe chạy trên mặt đường, máy bay
chuyển động trên đường băng. Chính vì tính ứng dụng thực tiễn rộng rãi, nên vấn đề
này đã nhận được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Trong
một khoảng thời gian ngắn đã có rất nhiều vấn đề liên quan đến bài tốn phân tích
kết cấu tấm, đặc biệt là ứng xử của tấm khi chịu tải trọng động. Để phân tích động
lực học bài tốn tấm trên nền đàn nhớt, người ta sử dụng mơ hình gồm tấm và nền,
trong đó nền được đặc trưng bởi hai thơng số thông số là độ cứng đàn hồi kf và hệ
số cản nhớt cf .
Hầu hết các nghiên cứu trước đây đều sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn
truyền thống FEM (Finite Element Method) được thể hiện trong Hình 1.1 với tải
trọng chuyển động trên tấm nên gặp khó khăn khi tải di động tiến đến gần biên của
miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên. Ngồi ra, phương pháp này
u cầu phải ln cập nhật vị trí của véctơ tải trọng. Do đó để giải quyết bài tốn
tấm dài vơ hạn sẽ tốn nhiều chi phí tính tốn và mất khá nhiều thời gian.
Bài tốn tấm dài vô hạn sẽ được giải quyết nhanh hơn và ít tốn kém hơn bằng
phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được thể hiện
trong Hình 1.2 do khắc phục được những hạn chế của phương pháp FEM như sau.
Thứ nhất, phương pháp MEM sử dụng phần tử chuyển động thay vì phần tử cố
định. Tải trọng được xem như gắn chặt với tấm tại một điểm cố định vì vậy tránh
được việc cập nhật vị trí của véctơ tải trọng và cho phép sử dụng các phần tử có
kích thước khơng bằng nhau. Thứ hai, tải trọng di chuyển sẽ không bao giờ đến

biên phần tử bởi vì phần tử và tải trọng di chuyển cùng một vận tốc. Thứ ba, số
lượng phần tử sử dụng trong phương pháp MEM độc lập với quãng đường di


Tổng quan

2

chuyển của tải trọng. Vì vậy, nhìn chung phương pháp MEM yêu cầu số phần tử ít
hơn phương pháp FEM.
Tải trọng di động

cf

Tấm cố định
cf
cf
kf

cf

kf

cf

kf

cf

kf

cf

kf

cf

Hình 1.1. Mơ hình phương pháp FEM

Tải trọng cố định trên tấm

cf

Tấm di động
cf
cf
kf

kf
cf

cf

kf

kf
cf

cf

kf

cf

Hình 1.2. Mơ hình phương pháp MEM
1.2

Tình hình nghiên cứu

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp được thiết lập để
tính tốn và phân tích ứng xử động của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt chịu tác động
của tải trọng di động.
1.2.1

Các cơng trình nghiên cứu ngoài nước

Mathews (1958) [1], (1959) [2] đã giải quyết bài toán động lực của một tải tùy ý di
chuyển dọc theo một dầm có chiều dài vơ hạn tựa trên một nền đàn hồi bằng
phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method - FTM) và một hệ thống


Tổng quan

3

phối hợp di chuyển. Jezequel (1981) [3] đã phân tích một dầm Euler-Bernoulli dài
vơ hạn tựa trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung di chuyển với vận tốc khơng đổi,
có tính đến độ cứng xoay theo phương ngang. Hệ thống phối hợp di chuyển đã được
sử dụng bằng phương pháp chuyển đổi Galilean. Phương pháp biến đổi Fourier
cũng được sử dụng để giải quyết vấn đề. Việc sử dụng FTM cho bài toán tương tự

đã được thực hiện bởi Trochanis và cộng sự (1987) [4], Ono và Yamada (1989) [5].
Vào đầu những năm 1974, Timoshenko (1974) [6] đã giải phương trình vi phân
tổng quát trong miền thời gian cho một dầm đơn giản chịu tác dụng của tải di động
bằng phương pháp chồng chất. Warburton (1976) [7] đã khảo sát cùng một vấn đề
và thấy rằng khuếch đại động lớn nhất trong độ võng xảy ra cho một vận tốc cụ thể
của tải di chuyển. Cai và cộng sự (1988) [8] cũng sử dụng phương pháp chồng chất
để giải quyết vấn đề của tải di chuyển trên một dầm đồng nhất vô hạn trên con lăn
hỗ trợ tuần hoàn.
Chen và Huang (2000) [9] đã xét một tải hằng số di chuyển với vận tốc không
đổi dọc theo một dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt. Trong nghiên cứu
này, phương trình tổng quát cho một dầm vô hạn được thiết lập trong lúc phối hợp
di chuyển. Các ma trận độ cứng động lực cho các dầm bán vơ hạn thu được trong
lúc số bước sóng phức tạp và các hình dạng chuyển vị phức tạp. Các cơng trình
nghiên cứu nêu trên đều xét dầm liên tục và sử dụng phương pháp giải tích để giải
phương trình vi phân tổng quát. Phương pháp này không phù hợp hoặc gặp bế tắc
khi áp dụng cho bài toán hệ chuyển động có nhiều bậc tự do chứ khơng phải là một
lực di chuyển. Do đó việc sử dụng phương pháp này để phân tích động học cho bài
tốn là khá hạn chế.
Bài tốn phân tích ứng xử của tấm cũng được nghiên cứu từ rất sớm. Michael và
Edward (1988) [10] thực hiện phân tích dao động của tấm chịu tải trọng chuyển
động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn. Tiếp theo đó Michael và Edward
(1988) [11] giải quyết bài toán trên sử dụng phương pháp SIM (Structural
Impedence Method). Sau đó Gbadeyan và Oni (1995) [12] thực hiện phân tích động
của dầm và tấm chữ nhật chịu tác động của tải trọng chuyển động dựa trên phương
pháp Struble’s hiệu chỉnh. Bài toán này giải quyết cho các trường hợp dầm và tấm


Tổng quan

4

có điều kiện biên bất kỳ, và số lượng vật chuyển động cũng bất kỳ. Tiếp tục với
cơng trình nghiên cứu của mình, Gbadeyan và Dada (2006) [13] thực hiện phân tích
phản ứng động của tấm chữ nhật Mindlin chịu vật thể chuyển động có khối lượng
phân bố đều. Trong bài báo này các tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong
trường hợp tấm dày, dùng lý thuyết Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so
sánh với lý thuyết tấm Kirchhoff.
Kim (2004) [14] đã thực hiện phân tích phản ứng động của tấm trên nền đàn
nhớt Winkler chịu tải trọng động sử dụng phương pháp Fourier transform theo thời
gian và không gian, đồng thời cũng đã khảo sát mức độ gồ ghề của mặt đường đến
dao động của vật chuyển động. Tiếp theo đó các cơng trình nghiên cứu về tấm trên
nền đàn hồi dần được phát triển. Kim và Rosset (1998) [15] đã nghiên cứu đến trạng
thái ứng xử của một tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều
hịa khơng đổi. Sun (2003) [16] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff
trên nền đàn nhớt chịu tải điều hịa phân bố trên diện tích hình trịn bằng chuỗi
Fourier. Tiếp theo đó cũng với phương pháp Fourier Sun (2007) [17] đã phân tích
trạng thái ổn định trong ứng xử động lực học của tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt
Kelvin chịu tải điều hòa tập trung di động. Fryba (1999) [18] nghiên cứu dao động
riêng của một tấm dài vô hạn hoặc hữu hạn cho nhiều điều kiện biên khác nhau.
Huang và Thambiratnam (2001) [19] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân
tích ứng xử của kết cấu tấm cố định trên nền đàn hồi. Javad (2013) [20] sử dụng
phương pháp EEM (Eigenfunction Expansion Method) để nghiên cứu sự ổn định và
ứng xử động lực học của tấm Mindlin chịu tác động của tải trọng di động. Cheng
(1987) [21] đã tiến hành phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải
trọng di động bằng phương pháp biến phân. Sun (2005) [22] cũng thực hiện công
việc tương tự nhưng với tải trọng điều hòa di động bằng cách sử dụng hàm số động
Green.
Trong thực tế, phương pháp phần tử hữu hạn FEM đã được sử dụng khá rộng rãi
để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Chẳng hạn như, Yoshida và Weaver (1971)
[23] đã dùng phương pháp FEM để phân tích dầm và tấm tựa đơn chịu tải trọng

chuyển động và khối lượng chuyển động. Trong nghiên cứu này khối lượng chuyển


Tổng quan

5

động được mơ hình hóa để phân tích sự tương tác giữa mặt đường và xe chuyển
động. Wu và cộng sự (1987) [24] đã phân tích ảnh hưởng của các yếu tố ảnh hưởng
như chiều dài tấm, vận tốc và gia tốc ban đầu của tải trọng di chuyển đến phản ứng
động của kết cấu tấm. Mở rộng hướng nghiên cứu kết cấu tấm trên nền đàn hồi,
Thompson (1963) [25] đã tiến hành nghiên cứu phản ứng động của tấm mỏng chịu
tải di chuyển dọc trục bằng cách mô hình mặt đường như một tấm dài vơ hạn.
Zaman (1991) [26] đã dùng phần tử FEM bốn nút để phân tích phản ứng động của
kết cấu tấm dày trên nền đàn nhớt chịu tải di động có xét đến biến dạng cắt cũng
như uốn của tấm. Li và cộng sự (2013) [27] nghiên cứu phản ứng động của kết cấu
tấm trên nền đàn nhớt chịu ảnh hưởng của vận tốc biến đổi khác nhau và ảnh hưởng
của vận tốc và gia tốc ban đầu đến chuyển vị theo thời gian. Vấn đề phân tích dao
động tự nhiên sử dụng FEM cũng được quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Gupta
(2009) [28] đã phân tích dao động tự nhiên của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt với
sự thay đổi chiều dày tấm. Phương pháp phần tử hữu hạn đưa ra lời giải số bằng
cách rời rạc hóa phần tử tấm thành các phần tử hữu hạn. Ma trận phần tử được tính
tốn dựa trên một số giả thiết về các hàm dạng chuyển vị và được kết hợp để tạo
thành ma trận tổng thể kết cấu. Các phương pháp tính lặp từng bước thời gian như
phương pháp Newmark và phương pháp Wilson thường được sử dụng để giải quyết
các phương trình dao động.
Với mục đích khắc phục những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di
động, Koh và cộng sự (2003) [29] đã đề xuất sử dụng phương pháp MEM (Moving
Element Method) trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc. Nghiên cứu này
đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động học

cho các kết cấu chịu tải trọng động. Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM
càng cho thấy sự hữu dụng và ngày càng được phát triển. Tiếp tục hướng nghiên
cứu của mình, Koh và cộng sự (2007) [30] đã khảo sát đến ứng xử động của nền
bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM. Sau khi được phát triển, phương
pháp MEM đã được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu. Xu và cộng sự
(2009) [31] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm
Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác. Ang và


Tổng quan

6

cộng sự (2013) [32] đã sử dụng phương pháp MEM để khảo sát đến dao động của
đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc. Tiếp theo đó Ang và cộng sự
(2014) [33] cũng sử dụng phương pháp MEM để khảo sát dao động của đường có
xét đến hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc. Thi và cộng sự (2013) [34] đã phân
tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số. Nghiên cứu này sử dụng
phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc.
1.2.2

Các cơng trình nghiên cứu trong nước

Một số Luận văn cao học ngành xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp tại
trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài
toán tải trọng chuyển động đối với dầm và tấm.
Phong (2011) [36] đã phân tích ứng xử phi tuyến của dầm phân lớp chức năng
FGMs trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động, trong đó phương
trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng
phương trình Lagrange với điều kiện biên thỏa mãn hệ số nhân Lagrange. Cường

(2011) [37] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của
vật chuyển động. Nghiên cứu này đã lựa chọn được mơ hình cụ thể để mơ phỏng
cho bài tốn thực tế, biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm
Mindlin nhưng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. Duy (2013) [38] phân tích
ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền. Tiếp nối
nghiên cứu này, Anh (2013) [39] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến
độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền.
Với tính ứng dụng rộng rãi của mơ hình kết cấu tấm trên nền đàn nhớt, vì thế đã
có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm. Tuy nhiên, các nghiên cứu
từ trước đến nay chủ yếu dùng các phương pháp giải tích và phương pháp phần tử
hữu hạn (FEM). Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp truyền
thống, phương pháp phần tử chuyển động MEM được đề xuất và ứng dụng. Hải và
cộng sự (2013) [40] đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc có xét đến độ cong
thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động.
Hùng (2014) [41] đã phân tích ứng xử tấm composite laminate chịu tác dụng của
các loại tải trọng sử dụng phần tử 2-D chuyển động. Nha (2015) [42] đã phân tích


Tổng quan

7

động lực học tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần
tử tam giác chuyển động, nghiên cứu này đã khảo sát trường hợp các phần tử trong
tấm có kích thước khơng bằng nhau. Có thể thấy rằng các nghiên cứu trước đây về
phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc,
bài toán về tấm composite và tấm Kirchhoff chịu tải trọng di động. Trên thế giới và
trong nước chưa có bất cứ nghiên cứu nào về kết cấu tấm Mindlin sử dụng phương
pháp MEM cho đến gần đây. Nhi và cộng sự (2014) [43] đã phân tích tĩnh và dao
động tự do của tấm Mindlin sử dụng phương pháp phần tử chuyển động. Tiếp theo

đó Nhi và cộng sự (2014) [44], [45], Hải và cộng sự (2015) [46] đã phân tích ứng
xử động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương
pháp phần tử chuyển động. Xuyên (2015) [47], [48] đã phân tích động lực học tấm
Mindlin trên nền Top Base chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tấm chuyển động.
Tuy nhiên, trong các nghiên cứu này, tải trọng tác dụng lên tấm là hằng số (tải trọng
có cường độ khơng đổi theo thời gian), cịn tải trọng có cường độ thay đổi theo thời
gian thì chưa được xét đến. Do đó, để tiếp nối các nghiên cứu về kết cấu tấm, Luận
văn sẽ phân tích tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử
dụng phương pháp phần tử chuyển động. Từ đó rút ra các kết luận quan trọng và đề
xuất các giải pháp áp dụng trong thực tế.
1.3

Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu chính của Luận văn nhằm phân tích động lực tấm Mindlin dài vơ hạn trên
nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phần tử tấm chuyển động
MEM (Moving Element Method). Trong đó phương pháp MEM được phát triển
nhằm giải quyết tốt và khắc phục các điểm hạn chế của các phương pháp truyền
thống. Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi Luận văn này bao gồm:
 Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm dày
Mindlin sử dụng phương pháp MEM.
 Phát triển thuật tốn lập trình tính tốn bằng ngơn ngữ lập trình Matlab để
giải hệ phương trình động của bài tốn.
 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của
Luận văn với kết quả của các tác giả khác.


Tổng quan

8

 Thành lập và thực hiện các ví dụ số để khảo sát sự ảnh hưởng của các đại
lượng khác nhau đến ứng xử động của bài toán, từ đó rút ra các kết luận.
1.4

Cấu trúc Luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu
của các tác giả trong và ngồi nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề
tài.
Chương 2: Thiết lập các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lực học
tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động.
Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính tốn bằng ngơn ngữ lập
trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài tốn.
Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến
nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai.
Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích
nghiên cứu của đề tài.
Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính tốn các ví dụ số trong
Chương 3.


Cơ sở lý thuyết

9

CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày các công thức cơ bản của tấm chịu uốn và thiết lập cơng thức

để phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử
dụng phần tử chuyển động. Phương pháp tích phân Newmark để giải bài toán động
lực học theo miền thời gian được sử dụng trong Luận văn.
2.1

Lý thuyết tấm Mindlin

2.1.1

Giới thiệu tổng quát

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau [49]:
 Tấm dày (Tấm Reissner-Mindlin): là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được
triển khai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn
hồi ba chiều. Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn

h 1
 .
B 5

 Tấm mỏng (Tấm Kirchhoff): là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất
uốn khi biến dạng do tải trọng ngang. Loại này gồm các tấm có tỉ lệ giữa chiều dày
và kích thước cạnh ngắn

1 h 1
h
  và độ võng wmax  .
80 B 5
4

 Tấm có chuyển vị lớn (hay lý thuyết màng) : được đặc trưng bằng việc các
ứng suất uốn được đi liền bởi các ứng suất kéo hay nén tương đối lớn trong mặt
phẳng trung bình. Các ứng suất màng này ảnh hưởng đáng kể đến moment uốn.
h
4

Tấm thuộc loại này khi wmax  .
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được
sử dụng rộng rãi để phân tích tấm. Tính đơn giản được thể hiện bằng các giả thiết
được cho trong [50] như sau:
 Các đoạn thẳng vng góc với mặt trung gian của tấm vẫn cịn thẳng và
vng góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) khi biến dạng và


Cơ sở lý thuyết

10

độ dài của chúng là không đổi. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành
phần biến dạng cắt ngang (  yz   xz  0 ).
 Khi tấm chịu uốn mặt trung bình khơng chịu kéo, nén hay trượt.
 Bỏ qua ứng suất pháp vng góc với mặt phẳng tấm.
Tuy nhiên, khi tỉ số

h
( B là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) khơng đủ
B

nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả khơng chính xác.
βx

w,x

z,w
γxz=0

y,v
βx

w,x

u(x,y,z)

w(x,y)

Mặt trung bình
x,u

Hình 2.1. Mơ hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff
E. Reissner (1945) [51] cơng bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến
ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn. Lý thuyết Reissner
không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì được thành lập bằng cách giả định sự
phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày tấm. Sau đó R.D. Mindlin
(1951) [52] đã đưa ra lý thuyết có kể đến ảnh hưởng của quán tính xoay và biến
dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng và hoàn toàn tương thích
với lý thuyết của Reissner. Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc
xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng.
Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này lại vi phạm yêu cầu về tĩnh học,
đó là ứng suất tiếp phải bằng 0 tại biên tự do của tấm. Để khắc phục sai sót đó,
người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh cắt. Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến
dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin. Lý thuyết này đã mở

Cơ sở lý thuyết

11

rộng lĩnh vực ứng dụng của lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung
bình. Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin được cho trong [52]:
 Các đoạn thẳng vng góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn
là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vng góc với mặt trung bình khi biến dạng.
 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình khơng bị kéo và nén.
 Bỏ qua ứng suất pháp  z .
Theo mơ hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình vẫn
thẳng trong q trình biến dạng nhưng khơng cịn vng góc với mặt trung gian
nữa, và các góc vng này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung
bình gây ra bởi lực cắt. Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần,
phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn cịn vng góc với mặt
trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra.
βx

z,w

γxz

w,x
w,x

y,v
βx

u(x,y,z)

w(x,y)

Mặt trung bình
x,u

Hình 2.2. Mơ hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin
2.1.2

Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị

Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt với chiều dài L , chiều rộng B , chiều
dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E , trọng lượng riêng  , hệ
số Poison  được thể hình trong Hình 2.3. Trong đó, thành phần đàn hồi và thành
phần đàn nhớt của nền được mơ hình bởi các lị xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt
tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số k f và c f .