Giao an Giai tich 11 Co ban Chuong 3

CHƯƠNG III:
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Tiết 37:
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I. Mục tiêu:
Qua bài học HS cần nắm:
1. Kiến thức:
- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định.
2.Kỹ năng:
- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.
3. Tư duy:
- Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng.
4. Thái độ:
- Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: Phiếu học tập.
- HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học.
III. Phương pháp:
- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Phương pháp qui nạp toán học.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp
- Phát phiếu học tập số 1
Xét hai mệnh đề chứa biến.
P
(n)
: “
3 100
n

n< +
” và Q
(n)
: “2
n
> n” với
*
n N
∈
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P
(n)
, Q
(n)
đúng hay sai?
n 3
n
n + 100 P
(n)
? n 2
n
Q
(n)
?

1
2
3
4
5
1

2
3
4
5
b. Với mọi
*
n N∈
thì P
(n)
, Q
(n)
đúng hay sai?
- H1: Phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong
TH TQ không ?
- H2: Trở lại MĐ Q
(n)

, thử kiểm tra tiếp với một giá trị
6n
≥
? Có thể khẳng định Q
(n)

đúng với mọi
*
n N
∈

chưa ?
- H3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế

nào? Muốn chứng tỏ kết luận sai, ta phải làm thế nào?
HĐTP2: Phương pháp qui nạp.
-GV giới thiệu phương pháp qui nạp
- H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1
nghĩa là gì ?
- Tiếp nhận vấn đề.
- Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình
bày kết quả câu a).
- Các nhóm thảo luận câu b) và nêu ý kiến
của nhóm mình.
- HS lần lượt trả lời các câu hỏi
- Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp
toán học
- HS giải thích điều mình hiểu
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 1

HĐ2: Ví dụ áp dụng.
Chứng minh rằng với mọi
*n N
∈
thì:
1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) = n
2
(1).
- Hướng dẫn:
B
1
) n = 1: (1) đúng ?
B
2

) Đặt S
n
= 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1)
- Giả sử (1) đúng với
1n k
= ≥
, nghĩa là có giả thiết
gì ?
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh
điều gì ? Hãy c/m điều đó ? ( chú ý đến giả thiết qui nạp)
- Hoàn thành B
1
, B
2
ta kết luận ?
VT = 1 , VP = 1
2
= 1
→
(1) đúng.
S
k
= 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) = k
2
C/m: S
k+1
= 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) +

[ ]
2( 1) 1k

+ −
( )
2
1k= +
Ta có: S
k+1
= S
k
+
[ ]
2( 1) 1k + −
=
2
2 1k k+ +
( )
2
1k= +
Vậy (1) đúng với mọi
*
n N∈
HĐ3: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm)
Chứng minh với mọi
*
n N
∈
thì
( 1)
1 2 3 ...
2
n n

n
+
+ + + + =
- Yêu cầu hs làm theo nhóm
- GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết
- Gọi bất 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa chữa
* GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi
số tự nhiên
n p
≥
thì ta thực hiện ntn ?
- Làm việc theo nhóm
- HS trình bày bài giải
* Chú ý:
Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự
nhiên
n p
≥
thì:
- B
1
ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p.
- B
2
ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên
bất kì
n k p
= ≥
và phải chứng mỉnhằng
nó cũng đúng với n = k + 1.

HĐ4: Luyện tập ( Phát phiếu học tập số 2)
Cho hai số
3
n
và 8n với
*
n N∈
a) SS
3
n
với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
HD: Điền vào bảng sau
n 3
n
? 8n
1
2
3
4
5
b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng phương
pháp qui nạp
HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự đoán
- Phát biểu lại bài toán và chứng minh
+ Cho hs làm theo nhóm
+ GV quan sát và hd khi cần thiết
+ Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các nhóm
khác nhận xét và bổ sung
( nếu cần)
a)

n 3
n
? 8n
1
2
3
4
5
3
9
27
81
243
<
<
>
>
>
8
16
24
32
40
b) “ Chứng minh rằng
3
n
> 8n với mọi n
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 2

+ Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3 là số nhỏ

nhất sao cho
3
n
> 8n .
≥
3 ”
- HS chứng minh bằng phương pháp qui
nạp

HĐ4: Củng cố và hướng dẫn học tập :
- Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạpvà chỉ rõ thực chất của bước 2 là gì ?
- Xem lại các bài đã gải và ví dụ 2 trang 81
- Làm các bài tập 1 – 5 sgk.
-----------------------------------------------------------------------
Tiết: 38
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I.Mục tiêu:
Qua bài học HS cần nắm:
1. Kiến thức:
- Củng cố kiến thức cơ bản về phương pháp qui nạp toán học.
2.Kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh một mệnh đề có chứa số tự nhiên n bằng phương pháp qui nạp.
3. Tư duy:
- Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng.
4. Thái độ:
- Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: Phiếu học tập.
- HS: Kiến thức phương pháp qui nạp và bài tập 1 – 5 (sgk).
III. Phương pháp:

- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1) Nêu cách chứng minh MĐ có chứa số tự nhiên
*
n Î ¥
bằng phương pháp qui nạp?
Em hiểu mệnh đề đúng với n = k và n = k + 1 có nghĩa
như thế nào ?
- Gọi học sinh TB trả lời
2) Chứng minh
*
n Î ¥
, ta có đẳng thức

2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
- Gọi học sinh khá làm bài tập
1) HS trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ
2) B1: n = 1 : VT = 1
2
= 1, VP =
1.2.3

1
6
=
Vậy đẳng thức đúng với n = 1.
B2: Giả thiết đẳng thức đúng với một số
tự nhiên bất kỳ
1n k
= ≥
, tức là:
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
k k k
k
+ +
+ + + + =
Ta chứng minh :
2 2 2 2
1 2 ... ( 1)
( 1)( 2)(2 3)
=
6
k k
k k k
+ + + + + =
+ + +
HĐ2: Bài tập 2 (Chia lớp thành 6 nhóm )
Giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm
Nhóm 1 và 3: Bài 2a)

Nhóm 2 và 4: Bài 2b)
- GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần
- Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn
thành nhiệm vụ nhiệm vụ
Nhóm 1 và 3: C/m
*
n" Î ¥
, ta có
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 3

- Gi i din ca nhúm trỡnh by
- Cho cỏc nhúm khỏc nờu nhn xột v b sung
- GV: khng nh li kt qu
Bi 2a) t
3 2
3 5
n
u n n n= + +
+ n = 1:
1
9 3u = M
+ GS
( )
3 2
1, ó 3 5 3
k
k tac u k k k = + + M
Ta c/m
1
3

k
u
+
M
( )
2
1
3 3 3 3
k k
u u k k
+
ộ ự
= + + +
ờ ỳ
ở ỷ
M
Vy
3
n
u M
vi mi
*
n ẻ Ơ
Bi 2b) t
4 15 1
n
n
u n= + -
+
11

1 : 18 9n u= = M
+ GS:
( )
1, 4 15 1 9
k
k
k u k = + - M
Ta c/m
1
9
k
u
+
M
( )
1
4 9 5 2 9
k k
u u k
+
ộ ự
= - -
ờ ỳ
ở ỷ
M
Vy
9
n
u M
vi mi

*
n ẻ Ơ

3 2
3 5n n n+ +
chia ht cho 3
Nhúm 2 v 4: C/m
*
n" ẻ Ơ
, ta cú

4 15 1
n
n+ -
chia ht cho 9
H3: Bi tp 3 (Chia lp thnh 6 nhúm )
Giao nhim v cho mi nhúm
Nhúm 1 v 3: Bi 3a)
Nhúm 2 v 4: Bi 2b)
- GV: Quan sỏt v hng dn khi cn
- Gi i din ca nhúm trỡnh by
- Cho cỏc nhúm khỏc nờu nhn xột v b sung
- GV: khng nh li kt qu
Bi 3a)
+ n = 2: VT = 9, VP = 7
đ
bt ng thc ỳng
+ GS
2, ó 3 3 1 (*)
k

k tac k > +
Ta c/m
1
3 3( 1) 1
k
k
+
> + +
1 1
(*) 3 9 3 3 3 4 6 1
k k
k k k
+ +
> + > + + -
Vỡ 6k -1 >0 nờn
1
3 3( 1) 1
k
k
+
> + +
Bi 3b) Tng t
- Cỏc nhúm tỡm hiu v tin lun hon
thnh nhim v nhim v
H4: Bi tp 4
a) Gi HS tớnh
1 2 3
, àS S v S
?
b) T cõu a), hóy d oỏn CT tng quỏt

n
S
?
1
2
3
1 1
)
1.2 2
1 1 1 2
1.2 1.2 2.3 3
1 1 1 3
1.2 2.3 3.4 4
a S
S
S
= =
= + =
= + + =
Hong ỡnh Hp _ GV: Trng THPT ụ lng III _ ụ lng _ Nghờ an 4

Chứng minh Ct đó bằng PP qui nạp
+ n = 1
1
?S®
+ GS (1) đúng vứi n = k
³
1, tức là ta có điều gì ?

C/m (1) đúng với n = k +1, tức là chứng minh điều gì ?

Gọi HS lên chứng minh
b)
(1)
1
n
n
S
n
=
+
+ n = 1
1
1 1
2 1 1
S = =
+
. Vậy (1) đúng
+ GS
1
1, ã
1
k
k tac S
k
³ =
+
Ta C/m
1
1
2

k
k
S
k
+
+
=
+
1
1
( 1)( 2)
1 1
1 ( 1)( 2) 2
k k
S S
k k
k k
k k k k
+
= +
+ +
+
= + =
+ + + +
Vậy (1) được chứng minh
HĐ5:
* Củng cố:
- Ôn lại kiến thức về phương pháp qui nạp
- Làm các bài tập còn lai
- Xem bài đã giải.

- Xem và soạn trước bài dãy số.
----------------------------------------------------------------------
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 5

Tiết: 39
DÃY SỐ (Tiết 1)
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng, giảm và bị chặn của dãy số
2.Kỹ năng:
- Biết cách tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
3. Tư duy:
- Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng.
4. Thái độ:
- Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: Phiếu học tập.
- HS: Kiến thức phương pháp qui nạp.
III. Phương pháp:
- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Định nghĩa dãy số.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1: Ôn lại về hàm số
Cho hàm số
*
1
( ) ,
2 1
f n n

n
= Î
-
¥
. Tính f(1),
f(2), f(3), f(4), f(5) ?
Từ HĐ trên GV dẫn dắt HS đi đến đ/n dãy số
HĐTP2: Định nghĩa dãy số vô hạn

*
µm è :
( )
H s u
n u n
®¥ ¡
a
Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
,…, u
n
,…,
u
1
: số hạng đầu
u
n

: số hạng thứ n ( số hạng tổng quát)
Ví dụ: (Sgk)
HĐTP3: Định nghĩa dãy số hữu hạn
- GV: Giới thiệu đn
- Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
,…, u
m
u
1
: số hạng đầu
u
m
: số hạng cuối
Ví dụ:
I. Định nghĩa
- HS suy nghĩ và trả lời
1 1 1
(1) 1; (2)
2.1 1 2.2 1 3
1 1 1 1
(3) ; (4)
2.3 1 5 2.4 1 7
1 1
(5)
2.5 1 9

f f
f f
f
= = = =
- -
= = = =
- -
= =
-
1. Định nghĩa dãy số vô hạn
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
HĐ2: Cách cho một dãy số
HĐTP1: Ôn tập về cách cho hàm số
GV: Phát phiếu học tập
Hãy nêu các phương pháp cho một vài hàm số và ví dụ
minh hoạ ?
- Cho các nhóm thảo luận và trình bày kết quả
HĐTP2: Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
* Ví dụ:
II. Cách cho dãy số
- Các nhóm thảo luận và trình bày kết quả
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng
tổng quát
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 6

a) Cho dãy số (u
n
) với
3

( 1) . (1)
n
n
n
u
n
= -
- Từ CT (1) hãy xác định số hạng thứ 3 và thứ 4 của dãy
số ?
- Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ?
b) Cho dãy số (u
n
) với
1
n
n
u
n
=
+
.
- Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ?
* HĐ củng cố (GV phát phiếu học tập)
Viết năm số hạng đầu và số hạng TQ của dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
- GV: Phân tích ví dụ 4 trang 87 để học sinh hiểu
- Cho học sinh nêu thêm một vài ví dụ khác ?
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

* Ví dụ: Dãy số Phi-bô-na-xi là dãy số (u
n
) được xđ:

1 2
1 2
1
í i 3
n n n
u u
u u u v n
- -
ì
ï
= =
ï
í
ï
= + ³
ï
î
Hãy nêu nhận xét về dãy số trên ?
®
GV: Giới thiệu cách cho dãy số bằng pp truy hồi
* HĐ củng cố:
Viết mười số hạng đầu của dãy số Phi-bô-na-xi ?
- Gọi hs trình bày
HĐTP3: Biểu diễn hình học của dãy số
- GV: Giới thiệu cách biểu điễn hình học của dãy số
3

3
3
3
( 1) 9
3
u = - = -
,
4
4
3
3 81
( 1)
4 4
u = - =
9 81 3
3, , 9, ,...,( 1) ,...
2 4
n
n
n
- - -
1 2 3
, , ,..., ,...
2
2 1 3 1 1
n
n+ + +
- Các nhóm thảo luận và trình bày kq
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
- HS lấy thêm ví dụ

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
- HS nêu nhận xét
III. Biểu diễn hình học của dãy số
HĐ3: Luyện tập
Bài1.Viết năm số hạng đầu của các dãy số của các dãy
số có số hạng TQ u
n
cho bởi CT sau:
)
2 1
n
n
n
a u =
-

2
)
1
n
n
b u
n
=
+
Gọi HS TB yếu giải, cho lớp NX
Bài1
2 3 4 5
) 1, , , ,
3 7 15 31

a
.
1 2 3 4 5
) , , , ,
2 5 10 17 26
b
Bài2. Cho dãy số (u
n
), biết

1 1
1, 3 í i 1
n n
u u u v n
+
= - = + ³
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
- Gọi HS TB giải, cho lớp NX
b) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:
u
n
= 3n – 4
- Cho các nhóm thảo luận
- GV quan sát, hướng dẫn khi cần
- Cho nhóm hoàn thành sớm nhất trình bày
Bài2
a) -1, 2, 5, 8, 11
b)
+) n =1: u
1

= 3.1 – 4 = -1 ( đúng)
+) GS có u
k
= 3k – 4,
1k ³
Ta có: u
k+1
= u
k
+ 3 = 3(k + 1) – 4
Vậy CT được c/m
Bài 3 Dãy số (u
n
) cho bởi:

2
1 1
3; 1 , 1
n n
u u u n
+
= = + ³
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
- Gọi HS TB giải
Bài 3
a)
3, 10, 11, 12, 13
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 7

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u

n
và chứng
minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
- Cho các nhóm thảo luận, nhận xét về năm số hạng đầu
của dãy số, từ đó dự đoán công thức số hạng tổng quát
u
n.

- Yêu cầu HS về nhà chứng minh tương tự bài 2b)

) 3 9 1 8
10 2 8
11 3 8
12 4 8
13 5 8
b = = +
= +
= +
= +
= +
….
TQ:
*
8,
n
u n n= + Î ¥
HĐ4: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
Củng cố:
-Nêu khái niệm dãy số, dãy số hữu hạn.
-Có bao nhiêu cách cho dãy số? Đó là những cách nào?Lấy ví dụ minh họa.

Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lý thuyết theo SGK.
- Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-----------------------------------------------------------------------
Tiết 40.
DÃY SỐ(Tiết 2)
I.Mục tiêu:
Qua bài học này HS cần:
1.Về kiến thức:
- Biết biểu diễn hình học của mọt dãy số.
- Biết tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số.
2. Về kỹ năng:
- Làm được các bài tập cơ bản trong SGK; Chứng minh được tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số đơn
giản cho trước.
3.Về tư duy và thái độ:
Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,…
Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác.
II.Chuẩn bị của GV và HS:
GV: Giáo án, các dụng cụ học tập,…
HS: Soạn bài trước khi đến lớp, chuẩn bị bảng phụ, …
III. Phương pháp:
Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm
IV.Tiến trình bài học:
*Ổn định lớp, chia lớp thành 6 nhóm.
*Kiểm tra bài cũ:
-Nêu khái niệm dãy số và dãy số hữu hạn.
-Áp dụng: Cho dãy số (u
n
) với số hạng tổng quát là u
n

=
2
1
n
n
+
. Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) và cho điểm.
*Luyện tập:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
HĐ1: (Biểu diễn hình học của một dãy số)
HĐTP1:
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 8

Ta thấy rằng dãy số là một hàm số xác định trên
*
¥
nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Trong mp
tọa độ dãy số được diễu diễn bằng các điểm (n;u
n
).
Ví dụ: Cho dãy số
1
1
n
u
n
= +
, viết 5 số hạng đầu của
dãy số và biểu diễn các điểm (n; u

n
) tương ứng tìm
được của 5 số hạng trên mp tọa độ.
O 1 2 3 4 5
u1
u2
u3
u4
u5
HĐTP2:
Trong ví dụ 1 trên ta thấy dãy số (u
n
) như thế nào khi
n tăng dần?
Với một dãy số có tính chất trên được gọi là dãy số
tăng và ngược lại được gọi là dãy số giảm.
Trước khi đi qua tìm hiểu khái niệm dãy số tăng giảm
các em hãy làm ví dụ sau.
GV cho HS cả lớp xem nội dung ví dụ HĐ 5 trong
SGK, cho các em thảo luận theo nhóm để tìm lời giải.
GV gọi HS trình bày lời giải và gọi HS nhóm khác
nhận xét, bổ sung và GV nêu lời giải chính xác (nếu
HS không trình bày đúng)
Dãy số (u
n
)như thế được gọ là dãy số giảm, dãy số
(v
n
) được gọi là dãy số tăng. Vậy thế naod là một dãy
số tăng? Một dãy số giảm?

GV nêu định nghĩa và yêu cầu HS xem nội dung
trong SGK.
HĐTP 3: (bài tập áp dụng về tính tăng giảm)
GV nêu ví dụ và phân tích hướng dẫn giải:
Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u
n
) với:
HS chú ý theo dõi trên bảng…
HS thảo luận và cử đại diện lên bảng viết năm số
hạng đầu của dãy số lên bảng:
1 2 3 4 5
3 4 5 6
2; ; ; ;
2 3 4 5
u u u u u= = = = =
HS suy nghĩ biểu diễn 5 số hạng trên mp tọa độ.
HS suy nghĩ trả lời …
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử đại
diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
( )
1
1
) 1 ; 5 1 1
1
n n
a u v n
n
+

= + = + −
+
*
*
*
1
1 1
) cã: ,
1
1 1
1 1 ,
1
,
n n
b Ta n
n n
n
n n
u u n
+
< ∀ ∈
+
⇔ + < + ∀ ∈
+
⇔ < ∀ ∈
¥
¥
¥
( )
( )

*
*
*
*
1
cã : 1 ,
5 1 5 ,
5 1 1 5 1,
,
n n
Ta n n n
n n n
n n n
v v n
+
+ > ∀ ∈
⇔ + > ∀ ∈
⇔ + − > − ∀ ∈
⇔ > ∀ ∈
¥
¥
¥
¥
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải của các
bài tập như được phân công.
HS đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải
của nhóm (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép…
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 9

1 2
n
n
u
n
−
=
GV phân công nhiệm vụ cho các nhóm giải các bài
tập còn lại trong BT 4 SGK trang 92.
GV cho các nhóm thảo luận để tìm lời giải và gọi HS
đại diện lên bảng trình bày lời giải có giải thích.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu HS không
trình bày đúng lời giải).
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)Xét dãy số
1
1 1 1 1
2 2
1 1
n n
u u
n n n n
+
 
− = − − − = −
 ÷
+ +
 
*

1
1 1 1 1
× nª u 0,
1 1
n n
V n u n
n n n n
+
< − = − < ∀ ∈
+ +
¥
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b)Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
*
1 1 1 1
1 1 1 2 1
2 2
= 0,
1 2 1 2
n n
n n n n
u u
n n n n
n n n n
n
n n n n
+

+ − − −
− = − = −
+ + + + +
+ − − +
= > ∀ ∈
+ + + +
¥
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
HĐ2: (Tìm hiểu về dãy số bị chặn)
HĐTP1: (Ví dụ để đi đến định nghĩa dãy số bị
chặn)
GV cho HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải HĐ6
và gọi HS đại diện hai nhóm lên bảng trình bày lời
giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
GV : Dãy số (u
n
) với
2
1
n
n
u
n
=
+
như trong ví dụ
HĐ6 được gọi là bị chặn trên bởi

1
2
; một dãy số (v
n
)
với
2
1
n
n
v
n
+
=
như trong HĐ6 được gọi là bị chặn
dưới bởi 1.
Vậy thế nào là một dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới?
GV gọi một HS nêu định nghĩa trong SGK về dãy số
bị chặn trên, bị chặn dưới.
GV nếu một dãy số vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dưới được gọi là một dãy số bị chặn.
(GV ghi tóm tắt bằng ký hiệu lên bảng)
GV nêu ví dụ (BT 5d SGK) và hướng dẫn giải.
GV phân công nhiệm vụ cho các nhóm và cho các
nhóm thảo luận tìm lời giải các BT còn lại trong BT
5, gọi HS đại diện 3 nhóm lên bảng trình bày lời giải
và gọi HS các nhóm khác nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét và bổ sung sửa chữa (nếu cần).
HS các nhóm thảo luận và tìm lời giải.

HS đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải
(có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Xét hiệu:
( )
( )
( )
2
2
*
2
2 2
1
1 2 1
0,
1 2
2 1 2 1
n
n n n
n
n
n n
− −
− −
− = = < ∀ ∈
+
+ +
¥
Vậy

*
2
1
,
1 2
n
n
n
≤ ∀ ∈
+
¥
Xét hiệu:
( )
2
2 2
*
1
1 1 2
1 0,
2 2 2
n
n n n
n
n n n
−
+ + −
− = = > ∀ ∈
¥
Vậy
2

*
1
1,
2
n
n
n
+
≥ ∀ ∈
¥
HS nêu định nghĩa trong SGK…
HS chú ý theo dõi trên bảng…
HS các nhóm thảo luận và tìm lời giải như đã
phân công.
HS trình bày lời giải
Nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)Dãy số bị chặn dưới vì:
2 *
2 1 1,
n
u n n
= − ≥ ∀ ∈
¥
và không bị chặn trên,
vì khi n lớn vô cùng thì
2
2 1n
−
cũng lớn vô

cùng.
b), c) HS suy nghĩ và giải tương tự…
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 10

HĐ3: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
*Củng cố:
-Nêu khái niệm dãy số, dãy số tăng, giảm và bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn.
*Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lý thuyết theo SGK.
-Xem lại các bài tập và ví dụ đã giải.
-Đọc trước và trả lời các hoạt động trong bài tập ở nhà.
-----------------------------------------------------------------------
Tiết 41:
BÀI TẬP DÃY SỐ
A. Mục tiêu:
I. Yêu cầu bài dạy:
1. Về kiến thức:
Ôn tập lại các kiến thức về dãy số: Các cách cho một dãy số, Dãy số tăng giảm và bị chặn
2. Về kỹ năng:
- Kỹ năng xác định các số hạng và số hạng tổng quát cảu dãy số
- Kỹ năng chứng minh một dãy số là tăng giảm
- Kỹ năng xác định xem một dãy số là có bị chặn không.
3 . Về tư duy, thái độ:
- Thái độ cẩn thận, chính xác. Tư duy toán học một cách lôgíc và sáng tạo
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Đồ dùng giảng dạy
2. Học sinh: Đồ dùng học tập
III. Gợi ý về phương pháp giảng dạy: Vấn đáp
B. Tiến trình bài giảng:
I. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong giờ học

II. Dạy bài mới:

Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
Bài 1: viết 5 số hạng đầu của dãy
b)
n
n
n
2 1
U
2 1
−
=
+
Bài 2: Cho dãy
( )
n
U
biết:
1
U 1=
;
n 1 n
U U 3,n 1
+
= + ≥
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
n
U 3n 4= −

1 2
3 4 5
1 3
b ) U ,U ,
3 5
7 15 24
U ,U ,U
15 24 35
= =
= = =
Bài 2:

1 2
3 4 5
a ) U 1,U 2,
U 5,U 8,U 11
= − =
= = =
b) Với n=1 ta có U
1
= -1, mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
( )
k 1≥
tức số hạng thứ k là:
k
U 3k 4= −
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
n = k+1 tức là
k 1

U 4( k 1) 3
+
= + +
Thật vậy:

k 1 k
U U 3
+
= +

( ) ( )
3k 4 3 3 k 1 4= − + = + −
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 11

Bài 3: Cho dãy
( )
n
U
biết:
1
U 3=
;
2
n 1 n
U 1 U n 1
+
= + , ≥
c) Viết 5 số hạng đầu của dãy
d) Dự đoán công thức của số hạng tổng quát
n

U
và chứng minh bằng phương pháp
quy nạp công thức đó
Bài 4: Xét tính tăng giảm của dãy số
n
1
a ) U 2
n
= −

n
n 1
b ) U
n 1
−
=
+
( )
( )
n
n
n
c ) U 1 2 1 = − +

n
2n 1
d ) U
5n 2
−
=

+
Bài 5: Trong các dãy số sau, dãy nào bị chặn
trên, bị chặn dưới và bị chặn
2
n
a ) U 2n 1 = −

( )
n
1
b ) U
n n 2
=
+
n
2
1
c ) U
2n 1
=
−

n
a ) U sinn cos n = +
Bài 3:

1 2
3 4 5
a ) U 3 9 ,U 10,
U 11,U 12,U 13

= = =
= = =
b) Dự đoán công thức của số hạng tổng quát:
n
U n 8= +
Với n=1 ta có U
1
= 3, mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
( )
k 1≥
tức số hạng thứ k là:
k
U k 8= +
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
n = k+1 tức là
( )
k 1
U k 1 8
+
= + +
Thật vậy:Theo giả thiết bài toán

( )
2
k 1 k
U 1 U
1 k 8
1 k 8
+

= +
= + +
= + +
Bài 4: Xét tính tăng giảm của dãy số
a) Dãy số giảm
b) Dãy số tăng
c) Dãy số không tăng không giảm
d) Dãy số giảm
Bài 5: Trong các dãy số sau, dãy nào bị chặn trên, bị
chặn dưới và bị chặn
a) Dãy số bị chặn dưới bởi 1
b) Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1/3
c) Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1
d) Dãy số bị chặn trên bởi
2−
và bị chặn dưới
bởi
2
IV. Củng cố
- Nắm vững các cách xác định một dãy số, tìm số hạng tổng quát và xét tính đơn điệu bị chặn của
dãy số
V. Hướng dẫn HS học và làm bài ở nhà
- Chuẩn bị trước bài mới
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 12

Tiết 42:
CẤP SỐ CỘNG (Tiết 1)
A. Mục tiêu:
I. Yêu cầu bài dạy:
1. Về kiến thức: HS nắm được

- Định nghĩa cấp số cộng - Số hạng tổng quát cấp số cộng- Tính chất số hạng tổng quát
2. Về kỹ năng: Rèn các kỹ năng
- Xác định một dãy số là cấp số cộng
- Xác định các số hạng và tìm công sai của cấp số cộng
- Giải quyết các bài toán thực tế liên quan
3 . Về tư duy, thái độ:
- Thái độ cẩn thận, chính xác. Phân biệt một dãy số là cấp số cộng
- Thấy được những ứng dụng thực tiễn của toán học
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Đồ dùng giảng dạy
2. Học sinh: Đồ dùng học tập
III. Gợi ý về phương pháp giảng dạy:
Gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động tư duy đan xen hoạt động nhóm
B. Tiến trình bài giảng:
I. Kiểm tra bài cũ: Không
II. Dạy bài mới:
Hoạt động 1: Định nghĩa cấp số cộng (7’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
- Tổ chức cho HS thực hiện hoạt động 1: Biết 4
số hạng đầu của một dạy số là:
-1, 3, 7, 11
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp 5 số
hạng của dãy theo quy luật đó
- Nhận xét mối quan hệ của số hạng đứng trước
với số hạng đứng sau liên tiếp?
- GV dẫn dắt HS tới khái niệm cấp số cộng và
cho HS phát biểu định nghĩa
GV cho HS ghi nhớ công thức truy hồi của cấp số
cộng

*
n 1 n
U U d n
+
= + , ∈¥
d: Công sai
Dạng khai triển của cấp số cộng
1 2 3 n
U ,U ,U ,...,U ,...
5 số hạng tiếp theo của dãy
15,19,23,27
Số hạng sau bằng số hạng trước cộng 4 đơn vị
- HS phát biểu định nghĩa

Hoạt động 2: Củng cố định nghĩa (8’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
GV tổ chức cho HS hoạt động theo nhóm câu hỏi:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Nếu là cấp số cộng thì công sai d = ?
a) 2, 4, 8, 16, 32, …
b) 5, 5, 5, 5, 5, 5, …
c) -7, -2, 3, 8, 13
a) Không
b) Có với d = 0
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 13

1 2 4 5
d ) , ,1, ,
3 3 3 3

GV: Vậy với d =0 thì cấp số cộng là một dãy số
không đổi
- Dãy số sau đây có phải là cấp số cộng không? Vì
sao?

n
U 3n 1= +
Tổ chức cho HS thực hiện HĐ2: Cho (un) là một
cấp số cộng có 6 số hạng với u1 =
1
3
, d=3. Viết dạng
khai triển của dãy số
- GV tổ chức cho HS thực hiện HĐ3: Mai và Hùng
chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt
sân. Cách xếp được thể hiện trên hình:
Hỏi nếu thấp 7 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để
xếp đế tầng của tháp
c) Có với d = 5
d) Có với d=
1
3

Ta có:
( )
n 1
U 3 n 1 1 3n 4
+
= + + = +
( )

n 1 n
U U 3n 4 3n 1 3
+
− = + − + =
Vậy dãy đã cho là một cấp số cộng với công
sai d=3
Dạng khai triển:
1 4 7 10 13 16
, , , , ,
3 3 3 3 3 3

Tầng 4 cần 7 que để xếp tầng đế
Tầng 5 cần 9 que để xếp tầng đế
Tầng 6 cần 11 que để xếp tầng đế
Tầng 7 cần 13 que để xếp tầng đế
Hoạt động 3: Số hạng tổng quát của cấp số cộng (7’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
GV dẫn dắt HS tìm ra công thức của số hạng tổng
quát của cấp số cộng
Hãy biểu diễn U
2
, U
3
, U
4
, U
5
, …, U
n
theo U

1
và d
GV cho HS ghi nhớ công thức của số hạng tổng
quát của cấp số cộng
( )
2 1
3 2 1
4 3 1
5 4 1
n n-1 1
U =U +d
U =U +d=U +2d
U =U +d=U +3d
U =U +d=U +4d
...
U =U +d=U + n-1 d

Hoạt động 4: Củng cố công thức của số hạng tổng quát (15’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
Tổ chức cho HS thực hiện VD1: Cho
cấp số cộng (U
n
) với U
1
=-2 và d=4
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Xác định U
10
, U
20

c) Số 30 là số hạng thứ bao nhiêu?
a) 5 số hạng đầu của dãy
-2, 2, 6, 10,14
b) Xác định U
10
, U
20
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 14