Sáng kiến kinh nghiệm cấp cơ sở: Vận dụng đồ thị hàm ẩn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.65 MB, 81 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

---

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CẤP : CƠ SỞ ; TỈNH

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN
 Mơn/nhóm mơn : TỐN

Mã mơn : 03.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

---

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CẤP : CƠ SỞ ; TỈNH

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THỊ THANH HẢI 
 Mơn/nhóm mơn : TOÁN

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU ... 4

1. Lý do chọn đề tài ... 4

2. Mục đích nghiên cứu: ... 7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu: ... 7

4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: ... 7

5. Các phương pháp nghiên cứu:... 7

6.Cấu trúc của SKKN: ... 7

PHẦN II : NỘI DUNG... 8

A. Cơ sở lý luận: ... 8

B. Thực trạng vấn đề: ... 8

C. Giải pháp:... 8

D. Nội dung: ... 8

1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3 bx2 cx  d ( a, 0) ... 8

1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị ... 9

1.2. Bài tập vận dụng :... 10

2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: 4 2





0
yax bx c, a ... 18

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị ... 18

2.2.Bài tập vận dụng : ... 19

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất:y ax b
cx d


 ... 23

3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhấty ax b
cx d


 dựa vào đồ thị .... 23

3.2.Bài tập vận dụng: ... 23

4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số y= f x

( )

, y= f x'

( )

, y= f ''

( )

x , ... 28

4.1.Lý thuyết cơ sở: ... 28

4.2. Bài tập vận dụng :... 28

5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên. . 40

5.1. Lý thuyết cơ sở: ... 40

5.2. Bài tập vận dụng: ... 40

6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
... 50

6.2. Bài tập vận dụng: ... 50

7. Phép biến đổi đồ thị:... 56

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHẦN I. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông
Quốc gia (THPTQG) từ năm học 2016-2017 cho đến nay. Trong đó mơn tốn
được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi
đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong
việc dạy và học.

 Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề
mới so với hình thức thi tự luận.

 Xuất hiện một số dạng toán mới mẻ thuộc cấp độ vận dụng cao ngày
càng gia tăng về số lượng.

Cụ thể:

Trong đề thi TN THPTQG 2017-2018 mã đề thi nào cũng có 2 câu dạng như sau:
Câu 41- Đề 101:

Cho hàm số

 

3 2 1

f x ax bx  cx và

 





1 , , , ,

g x dx  ex a b c d eR . Biết rằng đồ
thị của hàm số y f x

 

và yg x

 

cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là
-3;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích
bằng:

A. 9
2.
B. 8.
C. 4.
 D. 5.

Câu 50- Đề 101:

Cho hàm số y f x

 

và yg x

 

. Hai hàm số y f '

 

x và yg x'

 

có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm yg x'

 

. Hàm số

 





4 2

2
h x  f x g x 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A. 5;31
5

 

 

 .

B. 9;3
4

 
 
 .

C. 31;
5

 

 

 .

D. 6;25
4

 

 

 .

Câu 36- Đề 102:

Cho hàm số

 

3 2

f x ax bx  cx và

 





2 , , , ,

g x dx  ex a b c d eR . Biết rằng
đồ thị của hàm số y f x

 

và yg x

 

cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt
là -2;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện
tích bằng:

A. 37

6 .
B. 13

2 .
C. 9

2.
D. 37

12.

Câu 47- Đề 102: Cho hàm số y f x

 

và yg x

 

. Hai hàm số y f '

 

x và

 

yg x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của
hàm yg x'

 

. Hàm số

 





2 9

2
h x  f x g x 

  đồng biến trên khoảng nào dưới

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A. 2;16
5

 

 

 .

B. 3;0
4

 

 

 .

C. 16;
5

 

 

 .

D. 3;13
4

 

 

 .

Trong đề thi TN THPTQG 2016-2017 mã đề từ 101 đến 124 đều có 01 câu dạng
sau:

Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị của hàm số y f

 

x như hình
bên. Đặt

 

  



2 1

g x  f x  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g

     

3 g  3 g 1 .

B. g

     

 3 g 3 g 1 .
C. g

     

1 g  3 g 3 .
D. g

     

1 g 3 g 3 .

Câu 48- Đề 104: Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị của hàm số y f

 

x như hình
bên. Đặt

 

  



2 1

g x  f x  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g

 

1 g

 

3 g

 

3 .
B. g

 

1 g

 

 3 g

 

3 .
C. g

 

3 g

 

 3 g

 

1 .
D. g

 

3 g

 

 3 g

 

1 .

Trước các vấn đề trên tôi thấy cần có một hệ thống lý thuyết, phương pháp và
O 1 3 x

2
4



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

nghiệm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn ở
trường THPT tôi lựa chọn đề tài:

“VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN”

2. Mục đích nghiên cứu:

Để cho người học thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số

( )

, '

( )

, ''

( )

y= f x y= f x y= f x với các vấn đề của hàm ẩn số y= f x

( )

:
o sự tương giao giữa các đồ thị

o tính đồng biến nghịch biến
o vấn đề cực trị

o vấn đề biến đổi đồ thị: tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
o ứng dụng vào phương trình, bất phương trình.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mơ tả phân tích để tìm ra biện pháp
dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.

4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: 
- Học sinh lớp 12

- Học sinh các đội tuyển lớp 12

- Chương trình mơn Tốn 12 cơ bản và nâng cao. 
5. Các phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên môn.
- Tổng kết kinh nghiệm.

- Phân tích sản phẩm.

- Quan sát trực tiếp kết quả bài tập, bài kiểm tra của học sinh.
-Qua thực tế chấm bài.

6.Cấu trúc của SKKN:

Đề tài được sắp sếp theo cấu trúc gồm:
A- Lý thuyết cơ sở

B- Vận dụng:

+ Gồm các dạng toán

+ Trong mỗi dạng toán đó đều có các ví dụ tiêu biểu được tác giả phân tích
và trình bày có thể bằng nhiều cách khác nhau. Cũng có thể xây dựng thêm
bài toán tổng quát.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PHẦN II : NỘI DUNG

A. Cơ sở lý luận:

Chuyên đề về hàm số là chương quan trọng nhất và chiếm tỷ lệ điểm số cao
nhất trong đề thi THPT Quốc Gia mơn Tốn ,nó có nội dung rất phong phú như
tính đơn điệu, cực trị, min- max, đồ thị, tiệm cận, sự tương giao, tiếp tuyến, sự
biến đổi đồ thị,…. và những bài toán ứng dụng trong thực tiễn và đời sống.

B. Thực trạng vấn đề:

Trong quá trình dạy học phần kiến thức này những bài toán thuộc cấp độ vân
dụng cao khiến học sinh còn mơ hồ khó hiểu vì cảm giác nó trừu tượng, giáo viên
thì đơi khi lúng túng khi dạy học hay trình bày cũng như việc hướng dẫn học sinh
vận dụng giải toán dạng này.

C. Giải pháp:

+ Đề tài tập trung vào dấu hiệu nhận biết cơ bản đặc trưng ở lý thuyết giúp
người học dễ nắm bắt và dễ vận dụng khi giải toán.

+ Được phân chia thành các dạng toán thường gặp gắn liền với các ví dụ tiêu
biểu. Mỗi ví dụ được đưa ra đều có sự giải thích chi tiết, phân tích kỹ các dấu
hiệu từ đó đưa ra cách thức vận dụng bài toán lý thuyết phù hợp.

+ Hơn nữa mỗi ví dụ tác giả cịn trình bày cách giải : tự luận hoặc trắc
nghiệm giúp người học có thể tiếp cận bài tốn theo nhiều hướng khác nhau, từ
đó tăng khả năng tư duy, kích thích sự sáng tạo của người học.

+ Hầu hết các ví dụ được lựa chọn có tính thiết thực gắn với chương trình
học và năm trong các đề thi THPTGQ.

D. Nội dung:

1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3 bx2 cx  d ( a, 0) 
Dấu của a

Dấu  a > 0 a < 0

Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt.

-2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Pt y’ = 0 có
nghiệm kép

Pt y’ = 0 vơ
nghiệm

1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị

 Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi lên là a>0, 
Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi xuống là a<0

 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là d. 
Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì d0
Nếu giao điểm này nằm dưới Ox thì d0

 Đồ thị có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị trái
dấu nhau ac 0 a,c trái dấu nhau.

Đồ thị có 2 cực trị nằm về cùng 1 phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị
cùng dấu nhau thì ac 0 a,ccùng dấu nhau.

 Đối với dạng có 2 điểm cực trị thì điểm uốn ln là trung điểm của đoạn
thẳng nối hai cực trị. Hoành độ điểm uốn là

b
x

a


 .
Nếu điểm uốn nằm phía bên phải Oy  0

3
b

a,b
a

   trái dấu nhau.
Nếu điểm uốn nằm phía bên trái Oy  0

3
b

a,b
a

   cùng dấu nhau.
 Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b23ac 0 .

 Hàm số khơng có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b23ac 0 .

 Đồ thị đi qua điểm M x ; y



0 0



thì ta có phương trình

3 2

0 0 0 0

y  ax  bx  cx d

 Đồ thị có điểm cực trị M x ; y



0 0



thì ta có các phương trình

3 2

0 0 0 0

y  ax  bx cx d

  



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1.2. Bài tập vận dụng :

Bài 1: Cho hàm số y ax 3bx2 cx d a



0



có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của 
a b c d; ; ; là?

Hướng dẫn giải:

Phương pháp Tự luận:

Ta có: y ax 3bx2 cx d a



0



; 
y' 3 ax22bx c .

Gọi x x1; 2 là các điểm cực trị của hàm số.

Theo bài ra ta có:





 

3 2

1 2
1 2
lim

0 0

0
2

0 0

0
0

x ax bx cx d

a

y d

b
b

x x c

a

d
c

x x
a


     

  

   

 

  

     

 

  

  



Phương pháp Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên a0.

Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên b 0
a

  mà a0 nênb0
Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu c 0

a  mà a0 nên c0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Hướng dẫn giải:

Phương pháp Tự luận:

Ta có: y ax 3bx2 cx d a



0



;

' 3 2

'' 6 2

y ax bx c

y ax b

  

  .

Theo bài ra ta có:





 

3 2
2

lim

3 0 0

0
1 0

3 0

0 0

x ax bx cx d a

b ac b

b c

a d

y d



     

 




   

 

  

  

 

  

  



Phương pháp Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d0

Bài 3: Cho hàm số y ax 3bx2 cx d a



0



có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của 
a b c d; ; ; là?

Hướng dẫn giải:

Tự luận: Ta có: y ax 3bx2 cx d a



0



; 
y' 3 ax22bx c .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Theo bài ra ta có:





 

3 2
1 2
1 2
lim
0
0 0
0
2
0 0
3
0
0
3

x ax bx cx d

a

y d

b
b

x x c

a
d
c

x x
a

     
  
   
 
  
     
 
  
  


nên 0
0
b
cd
 
 

Trắc nghiệm:

Đồ thị nhận thấy ngay a0 và d0 .

Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên b 0
a

  mà a0 nênb0
Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu c 0

a  mà a0 nên c0
Bài 4: Cho hàm số bậc ba  3 2 

y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của
a,b,c,d là ?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên a0. 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0

Ta có 2

3 2

   

y ax bx c, y  0 3ax22bx c 0
Hàm số có hai điểm cực trị x10,x2 0

Suy ra x1 x2 0

2
0
3

  b

a . Mà a0 nên b0.

1 2 0

x x 0

 c 

a . Mà a0 nên c0.
Vậy a0,b0,c0,d0.

Bài 5: Cho hàm số 3 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

x
y

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a0, đồ thị cắt trục tung

tại điểm có tung độ dương nên d0.

Ta có: y 3ax22bx c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung
nên y 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Suy ra
2

2
2

0
0

3 0

3
3

0
a

a
b

b
a

b ac

ac

c
a

b

c



 

 

 

   

 

  







 

Bài 6: Cho hàm số bậc ba 3 2

y= ax +bx +cx+d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của
a b c d; ; ; là?

Hướng dẫn giải:

 Tự luận: Đồ thị hàm số 3 2

y ax bx  cx d.
+ Đồ thị có nhánh đầu tiên đi xuống nên a0

+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 7: Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d



a0



có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Dấu của a b c d, , , là?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy lim ; lim 0

xy  xy   a . Lại có tại y(0) d 0.

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x x1; 2 trái dấu nhau lại có
2

3 2

y  ax  bx c và x x1; 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình

y  1. 2 0 0

3
c

x x c

a

    

Tổng hợp lại ta cần có a d, 0, c0.

Bài 8: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị
của m để phương trình f x( )= m có đúng hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( ) ta suy ra đồ thị

( )

C¢ của hàm số y= f x( )

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( )C ở phía dưới trục hồnh.
Khi đó, đồ thị

( )

C¢ là hợp của hai phần trên.

Ta có: f x( )= m là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị ( )C¢ và đường
thẳng ( )d :y= m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị ( )C¢, ta có phương trình f x( )= m có đúng hai nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi 0 1

5
m
m
é < <
ê
ê >

ë .

Bài 9: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 0

8 4 2 0

    


    


a b c

a b c . Số giao điểm của đồ
thị hàm số  3 2 

y x ax bx c và trục Ox là bao nhiêu? 
Hướng dẫn giải:

Hàm số  3 2 

y x ax bx c xác định và liên tục trên . Giao điểm của đồ thị hàm
số  3 2 

y x ax bx c và trục Ox là nghiệm của phương trình 3 2

   

x ax bx c
có nhiều nhất ba nghiệm trên

 

1 .

Ta có 3

2 3

lim lim 1

 

  

       

 

 

x x

a b c

y x

x x x và y

 

      1 1 a b c 0, nên tồn tại
điểm x1  



; 1



sao cho y x

 

1 0

 

2 .

Lại có

 

1 1 0

2 8 4 2 0

      


     



y a b c

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Từ

 

1 ,

 

2 ,

 

3 ,

 

4 suy ra phương trình 3 2

   

x ax bx c có ba nghiệm phân biệt





1  ; 1

x ,x2 



1;2



và x3



2;



hay đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba
điểm phân biệt.

Bài 10: Hàm số 3 2

2 4 2018

yx  ax  bx ,



a b, 



đạt cực trị tại x 1. Khi đó

hiệu a b là
Hướng dẫn giải:

Ta có 2

3 4 4

y  x  ax b.

Hàm số đạt cực trị tại x 1 nên y  

 

1 0 3 4a4b0 3

4
a b

   .

Bài 11: Biết điểm M

 

0; 4 là điểm cực đại của đồ thị hàm số

 

3 2 2

f x  x ax  bx a . Tính f

 

3 .
Hướng dẫn giải:

Ta có:

 

3 2

f x  x  ax b và f

 

x 6x2a.

 

0; 4

M là điểm cực đại của đồ thị hàm số

 

0 4 4

0 0 0

0
0
0 0
f a
a
f b
b
a
f

  
 
   
     

    



.

 

3 2

2 4

f x x x

    . Vậy f

 

3 13.
Bài 12: Cho hàm số

 

3 2 3

f x  x x  x . Phương trình



 



 

2 1

f f x

f x   có bao nhiêu
nghiệm thực phân biệt ?

Hướng dẫn giải: 
Phương pháp tự luận:

Xét hàm số

 

3 2 3

2
f x  x x  x .
Ta có

 

3 6 1

f x  x  x .

 

1 1

2 2

3 6 9 8 6

3 18

0 3 6 1 0

3 6 9 8 6

3 18

x f x

f x x x

x f x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Xét phương trình



 



 

2 1

f f x

f x   .

Đặt t f x

 

. Khi đó phương trình trở thành

 

1

 

2 1 3 3 2 3 2 1 3 32 5 0 *

 

2 1 2 2

f t

f t t t t t t t t t

t                .

Nhận xét: phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm.
Xét hàm số

 

3 32 5

g t  t t  t liên tục trên ¡ .
+ Ta có

   

3 . 4 1 .29 0

2 2

g g    

  nên phương trình

 

* có một nghiệm

 

1 3; 4

t  t .

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x

 

t1 với

 

1 1

9 8 6
3

t   f x   có một nghiệm.
+ Ta có

 

1 . 1 1 11. 0

2 2 8

g g       

    nên phương trình

 

* có một nghiệm

2
1

;1
2
t  t  

 .

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x

 

t2 với

 

2 2

 

9 8 6 1 9 8 6

18 2 18

f x      t f x   có ba nghiệm phân biệt.

+ Ta có 4 .

 

1 217. 1 0

5 250 2

g  g    

    nên phương trình

 

* có một nghiệm

4
1;

5
t    t  

 .

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x

 

t3 với

 

3 2

4 9 8 6

5 18

t    f x   có một nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.

Phương pháp trắc nghiệm:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1
2
3

3, 05979197
0,8745059057

0,9342978758
t

t
t




 

  


+ Xét phương trình 3 2

1
3

3 3.05979197

x  x    x t . Bấm máy tính ta được 1
nghiệm.

+ Xét phương trình 3 2

2
3

3 0,8745059057

x  x    x t . Bấm máy tính ta được 3
nghiệm.

+ Xét phương trình 3 2

3
3

3 0,9342978758

x  x     x t . Bấm máy tính ta được 1
nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.

2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương:yax4bx2c, a



0



Dấu của a

Dấu a,b a > 0 a < 0

Pt y’ = 0 có 3
nghiệm phân biệt.

(a.b<0)

Pt y’ = 0 có 1
nghiệm (a.b>0)

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị 
 Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c Đồ thị đi qua điểm M x ; y



0 0



thì ta

có phương trình 2

0 0 0

ax  bx   c y

 Đồ thị có điểm cực trị M x ; y



0 0



thì ta có các phương trình
2

0 0 0

0 0

4
3

4 0

ax bx c y
ax 2bx c


  
  




2.2.Bài tập vận dụng :

Bài 13 : Cho hàm số 4 2





y ax bx c a có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định
dấu của a b c, , ?

Hướng dẫn giải:

Tự luận: Ta có: y ax 4bx2c a



0



; 
y' 4 ax32bx.

Theo bài ra ta có:





 

4 2

lim 0

0 0 0

0
0

x ax bx c a

y c b

c
b

x
a


   
  
    
 
   

  

 
Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a0.

Đồ thị có 3 cực trị nên ab0 mà a0 nênb0
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c0
Bài 14: Cho hàm số 4 2





</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Hướng dẫn giải:

Tự luận: Ta có: y ax 4bx2c a



0



; 
y' 4 ax32bx.

Theo bài ra ta có:





 

4 2

lim 0

0 0 0

0
0

x ax bx c a

y c b

c
b

x
a




   

  

    

 

   



  



Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên xuống nên a0.
Đồ thị có 3 cực trị nên ab0 mà a0 nênb0 .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c0.

Bài 15: Dấu của a và b như thế nào để hàm số  4 2







y ax bx c a có đồ thị
dạng như hình bên dưới?

x
y

O

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số suy ra a0.
Ta có  3 



2



4 2 2 2

y ax bx x ax b . Hàm số có ba cực trị khi phương trình

 

2ax b có hai nghiệm phân biệt khác 0; điều này xảy ra khi b0.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

x
y

2
- 2

-2

0
1

Hướng dẫn giải:

Ta có 2

 

3 0

 

3
2

f x    f x   . Dựa vào đồ thị, nhận thấy đường thẳng 3
2
y 
cắt đồ thị hàm số y f x

 

tại 4 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4
nghiệm.

Bài 16 : Cho hàm số f x

 

x44x23 có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hỏi phương trình



4 2

 

4 4 2



4 3 4 4 3 3 0

x  x   x  x    có bao nhiêu nghiệm thực
phân biệt ?

x
y

3

- 3

2
1

-1

3

-2 O

Hướng dẫn giải:

Đặt 4 2

2 3

t x x  . Khi đó ta có phương trình 4 2

4 3 0

t  t   (2).

Nghiệm của phương trình (2) là hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục
hoành

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

3
1
1
3
t
t

t
t
  
  

 

 

4 2
4 2
4 2
4 2

2 3 3

2 3 1

2 3 3

x x
x x
x x
x x
    

   


    

   

(vô nghiệm).

Bài 17: Cho bảng biến thiên sau:

Cho các hàm số:

1) yx42x23. 2) 2

2 3

y x x . 3) y  x4 2x23. 4) 2

1 4
y x   .
Số hàm số có bảng biến thiên trên là

A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.

Hướng dẫn giải: 
Chọn D

Hàm số 2

2 3

y x x khơng có đạo hàm tại x0 vì y

 

0 2 cịn y

 

0  2

Hàm số 2

1 4

y x   khơng có đạo hàm tại x 1 vì
1

lim 4

xy  còn limx1y 3

Hàm số 4 2

2 3

y  x x  có lim

xy 

Hàm số 4 2

2 3

yx  x  có lim

xy  và y 4x x



1



x1



, y 0

0
1
x

x


   

Nên có bảng biến thiên:

Vậy chỉ có hàm số 4 2

2 3

yx  x  có bảng biến thiên phù hợp với bảng biến thiên
đã cho.

x  1 0 1 
y  0  0  0 

y

4

3

4



x  1 0 1 
y  0  0  0 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất:y ax b
cx d






ad bc  ad bc 0

3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhấty ax b
cx d




 dựa vào đồ thị

 Đưởng thẳng song song với Oy là đường tiệm cận đứng x d
c

  .
Nếu đường thẳng này nằm bên trái trục Oy thì d 0 d ,c

c

   cùng dấu nhau.
Nếu đường thẳng này nằm bên phải trục Oy thì d 0 d ,c

c

   trái dấu nhau.
 Đưởng thẳng song song với Ox là đường tiệm cận ngang y a

c

 .
Nếu đường thẳng này nằm trên trục Ox thì a 0 a,c

c   cùng dấu nhau.
Nếu đường thẳng này nằm dưới trục Ox thì a 0 a,c

c   trái dấu nhau.
 Hàm số 1 cực trị khi a.b0

 Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0,
 Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0
 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c

3.2.Bài tập vận dụng:

Bài 18: Cho hàm số y bx c
x a




 (a0 và a, b, c ) có đồ thị như hình bên. Dấu

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

O
y

x

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y b 0
tiệm cận đứng x a 0.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định nên c ab 0
Bài 19: Đồ thị hàm số  



ax b
y

cx d có dạng như hình bên dưới. Tích bc mang dấu
gì?

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số suy ra TCN là y a 0

c và TCĐ là   0.
d
x

c
Từ đó suy ra ac0, dc0

Đồ thị hàm số đi qua điểm  

0; 

b
M

d với 0
b

d nên bd0. Vì dc0 và bd0 nên

  2   

. 0 . . 0 . 0

dc bd b c d b c .

Bài 20: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số  



ax b
y

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Hướng dẫn giải: 
TCN: y a 0

c suy ra ac0 1 .

 

TCĐ x  d 0,

c suy ra dc0. (2)
Đồ thị hàm số qua  

0; 

b

d với 0,
b

d suy ra bd0. (3).
Từ

  

1 2 , suy ra ad0. 4

 

Từ

  

3 4 , suy ra ab0.

Bài 21: Cho hàm sốy x b
cx d




 có đồ thị như hình vẽ. Dấu của b,c,d là gì?

Hướng dẫn giải: 
TCN: y   1 0 c 0

c (1)

x

y

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Đồ thị hàm số qua  

0; 

b

d với 0,
b

d suy ra bd0. (3).
Từ

  

2 3 , suy ra b0.

Bài 22: Tìm a, b,c để hàm sốy ax 2
cx b




 có đồ thị như hình bên.

Hướng dẫn giải:

TCN: y     a 2 a 2 , 1c

 

c

TCĐ: x     b 2 b 2 , 2c

 

c

Từ

  

1 2 , suy ra a b  2c
Đồ thị hàm số qua  

0; 

b với     2
2

b b

suy ra:

 


1
1
2

a
c

Bài 23 : Hãy xác định các số thực a và b để hàm sốy ax 2
x b




 có đồ thị như hình

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hướng dẫn giải: 
TCN: y a 3, 1

 

TCĐ: x     b 1 b 1, 2

 

Bài 24: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \ 1

 

và có bảng biến thiên như sau:.

Đồ thị hàm số

 

2 5

y

f x



 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải:

Dựa vào BBT, phương trình 2f x

 

 5 0

 

2
f x

  có 4 nghiệm phân biệt thuộc
các khoảng



 ; 2





2;1



 

1;2 ,



2;



nên đồ thị hàm số

 

2 5

y

f x



 có 4

đường tiệm cận đứng.

Bài 25: Cho hàm số 1
2

ax
y

bx




</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Hướng dẫn giải:





2
2

2
a b
y

bx

 
 

 .

Dựa vào đồ thị hàm số  hàm số nghịch biến trên tập xác định   2a b 0

 

* .
Đồ thị có hai đường tiệm cận: x2 và y1.

Khi đó 1 1

2 1

2
a

a
b

b
b

 

  

 

  


 


Thỏa mãn

 

* . Vậy T 2.

4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số y= f x

( )

, y= f x'

( )

, y= f ''

( )

x ,
4.1.Lý thuyết cơ sở:

Giao điểm của đồ thị hàm số y= f x

( )

với trục hồnh là nghiệm của phương trình
hoành độ giao điểm f x =

( )

Chẳng hạn:

Hàm số y= f x

( )

có đồ thị như hình bên.

Suy ra phương trình f x =

( )

0 có 3 nghiệm

(

x= a x; = b x; = c

)

4.2. Bài tập vận dụng :

Bài 26: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị y f x( ) cắt trục Ox tại ba điểm có hồnh 
độ a b c  như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f c( ) f a( ) f b( ). B. f c( ) f b( ) f a( ).
C. f a( ) f b( ) f c( ). D. f b( ) f a( ) f c( ).
Hướng dẫn giải:

O

a b c

y

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

 
 

 

 


( )
0
y f x
y
x a
x b
là:

 

   

 





d  



d    

1 ( ) ( )

b b

b
a

a a

S f x x f x x f x f a f b .

Vì S1 0 f a

   

 f b

 

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường


 

 

 

 

( )
0
y f x
y
x b
x c
là:

 

   

 





d 



d   

2 ( ) ( )

c c

c
b

b b

S f x x f x x f x f c f b .

   

  

2 0

S f c f b

 

2 .

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1S2 f a

       

f b  f c f b f a

   

 f c

 

3 .

Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.

Bài 27: Cho hàm số 2 2 2

( ) ( 1)( 4)( 9)

y f x x x  x  x  . Hỏi đồ thị hàm số y= f¢

( )

x

cắt trục hồnh tại bao nhiêu điểm phân biệt?
Hướng dẫn giải:

Ta có:

 













2 2 2

3 4 2

7 5 3

1 4 9

13 36

14 49 36

f x x x x x

x x x x

   

   

   

 

6 4 2

7 70 147 36

f x  x  x  x 

Đặt 2

, 0

tx t

Xét hàm g t

 

7t370t2147t36

Do phương trình

 

21 140 147 0

g t  t  t  có hai nghiệm dương phân biệt và

 

0 36 0

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 28: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên R.. Biết đồ thị của hàm số y f '

 

x

trên R. như hình vẽ bên. Hàm số y f x

 

nghịch biến trên khoảng nào?

Hướng dẫn giải:

Hàm số y f x

 

nghịch biến khi y f '

 

x 0

quan sát hình vẽ ta thấy y f '

 

x 0 ( phần đồ thị nằm dưới Ox ) ta thấy

 

' 0, 0;2

y f x   x

Bài 29: Cho hàm số y f x

 

. Hàm số y f

 

x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số



3 2



2018

y f  x  nghịch biến trên khoảng ?

Hướng dẫn giải:

Ta có f

  

x k x1



x1



x4



với k0



3 2





3 2





3 2





3 2



f x k x x x

                .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>



3 2



f x

   3 2 4

1 3 2 1

x
x

 



     12

1 2
x
x
  


 

.

Vậy hàm số y f



3 2 x



2018 nghịch biến trên

 

1; 2 và ;1
2

 

 

 .

Bài 30 : Cho hàm số f x

 

0 thỏa mãn điều kiện

  

  

2 3

f x  x f x và

 

f   . Biết rằng tổng f

     

1 f 2 f 3 ... f



2017

 

f 2018



a
b

      với



a ,b *



và a

b là phân số tối giản. Tính hiệu b a ?
Hướng dẫn giải:

Ta có

  

  

2 3

f x  x f x

 

2 2 3

f x
x
f x

  

 



2 3 d



f x

x x x

f x













 

x x C

f x

     .

Vì

 

0 1 2

f    C .
Vậy

 





1 2



12 11
f x

x x x x

   

    .

Do đó

     

1 2 3 ...



2017

 

2018



1 1 1009
2020 2 2020

f f f   f f     .

Vậy a 1009; b2020. Do đó b a 3029.

Bài 31: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên . Biết rằng hàm số y f

 

x có đồ thị
như hình vẽ. Hàm số





y f x  nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

x
y

-2

-4 -1 O 2

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Hướng dẫn giải

Xét hàm số





5
y f x 

Ta có





2 . 5

y x f x  ,

2
2
2
0
5 4
0
5 1
5 2
x
x
y
x
x


   


     
  

0
1
2
7
x
x
x
x


  

   

 

.

Bảng xét dấu:

x   7 2 1 0 1 2 7 

y  0  0  0 0  0  0  0 

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0;1 .

Bài 32: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình f



6sinx8cosx



 f m m



1



có nghiệm ?

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy hàm số y f x

 

là hàm số đồng biến trên



6sin 8cos







6sin 8cos





f x x  f m m  x xm m

Đặt y6sinx8cosx .

Có : 62 82 y2    10 y 10

Vậy phương trình có nghiệm   10 m m



 1



2
2

10 0 1 41 1 41

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bài 33: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên và f x'( )  0 x (0;). Biết
(1) 2

f  . Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. f(2017) f(2018). B. f( 1) 2  .

C. f(2) 1 . D. f(2)f(3)4.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có f x( ) đồng biến trên(0;) nên: f(2)f(3) 2 (1) 4 f  , f(2) f(1) 2 ,

(2018) (2017)

f  f . Khẳng định có thể xảy ra là f( 1) 2.

Bài 34: Cho hàm số y f x

 

. Biết f x

 

có đạo hàm là f

 

x và hàm số y f

 

x

có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y f x

 

chỉ có hai điểm cực trị.
B. Hàm số y f x

 

đồng biến trên khoảng

 

1;3 .
C. Hàm số y f x

 

nghịch biến trên khoảng



; 2



D. Đồ thị của hàm số y f x

 

chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của
trục hồnh.

Hướng dẫn giải: 
Chọn B

Vì y 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y f x

 

có ba điểm cực trị.
Do đó loại hai phương án A và D.

Vì trên



; 2



thì f

 

x có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án C. 
Vì trên

 

1;3 thì f

 

x chỉ mang dấu dương nên y f x

 

đồng biến trên khoảng

 

1;3 .

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Tìm mệnh đề đúng

A. f

 

0  f

 

5  f

 

3 . B. f

 

3  f

 

0  f

 

5 .
C. f

 

3  f

 

0  f

 

5 . D. f

 

3  f

 

5  f

 

0 .
Hướng dẫn giải:

Ta có

 

   

5
3

5 3 0

f x x f  f 



d , do đó f

 

5  f

 

3 .

 

   

3
0

3 0 0

f x x f  f 



d , do đó f

 

3  f

 

   

5
0

5 0 0

f x x f  f 



d , do đó f

 

5  f

 

Chọn C

Bài 36: Cho hàm số f x

 

xác định trên và có đồ thị hàm số y f

 

x là đường
cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

 

1; 2 .
B. Hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng

 

0; 2 .
C. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng



2;1



.
D. Hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng



1;1



.
Hướng dẫn giải:



3 5

x
O

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ta lập được bảng biến thiên như sau.
2 ∞
∞
0
+
+
2
y
y'
x
0

0 0 +

∞
+
∞

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B

Bài 37: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm f

  

x  x 1

 

2 x1

 

3 2x



. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng nào?
Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên D .

 



 



0 1 1 2 0 1

2
x

f x x x x x

x
 


        
 

.

f x( )

∞
∞
0
+
2
1

f' x( )

x

0 0 +

Vậy hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

 

1 2;

Bài 38: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x( )x x2( 1). Hỏi hàm số f x( ) đồng biến
trên khoảng nào?

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên D .

2 0

( ) 0 ( 1) 0

1
x

f x x x

x


       

0

0
0
x
y'
y
1
+
+
∞ ∞

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

A. y f x( ) B . 2
( )

y f x C. 1
( )
y

f x

 D. y f3

 

x

Hướng dẫn giải:

Hàm sốy f x( )xác định và đồng biến trên R suy ra f x'( )  0, x Rđẳng thức chỉ

xãy ra tại một số hữu hạn điểm
Ta thấy

( ) ' '( ) 0

y f x   y f x  Loại A 
2

( ) ' 2 ( ) '( )

y f x  y f x f x chưa kết luận được về dấu y' Loại B 
2

1 '( )

' 0

( ) ( )

f x

y y

f x f x

     Loại C

 

   

3 ' 3 2 ' 0

y f x  y f x f x  Chọn D

Bài 40: Cho hàm số y f x( )xác định và đồng biến trên R. Hỏi hàm số nào được
liệt kê dưới đây nghịch biến trên R?

A. y f x( ) B.y f2( )x

C. y f x1( ) D. y f3

 

x
Hướng dẫn giải:

Hàm sốy f x( )xác định và đồng biến trên R suy ra f x'( )  0, x Rđẳng thức chỉ

xãy ra tại một số hữu hạn điểm
Ta thấy

( ) ' '( ) 0

y f x   y f x  Chọn A 
2

( ) ' 2 ( ) '( )

y f x  y f x f x chưa kết luận được về dấu y' Loại B 
2

1 '( )

' 0

( ) ( )

f x

y y

f x f x

     Loại C

(tại những điểm f x( )0 hàm số không xác định )

 

   

3 2

' 3 ' 0

y f x  y f x f x  Loại D

Bài 41: Cho hàm số y f x( )đồng biến trên khoảng

 

3;7 ; nghịch biến trên
khoảng



1;2 .



Hỏi với x x1, 2 nhận giá trị nào được liệt kê dưới đây để

1 2 1 2

(x x )( ( )f x  f x( ))0

A. x1 0,x2 1. B. x15,x2 1. 
C. x1 6,x2 1. D. x1 4,x2 5.
Hướng dẫn giải:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài 42: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị của

hàm số y f '

 

x như hình vẽ. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. y f x

 

1. B. y f x

 

1.

C. y f x

 

x. D. y f x

 

x.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số y f '

 

x ta thấy f '

 

x     1, x R f '

 

x    1 0, x R

Chọn đáp án C

Bài 43: Cho hai hàm số y f x

 

và yg x

 

xác định và liên tục trên R. Biết

rằng đồ thị hàm số y f '

 

x và yg x'

 

như trong hình vẽ ( đồ thị hàm số

 

y f x là đường mảnh hơn màu đỏ, đồ thị hàm số yg x'

 

là đường nét to hơn
màu xanh). Hàm số h x

 

 f x

   

g x nghich biến trong khoảng nào?

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Quan sát hình vẽ ta thầy phần đồ thị hàm số y f '

 

x nằm dưới phần đồ thị hàm
số yg x'

 

khi x

 

0;4 .

Vậy hàm số h x

 

 f x

   

g x đồng biến trên

 

0; 4

Bài 44: Cho hàm số y f x

 

xác định trong khoảng

 

a b; và có đồ thị như hình
bên dưới. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

x2 x3

x1 b

aO
y

x
A. Hàm số y f x

 

có đạo hàm trong khoảng

 

a b; .

B. f

 

x1 0. C. f

 

x2 0. D. f

 

x3 0.
Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x, x



x x1; 2



, đạt cực tiểu tại x3, và
hàm số đồng biến trên các khoảng



a x; 





x b3;



, hàm số nghịch biến trên



x x; 3



;

đồ thị hàm số không bị "gãy" trên

 

a b; .
Vì x2



x x; 3



nên f

 

x2 0.

Do đó mệnh đề C sai.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị ta có: f

 

1  f

 

2  f

 

3 2.

 

h x  xf x  h

 

1 3.1 2 1  , h

 

2 3.2 2 4  ,h

 

3 3.3 2 7  .

h

     

1 h 2 h 3 .

Bài 46: Cho hàm số y f x

 

có tính chất f

 

x   0, x

 

0;3 và f

 

x 0 khi và
chỉ khi x

 

1;2 . Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số f x

 

là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng

 

1; 2 .
B. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

 

0;3 .

C. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

 

2;3 .
D. Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

 

0;1 .
Hướng dẫn giải:

Chọn B

+) f

 

x   0, x

 

1;2  f x

 

là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng

 

1; 2 .
+) f

 

x   0, x

 

2;3  f x

 

đồng biến trên khoảng

 

2;3 .

+) f

 

x   0, x

 

0;1  f x

 

đồng biến trên khoảng

 

0;1 .

+) f

 

x   0, x

 

0;3 và f

 

x   0, x

 

1;2 mà đoạn

 

1;2 có vô hạn điểm nên
không suy ra được f x

 

đồng biến trên khoảng

 

0;3  sai.

(Định lí mở rộng trong sách giáo khoa là nếu f

 

x 0 với x

 

a b; và f

 

x 0

chỉ tại hữu hạn điểm trên

 

a b; thì f x

 

đồng biến trên

 

a b; ).

Bài 47 : Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên và f

 

x   0, x 0. Biết f

 

1 2,
hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. f

 

2 1. B. f

 

 1 2.

C. f

   

2  f 3 4. D. f



2020



 f



2021



Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì f

 

x   0, x 0 nên hàm số f x

 

đồng biến trên



0,



.
Do đó:

 

2 1 2

2 3 4

3 1 2

f f

  

   



 

 .



2020





2021



</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến 
thiên.

5.1. Lý thuyết cơ sở: 
Bảng 1:

Hàm số y= f x

( )

đạt cực đại tại điểm x= x0.
Bảng 2:

Hàm số y= f x

( )

đạt cực tiểu tại điểm x= x0.
5.2. Bài tập vận dụng:

Bài 48: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị như hình dưới. Quan sát đồ thị và hãy chọn
khẳng định sai trong các khẳng định được cho dưới đây.

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y1.
 B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0



và đồng biến trên khoảng



0;



.
 D. Phương trình f x

 

m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi   1 m 1.

Hướng dẫn giải: 
Chọn B

Vì Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Hướng dẫn giải:

Nếu m 1 thì hàm số f x

 

có hai điểm cực trị là x  1 0 và x  3 0. Khi đó,

hàm số f x

 

chỉ có 1 cực trị. Do đó, m 1 khơng thỏa u cầu đề bài.

Nếu m 3 thì hàm số f x

 

khơng có cực trị. Khi đó, hàm sốf x

 

chỉ có 1 cực
trị. Do đó, m 3 không thỏa yêu cầu đề bài.

Khi m 1 và m 3 thì hàm số f x

 

có hai điểm cực trị là xm và x  3 0.
Để hàm số f x

 

có 3 điểm cực trị thì hàm số f x

 

phải có hai điểm cực trị trái
dấu  m 0.

Vì mZ và m 



5;5



nên m nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Bài 50: Hàm số y f x

 

có đồ thị y f

 

x như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số y f

 

x cắt trục hoành tại x0.
Bảng biến thiên của hàm số y f x

 

Dựa vào bảng trên số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.
Bài 51: Cho hàm số f có đạo hàm là 5( ) (2 )3

( ) 1 3

f x¢ = x x- x+ . Hàm số f x( ) có
bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn giải:

0
x
é =

x  x0 

 

f x – 0 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Mà f ' x

 

không đổi dấu khi qua nghiệm kép, nên hàm số f x( ) có 2 điểm cực trị.
Bài 52: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm

  

 



1 2 2 3

f x  x x x . Tìm số điểm cực trị của f x

 

.
Hướng dẫn giải:

  

 



1 2 2 3 0 2

2
x

f x x x x x

x


  


       


 



x (bội lẻ), 2
3

x  (bội lẻ), x 1(bội chẵn)

Mà f ' x

 

không đổi dấu khi qua nghiệm kép, nên hàm số có 2 điểm cực trị là
2

x , 2
3

x  .

Bài 53: Cho hàm số f có đạo hàm là f

  

x x x1

 

4 x3



3. Tìm số điểm cực trị
của f x

 

.

Hướng dẫn giải:

 

0 10
3
x

f x x

x




   

  


.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ta có

 











0 1 2 4 0

f x   x x  x  







2 2

 

2 2 2



0 1
2
x

x x x

x




      

 


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 1.

Bài 55: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm là f

  

x x x1

 

2 x2



4 x . Số điểm
cực tiểu của hàm số f x

 

là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

  

 



1 2 0 1

2
x

f x x x x x

x





       

 


Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số f x

 

có 1 điểm cực trị.

Bài 56: Hàm số f x

 

xác định và liên tục trên và có đạo hàm

 



 



2 1 1

f x   x x . Khi đó hàm số f x

 

đạt cực đại tại điểm nào?
Hướng dẫn giải:

Ta có '

 

0 2



 

2 1



0 1
1
x

f x x x

x

 

        

 .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1.

Bài 57: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm

 









2 2

f x  x  x x ,  x . Số điểm

cực trị của hàm số là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:

Ta có f

 

x có 4 nghiệm phân biệt là 42; 0; 2.

Tuy nhiên f

 

x chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm 4 2 và 2 nên hàm số f x

 

có 3 điểm cực trị.

Bài 58: Hàm số y= f x

( )

liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số

( )

y= f x trên Knhư hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y= f x

( )

trên K.

Hướng dẫn giải:

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y= f '

( )

x cắt trục Ox tại mấy điểm
mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị y= f '

( )

x tiếp xúc với trục Ox. Ta chọn
đáp án B.

Bài 59: Hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( ) trên khoảng K. Hình vẽ bên là đồ thị của
hàm số f x'( ) trên khoảng K. Hỏi hàm số f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

x
y

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

A.0.

B.1.

C.2.

D.4.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số f

 

x cắt trục hoành tại điểm x = - 1 nên chọn đáp án B.

Bài 60: Hàm số y= f x

( )

liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số

( )

y= f x trên Knhư hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g x

( )

= f x

(

)

trên K?

Hướng dẫn giải:

Ta có g x'

( )

= f '

(

x+1

)

có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

( )

y= f x theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số

( )

(

)

' ' 1

g x = f x+ vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số f

 

x cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A.

Bài 62: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số

( )

f x như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y f x( ) trên đoạn [0;3]?

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số f

 

x cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f

 

x đổi dấu từ âm sang
dương khi qua x = 2 nên chọn đáp án C.

Bài 63: Cho hàm số f x

 

có đồ thị f

 

x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi
đó trên K, hàm số y f x



2018



có bao nhiêu điểm cực trị?

O x

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Đồ thị hàm số f '

(

x - 2018

)

là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f

 

x theo
phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '

(

x - 2018

)

vẫn cắt trục hoành 1 điểm.
Bài 64: Cho hàm số f x

 

xác định trên và có đồ thị của hàm số f

 

x như
hình vẽ bên. Hàm số f x



2022



có mấy điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số f '

(

x + 2022

)

là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f

 

x theo

phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '

(

x + 2022

)

vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm.
Bài 65: Cho hàm số f x

 

xác định trên và có đồ thị của hàm số f

 

x như
hình vẽ . Hàm số y= g x

( )

= f x

( )

+ 4x có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

( )

' ' ' 4

y = g x = f x + có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số f'

( )

x theo phương
Oy lên trên 4 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số g x'

( )

cắt trục hoành tại 1 điểm.

 

f  x

y

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Bài 66:Cho hàm số f x

 

xác định trên và có đồ thị của hàm số f

 

x như
hình vẽ . Hàm số y= g x

( )

= f x

( )

- 3x có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

( )

' ' ' 3

y = g x = f x - có đồ thị là phép tịnh tiến
đồ thị của hàm số f

 

x theo phương Oy xuống
dưới 3 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số g x'

( )

cắt trục hoành tại 3 điểm,
ta chọn đáp án C.

Bài 67: Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên ¡ . Hàm số y= f '

( )

x có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số

( )

2017 2018

2017
x

y= g x = f x + - có bao nhiêu cực trị?

Hướng dẫn giải:

x
y

2
5

1

x3
x2

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

x
y

2
5

1

x3

x2

x1

Ta có ' '

( )

2018
2017

y = g x = f x - . Suy ra đồ thị của hàm số g x'

( )

là phép tịnh tiến
đồ thị hàm số y= f '

( )

x theo phương Oy xuống dưới 2018

2017 đơn vị.
Ta có 1 2018 2

2017

< < và dựa vào đồ thị của hàm số y= f '

( )

x , ta suy ra
đồ thị của hàm số g x'

( )

cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.

Bài 68: Cho hàm số y= f x

( )

xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị của hàm số

( )

y= f x như hình vẽ sau.
Đặt g x

( )

= f x

( )

+ x.

Tìm số cực trị của hàm số g x

( )

?
A. 1.

B. 2.

C. 3.
D. 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có g x'

( )

= f '

( )

x +1.

Đồ thị của hàm số g x'

( )

là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số

( )

y= f x theo phương Oy lên trên 1 đơn vị,

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến 
thiên.

6.1. Lý thuyết cơ sở 
Bảng 3:

Ta có:

[; ]

( )

min

a b y= f x .

Bảng 4:

Ta có:

[; ]

( )

max

a b y= f x .

Bảng 5:

Ta có:

[ ]

( )

[; ]

( )

;

min ;max

a b
a b

y= f a y= f b .Ta có:

[; ]

( )

[; ]

( )

min ;max

a b y= f b a b y= f a .

6.2. Bài tập vận dụng:

Bài 69: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị trên đoạn



2; 4



như hình vẽ bên. Tìm giá

 2; 4

 

max f x

 .

Hướng dẫn giải:

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

min2; 4f x

 

 3 khi x 1.

Vậy

 2; 4

 

max f x 3

  khi x 1.

Bài 70: Hàm số y f x

 

có đồ thị yf x

 

như hình vẽ.

Xét hàm số

   

 1 33 23 2017

3 4 2

g x f x x x x

Trong các mệnh đề dưới đây
(I) g(0)g(1).

(II)

 3;1

min ( ) ( 1)

x  g x  g .

(III) Hàm số g x( )nghịch biến trên ( 3; 1)  .

(IV)

 





 3;1  

max max ( 3), (1)

x g x g g .

Số mệnh đề đúng là

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải: 
Chọn D

Ta có '

 

 '

 

 23  3 '

 

( 23 3)

2 2 2 2

g x f x x x f x x x Căn cứ vào đồ thị ta

có:

'( 1) 2 '( 1) 0
'(1) 1 '(1) 0
'( 3) 3 '( 3) 0

f g

    

 

   

 

     

 

Vẽ Parabol (P):  23 3

2 2

y x x trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số yf x

 

Ta có: Trên ( 3; 1)  thì '

 

 23 3

2 2

f x x x nên g x'

 

    0 x ( 3; 1)

 

O x

y

1
3

-3

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Khi đó BBT của hàm số g x

 

trên đoạn 3;1:
Vậy:

 3;1

min ( ) ( 1)

x  g x  g , g(0)g(1),

hàm số g x( ) nghịch biến trên ( 3; 1) 

và

 





 3;1   

max max ( 3), ( 1)

x g x g g .

Bài 71: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm là f

 

x . Đồ thị của hàm số y f

 

x được
cho như hình vẽ bên.

Biết rằng f

   

0  f 3  f

   

2  f 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

 

f x trên đoạn

 

0;5 ?
Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị y f

 

x trên đoạn

 

0;5 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x

 

Suy ra

 0;5

 

minf x  f 2 .

Từ giả thiết ta có f( )0 + f( )3 = f( )2 + f( )5 nên f( )5 + f( )2 - f ( )3 = f( )0

Hàm số f x

 

đồng biến trên

 

2;5 nên f( )3 > f( )2 hay f( )2 - f( )3 < 0, suy ra

( )0 ( )5 ( )2 ( )3 ( )5

f = f + f - f < f

Vây

 

 

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Bài 72: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên có đồ thị y f

 

x cho như hình
dưới đây. Đặt

 

  



2 1

g x  f x  x . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của g x

 

trên đoạn



3;3



.
Hướng dẫn giải:

Ta có g x

 

2f x

  

 x 1



 

  

2 2



 

g x f x x f x x

        . Quan sát trên đồ thị ta có hồnh độ
giao điểm của f

 

x và y x 1 trên khoảng



3;3



là x1.

Vậy ta so sánh các giá trị g

 

3 , g

 

1 , g

 

Xét

 

  



1 1

3 3

d 2 1 d 0

g x x f x x x

 

       



   

1 3 0

 

g g g g

       .

Tương tự xét 3

 

  



1 1

d 2 1 d 0

g x x  f x  x  x



g

   

3 g 1  0 g

   

3 g 1 .

Xét

 

  



  



3 1 3

d 2 1 d 2 1 d 0

g x x  f x  x  x f x  x  x

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Bài 73: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị như hình bên. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn



2;3 .



Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy trên  2; 3 ta có giá trị của hàm số nhỏ nhất là -2,
lớn nhất là 3 nên

 

2;3

min f x 2
 

    và max 2;3 f x

 

3.

Bài 74: Cho hai hàm số y f x

 

, yg x

 

có đạo hàm là f

 

x , g x

 

. Đồ thị

hàm số y f

 

x và g x

 

được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng f

       

0  f 6 g 0 g 6 . Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số h x

 

 f x

   

g x trên đoạn

 

0;6 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có h x

 

 f

 

x g x

 

0 2

h x   x

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Và f

       

0  f 6 g 0 g 6  f

   

0 g 0  f

   

6 g 6 .
Hay h

   

0 h 6 .

Vậy

 0;6

   

maxh x h 6 ;

 0;6

   

minh x h 2 .

Bài 75: Biết hàm số y f x

 

liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN,
GTNN của hàm số trên đoạn

 

0;2 . Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có

GTLN và GTNN tương ứng là M và m?.

A. 24

1
x
y f

x

 

   . B. y f



2 sin



x cosx



.
C. y f



2 sin



3x cos x 3



. D. y f x



 2x2



. 
Hướng dẫn giải:

Chọn A 
Đặt 24

1
x
t

x



 trên

 

0;2

Ta có:





2
2
4 4
1
x
x
t
x
 
 

0 1
x

t   x trên

 

0;2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0 t 2.

Do đó: Hàm số y f x

 

liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN, GTNN
của hàm số trên đoạn

 

0;2 khi và chỉ khi hàm số y f t

 

liên tục trên có M
và lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

 

x 0 2 6

 

h x  0 

 

h x

 

0
h

 

2
h

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Hướng dẫn giải: 
Ta có max





 

2
A B

A B   . Dấu  xảy ra khi AB.

Ta có max





 

2
2

A B

A B   . Dấu  xảy ra khi A B.

Xét hàm số g x

 

  x2 ax b, có

 

2
a

g x   x  .
Trường hợp 1:



1;3



2
a

     a



6;2



. Khi đó M max 1



 a b, 9 3 a b



.
Áp dụng bất đẳng thức

 

1 ta có M 4 2a 8.

Trường hợp 2:



1;3



a

     a



6;2



. Khi đó

M max 1 , 9 3 ,

4
a

a b a b b

 

 

       

 

 .

Áp dụng bất đẳng thức

 

1 và

 

2 ta có
2

M max 5 ,

4
a
a b b

 
 
     
 
 
2
1

M 20 4

8 a a

    1





M 16 2

8 a

    .

Suy ra M2.

Vậy M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M2 khi
2

2
5

1 9 3

a

a b b

a b a b

 

 
    



    

2
1
a
b
 

   
 .

Do đó a2b 4.

7. Phép biến đổi đồ thị: 
7.1. Lý thuyết cơ sở:

Cho hàm số y= f x

( )

có đồ thị (C). Khi đó, với sốa > 0 ta có:

 Hàm số y= f x

( )

+ a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên
trên a đơn vị.

 Hàm số y= f x

( )

- a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy
xuống dưới ađơn vị.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

 Hàm số y= f x

(

- a

)

có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua
phải a đơn vị.

 Hàm số

( )

(

)

0
0
f x khi x

y f x

f x khi x

ì >

ïï

= = íï

-£

ïỵ có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên
trái Oy.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.

 Hàm số

( )

f x khi f x

y f x

f x khi f x

ì >

ïï

= =

íï-£

ïỵ có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C)
nằm dưới

7.2. Bài tập vận dụng:

Bài 77: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 2
1



x
m

x

có đúng hai nghiệm phân biệt ?
Hướng dẫn giải:

*Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

 

2
1



 



x
y f x

x có đồ thị

 

C ta được đồ thị như hình
bên dưới.

*Từ đồ thị

 

C suy ra đồ thị hàm số 2

 



 



x

y f x

x có đồ thị

 

C1 bằng cách:
Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số

 

C phần bên phải trục tung.

Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung.
Ta được đồ thị

 

C1 như hình bên dưới.

O x

y
2
2
1

1 O
x
y
2
1
2

 O x

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

*Từ đồ thị hàm số

 

C1 suy ra đồ thị hàm số 2

 



 



x

y f x

x có đồ thị

 

C2 bằng
cách:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị

 

C1 nằm trên trục Ox.

Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục Ox của đồ thị

 

C1 qua trục Ox.
Ta được đồ thị

 

C2 như hình vẽ bên trên.

Quan sát đồ thị

 

C2 ta được phương trình

2
1





x

m

x có đúng hai nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi 0

1 2




  


m

m .

Bài 77:Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tìm số nghiệm của phương trình f x



 1



Hướng dẫn giải:

Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số





y f x như sau :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x



 1



2có 5 nghiệm.

Bài 78:Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số

2 2

 

y x x tại 6 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

 





4 2

2 2 2 4

    

y g x x x x x

Ta có

 

8 3 8 8



2 1



0 0
1




         



x

g x x x x x

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Bài 79: (câu 49-đề 101-TNTHPTQG 2017-2018) Cho hàm số y f x( ).

Đồ thị của hàm số y f x( ) như hình bên.

Đặt 2

( ) 2 ( )

h x  f x x .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. h(4)  h( 2) h(2).

B. h(4)  h( 2) h(2).

C. h(2)h(4) h( 2).

D. h(2)  h( 2) h(4).

Hướng dẫn:

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

( )

(

)

( )

(

)

2
2
2

2 2 '

2 ' 0

2 2 .

h h h x dx

f x x dx

h h

-- - =

é ù

= ë - û >
Þ >

-ị

ị

Hoặc

( )

4
2
2
2

4 2 '

2 ' 0

4 2 .

h h h x dx

f x x dx

h h

-- =

é ù

= ë - û <
Þ <

ị

( )

(

)

( )

(

)

4 4 2 4

2 2 2 2

1 2

4 2 ' 2 ' 2 ' 2 '

2 2 0 4 2 .

h h h x dx f x x dx f x x dx f x x dx

S S h h

- -

-é ù é ù é ù

- - = = ë - û = ë - û + ë - û

= - > Þ >

-ị

ị

Như vậy ta có:h

(

- 2

)

< h

( )

4 < h

( )

2 . Ta chọn đáp án C.

Bài 80: (câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018) Cho hàm số y f x

 

.
Đồ thị của hàm số y f

 

x như hình bên.

Đặt

 

  



2 1

g x  f x  x .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g

 

3 g

 

 3 g

 

1 .

B. g

 

 3 g

 

3 g

 

1 .
C. g

 

1 g

 

 3 g

 

3 .
D. g

 

1 g

 

3 g

 

3 .
Hướng dẫn:

Ta có:

 

  



  



' 2 ' 2 1

2 ' 1

g x f x x

f x x

  

    

Ta vẽ đường thẳng y= x+1.

O 1 3 x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ta có:

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

(

)

1
3
1
3

1 3 g'

2 ' 1 0 1 3 .

g g x dx

f x x dx g g

-- - =

é ù

= ë - + û > Þ >

-ị

ị

( )

( ) (

)

( )

3
1
3
1

3 1 g'

2 ' 1 0 3 1 .

g g x dx

f x x dx g g

- =

é ù

= ë - + û < Þ <

ị

( )

(

)

( )

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( )

(

)

3
3
3
3
1 3
3 1
1 2

3 3 g'

2 ' 1

2 ' 1 2 ' 1

2 2 0

3 3 .

g g x dx

f x x dx

f x x dx f x x dx

S S

g g

-- - =
é ù
= ë - + û
é ù é ù
= ë - + û + ë - + û

= - >
Þ >

-ị

ị

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Bài 81: (câu 46-đề 103-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị
của hàm số y f

 

x như hình vẽ. Đặt g x

 

2f x

 

x2. Mệnh đề nào dưới đây 
đúng?

A. g

 

3 g

 

 3 g

 

1 . B. g

 

1 g

 

3 g

 

3 . 
C. g

 

1 g

 

 3 g

 

3 . D. g

 

 3 g

 

3 g

 

1 .
Hướng dẫn:

Ta có: g x'

 

2 'f

 

x 2x2f '

 

x x g x'

 

  2 x f '

 

x 
Ta vẽ đường thẳng y= - x.

(

)

( )

(

)

( )

1 1

3 3

3 1 ' 2 ' 0 3 1 .

g g g x dx x f x dx g g

-é ù

- - = -

ò

ị

ë- - û > Þ - >

( )

3 3

1 1

1 3 ' 2 ' 0 3 1 .

g - g = -

ò

g x dx=

ò

éë- -x f x dxùû < Þ g > g

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 1 3

1 2

3 3 1

3 3 g' 2 ' 2 ' 2 2 0

3 3 .

g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

-é ù é ù

- - = - = ë- - û + ë- - û = - >

Þ - >

ị

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Bài 82:(câu 47-đề 104-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số y f x( ).
Đồ thị của hàm số ,

( )

y f x như hình bên.

Đặt 2

( ) 2 ( ) ( 1)

g x  f x  x .
 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. g(1)g(3) g( 3).

B. g(1)  g( 3) g(3). 
C. g(3)  g( 3) g(1). 
D. g(3)  g( 3) g(1).
Hướng dẫn:

Ta có:

 

  



  



 





 

' 2 ' 2 1 2 ' 1 ' 2 1 '

g x  f x  x  f x  x  g x     x f x 
Ta vẽ đường thẳng y= -

(

x+1

)

S1

S2

   

 





 

3 3

3 1 ' 2 1 ' 0 3 1 .

g g g x dx x f x dx g g

 

   







       

   

 





 

1 1

1 3 ' 2 1 ' 0 3 1 .

g g  



g x dx



  x f x dx  g g

   

 





 





 

3 1 3

1 2

3 3 1

3 3 ' 2 1 ' 2 1 ' 2 2 0

3 3

g g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

 

                

  



</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

E.BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1. Cho hàm số bậc 3:

 

3 2

y f x ax bx  cx d.

x
y

-2
2

O
-1

-1
O
2

-2
1

(I) (II)

x
y

O
1

x
y

-1 O
2

(III) (IV)

Hãy chọn đáp án đúng?

A. Đồ thị (IV) xảy ra khi a0 và f

 

x 0 có nghiệm kép.

B. Đồ thị (II) xảy ra khi a0 và f

 

x 0 có hai nghiệm phân biệt.
C. Đồ thị (I) xảy ra khi a0 và f

 

x 0 có hai nghiệm phân biệt.
D. Đồ thị (III) xảy ra khi a0 và f

 

x 0 vô nghiệm.

Câu 2. Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ sau.
Tính S a b.

A. S 1. B. S 2. C. S1 D. S0.





</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

A. a0, d0. B. a0, c 0 b. 
C. a, b, c, d0. D. a0, d0, c0.
Câu 4. Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên¡ khi
nào?

A. 20, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

  



   

 . B. 2

0, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

  



   

 .

C. 20, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

  



   

 . D. 2

0; 3 0

a b c

a b ac

  


   

 .

Câu 5. Giá trị của a, b, c để hàm số yax3bx c có đồ thị như hình dưới đây 
là.

A. a 1,b 3,c 0   B. a 1,b 3,c 0

C. a 1,b 3,c 0  D. a 1,b  3,c 0

Câu 6. Đường cong hình bên là đồ thị hàm số 3 2

yax bx  cx d.
Xét các mệnh đề sau:

(I) a 1 (II) ad 0

(III) d  1 (IV) a c  b 1
Tìm số mệnh đề sai.

A. 2. 
B. 1. 
C. 4 
D. 3.

x
1

1
2

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

x
y

A. a d, 0. 
 B. a0, c 0 b. 
C. a b c d, , , 0. 
 D. a d, 0, c0.

Câu 8.Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?

A. a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0.
C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.
Câu 9. Cho hàm số bậc ba 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của
a b c d; ; ; là:

A. a< 0;b< 0;c< 0;d< 0. B. a< 0;b< 0;c> 0;d< 0.
C. a< 0;b> 0;c< 0;d< 0. D. a> 0;b> 0;c> 0;d< 0.
Câu 10.Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

A.a0,b0,c0,d0 B. a0,b0,c0,d0
C. a0,b0,c0,d0 D. a0,b0,c0,d0
Câu 12.Cho hàm số 3 2

( 0)

yax bx  cx d a có đồ thị sau. Khi đó, khẳng định
nào sau đây là đúng?

A.a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0.

C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.

Câu 13.Cho hàm số bậc ba 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của

a,b, c, d là

A.a0;b0;c0;d0. B. a0;b0;c0;d0.
C. a0;b0;c0;d0. D. a0;b0;c0;d0.
Câu 14.Cho hàm số 3 2

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

A.ab0,bc0,cd0. B. ab0,bc0,cd0.
C. ab0,bc0,cd0. D. ab0,bc0,cd0.
Câu 15.Cho hàm số bậc ba 3 2

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ.Khẳng định
nào dưới đây đúng?

A.a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0.
C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.
Câu 16.Cho đồ thị hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị (như hình vẽ).Khẳng

định nào dưới đây đúng?

A.a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0. 
C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.
Câu 17:Giả sử hàm số 4 2

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

-2 -1 1 2

-2
-1
1
2

x
y

A. a0, b0, c1. B. a0, b0, c1.
C. a0, b0, c1. D. a0, b0, c0.
Câu 18: Giả sử hàm số 4 2

yax bx c có đồ thị như hình vẽ. Khi đó:

A. a0, b0, c0. B. a0, b0, c0.
C. a0, b0, c0. D. a0, b0, c0.
Câu 19:Cho hàm số 4 2

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?

A. a0, b0, c0. B. a0, b0, c0.

C. a0, b0, c0. D. a0, b0, c0.

(I) (II)

Câu 20: Hỏi a và b thỏa mãn điều kiện nào để hàm số 4 2





yax bx c a có
đồ thị dạng như hình bên?

O 
y

x

-2 2

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

x
y

O

A. a0 và b0. B. a0 và b0.
C. a và b0. D. a0 và b0.
Câu 21: Cho hàm số 4 2

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào
sau đây đúng ?

A. a0, b0,c0 B. a0, b 0,c 0 
C. a0, b 0,c 0 D. a0, b0,c0
Câu 22: Cho hàm số 4 2

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào
sau đây đúng ?

A. ab, b 0,c 0 B. ab, b0,c0
C. Đáp án khác D. ab, b0,c 0

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

A. a0, b 0,c 0 B. a0, b0,c 0
C. a<0; b<0; c <0 D. a0, b 0,c 0 

Câu 24: Cho hàm số yax4bx2c có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào
sau đây đúng ?

A. a0, b 0,c 0 B. a0, b0,c0
C. a<0; b<0; c >0 D. a0, b0,c0

Câu 25: Cho hàm số yax4bx2c có đồ thị như hình vẽ bên cắt trục hoành tại
4 điểm phân biệt A, B, C, D. Biết AB=BC=CD, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2

0; 0; 0;100 9

a b c b  ac B. 2

0; 0; 0;9 100
a b c b  ac

C. 2

0; 0; 0;9 100

a b c b  ac D. 2

0; 0; 0;100 9
a b c b  ac

Câu 26: Hàm sốyax4bx2c a, ( 0) có đồ thị như hình vẽ. Xác định dấu của a,

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

A.a0,b0,c0 B. a0,b0,c0
C. a0,b0,c0 D. a0,b0,c0
Câu 27: Cho đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương 4 2

yax bx c có đồ thị như hình
bên dưới. Dấu của các hệ số a, b, c là:

A.a0,b0,c0. B. a0,b0,c0.
C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.
Câu 28: Cho hàm số 4 2

yax bx ccó đồ thị như hình vẽ. Xác định các hệ số a, b
và c.

A.a1;b 2;c0 B. 1; 2; 1

3 3

a b  c 
C. a1;b 2;c 1 D. 1; 2; 0

3 3

a b  c

Câu 29: Cho hàm số 4 2

( )

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

A. ( 1;2). B. (0;2). C. ( 2;2). D.(1; 2). 
Câu 30: Cho hàm số 4 2

( 0)

yax bx c a có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trong
các kết luận sau, đâu là kết luận đúng?

A.a0,b0,c0. B. a0,b0,c0.
C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.

Câu 31: Cho hàm sốy f x( ). Biết f x( )có đạo hàm là f x'( )và hàm số f x'( )có đồ
thị như hình vẽ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm sốy f x( )chỉ có hai điểm cực trị.
B. Hàm sốy f x( )đồng biến trên khoảng (1;3).
C. Hàm sốy f x( )nghịch biến trên khoảng



; 2 .



D. Đồ thị của hàm sốy f x( ) chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía
của trục hồnh.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Câu 33: Cho hàm sốy f x( ) có đồ thịy f x'( )cắt trục Ox tại ba điểm có hồnh
độ a

A.( ( )f b  f a( ))( ( )f b  f c( ))0 B. f c( ) f b( ) f a( ). 
C. f c( ) f a( ) 2 ( ) f b 0. D. f a( ) f b( ) f c( ).

Câu 34: Hàm sốy f x( ) có đồ thịy f x'( )cắt trục Ox tại ba điểm có hồnh độ

a b c  như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f c( ) f a( ) f b( ) B. f b( ) f a( ) f c( )
C. f a( ) f b( ) f c( ) D. f c( ) f b( ) f a( )

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

C. (C3), (C2), (C1). D. (C1), (C3), (C2).
Câu 36: Cho hàm sốy f x( ) ax b

cx d



 

 có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị

của m để phương trình f x( ) m có hai nghiệm phân biệt.

A.m2 và m1. B.0 m 1.

C. m2 và m1. D. 0 m 1 và m1.

Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như trong hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các 
giá trị thực của m để đồ thị hàm sốy f x( m) có 5 điểm cực trị.

A.(1;) B. (;1) C. ( ; 1) D. ( 1; )

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1

Câu 39: Cho hàm số f  f x( ) có đồ thị f x'( )của nó trên khoảng K như hình
vẽ.Khi đó trên K, hàm số f x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 40: Cho hàm sốy f x( ) có đạo hàm liên tục trên( ; )a b và đồ thị hàm

sốy f x'( ) được cho như hình bên. Hỏi hàm sốy f x( )có bao nhiêu điểm cực trị
trên( ; )a b ?

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 41: Cho hàm sốy f x( ) có đạo hàm f x'( ) liên tục trên và đồ thị của hàm
sốy f x'( ) trên đoạn



2;6



như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.

A.

 2;6 ( ) (6).

xmax f x   f B. xmax f x  2;6 ( ) f(2).
C.

2;6 ( ) ( 1).

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Câu 42: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên đoạn



2;2



, có đồ thị hàm

sốy f x'( ) như hình vẽ. Tìm giá trị x0 để hàm sốy f x( ) đạt giá trị lớn nhất trên
đoạn



2;2



A.x0 1 B. x0  1 C. x0  2 D. x0 2

Câu 43: Hình vẽ bên là đồ thị hàm sốy f x'( ) trên đoạn

 

0;4 , với f x( )là hàm số
liên tục trên đoạn

 

0;4 , có đạo hàm trên khoảng(0; 4).Hỏi mệnh đề nào sau đây

đúng?

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

A.y ln 1 .
x

 

    B. ylnx C. y lnx D. yln x

Câu 45: Cho hàm sốy f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm
sốy f x( 1)

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng, kỳ thi
chọn học sinh giỏi đã xuất hiện thường xuyên dạng toán đồ thị hàm số ẩn . Tôi hy
vọng thông qua đề tài này góp chút kinh nghiệm của mình giúp người học có
thêm sự say mê, hứng thú, u thích bộ mơn Tốn nói chung và chuyên đề về
hàm ẩn.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

KẾT THÚC SÁNG KIẾN

Với việc tập trung phân chia dạng toán một cách chi tiết khoa học và đơn
giản đề tài này đã giúp cho học sinh và giáo viên có được sự tự tin và hứng thú
khi học phần đọc đồ thị từ hàm ẩn.

Đề tài này còn là cuốn tài liệu tham khảo bổ ích và thiết thực cho giáo viên
dạy chuyên đề lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12 .

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Vĩnh Yên, ngày 2 tháng 3 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
mình viết. Khơng sao chép nội dung 
của người khác.

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Hải

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81></div>

Sáng kiến kinh nghiệm dạy học môn văn trung học cơ sở