Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------  ------

Nguyễn Thị Loan

TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2021


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

1

LỜI CẢM ƠN

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

5

MỞ ĐẦU

6

1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . .

10

3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4 Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

15

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh và tốn tử sinh . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . . . .

17

1.3

Khơng gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . . . . . .

19

1.4

Không gian giảm nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5

Nhị phân mũ của họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . .

27

1.7

Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN
CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH

29

2.1

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31

2.2

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến

2.3

tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Nghiệm tuần hồn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

37

3


Chương 3. NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ HỮU HẠN
TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC
3.1
3.2

49

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ
hữu hạn trong khơng gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . .

51

Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . .

55

Chương 4. NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ VƠ HẠN
TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC
4.1

72

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ
vô hạn trong không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . .

75

4.2

Nghiệm tuần hồn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

78

4.3

Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn . . .

89

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

97

1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . .

98

DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

99

TÀI LIỆU THAM KHẢO

100

CHỈ MỤC

106

4


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

R

: Tập các số thực

R+

: Tập các số thực không âm

R−

: Tập các số thực không dương

C

: Tập các số phức





:= R → R : u p = 



Lp (R)

1/p
|u(x)|p dx
R




< +∞ , 1 ≤ p < ∞



L1,loc (R+ ) := {u : R → R+ | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R+ }
trong đó ω ⊂⊂ R+ nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R+
X

: Không gian Banach

E

: Không gian hàm Banach chấp nhận được

C

:= C([−r, 0], X)- không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X được trang bị chuẩn u

C

= sup

u(t)

t∈[−r,0]

Cγ

: Không gian các hàm liên tục trên (−∞, 0], nhận giá trị trong X
và lim

θ→−∞

φ(θ)
= 0, được trang bị chuẩn φ
e−γθ

γ

= sup
θ≤0

φ(θ)

,γ > 0
e−γθ

Cb (I, X) : Không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX,
xác định trên I được trang bị chuẩn u

∞

= sup u(t) ,
t∈I

với I có thể là R, R+ , R− , [−r, ∞)


t+1


M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
|f (τ )|dτ < ∞ ,


t≥0
t
t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ

:= sup
t≥0
t

M

:= {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f
5

M

:=

f (·)

M.


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một cơng cụ quan trọng để mô tả các hiện tượng
trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứngkhuếch tán, các mơ hình cạnh tranh, . . . Trong đó lớp phương trình vi phân mơ
tả sự phụ thuộc vào cả hệ trạng thái trong quá khứ lẫn hệ trạng thái trong tương
lai, tức là phương trình vi phân vừa có “trễ” (“delay”) vừa có “sớm” (“advanced”),
được gọi là phương trình vi phân “trung tính” (“neutral”) (xem [1, 2]). Với các
phương trình vi phân trung tính, việc nghiên cứu sự tồn tại và ổn định nghiệm
của chúng khá phức tạp. Khi đó, bằng cách chọn khơng gian và tốn tử thích
hợp, lớp phương trình này có thể được viết lại dưới dạng phương trình trung
tính trừu tượng trong không gian Banach thường được gọi là phương trình tiến

hóa trung tính. Trong luận án này chúng tơi sẽ xét các lớp phương trình tiến
hóa trung tính có dạng
dF ut
= A(t)F ut + g(t, ut ),
dt

t ≥ 0, u0 = φ,

(1)

với φ có thể thuộc khơng gian hàm C hoặc khơng gian giảm nhớ Cγ , tốn tử
tuyến tính t → A(t) có thể khơng bị chặn trên khơng gian Banach X và T tuần hồn theo biến t, toán tử sai phân F : C → X tuyến tính bị chặn, tốn
tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X là T -tuần hồn và liên tục Lipschitz hoặc
ϕ-Lipschitz. Hàm ut gọi là hàm lịch sử ("history function") được định nghĩa bởi
ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] hoặc θ ∈ (−∞, 0].
Phương trình tiến hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng như hệ sinh
thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, ...Ta có thể tham khảo trong
Wu [3], Wu & Xia [4], với nhiều ví dụ và ứng dụng của dạng phương trình này
cho mạng lưới đường dây truyền tải. Chẳng hạn, tác giả đã xét một mạng lưới
và chỉ ra mơ hình của nó tương ứng với phương trình
∂2
∂
F ut = a 2 F ut + Φut ,
∂t
∂x
6


trong đó hàm u thuộc C := C([−r, 0], X) với r > 0 và không gian Banach X
của các hàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là X = H 1 (S 1 ) hoặc X = C(S 1 ),

hàm lịch sử ut được xác đinh bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Các
tốn tử tuyến tính F và Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi là toán tử sai phân
và toán tử trễ. Lý thuyết về phương trình tiến hóa trung tính sau đó đã được
phát triển bởi nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H. Xia
[6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] và các tài liệu
tham khảo trong đó). Trong Hale [9, 10] đã nghiên cứu tính chất định tính của
nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ơ-tơ-nơm, mang lại các kết quả
quan trọng về tính ổn định, tính hút và sự rẽ nhánh của nghiệm xung quanh
một trạng thái dừng.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trung
tính (1), khơng thể khơng nghiên cứu đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần
hồn của phương trình cũng như chứng minh tính ổn định (có điều kiện) của
nghiệm tuần hồn đó trong trường hợp tốn tử A(t), hàm phi tuyến g(t, ψ) là
T -tuần hoàn theo t.
Điểm qua lại lịch sử về bài tốn nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân.
Năm 1950 Massera (xem [11]) đã nghiên cứu chứng minh được mối liên hệ giữa
nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân thường. Sau đó
được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]). Với phương trình vi phân
hàm, nhìn chung có một số phương pháp thường được sử dụng, như phương
pháp Massera (xem trong [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn như
trong Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17]
hoặc Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18]. Cách tiếp cận phổ biến nhất được sử
dụng theo hướng này là tính bị chặn của các nghiệm và tính compact của ánh
xạ Poincaré thông qua một số phép nhúng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa
[20], Pră
uss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]). Tuy nhiên,
trong một số tình huống thực tế, chẳng hạn như trong trường hợp phương trình
vi phân đạo hàm riêng với miền không bị chặn (theo tất cả các hướng) hoặc
phương trình có nghiệm khơng bị chặn thì phép nhúng compact khơng áp dụng
được và việc lựa chọn véc tơ ban đầu thích hợp (hoặc có điều kiện) để đảm bảo

tính bị chặn của nghiệm xuất phát từ véc tơ đó là khơng dễ dàng. Để vượt qua
những khó khăn này, chúng tơi sử dụng định lý dạng Massera, tức là định lý
chứng minh nếu phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì sẽ có một nghiệm
7


tuần hoàn. Huy [25] đã sử dụng phương pháp Massera kết hợp với các hàm tử
nội suy để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của dịng chất lỏng
xung quanh chướng ngại vật quay, trong đó, không gian nội suy được sử dụng
kết hợp với phương pháp ergodic. Sau đó, Geissert, Hieber & Huy [26] kết hợp
giữa các hàm tử nội suy với tính trơn của nửa nhóm và lập luận tơ pơ thu được
nghiệm tuần hồn của bài tốn dịng chất lỏng.
Gần đây, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] đã sử dụng phương pháp ergodic để
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình; sau đó
kết hợp với ngun lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức
nón chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần
hồn, cũng như đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của
một số lớp các phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm có trễ hữu hạn hoặc vơ
hạn. Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, bài tốn về nghiệm tuần
hồn đến nay vẫn có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, ...
Mặt khác, trong lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân,
sự tồn tại của các đa tạp tích phân cũng là một vấn đề trọng điểm cần nghiên
cứu. Các kết quả về đa tạp tích phân góp phần mang lại bức tranh hình học về
dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình xung quanh một điểm cân bằng
hay xung quanh một quỹ đạo xác định. Vì vậy mà nó đã thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà toán học. Khởi đầu là các kết quả của Hadamard [29],
Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky [32, 33], ... đã nghiên cứu về sự tồn
tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phân trong Rn . Năm 2009, Huy
[34] đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình tiến hóa khơng

ơ-tơ-nơm nửa tuyến tính trong khơng gian Banach. Tiếp sau đó, Huy [35] đã
chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới, đó là đa tạp ổn định bất
biến thuộc lớp chấp nhận được. Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy
& Duoc [36] đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến và đa tạp tâm
ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ. Gần đây, các nghiên cứu của Huy &
Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp
nhận được tác giả đã chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp
không ổn định, đa tạp tâm đối với nghiệm đủ tốt (xem [41]) (“mild solution")
của phương trình tiến hóa trung tính trong trường hợp trường hợp phần tuyến
tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến. Và một
8


Luận án vừa được công bố mới đây trên cổng thông tin Đào tạo của trường Đại
học Bách khoa Hà Nội (xem [42]) đã chứng minh sự tồn tại đa tạp ổn định,
không ổn định, đa tạp tâm của phương trình tiến hóa trung tính xung quanh
nghiệm khơng của phương trình. Tuy nhiên, sự tồn tại đa tạp tích phân xung
quanh nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính đến nay vẫn cịn
nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Những phân tích trên đây là lý do để chúng tơi chọn đề tài “Tính tuần hồn
và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính”. Bằng cách sử dụng
phương pháp Masera cùng lý thuyết nửa nhóm, chuỗi Neumann, nguyên lý điểm
bất động cùng điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz kết hợp với lý thuyết
không gian hàm chấp nhận được chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại, tính duy
nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính. Mặt khác, với
việc sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp bất đẳng thức Gronwall
hoặc bất đẳng thức nón cho các đánh giá về tính ổn định và sự tồn tại đa tạp
tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn.
Cụ thể, chúng tơi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa trung tính
trên khơng gian Banach X có dạng

dF ut
= A(t)F ut + g(t, ut ), t ∈ [0, +∞),
dt

(2)

với các điều kiện:
• Tốn tử t → A(t) là tuyến tính (có thể khơng bị chặn) trên khơng gian
Banach X và T -tuần hồn theo biến t.
• Tốn tử F : H → X tuyến tính bị chặn gọi là toán tử sai phân ("difference operator"), ở đây H có thể là khơng gian hàm C hoặc Cγ với
C := C([−r, 0], X), Cγ là không gian giảm nhớ (”fading memory spaces”)
được định nghĩa trong chương I, mục 1.4.
• Hàm ut được gọi là hàm lịch sử và được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với
θ ∈ [−r, 0] nếu phương trình có trễ hữu hạn hoặc θ ∈ (−∞, 0] nếu phương
trình có trễ vụ hn.
ã Toỏn t phi tuyn g : R+ ì H → X được gọi là toán tử trễ, T -tuần hoàn
và được xét trong các trường hợp sau:

9


– Trường hợp 1. Toán tử g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian
H là không gian hàm C.
– Trường hợp 2. Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không
gian hàm chấp nhận được M (xem trong mục 1.3, Ví dụ 1.1), H là
khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn.
– Trường hợp 3. Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không
gian hàm chấp nhận được M, H là không gian giảm nhớ Cγ , phương
trình có trễ vơ hạn.
Khi nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1),

chúng tơi đã gặp phải khó khăn chung là: Các tốn tử

d
dt

và A(t) khơng tác động

trực tiếp vào trạng thái u(t) mà vào F ut , khi đó, cơng thức biến thiên hằng số
chỉ có giá trị đối với F ut (xem cơng thức (2.18)). Để khắc phục khó khăn này,
xun suốt luận án, chúng tơi giả thiết tốn tử sai phân F được biểu diễn dưới
dạng F = δ0 − (δ0 − F ), với δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0 (xem [1, Chương
3]). Khi đó, với một số điều kiện của toán tử Ψ := δ0 − F, và sử dụng phương
pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumann chúng tôi nhận được một số đánh giá
và kết quả về tính tuần hồn cho trạng thái u.
Như đã biết, có thể sử dụng thủ tục đổi chuẩn để tính nhỏ của Ψ có thể được
thay bởi điều kiện Ψ khơng có trọng tại 0. Trong trường hợp đó, Ψ được biểu
diễn như là một tích phân với hạch η có biến phân bị chặn. Tính chất “khơng có
trọng tại 0” tương đương với điều kiện “phi nguyên tử tại 0” của η (xem trong
Wu [3], Huy & Bang [37]).

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án:
(i) Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của các lớp phương
trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các trường hợp toán tử phi
tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộc
vào thời gian t và thuộc không gian hàm chấp nhận được, giá trị ban
đầu có thể thuộc khơng gian hàm C nếu phương trình có trễ hữu hạn
hoặc khơng gian giảm nhớ Cγ nếu phương trình có trễ vơ hạn.

10

(ii) Nghiên cứu tính ổn định đối với các nghiệm xung quanh nghiệm tuần
hồn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2).
(iii) Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn
của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) khi tốn tử
phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t và thuộc khơng
gian hàm chấp nhận được.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án: Tính chất nghiệm tuần hồn và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính
dạng (2) với một số điều kiện thay đổi của tốn tử trễ phi tuyến g.
• Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tơi nghiên cứu một
số lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (2) với một số trường hợp
của toán tử trễ phi tuyến g. Cụ thể:
– Nội dung 1. Xét trường hợp toán tử g liên tục Lipschitz, phương
trình có trễ hữu hạn. Trường hợp này chúng tơi sử dụng không gian
các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị trong không gian Bannach X
để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, kết hợp với
nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Growall để chứng minh tính ổn
định (có điều kiện) của các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hồn
đó.
– Nội dung 2. Xét trường hợp tốn tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ
thuộc khơng gian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ
hữu hạn. Khi đó, ngồi việc chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hồn, tính ổn định, chúng tơi cịn chứng minh sự tồn tại một đa
tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn đó nhờ bất
đẳng thức nón và định lý ánh xạ co.
– Nội dung 3. Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz và ϕ
thuộc khơng gian hàm chấp nhận được nhưng phương trình có trễ vơ
hạn. Bằng việc sử dụng khơng gian giảm nhớ, sự tồn tại, duy nhất,

tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn cũng như sự tồn
tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn của phương
trình được chứng minh.

11


3. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phương pháp Massera cùng với chuỗi Neumann, kết hợp lý thuyết
nửa nhóm và dạng của toán tử sai phân F để chứng minh sự tồn tại, tính
duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến
tính.
• Sử dụng ngun lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕLipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được để chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa
trung tính nửa tuyến tính.
• Dựa vào phương trình Lyapunov-Perron kết hợp với tính chấp nhận được
của không gian hàm để chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương
trình tiến hóa trung tính khi họ tiến hóa có nhị phân mũ.
• Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng
thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón cùng nguyên lý điểm bất động của
ánh xạ co cho các đánh giá xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần
hồn của phương trình tiến hóa trung tính.
• Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để chứng minh sự tồn tại một đa
tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn của phương trình
tiến hóa trung tính.

4. Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây:
• Chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều
kiện của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các

trường hợp:
(i) Tốn tử phi tuyến g liên tục Lipschitz và phương trình có trễ hữu
hạn.
(ii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ là hàm phụ thuộc
t và thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ
hữu hạn.
12


(iii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc khơng gian hàm
chấp nhận được M, phương trình có trễ vơ hạn.
• Chứng minh sự tồn tại đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh
nghiệm tuần hồn của các lớp phương trình dạng (2) khi tốn tử g thỏa
mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương
trình có trễ hữu hạn hoặc vơ hạn.
Các kết quả trong luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết phương trình
vi phân hàm, phương trình tiến hóa trung tính, các kết quả này có thể được sử
dụng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân
hàm. Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong 03 bài báo
(02 bài thuộc danh mục SCIE, trong đó 01 bài thuộc Q1, 01 bài thuộc Q2, 01
bài thuộc danh mục ESCI/Scopus) được liệt kê ở “Danh mục các cơng trình đã
cơng bố của luận án”. Một phần hoặc tất cả các kết quả này đã được báo cáo
tại:
• Seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng
dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.
• Hội nghị Tốn học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Buôn Mê Thuột,
2-4/8/2019.

5. Cấu trúc luận án
Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết

luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các cơng trình đã công bố của luận án, Chỉ
mục, luận án được chia thành bốn chương như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở để
phục vụ cho các chương tiếp theo. Nội dung của nó bao gồm các kiến thức
về nửa nhóm, khơng gian hàm chấp nhận được, khơng gian giảm nhớ, tính
nhị phân mũ của họ tiến hóa, bất đẳng thức nón. Ngồi ra, chương này
cịn trình bày các kiến thức và kết quả cơ sở của nghiệm tuần hồn các
phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương.

13


Chương 2. Sự tồn tại và tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hồn đối
với phương trình tiến hóa trung tính. Chương này chúng tơi chứng minh
sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện của lớp
phương trình (2) khi hàm phi tuyến g liên tục Lipschitz và phương trình
có trễ hữu hạn.
Chương 3. Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu
hạn trong khơng gian hàm chấp nhận được. Bài toán được nghiên cứu ở
chương này là chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn, tính
ổn định có điều kiện của lớp phương trình có trễ hữu hạn dạng (2) nhưng
xét với trường hợp toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ
thuộc t và thuộc khơng gian hàm chấp nhận được. Ngồi ra, chúng tôi sẽ
chỉ ra sự tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần
hồn đó.
Chương 4. Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ
hạn trong khơng gian hàm chấp nhận được. Với điều kiện hàm ban đầu
thuộc không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn, tốn tử phi
tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận

được, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định
(có điều kiện) nghiệm tuần hồn của lớp phương trình dạng (2) và chứng
minh sự tồn tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn đó
của phương trình.

14


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận
án. Trước tiên là những khái niệm cơ sở và các tính chất của nửa nhóm liên tục
mạnh cùng tốn tử sinh của chúng. Tiếp đến, chúng tơi trình bày về tính ổn
định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm, không gian hàm chấp nhận được trên
nửa đường thẳng, không gian giảm nhớ và tính nhị phân mũ của họ tiến hóa.
Cuối cùng chúng tơi trình bày các kết quả về nghiệm tuần hồn của phương
trình tiến hóa và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương của nó.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh

Những kiến thức được trình bày trong mục này là những khái niệm cơ sở
nhất về nửa nhóm tốn tử và tốn tử sinh của chúng. Tài liệu tham khảo chính
của chúng tơi là Engel & Nagel [43].
Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach X. Một họ các tốn tử tuyến tính bị
chặn T(t)

t 0

trên X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 -nửa

nhóm) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) T(0) = I (với I là toán tử đồng nhất);
(ii) T(t + s) = T(t)T(s) với mọi t, s

0;

(iii) lim+ T(t)x = T(0)x với mọi x ∈ X.
t→0

Định nghĩa 1.2. Giả sử T(t)

t 0

là một nửa nhóm liên tục mạnh trên khơng

gian Banach X. Tốn tử A : D(A) ⊆ X → X được xác định bởi
Ax := lim+
t→0

T(t)x − x
,
t

15


trên miền

D(A) :=

T(t)x − x
tồn tại trong X ,
t

x ∈ X : lim+
t→0

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T(t)

t 0

Nếu A là tốn tử sinh của nửa nhóm T(t)

trên khơng gian Banach X.

t 0

thì ta nói T(t)

nhóm sinh ra bởi A, và còn được viết cách khác là etA

t 0

t 0

là nửa

.

Định lý 1.1. Giả sử A là tốn tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T(t)

t 0

trên khơng gian Banach X. Khi đó,
(i) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính;
(ii) nếu x ∈ D(A) thì T(t) x ∈ D(A) và
d
T(t)x = T(t)Ax = AT(t)x với mọi t ≥ 0;
dt
t

(iii) với mọi t ≥ 0, x ∈ X ta có

T(s)xds ∈ D(A);
0

(iv) với mọi t ≥ 0 ta có

T(t)x − x =




A

t

T(s)xds

nếu x ∈ X,

0

t


 T(s)Axds

nếu x ∈ D(A).

0

Định nghĩa 1.3. Cho A, D(A) là tốn tử tuyến tính đóng trong khơng gian
Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A, ký hiệu là ρ(A), với
ρ(A) := λ ∈ C|(λI − A) là một song ánh .
Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , với λ ∈ ρ(A) được gọi là giải thức của A,
σ(A) := C \ ρ(A) được gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.2. Trên không gian Banach X, nếu (T(t))t

là một nửa nhóm liên

1 và ω ∈ R sao cho

tục mạnh, thì tồn tại các hằng số M
T(t)

0

M eωt

với mọi t

0.

Khi đó, với tốn tử sinh A, D(A) của nửa nhóm T(t)
sau:
16

t 0

, ta có các tính chất


∞

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

e−λs T(s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì

0

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Re λ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
M
Re λ−ω

(iii) Ta có R(λ, A)

với mọi Re λ > ω.

Chú ý 1.1. Công thức
∞

e−λs T(s)xds

R(λ, A)x =
0

được gọi là biểu diễn tích phân của giải thức. Tích phân ở đây được hiểu theo
nghĩa tích phân Riemann suy rộng,
∞

t

e−λs T(s)xds = lim

e−λs T(s)xds.

t→∞

0

0

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ
của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của
nửa nhóm (xem Engel & Nagel [43], Engel [44]).

1.2

Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.4. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t)

t 0

với toán tử sinh A, D(A)

được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại ε > 0 sao cho
lim eεt T(t) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.5. Trên không gian Banach X, nửa nhóm liên tục mạnh T(t)

t 0

được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực
tiếp X = Xs ⊕ Xu của hai khơng gian con đóng, T(t)
sao cho các nửa nhóm hạn chế Ts (t)

t 0

t 0

-bất biến Xs và Xu

trên Xs , và Tu (t)

t 0

trên Xu thỏa

mãn:
(i) Nửa nhóm Ts (t)

t 0

ổn định mũ đều trên Xs .

(ii) Toán tử Tu (t) khả nghịch trên Xu và nửa nhóm Tu (t)−1
đều trên Xu .
17

t 0

ổn định mũ


Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và hyperbolic của
nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của tốn tử đóng và cận tăng trưởng
của nửa nhóm.
Định nghĩa 1.6. Cho A : D(A) → X là một tốn tử đóng trên một khơng gian
Banach X. Khi đó,
s(A) := sup Re λ : λ ∈ σ(A)
được gọi là cận phổ của toán tử tuyến tính A.
Định nghĩa 1.7. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t)

t 0

với tốn tử sinh A, D(A)

trên một khơng gian Banach. Khi đó, số thực
Meωt , t

ω0 = ω0 (A) := inf ω ∈ R | ∃M ≥ 1 : T(t)
được gọi là cận tăng trưởng của nửa nhóm T(t)
Nửa nhóm T(t)

t 0

t 0

0

.

ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0. Tuy nhiên,

trong thực tế, nửa nhóm rất khó xác định tường minh, cịn tốn tử sinh có thể
xác định cụ thể. Do đó, để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ
đều, ta cần đến "Định lí Ánh xạ phổ " sau đây.
Định nghĩa 1.8. Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t

0

với tốn tử sinh A được gọi

là thỏa mãn Định lí Ánh xạ phổ nếu
σ T(t) \ {0} = etσ(A)

với mọi t

0.

Lưu ý: Trong trường hợp tổng quát, điều kiện s(A) < 0 khơng kéo theo tính
ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh T(t)

t 0

sinh bởi toán tử A (chẳng

hạn, xem Neerven [45, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu T(t)

t 0

thỏa mãn Định

lý ánh xạ phổ thì ta có đặc trưng:
T(t)

t 0

ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0.

Tiếp theo, giả sử Γ := {z ∈ C : |z| = 1} là đường tròn đơn vị trong mặt
phẳng phức. Khi đó, để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm ta có

định lý sau (xem Nagel [43]).
Định lý 1.3. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t)
đương:
18

t 0

, các mệnh đề sau là tương


(i) Nửa nhóm T(t)

t≥0

có nhị phân mũ.

(ii) σ T(t) ∩ Γ = ∅ với một/mọi t > 0.
Trường hợp T(t)

t 0

thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ và A là tốn tử sinh

của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng, giả thiết T(t)

t 0

thỏa mãn Định lý ánh xạ

phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là phổ σ(A) và σ T(t) thỏa mãn
σ T(t) ⊂ Γ · etσ(A) := zetλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1

1.3

với mọi t ≥ 0.

Không gian hàm Banach chấp nhận được

Trong phần này chúng tôi sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ sở về các không gian
hàm chấp nhận được với tài liệu tham khảo chính là Huy [46]. Lớp khơng gian
này đóng vai trị quan trọng trong nghiên cứu phần phi tuyến của các phương
trình tiến hóa trung tính trong luận án. Các ứng dụng cụ thể về các khơng
gian hàm này có thể tham kho trong Massera & Schăaffer [47] hoc Răabiger &
Schaubelt[48]. Kí hiệu B và λ lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue trên R+ .
Không gian L1,loc (R+ ) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên
R+ (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian
n+1

|f (t)|dt, với mỗi n ∈ Z (xem Massera &

Fréchet với các na chun pn (f ) =
n

Schăaffer [47, Chng 2, Đ20]).
nh nghĩa 1.9. Một không gian vector E gồm các hàm thực đo được theo nghĩa
Borel trên R+ (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) được gọi là một
không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) E là một dàn Banach với chuẩn ·

E,

tức là (E, ·

E)

là một không gian

Banach, nếu ϕ ∈ E, ψ là một hàm thực đo được Borel sao cho
|ψ(·)|
thì ψ ∈ E và ψ

E

ϕ

|ϕ(·)| λ-hầu khắp nơi

E.

(ii) Hàm đặc trưng χA thuộc không gian E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn
sup χ[t,t+1]

E

< ∞,

t∈R+

19

inf

t∈R+

χ[t,t+1]

E

> 0.


(iii) E → L1,loc (R+ ), tức là, với mỗi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại số βJ ≥ 0
sao cho

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E.

J

Định nghĩa 1.10. Không gian hàm Banach E được gọi là không gian hàm chấp
nhận được (hoặc đầy đủ hơn là khơng gian hàm Banach chấp nhận được) nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M

1 sao cho với mọi [a, b] ⊂ R+ , và với mọi ϕ ∈ E ta

có

b

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

|ϕ(t)|dt
a

(1.1)

E.

t+1

(ii) E là bất biến với tốn tử Λ1 , trong đó, Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ.
t

−
+
(iii) Không gian E là T+
τ -bất biến và Tτ -bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó Tτ

và T−
τ được định nghĩa như sau :


ϕ(t − τ )
T+
ϕ(t)
:=
τ
0
T−
τ ϕ(t) := ϕ(t + τ )

với t

τ ≥ 0,

với τ > t ≥ 0;
với mọi t ≥ 0.

Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 và N2 sao cho
T+
τ

E

N1

và

T−
τ

E

với mọi τ ∈ R+ .

N2

Ví dụ 1.1. Các không gian Lebesgue Lp (R) với 1

p

∞ (xem Massera v &

Schăaffer [47, Chng 2, nh lý 23.V]), v khụng gian


t+1


M = M(R+ ) := f ∈ L1,loc (R+ ) : sup
|f(τ )|dτ < ∞ ,


t∈R+

(1.2)

t

t+1

với chuẩn f

M

:= sup

|f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận

t∈R+ t

được. Ngồi ra, nhiều khơng gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy,
chẳng hạn, không gian Lorentz Lp,q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ (xem, Triebel
[49, 1.18.6, 1.19.3]) cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được.

20


Nhận xét 1.1. Nếu E là một không gian hàm Banach chấp nhận được thì
E → M.
Dưới đây là một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận c
(xem Huy [46, Mnh 2.6], Massera & Schăaffer [47]).
Mnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau:
(i) Cho ϕ ∈ L1,loc (R+ ) sao cho ϕ

0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 xét các hàm

Λσ ϕ và Λσ ϕ xác định bởi
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =
0
∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ thuộc không gian E. Đặc biệt, nếu ϕ ∈ M (điều này
được thỏa mãn nếu ϕ ∈ E- xem Nhận xét 1.1) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn, và
ta có đánh giá
Λσ ϕ

∞

Λσ ϕ

∞

N1
Λ1 T1+ ϕ(t)
−σ
1−e
N2
Λ1 ϕ ∞ ,
1 − e−σ

∞,

(1.3)
(1.4)

trong đó Λ1 , T1+ , N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.10.
(ii) Với mọi a > 0, e−at ∈ E.
(iii) Với mọi b > 0, ebt ∈ E.
Trong không gian hàm Banach chấp nhận được M xác định bởi (1.2), xét
tập các hàm tuần hồn chu kì 1 :
P := f ∈ M : f là hàm 1-tuần hồn .

(1.5)

Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ ∈ P, ta có đánh giá sau (xem [14, (1.8)]):
Λσ ϕ
Λσ ϕ

∞

∞

N1
ϕ
1 − e−σ
N2
≤
ϕ
1 − e−σ
≤

M

và
(1.6)

M

với mọi hàm dương ϕ ∈ P.
21


Hơn nữa, trong không gian Banach X với chuẩn

·

ta định nghĩa

M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M},
với chuẩn được trang bị f

M

:=

f (·)

M.

(1.7)

Rõ ràng, M là một không gian

Banach. Chúng tôi luôn gọi M là không gian Banach tương ứng với không gian
hàm Banach chấp nhận được M.
Ngoài ra, trong luận án này, để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính chúng tơi cịn cần sử dụng đến
không gian Cb (I, X) là không gian các hàm liên tục bị chặn trên I, nhận giá
trị trong khơng gian Banach X, với I là tồn bộ trục R hoặc nửa đường thẳng
R+ = [0, ∞) hoặc R− = (−∞, 0], chuẩn được trang bị ở đây là chuẩn sup xác
định bởi
v

Cb (I,X)

:= sup v(t) .
t∈I

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian giảm nhớ sẽ được sử dụng
trong bài tốn trễ vơ hạn.

1.4

Khơng gian giảm nhớ

Định nghĩa 1.11. Cho không gian Banach X. Không gian giảm nhớ là không
gian Banach F (với chuẩn

·

F)

bao gồm các hàm đi từ (−∞, 0] đến không

gian Banach X sao cho các tiên đề sau được thỏa mãn (xem [24, 50, 51, 52]):
(A) Tồn tại hằng số dương H, các hàm liên tục không âm, bị chặn địa phương
K(·) và M (·) trên [0, ∞) sao cho nếu x là một hàm liên tục đi từ (−∞, a)
đến X và xτ ∈ F với mỗi τ < a, thì với mọi t ∈ [τ ; a), ta có
(i) xt ∈ F,
(ii) ánh xạ t → xt liên tục theo t,
(iii) H x(t) ≤ xt

F

≤ K(t − τ ) sup x(s) + M (t − τ ) xτ

F.

τ ≤s≤t

(B) Nếu dãy {φn } với φn ∈ F hội tụ đều đến hàm φ trên tập compact thuộc
(−∞, 0], và {φn } là dãy Cauchy trong F thì φ ∈ F và φn − φ
n → ∞.

22

F

→ 0 khi

Ví dụ 1.2. Khơng gian sau là một ví dụ điển hình của khơng gian giảm nhớ
(xem [24]). Trên khơng gian Banach X, với hàm h : (−∞, 0] → (0, ∞), không
gian xác định bởi
Ch :=

φ : φ ∈ C ((−∞, 0], X) và lim

θ→−∞

với chuẩn được trang bị là φ

h

= sup
θ≤0

φ(θ)
=0 ,
h(θ)

(1.8)

φ(θ)
.
h(θ)

Trong trường hợp đặc biệt, h(θ) = e−γθ , ta có ví dụ sau.
Ví dụ 1.3. Khơng gian xác định bởi
Cγ :=

φ : φ ∈ C ((−∞, 0], X) và lim

θ→−∞

φ(θ)
=0 ,
e−γθ

(1.9)

φ(θ)
, hằng số γ > 0, thỏa mãn các tiên đề của không
−γθ
θ≤0 e
gian giảm nhớ với K(t) = 1, M (t) = e−γt với mọi t ≥ 0. Ta có, Cγ là khơng gian

với chuẩn φ

γ

= sup

giảm nhớ.
Nhận xét 1.2. Cho x(·) là một ánh xạ liên tục xác định trên R nhận giá trị trong
không gian Banach X sao cho x(·)|R+ ∈ Cb (R+ , X) và xt ∈ Cγ với mọi t ≥ 0.
Khi đó, ta có
xt

γ

= sup eγθ x(t + θ)
θ≤0

≤ max

x0 γ , sup x(θ)

= kt (x).

(1.10)

0≤θ≤t

Nếu x(·) tuần hoàn chu kì 1, thì
x0

γ

= sup eγθ x(θ) ≤ sup x(s) .
s∈R+

θ≤0

Vậy, từ bất đẳng thức trên ta suy ra
xt

γ

≤ x

Cb (R,X)

với mọi t ≥ 0.

(1.11)

Một trong những mối quan tâm hàng đầu khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm
cận nghiệm của một phương trình vi phân là tìm điều kiện để nghiệm của phương
trình ổn định hoặc có nhị phân mũ. Mở đầu là kết quả của Perron (xem [53])
năm 1930 xét trên không gian Cb (R+ , Rn ). Tiếp đến, trong các sách chuyên khảo
23


ca Massera & Schăaffer (xem [47, 54, 55]), Daleckii & Krein (xem [56]) đã chỉ
ra tính nhị phân mũ của nghiệm trong trường hợp toán tử A(t) bị chặn. Đến
năm 1978, Levitan & Zhikov (xem [57]) đã mở rộng kết quả cho trường hợp vơ
hạn chiều với lớp phương trình xác định trên tồn đường thẳng. Sau đó, Huy
[46] đã đặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp
nhận được trên nửa đường thẳng trong trường hợp tốn tử A(t) khơng bị chặn.
Ở đây, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về nhị phân mũ của họ tiến hóa và một
số kiến thức liên quan.

1.5

Nhị phân mũ của họ tiến hóa

Xét bài tốn Cauchy

 du = A(t)u(t),

dt

u(s) = x,
trong đó A(t), D A(t)

t≥0

t ≥ s ≥ 0,

(1.12)

là họ các tốn tử tuyến tính trên khơng gian Banach

X. Khi đó, nghiệm (cổ điển) của bài tốn Cauchy (1.12) là hàm u := u(·, s, x) ∈
C 1 ([s, ∞), X) sao cho u(t) ∈ D A(t) và u thoả mãn bài toán Cauchy (1.12) với
mọi t ≥ s.
Định nghĩa 1.12. Bài toán Cauchy (1.12) được gọi là đặt chỉnh trên các không
gian Yt , t ≥ 0, nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Yt ⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X.
(ii) mỗi x ∈ Ys thì bài tốn Cauchy (1.12) có duy nhất nghiệm u(·, s, x).
(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s và
Y sn

xn → x ∈ Ys thì u˜(t, sn , xn ) → u˜(t, s, x) đều theo t trên mọi đoạn

compact trong R+ , trong đó u˜(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và u˜(t, s, x) := x
với t < s.
Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán tử
giải biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy (1.12). Họ các toán tử này được gọi
là họ tiến hoá. Cụ thể:

Định nghĩa 1.13. Một họ các toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s)

t≥s≥0

trên

khơng gian Bannach X gọi là họ tiến hóa (liên tục mạnh, bị chặn cấp mũ ) nếu
24


(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0,
(ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với mọi x ∈ X, ở đây
(t, s) ∈ (t, s) ∈ R2 : t ≥ s ≥ 0 ,
(iii) tồn tại các hằng số K, α ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Keα(t−s) x với mọi
t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X.
Khi đó, nghiệm của bài tốn Cauchy (1.12) được cho bởi công thức
u(t) = U (t, s)u(s).
Đặc biệt, khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xác định nửa nhóm
liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi tốn tử A, do đó chúng ta có họ tiến hố
U (t, s) = T (t − s). Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnh hay sự tồn tại của
họ tiến hố, chúng ta có thể tham khảo trong Pazy [58] hay Nagel & Nickel [59].
Trong luận án này, chúng tơi sẽ xét những họ tiến hóa có nhị phân mũ, ổn
định mũ được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.14. Cho U := U (t, s)

t≥s≥0

là một họ tiến hóa trên khơng gian

Banach X.

(1) Họ tiến hóa U được gọi là có nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại họ các
tốn tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t) trên X với t ≥ 0 và các hằng số dương
N, ν sao cho:
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,
và ánh xạ ngược được biểu diễn bởi U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t,
(c) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,
(d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
Toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, gọi là toán tử chiếu nhị phân, và các hằng số N, ν
gọi là các hằng số nhị phân.
(2) Họ tiến hóa U được gọi là ổn định mũ nếu nó có nhị phân mũ với tốn tử
chiếu nhị phân P (t) = Id với mọi t ≥ 0. Nói cách khác, U gọi là ổn định mũ
nếu tồn tại các hằng số dương N và ν sao cho
U (t, s) ≤ N e−ν(t−s) với mọi t ≥ s ≥ 0.
25

(1.13)


Ta chú ý rằng, với các tính chất từ (a) đến (d) của toán tử chiếu nhị phân
P (t) suy ra
1. H := supt≥0 P (t) < ∞,
2. t → P (t) liờn tc mnh.
(xem Minh, Răabiger & Schnaubelt [60, Bổ đề 4.2]). Chúng tôi tham khảo trong
Huy [46] cho các đặc tính của họ tiến hóa có nhị phân mũ trong không gian hàm
chấp nhận được tổng quát.
Trong trường hợp (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân

(P (t))t≥0 và các hằng số N, ν > 0, ta có thể định nghĩa hàm Green trên nửa
đường thẳng như sau:

P (t)U (t, τ )
G(t, τ ) :=
−U (t, τ ) (I − P (τ ))
|

với t > τ ≥ 0,

(1.14)

với 0 ≤ t < τ.

Ta có, G(t, τ ) thỏa mãn đánh giá
G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ ≥ 0.

(1.15)

Từ phép chiếu P (t), t ≥ 0 trên X, ta xét họ toán tử P (t), t ≥ 0 trên C (xem
thêm Boutet, Chueshov& Rezounenko [61]) như sau:
P (t) : C → C, (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].

(1.16)

Từ đó ta có (P (t))2 = P (t), và tốn tử P (t), t ≥ 0 là toán tử chiếu trên C. Và
ImP (t) = φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)α, ∀θ ∈ [−r, 0], α ∈ ImP (t) .
Tương tự như vậy, từ phép chiếu P (t), t ≥ 0, trên Cγ ta xét họ toán tử Pγ (t), t ≥
0 như sau:
Pγ (t) : Cγ → Cγ , (Pγ (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−∞, 0]. (1.17)

Khi đó, (Pγ (t))2 = Pγ (t), suy ra Pγ (t), t ≥ 0, là toán tử chiếu trên Cγ . Và ta
cũng có
ImPγ (t) = φ ∈ Cγ : φ(θ) = U (t − θ, t)α, ∀θ ∈ [−∞, 0], α ∈ ImP (t)}.

26