Tuyển tập 100 bài hình có lời giải thi vào 10

100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
MỘT TRĂM
BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
1
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Bài 1:
Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.
2. Chứng minh:
·
·
DEA ACB=
.
3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân
giác của góc
·
MAN
.
5. Chứng tỏ: AM
2
=AE. AB.

Gợi ý:
1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m:
·
·

BEC BDE=
= 1v. Hai điểm D và E
cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông.
2.C/m:
·
·
DEA ACB=
.
Do BECD nội tiếp ⇒
·
·
DMB DCB+
= 2v.Mà
·
·
DEB AED+
= 2v ⇒
·
·
AED ACB=
3. Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
Ta phải c/m xy//DE.
Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ
·
»
1
xAB s® AB
2
=
.

Mà
·
»
1
s® ACB s® AB
2
=
. ⇒
·
·
xAB ACB=
mà
·
·
ACB AED=
(cmt)
⇒
·
·
xAB AED=
hay xy // DE.
4. C/m OA là phân giác của
·
MAN
.
Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN. ⊥OA là đường trung trực của
MN. (Đường kính vuông góc với một dây) ⇒ ∆AMN cân ở A ⇒ AO là phân giác
của
·
MAN

.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
2
Hình 1
x
y
N
M
D
E
O
A
B
C
H×nh 2
I
E
D
M
O'
O
A
C
B
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
5. C/m :AM
2
=AE. AB.
Do ∆AMN cân ở A ⇒AM=AN ⇒
¼

»
AM AN=
. ⇒
·
·
MBA AMN=
(Góc nội tiếp
chắn hai cung bằng nhau);
·
MAB
chung
⇒ ∆MAE
:
∆ BAM ⇒
MA
AE
AB
MA
=
⇒ MA
2
= AE. AB.
Bài 2:
Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’,
đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc
với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1. Tứ giác ADBE là hình gì?
2. C/m DMBI nội tiếp.
3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC

5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
Gợi ý:
1. Do MA=MB và AB⊥DE tại M nên ta có
DM=ME ⇒ ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE)
Vậy ADBE là hình thoi.
2. C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,I∈(O’) nên
·
BID
=1v.
Mà
·
DMB
=1v (gt) ⇒
·
·
BID DMB+
=2v ⇒ đpcm


3. C/m B;I;E thẳng hàng.
Do AEBD là hình thoi ⇒ BE//AD mà AD ⊥ DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BE ⊥ DC; CM ⊥ DE (gt). Do
·
BIC
= 1v ⇒ BI ⊥ DC. Qua 1 điểm B có hai đường
thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC nªn BI
≡
BE hay B;I;E thẳng hàng.

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
3
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
* Chứng minh: MI = MD: Do M là trung điểm DE; ∆EID vuông ở I ⇒ MI là đường
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DEI ⇒ MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC.
Hãy chứng minh ∆MCI
:
∆DCB (
µ
C
chung;
·
·
BDI IMB=
cùng chắn cung MI do
DMBI nội tiếp)
5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
-Ta có ∆ O’IC cân ở O' ⇒
·
·
O’IC O’CI=
.
∆ BDI cân ở M ⇒
·
·
MID MDI=
.
Từ đó suy ra:
·

·
·
·
O’IC O’CIMID MDI+ = +
= 1v
Vậy MI ⊥O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ⇒ MI là tiếp tuyến của (O’).
Bài 3:
Cho ∆ABC có
µ
A
=1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường
tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài
cắt (O) tại S.
1. C/m BADC nội tiếp.
2. BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của
·
AED
.
3. C/m CA là phân giác của góc BCS.
Gợi ý:

1.C/m ABCD nội tiếp:
CM: A và D cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông..
2.C/m ME là phân giác của góc
·
AED
.
- Hãy c/m: AMEB nội tiếp.

·

ABM
=
·
AEM
(cùng chắn cung AM)

·
ABM
=
·
ACD
(cùng chắn cung MD)

·
ACD
=
·
DEM
(cùng chắn cung MD)
⇒
·
AEM
=
·
DEM

⇒
đpcm.

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc

4
Hình 3
S
D
E
O
B
C
A
M
H×nh 4
K
S
D
E
O
B
C
A
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
4. C/m CA là phân giác của góc BCS.

·
ACB
=
·
ADB
(cùng chắn cung AB)

·
ADB
=
·
ACS
(cùng bù với
·
MDS
)
Vậy
·
ACB
=
·
ACS
⇒ đpcm.

Bài 4:
Cho ∆ABC có
µ
A
= 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng
đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM
cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
1. C/m ADCB nội tiếp.
2. C/m ME là phân giác của góc AED.
3. C/m:
·
ASM
=

·
ACD
.
4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
Gợi ý:
1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
·
MDC
=
·
BDC
= 1v
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)
·
BAC
= 1V (gt). Từ đó suy ra A và D
cùng nhìn đoạn thẳng BC
một góc vuông)
Nên hai điểm A và D
cùng nằm trên đường
tròn đường kính BC hay ABCD nội tiếp)
2.C/m EM là phân giác của góc AED.
·
·
·
·
0 0
90 180BAM MEB BAM MEB= = ⇒ + =

Nên tứ giác AMEB nội tiếp nên
·
·
AEM ABM=
(1) (cùng chắn cung AM)
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên
·
·
ACD ABM=
(2) (cùng chắn cung AD)
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
5
H×nh 5
I
N
P
M
F
E
A'
D
O
A
B
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Do tứ giác MECD nội tiếp nên
·
·
ACD MED=

(3) (cùng chắn cung MD)
Từ (1); (2); (3) ta có
·
·
AEM DEM=
. Nên EM là phân giác của góc AED
3. C/m:
·
ASM
=
·
ACD
. (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD
4. C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 3)
5. Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.
Gọi giao điểm AB;CD là K. Ta cần chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
Do CA ⊥ AB (gt)
BD ⊥ DC (cm trên) và AC cắt BD ở M ⇒ M là trực tâm của
∆
KBC nên KM
là đường cao thứ 3
⇒
KM ⊥ BC.
Mà ME ⊥ BC (cmt)
⇒
ME MK≡
nên K;M;E thẳng hàng ⇒ đpcm.
Bài 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm
O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông

góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB. A’A=AD. A’C
3. C/m:DE ⊥ AC.
4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF.

Gợi ý:

1. C/m AEDB nội tiếp.
(Sử dụng hai điểm D;E cùng nhìn đoạn AB…)

2. C/m: DB. A’A = AD.A’C .
Chứng minh được
∆
DBA
:

∆
A’CA .

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
6
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
3. C/m: DE ⊥ AC.
Ta cần chứng minh DE // CA'
Do ABDE nội tiếp nên góc
·
EDC
=
·

BAE
(Cùng bù với góc BDE).
Mà
·
BAE
=
·
BCA’
(cùng chắn cung BA’) suy ra
·
EDC
=
·
BCA’
. Suy ra DE//A’C. Mà
A'C ⊥ AC nên DE ⊥ AC.
4. C/m: MD = ME = MF.
- Gọi N là trung điểm AB. Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do
M;N là trung điểm BC và AB ⇒ MN // AC (Tính chất đường trung bình)
Do DE ⊥ AC ⇒ MN ⊥ DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua
tâm) ⇒ MN là đường trung trực của DE ⇒ ME = MD.
- Gọi I là trung điểm EC nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPCF
⇒ MI // EB (Tính chất đường trung bình) Mà BE ⊥ AA' ⇒ MI ⊥ EF
⇒ MI là đường trung trực của EF ⇒ ME = MF.
Vậy MD = ME = MF.
Bài 6:
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M
đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
1 . C/m MFEC nội tiếp.

2 . C/m BM. EF=BA. EM
3. C/M ∆AMP
:
∆FMQ.
4 . C/m
·
PQM = 90
o
.
Gợi ý
1. C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM…)
2. C/m BM.EF = BA.EM
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
7
H×nh 6
Q
P
E
F
O
B
A
C
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
•C/m:∆EFM
:
∆ABM:
Ta có góc

·
ABM
=
·
ACM
(Vì cùng chắn cung AM)
Do MFEC nội tiếp nên
·
ACM
=
·
FEM
(Cùng chắn cung FM).
⇒
·
ABM
=
·
FEM
(1)
Ta lại có góc
·
AMB
=
·
ACB
(Cùng chắn cung AB).
Do MFEC nội tiếp nên góc
·
·

FME FCM=
(Cùng chắn cung FE) ⇒
·
·
AMB FME=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :∆EFM
:
∆ABM (g - g) ⇒ đpcm.
3. C/m ∆AMP
:
∆FMQ.
Ta có ∆EFM
:
∆ABM (theo c/m trên) ⇒
MF
AM
FE
AB
=
mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) ⇒
FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP
=⇒=

2
2
và
·
·
PAM MFQ= (suy ra từ ∆EFM
:
∆ABM)
Vậy: ∆AMP
:
∆FMQ (c - g - c)
4. C/m
·
PQM = 90
o
.
Do
·
·
AMP FMQ=
⇒
·
·
PMQ AMF=
⇒ ∆PQM
:
∆AFM ⇒
· ·
MQP = AFM
Mà góc

·
AFM
= 1v ⇒
·
MQP
=1v (đpcm).
Bài 7:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao
cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B
cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này.
2. C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆BCD. Có nhận xét gì về I và F
Gợi ý
1. C/m BGDC nội tiếp:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
8
H×nh 7
G
F
E
D
O
B
C
A
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Sử dụng tổng hai góc đối bằng 180

0
I là trung điểm GC.
2. C/m: ∆BFC vuông cân:

·
·
BCF FBA=
(Cùng chắn cung BF)
mà
·
FBA
= 45
o
(T/C đường chéo hình vuông)
⇒
·
BCF
= 45
o
.
·
BFC
= 1v
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ đpcm.
* C/m: F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDC.
Ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do ∆BFC vuông cân nên BC = FC.
Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc
·

BE F
=
·
FED
= 45
o
; BE=ED (hai cạnh của hình vuông ABED)
⇒ ∆BFE = ∆E FD (c - g - c) ⇒ BF = FD ⇒ BF = FC = FD ⇒ đpcm.
3. C/m: GEFB nội tiếp:
Do ∆BFC vuông cân ở F ⇒
»
®BFs
= sđ
»
FC
= 90
o
⇒ sđ
·
GBF
=
2
1
sđ
»
BF
=
2
1
.90

o
= 45
0
(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
Mà
·
FED
= 45
o
(tính chất hình vuông) ⇒
·
·
FED GBF=
= 45
o
. Ta lại có
· ·
FED FEG+
= 2v
⇒
·
·
GBF FEG+
= 2v ⇒ GEFB nội tiếp.
4 . C/m: C;F;G thẳng hàng:
Do GEFB nội tiếp ⇒
·
·
BFG BEG=
mà

·
BEG
= 1v ⇒
·
BFG
= 1v.
Do ∆BFG vuông cân ở ⇒
·
BFC
= 1v ⇒
·
·
BFG CFB+
= 2v ⇒ G;F;C thẳng hàng.
C/m: G cùng nằm trên đường tròn tròn ngoại tiếp ∆BCD. Do
·
·
GBC GDC=
= 1v
⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC là F ⇒ G nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆BCD.
* Dễ dàng c/m được I ≡ F.

Bài 8:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
9
H×nh 8
I
F
E

D
O
A
B
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường
tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường
tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
1. C/m: BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC
2
= DE. DF.
3. C/m: DOIC nội tiếp.
4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.
Gợi ý
1. C/m: BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai góc đối)
2. C/m: DC
2
= DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có
·
CDE
chung.
·
·
»
1
®
2

ECD CFD s EC= =
(Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung cùng chắn một cung) ⇒ ∆DCE
:
∆DFC ⇒ đpcm.
3. C/m: DOIC nội tiếp:
·
·
1
2
COD COB=
(T\C hai tiếp tuyến cắt nhau)
·
·
1
2
BAC BOC=
(Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).Nên
·
·
COD BAC=
.
·
·
BAC CID=
(So le trong vì DF//AB). Do đó
·
·
COD CID=
⇒ Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau ⇒ đpcm

4. Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp ⇒
·
·
OID OCD=
(cùng chắn cung OD)
Mà Góc
·
OCD
= 1v (tính chất tiếp tuyến)⇒
·
OID
= 1v hay OI ⊥ ID ⇒ OI ⊥ FE. Bán
kính OI vuông góc với dây cung EF ⇒ I là trung điểm EF.
Bài 9:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
10
H×nh 9 b
H×nh 9 a
I
P
Q
H
M
P
I
Q
H
N
O

O
A
B
M
A
B
N
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M≠A và M≠B),kẻ dây
cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.
1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m:NQ. NA=NH. NM
3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB
để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ
Gợi ý
Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự. Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.
1. C/m: A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.
(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:
-Cùng nhìn đoạn thẳng một góc vuông.
-Tổng hai góc đối.
2. C/m: NQ. NA = NH. NM.
Chứng minh: ∆NQM
:
∆NAH.
3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
Có hai cách:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
11
H×nh 10

F
N
C
B
O
A I
E
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
• Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I. C/m tam giác MIB cân ở M
• Cách 2:
·
·
QMN NAH=
(Cùng phụ với góc
·
ANH
)

·
·
NAH NMB=
(Cùng chắn cung NB) ⇒ đpcm
4. xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhất.
Ta có 2S
∆
MAN
=MQ. AN
2S
∆
MBN

=MP. BN.
2S
∆
MAN
+ 2S
∆
MBN
= MQ. AN+MP. BN
Ta lại có: 2S
∆
MAN
+ 2S
∆
MBN
=2(S
∆
MAN
+ S
∆
MBN
)=2S
AMBN
=2.
2
MNAB
×
=AB. MN
Vậy: MQ. AN+MP. BN=AB. MN
Mà AB không đổi nên tích AB. MN lớn nhất ⇔ MN lớn nhất ⇔ MN là đường kính
⇔ M là điểm chính giữa cung AB.

Bài 10:
Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài
BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I). Tiếp tuyến
BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E.
1 . Chứng minh tam giác ABC vuông ở A.
2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên
một đường tròn .
3. Chứng tỏ : BC
2
= 4 Rr
4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r
Gợi ý
1. C/m ∆ABC vuông: Do BE và AE
là hai tiếp tuyến cắt nhau nên AE=BE;
Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC=
2
1
BC.
⇒ ∆ABC vuông ở A.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
12
x
y
H×nh 11
E
K
I
H
M
A

O
B
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
2. CM: N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh tứ giác ANEF là hình chữ nhật ⇒ đpcm
3. C/m: BC
2
= 4R.r
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
AH
2
= OA. AI (Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiêu)
Mà AH=
2
BC
và OA = R; AI = r ⇒
=
4
2
BC
Rr ⇒ BC
2
= 4R.r
4. S
BCIO
= ?
Ta có BCIO là hình thang vuông ⇒ S
BCIO
=
4 .

2 2
OB IC OB IC
BC R r
+ +
× = ×
⇒ S =
( )r R rR+
Bài 11:
Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một
đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuông góc
với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.
1. C/m OMHI nội tiếp.
2. Tính góc OMI.
3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. C/m OK=KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.
Gợi ý
1. C/m OMHI nội tiếp:
(Sử dụng tổng hai góc đối)
2. Tính góc OMI
Do OB ⊥ AI; AH ⊥ AB (gt) và OB ∩ AH = M
Nên M là trực tâm của tam giác ABI⇒ IM là đường
cao thứ 3 ⇒ IM ⊥ AB nên tam giác MEB vuông tại E
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
13
H×nh 12
I
N
E
F
B

D
O
A
C
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Mà OAB vuông cân t ại O nên
µ
B
= 45
0
⇒
·
EMB
= 45
0
;

·
EMB
=
·
OMI
(Đối đỉnh)
·
OMI
= 45
0
3. C/m: OK = KH
·

OMI
=
·
OHI
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OI)
Mà
·
OMI
= 45
0
(Chứng minh câu 2)
nên
∆
OKH vuông cân tại K ⇒ KO = KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.
Do OK ⊥ KB ⇒ OKB = 1v; OB không đổi khi M di động ⇒ K nằm trên đường tròn
đường kính OB.
Khi M ≡ O thì K ≡ O Khi M ≡ B thì K là điểm chính giữa cung AB. Vậy quỹ tích
điểm K là
4
1
đường tròn đường kính OB.
Bài 12:
Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC
lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E.
1. C/m: MA là phân giác của góc CMD.
2. C/m: EFBM nội tiếp.
3. Chứng tỏ: AC
2
= AE. AM

4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD
5. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp ∆CIM
Gợi ý
1. C/m AM là phân giác của góc CMD
Do AB ⊥ CD ⇒ BA là phân giác của tam giác CBD
Cân tại B ⇒
·
·
»
»
CBA DBA AC AD= ⇒ =
.
Do đó
·
·
CMA DMA=
.
V ậy MA là phân giác của góc CMD
2 . C/m EFBM nội tiếp.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
14
H×nh 13
P
I
H
D
C
B
K
O

A
E
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
(Sử dụng tổng hai góc đối bằng 180
0
)
3. C/m: AC
2
=AE. AM
(Ch ứng minh:
ACE AMC∆ ∆:
(g - g))
4. C/m: NI // CD.
»
»
AC AD=

·
·
·
·
AMD ABC NMI NBI⇒ = ⇒ =
⇒ MNIB nội tiếp ⇒
·
·
NMB NIM+
= 2v. Mà
·
NMB
=1v (cmt)⇒

·
NIB
=1v hay NI ⊥ AB. Mà CD ⊥ AB (gt) ⇒ NI // CD.
5. Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ∆ICM.
Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của ∆CIM.
Bài 13:
Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát
tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE.
1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. C/m HA là phân giác của góc BHC.
3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB
2
=AI. AH.
4. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP.
Gợi ý

1 . C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên
một đường tròn:
Gọi K là trung điểm của AO.
Dẽ dàng chứng minh được
KO = KH = KB = KA = KC
⇒ A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn
tâm K đường kính OA.
2. C/m: HA là phân giác của góc BHC.
Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau ⇒ AB = AC mà A;B;O;C;H cùng nằm trên
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
15
x
y
H×nh 14

K
I
H
N
M
D
O
A B
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
một đường tròn tâm K (chứng minh trên) nên
·
·
BHA CHA=
⇒ đpcm.
3.C/m AB
2
=AI. AH
Ta cần chứng minh: ∆ABH
:
∆AIB ⇒ đpcm.
4. C/m: AE // CP.
·
·
¼
1
®
2
BPC BCA s BDC= =
;

·
·
»
1
®
2
BHA BCA s BA= =
⇒
·
·
BHA BPC=
⇒ CP//AE
Bài 14:
Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường
kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N.
1. CMR: MCDN nội tiếp.
2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.
CMR: AOIH là hình bình hành.
4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường
nào?
Gợi ý
1 . C/m MCDN nội tiếp:
Cần chứng minh:
·
·
·
·
ho = DCA Æc = ADCDNM CMN
⇒ Tổng hai góc đối bằng 180

0

⇒ DCMB nội tiếp.
2. C/m: AC.AM=AD.AN
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
16
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Hãy c/m ∆ACD
:
∆ANM (g - g)
⇒ đpcm
3. C/m AOIH là hình bình hành.
* Xác định I: I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tứ giác MCDN ⇒ I là giao điểm đường trung
trực của CD và MN ⇒ IH ⊥ MN là IO ⊥ CD.
Do AB ⊥ MN; IH ⊥ MN ⇒ AO // IH. Vậy cách dựng I: Từ O dựng đường vuông
góc với CD. Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN. Hai đường
này cách nhau ở I.
Do H là trung điểm MN ⇒ AH là trung tuyến của ∆ vuông AMN ⇒
·
·
ANM NAH=
.
vì tứ giác CDNM nội tiếp (I) nên
µ
·
M ADC=
mà
µ
·

·
·
0
M ANM DAH + ADC = 90+ ⇒
= 90
0
⇒ AH ⊥ CD mà OI ⊥ CD ⇒ OI //AH Vậy AHIO là hình bình hành.
4. Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành ⇒ IH = AO = R không đổi ⇒ CD quay xung quanh O
thì I nằm trên đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng R

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
17
H×nh 15
M
P
Q
H
F
G
E
O
B
C
A
D
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Bài 15:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung
nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình

chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O).
1. C/m AHED nội tiếp
2. Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M
C/m: HA. DP=PA. DE
3. C/m: QM = AB
4. C/m: DE. DG = DF. DH
5. C/m: E;F;G thẳng hàng. (đường thẳng Sim Sơn)
Gợi ý
1. C/m AHED nội tiếp
(Sử dụng hai điểm H;E cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một góc vuông
2. HA.DP=PA.DE
Xét hai tam giác vuông đồng dạng:
HAP và EPD (Có
·
·
HPA EPD=
đối đỉnh)
3. C/m: QM = AB
Vì tứ giác AHED nội tiếp nên
·
·
HAE HDE=
mà
·
»
1
®
2
HAE s AB=
(góc tạo bởi ….)

·
¼
1
®
2
HDE s QM=
(góc nội tiếp ….)
Nên
¼
»
= QM = ABQM AB ⇒
4. C/m: DE. DG = DF. DH
Xét hai tam giác DEH và DFG có:
Dễ dàng chứng minh được ngũ giác AHEDG nội tiếp nên
·
·
EHDFGD =
(Vì …)
Chứng minh được tứ giác DFGC nội tiếp nên
·
·
FDG FCG=
(Vì …)
Mà
·
·
EDH FCG=
(Vì
»
¼

AB MQ=
) Nên
·
·
FCG EDH=
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
18
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
⇒ ∆EDH
:
∆FDG ⇒
DG
DH
DF
ED
=
⇒ đpcm.
5. C/m: E;F;G thẳng hàng:
Ta có
·
·
BFE BDE=
(cmt) và
·
·
GFC CDG=
(cmt)
Do ABCD nội tiếp ⇒
·
·

BAC BMC+
= 2v; do GDEA nội tiếp ⇒
·
·
EDG EAG+
= 2v.
⇒
·
·
EDG BDC=
mà
·
·
·
EDG EDB BDG= +
và
·
·
·
·
·
BCD BDG CDG EDB CDG= + ⇒ =

⇒
·
·
GFC BEF=
⇒ E;F;G thẳng hàng.
Bài 16:
Cho tam giác ABC có

µ
A
=1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ
IK⊥BC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK.
1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m:
·
·
BMC 2 ACB=
3. Chứng tỏ: BC
2
= 2. AC. KC
4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.
Gợi ý
1. C/m ABIK nội tiếp
(Quá dễ)
2. C/m
·
·
. =BMC 2 ACB
Do AB ⊥ MK và MA = AK (gt) ⇒ ∆BMK cân ở B
⇒
·
·
BMA AKB=
Mà
·
·
·

AKB KBC KCB= +
(Góc ngoài tam giac KBC).
Do I là trung điểm BC và KI ⊥ BC (gt) ⇒ ∆KBC cân ở K
⇒
·
·
KBC KCB=
Vậy
·
·
BMC 2. ACB=
3. C/m: BC
2
= 2AC . KC
Xét 2 ∆ vuông ACB và ICK có góc C chung ⇒ ∆ACB
:
∆ICK
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
19
Hình 16
N
M
K
I
B
C
A
H×nh 17
F
E

I
H
K
M
O
A
B
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
⇒
CK
CB
IC
AC
=
⇒ IC=
2
BC
⇒
CK
BC
BC
AC
=
2
⇒ đpcm
4. C/m: AC = BN
Do
·
· ·

AIB IAC ICA= +
(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân ở I
⇒
· ·
·
·
IAC ICA AIB 2. IAC= ⇒ =
(1).
Ta lại có
· ·
BKM BMK=
và
·
·
BKM AIB=
(cùng chắn cung AB - tứ giác AKIB nội tiếp)
⇒
·
·
AIB BMK=
(2) mà
·
·
·
BMK MNA MAN= +
(góc ngoài tam giác MNA)
Do ∆MNA cân ở M (gt) ⇒
·
·
MAN MNA=

⇒
·
·
BMK 2 MNA=
(3)
Từ (1);(2);(3)⇒
·
·
IAC MNA=
và
·
·
MAN IAC=
(đối đỉnh) ⇒ …
5. C/m NMIC nội tiếp:
Do
·
·
MNA ACI=
hay
·
·
MNI MCI=
⇒ hai điểm N;C cùng nhìn đoạn MI…)
Bài 17:
Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn. Tia
phân giác của góc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB.
1. C/m: MOBK nội tiếp.
2. Tứ giác CKMH là hình vuông.
3. C/m: H;O;K thẳng hàng.

4. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy
trên đường nào?
Gợi ý
1. C/m: BOMK nội tiếp
(Sử dụng tổng hai góc đối bằng 180
0
)
2. C/m CHMK là hình vuông:
(Hình chữ nhật c ó một đường chéo
là phân giác nên là hình vuông)
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
20
H×nh 17*
F'
P
F
E
I
H
K
M
O
A
B
C
E'
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
3. C/m: H,O,K thẳng hàng:
Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuông
⇒ HK ⊥ MC tại trung điểm I của MC.

Do I là trung điểm MC ⇒ OI ⊥ MC (đường kính đi qua trung điểm một dây…)
Vậy HI ⊥ MC;OI ⊥ MC và KI ⊥ MC ⇒ H;O;I thẳng hàng.
4 . Do góc
·
OIM
= 1v; OM cố định ⇒ I nằm trên đường tròn đường kính OM.
- Giới hạn:Khi C ≡ B thì I ≡ F;Khi C ≡ A thì I ≡ E.
Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn EOF của đường
tròn đường kính OM.
CHÚ Ý:
Khi C chạy trên cả đường tròn thì quỹ tích
điểm I là hai cung tròn đối xứng nhau
qua AB như hình vẽ
Bài 18:
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a. Kẻ tia phân
giác của góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
21
2a
a
x
y
H×nh 18
J
O
K
N
M
I
H

A B
D
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ
tâm và bán kính theo a.
2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC
Và AB. AC = BH. BI
3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O)
ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp.
Gợi ý
1. Chứng minh:
* AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O
và phải định rõ tâm và bán kính theo a.
Sử dụng hai điểm H và D cùng nhìn
đoạn AC dưới một góc không đổi 90
0

nên tứ giác AHDC nội tiếp đường tròn
đường kính AC
⇒
O là trung điểm của AC,
bán kính R =
2
AC
.
Áp dụng định lí Py - ta - go ta tính được AC = a
5
⇒

R =
5
2
a
.
2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.
+ Chứng tỏ HB = HC.
+ Và AB. AC = BH. BI
* Vì CH là phân giác của BCA nên
¼
»
HD HA=
Nên OH
⊥
AD ⇒ OH là đường trung
trực của AD ⇒ OH cùng là đường trung trực của BC ⇒ HB = HC
* Xét hai ∆HCA và ∆ABI có
µ µ
A H=
= 1v và
·
·
ABH ACH=
(cùng chắn cung AH)
⇒ ∆HCA
:
∆ABI ⇒
BI
AC
AB

HC
=
mà HB = HC ⇒ đpcm
3. Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
22
H×nh 19
N
D
I
H
C
O
A
B
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Ta chứng minh tứ giác MNBC nội tiếp (Vì …) mà
·
·
MBC NCB=
⇒
·
·
BMN CNM=
n ên MNBC là hình thang cân ⇒ MN // BC mà BC // Hx (cùng vuông góc với OH)
⇒ MN // Hx
4 . C/m: HOKD nội tiếp
Do DJ // BH ⇒
·

·
HBD BDJ=
(so le) ⇒
º
»
»
»
BJ HD AH
2
AD
= = =
mà
»
»
AD BC=
⇒
º
º
BJ JC=
⇒ H;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính ⇒
·
HDJ
= 1v .
Góc
·
·
HJD ACH=
(cùng chắn 2 cung bằng nhau)⇒
·
·

OJK OCK=
⇒ C; J cùng nhìn
đoạn OK những góc bằng nhau ⇒ OKCJ nội tiếp ⇒
·
·
KOC KJC=
(cùng chắn cung
KC);
·
·
KJC DAC=
(cùng chắn cung DC) ⇒
·
·
KOC DAC=
⇒ OK // AD
mà AD ⊥ HJ ⇒ OK ⊥ HO ⇒ HDKC nội tiếp.
Bài 19 :
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC ⊥ AB. Gọi M là 1 điểm
trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM.
1. Chứng minh AOHC nội tiếp.
2. Chứng tỏ ∆CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.
3. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D.
Cmr: CDBM là hình thang cân.
4. BM cắt OH tại N. Chứng minh ∆BNI và ∆AMC đồng dạng,từ đó suy ra:
BN. MC=IN. MA.
Gợi ý
1 . C/m AOHC nội tiếp:
(Tự chứng minh)
2 . C/m: ∆CHM vuông cân:

(Gợi ý:
»
»
®AC ® BCs s=
= 45
0
)
3. Cmr: CDBM là hình thang cân.
Dễ dàng chứng minh được OH là đường
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
23
H×nh 20
J
K
I
F
E
D
N
O
A
B
C
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
trung trực của đoạn MC và BD
nên CM // BD ⇒ đpcm
4 . C/m BNI và ∆AMC đồng dạng:
(Tự chứng minh)
⇒ ∆INB

:
∆CMA (g -g) ⇒ đpcm

Bài 20:
Cho ∆ đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N
sao cho BM=AN.
1. Chứng tỏ ∆OMN cân.
2. C/m :OMAN nội tiếp.
3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại
I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của AJ.
Gợi ý
1. C/m OMN cân:
Do ∆ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)
⇒ AO và BO là phân giác của ∆ABC
⇒
·
·
OAN OBM=
= 30
o
; OA = OB = R và BM = AN (gt)
⇒∆OMB = ∆ONA ⇒ OM=ON ⇒OMN cân ở O.
2. C/m OMAN nội tiếp:

do ∆OBM=∆ONA (cmt) ⇒
·
·
BMO ANO=
mà
·
·
BMO AMO+
= 2v ⇒
·
·
ANO AMO+
= 2v ⇒ AMON nội tiếp.
3. C/m BC
2
+ DC
2
= 3.R
2
.
Do BO là phân giác của ∆ đều ⇒ BO ⊥ AC
hay ∆BOD vuông ở D. Áp dụng định lý Pitago ta có:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
24
H×nh 21
E
D
N
I
M

O
B
C
A
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
BC
2
= DB
2
+ CD
2
= (BO+OD)
2
+ CD
2
= BO
2
+ 2.OB.OD + OD
2
+ CD
2
. (1)
Mà OB =R. ∆AOC cân ở O có
·
OAC
= 30
o
.
⇒
·

AOC
= 120
o
⇒
·
AOE
= 60
o
⇒ ∆AOE là tam giác
đều có AD ⊥ OE ⇒ OD = ED =
2
R
Áp dụng Đ L Pitago ta có: OD
2
= OC
2
- CD
2
= R
2
- CD
2
. (2)
Từ (1)và (2) ⇒ BC
2
= R
2
+ 2. R.
2
R

+ CD
2
- CD
2
= 3R
2
.
4 . Gọi K là giao điểm của BI với AJ.
Ta có
·
BCE
= 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có
µ
B
=60
o
⇒
·
BFC
=30
o
.
⇒ BC =
2
1
BF mà AB = BC = AB = AF. Do AO ⊥ AI (t/c tia tiếp tuyến) và AJ ⊥ BC
⇒ AI // BC có A là trung điểm BF ⇒ I là trung điểm CF. Hay FI = IC.
Do AK // FI. Áp dụng hệ quả Talét trong ∆BFI có:
BI
BK

EI
AK
=
Do KJ//CI. Áp dụng hệ quả Talét trong ∆BIC có:
BI
BK
CJ
KJ
=
⇒
AK KJ
FI CI
=
Mà FI = CI ⇒ AK = KJ (đpcm)
Bài 21:
Cho ∆ABC (
µ
A
=1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm
cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.
1. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN.
2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).
3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác của góc AND.
Gợi ý
1. * C/m ABNM nội tiếp:
(Dùng tổng hai góc đối)
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
25