đề thi HSG huyện Điện Bàn 10-11

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I)
Ngày thi: 25/ 11/ 2010.
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1.
1/ Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 2 thì các số có dạng
2
5p
−

không chia hết cho 8.
2/ Cho A = 2n + 1; B =
( 1)
2
n n+
(với
*
n
∈
¥
). Tìm ƯCLN(A; B)?
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) =
2 1 5
m
x m m x
m
+ + − −
(với m > 0).
1/ Vẽ đồ thị hàm số y.

2/ Biết x
1
=
6 2 5 6 2 5
− + +
và
2
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
x
− +
= +
− +
.
Hãy so sánh f(x
1
) và f(x
2
)?
Bài 3.
1/ Tìm x biết (2 +
3
)
x
+ (2
−

3
)
x

= 4
2/ Cho biểu thức A(x, y) = x
2
+ 59
−
10xy + 14x
−
76y + 26y
2
. Với giá trị nào
của x, y biểu thức A(x, y) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 4.
1/ Cho
∆
ABC nhọn có: H là trực tâm và D là chân đường cao vẽ từ A. Chứng
minh rằng DH. DA
1
4
≤
BC
2
.
2/ Cho đường thẳng (d) cắt đường tròn tâm O tại hai điểm A và B. Từ một điểm
M bất kỳ trên (d) và nằm miền ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MP và MQ tới
đường tròn (P và Q là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng khi M di động trên (d) (M nằm miền ngoài đường tròn) thì
đường tròn ngoại tiếp
∆
MPQ luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Xác định vị trí của M để

∆
MPQ đều?
c) Giả sử góc PMQ bé hơn 90
0
, từ P kẻ PN vuông góc với QM tại N. Chứng
minh rằng
2
MN PM
1 2
QN PQ
 
+ =
 ÷
 
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I)
Ngày thi: 25/ 11/ 2010.
HƯỚNG DẪN VẮN TẮT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1.
1/ Giả sử p
2
- 5 = 8k (
k
∈
¥
), p > 2
⇒
p: lẻ

⇒
p = 2m +1 (
m
∈
¥
)
⇒
(2m +1)
2
- 5 = 8k
⇒
4m
2
+ 4m + 1 - 5 = 8k
⇒
m
2
+ m = 2k + 1. Vế trái là tích cuả 2
số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn. Vế phải là số lẻ. Vô lý
⇒
KLuận (1 điểm)
2/ Đặt d = ƯCLN(A; B) = (2n + 1;
( 1)
2
n n+
) (với
*
n
∈
¥

)
⇒
d! 2n + 1 và d !
( 1)
2
n n+
⇒
d! (2n + 1)n và d !2n(n + 1)
⇒
d! 2n(n + 1) - n(2n + 1)
= 2n
2
+ 2n - 2n
2
- n = n
⇒
d! 2n. Mà d! (2n + 1)
⇒
d! 2n + 1 - 2n = 1.
Vậy ƯCLN(A; B) = 1 (1 điểm)
Bài 2. 1/ Ta có: y = f(x) =
2 1 5
m
x m m x
m
+ + − −
(với m > 0)

⇒
y =

( )
2
1 5m m x
 
+ − −
 ÷
 
⇒
y =
( )
1 5m m x+ − −
⇒
y =
5x−
(0,5 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số y =
5x −
:
+ Đồ thị hàm số y là một đường thẳng đi qua 2 điểm sau:
- Điểm cắt trục tung x = 0
⇒
y = - 5 A(0; -5)
- Điểm cắt trục hoành y = 0
⇒
x = 5 B(5; 0) (0,25 điểm)
+ Vẽ đúng 2 trục toạ độ và đường thẳng AB. (0,25 điểm)
2/ x
1
=
6 2 5 6 2 5

− + +
=
( ) ( )
2 2
5 1 5 1
− + +
= . . . = 2
5
(0,25 đ)

( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2 1 2 1
3 2 2 3 2 2
x
− +
= +
− +
2 1 2 1
3 2 2 3 2 2
− +
= +
− −
= . . . = 2
2

(0,25 đ)
⇒
x
1
> x
2
và hàm y đồng biến trên
¡
(0,25 đ). Vậy f(x
1
) > f(x
2
) (0,25 điểm)
Bài 3. 1/ (2 +
3
)
x
+ (2
−

3
)
x
= 4
⇒

( )
( )
1
2 3 4

2 3
x
x
+ + =
+

⇒
( ) ( )
2
2 3 4 2 3 1 0
x x
 
+ − + + =
 
 
⇒

( )
2
2 3 2 3 0
x
 
+ − − =
 
 
(0,25 đ)
⇒
( ) ( )
2 3 2 3 . 2 3 2 3 0
x x

   
+ − + + − − =
   
   
⇒
. . .
⇒
KLuận: x =
±
1(0,75 điểm)
2/ A(x, y) = x
2
+ 59
−
10xy + 14x
−
76y + 26y
2

= (x
2

−
10xy + 25y
2
) + (y
2

−
6y + 9) + (14x

−
70y) + 50 (0,25 điểm)
= (x
−
5y)
2
+ (y
−
3)
2
+ 14(x
−
5y) + 50 (0,25 điểm)
A(x, y) = (x
−
5y + 7)
2
+ (y
−
3)
2
+1
Mà: (x
−
5y + 7)
2

≥
0 ; (y
−

3)
2
≥
0
⇒
A(x, y)
min
⇒
x
−
5y + 7 = 0 và y
−
3 = 0(0,25 đ)
Vậy: A(x, y)
min
= 1 với x = 8 và y = 3 (0,25 điểm)
Bài 4. Hình vẽ ghi 0,25 điểm
1/ Xét
∆
ADB và
∆
CDH, có: ADB = CDB = 90
0

và BAD = HCD
⇒
∆
ADB
∆
CDH (g-g) (0,25 điểm)

⇒

DA DC
DB DH
=
⇒
DH.DA = DB.DC
≤
2
DB DC
2
+
 
 ÷
 
Vậy: DH.DA
≤
1
4
BC
2
(0,5 điểm)
2/
Hình vẽ phục vụ
+ Câu a và b
ghi (0,25 điểm)
+ Câu c ghi (0,25đ)
a) Kẻ OH
⊥
AB (H

∈
AB)

·
OPM
= 90
0

⇒
P nằm trên đường tròn đường kính OM

·
OQM
= 90
0

⇒
Q nằm trên đường tròn đường kính OM
⇒

∆
MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM (0,25 điểm)

·
OHM
= 90
0

⇒
H nằm trên đường tròn đường kính OM (0,25 điểm)

⇒
O và H cố định
⇒
Đường tròn ngoại tiếp
∆
MPQ luôn đi qua hai điểm cố định là
O và H. (0,25 điểm)
b)
∆
MPQ đều
⇒

·
QMP
= 60
0
(0,25 điểm)
⇒
OM = 2R (0,25 điểm)
⇒
Kluận: M cách O một khoảng bằng 2R thì
∆
MPQ đều (0,25 điểm)
c) Gọi E là điểm đối xứng của Q qua M
⇒
∆
PQE vuông tại P
⇒
PQ
2

= QN.QE (0,25 đ)
⇒
PQ
2
= 2QN.QM = 2QN.PM
⇒
2
PQ
QN =
2PM
(0,25 điểm)
Và: MN = QM - QN =
2
PQ
PM -
2PM
=
2 2
2PM -PQ
2PM
(0,25 điểm)
⇒

2 2
MN 2PM -PQ
QN 2PM.QN
=
⇒

2 2

2
MN 2PM -PQ
QN PQ
=
. Vậy:
2
MN PM
1 2
QN PQ
 
+ =
 ÷
 
(0,25 điểm)
A
B
C
D
H
d
O
A
B
M
P
Q
H
E
N