MỘT số mô HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH tế ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng pptx các mơn ngành Y dược hay nhất có
tại “tài liệu ngành dược hay nhất”;
/>use_id=7046916


Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1
2
3
4

PP ma trận & định thức
Hệ PTrTT tổng quát
Hệ PTrTT thuần nhất
Một số MHTT trong kinh tế


BÀI 4. MỘT SỐ MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

I. Mơ hình cân bằng thị trường

II. Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân

III. Mơ hình IS - LM

IV. Mơ hình Input-Output của Leontief

I. Mơ hình cân bằng thị trường
Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của hàng hóa này
có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các loại hàng
hóa khác
Chẳng hạn giá xăng sẽ ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu
về xe máy,…
Xét thị trường gồm n hàng hóa liên quan, đánh số là 1, 2, 3,…, n
Qsi là lượng cung hàng hóa i
Qdi là lượng cầu hàng hóa i
pi là giá hàng hóa i;

I = 1, 2, …, n

Với giả thiết các yếu tố khác khơng đổi, hàm cung và hàm cầu
tuyến tính có dạng
Hàm cung hàng hóa i:
Qsi =ai0 +ai1p1 +ai2p2 +...+ainpn  i =1,2,...,n
Hàm cầu hàng hóa i:
Qdi =bi0 +bi1p1 +bi2p2 +...+binpn

 i=1,2,...,n


I. Mơ hình cân bằng thị trường
Mơ hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng:

Qsi
�
�

Qdi
�
�
Qsi
�
�
i
�

= ai0 +ai1p1 +ai2p2 +...+ainpn
= bi0 +bi1p1 +bi2p2 +...+binpn
= Qdi
= 1,2,...,n

Đưa hệ phương trình trên về hệ n phương trình tuyến tính với n
ẩn số p1, p2,…, pn
Giải hệ ta được các giá cân bằng, và thay vào hàm cung suy ra
lượng cân bằng:


I. Mơ hình cân bằng thị trường
Ví dụ 1:
Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với
hàm cung và hàm cầu như sau:
Qs1 = -4 + 5p1; Qd1 =10 - 3p1 + 2p 2
Hàng hóa 1:
Qs2 = -7 + 8p2 ; Qd2 = 23 + 2p1 - 6p 2
Hàng hóa 2:
Lập hệ phương trình cân bằng thị trường với các ẩn là giá p1, p2,
sau đó đưa ra giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng.

Giải: Ta có hệ phương trình:
Qs1 = Qd1
�
-4+5p1 = 10- 3p1 +2p2
�
�
�
�
�
Q
=
Q
-7+8p2 = 23+2p1 - 6p2
� s2
d2
�
= 7
8p1 - 2p2
= 14
�4p1 - p2
�
� �
� �
-p1 + 7p2 = 15
2p1 -14p2 = -30
�
�
4 -1
4 7
7 -1

d=
= 27
d2 =
= 67
d1 =
= 64
-1 7
-1 15
15 7
p1 = 64 / 27
�
�
Q1 = 212 / 27
=>
lượng
cân
bằng
là
�
�
p
=
67
/
27
Q2 = 347 / 27
�2
�

Ví dụ 2:

Giả sử thị trường gồm 3 mặt hàng: hàng hóa 1, 2 và 3 với hàm cung và
hàm cầu như sau:
Qs1 = -10 + 2p1; Qd1 = 100 - 5p1 + 3p 2 - p3 ;
Hàng hóa 1:
Hàng hóa 2:

Qs2 = -20 + 5p2 ; Qd2 =120 + 2p1 - 8p 2 - 2p3 ;

Hàng hóa 3:

Qs3 =13p3 ; Qd3 = 300 -10p1 - 5p2 - p3 ;

Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng.
Giá cân bằng được xác định từ hệ phương trình:

�-10 + 2p1 = 100 - 5p1 + 3p 2 - p 3
�7p1 - 3p2 + p3 = 110
�
�
�
-20
+
5p
=
120
+
2p
8p

2p
�
�2p1 - 13p2 - 2p3 = -140
2
1
2
3
� 13p
�
=
300
-10p
5p
p
10p1 + 5p2 + 14p3 = 300
3
1
2
3
�
�

�p1
�
p2
�
�
p3
�

= 495 / 23
= 320 / 23
=

25 / 23

�Q1
�
� Lượng cân bằng là �
Q2
�
Q3
�

=

760 / 23

= 1140 / 23
=

325 / 23


II. Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ
 Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ dạng đơn giản
Y là thu nhập quốc dân
E là tổng chi tiêu kế hoạch
Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình
Y=E

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ
nền kinh tế bao gồm các thành phần sau:
C: Tiêu dùng của các hộ gia đình; G: Chi tiêu của chính phủ;
I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất
Phương ttrình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:
Y=C+G+I
Giả sử I = I0, G = G0, C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) Ta có hệ pt:
�Y = C +I0 + G0
�
C =
aY + b
�

� Y - C = I0 + G0
� �
-aY + C =
b
�


II. Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ
Giải hệ với các ẩn Y, C ta được mức thu nhập cân bằng và mức
tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế

b + a  I0 + G0 
b +I0 + G0
Y=
; C=
1- a
1- a

Chú ý: Ta cần nhìn nhận những kết quả giải mơ hình tổng qt này
như những hàm số của các biến còn lại để phục vụ cho việc tính
tốn, phân tích trên các tham số có mặt trong kết quả.
Nếu giả sử C = 200 + 0,75Y; I0 = 300; G0 = 400 (tính bằng triệu
USD) thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng
cân bằng là:
200 + 300 + 400
= 3600
1- 0,75
200 + 0,75  300 + 400 
C=
= 2900
1- 0,75
Y=


II. Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ
 Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ khi tính đến thuế thu nhập:
Nếu tính thuế thu nhập thì khi đó hàm tiêu dùng là
C = aYd + b
Trong đó Yd là thu nhập sau thuế:
Yd = Y - T
(T là tổng thuế thu nhập)
Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t, ta có:
Yd = Y - tY =  1- t  Y, C = a  1- t  Y + b

Khi đó mơ hình thu nhập quốc dân cân bằng là:
Y - C= I0 + G0
�
�Y = C +I0 + G0

��
�
C = a(1- t)Y + b
-a(1- t)Y + C = b
�
�
Giải hệ ta được thu nhập và tiêu dùng cân bằng là:

b + a  1- t   I0 + G0 
b +I0 + G0
Y=
; C=
1- a  1- t 
1- a  1- t 


III. Mơ hình IS-LM
Mơ hình IS – LM được sử dụng để phân tích trạng thái cân bằng của
nền kinh tế trong hai thị trường: hàng hoá và tiền tệ.
 Các ký hiệu:
 Tổng cung: Y là tổng thu nhập của nền kinh tế;
Tổng cầu: E là tổng chi tiêu của nền kinh tế.
Các thành phần của tổng cầu:
C là tiêu dùng của các hộ gia đình; G là chi tiêu của chính phủ,
I là chi tiêu cho đầu tư sản xuất; X là xuất khẩu, M là nhập khẩu.
 E = C + I + G + X – M.
 L là lượng cầu tiền, M0 là lượng cung tiền,
(các biến trên đều tính bằng đơn vị tiền tệ)
r là lãi suất (tính bằng %).
 Các giả thiết của mơ hình:

 C = C(Y) = a + bY (đây là dạng tuyến tính của hàm tiêu dùng,
trong đó: mức tiêu dùng tự định a thoả mãn a > 0; xu hướng tiêu
dùng cận biên b thoả mãn 0 < b < 1 ).
 I = I(r) = c – dr dạng tuyến tính của hàm đầu tư; c, d > 0.
 G = G0 (chi tiêu của chính phủ theo kế hoạch là cố định).


III. Mơ hình IS-LM
 NX = X – M = 0 (nền kinh tế đóng hoặc cán cân thương mại
cân bằng);
 Lượng cung tiền M0 cố định
 Lượng cầu tiền có quan hệ cùng chiều với thu nhập và ngược
chiều với lãi suất:
L = αY- βr; α, β > 0
 Phương trình IS biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường
hàng hoá, dịch vụ:
E = C + I + G + X – M  Y = a + bY + c – dr + G0
 (1-b)Y + dr = a + c + G0
 Phương trình LM biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường
tiền tệ:
αY- βr = M0
Mơ hình IS – LM quy về hệ 2 phương trình hai ẩn Y và r gồm
phương trình IS và phương trình LM.
(1- b)Y + dr = a + c + G0
�
��
αY - βr = M0
�

III. Mơ hình IS-LM
Giải hệ phương trình ta xác định được mức thu nhập cân bằng và
lãi suất cân bằng:

βM0 + d  a + c + G0 
α  a + c + G0  -  1- b  M0
Y=
; r=
αd + β(1- b)
αd + β(1- b)
VD:(Đề KTQD năm 2008):
Ta có hệ phương trình:
�Y = C +I
�
C = C0 + aY
�
�
I = I0 - br
�
�
(1- a)Y + br = C0 +I0
�
�Y = C0 + aY +I0 - br
L = L0 + mY - nr
��
��
�
M0 = L 0 + mY - nr
M0 = L
� - mY + nr = L 0 - M0

�
�
�
Giải hệ ta được thu nhập và lãi suất cân bằng


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Xét một nền kinh tế bao gồm n ngành sản xuất (1, 2,…, n), với các
giả thiết sau:
1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất;
2. Các sản phẩm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành được sử
dụng theo một tỷ lệ cố định.
Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:
 Cầu trung gian: Từ phía các nhà SX sử dụng loại sản phẩm đó
cho q trình sản xuất;
 Cầu cuối cùng: Từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu
dùng hoặc xuất khẩu.
Ký hiệu:
xi là tổng cầu (dạng giá trị ) đối với hàng hóa của ngành i; i =1,2,...,n
xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần SD cho việc SX
(cầu trung gian)

bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng & xuất khẩu
(cầu cuối cùng)


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Ta có n phương trình:

xi =xi1 +xi2 +...+xin +bi; i =1,2,...,n

xi1
xi2
xin
� xi = x1 + x2 +...+ xn +b;
i =1,2,...,n
i
x1
x2
xn
Đặt:

xik
aik = ; i,k =1,2,...,n
xk

Ta có hệ phương trình:

�x1 = a11x1
�x = a x
�2
21 1
�
� ...
�
�x n = an1x1

+ a12 x 2
+ a 22 x 2
+
...

+ an2 x 2

+
+
+
+

...
...
...
...

+ a1n x n + b1
+ a 2n x n + b2
+
...
...
+ ann x n + bn


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Nếu cho các ma trận:

a11 a12
�
�
a21 a22
�
A=
�... ...

�
an1 an2
�

... a1n �
... a2n �
�
... ... �
�
... ann �

Ma trận hệ số kỹ thuật hay
ma trận hệ số chi phí trực
tiếp

�b1 �
�
�
b
B = �2 �
�... �
� �
bn �
�

�x1 �
�x �
2
Đặt: X = � �
�... �

� �
�xn �

Ma trận
cầu cuối
cùng

Ma trận
tổng cầu

Các xi ; i =1,2,...,n; tìm được từ hệ phương trình:

� 1- a11  x1
�
� -a21x1
�
� ...
�
� -an1x1

+
-

a12 x 2
- ...  1- a22  x 2 - ... ...
an2 x 2

- ... - ... +

a1n x n

a2n x n

= b1
= b2

...
= ...
 1- ann  xn = bn


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Hệ được viết dưới dạng ma trận:

(E – A)X = B
Từ phương trình trên, suy ra ma trận tổng cầu là:
X = (E – A)-1B
Chú ý: (Về ma trận hệ số kỹ thuật A)
 Ý nghĩa mỗi phần tử aik : Để sản xuất ra 1 đơn vị giá trị hàng
hóa của ngành k thì ngành k phải mua của ngành i số đơn vị giá trị
hàng hóa là aik ; 0 ≤ aik < 1, mọi i,k = 1, 2,...,n.
 Tổng tất cả các phần tử của cột k là chi phí mà ngành k phải trả
cho việc mua hàng hóa của các ngành (kể cả ngành k) để làm ra 1
đơn vị giá trị hàng hóa của mình.
0 < a1k + a2k +...+ ank < 1


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Ví dụ1: Giả sử trong một nền kinh tế có 2 ngành sản xuất (ngành 1, 2)
Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:
�0,1 0,2 �

A =�
�
0,3
0,4
�
�
1. Giải thích ý nghĩa của con số 0,3 trong ma trận A;
2. Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị của hoạt động sản
xuất) của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó;
3. Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành
1, 2 lần lượt là: 17, 52 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu
đối với mỗi ngành.


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Giải
1. Ý nghĩa của con số 0,3 trong ma trận A: Để ngành 1 sản xuât ra
1 đơn vị giá trị hàng hóa ( 1 đồng hay 1$ ) thì ngành 1 phải mua
của ngành 2 số đơn vị giá trị hàng hóa là 0,3 ( đồng hay $)
2. Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm
của ngành 2 là: 1 – (0,2 + 0,4) = 0,4
3. Gọi x1, x2 lần lượt là tổng cầu của ngành 1 và ngành 2 thì x1, x2
sẽ tìm được từ hệ phương trình:
�0,9x1 - 0,2x 2 = 17
�
-0,3x1 + 0,6x 2 = 52
�

Giải hệ ta được:
x1 =

103
173
�42,92; x 2 =
�108,13
2,4
1,6


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
Ví dụ 2: Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất
(ngành 1, 2, 3). Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:
0,2 0,3 0,2 �
�
�
A =�
0,4
0,1
0,2
�
�
�0,1 0,3 0,2 �
�
�

1. Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A;
2. Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị của hoạt động sản xuất)
của ngành 3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó;
3. Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành
1, 2, 3 lần lượt là: 10, 5, 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng

cầu đối với mỗi ngành.
4. Xác định tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào của mỗi ngành.


IV. Mơ hình Input – Output của Leontief
1. Ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A: Để ngành 1 sản
xuât ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa ( 1 đồng hay 1$ ) thì ngành 1
phải mua của ngành 2 số đơn vị giá trị hàng hóa là 0,4 (đồng
hay $)
2. Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản
phẩm của ngành 2 là: 1 – (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,4
3. Gọi x1, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của ngành 1, ngành 2 và
ngành 3 thì x1, x2, x3 sẽ tìm được từ hệ phương trình:
�0,8x1 - 0,3x 2 - 0,2x 3 =10
�
-0,4x1 + 0,9x 2 - 0,2x 3 = 5
�
�
-0,1x1 - 0,3x 2 + 0,8x 3 = 6
�
Giải hệ ta được x1 �24,54; x 2 �20,68; x 3 �18,36

4. Gọi c1, c2, c3 lần lượt là tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào
của ngành 1, ngành 2 và ngành 3 thì ci, i = 1,2,3 sẽ tìm được
từ cơng thức:
c = x ( tổng cột i), i = 1,2, 3