Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG</b>

<b>A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>I.Vectơ chỉ phương- vectơ pháp tuyến của đường thẳng:</b>

+Vectơ <i>u</i>0_đgl<i><b>_{vectơ chỉ phương}</b></i>_{của đthẳng}_nếu<i>u</i>



có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng 

+Vectơ <i>n</i>0_đgl<i><b>_{vectơ pháp tuyến}</b></i>_{của đường thẳng}_nếu<i>n</i>_{vng góc với}
vectơ cp của đường thẳng 

<i>+ Nếu vectơ u</i><i> là một vectơ chỉ phương của đthẳng </i><i>_thìku k</i>( 0)


<i>cũng là một </i>
<i>vectơ chỉ phương của đthẳng </i>

<i>+ Nếu vectơ n</i><i> là một vectơ pháp tuyến của đthẳng </i><i>_thìkn k</i>( 0)


<i>cũng là một </i>
<i>vectơ pháp tuyến của đthẳng </i>

<i>+ Một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương và vơ số vectơ pháp tuyến</i>

<i>+ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì vng </i>

<i>góc với nhau</i>

<b>II. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:</b>
<i><b>a.Định nghĩa:</b></i>

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng_{đi qua điểm}



0; 0



<i>M</i>  <i>x y</i> _{và nhận}<i>u</i> 



<i>u u</i>1; 2





<i>u</i> 0



  

làm vectơ chỉ phương. Khi đó:
<i><b> Phương trình tham số</b></i> của đường thẳng_là:





0 1
0 2

<i>x x</i> <i>u t</i>

<i>t R</i>

<i>y</i> <i>y</i> <i>u t</i>

 






 



<i><b> Phương trình chính tắc</b></i> của đường thẳng_là:





0 0

1 2

1 2

; 0

<i>x x</i> <i>y y</i>

<i>u u</i>

<i>u</i> <i>u</i>

 

 

<i><b>b.Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:</b></i>

<i>+Nếu đường thẳng </i><i>_{có vectơ chỉ phương}u</i> 



<i>u u</i>1; 2





<i> với u</i>1 0<i> thì hệ số góc</i>

<i>đường thẳng </i><i>_là</i>

2
1

<i>u</i>
<i>k</i>

<i>u</i>


<i> +Nếu đường thẳng </i><i>_{có hệ số góc k}</i>  <i>_{vectơ chỉ phương của đường thẳng}</i>
<i>là u</i> 



1;<i>k</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>III. Phương trình tổng quát của đường thẳng:</b>
<b>a.Định nghĩa:</b>

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng_{đi qua điểm}



0; 0



<i>M</i>  <i>x y</i> _{và nhận}<i>n</i> 



<i>a b</i>;





<i>a</i>2 <i>b</i>2 0





làm vectơ pháp tuyến. Khi đó:
Phương trình tổng qt của đường thẳng<b>_{có dạng:}</b>





0 0

: ( ) 0

...

0
<i>a x x</i> <i>b y y</i>

<i>ax by c</i>

    



   
<b>Chú ý 1 : </b>

<i>+ Mọi đường thẳng đều có pttq dạng: ax by c</i>  0<i>với </i>





2 2 ₀

<i>a</i> <i>b</i> 

<i>, </i>
<i>trong đó: n</i>



<i>a b</i>;





<i>là một vtpt</i>

<i> +Một đthẳng hoàn toàn được xác định khi biết được một điểm và một vtpt </i>
<i>của nó</i>

<b>Chú ý 2: Các trường hợp đặc biệt: </b>

<i> + Đường thẳng </i><i>_{song song với trục hoành Ox và cắt trục tung tại điểm}</i>



0;



:

<i>M</i>  <i>m</i>   <i>y m</i>

<i> + Đường thẳng </i><i>_{song song với trục tung Oy và cắt trục hoành tại điểm}</i>



;0



:

<i>N</i>  <i>n</i>   <i>x n</i>

<i> + Đường thẳng </i><i>_{cắt với trục hoành Ox tại điểm}A a</i>



;0



<i>_{và cắt trục tung}</i>
<i>tại điểm B</i>



0;<i>b</i>



: 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>

   

<i>: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.</i>
<b>IV. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:</b>

Cho hai đường thẳng 1và 2lần lượt có phương trình tổng qt là:

1:<i>a x b y c</i>1  1  1 0

2 :<i>a x b y c</i>2  2  2 0

Cách 1: <i>Tọa độ giao điểm của </i>1<i>và </i>2<i> (nếu có) là nghiệm của hệ </i>

<i>phương trình:</i>

<i> </i>

1 1 1
2 2 2

0
0

<i>a x b y c</i>
<i>a x b y c</i>

  





  

 <i>_(*)</i>

<i> + Nếu hệ (*) có một nghiệm (x0;y0) thì </i>1<i>cắt </i>2<i>tại điểm M x y</i>



0; 0



<i> + Nếu hệ (*) có vơ số nghiệm thì </i> 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Cách 2:Lập tỉ số nếu:</b>
+

1 1
2 2

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>  1<i>cắt </i>2

+

1 1 1
2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  1<i>// </i>2

+

1 1 1
2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>   ₁ ₂
<b>V.Góc giữa hai đường thẳng:</b>

Cho hai đường thẳng 1và 2lần lượt có phương trình tổng

quát là:

1:<i>a x b y c</i>1  1  1 0 có vectơ pháp tuyến <i>n</i>1 



<i>a b</i>1; 1





2 :<i>a x b y c</i>2  2  2 0 có vectơ pháp tuyến <i>n</i>2 



<i>a b</i>2; 2





Gọi





^
1, 2

    _{. Khi đó ta có:}



1 2



1 2

1 2

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2

.
cos cos <i>n n</i>; <i>n n</i>

<i>n n</i>

<i>a a</i> <i>b b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

<b>Chú ý : + nếu </b>1 / /2 hoặc  1 2thì





^

0
1, 2 0

  

+   1 2 <i>n</i>1 <i>n</i>2  <i>a a</i>1 2 <i>b b</i>1 2 0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

+ nếu 1: <i>y k x m</i> 1  1 và 2 :<i>y k x m</i> 2  2thì    1 2 <i>k k</i>1. 2 1

<b>VI.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:</b>

<b>a.Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:</b>
<i>Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm</i>



0; 0



<i>M</i>  <i>x y</i> <i>_{và đường thẳng}</i>:<i>ax by c</i>  0<i>_{. Khi đó:}</i>





0 0
2 2

, <i>ax</i> <i>by</i> <i>c</i>

<i>d M</i>

<i>a</i> <i>b</i>

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Chú ý : </b><i>+ Nếu M</i>  <i>_thìd M</i>



, 



0

<i> + Nếu </i>1 / /2<i> thì d</i>



 1, 2



<i>d A</i>



,2



<i> với A là điểm bất kì nằm trên </i>
<i>đường thẳng </i>1

<b>B.BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>

<b>Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng </b>_biết:
a. _qua<i>A</i> ( 2;1)_{và vectơ chỉ phương}<i>u</i>  



2;1





b. _qua<i>B</i> (0;4)_{và vectơ pháp tuyến}<i>n</i> 



1; 3





c._qua<i>C</i> (4; 6) _{và có hệ số góc}

2
5

<i>k</i> 

d. _{qua hai điểm}<i>M</i>  ( 1;4);<i>N</i> 



5; 5



e. _qua<i>E</i> (2;1)_{và song song với trục}<i>Ox</i>
f. _qua<i>F</i> (2; 11) _{và vng góc với trục}<i>Ox</i>

g. _qua<i>E</i>  ( 3;1)_{và song song với trục}<i>Ox</i>
h. _qua<i>H</i> (6;1)_{và song song với trục}<i>Oy</i>

<b>Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng </b>_biết:
a. _qua<i>A</i> ( 3; 7) _{và vectơ pháp tuyến}<i>n</i>  



2; 1





b._qua<i>A</i>(2;1)_{và vectơ chỉ phương}<i>u</i> 



2;7





c. _{qua hai điểm}<i>M</i> (1;4);<i>N</i> 



0; 5




d._qua<i>P</i> (4; 3) _{và có hệ số góc}

2
7

<i>k</i> 

e. _{cắt trục hoành tại điểm}<i>E</i> (2;0)_{và cắt trục tung tại điểm}<i>F</i> (0; 5)
f. _{qua điểm}<i>A</i>



2,3



_{và vng góc với MN biết}<i>M</i>  ( 1;4);<i>N</i> 



2; 5



g. _{qua điểm}<i>A</i>



3;1



_{và song song với trục Ox}

h. _{qua điểm}<i>B</i> 



3; 1



_{và vuông góc với trục Oy}

<b>Bài 3: Viết phương trình tổng qt, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng </b>
 trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua điểm <i>A</i>



3;0



và <i>B</i>



1;3



b)  đi qua <i>N</i>



3;4



và vng góc với đường thẳng

1 3
' :

4 5

<i>x</i> <i>t</i>

<i>d</i>

<i>y</i> <i>t</i>

 




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 4:Cho tam giác </b><i>ABC</i> biết <i>A</i>



2;0 ,



<i>B</i>



0;4 , (1;3)



<i>C</i> . Viết phương trình tổng
quát của

a) Đường cao <i>AH</i>

b) Đường trung trực của đoạn thẳng <i>BC</i>.
c) Đường thẳng <i>AB</i>.

d) Đường thẳng qua <i>C</i> và song song với đường thẳng <i>AB</i>.

<b>Bài 5:Cho điểm </b><i>A</i>



1; 3



. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng _{đi qua}

<i>A</i>_và

a) Vng góc với trục tung

b) song song với đường thẳng <i>d x</i>: 2<i>y</i> 3 0

<b>Bài 6: Cho tam giác </b><i>ABC</i> biết <i>A</i>



2;1 ,



<i>B</i>



1;0 , (0;3)



<i>C</i> .
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao <i>AH</i>

b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng <i>AB</i>.
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng <i>BC</i>.

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua <i>A</i> và song song với đường thẳng
<i>BC</i>_.

<b>Bài 7: Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC biết:</b>

: 3 2 1 0; : 2 5 0

<i>AB</i>  <i>x</i> <i>y</i>  <i>AC</i> <i>x</i> <i>y</i> 

: 6 1 0

<i>BC</i>  <i>x</i> <i>y</i> 

<b>Bài 8: Viết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC biết: </b><i>ABC</i>_{có đỉnh}



3; 1



<i>A</i>  _{, đường cao}<i>_BH</i> _{: 8}<i>_{x y}</i>_ _ _{10 0}_ _{,đường trung bình song song với BC}
là <i>d</i> : 2<i>x y</i>  1 0

<b>Bài 9: Cho </b><i>ABC</i>_{cân tại C có}<i>A</i>(1;3)_{, đường cao}

: 3 10 0; : 5 8 0

<i>BH x</i> <i>y</i>  <i>AB</i> <i>x y</i>   _{.Tìm B,C}

<b>Bài 10: Cho </b><i>ABC</i>_{có đỉnh}<i>A</i>(3;5)_{, đường cao}<i>BH</i> : 2<i>x</i> 5<i>y</i> 3 0;_đường
trung tuyến <i>CM x y</i>:   5 0; .Tìm B và phương trình các cạnh của <i>ABC</i>
<b>Bài 11: Cho </b><i>ABC</i>_biết<i>AB</i>: 4<i>x y</i>  12 0 _{, các đường cao}

: 5 4 15 0; : 2 2 9 0

<i>BH</i> <i>x</i> <i>y</i>  <i>AH</i> <i>x</i> <i>y</i>  _{,viết phương trình hai cạnh còn lại và}
đường cao thứ 3 của <i>ABC</i>

<b>Bài 12. Cho hình chữ nhật </b> 2;0
<i>p</i>
<i>F</i>_ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 13. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình </b>





12
2

; 2 2

2
<i>p</i>
<i>d F</i>



  

và <i>p</i> 16.Viết phương trình hai cạnh cịn lại biết tâm hình bình hành là <i>I</i>



3;1



.
<b>Bài 14. Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau</b>

a) 1:<i>x y</i>  2 0; 2 :<i>x y</i>  3 0

b) 1: <i>x</i> 2<i>y</i> 5 0; 2 : 2<i>x</i>4<i>y</i> 10 0

c) 1: 2<i>x</i> 3<i>y</i> 5 0; 2 :<i>x</i> 5 0

d) 1: 2<i>x</i>3<i>y</i> 4 0; 2 : 4 <i>x</i> 6<i>y</i> 0

<b>Bài 15. Cho hai đường thẳng </b>1: (<i>m</i> 3)<i>x</i>2<i>y m</i> 2  1 0 và





2

2 : <i>x my</i> <i>m</i> 1 0

      _.

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của 1 và 2 trong

các trường hợp <i>m</i> 0;<i>m</i> 1

b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau.

<b>Bài 16. Cho hai đường thẳng </b>1: 3<i>x y</i>  3 0, 2 :<i>x y</i>  2 0 và điểm

(0;2)

<i>M</i>

a) Tìm tọa độ giao điểm của 1và 2 .

b) Viết phương trình đường thẳng _{đi qua M và cắt}1 và 2 lần lượt tại A và

B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM

<b>Bài 17: Cho hai đường thẳng có phương trình</b>







2 2



1: <i>a b x y</i> 1, 2 : <i>a</i> <i>b x ay b</i>

       

,với <i>a</i>2 <i>b</i>2 0
a) Tìm quan hệ giữa a và b để 1 và 2 cắt nhau

b) Tìm điều kiện giữa a và b để 1 và 2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.

<b>Bài 18. Cho 2 đường thẳng </b>





2 2

1:<i>kx y k</i> 0, 2 : 1 <i>k x</i> 2<i>ky</i> 1 <i>k</i> 0

         

.
Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng 1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k.

b) 1 luôn cắt 2. Xác định toạ độ giao điểm của chúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) Tính khoảng cách từ điểm <i>A</i>( 1;3) đến đường thẳng 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song _và' : 5<i>x</i>3<i>y</i> 8 0
<b>Bài 20: Cho 3 đường thẳng có phương trình</b>

1:<i>x y</i>  3 0; 2 :<i>x y</i>  4 0; 3 :<i>x</i> 2<i>y</i> 0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên 3 sao cho khoảng cách từ M đến 1 bằng 2 lần

khoảng cách từ M đến 2.

<b>Bài 21: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường hợp </b>
sau:

a) <i>M</i>(1; 1); : <i>d x y</i>  5 0 b) <i>M</i>(3;2)và d là trục 0x.
c) <i>M</i>( 3;2); 2 <i>x</i>3 d)

2 2
(5; 2); :

5

<i>x</i> <i>t</i>

<i>M</i> <i>d</i>

<i>y</i> <i>t</i>

 


 _

 

 

<b>Bài 22: Cho hai đường thẳng</b><i>d</i>1: 2<i>x</i> 3<i>y</i> 5 0; <i>d</i>2 : 3<i>x</i>2<i>y</i> 2 0 . Tìm M

nằm trên ox cách đều<i>d</i>1 và <i>d</i>2 .

<b>Bài 23: Cho hai đường thẳng </b><i>d</i>1: 2<i>x</i> 3<i>y</i> 1 0; <i>d</i>2 : 4 <i>x</i>6<i>y</i> 3 0

a) Chứng minh rằng <i>d</i>1 / / <i>d</i>2

b) Tính diện tích hình vng có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng <i>d</i>1và <i>d</i>2 .

c) Viết phương trình đường thẳng _{song song và cách đều}<i>d</i>1và <i>d</i>2.

<b>Bài 24. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau:</b>
a)





1: 3 2 1 0; 2 :

7 5

<i>x t</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>




     _ 

 




b)





'

'

1 2 _'

1 4

: ; : ,

1 2 _{5 2}

<i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>t</i>

<i>t t</i>

<i>y</i> <i>t</i> <i>_y</i> <i>_t</i>



  

 

 _  _ 

  _ _{ }

 _



<b>Bài 25. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng </b>1: 3<i>x y</i>  7 0 và
2 :<i>mx y</i> 1 0

    _{một góc bằng}₃₀0

<b>Bài 26. Tìm cơsin góc giữa 2 đường thẳng </b>1 và 2 trong các trường hợp sau:

a/ 1 2

1 3

: ; : 3 2 2 0
2

<i>x</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>t</i>

 


 _    

 


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 27</b><i><b>:</b></i> Cho đường thẳng : 3<i>x</i> 4<i>y</i> 12 0

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc _{và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn}
b) Tìm điểm B thuộc _{và cách đều hai điểm}<i>E</i>



5;0 ,



<i>F</i>



3; 2



c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm <i>M</i>



1;2



lên đường thẳng 
<b>Bài 28:Cho hai đường thẳng </b>

'
1

1
:<i>x</i> 2<i>y</i> 6 0; : <i>x</i> <i>t</i>

<i>y t</i>

 


    _{ }




a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm <i>A</i>



1;0



qua đường thẳng 
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với '_qua

</div>

<!--links-->