Giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG

 
 
TRẦN THẮNG

 
GIẢI BÀI TỐN NƯỚC NƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THể TÍCH
HữU HạN VỚI LƯỚI PHI CẤU TRÚC

CHUYÊN NGÀNH :

TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ CHUYÊN NGÀNH: 60460112

 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ
 

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2016


 
CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Trịnh Anh Ngọc

……………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………….…………
Cán bộ nhận xét 1 : ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………….…………
Cán bộ nhận xét 2 : ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………….…………
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …. tháng 01 năm 2016
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. ………………………………………………
2. ………………………………………………
3. .………………………………………………
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi
luận văn đã được sữa chữa
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA

 
Trang 1
 


PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC
Tp. HCM, ngày …. Tháng …. Năm 2016

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên : Trần Thắng
Phái : Nam
Ngày sinh
: 10-07-1989
Nơi sinh : Ninh Thuận
Chuyên ngành : Toán ứng dụng
MSHV : 12240581
I – TÊN ĐỀ TÀI :
GIẢI BÀI TỐN NƯỚC NƠNG PHƯƠNG PHÁP THể TÍCH HữU HạN VỚI
LƯỚI PHI CẤU TRÚC
II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :
 Thành lập phương trình nước nơng.
 Giải bài tốn nước nơng bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu
trúc.
 So sánh nghiệm số với các bài báo khác.
 Mở rộng bái tốn cho những ví dụ ứng dụng thực tế.
III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/2015
IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 12/2015
V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS Trịnh Anh Ngọc
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

TS Trịnh Anh Ngọc

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA ………………

Trang 2
 


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành của mình tới Thầy hướng dẫn – TS Trịnh Anh
Ngọc - Trưởng Bộ mơn Cơ Học. Khoa Tốn Tin Học – Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên
TP. Hồ Chí Minh, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Thầy không chỉ truyền cho tôi kiến
thức, tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn mà tơi cịn được học ở Thầy rất nhiều về sự
đam mê trong nghiên cứu, tính trung thực trong khoa học và trên hết là sự khơng lùi bước với
những khó khăn trong nghiên cứu.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tập thể Thầy, Cơ giáo bộ mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa
Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học – Trường Đại học Bách Khoa – Đại học
Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt khiến thức cho tơi suốt q trình
khóa học.
Trần Thắng

Trang 8
 


TĨM TẮT
Trong lược đồ thể tích hữu hạn trung tâm nút Godunov – type, trong luận văn này tác
giả đề xuất giải bài tốn nước nơng 2D với lưới phi cấu trúc sử dụng lược đồ “Contract wave
restored” (HLL). Trong mơ hình này, tác giả dựa vào lược đồ van Alibada giới hạn để làm
mới lại các giá trị của biến bảo toàn tại trung điểm cạnh khi kéo giá trị từ tâm phần tử ra. Và
tái cấu trúc lại để mực nước không bị âm và áp dụng một số kĩ thuật số để tăng tính chính xác

và khơng bị phi vật lý. Tại những bề mặt khô – ướt tránh trường hợp khơng ổn định phương
pháp số, thì tác giả giới hạn và tái cấu trúc lại. Đối với trao đổi thông lượng và khối lượng
giữa các phần tử, tác giả đề xuất sử dụng HLL để tính tốn và bậc sai số theo khơng gian là
hai. Để điều trị nguồn ma sát ảnh hưởng lên dòng chảy, tác giả dùng khai triển Taylor theo
thời gian và chặc cụt nó ở bậc hai, mục dích tăng độ chính xác của giải số. Cịn đối với nguồn
góc nghiêng, tác giả cũng sử dụng định lý Green, xử lý tương tự như thơng lượng. Để kiểm tra
độ chính xác của bài toán, tác giả so sánh với những bài báo có giá trị, được đăng trên các tạp
chí uy tính đế tăng tính chính xác kết quả của tác giả.

Trang 9
 


MỤC LỤC 
MỤC LỤC....................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................. 5
DANH MỤC HÌNH........................................................................................................ 6
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. 8
TĨM TẮT ....................................................................................................................... 9
TỔNG QUAN VẤN ĐÊ ............................................................................................... 10
1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam ......................................... 10
2. Tính cấp thiết của đề tài .................................................................................... 11
3. Mục tiêu .............................................................................................................. 12
4. Nội dung nghiên cứu .......................................................................................... 12
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 12
6. Tính mới.............................................................................................................. 13
CHƯƠNG I: THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG ............................. 14
1. Phương trình nước nơng hai chiều................................................................... 14
2. Định luật bảo tồn cơ bản ................................................................................. 14
3. Nhận xét và đánh giá ......................................................................................... 19

CHƯƠNG II: RỜI RẠC PHƯƠNG TRÌNH ............................................................ 21
1. Giới thiệu ............................................................................................................ 21
2. Phương trình liên tục......................................................................................... 22
3. Thể tích hữu hạn cho lưới tam giác ................................................................. 23
4. Xấp Xỉ HLL Riemann Solver ........................................................................... 28
5. Xử lý trao đổi lưu lượng .................................................................................... 29
5.1

Tính q iM và q kM ............................................................................................. 32

5.2

Tái cấu trúc lại độ sâu của mực nước. ...................................................... 33

6. Xử lý thành phần nguồn góc nghiêng .............................................................. 34
7. Xử lý thành phần nguồn ma sát ....................................................................... 37
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỐ ......................................................................... 42
1. Tính tốn lưới ..................................................................................................... 42
Trang 3
 


2. Điều kiện hội tụ của bài toán ............................................................................ 43
3. Lưới xấp xỉ .......................................................................................................... 43
4. Phương pháp tính .............................................................................................. 44
CHƯƠNG IV: SO SÁNH KẾT QUẢ SỐ .................................................................. 47
1. Mơ hình nước nơng một chiều khơng có địa hình. ......................................... 47
1.1 Mơ hình một..................................................................................................... 48
1.2 Mơ hình hai ...................................................................................................... 51
2. Mơ hình nước nơng một chiều có địa hình. .................................................... 53

3. Mơ hình nước nơng hai chiều có địa hình. ..................................................... 57
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 63

Trang 4
 


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
q

Sb

Ý nghĩa
Véc-tơ của biến bảo tồn.
Véc-tơ thơng lượng theo phương x
Véc-tơ thơng lượng theo phương y
Véc-tơ nguồn ảnh hưởng lên dịng chảy.
Nguồn góc nghiêng, mơ tả ảnh hưởng địa hình lên dòng chảy.

Sf

Nguồn ma sát ảnh hưởng lên dòng chảy.

qx , q y

Thông lượng theo phương x và y (m2/s) và có cơng thức lần lượt như
sau q x  uh và q y  vh .

u, v

z b ,

Thành phần của véc-tơ vận tốc dịng chảy trung bình theo độ sâu
trong hệ trục tọa độ vng góc Oxy (m/s).
Độ sâu tính từ mực nước tĩnh đến đáy (m).
Lần lượt là cao trình đáy và cao trình (m).

Cf ,n

Lần lượt hệ số nhám và hệ số Manning.

, 

Lần lượt diện tích tam giác và biên của tam giác (m2,m) .
Chiều dài cạnh của tam giác (m).
Khối lượng riêng của chất lỏng (kg/m3).
Gia tốc trọng trường (m/s2).
Áp suất (N/m2).
Công thức xấp xỉ của Harten, Lax và van Leer [12]

f
g

S

h

l


g
p

HLL

Trang 5
 


DANH MỤC HÌNH
HÌNH 1: DỊNG VÀO VÀ RA CủA CHấT LỏNG TRONG THể TÍCH KIểM TRA. . 14 
HÌNH 2: MƠ Tả DỊNG CHảY BAO GồM CAO TRÌNH, CAO TRÌNH ĐÁY VÀ
CHIềU CAO CủA ĐịA HÌNH. ...................................................................................... 17 
HÌNH 3: KÍ HIệU BIếN TạI Bề MặT TRÊN LƯớI PHI CấU TRÚC ........................... 21 
HÌNH 4: MƠ HÌNH DỊNG CHẢY .............................................................................. 23 
HÌNH 5: RờI RạC MIềN TÍNH VớI LƯớI TAM GIÁC ............................................... 25 
HÌNH 6: ĐỊNH NGHĨA VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA TAM GIÁC .......................... 26 
HÌNH 7: NHỮNG TAM GIÁC CHUNG CạNH VớI TAM GIÁC TI .......................... 27 
HÌNH 8: ĐịNH NGHĨA TAM GIÁC KIểM TRA ........................................................ 30 
HÌNH 9: XÁC ĐịNH CÁC GIÁ TRị LƯU LƯợNG TạI Vị TRÍ D. ............................. 32 
HÌNH 10: XÁC ĐịNH CÁC GIÁ TRị LƯU LƯợNG TạI Vị TRÍ M. .......................... 33 
HÌNH 11: THủ TụC TÁI CấU TRÚC DỊNG CHảY ƯớT-KHƠ TạI CạNH ĐANG
XÉT. ............................................................................................................................... 34 
HÌNH 12: GĨC NGHIÊNG TRONG 2D ...................................................................... 35 
HÌNH 13: DạNG TÍCH PHÂN CủA NGUồN GĨC NGHIÊNG. ................................. 36 
HÌNH 14: CÁC BIếN DỊNG CHảY NGHIÊNG ĐƯợC TÍNH TỐN TRONG TAM
GIÁC. ............................................................................................................................. 37 
HÌNH 15: ĐỊNH NGHĨA CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC. ........... 42 

HÌNH 16: LƯỚI TAM GIÁC PHI CẤU TRÚC. .......................................................... 43 
HÌNH 17: LƯỚI THỂ TÍCH KIỂM TRA CỦA MƠ HÌNH NƯỚC NƠNG. ............... 44 
HÌNH 18: MƠ HÌNH NƯớC NƠNG 1D KHƠNG CĨ ĐịA HÌNH Gồ GHề VớI CHIềU
CAO NƯớC KHÁC NHAU. ......................................................................................... 48 
HÌNH 19: CHIềU CAO NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.2. NGHIệM CHÍNH
XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI). ........................................................................... 49 
HÌNH 20: VậN TốC NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.2. NGHIệM CHÍNH
XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI). ........................................................................... 49 
Trang 6
 


HÌNH 21: MƠ HÌNH HAI ............................................................................................ 51 
HÌNH 22: CHIềU CAO NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.15. NGHIệM CHÍNH
XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI). ........................................................................... 52 
HÌNH 23: VậN TốC NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.15. NGHIệM CHÍNH
XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI). ........................................................................... 53 
HÌNH 24: MƠ HÌNH BÀI TỐN NƯớC NƠNG 1D VớI NÚI Gồ GHề..................... 54 
HÌNH 25: TạI THờI ĐIểM T=3S................................................................................... 55 
HÌNH 26: TạI THờI ĐIểM T=5S................................................................................... 56 
HÌNH 27: TạI THờI ĐIểM T=10S................................................................................. 56 
HÌNH 28: TạI THờI ĐIểM T=20S................................................................................. 57 
HÌNH 29: THIếT Kế ĐịA HÌNH VớI BA NÚI Gồ GHề. ............................................. 58 
HÌNH 30: TạI THờI ĐIểM T=0S................................................................................... 59 
HÌNH 31: TạI THờI ĐIểM T=0S................................................................................... 59 
HÌNH 32: TạI THờI ĐIểM T=6S................................................................................... 59 
HÌNH 33: TạI THờI ĐIểM T=12S................................................................................. 60 
HÌNH 34: TạI THờI ĐIểM T=30S................................................................................. 60 
HÌNH 35: TạI THờI ĐIểM T=300S............................................................................... 60 

Trang 7
 


TỔNG QUAN VẤN ĐÊ
1.

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam
Việc nghiên cứu các vấn đề về dịng chảy trên biển và các q trình tự nhiên chịu sự ảnh

hưởng của dòng chảy như sự lan truyền các chất ơ nhiễm hay sự bồi, xói đáy là một bài tốn
khó. Dịng chảy trên biển chịu sự tác động của nhiều yếu tố tự nhiên như: sóng gió, địa hình
đáy, … nên rất đa dạng và phức tạp. Do vậy, ngay từ đầu thế kỷ 20 đã có nhiều nhà khoa học
nghiên cứu về vấn đề này.


Các nghiên cứu trên thế giới

Hiện tại trên thế giới đã có nhiều bài báo quốc tế giải và mô phỏng bài tốn nước nơng
bằng nhiều phương pháp khác nhau (PP sai phân hữu hạn, PP phần tử hữu hạn, PP thể tích
hữu hạn tại nút, PP thể tích hữu hạn tại tâm …).
Phần mềm MIKE3 được ứng dụng phổ biến nhất và mơ hình MIKE3 là một hệ thống số
trị phi thủy tĩnh tổng quát được phát trển bởi DHI (Viện Thủy Lợi Đan Mạch)[13], với một
loạt các ứng dụng cho Đại dương, vùng ven biển, cửa sơng và hồ. Nó cũng mơ phỏng được
dịng ba chiều khơng đều và đưa vào các biến thiên mật độ, địa hình đáy và các ngoại lực tác
động như là khí tượng, biến động mực nước (dao động của thủy triều), dòng chảy và các điều
kiện thủy văn khác. Phương pháp này được gọi là phương pháp giả nén nhân tạo (mơ hình giải
nén), cho phép giữ lại tồn bộ các phương trình động lượng, do vậy tránh được giả thuyết của
các chất lỏng khơng nén được. Có thể áp dụng MIKE3 để tình tốn ảnh hưởng của lũ lụt và sự
khơ cạn của các vùng nước nóng ven bờ.

Ngồi các ứng dụng Đại dương, MIKE (MIKE11) còn là một phần mềm kỹ thuật chuyên
dụng mô phỏng lưu lượng, chất lượng nước và vận chuyển bùn cát ở cửa sông, sông, hệ thống
tưới, kênh dẫn và các hệ thống dẫn nước khác, bao gồm: Dự báo lũ vận hành hồ chứa, các
phương pháp mô phỏng kiểm sốt lũ, nghiên cứu của sóng thủy triều và dịng chảy do mưa ở
sơng và cửa sơng.
Năm 2013, Yaxin Huang, NingChuan Zhang và Yuguo Pei [6] đã giải bài tốn nước nơng
bằng phương pháp thể tích hữu hạn với bất kì địa hình đáy. Để giải bài tốn, cả ba tác giả trên
sử dụng lược đồ “Godunov-type” thể tích hữu hạn giải quyết dịng chảy khơng dừng. Dùng
HLL Riemann solver để tính thơng lượng. Và một điều quang trọng trong bài báo [6] là sử
dụng kỹ thuật mực nước khơng âm để cân bằng dịng chảy khi vận tốc trung bình bằng khơng
Trang 10
 


và cao trình là hằng số. Bên cạnh đó, kết quả số bài báo [6] cũng cho ta thấy sự tin cậy và ổn
định phương pháp số và sau này tác giả dùng nó để kiểm chứng lại phương pháp của mình.
Năm 2015, Jingming Hou , Qiuhua Liang , Hongbin Zhang và Reinhard Hinkelmann cũng
giải bài tốn nước nơng bằng phương pháp thể tích hữu hạn, nhưng điểm mới của ba tác giả
này là tập trung tính đạo hàm tại nút của thể tích kiểm tra để cân bằng phương pháp số và tăng
sự chính xác của lược đồ.


Các nghiên cứu ở Việt Nam

Võ Thanh Tân, Lê Quang Toại [14] sử dụng mơ hình hai chiều khơng dừng có tính đến
các thành phần phi tuyến và ma sát rối ngang phương pháp phần từ hữu hạn tuyến tính và
phương pháp lặp để nghiên cứu dịng chảy vịnh Gành Rái. Mơ hình được xây dựng cho trường
ứng suất gió trên mặt biển thay đổi theo thời gian và không gian trong mạng lưới tính. Ảnh
hưởng của độ sâu đáy biển lên dòng chảy được đánh giá bằng cách so sánh dòng chảy tính
tốn với dịng chảy tính tốn trong vùng biển giả định có độ sâu đáy biển khơng đổi. Mơ hình

được áp dụng để tính tốn cho dịng chảy ở vịnh Gành Rái với dao động mực nước biển tuần
hoàn trên biên lỏng và dịng chảy gió ứng với các trường gió mùa đặc trưng trong năm. Nhằm
khắc phục những hạn chế của các trạm đo dòng chảy riêng lẻ, không liên tục, đồng bộ (về
không gian, thời gian) nên khơng khái qt hóa được dịng chảy trên vùng đầm phá Tam
Giang - Cầu Hai ở các thời điểm khác nhau cũng như dự báo sự biến đổi chế độ dịng chảy do
ảnh hưởng q trình địa chất tự nhiên (bồi, xói, đóng mở cửa sơng, cửa biển …).
Bùi Đức Chi [15], ứng dụng phương pháp thể tích hữu hạn phi cấu trúc để tính tốn dịng
chảy và lan truyền chất trên kênh sông. Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ cho ta thấy được lưu
lượng, mực nước, vận tốc dịng chảy, mức độ ơ nhiễm tại điểm giao nhau (điểm hợp lưu) của
các nhánh sông xét trong một trường hợp cụ thể. Nếu có một tác động xấu tại điểm hợp lưu thì
ta có thể điều các chỉ số tại các nhánh sông nhằm cải thiện tốt môi trường ở điểm hợp lưu,
nhưng thông thường chỉ số mà ta xét chỉ là mức độ ô nhiễm hay nồng độ chất ơ nhiễm trong
dịng nước.  
2. Tính cấp thiết của đề tài
Trong các nghiên cứu ứng dụng, việc giải quyết các bài tốn về mơ hình thủy văn ln là
một u cầu rất cấp thiết. Mơ hình thủy văn là sự mơ phỏng các q trình, hiện tượng thủy văn
– sự vận động rất phức tạp của nước trong tự nhiên dưới dạng các phương trình tốn học, lơgíc
Trang 11
 


và giải chúng trên các máy tính. Mơ hình thủy văn có khả năng xem xét những diễn biến của
hiện tượng thủy văn từ vi mô tới vĩ mô.
Một trong những mơ hình mà đa phần các ngành thủy văn trong và nước ngồi đều quan
tâm đó chính là làm sao mơ phỏng được hiện tượng lũ lụt hay sóng thần, để từ đó có thể đưa
ra dự đốn hay cảnh báo.
Đối với các bài tốn mơ hình hóa trong mơi trường, để đạt độ chính xác cao cần phải có
những mơ hình tốn đáng tin cậy để đảm bảo kết quả tính tốn tương ứng với kết quả đo đạc
thực tế.
Trước nhu cầu cần phải có những mơ hình thủy văn tốt áp dụng cho vùng biển nước nông

hoặc cho vùng sông nước nông, tác giả thực hiện đề tài này nhằm mục đích cải tiến độ chính
xác của tính tốn như tính dịng chảy của biển hoặc sơng. Từ việc tìm tài liệu nghiên cứu và
viết thuật tốn để giải quyết các bài tốn mơi trường ở Việt Nam, tác giả xây dựng thuật toán
trong trường hợp bất kỳ, tính tốn thử nghiệm và kiểm tra độ tin cậy của mơ hình.
Xuất phát từ vấn đề đó đề tài: “Giải bài tốn nước nơng bằng phương pháp thể tích hữu
hạn cho lưới phi cấu trúc” được thực hiện với mục tiêu dùng lưới phi cấu trúc để mô phỏng
nước nông trong một số trường hợp phức tạp.
3. Mục tiêu
Trước nhu cầu cần phải có độ chính xác cho bài tốn nước nơng tốt áp dụng cho vùng
sơng khơ hạn, tác giả thực hiện luận văn với mục đích nghiên cứu và cải tiến độ chính xác và
thể hiện tính vật lý tại những địa hình phức tạp. Từ các nghiên cứu và cải tiến này, tác giả xây
dựng thuật giải tính tốn trong trường hợp tổng qt cho địa hình bất kỳ, tính tốn thử nghiệm
và kiểm tra độ tin cậy so với các phương pháp khác.
4. Nội dung nghiên cứu
Để đạt mục tiêu trên, luận văn sẽ thực hiện những nội dung cơ bản sau:


Thành lập phương trình nước nơng.



Giải bài tốn nước nơng bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu
trúc.



So sánh nghiệm số với các bài báo khác.



Mở rộng bái toán cho những ví dụ ứng dụng thực tế.

5. Phương pháp nghiên cứu
Trang 12
 


Các phương pháp nghiên cứu sau đây được sử dụng trong đề tài:


Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn



Phương pháp mơ hình hóa: xây dựng mơ hình dựa trên các tính chất cơ học của
nước nơng và các định luật bảo tồn.

6. Tính mới
Phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc là một phương pháp đòi hỏi kỷ
thuật xử lý số hết sức phức tạp và còn khá mới mẻ ở Việt Nam và trên thới giới trong
những năm gần đây cho tính mơ phỏng số những bài tốn trong cơ học, đặc biệt thích hợp
cho cơ học chất lỏng và chất lưu. Những mơ hình được nghiên cứu trong luận văn gần gũi
với thực tiễn.

Trang 13
 


CHƯƠNG I: THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG
 

1. Phương trình nước nơng hai chiều.
 

Phương trình nước nơng là


Một nhóm các phương trình của phương trình đạo hàm riêng, mà nó mơ tả
bài tốn dịng chảy chất lỏng.



Xuất phát từ định luật vật lý bảo toàn khối lượng và động lượng.



Phương trình 2D , nó xuất phát từ phương trình 3D nhưng trung bình hóa
chiều cao (z).

Phương trình nước nơng đã được áp dụng vào


Sóng thần



Lũ lụt



Dịng khí quyển



Dịng chảy xung quanh ống

2. Định luật bảo toàn cơ bản
Để lấy phương trình bảo tồn khối lương trong chất lỏng. Ta bắt đầu viết tính dịng vào và ra
của chất lỏng trong thể tích kiểm tra dV như hình 1.

 

Hình 1: Dịng vào và ra của chất lỏng trong thể tích kiểm tra.
Hãy vào mặt phẳng vơng góc với trục x1


( u)
( u)
dx1  dx2 dx3 
dx1dx2 dx3
  udx2 dx3    u 
x
x


1
1


Tương tự cho hai mặt phẳng vuông góc với trục x2 và x3

(1.1)

Trang 14
 




 (  v)
 (  v)
  vdx3dx1    v 
dx2  dx3 dx1 
dx3dx2 dx1
x2
x2




 (  w)
 (  w)
  wdx1dx2    w 
dx3  dx1dx2 
dx1dx2 dx3
x3
x3


Trong đó: (u, v, w) và  lần lượt là vận tốc theo phương x, y và z và mật độ khối.

(1.2)
(1.3)

Theo định luật bảo toàn khối lượng, tỷ lệ thay đổi khối lương băng với khối lượng ra
trừ cho khối lượng vào trong thể tích kiểm tra và được viết dưới dạng biểu thức như sau:

 dV     v ndS
(1.4)
S
t V
Trong đó:



( u)
 v ndS  x dx dx dx
  (  v) dV
S

1

2

1

3





 (  v)
 (  w)
dx1dx2 dx3 
dx1dx2 dx3
x2
x3

(1.5)

Thế phương trình (1.5) vào phương trình (1.4) và xấp xỉ tích phân vế phải

 dV   (  v) dV
(1.6)
t
Đơn giản dV hai vế phương trình (1.6) ta được

  .   v   0
t

(1.7)

Trong đó,

 : Mật độ khối.

v  (u, v, w) : vector vận tốc.
Khi mật độ khối không thay đổi theo thời gian thì phương trình (1.1) được viết lại như sau:
v  0

(1.8)

Ta gọi phương trình (1.2) là phương trình liên tục và được viết lại như sau:



u v w0
x
y
z

(1.9)

Định luật bảo toàn động lượng

v     v  v  pl   g
t

(1.10)

Trong đó

p : Áp suất.
g : vector lực trọng trường.
Trang 15
 


Khai triển thành phần thứ 2 trong ngoặc và mật độ khối là hằng số, ta viết lại phương trình

(1.4) như sau:
 0 


1

v     v  v     pl   0 
t

 g 



(1.11)

Viết dưới dạng vector phương trình (1.5) như sau




1 
u u u v u  w u    p
t
x
y
z
 x

(1.12)





1 
vu vv vw v    p
t
x
y
z
 y

(1.13)





1 
wu wv w w w    p  g
t
x
y
z
 z


(1.14)

Chúng ta nhận được bốn phương trình đạo hàm riêng gồm (1.7), (1.12),(1.13) và (1.14)

và với bốn ẩn số.



Đưa ra điều kiện biên và đầu là chúng ta có thể giải được.



Điều kiện biên được áp dụng cho mặt thoáng.

Trang 16
 


 

Hình 2: Mơ tả dịng chảy bao gồm cao trình, cao trình đáy và chiều cao của địa
hình.
Giả sử theo chiều z, thay đổi vận tốc là như nhau theo thời gian và khơng gian,
thì phương trình (1.8) được viết lại như sau:

0

1







pg
z

(1.15)

Vậy giả thiết để đơn giản trong phương trình nước nơng là chiều dài phương x
lớn hơn rất nhiều so với phương z, tức là chiều dài của miền tính thì lơn hơn rất nhiều
so với chiều cao của mực nước.



u v w0
x
y
z
 
W




U
l

W h

(1.16)

h

U
h
trong đó  1
l
l

Bỏ qua gia tốc theo chiều dọc
 Giả định lớp biên
Trang 17
 






d
w0
dt

(1.17)


p   g
z

(1.18)

Tích phân phương trình (1.12)
s

p    gdz  pa
z

(1.19)

Giả định theo phương z thì mật độ khối là hằng số, chúng ta nhận được từ phương
trình (1.13) như sau:
p   g ( s  z )  pa

(1.20)

Gadient áp suất
1 

p  g zb
x
 x

(1.21)

1 

p  g zb
y
 y

(1.22)

Thay áp suất từ phương trình (1.21) và (1.22) lần lượt vào phương trình (1.12) và

(1.13), chúng ta có như sau:





u  u u  v u  w u   g zb
t
x
y
z
x





v  u v  v v  w v   g zb
t
x
y
z
y

(1.23)
(1.24)

Tiếp theo ta tích phân theo chiều cao cho phương trình liên tục (1.16), chúng ta nhận
được như sau:
z









  x u  y v  z w dz  0
b






h  (uh)  (hv)  0
t
x
y

(1.25)

(1.26)

Tương tự cũng lấy tích phân phương trình (1.18) và (1.19), chúng ta cũng nhận được như sau:
Trang 18
 


1



(uh)  (u 2 h  gh 2 )  (uvh)   gh zb
t
x
2
y
x

1



(vh)  (vuh)  (v 2 h  gh 2 )   gh zb
t
x
y
2
y

(1.27)
(1.28)

Đặt q x  uh và q y  vh và thay chúng vào phương trình (1.26), (1.27) và (1.28),
chúng ta có phương trình nước nơng tổng qt như sau:




h  qx  q y  0
t
x
y

(1.29)



1


q x  (uq x  gh 2 )  (vq x )   gh z b
2
t
x
y
x

(1.30)



1


q y  (uq y )  (vq y  gh 2 )   gh zb
2

t
x
y
y

(1.31)

Viết dưới dạng vecto như sau:
h
 
q   q x ,
q y 
 



qx


2
f  uq x  gh / 2  ,


uq y


0




S  S b   gh z b / x 
  gh z b / y 



qy


vq x
g
,
vq y  gh 2 / 2 



3. Nhận xét và đánh giá

Như vậy, chúng ta đã có đủ cơ sở lý thuyết về hệ phương trình mơ tả dịng chảy hai
chiều trung bình theo độ sâu, sơ đồ lưới không gian. Điều kiện biên, điều kiện đầu cần
thiết để xây dựng quy trình tính tốn cho một khu vực cụ thể.
Yếu tố tác động đến dòng chảy là ma sát đáy và độ sâu địa hình. Để giải quyết tốt bài
tốn này, chúng ta cần xây dựng được mơ hình thủy văn với đầy đủ các tham số thể hiện
sự ảnh hưởng của các yếu tố tự nhiên. Bên cạnh đó, các yếu tố tự nhiên ln thay đội nên
khi tính tốn cũng phải cập nhật theo các dữ liệu mới thay đổi theo thời gian.

Trang 19
 


Tốc độ tính tốn của bài tốn mơ hình hóa ln được đặt ra vì thời gian tính tốn

thường rất dài do sự phức tạp của mơ hình tốn. Do vậy, việc áp dụng cách xác định khôướt để giảm bộ nhớ lưu trữ và đẩy nhanh tốc độ tính toán là một điều cần thiết.

Trang 20
 


CHƯƠNG II: RỜI RẠC PHƯƠNG TRÌNH
 
 

1. Giới thiệu

Phương trình nước nơng được sử dụng sóng dài để tính tốn trong thủy động lực học,
đại dương và cơ học môi trường. Trong những thập kỷ gần đây, phương pháp thể tích hữu
hạn trung tâm cạnh Godunov-type lược đồ, trong đó miền điều khiển chính là lưới của
chính phần tử đó, và đã trở thành phương pháp phổ biến để giải các bài tốn nước nơng và
có độ chính xác cao, hiệu quả và nhất quán. Tuy nhiên, nó vẫn gặp thử thách khi tính tốn
dịng chảy phức tạp chẳng hạng như miền ước và khơ trong địa hình phức tạp. Với mơ
hình lưới phi cấu trúc, có thể xấp xỉ tính chính xác của miền tính tốn. Vấn đề chính của
phương pháp giải này là tính chính xác bậc hai theo không gian nhưng vẫn bảo đảm diều
kiện cân bằng và định luật bảo tồn và có thể theo dỏi dịng chảy từ miền ướt qua miền
khơ.

 

Hình 3: Kí hiệu biến tại bề mặt trên lưới phi cấu trúc
 

Với xấp xỉ gần đúng này, để tăng độ chính xác khi trao đổi thơng lượng, thay vì
tính các giá trị của biến bảo tồn tại tâm của phần tử thì chúng ta sẽ tính chúng tại giá

Trang 21
 


trị M (trung điểm của cạnh) bằng cách ngoại suy từ điểm D (nằm trên giao điểm của
LR và cạnh như trong hình 2.1). Giới hạn giá trị chúng bằng giá trị tại tâm của phần tử.
Với mục đích của việc giải bài tốn nước nơng số trên lưới phi cấu trúc với độ
chính xác và đồng nhất nhưng cách đơn giản. Phương trình nước nơng 2D với thể tích
hữu hạn sẽ được trình bày trong luận văn này. Trong mơ hình này, Harten Lax and Van
Lee xấp xỉ “Remainn solver” với “contract wave” được áp dụng để tính thơng lượng
và khối lượng bằng xấp xỉ HLL (Harten Lax and Van Lee ) .
2. Phương trình liên tục

Để nhận được hệ phương trình mơ tả chuyển động thủy triều ta xuất phát từ phương
trình chuyển động và phương trình liên tục của chất lỏng không nén được. Dưới dạng
vectơ, hệ này có dạng:
 q f  g


S
 t x  y

(2.1)

Trong đó:
t là thời gian (s)
x và y là chiều trong hệ tọa độ Descartes (m).
q, f và g lần lượt là thông lượng, luồng theo phương x và y (m2/s).
S là vectơ nguồn, gồm 2 thành phần nguồn góc nghiêng Sbvà ma sát Sf.
h

 
q   q x ,
q y 
 



qx


f  uq x  gh 2 / 2  ,
g


uq y


0
 


S  S b  S f    gh z b / x     C f u
  gh z b / y    C f v




qy



vq x

,
2
vq y  gh / 2 



0

u2  v2 
u 2  v 2 

(2.2)

Trong đó:
qx=uh là thơng lượng theo phương x.

Trang 22
 


qy=vh là thông lượng theo phương y.
u, v lần lượt là thành phần của vectơ vận tốc dòng chảy trung bình theo độ sâu trong hệ tọa độ

vng góc Oxy (m/s).

h là độ sâu tính từ đáy đến mặt nước (m).
zb là cao trình đáy (m), xem hình 1.

 

Hình 4: Mơ hình dịng chảy
 

Cf 

gn
là hệ số ma sát
h1/3

  h  zb là cao trình (m).

3. Thể tích hữu hạn cho lưới tam giác
Một lưới của miền không gian D  R d bao gồm:
 

Một tập các thể tích điều khiển đóng (đa diện lồi)    i  D : i  1, , N    
 

Và
 

Một tập các vị trí tính tốn( nút tính tốn ) X   xi  D : i  1, , N   
Trang 23
 


 

Sao cho


Điểm xi là tâm của i



Các thể tích điều khiển phủ lên tồn bộ miền khơng gian
N

D   i
i 1



Các thể tích điều khiển khơng đè lên nhau, tức là hoặc
i   j   ,

i  j

hoặc nếu các thể tích điều khiển là kề nhau thì
i   j  i   j ,

i  j

Trong đó,
i  i và  j   j

Kí hiệu i là biên hay cạnh của tam giác i
Khi đó kí hiệu lưới là G   , X 

Ví dụ

Trang 24