Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán bài 4 TS nguyễn mạnh thế

BÀI
À 4
MỘT
Ộ SỐ
Ố ĐỊNH LÝ
Ý QUAN TRỌNG
TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

TS N
TS.
Nguyễn
ễ M
Mạnh
h Thế

1
v1.0012107210


NỘI DUNG

• Định lý Poisson
• Luật số lớn
• Các định lý về giới hạn trung tâm:
 Định lý Moivre – Laplace;
 Định lý giới hạn trung tâm.

2
v1.0012107210

1. ĐỊNH LÝ POISSON
Xác suất của một biến cố xuất hiện k lần trong n phép thử (xác suất xuất hiện
biến cố trong
g1p
phép
p thử là p) với n tương
g đối lớn, p << 1 và np
p  λ, với λ cố
định được tính xấp xỉ theo cơng thức:
n!
(np)
p)k
k
n k
 np (
Pn (k) 
p (1  p)  e
k !(n  k)!
k!

Xác suất biến cố đó xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép thử là:
k2

k2

k  k1

k  k1

Pn (k1 ,k 2 )   Pn (k)   e



(  )k
k!

3
v1.0012107210


1. ĐỊNH LÝ POISSON (tiếp theo)
Víí dụ:
d
Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800.
Xá xuất
Xác
ất để sản
ả xuất
ất ra một
ột phế
hế phẩm
hẩ là 0,005.
0 005
Tìm xác suất để cho:
1 Có 3 sản phẩm là phế phẩm.
1.
phẩm
2. Có khơng q 10 sản phẩm bị hỏng.
n = 800, p = 0,005 => λ = np = 4

P800 (3)  e

4

43
 0,1954
3!
10

P800 (0,10)
(
) e
k 0

4

4k
 0, 997
k!

4
v1.0012107210


2. LUẬT SỐ LỚN
Định lý Bernoulli
Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập, p là xác
suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử thì với mọi ε dương nhỏ
tùy ý ta ln có:
lim P( f  p  )  1

n

Luật số lớn
Giả sử X1, X2,…, Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố
với kỳ vọng chung μ và phương sai σ2 hữu hạn. Khi đó với mọi ε dương
nhỏ
hỏ tùy
tù ý ta
t ln
l ơ có:
ó

 X  X 2  ...  X n

lim P | 1
  |    1
n 
n



5
v1.0012107210


3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Định lý Moivre – Laplace

Giả sử Xn là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n,p).

Đặt:
X n  np
Sn 
np(1  p)

Khi đó với mọi x  (  , ) ta có: lim P  Sn  x   P  Z  x 
n

trong đó Z là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc.
Ta có cơng thức xấp xỉ sau:
Pn (k)   2 

1 / 2

e

2

  k  np  / 2np(1  p)

 (x k )

6
v1.0012107210


3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM (tiếp theo)
Ví dụ:

Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0,4. Tìm xác

suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt.
tốt
Cần tìm P26(13) với
n = 26
p = 0.4
q = 1 – p = 0,6
06
xk 

(k  np)
 1,04
npq

(x k )  (1,04)  0,2323

 P26 (13) 

0,2323
 0,093
2,5

7
v1.0012107210


3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM (tiếp theo)
Áp dụng để tính xấp xỉ cho giá trị Pn (k1 ,k 2 ) :
Pn (k1 ,k 2 )  ()  ()

Trong đó



(k1  np)



(k 2  np)

npq

và

(x) 

npq
1
e
2 0
x

 x2
2

dx

8
v1.0012107210


PROPERTIES

Allow user to leave interaction:
Anytime
Show ‘Next Slide’ Button:
Don't show
Completion Button Label:
Next Slide