Đề tài: Dùng Bất đẳng thức để giải Phương trình-Hệ phương trình - Sáng kiến-Kinh nghiệm... - Trung tâm Thông tin - Thư viện điện tử

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I. phần mở đầu</b>
<b>I.1. Lý do chọn đề tài.</b>

Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà
ngời thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó khơng phải là dễ nó địi hỏi
phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lịng tận tâm và những nguyên
tắc đúng đắn. Ngời học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu đợc
càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác. Nhng nếu
Học sinh đứng một mình trớc một bài tốn mà khơng có giúp đỡ nào,
hay một sự giúp đỡ q ít thì khơng thể tiến bộ gì đợc. Mặt khác nếu
thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng cịn gì phải làm. Thầy giáo
phải giúp đỡ vừa phải khơng nhiều q, cũng ít q và nh vậy để học
sinh có một cơng việc hợp lý.

Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học
cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài tốn giải phơng trình, hệ
phơng trình khơng chính tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng của
một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó.

Phơng trình, hệ phơng trình khơng chính tắc là sự phối hợp nhiều
luồng kiến thức, kĩ năng giải tốn. Bài tốn địi hỏi ngời làm tốn phải
hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng. Ngời làm tốn
cần tìm tịi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho
chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học.

Là giáo viên dạy tốn nhiều năm tơi nhận thấy cần phải tập hợp
lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng tốn một
cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng tốn một
cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học
tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,
gọn và tiết kiệm đợc thời gian .

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi
và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học
sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do nêu trên tơi có ý tởng xây
dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình”.
<b>I.2.Tính cần thiết của đề tài.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nhằm nâng cao chất lợng “Giải phơng trình, hệ phơng trình
bằng phơng pháp dùng bất đằng thức”. Giúp cho thầy và trò trong
dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thi học
sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối THCS,
học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng tốn giải
phơng trình và hệ phơng trình. Góp phần nâng cao chất l ợng
dạy học tốn và các bộ mơn khác ngày càng cao hơn.

<b>I.2. Mục đích nghiên cứu.</b>

Học sinh đạt đợc Giải phơng trình và hệ phơng trình bằng phơng
pháp bất ng thc .

<b>I.3. Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên</b>
<b>cứu.</b>

<i><b>4.1. Đối tợng nghiên cứu: </b></i>

- Cỏc dng tốn giải phơng trình, hệ phơng trình v các bt ng
thc trong chng trỡnh THCS.

<i><b>4.2. Phạm vi nghiên cứu: </b></i>

Häc sinh c¸c líp khèi 8 khèi 9 ë trờng THCS Mạo Khê II
-Đông Triều - Quảng Ninh

<i><b>4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007; </b></i>

2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010.

<b>I.4. Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn</b>
<b>I.4.1. Cơ sở lí lụân</b>

Núi n dy hc l mt cụng việc vừa mang tính khoa học vừa
mang tính nghệ thuật. Do đó địi hỏi ngời giáo viên cần có năng lực s
phạm vững vàng, phơng pháp giảng dạy phù hợp theo hớng tích cực
giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo cho
học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phơng trình hệ phơng trình
bằng phơng pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ thuộc vào năng
lực s phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp ngời giáo viên phải
khơng ngừng học hỏi, tìm tịi tài liệu có liên quan để làm sao có thể
truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả
năng tiếp thu của từng đối tợng học sinh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

dựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thú
học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong
học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến trờng là một
niềm vui”

<b>I.4.2. C¬ së thùc tiƠn</b>

Bản thân tơi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy mơn Tốn tơi có
nhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi mơn Tốn,

Tốn trên máy tính tại trờng THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơng
pháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều nh kết
quả nhanh, chính xác, làm đợc nhiều bài tập trong khoảng thời gian
ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán.

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tịi để có kiến
thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng
-cố gắng hồn thành nhiệm vụ là đợc cịn nghiên cứu tìm tịi đã có các
nhà khoa học.

- Ngun nhân góp phần khơng nhỏ nữa cho rằng việc nghiên
cứu tìm lời giải cho các bài tốn là những ngời phải có trí tuệ, phải là
bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc khơng mài thì
khơng sáng đợc”.

- Do đó địi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và
tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chun mơn, cơng việc
giảng dạy của mình. Tốn học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh
và khoa học với bài tốn trên song không vận dụng đợc vào cấp học
phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận
cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện
hành.

<b>II. phÇn néi dung</b>
<b>II.1.1. Mét sè thành tựu</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứng

thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới.

<b>II.1.2. Một số tồn tại và nguyên nhân</b>

Sỏng kin kinh nghim này đợc áp dụng trong hai khối 8 và khối
9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinh
còn thiếu động cơ học tập, lời học, khơng tích cực học tập vì cho rằng
đây là chun đề khó khơng quan trọng, khơng thiết thực vậy việc phát
huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn nữa những
học sinh trên ít đợc sự quan tâm của gia đình.Vì vậy địi hỏi sự cố
gắng tận tâm của ngời thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng
nhận thức chung cuả môn học.

<b>II.13. Vấn đề đặt ra</b>

Rèn luyện “Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng
bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng
mới cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua bài tập là quan
trọng để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn. Với học sinh họat
động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đợc
qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức đợc nhớ lâu khi đợc
vận dụng thờng xuyên.

- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong
phú, hấp dẫn.

- Là phơng tiện để ơn tập, củng cố, hệ thống hố mt cỏch tt
nht kin thc ó hc.

- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
<b>II.2.áp dụng trong giảng dạy</b>

<b>II.2.1.các b ớc tiến hành</b>

Để bồi dỡng học sinh giỏi Tốn nói chung và giải tốn trên máy tính
nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm đợc những công việc sau:

- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn những em học khá
Toán trở lên và chăm học vo i tuyn HSG Toỏn.

- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán.

- Son ni dung bồi dỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dỡng học
sinh giỏi phải hệ thống, phân loại đợc từng dạng Toỏn khi c phõn
cụng bi dng

- Lên kế hoạch båi dìng häc sinh giái theo tõng tn .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>KÕ ho¹ch båi dìng häc sinh giái : D¹y từ 2 3 buổi trong một tuần.</i>

<b>Ii.2.2. Quá trình thùc hiÖn</b>

<i><b>I)- </b></i>

<i><b> á</b><b> p dụng bất đẳng thức Cauchy</b></i>

<b>1. KiÕn thøc </b>

Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cới
hầu hết học sinh. Tuy nhiên, ngời ta vẫn xây dựng đợc nhiều bài tốn
mới hay khó. Bất đẳng thức cauchy đợc phát biểu:

Cho dãy số khơng âm a1,a2,...an. Ta có bất đẳng thức:

<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+. .. .. a<i>_n</i>

<i>n</i> <i>≥</i>

<i>n</i>

√<i>a</i>1<i>a</i>2<i>. .. an</i>

Vµ dÊu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2=....=an

Bt ng thc đợc chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
khơng trình bày chứng minh trong bài viết này.

<b>2. Mét sè vÝ dơ. </b>

Phơng trình, hệ phơng trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức
cauchy rất phong phú và đa dạng. Thơng qua các ví dụ điển hình mong
rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán.

<b>Ví dụ 1: Giải phơng trình:</b>

<i>x+ y+ z+4=2.</i><i>x 2+4 .</i>√<i>y − 3+6 .</i>√<i>z − 5</i>

(Tun sinh 10, THPT Lª Hång Phong TP Hå ChÝ Minh - 1993 -1994)

* Lêi gi¶i:

Điều kiện có nghĩa: x  2 ; y  3 ; z  5.
áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:

2√<i>x −2 ≤ x − 2+1</i> (1)

4√<i>y −3 ≤ y − 3+4</i> (2)

6√<i>z −5 ≤ z−5+9</i> (3)

Céng (1), (2), (3), ta cã:

2√<i>x −2+4</i>√<i>y −3+6 .</i>√<i>z − 5≤ x + y +z+4</i>

Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1

Khi y - 3 = 2

z - 5 = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét: Đây là phơng trình vơ tỷ khơng chính tắc, bài tốn cịn
có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức
Cauchy là dụng ý của ngời viết. Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có
thể tạo nhiều bài tơng tự với mt chỳt bin i.

Ví dụ 2: Giải phơng trình: <i>16 x</i>4+5=63 <i>4 x</i>3+<i>x</i>
Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4_{+ 5 > 0 nªn} _√3<i>_{4 x}</i>3

+<i>x</i> > 0  x > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dơng 4x; 4x2_{+1 ; 2 ta}
có:

6√3<i>4 x</i>3+<i>x=3</i>

√

3<i>4 x (4 x</i>3+1).2 ≤ 4 x +(4 x2+<i>1)+2=4 x</i>2+<i>4 x +3</i>
=> 16x3 + 5  4x2 + 4x + 3

 8x3 + 2x2 - 2x + 1  0
 (2x-1)2 _{. (2x}2_{+ 2x + 1)  0}

 (2x - 1)2_{0, vì (2x - 1)}2_{0, nên x = 1/2 tháa m·n}

Nhận xét: Đây là bài toán phơng trình vơ tỷ khó, hiểu giải bằng
cách nâng lên lũy thừa thì bài tốn phức tạp và khó giải đợc . Bằng
cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp
với biến đổi tơng đơng chúng ta tìm ra lời giải. Quan sát kỹ chúng ta
có thể tạo ra một lớp bài tốn bằng cỏch bin i i lờn.

Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
<i>2 x</i>2+ 1

<i>y</i>4=3

<i>2 y</i>2+ 1

<i>x</i>4=3

Lời giải:

<i>2 x</i>2+1

<i>x</i>2+2 y
2

+ 1

<i>y</i>2=6

Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: <i>x</i>2

+<i>x</i>2+ 1

<i>x</i>4<i>≥ 3.</i>

3

√

<i>x</i>2<i>_x</i>2_. 1

<i>x</i>4=3
<i>y</i>2

+<i>y</i>2+ 1

<i>y</i>4<i>≥3 .</i>

3

√

<i>y</i>2<i>_y</i>2_. 1

<i>y</i>4=3

<i>x</i>2= 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

VËy dÊu b»ng x¶y ra ë (1) khi: <i>y</i>2= 1

<i>y</i>4  x =  1

y =  1
VËy tËp nghiệm của hệ phơng trình là:

( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)

Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phơng trình đối
xứng loại 2, bài tốn có thể giải theo phơng trình chung đó. Vận dụng
bất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo. Chỉ sử
dụng bất đẳng thức Cauchy thì phơng trình (1) dễ phát hiện hơn so với
hệ phơng trình đầu bài cho. áp dụng cách giải, ta có thể tạo ra nhiều
bài hay và khó hơn.

VÝ dơ 4: Giải hệ phơng trình :
<i>2 x</i>2

<i>1+x</i>2=<i>y</i>
<i>2 y</i>2

<i>1+ y</i>2=<i>z</i>
<i>2 z</i>2
<i>1+z</i>2=<i>x</i>

Lời giải:

Dễ thÊy ( x; y; z) = (0; 0; 0) lµ một nghiệm của phơng trình
Xét x # 0 thì y # 0, z # vµ x, y, z > 0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x2_{ 2x , 1+ y}2_{ 2y ,1}
+z2_2z.

Nªn ta cã: <i>2 x</i>2

<i>1+x</i>2<i>≤ x</i> ;

<i>2 y</i>2

<i>1+ y</i>2<i>≤ y</i> ;

<i>2 z</i>2

<i>1+z</i>2<i> z</i> Vậy từ hệ phơng

trình ta có:

y  x  z  y do đó x = y = z . Giải ra ta có: x = y = z = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>II)- </b><b> á</b><b> p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.</b></i>

<b>1- KiÕn thøc:</b>

Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến

Bất đẳng thức Binhiacôpski. Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với
học sinh, đợc sử dụng nh một công cụ, trong phần này chúng ta
nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình khơng
mẫu mực. Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski.

Giả sử: a1, a2,…, an và b1, b2,…bn là hai hãy số tùy ý.
Ta có bất đẳng thức.

(a1b1 + a2b2…+ anbn)  (<i>a</i>₁2+<i>a</i>₂2+<i>.. ..+ a_n</i>2)<i>.(b</i>₁2+<i>b</i>₂2+<i>.. . .+ b_n</i>2) _.

Và dấu bằng xảy ra khi: <i>a</i>1

<i>b</i>1

=<i>a</i>2

<i>b</i>2

=.. ..<i>an</i>

<i>bn</i>

Bất đẳng thức đợc chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
khơng trình bày cách chứng minh trong bài viết này.

<b>2. Mét sè vÝ dô:</b>

Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phơng
trình, hệ phơng trình thờng phong phú và đa dạng. Khi giải dạng toán
bằng phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các cặp số.

Sau đây là một số ví dụ phõn tớch nhn bit ny:

Ví dụ 1: Giải phơng trình

<i>x 1+x 3=</i><i>2 x</i>2<i>_{4 x +16}</i>

Lời giải:

Điều kiện cã nghÜa x  1

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:

<i>x −3</i>¿2

√<i>x − 1</i>¿2+¿
¿

|√<i>x −1+x −3</i>|<i>≤</i>_√12

+12.√¿
 √<i>x −1+x 3 </i><i>2 x</i>2<i> 4 x +16</i>

Đẳng thức x¶y ra  √

<i>x − 1</i>

1 =

<i>x −3</i>

1

<i>x −3 ≥ 0</i> 

<i>x − 3</i>¿2
¿
¿

<i>x −1=</i>¿



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 x = 5 (lo¹i x = 2 < 3). Vậy phơng trình có nghiệm duy nhÊt x
= 5.

Nhận xét: Nhận biết hai bộ s √<i>x −1 ; x − 3</i> và 1; 1 để dùng bất
đẳng thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó.
Bài tốn này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn,
Chúng ta có thể tạo ra những bài toỏn tng t.

Ví dụ 2: Giải phơng trình

<i>7 x+</i><i>x −5=x</i>2<i>_{−12 x+38}</i>

(Thi häc sinh giái THCS TP Hå ChÝ Minh 2002 - 2003)
Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: 5 x  7.

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có:

VÕ tr¸i: _√<i>7− x+</i>√<i>x −5 ≤</i>√1+1 .

_√

(√<i>7 − x</i>)2+(√<i>x −5</i>)2=2 (1)
VÕ ph¶i: x2 _{- 12x + 38 = (x-6)}2_{+ 2  2} ₍₂₎

VËy vÕ tr¸i  2  vÕ ph¶i

√<i>7 − x</i>
1 =√

<i>x −5</i>

1
Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra khi: <i>x − 6</i>¿2=0

¿  x = 6

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh. Nhận biết hai
bộ: √<i>7− x</i> ; √<i>x −5</i> và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski
đánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải.
Cách thiết lế những bài toán nh vậy sẽ kiểm tra đợc nhiều luồng kiến
thức của học sinh.

VÝ dơ 3: Gi¶i hƯ phơng trình
(2+<i>y</i>2+<i>z</i>2)

<i>x+3 y +4 z</i>2=26<i>x</i>3+<i>y</i>3+<i>z</i>3=92

Lời giải:

ỏp dng bt ng thức Bunhia-cơpski ta có:

<i>x+3 y +4 z</i>¿2<i>≤(1</i>2+32+42)(<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>x</i>2)

¿

 <i>x+3 y +4 z</i>¿2<i>≤ 26(x</i>2+<i>y</i>2+<i>x</i>2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Đẳng thức (1) xảy ra khi <i>x</i>₁=<i>y</i>
3=

<i>z</i>

4 kt hp với hệ phơng trình ta
tìm đợc nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).

Nhận xét: Đây là hệ phơng trình khơng mẫu mực. Để phát hiện
ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến
vế phải của chơng trình thứ nhất (chứa x2_{+ y}2 _{+ z}2_{), Sau đó chọn bộ số}
thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá. Phơng trình thứ hai chỉu
dùng khi đánh giá xong phơng trình thứ nhất. Những bài kiểu này dễ
thiết kế, xong khó giải. Ngời giải phải có kiến thức nhất định về bất
đẳng thức.

VÝ dơ 4: Gi¶i hƯ phơng trình

<i>1+x</i>1++<i>1+x</i>2+. . .<i>1+x</i>2006=2006.

2007₂₀₀₆

<i>1 x</i>1++<i>1 x</i>2+. . .<i>1 − x</i>2006=2006.

√

2005

2006
Lêi gi¶i:

Điều kiện có nghĩa; -1  xi  1 ; i = 1, 2 …., 2006.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có:

20062.2007

2006=(√<i>1+x</i>1+√<i>1+x</i>2+.. .+√<i>1+x</i>2006)
2

(1+1+.. .+1)(1+x1+1+x2+<i>.. .+1+ x</i>2006)

<i>2006 .2007 ≤ 2006 .(2006+x</i>1+<i>x</i>2+. . .+ x2006)

 <i>x</i>₁+<i>x</i>₂+.. .+x₂₀₀₆<i>≥1</i> ₍₁₎
20062.2005

2006=(√<i>1 − x</i>1+√<i>1 − x</i>2+.. .+√<i>1− x</i>2006)
2

<i>2006 .2005 ≤ 2006 .(2006 − x</i>1<i>− x</i>2<i>−. .. − x</i>2006)

 <i>x</i>₁+<i>x</i>₂+.. .+x₂₀₀₆<i>≤1</i> ₍₂₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Tơng đơng với:

<i>1+x</i>₁=1+x₂=. ..=1+ x₂₀₀₆
<i>1− x</i>₁=1− x₂=.. .=1 − x₂₀₀₆

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂+<i>.. .+x</i>₂₀₀₆=1
=> x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006

Nhận xét: Đây là bài tốn khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất
đẳng thức. Cách đánh giá liên lục hai phơng trình rồi so sánh với nhau
địi hỏi ngời giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén trong
vận dụng bt ng thc núi chung.

Tổng quát ta có bài toán sau: √

<i>1+x</i>1++√<i>1+x</i>2+. . .√<i>1+xn</i>=<i>n .</i>

√

<i>n+k</i>
<i>n</i>

√<i>1− x</i>1++√<i>1 − x</i>2+. . .√<i>1 − xn</i>=<i>n .</i>

√

<i>n − k_n</i>

<i><b>III)- Giải ph</b><b> ơng trình bằng cách đánh giá các ẩn</b></i>

<b>1- KiÕn thøc: </b>

Nhiều bài tốn tởng chừng khơng giải đợc , thật bất ngờ chung ta
chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phơng trình thì bài tốn cho ta
một lời giải thú vị đến bất ngờ.

Kỹ thuật trong phần này thờng sử dụng quan sát các ẩn, để đánh
giá hai vế hoặc giữa các phơng trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ giữa

các ẩn số, từ đó có đợc một phơng trình , hệ phơng trình đơn giản hơn.
<b>2. Một ví dụ:</b>

Trong phần này thơng qua một ví dụ, chúng ta quan sát cách
đánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định đợc nghiệm của
hệ.

VÝ dơ 1: Giải phơng trình
<i>20 x</i>2_{+10 x +3}

<i>3 x</i>2_{+2 x+1} =<i>y</i>
2

+2(2 x −3) y +5 x2<i>− 16 x+20</i>

Lêi gi¶i:
* XÐt vÕ tr¸i:

<i>20 x</i>2_{+10 x +3}

<i>3 x</i>2+2 x+1 =

<i>20 x</i>2_{+10 x+3}

<i>3 x</i>2+<i>2 x +1</i> <i> 7+7</i> =

<i>x 2</i>2

<i></i>

7
Đẳng thøc x¶y ra hki x = 2 (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

7

Đẳng thc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

Từ (1), (2) phơng trình cã mét nghiƯm duy nhÊt

Nhận xét: Đây là bài tốn rất phức tạp, không giải đợc trực tiếp.
Bằng các quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phơng trình với cùng
số 7, bài tốn có nghiệm duy nhất. Cách tạo đợc bài tốn này khơng
khó nhng giải đợc thỡ khụng d.

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

<i>x+</i><i>1998 y=</i>1998

<i>1998 x+</i><i>y=</i>1998

<i><b>(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)</b></i>

Lời giải:

Điều kiƯn cđa bµi: 1998  x, y  0

- NÕu x > y th×: _√<i>x+</i>√<i>1998 − y ></i>√<i>y +</i>√<i>1998− x</i> => Vô lý
- Nếu x > y thì: √<i>x+</i>√<i>1998 − y ></i>√<i>y +</i>√<i>1998− x</i> => V« lý

- VËy x = y ta có hệ phơng trình: <i>x+</i><i>1998 x=</i>1998
Bình phơng hai vế: <i>x+2</i><i>x (1998 x)+1998 − x=1998</i>

 x = 0 , x = 1998.

Vậy phơng trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)}.
Nhận xét: Bài tốn có vai trị bình đẳng. Bằng sự đánh giá giữa
hai ẩn, ta tìm đợc x = y là then chốt của bài. ý tởng này đợc sử dụng
rộng trong các bài chứa ẩn có vai trị nh nhau.

<i><b>IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.</b></i>

<b>1- KiÕn thøc</b>

Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng đa
dạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét
chính, những kiến thức kinh điển. Trong mục này chúng ta xét thêm
một số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song đôi khi lại gặp
khó khăn. Một số chú ý là:

- §iỊu kiƯn cđa bài toán.

- Tính chất của lũy thừa, 0 a  1, m > n > 0 => am_{ a}n_{ 1}
1  a; m < m => am_{ a}n_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

|A| +|B|  |A + B|  |A| - |B| ; |A|  -A
- Làm trội bất đẳng thức không chặt,…

2. Mét sè vÝ dô.

Sau đây thông qua một số ví dụ, chúng ta thấy sự linh hoạt của ý
tởng sử dụng, sử dụng phong phú của ứng dụng bất ng thc.

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:

<i>x+1+</i><i>y=1</i>

<i>x+</i><i>y +1=1</i>

<i><b>(Thi häc sinh giái Toán THCS Thành phố Hå ChÝ Minh </b></i>
<i><b>-2002 - 2003)</b></i>

Lời giải:

Điều kiện của bài toán 0  x, y.
=> x + 1  1, y + 1 1. Vậy:

<i>x+1+</i><i>y 1</i>

<i>x+</i><i>y +1 1</i>

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0 , y = 0

VËy bµi to¸n cã nghiƯm duy nhÊt x = y = 0

Nhận xét: Quả thật bài tốn trên có lời giải bất ngờ và đơn giản,
<b>chỉ cần sử dụng điều kiện của bài nh một nhận xét là tìm đợc lời</b>
giải. bài tốn này khơng khó, có thể giải theo cách khác nhng dài và
khơng đẹp.. Vì vậy trớc khi giải hệ phơng trình vơ tỷ nên quan tâm đến
điều kiện ẩn số.

VÝ dơ 2: Gi¶i hệ phơng trình:

<i>x</i>2006

+<i>y</i>2006=1 (1)

<i>x</i>2007+<i>y</i>2007=1 (2)

Lời giải:

Từ phơng trình (1) ta cã: |x|  1, |y|  1 => 1 - x 0,1 -y
0.

Lấy phơng trình (1) trừ ®i (2) vÕ víi vÕ, ta cã:

<i>x</i>2006_{(1 − x)+ y}2006_{(1− y)=0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hc x = 1, y = 0
Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 vµ x = 1, y = 0.

<b>Nhận xét: bài tốn này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0  a</b>
 1, m > n > 0 =>am_{ a}n_{1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn. Dạng}
bài này có dùng để tính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn,
Cách thiết kế kiểu bài này khơng khó.

<b>VÝ dụ 3: Giải phơng trình</b>

|<i>x</i>2<i>_{x +1}</i>_|

+|<i>x</i>2<i> x 2</i>|=3
<b>Lời giải:</b>

<b>Cỏch 1: áp dụng bất đẳng thức </b> |<i>A</i>|+|<i>B</i>|<i>≥</i>|<i>A+B .</i>| Dấu bằng xảy ra

khi

A. B > 0, VËy ta cã |<i>x</i>2<i>− x +1</i>|+|<i>x</i>2<i>− x −2</i>|=|<i>x</i>2<i>− x +1</i>|+|<i>2 − x</i>2+<i>x</i>|
|<i>x</i>2<i> x +1+2 x</i>2+<i>x</i>|=3

Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i>2<i>_{− x +1}</i>

¿<i>.(2. x</i>2+<i>x)>0</i>
Mµ x2_{-x + 1 > 0 => x  0 s - 1  x  2.}

<b>Cách 2: áp dụng bất đẳng thức </b> |<i>A</i>|<i>≥ − A</i> dấu bằng xảy ra khi A
 0

x2_{-x + 1 > 0 => |x}2_{-x + 1| = x}2_{-x + 1.}
|x2_{-x - 2|  (-x}2_{- x - 2).}

|x2_{-x + 1| + |x}2_{-x - 2|  x}2_{-x + 1 - (x}2_{-x - 2) = 3}
Đẳng thức xảy ra khi: x2_{-x - 2  0  - 1  x  2.}

Nhận xét: Thông thờng học sinh dùng phơng án phá dấu giá trị
<b>tuyệt đối. Nhng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa dấu</b>
<b>giá trị tuyệt đối đã cho lời giải đơn giản và ngắn gọn. Nếu chúng ta</b>
tăng thêm các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì đợc nhiều bài
tốn hay v khú.

<b>II.3. Ph ơng pháp nghiên cứu- kết quả nghiên cứu</b>
<b> </b>

<b> II.3.1.Phơng pháp.</b>

<b>1/ Nghiên cứu lý luận.</b>

viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những
phơng pháp sau:

*-Nghiên cứu tài liệu :

+SGK - Sách tham khảo ; tạp trí to¸n häc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

cđa d¹y häc .

*- So s¸nh, tỉng kÕt

*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng cùng nghiên
cứu vận dụng kiến thức hợp lý không quá sức học sinh trong
khuôn khổ chơng trình học .

Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi
d-ỡng học sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp

Tham gia các lớp bồi dỡng giáo viên do Sở Giáo dục Đào tạo tổ
chức

<b>2/ Nghiên cứu thực tiễn.</b>
- Kiểm tra học sinh líp 8, 9

<b>II.3.1. KÕt qu¶</b>

- Đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng “Giải phơng trình, hệ
ph-ơng trình bằng phph-ơng pháp dùng bất đẳng thức”. Giúp cho học sinh
nhìn nhận một dạng tốn dới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc
khác nhau trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.

- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên
quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định
hớng tìm tịi lời giải trớc một bài tốn. Từ đó giúp học sinh có thói
quen giải tốn theo một trình tự khoa học.

- Xây dựng đợc một hệ thống phơng pháp và kỹ năng Giúp cho học
sinh và giáo viên có một t liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán
học với việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trờng phổ thơng
hiện nay.

- Hình thành ở học sinh thói quen khai thác kiến thức cơ bản trong
chơng trình theo chiều sâu. Giúp cho các em có đợc t duy sâu sắc linh
hoạt, độc lập sáng tạo trong quá trình giải tốn.

- Giúp cho học sinh phân loại đợc các dạng bài tập và phơng pháp,
kỹ năng giải cho từng loại tạo điều kiện cho các em nhìn nhận một vấn
đề tốn học (phơng trình) dới con mắt hồn thiện hơn.

- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tịi lời giải
cho một bài tốn …phát huy đợc tích cực suy nghĩ trong q trình giải
tốn.

- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất nh tính độc lập

kiên trì sáng tạo tích cực tìm tịi và giúp các em hồn thiện dần các
phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trong quá trình học tốn ở nhà
tr-ờng phổ thơng.

- Phát huy đợc đức tính tự học, tự tìm tịi nghiên cứu góp phần tơ
điểm cho việc đổi mới phơng pháp giảng dạy và học tập của giáo viên
và học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học của học sinh làm trung
tâm " từ đó nâng cao từng bớc chất lợng học tập mơn tốn cho các em.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

trờng THCS tôi đã đạt học sinh giỏi các cấp có cả cấp quốc gia kết quả
cụ thể nh sau:

- Năm học 2005 2006: Đạt 8 em häc sinh giái cÊp hun vµ 4
em häc sinh giái cấp tỉnh.

- Năm học 2006 2007: Đạt 8 em häc sinh giái cÊp hun vµ 4
em häc sinh giái cấp tỉnh.

- Năm học 2007 2008: Đạt 6 em häc sinh giái cÊp hun vµ 3 em
häc sinh giái cÊp tØnh.

- Năm học 2008 – 2009: Đạt 4 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó
có một em đạt giải nhì và đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009
đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia.

- - Năm học 2008 – 2009: Đạt 5 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong
đó có một em đạt giải nhất và đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày
19/3/2010 đạt giải ba cấp Quốc gia.

PhÇn III: Phần kết luận Kiến nghị
<b>III.1.Kết luận </b>

- Khi cha đợc tiếp cận với các bài tốn khơng chính tắc, hầu hết học
sinh đều tỏ ra lúng túng, mất phơng hớng tìm ra lời giải. Khi làm quen
với sự phân tích sâu sắc, hầu hết các em đều thích thú và say mê bởi sự
mới lạ, sáng tạo, khơng máy móc.

- Víi kiÕn thøc nh vËy c¸c em nắm bài tốt hơn, liên hệ các kiến
thức với nhau mật thiết hơn, thực sự bồi bổ các chất toán cho các em
tốt hơn trong các môn học khác cũng nh trong cuéc sèng.

- Nhiều học sinh của huyện khi đợc học, đã thành công nhiều
trong kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào các trờng chất lợng cao trong
<b>những năm gần đây.</b>

Phơng trình, hệ phơng trình khơng chính tắc là một dạng tốn
khó, đa dạng, thờng đợc dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các
cấp, cũng nh thi vào các lớp chất lợng cao. Các bài tốn nh vậy ln là
vấn đề nan giải đối với hầu hết học sinh nói chung, học sinh khá giỏi
nói riêng.

Trong một số năm qua, bằng sự trăn trở để tìm ra ý tởng cho
những bài tốn hay và khó này,tơi đã tìm tịi, phân dạng để giảng dạy
nhằm mục đích truyền đạt hiệu quả nhất đến với học sinh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

sinh khám phá, tự tìm các kiến thức có liên quan để giải. Qua đây, tơi
cũng thấy kiến thức tốn học sinh đợc nâng nhiều phần khác nhau.

Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phơng trình,

hệ phơng trình là một ứng dụng lớn. Sự phân chia nh trên chỉ là ý tởng
của tơi cịn nhiều phần cha nêu hết, Đề tài này hy vọng giúp chúng ta
phần nào khó khăn trong giảng dạy và hy vọng các bạn đồng nghiệp
nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này cha nêu đợc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>III.2- KiÕn nghÞ:</b>

<b>- Với nhà trờng: Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên</b>
thực hiện và áp dụng những sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào
chuyên môn trong nhà trờng.

<b> - Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu t mở nhiều chuyên</b>
đề bồi dỡng các chun đề có liên quan đến mơn Tốn đặc biệt bồi
d-ỡng giáo viên ơn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phơng pháp, năng
lực s phm cho giỏo viờn dy hc.

<i><b>Tôi xin chân thành cảm ơn!</b></i>

<i><b>Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2010</b></i>

<b> Ngêi viÕt</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

đánh giá của hội đồng khoa học
Trờng thcs mạo khê

II

phịng gd - đt

huyện đơng triều

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>

<!--links-->