day them tich phan

Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh
NGUYÊN HÀM
I) Đònh nghóa nguyên hàm :
Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác đònh trên tập D.
F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D
II) Đònh nghóa tích phân không xác đònh :
Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số.
Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x).
Ký hiệu :
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
. (Họ các nguyên hàm)
III) Bảng các nguyên hàm :
dx x C= +
∫
( )
1
x
x dx C 1
1
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
dx
ln x C
x
= +
∫

x x
e dx e C= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
cos xdx sin x C= +
∫
sin xdx cosx C= − +
∫
= +
∫
2
dx
tan x C
cos x
= − +
∫
2
dx
cotx C
sin x
kdx kx C= +
∫
( )
( )

( )
α+
α
+
+ = + α ≠ − ≠
α +
∫
1
ax b
1
ax b dx C; 1,a 0
a 1
( )
= + + ≠
+
∫
dx 1
ln ax b C; a 0
ax b a
ax b ax b
1
e dx e C
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
cos ax b dx sin ax b C
a

+ = + +
∫
( ) ( )
1
sin ax b dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
( )
( )
= + +
+
∫
2
dx 1
tan ax b C
a
cos ax b
( )
( )
= − + +
+
∫
2
dx 1
cot ax b C
a
sin ax b
TÍCH PHÂN
I) Đònh nghóa tích phân xác đònh :

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác đònh của f(x) trên [a;b]
Ký hiệu :
( )
b
a
f x dx
∫
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = − 
 
∫
Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi
là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)
a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân
II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K
1)
( )
a
a
f x dx 0=
∫
2)

( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh
3)
4)
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
5)
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
6)
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a;b= + ∈ 
 
∫ ∫ ∫
7)
( )
[ ]

( )
b
a
f x 0, x a;b f x dx 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫
8)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
b b
a a
f x g x , x a;b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫ ∫
9)
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −
∫
10)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
t
a
t biến thiên trên đoạn a; b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0⇒ = =
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1) Diện tích hình phẳng :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y
1
= f
1
(x), y
2
= f
2
(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó
y
1
, y
2
là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :
( ) ( )
b
1 2
a
S f x f x dx
= −
∫
2) Thể tích vật thể tròn xoay :
• Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể
tích là :
( )
2
b b
2
Ox

a a
V y dx f x dx
= π =π  
 
∫ ∫
• Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể
tích là :
( )
2
b b
2
Oy
a a
V x dy g y dy
= π = π  
 
∫ ∫
(Dành cho ban nâng cao!)
Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh
Chủ đề III : BÀI TẬP NGUN HÀM

I. Tìm ngun hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm ngun hàm của các hàm số.
1. f(x) =
2
4
32
x
x

+
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3

2. f(x) =
2
22
)1(
x
x
−
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
3. f(x) =
3

21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3 2
32

4. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
5. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
6. 14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
7. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx
+−−
cos5cos
5

1
8. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x
−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
9. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

10.

2
2
f(x)
1 x
=
-
11/
2
5
f(x)
x 3x 2
=
- +
; 12/
f(x) sin 7x cos 5x cos x=
13/
2
17x
f(x)
10x 13x 3
=
+ -
14. f(x) =
4
3
xxx
++
ĐS. F(x) =
C
xxx

+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3

15. f(x) =
2
2
( 1)x
x
−

16. f(x) =
3
1
x
x
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−

3
2
3
5
17. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
18. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx
++
2sin
4
1
2
1

19. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
20. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx
+−
3cos
3
1

21. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx
+−−
cos5cos
5
1
22. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

23. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+
13
3
1

2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?
1. f(x) = 2 – x
2
và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) =
1
3
2
3
+−
x
x

2. f(x) = 4
xx
−
và F(4) = 0 ĐS. F(x) =
3
40
23
8
2
−−
xxx
3. f (x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x
4
– x

3
+ 2x + 3
Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh
4.
1x2x
1x3x3x
)x(f
2
23
++
−++
=
,
3
1
F(1)
=
ĐS ?
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt U = u(x)
Đặt U = u(x)
'( )dU u x dx⇒ =
I =
[ ( )]. '( ) ( )f u x u x dx f U dU=
∫ ∫
Tìm ngun hàm của các hàm số sau:

1.
∫
+
xdxx
72
)12(
; 2.
∫
+
dxxx
243
)5(
; 3.
xdxx .1
2
∫
+
; 4.
∫
+
dx
x
x
5
2
; 5a.
∫
+
dx
x

x
3
2
25
3
; b.
∫
+
1
x
e
dx
6.
∫
+
2
)1( xx
dx
; 7.
dx
x
x
∫
3
ln
; 8.
∫
+
dxex
x 1

2
.
; 9.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
; 10.
∫
gxdxcot
; 11.
∫
x
tgxdx
2
cos
;12.
∫
x
dx
sin
;
13.
∫
x
dx
cos

; 14.
∫
dx
x
e
x
; 15.
∫
−
3
x
x
e
dxe
; 16.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
; 17.
∫
xdxx
23
sincos
; 18.
dxxx .1
∫

−
;
Cố gắng các em nhé !
2. Phương pháp lấy ngun hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−=
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
19.
∫
+
xdxx sin)5(
2
; 20.
∫
++
xdxxx cos)32(
2
; 21.
∫
xdxx 2sin
; 22.
∫
xdxx 2cos

; 23.
∫
dxex
x
.
; 24.
∫
xdxln
25
∫
xdxx ln
; 26.
dxx
∫
2
ln
; 27.
∫
x
xdxln
; 28.
∫
dx
x
x
2
cos
; 29.
∫
dxxsin

; 30.
∫
+
dxx )1ln(
2
; 31.
∫
xdxe
x
cos.
; 32.
∫
dxex
x
2
3
; 33.
∫
+
dxxx )1ln(
2
; 34.
∫
xdx
x
2
; 35.
∫
xdxxlg
; 36.

∫
+
dxxx )1ln(2

; 37.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
; 38.
∫
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG.
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/
dxxx )1(
2
1
0
+
∫
; 2/
dxxxx )1(
2

16
1
−
∫
; 3/
dx
x
xx
∫
+−
8
1
3
2
35
; 4/
dx
xx
x
∫
−
4
1
3
)1(
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
dx
x
∫

−
2
1
35
3
; 2/
dx
x
x
∫
−
−
2
1
21
12
; 3/
dx
x
xx
∫
−
+−
5
4
2
3
52
; 4/
dx

xx
x
∫
+−
−
5
4
2
23
32
; 5/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
23
1
6/
dx
xx
x
∫
+−
−
4
3
2

23
3
; 7/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
96
3
; 8/
dx
xx
x
∫
+−
−
5
4
2
96
12
; 9/
dx
x
x
2
2

1
3
1
∫






−
+
; 10/
dx
x
x
∫
+
1
0
2
3
1
Bài 3 : Tính các tích phân :
Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh
1/
∫
2
0
cos3cos

π
xdxx
; 2/
∫
2
0
sin2sin
π
xdxx
; 3/
∫
2
0
3sincos
π
xdxx
; 4/
∫
2
0
5cos2sin
π
xdxx
5/
∫
2
0
4
cos
π

xdx
; 6/
∫
3
6
22
cossin
1
π
π
dx
xx
; 7/
∫
3
6
22
cossin
2cos
π
π
dx
xx
x
; 8/
dx
x
e
e
x

x
)
cos
3(
4
0
2
∫
−
+
π
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
( trong đó u(x) là hàm số biến
x)
*Phương pháp:
+ Đặt U = u(x)
⇒
dU = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a
⇒
U = u(a), khi x = b
⇒
U= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó

∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
=
( )
( )
( )
u b
u a
f U dU
∫
.
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, ...
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/
∫
+
8
3
1
dx
x
x
; 2/
∫
+
1
0
815

1 dxxx
; 3/
∫
+
1
0
1
dx
x
x
; 4/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
; 5/
∫
+
2
1
2
1 xx
dx
; 6/
∫
−
2
3

21
2
1 xx
dx
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
xdxe
x
∫
+−
1
0
2
2
; 2/
xdxe
x
cos
2
0
sin21
∫
+
π
; 3/
dxee
xe
x
∫
1

0
; 4/
∫
e
x
x
dxe
1
ln
; 5/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
; 6/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos

π
Bài 3 :Tính các tích phân :
1/
dx
x
x
∫
+
2
0
cos21
sin
π
; 2/
dx
xx
e
e
∫
2
ln
1
; 3/
∫
1
0
sin dxee
xx
; 4/
∫

−
+
1
0
dx
ee
e
xx
x
; 5/
∫
+
27
1
3
)1(
dx
xx
dx
; 6/
∫
π
0
4
cos xdx
7/
∫
−
+
2ln

0
xx
ee
dx
; 8/
∫
2
6
3
sin
cos
π
x
dx
x
x
; 9/
∫
−
2ln2
2ln
1
x
e
dx
; 10/
∫
+
2
0

33
3
cossin
sin
π
dx
xx
x
; 11/
3
2
3 3
0
cos
sin cos
x
dx
x x
π
+
∫
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxvxu )(').(
( trong đó u(x), v’(x) là
những hàm số biến x)
*Phương pháp: