Bai tap giai tich tap 1 cua Nowak (Tieng Viet)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.35 MB, 366 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Mục lục

Lời nói đầu

iii

Các ký hiệu và khái niệm

vii

Bài tập

1 Số thực

3

1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên

ph©n sè . . . .

6

1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . .

11

2 Dãy số thực

19

2.1 Dãy đơn điệu . . . 23

2.2 Giíi h¹n. TÝnh chÊt cđa d·y héi tô . . . 30

2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng

. . . 37

2.4 §iĨm giíi hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . 42

2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . 48

3 Chuỗi số thực

63

3.1 Tổng của chuỗi . . . 67

3.2 Chuỗi d-ơng

. . . 75

3.3 Dấu hiệu tÝch ph©n . . . 90

3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . 93

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn

. . . 102

3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . 104

3.8 Tích vô hạn . . . 111

Li gii

1 S thực

121

1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên

phân số . . . 121

1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . 131

2 Dãy số thực

145

2.1 Dãy đơn điệu . . . 145

2.2 Giíi h¹n. TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ . . . 156

2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz v ng dng . . . 173

2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . 181

2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . 199

3 Chuỗi số thực

231

3.1 Tổng của chuỗi . . . 231

3.2 Chuỗi d-ơng

. . . 253

3.3 Dấu hiệu tích ph©n . . . 285

3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . 291

3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiªu chn Abel . . . 304

3.6 TÝch Cauchy cđa các chuỗi vô hạn

. . . 313

3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . 321

3.8 Tích vô hạn . . . 338

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời nói đầu

Bạn ®ang cã trong tay tËp I cđa mét trong nh÷ng sách bài tập giải tích

(theo chúng tôi) hay nhất thế giíi .

Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm tốn của Việt Nam th-ờng sử dụng

hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ-ợc dịch ra tiếng Việt):

1.

"Bài tập giải tích toán học"

của Demidovich (B. P. Demidovich;

1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu,

Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva)

vµ

2.

"Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập"

của Ljaszko, Bojachuk,

Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P.

Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh,

Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola).

để giảng dạy hoặc học giải tích.

Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai

cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số

bài tốn khác.

Lần này chúng tơi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ-ợc dch

ra ting Anh):

3.

"Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, DÃy số và Chuỗi số"

(W. J.

Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc

Pier-wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo

Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),

4.

"Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi ph©n "

(W. J. Kaczkor, M.

T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu

Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998).

để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy

giải tích. Khi biên dịch, chúng tơi đã tham khảo bản tiếng Anh:

3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,

Problems in Mathematical 
Analy-sis I, Real Numbers, Sequences and Series

, AMS, 2000.

4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,

Problems in Mathematical 
Analy-sis II, Continuity and Differentiation

, AMS, 2001.

Sách này có các -u điểm sau:

• Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.

• Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.

• Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học

hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh-,

Ameri-can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng
Nga), Delta (tiếng Balan). Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu

cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh

viên đại học ngành toán.

Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong

5. Nguyễn Duy Tiến,

Bài Giảng Giải Tích, Tập I

, NXB Đại Học Quốc

Gia Hµ Néi, 2000.

6. W. Rudin,

Principles of Mathematical Analysis

, McGraw -Hil

Book Company, New York, 1964.

Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tơi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp

bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng

t-ơng ứng.

Tập I và II của sách chỉ bàn đến

hàm số một biến số

(trừ phần không

gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ cịn viết Bài Tập Giải

Tích cho hàm nhiều biến và phộp tớnh tớch phõn.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lời nói đầu v

Chúng tôi rất biết ơn :

- Giỏo s- Phm Xuõn Yờm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng

Anh tập I của sách này,

- Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản

gốc tiếng Anh tập II của sách này,

- Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh

cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,

- TS D-ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch

cuốn sách này.

Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào

Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc

kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đơng đảo bạn đọc đón

nhận và góp nhiều ý kiến q báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong

nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, nhng ý kin gúp ý xin gi v:

Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh
Xuân, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Các ký hiệu và khái niệm

ã

R - tập các số thực

ã

R

- tập các số thực d-ơng

ã

Z - tập các số nguyên

ã

N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên

ã

Q - tập các số hữu tỷ

ã (a, b)

- khoảng mở có hai đầu mút là a và b

ã [a, b]

- đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b

• [x]

- phần nguyên của số thực x

• Víi x ∈ R, hµm dÊu cđa x lµ

sgn x =











1 víi

x > 0,

−1

víi

x < 0,

0 víi

x = 0.

• Víi x ∈ N,

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n,

(2n)!! = 2 · 4 · 6 · ... · (2n − 2) · (2n),

(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 3) · (2n − 1).

• Ký hiÖu

nk

=

k!(n−k)!n!

, n, k ∈ N, n k

, là hệ số của khai triển nhị

thức Newton.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

• Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận

trên đúng của nó, nếu nó khơng bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng

sup A = +∞.

• Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận

d-ới đúng của nó, nếu nó khơng bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng

inf A = −∞.

• Dãy {a

n

}

các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu

gi¶m) nÕu a

n+1

≥ a

n

(t-¬ng øng nÕu a

n+1

≤ a

n

) víi mäi n ∈ N. Líp

các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng v gim.

ã

Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới h¹n cđa d·y {a

n

}

nÕu tån t¹i mét d·y

con {a

nk

}

cđa {a

n

}

héi tơ vỊ c.

• Cho S là tập các điểm tụ của dãy {a

n

}

. Cận d-ới đúng và cận trên

đúng của dãy , ký hiệu lần l-ợt là lim

n→∞

a

n

và lim

n

a

n

-c xỏc nh

nh- sau

lim

n

a

n

=

+

nếu {a

n

}

không bị chặn trên,

nếu {a

n

}

bị chặn trên và S = ,

sup S

nếu {a

n

}

bị chặn trên và S 6= ,

lim

n

a

n

=

nếu {a

n

}

không bị chặn d-ới,

+

nếu {a

n

}

bị chặn d-ới và S = ,

inf S

nếu {a

n

}

bị chặn d-ới và S 6= ,

ã

Tích vô h¹n

∞

Q

n=1

a

n

héi tơ nÕu tån t¹i n

∈

N sao cho a

n

6= 0

víi

n ≥ n

vµ d·y {a

n0

a

n0+1

· ... · a

n0+n

}

héi tơ khi n → ∞ tíi mét giíi

h¹n P

6= 0. Sè P = a

n0

a

n0+1

· ... Ã a

n0+n

Ã P

đ-ợc gọi là giá trị của

tích vô hạn.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ch-ơng 1

Số thực

Tóm tắt lý thuyết

ã

Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ).

Số thực x R đ-ợc gọi là một

cËn trªn

cđa A nÕu

a 6 x, ∀x ∈ A.

TËp A đ-ợc gọi là

bị chặn trên

nếu A có ít nhất một cận trên.

Số thực x R đ-ợc gäi lµ mét

cËn d-íi

cđa A nÕu

a ≥ x, a A.

Tập A đ-ợc gọi là

bị chặn d-ới

nếu A có ít nhất một cận d-ới.

Tập A đ-ợc gọi là

bị chặn

nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn d-ới.

Rõ ràng A bị chặn khi và chØ khi tån t¹i x > 0 sao cho

|a| 6 x, a A.

ã

Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ).

Số thực x R đ-ợc gọi là

giá trị lớn nhÊt

cña A nÕu

x ∈ A,

a 6 x, ∀a ∈ A.

Khi đó, ta viết

x = max{a : a ∈ A} = max a

a∈A

.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Sè thùc x R đ-ợc gọi là

giá trị bé nhất

của A nÕu

x ∈ A,

a ≥ x, ∀a ∈ A.

Khi đó, ta viết

x = min{a : a ∈ A} = min a

aA

.

ã

Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ). Giả

sử A bị chặn trên.

S thc x R -c gi là

cận trên đúng của

A

, nếu x là một cận

trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A. Tức là,

a 6 x, ∀a ∈ A,

∀ > o, ∃a

∈ A,

a

> x − .

Khi đó, ta viết

x = sup{a : a ∈ A} = sup a

aA

.

Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ). Giả

sử A bị chặn d-ới.

S thc x R -c gi l

cận d-ới đúng

của A, nếu x là một cận

d-ới của A và là cận trên lớn nhất trong tập các cận d-ới của A. Tức là,

a ≥ x, ∀a ∈ A,

∀ > o, ∃a

∈ A,

a

< x + .

Khi đó, ta viết

x = inf{a : a ∈ A} = inf a

a∈A

.

•

Tiên đề về cận trên đúng

nói rằng nếu A là tập con không rỗng,

bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất).

Tiên đề trên t-ơng đ-ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn

d-ới của tập các số thực, thì A có cận d-ới đúng (duy nhất).

Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực,

thì A có cận trên ỳng, v cú cn d-i ỳng.

ã

Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -ớc sup A = +; Nếu tập

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tóm tắt lý thuyết 5

ã

Cho hai số nguyên a, b. Ta nói rằng b

chia hết

cho a hoặc a chia b,

nếu tồn tại số nguyên c, sao cho b = a.c. Trong tr-ờng hợp đó ta nói a là

-ớc của b (hoặc b là bội của a) và viết a|b.

Cho hai sè nguyªn a

, a

. Số nguyên m đ-ợc gọi là

-ớc chung

của

a

, a

nếu m|a

, m|a

. Số nguyên m đ-ợc gọi là

béi chung

cđa a

, a

nÕu a

|m, a

|m.

¦íc chung m ≥ 0 cđa a

, a

cã tÝnh chÊt lµ chia hÕt cho bất kỳ -ớc

chung nào của a

, a

)

đ-ợc gọi là

-ớc chung lớn nhất

của a

, a

và

đuợc ký hiƯu lµ (a

, a

).

Béi chung m ≥ 0 cđa a

, a

cã tÝnh chÊt lµ -íc cđa bÊt kú béi chung

nào của a

, a

đ-ợc gọi là

bội chung nhỏ nhất

của a

, a

và đuợc ký

hiệu là [a

, a

].

Nếu (a, b) = 1 thì ta nói a, b

nguyên tố cùng nhau

.

Số nguyên d-ơng p N đ-ợc gọi là

số nguyên tố

, nếu p chỉ có hai

-ớc (tầm th-ờng) lµ 1 vµ p.

Gỉa sử m là số nguyên d-ơng. Hai số nguyên a, b đ-ợc gọi là

đồng 
d-theo modulo

m

, nếu m|(a − b). Trong tr-ờng hợp đó ta vit

a = b

(mod m).

ã

Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số), nếu tồn tại p, q Z sao cho

r = p/q

. Phân số này là tối giản nếu (p, q) = 1.

Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ.

Tập hợp các số
hữu tỷ trù mật trong tập các số thực

, tức là, giữa hai số thực khác

nhau bất ký (a < b) tồn tại ít nhất một số hữu tû (r: a < r < b).

•

Phần nguyên

của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy

nhất) sao cho x − 1 < [x] 6 x.

Phần lẻ

của số thực x, đ-ợc ký hiệu là

{x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x [x].

ã

Các hàm số sơ cấp a

x

, log

a

x, sin x, cos x

, arcsin x, arccos x đ-ợc nh

nghĩa theo cách thông th-ờng. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng

các

ký hiệu tiêu chuẩn quốc tÕ

tan x = sin x/ cos x,

cot x = cos x/ sin x,

cosh x =

e

x

+ e

−x

2 ,

sinh x =

e

x

− e

−x

2 ,

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các

số thực. Liên phân số

1.1.1.

Chøng minh r»ng

sup{x ∈ Q : x > 0, x

< 2} =

√

2.

1.1.2.

Cho

A ⊂ R

kh¸c rỗng. Định nghĩa

A = {x : x A}

. Chøng
minh r»ng

sup(−A) = − inf A,

inf(−A) = − sup A.

1.1.3.

Cho

A, B R

là không rỗng. Định nghĩa

A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B} ,

A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B} .

Chøng minh r»ng

sup(A + B) = sup A + sup B,

sup(A − B) = sup A − inf B.

Thiết lập những công thức t-ơng tự cho

inf(A + B)

và

inf(A − B).

1.1.4.

Cho các tập không rỗng

A

và

B

những số thực d-ơng, định nghĩa

A · B = {z = x · y : x ∈ A, y ∈ B} ,

1 A

=

z =

1 x

: x ∈ A

.

Chøng minh r»ng

sup(A · B) = sup A Ã sup B,

và nếu

inf A > 0

thì

sup

1 A

=

1 inf A

,

khi

inf A = 0

thì

sup

A1

= +. Hơn nữa nếu

A

và

B

là các tập số thực bị
chặn thì

sup(A Ã B)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1.1. Cận trên đúng và cận d-ới đúng. Liên phõn s 7

1.1.5.

Cho

A

và

B

là những tập con khác rỗng các sè thùc. Chøng minh r»ng

sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B}

vµ

inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B} .

1.1.6.

Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của

A

, A

2 xác định bởi

A

=

2(−1)

n+1

+ (−1)

n(n+1)2

2 +

3 n

: n ∈ N

,

A

=

n − 1

n + 1

cos

2nπ

3 : n ∈ N

.

1.1.7.

Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập

A

và

B

, trong đó

A = {0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . }

vµ

B

là tập các phân số thập phân giữa 0 và 1
mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1.

1.1.8.

Tìm cận d-ới đúng và cận trên đúng của tập các số (n+1)2n 2, trong đó

n ∈ N

1.1.9.

Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số (n+m)2nm2, trong đó

n, m ∈ N

1.1.10.

Xác định cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập sau:

A =

nm

n

: m, n ∈ N, m < 2n

o

,

(a)

B =

√

n − [

√

n] : n ∈ N

.

(b)

1.1.11.

H·y t×m

sup

x ∈ R : x

+ x + 1 > 0

,

(a)

inf

z = x + x

−1

: x > 0

,

(b)

inf

n

z = 2

x

+ 2

> 0

o

.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1.1.12.

Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của những tập sau:

A =

m

n

+

4n

m

: m, n ∈ N

,

(a)

B =

mn

4m

+ n

: m ∈ Z, n ∈ N

,

(b)

C =

m

m + n

: m, n ∈ N

,

(c)

D =

m

|m| + n

: m ∈ Z, n ∈ N

,

(d)

E =

mn

1 + m + n

: m, n ∈ N

.

(e)

1.1.13.

Cho

n ≥ 3, n N

. Xét tất cả dÃy d-ơng hữu h¹n

(a

, . . . , a

n

), h·y

tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số

n

X

k=1

a

k

a

k

+ a

k+1

+ a

k+2

,

trong ú

a

n+1

= a

, a

n+2

= a

1.1.14.

Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ

và với mỗi

n N

tồn tại một số
nguyên d-ơng

q

nvà một số nguyên

p

nsao cho

α

−

p

n

q

n

<

1 nq

n

.

Đồng thời có thể chọn dÃy

{p

n

}

và

{q

n

}

sao cho

α

−

p

n

q

n

<

1 q

n2

.

1.1.15.

Cho

α

là số vô tỷ. Chứng minh rằng

A = {m + nα : m, n ∈ Z}

là
trù mật trong

R, tức là trong bất kỳ khoảng mở nào đều có ít nhất một phần tử

của

A

1.1.16.

Chứng minh rằng

{cos n : n ∈ N}

là trù mật trong đoạn

[−1, 1].

1.1.17.

Cho

x ∈ R \ Z

và dãy

{x

n

}

đ-ợc xác định bởi

x = [x] +

1 x

,

x

= [x

] +

1 x

, . . . ,

x

n−1

= [x

n−1

] +

1 x

n

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1.1. Cận trên đúng và cận d-ới đúng. Liên phân số 9

khi đó

x = [x] +

1 [x

] +

1 [x

] +

1

. ..

+

1 [x

n−1

] +

1 x

n

.

Chøng minh rằng

x

là số hữu tỷ khi và chỉ khi tồn tại

n N

sao cho

x

nlà một

số nguyên.

Chú ý. Ta gọi biểu diễn trên của

x

là một liên phân số hữu hạn. Biểu thức

a

+

1 a

+

1 a

+

1

. ..

+

1 a

n1

+

1 a

n

đ-ợc viết gọn thành

a

+

1|

|a

+

1|

|a

+ . . . +

1|

|a

n

.

1.1.18.

Cho các số thực d-ơng

a

, a

, . . . , a

n, đặt

p

= a

,

q

= 1,

p

= a

a

+ 1,

q

= a

,

p

k

= p

k−1

a

k

+ p

k−2

,

q

k

= q

k−1

a

k

+ q

k−2

,

víi

k = 2, 3, . . . , n

và định nghĩa

R

= a

,

R

k

= a

+

1|

|a

+

1|

|a

+ . . . +

1|

|a

k

,

k = 1, 2, . . . , n.

R

k đ-ợc gọi là phần tử hội tụ thứ

k

đến

a

+

1|
|a1

+

|a2

+ . . . +

1|
|an

.
Chøng minh r»ng

R

k

=

p

k

q

k

víi

k = 0, 1, . . . , n.

1.1.19.

Chứng minh rằng nếu

p

k

, q

k đ-ợc định nghĩa nh- trong bài tốn trên

vµ

a

, a

, . . . , a

nlà các số nguyên thì

p

k1

q

k

q

k1

p

k

= (−1)

k

víi

k = 0, 1, . . . , n.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1.1.20.

Cho

x

là một số vô tỷ, ta định nghĩa dãy

{x

n

}

nh- sau:

x

=

1 x − [x]

,

x

=

1 x

− [x

]

, . . . ,

x

n

=

1 x

n−1

− [x

n−1

]

, . . . .

Ngoài ra, chúng ta cho đặt

a

= [x], a

n

= [x

n

], n = 1, 2, . . .

, và

R

n

= a

+

1|

|a

+

1|

|a

+ . . . +

1|

|a

k

.

Chứng minh rằng độ lệch giữa số

x

và phần tử hội tụ thứ

n

của nó đ-ợc cho bởi
cơng thức

x − R

n

=

(−1)

n

(q

n

x

n+1

+ q

n−1

)q

n

,

trong đó

p

n

, q

n là đ-ợc định nghĩa trong 1.1.18. Từ đó hãy suy ra rằng

x

nằm

gi÷a hai phần tử hội tụ liên tiếp của nó.

1.1.21.

Chứng minh r»ng tËp

{sin n : n ∈ N}

lµ trï mËt trong

[−1, 1].

1.1.22.

Sử dụng kết quả trong bài 1.1.20 chứng minh rằng với mọi số vô tỷ

x

tồn tại dÃy

n

pn

qn

o

các số hữu tỷ, với

q

nlẻ, sao cho

x

−

p

n

q

n

<

1 q

n

.

(So sánh với 1.1.14.)

1.1.23.

Kiểm tra công thức sau về hiệu số giữa hai phần tử hội tụ liên tiÕp:

R

n+1

− R

n

=

(−1)

n

q

n

q

n+1

.

1.1.24.

Cho

x

là số vô tỷ. Chứng minh rằng phần tử hội tụ

R

n định nghĩa

trong 1.1.20 tiÕn tíi

x

sao cho

|x − R

n+1

| < |x − R

n

| ,

n = 0, 1, 2, . . . .

1.1.25.

Chøng minh rằng phần tử hội tụ

R

n

= p

n

/q

n là -ớc l-ợng tốt nhất

của

x

trong tất cả các phân số hữu tỷ với mẫu số

q

n hoặc nhỏ hơn. Tức là:

nếu

r/s

là một số hữu tỷ với mẫu số d-ơng có dạng

|x r/s| < |x R

n

|

thì

s > q

n.

1.1.26.

Khai triển mỗi biểu thức sau thành các liên phân số vô hạn:

2,

.

1.1.27.

Cho số nguyên d-ơng

k

, biểu diễn của

k

+ k

thành liên phân số vô

hạn.

1.1.28.

Tìm tất cả các số

x (0, 1)

mà sự biểu diễn liên tục vô hạn có

a

1(xem

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1.2. Mt s bt ng thức sơ cấp 11

1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp

1.2.1.

Chøng minh r»ng nÕu

a

k

> −1, k = 1, . . . , n

là các số cùng d-ơng

hoặc cùng âm thì

(1 + a

) Ã (1 + a

) Ã . . . · (1 + a

n

) ≥ 1 + a

+ a

+ . . . + a

n

.

Chú ý. Nếu

a

= a

= . . . = a

n

= a

thì ta có bất đẳng thức Bernoulli:

(1 + a)

n

≥ 1 + na, a > −1.

1.2.2.

Sư dơng phÐp qui n¹p, h·y chøng minh kÕt qu¶ sau: NÕu

a

, a

, . . . , a

n

là các số thực d-ơng sao cho

a

Ã a

Ã . . . · a

n

= 1

th×

a

+ a

+ . . . + a

n

n.

1.2.3.

Ký hiệu

A

n

, G

nvà

H

nlần l-ợt là trung bình cộng, trung bình nhân và

trung bình điều hoà của

n

sè thùc d-¬ng

a

, a

, . . . , a

n, tøc lµ

A

n

=

a

+ a

+ . . . + a

n

,

G

n

=

√

a

· a

· . . . · a

n

,

H

n

=

n

a1

+

a2

+ . . . +

an

.

Chøng minh r»ng

A

n

≥ G

n

≥ H

n.

1.2.4.

Sử dụng kết quả

G

n

6 A

ntrong bài toán tr-ớc kiểm tra bất đẳng thức

Bernoulli

(1 + x)

n

≥ 1 + nx

víi

x > 0.

1.2.5.

Cho

n ∈ N

, hãy kiểm tra các khẳng định sau:

1 n

+

1 n + 1

+

1 n + 1

+ . . .

1 2n

>

2

3 ,

(a)

1 n + 1

+

1 n + 2

+

1 n + 3

+ . . . +

1 3n + 1

> 1,

(b)

1

2 <

1 3n + 1

+

1 3n + 2

+ . . . +

1 5n

+

1 5n + 1

<

2

3 ,

(c)

(n

√

n + 1 − 1) < 1 +

1

2 + . . . +

1 n

(d)

< n

1 −

√

n

1 n + 1

+

1 n + 1

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

1.2.6.

Chøng minh r»ng víi mỗi

x > 0

và

n N

ta có

x

n

1 + x + x

+ x

+ . . . + x

2n

≤

1 2n + 1

.

1.2.7.

Cho

{a

n

}

là một cấp số cộng với các số hạng d-ơng. Chøng minh r»ng

√

a

n

6 √

a

. . . a

n

6 a

+ a

n

2 .

1.2.8.

Chøng minh r»ng

√

n 6

√

n! 6

n + 1

2 ,

n ∈ N.

1.2.9.

Cho

a

k

, k = 1, 2, . . . , n

, là các số d-ơng thoả mÃn điều kiÖn
n

P

k=1

a

k

6 1.

Chøng minh r»ng

n

X

k=1

1 a

k

≥ n

.

1.2.10.

Cho

a

k

> 0, k = 1, 2, . . . , n (n > 1)

và đặt

s =

n

P

k=1

a

k. H·y kiÓm

tra các khẳng định sau:

n

X

k=1

a

k

s − a

k

!

−1

6 n − 1 6

1 n

X

k=1

s − a

k

a

k

,

(a)

n

X

k=1

s

s − a

k

≥

n

n − 1

,

(b)

n

X

k=1

a

k

s + a

k

!

−1

≥ n + 1.

(c)

1.2.11.

Chøng minh r»ng nÕu

a

k

> 0, k = 1, . . . , n

vµ

a

· a

· . . . · a

n

= 1

th×

(1 + a

) · (1 + a

) · . . . · (1 + a

n

) ≥ 2

n

.

1.2.12.

Chứng minh bất đẳng thức Cauchy(1):

n

X

k=1

a

k

b

k

!

6

n

X

k=1

a

2k

n

X

k=1

b

2k

.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 13

1.2.13.

Chøng minh r»ng





n

X

k=1

a

k

!

+

n

X

k=1

b

k

!





1
2

6

n

X

k=1

a

2k

+ b

2k

1
2

.

1.2.14.

Chøng minh r»ng nÕu

n

P

k=1

a

2k

=

n

P

k=1

b

2k

= 1

th×