skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong chương trình toán 11

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong
chương trình tốn 11
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng trong chương trình tốn học phổ
thơng nói chung, chương trình tốn 11 nói riêng
3. Tác giả:
Họ và tên: Phạm Phương Anh
Năm sinh: 1976
Nơi thường trú: 10/28 Đường Thái Bình, TPNĐ, Nam Định
Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định
Điện thoại: 0915 029 248
4. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định.
Địa chỉ: 75/203 - Trần Thái Tông – TP Nam Định.
Điện thoại: 03503 847 042.

1


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

MỤC LỤC

Phần I: Lời nói đầu
Phần II: Nội dung
A: Cơ sở lý thuyết
B: Thực trạng nhận thức của học sinh khi học Tổ hợp –

xác suất
C: Phân loại và hướng dẫn học sinh giải một số bài toán
xác suất trong chương trình tốn 11
D: Một số bài tập đề nghị
Phần III: Kết luận
Phần IV: Tài liệu tham khảo

2


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

LỜI NÓI ĐẦU

Phần kiến thức về Tổ hợp và Xác suất học sinh được học trong chương trình
tốn lớp 11. Đây là một trong các mảng kiến thức Toán học hiếm hoi mà khi
học, học sinh có thể liên hệ ngay với thực tiễn, ứng dụng trong cuộc sống để tìm
tịi lời giải hoặc giải quyết được các vấn đề mình gặp phải.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc
thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất có nhiều điểm khác biệt so
với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, khi đứng trước một bài
tốn xác suất học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải quyết như thế nào,
thậm chí có nhiều em làm xong cũng khơng dám chắc kết quả mình đã tìm ra có
đúng khơng.
Theo lộ trình đổi mới trong phương thức thi THPTQG, Bộ GD-ĐT đã quyết
định mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm, từ năm học 2016-2017. Đến năm
học 2017-2018 trở đi, phần kiến thức lớp 11 sẽ có trong các câu hỏi của đề thi.
Xác suất – tổ hợp là một trong các phần kiến thức quan trọng trong chương trình
Tốn 11, rất có nhiều khả năng trong đề thi THPTQG sẽ được hỏi đến.Với mong
muốn giúp các em học sinh tự tin khi giải các bài toán xác suất, tránh để bị mất

điểm khi làm bài thi, tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn
xác suất trong chương trình tốn 11 ”

3


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Biến cố và phép thử
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả
của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là khơng
gian mẫu của phép thử và kí hiệu là



.

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử ln có hai biến cố đặc biệt:
+ Tập



+ Tập



được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
được gọi là biến cố chắc chắn.

- Phép toán trên các biến cố
Cần chú ý rằng các biến cố đang xét cùng liên quan đến một phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
 Tập

 \ A

được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là

A

. Và

A

xảy

ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
 Tập

A  B

 Tập

A  B

 Nếu

A B  

được gọi là hợp của các biến cố A và B.
được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B.
thì ta nói A và B là xung khắc.

 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra
của biến cố kia.

4


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Việc biến cố ngẫu nhiên có xảy ra hay khơng trong một phép thử là điều
ta không thể biết trước. Tuy nhên bằng những cách khác nhau ta có thể xác định
khả năng xuất hiện của biến cố; đó chính là xác suất của biến cố.
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử T chỉ có một số hữu hạn
kết quả đồng khả năng xuất hiện.
n

Ta gọi tỉ số

A

n 

là xác suất của biến cố A, kí hiệu là



P

A



n

P

A:

A

n 



3. Tính chất của xác suất:
a. Tính chất cơ bản:


P 



 0



P 



1



0  P

 A   1 , với mọi biến cố A .



P

A 1

P

A

b. Quy tắc cộng xác suất
 Nếu A và B xung khắc ( A 

B  

) thì

P

A

 B



 P

A

P

B

 Với mọi biến cố A và B bất kì ta có:
P

A

 B



 P

A 

PB



P

A

 B



c. Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

P

A

 B



 P

 A  .P  B 

5


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
B. THỰC TRẠNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHI HỌC TỔ HỢP –
XÁC SUẤT
Khi bắt đầu dạy học sinh lớp 11A7, 11B3 học chương II, tốn Đại số - Giải
tích 11, phần Tổ hợp - Xác suất, trong năm học 2016-2017, tôi nhận thấy các
em thường lúng túng trong việc phân tích đề bài, xác định các biến cố khơng rõ
ràng; vận dụng các tính chất về biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao, quy tắc
cộng và quy tắc nhân…khơng linh hoạt và cịn nhầm lẫn.
Nếu để các em tự tìm hướng giải, với các học sinh khá, giỏi có thể tìm ra đáp
số nhưng khơng n tâm, khơng chắc chắn với kết quả của mình; với các học
sinh yếu, trung bình thường tìm kết quả khơng chính xác, hoặc thừa hoặc thiếu,
đặc biệt với các bài toán dùng quy tắc đếm.
Thực trạng trên khiến tôi hướng tới suy nghĩ cần phải phân loại các dạng câu
hỏi, đưa ra một số “dấu hiệu thuật ngữ” đặc biệt để học sinh nhận diện yêu cầu
bài toán rõ ràng hơn, sử dụng phương pháp làm bài thích hợp, cho kết quả chính
xác, nhanh gọn hơn.
C. PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP 11
Dạng I: Dùng định nghĩa cổ điển của xác suất, quy về bài toán đếm
1. Dạng toán lấy, chọn ngẫu nhiên:
- Chú ý sử dụng các công thức tổ hợp kết hợp với hai quy tắc đếm cơ
bản.
- Những bài có thể dùng phương pháp liệt kê, cần phân tích yêu cầu đề
để tránh thừa, thiếu trường hợp
- Chú ý những “dấu hiệu” đặc biệt để có thể hướng đến dùng biến cố
đối.

6


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Bài toán 1. Một hộp đựng 20 viên bi gồm: 12 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy
ngẫu nhiên ra 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có khơng q 2 viên
bi đỏ
Hướng dẫn giải:
- KGM: Dễ dàng tìm được có
 n 



cách chọn 7 viên bi từ 20 viên bi

7

C 20  7 7 5 2 0

 77520

- Gọi A là biến cố “lấy được 7 viên bi có khơng q 2 viên bi đỏ”
+ Số bi đỏ lấy được phải bằng bao nhiêu? Số bi đỏ có thể là 0, 1, 2 viên; hãy
liệt kê các trường hợp
 n

A

7

1

6

2

5

 C 8  C 1 2 .C 8  C 1 2 .C 8  4 0 4 0  P

A



n

A

n 



101



1938

Bài toán 2. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F
vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu

mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11)
Hướng dẫn giải:
- KGM: Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo
của một lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt, trong đó khơng có 3
điểm nào thẳng hàng, có thể tạo ra được
 n 



2

C6  15

đoạn thẳng.

 15

- Gọi A là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là cạnh của lục giác”
B là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là đường chéo của lục giác”

7


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Clà biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ
là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”
n

A

 6  P

B  A  P

A

B



n

A

n 

1 P



A



2
5



3
5

n C



 3  P C





n C



n 





1
5

Bài tốn 3. Một lớp học có 30 học sinh gồm 12 nam và 18 nữ, trong đó có một
nam sinh tên Minh. Thầy chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh đi giao lưu. Tính xác
suất để 4 học sinh được chọn có đủ nam và nữ và Minh khơng được chọn.
Hướng dẫn giải:
- KGM: Dễ dàng tìm được có
 n 



4

C 30  2 7 4 0 5

cách chọn 4 học sinh từ 30 học sinh

 27405

- Gọi A là biến cố “4 học sinh được chọn có đủ nam, nữ và Minh khơng được
chọn”
+ Số học sinh nam và nữ được chọn cụ thể là bao nhiêu? Liệt kê các khả năng
và dùng quy tắc đếm
+ Minh khơng được chọn, vậy chỉ có thể chọn các học sinh nam trong số 11
nam còn lại
 n

A

1

3

2

2

3

1

 C 1 1 .C 1 8  C 1 1 .C 1 8  C 1 1 .C 1 8  2 0 3 6 1  P

A



n

A

n 





6787
9135

Bài toán 4. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ.

Tính sác suất để chọn được 5 tấm thẻ lẻ, 5 tấm thẻ chẵn và trong đó chỉ có đúng
một tấm thẻ ghi số chia hết cho 10
Hướng dẫn giải:
- KGM: Dễ dàng tìm được có
thẻ đã cho

 n 



10

C 30  3 0 0 4 5 0 1 5

cách chọn 10 tấm thẻ từ 30 tấm

 30045015

8


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
- Gọi A là biến cố “chọn được 5 tấm thẻ lẻ, 5 tấm thẻ chẵn và trong đó chỉ có
đúng một tấm thẻ ghi số chia hết cho 10”
+ Trong 30 tấm thẻ đã cho có bao nhiêu tấm thẻ lẻ, bao nhiêu tấm thẻ chẵn,
bao nhiêu tấm thẻ chia hết cho 10?
+ Cần chú ý các tấm thẻ chia hết cho 10 cũng là thẻ chẵn. Từ đó tìm ra số cách
lấy thỏa mãn: 5 thẻ lẻ, 1 thẻ chia hết cho 10, 4 thẻ chẵn không chia hết cho 10
 n

A

5

1

4

 C 1 5 .C 3 .C 1 2  4 4 5 9 4 5 5  P

A



n

A

n 





99
667

Bài tốn 5. Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả cũ.
Ngày hơm qua nhóm tập lấy ra 3 quả để chơi, sau đó lại bỏ vào hộp. Hơm nay
nhóm tập lại lấy ra 3 quả để chơi. Tính xác suất để 3 quả lấy ra hôm nay đều

mới. ( Một quả là mới nếu nó chưa được chơi lần nào)
Hướng dẫn giải:
- KGM: Cần xác định KGM theo hai hành động lấy bóng liên tiếp của ngày
hơm qua và hôm nay, mỗi ngày đều lấy 3 quả trong 10 quả
 n 



3

3

 C 1 0 .C 1 0  1 4 4 0 0

- Gọi A là biến cố “3 quả lấy ra hơm nay đều mới”
Ta có thể thấy, việc chọn được bóng mới của ngày hơm nay phụ thuộc vào
việc chọn bóng của ngày hơm qua
+ Ngày hơm qua, khi lấy 3 quả để chơi có bao nhiêu quả bóng mới? ( Giả sử
có x quả bóng mới, x có thể là 0,1,2,3 quả)
+ Khi đó, để lấy bóng cho ngày hơm nay, trong hộp cịn bao nhiêu quả mới?
Ngày hôm qua lấy được x quả mới và 3-x quả cũ, có
Ngày hơm nay cịn 6-x quả mới, có

3

C 6 x

A




x0

x

3 x

C 6 .C 4

3

.C 6  x  7 0 0  P

A

3 x

cách lấy

cách lấy 3 quả mới

3

 n

x

C 6 .C 4



n

A

n 





7
144

9


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
2. Dạng toán với đồng xu, xúc sắc
- Dạng bài tốn với đồng xu, xúc sắc có đặc trưng riêng, cần ghi nhớ
điểm đặc biệt khi xác định KGM sẽ đơn giản và dễ dàng
+ Mỗi đồng xu khi gieo có 2 khả năng xuất hiện (mặt sấp / mặt ngửa),
gieo n đồng xu có

2

n

khả năng xuất hiện

+ Mỗi con xúc sắc khi gieo có 6 khả năng xuất hiện( số chấm có thể là
một số tự nhiên từ 1 đến 6), gieo n con xúc sắc có

6

n

khả năng xuất

hiện
Bài toán 1. Gieo 2 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để
a, Có đúng một đồng xu ngửa
b, Có ít nhất một đồng xu sấp
Hướng dẫn giải:
Với bài tốn này, ta có thể dùng quy tắc đếm hoặc có thể liệt kê KGM và các
biến cố
Cách 1: Dùng cách liệt kê
- KGM:

 

  S ; S  ;  S ; N  ;  N ; S  ;  N ; N  

n 



 4

- Gọi A là biến cố: “Có đúng một đồng xu ngửa”
A 

  S ; N  ;  N ; S 

 n

A

 2  P

A



n

A

n 



B





1

2

- Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu sấp”
B 

  S ; S  ;  S ; N  ;  N ; S 

 nB



 3  P

nB



n 





3
4

Cách 2: Dùng quy tắc đếm
- KGM: Mỗi đồng xu có hai khả năng xuất hiện. Gieo 2 đồng xu có
năng

 n 



2

2

 4

khả

 4

- Gọi A là biến cố: “Có đúng một đồng xu ngửa”

10


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Chọn đồng xu ngửa: có
 n

cách

A

 2  P

A

cách chọn, đồng xu cịn lại phải là sấp: có 1

1

C2  2


n

A

n 





1
2

- Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu sấp”
Nếu xét trực tiếp, ta hiểu thế nào là có ít nhất một đồng xu sấp? Có thể có 1
đồng sấp, 2 đồng sấp, 1 đồng sấp có thể là đồng thứ nhất hoặc đồng thứ hai…có
nhiều trường hợp phải xét
Ta hướng đến biến cố đối
xu ngửa, chỉ có 1 cách
Bài tốn 2:

B

: Khơng có đồng xu nào sấp. Khi đó cả hai đồng

 1

 n B

P

B 

1

 P

B

1 P

4

B  

3
4

Gieo đồng xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để

a, Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.
b, Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa.

Phân tích: Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần
xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa,
hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán bằng cách liệt kê như sau:

 n

 

 N N N ; N N S ; N SS ; SSS ; SN N ; SN S ; SSN ; N SN 

A 

 N N N ; N N S ; N SS ; SN N ; SN S ; SSN ; N SN 

A

 7  P

A



7
8

Nếu làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý
rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt
ngửa” ta có thế xét ít trường hợp hơn. Do đó bài tốn này sẽ được giải như sau
Lời giải gợi ý:

Không gian mẫu: n    

2

3

 8

a) Xét biến cố đối của biến cố A:
A

: “Khơng có lần nào xuất hiện mặt ngửa”
11


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
A 

Và ta có

SSS  

n

A 1

P

A 

1

 P

A

1 P

8

A 

7
8

b) Tương tự ta có:
B 

SSS ; N N N 

 

 n B

2  P

B  

1

 P

B 

1 P

4

B  

3
4

Bài toán 3: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính xác suất
để có ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt sấp.
Hướng dẫn giải:
Với bài toán này, ta nên dùng quy tắc đếm, hướng đến biến cố đối
- KGM: Mỗi lần gieo có hai khả năng xuất hiện. Gieo 5 đồng xu có
khả năng

 n 



2

5

 32

 32

- Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt sấp”
Xét biến cố đối:

A

: Khơng có lần nào xuất hiện mặt sấp.

Khi đó cả 5 lần xuất hiện mặt ngửa, chỉ có 1 cách
 n

A 1

P

A 

1

 P

A

1 P

32

A 

31
32

Bài toán 4: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu
tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mơ tả khơng gian mẫu.
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng khơng biết cách
xác định khơng gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần
gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi
ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
o Nếu khơng có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải
gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
12


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì
nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa
thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu
hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có
thể xác định được khơng gian mẫu theo hướng liệt kê
Lời giải gợi ý:
a, Không gian mẫu:
 

 N ; SN ; SSN ; SSSN ; SSSSN ; SSSSSN ; SSSSSS  

N

 

 7

b, Ta có:
A 

N ;SN ;SSN  

n

A

A

 3 P



3
7

B 

SSSSN  

nB



1 P

B 



1
7

C 

SSSSSN ;SSSSSS  

n C



 2  P C



2



7

Bài toán 5: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để
a, Số chấm xuất hiện là số nguyên tố
b, Số chấm xuất hiện không chia hết cho 3
c, Số chấm xuất hiện lớn hơn 4
Hướng dẫn giải:
Đối với bài toán này ta hướng dẫn học sinh dùng cách liệt kê
- KGM:

  1; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6   n  



 6

- Gọi A là biến cố: “Số chấm xuất hiện là số nguyên tố”
A 

 2 ; 3; 5 

 n

A

 3  P

A



n

A

n 





1
2

- Gọi B là biến cố: “Số chấm xuất hiện là số nguyên tố”

13


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
B  1; 2 ; 4 ; 5   n  B



 4  P

B



nB



n 





2
3

- Gọi C là biến cố: “Số chấm xuất hiện lớn hơn 4”
C 

5; 6

 n C



 2  P C





n C



n 





1
3

Bài toán 6: Gieo 3 con xúc sắc cân đối và đồng chất.. Tính xác suất để
a, Chỉ có một con xuất hiện mặt 6 chấm
b, Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc nhỏ hơn 16
Hướng dẫn giải:
- KGM: Gieo một con xúc sắc có 6 khả năng. Gieo 3 con xúc sắc có
năng

 n 



 6

3

6

3

khả

 216

Đối với bài toán này, tùy theo mỗi câu hỏi ta sẽ sử dụng quy tắc đếm hoặc
liệt kê cho phù hợp.
- Gọi A là biến cố: “Chỉ có một con xuất hiện mặt 6 chấm”
Học sinh có thể trả lời các câu hỏi gợi ý
+ Có biết con xúc sắc nào xuất hiện mặt 6 chấm?
+ Hai con cịn lại có bao nhiêu khả năng xuất hiện?
 n

A

 C 3 . C 5
1

1



2

 75  P

A



25

72

- Gọi B là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc nhỏ hơn16”
Kết quả thuận lợi cho B là một bộ thứ tự  x ; y ; z  trong đó x, y, z lần lượt là số
chấm xuất hiện trên mỗi con xúc sắc sao cho:

x  y  z  16

Với câu này ta hướng dẫn học sinh dùng cách liệt kê. Tuy nhiên liệt kê các
trường hợp thỏa mãn cho biến cố thì q nhiều, ta có thể hướng dến biến cố đối.
Khi đó biến cố đối

B

: tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc lớn hơn

hoặc bằng 16. Ta xét các bộ  x ; y ; z  :

x  y  z  16

14


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
16  6  6  4  6  4  6  4  6  6
 6  5  5  5  6  5  5  5  6
17  6  6  5  6  5  6  5  6  6
18  6  6  6

   10 

 n B

P

B 

5

 P

B



108

103
108

Bài toán 7: Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc
suất hiện mặt b chấm. Xét phương trình

x

2

 bx  2  0

Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm.

( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11)
Hướng dẫn giải:
Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:
Không gian mẫu:

  1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6   n  



 6

Gọi A l à biến cố: “Phương trình có nghiệm”
Ta đã biết phương trình
Do đó A
 P

A





b  R
n

A

n 



b



2

x

2

 bx  2  0

 8  0

có nghiệm khi

   3; 4 ; 5; 6  

n

A

  b

 4  P

2

 8  0

A



2
3

2
3

Bài tốn 8. Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ
1 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính
xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả
1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong
lần quay thứ 2.
Hướng dẫn giải:
Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số
phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng
tính chất đặc trưng để tính toán.
15


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Gọi A là biến cố cần tính xác suất
 

 i; j 

i , j   1; 2 ; . . . . ; 3 6    n  

A 

 i; j 

i   1; 2 ; . . . ; 6  , j   1 3 ;1 4 ; . . . ; 3 6  



 3 6 .3 6  1 2 9 6

Có 6 cách chọn i (trong các số từ 1 đến 6), ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách
chọn j ( trong 25 số từ 13 đến 36), do đó theo quy tắc nhân:
 n

A

 6 .2 4  1 4 4  P

A



n

A

n 





1
9

3. Dạng tốn xếp vị trí:
- Với bài tốn sắp xếp người và đồ vật cần chú ý sử dụng các cơng thức
hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Một số các yêu cầu đặc biệt trong sắp xếp người và đồ vật
+ Xếp phần tử X ln có mặt: phải ưu tiên chọn vị trí để xếp X trước
+ Xếp phần tử X xuất hiện k lần: cần chọn ra k vi trí để xếp X trước
+ Xếp k phần tử luôn đứng kề nhau( hoặc không kề nhau): Coi k phần
tử là một nhóm, ưu tiên chọn vị trí và xếp nhóm này trước…
Bài tốn 1. Trong đợt tập quân sự, tiểu đội 1 thuộc trung đội 11A7 có 11 chiến
sĩ gồm 7 nam và 4 nữ. Theo lệnh của trung đội trưởng, tiểu đội chạy từ chỗ nghỉ
ra bãi tập và xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Tính xác suất để
a, Tiểu đội trưởng đứng đầu hàng
b, Người đứng đầu và cuối hàng đều là nữ
Hướng dẫn giải:
Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài tốn đếm
trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài tốn tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:
- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 11 người vào một hang dọc?
 n 



 1 1!

16

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
- Gọi biến cố A: “Tiểu đội trưởng đứng đầu hàng”
Khi tiểu đội trưởng đứng đầu hàng, còn 10 người có bao nhiêu cách xếp?
 n

A

 10! P

A



10!



1 1!

1
11

- Gọi biến cố B: “Người đứng đầu và cuối hàng đều là nữ”
Hai người nữ đứng đầu và cuối hàng là ai? Có bao nhiêu cách chọn? mấy cách
xếp tương ứng?
Cịn lại 9 người xếp vào 9 vị trí ở giữa, có bao nhiêu cách?
2

 nB



 A 4 .9 !  P  B
2





A 4 .9 !

6



1 1!

55

Bài toán 2. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo
hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a)

Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

b)

Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)

Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang?
 n 



- Gọi

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xen kẽ nhau”

 6!

Để xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, ta
xét số học sinh nam và nữ bằng nhau, vậy có thể nam ngồi đầu hoặc nữ ngồi đầu
đều được, đánh dấu vị trí cho nam và nữ rồi xếp
 n

A

 3 !.3 ! 3 !.3 !  7 2  P

A

1



10

- Gọi

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng

ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

17


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
+ Vì ba bạn nam ngồi cạnh nhau nên ta coi 3 bạn nam là một nhóm, xếp cùng
với 3 bạn nữ, có bao nhiêu cách? 6HS trở thành 4 nhóm xếp vào 4 vị trí, có 6!
cách
+ Nhóm 3 bạn nam có thể đổi chỗ, có bao nhiêu cách? Có 3! cách
 nB



 4 !.3 !  1 4 4  P

B



1
5

Bài toán 3. Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh gồm 5 nam và 4 nữ vào một hàng dọc.

Tính xác suất để
a, Khơng có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau
b, Khơng có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau
c, Chỉ có hai bạn nữ tên Hồng và Huệ đứng cạnh nhau, các bạn nữ khác không
đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Hồng và Huệ
Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 9 học sinh vào một hàng dọc?
 n 



- Gọi

là biến cố “Xếp khơng có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau”

 9!

Có thể hiểu cách xếp thỏa mãn là giữa hai nam bất kì ít nhất phải là một nữ.
Nếu ta xếp nam trước, 5 bạn nam sẽ tạo ra 4 khoảng trống ở giữa, vừa đủ xếp
cho 4 nữ vào 4 khoảng trống đó
 n

A

 5 !.4 !  P

A



1
126

- Gọi B là biến cố “Xếp khơng có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau”
Ở biến cố này, cách xếp thỏa mãn là giữa hai nữ bất kì ít nhất phải là một
nam. Tuy nhiên nếu ta xếp nữ trước, 4 bạn nữ sẽ tạo ra 3 khoảng trống ở giữa,
mà số học sinh nam là 5 nhiều hơn 3 khoảng trống, việc xếp nam sẽ phức tạp.
Ta sẽ hiểu yêu cầu của biến cố B là mỗi bạn nữ phải đứng giữa hai bạn nam,
khi đó ta sẽ xếp nam trước để tạo ra các vách ngăn, sau đó xếp nữ vào các
khoảng trống mà các bạn nam- vách ngăn đã tạo ra.
18


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
+ Xếp 5 bạn nam có

cách. Khi đó có 4 khoảng trống và 2 vị trí đầu cuối mà

5!

nữ có thể xếp vào. Mỗi cách xếp 4 nữ vào 6 vị trí đó là một chỉnh hợp chập 4
của 6
 nB



4

 5 !. A 6  P

B

5



42

Chú ý: Biến cố A cũng có thể làm theo cách xếp tạo vách ngăn. Cách xếp tạo
vách ngăn sẽ thực hiện được nếu các đối tượng khơng xếp cạnh nhau có số
lượng nhỏ hơn hoặc bằng các vách ngăn được tạo ra.
- Gọi C là biến cố “Chỉ có hai bạn nữ tên Hồng và Huệ đứng cạnh nhau, các bạn
nữ khác không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Hồng và Huệ”
Ta thấy biến cố C có thể đưa về biến cố B bằng cách coi hai bạn Hồng và Huệ
là một nhóm, có vai trị giống như hai bạn nữ còn lại
 n C



 5 !. A 6 .2 !  P  C
3



5



63

Bài toán 4. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ vào hai dãy ghế đối
diện, mỗi dãy có 4 ghế. Tính xác suất để
a, Nam, nữ ngồi đối diện nhau.
b, Nữ ngồi đối diện nhau.
Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh vào 8 ghế?
 n 



- Gọi

là biến cố “Xếp nam, nữ ngồi đối diện nhau”

 8!

+ Chọn vị trí để xếp nữ trước: Ta có 4 cặp ghế đối diện, ở mỗi cặp đều có thể
4

chọn một trong hai vị trí để xếp nữ. Khi đó có  C 21  cách chọn 4 vị trí để xếp nữ
+ Xếp 4 nữ vào 4 vị trí đã chọn, có 4! Cách
+ 4 học sinh nam phải được xếp vào 4 ghế cịn lại, có 4! Cách
 n

A



C 
1

2

4

.4 !.4 !  P

A



8
35

19


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
- Gọi B là biến cố “Xếp nữ ngồi đối diện nhau”
+ Chọn vị trí để xếp nữ: Ta có 4 cặp ghế đối diện, 4 nữ phải ngồi vào hai cặp
đối diện. Chọn 2 cặp ghế trong 4 cặp ghế đối diện có

2

C4

cách

+ Xếp 4 nữ vào 4 vị trí đã chọn, có 4! Cách
+ 4 học sinh nam phải được xếp vào 4 ghế cịn lại, có 4! Cách

 nB



2

 C 4 .4 !.4 !  P

B



3
35

Bài toán 5. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 3 nam và 5 nữ vào một bàn trịn có
8 ghế. Tính xác suất để
a, 3 nam ngồi cạnh nhau?
b, Khơng có hai nam nào ngồi cạnh nhau?
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng cơng thức hốn vị vịng để xếp chỗ ngồi trong bài tốn này.
Hốn vị vịng : xếp n phần tử vào n vị trí quanh một vịng trịn.
Vì hai cách xếp được gọi là trùng nhau nếu cách xếp này thu được từ cách xếp
kia bằng cách xoay vòng tròn đi một góc
Ta chọn ra một phần tử làm mốc, n – 1 phần tử còn lại xếp vào n – 1 vị trí cịn
lại, có (n – 1)! cách
Ghi nhớ : Hốn vị vịng của n phần tử bằng (n – 1)!
- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh vào 8 ghế quanh một bàn tròn?
 n 



- Gọi

là biến cố “Xếp 3 nam ngồi cạnh nhau”

 7!

+ Yếu tố ngồi cạnh nhau, ta xử lý tương tự bài toán 2: 3 nam cạnh nhau coi là
một người, xếp cùng với 5 nữ quanh bàn trịn: có 5! cách
+ 3 nam có thể đổi chỗ cho nhau, có 3! cách
 n

A

 5 !.3 !  P

A



1
7

- Gọi B là biến cố “Khơng có hai nam nào ngồi cạnh nhau”
20


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
+ Xếp nữ trước để tạo vách ngăn, có 4! cách

+ 5 học sinh nữ sẽ tạo ra 5 khoảng trống ( vì đây là bàn trịn). Xếp 3 học sinh
nam vào 5 khoảng trống này, có
 nB



3

 4 !. A 5  P

B



3

cách

A5

2
7

4. Dạng toán liên quan đến số học (bài toán lập số)
Bài toán lập số là một trường hợp đặc biệt của bài tốn sắp xếp. Ngồi
những kĩ năng đã nêu khi làm bài toán sắp xếp học sinh cần chú ý thêm
các đặc điểm
+ Số cần lập các chữ số có nhất thiết khác nhau hay không
+ Chữ số đầu của số cần lập phải khác 0
+ Các điều kiện chia hết trong số học, số chẵn số lẻ,… được sử dụng nếu

có
Bài tốn 1. Lập số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau từ các chữ số
0,1,2,3,4,5,6,7. Tính xác suất để lập được số tự nhiên chia hết cho 5
Hướng dẫn giải:
- KGM: lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau từ các
chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7?
Học sinh dùng quy tắc đếm tìm được:

5

4

A8  A 7  5 8 8 0

số 

n 



 5880

- Gọi A là biến cố: “lập được số tự nhiên chia hết cho 5”
Hướng dẫn học sinh chú ý tính chất của số chia hết cho 5, cần thứ tự ưu tiên
các chữ số nào?
Chữ số hàng đơn vị là 0 có:

A7

Chữ số hàng đơn vị là 5 có:

6 . A6

 n

A

4

3

4

 A7  6 A6  1 5 6 0  P

số
3

số

A



13
49

21

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Bài toán 2. Cho S là tập tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập từ
các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập S. Tính xác suất để tích
hai số được chọn là một số chẵn
Hướng dẫn giải:
- KGM:
+ Tập S có bao nhiêu phần tử? (Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác
nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6)
+ Có bao nhiêu cách chọn hai số từ tập S?
Học sinh dùng quy tắc đếm tìm được tập S có: 36 số
 n 



2

 C 36  6 3 0

- Gọi A là biến cố: “tích hai số được chọn là một số chẵn”
Hướng dẫn học sinh chú ý tính chất tích hai số được chọn là một số chẵn: phải
có ít nhất một trong hai số được chọn là số chẵn. Suy ra ta xét biến cố đối
Biến cố đối

A : “tích

hai số được chọn là một số lẻ” ( khi đó hai số được chọn

đều là số lẻ)
+ Có bao nhiêu số lẻ trong tập S? (Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 2 chữ số
khác nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6): 15 số lẻ

+ Có bao nhiêu cách chọn hai số lẻ từ S?
 n

A  C

2
15

 105  P

Bài toán 3. Cho tập

A 

1

 P

A

1 P

6

E  1, 2 , 3 , 4 , 5 

A 

5
6

. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên,

mỗi số có 3 chữ số đơi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số
đó có đúng một số có chữ số 5.
Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ tập E? Viết
hai số lên bảng, mỗi số có bao nhiêu cách viết?
 n 



3

3

 A5 . A5  3 6 0 0

- Gọi A là biến cố: “Trong hai số được viết, có đúng một số có chữ số 5”
22


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
+ Chọn thứ tự viết 2 số: Số có chữ số 5 có
+ Có bao nhiêu số có chữ số 5: Có

1

2

+ Có bao nhiêu số khơng có chữ số 5:

A4

Theo quy tắc nhân:

 n

A

1

C 3 . A4

1

3

2

1

C2

cách chọn thứ tự

số
số

3

 C 2 .C 3 A 4 . A 4  1 7 2 8  P

A



12
25

Bài toán 4. Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ X   0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5  . Tính xác
suất để số lập được có hai chữ số 2, 3 ln có mặt và đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ tập X?
 n 



1

4

 C 5 . A5  6 0 0

- Gọi A là biến cố: “Số lập được có hai chữ số 2, 3 ln có mặt và đứng cạnh
nhau”
+ Chọn vị trí để xếp hai chữ số 2,3? Có

1

cách

C4

+ Có bao nhiêu cách đặt hai chữ số 2,3 vào vị trí đã chọn? Có 2! cách
+ Ba vị trí cịn lại có bao nhiêu cách xếp? Chọn 3 trong 4 chữ số còn lại và
sắp thứ tự, có

3

A4

cách

Cần lưu ý rằng tập X có chữ số 0, mà chữ số đầu tiên của số cần lập phải khác
0, như vậy ta sẽ lập tùy ý và trừ đi trường hợp các số có chữ số 0 đứng đầu.
+ Lập tùy ý, có mặt 2,3 cạnh nhau, có:
+ Các số có chữ số 0 đứng đầu, có:
 n

A

 192  36  156  P

A



1

1

3

C 4 2 !. A 4  1 9 2
2

C 3 2 !. A 3  3 6

số

số

13
50

Bài toán 5. Lập số tự nhiên có 4 chữ số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tính xác
suất để lập được số có chữ số 3 xuất hiện hai lần, các chữ số khác xuất hiện
không quá 1 lần.
Hướng dẫn giải:
- KGM: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ 0,1,2,3,4,5?
23


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Với chú ý rằng, các chữ số trong số cần lập không nhất thiết khác nhau, ta chỉ
cần quan tâm tới chữ số ở vị trí đầu tiên phải khác 0, ba vị trí cịn lại chọn tùy ý
trong 6 chữ số đã cho
 n 



 C 5 . C 6
1

1



3

 1080

- Gọi A là biến cố: “Số lập được có chữ số 3 xuất hiện hai lần, các chữ số khác
xuất hiện khơng q 1 lần”
+ Có bao nhiêu cách chọn vị trí mà chữ số 3 có mặt? Có bao nhiêu cách đặt
chữ số 3 vào các vị trí đó? Chọn 2 trong 4 vị trí có

2

C4

cách

+ Hai vị trí cịn lại, có bao nhiêu cách chọn chữ số thỏa mãn? Chọn 2 trong số
5 chữ số còn lại và sắp thứ tự, có

2

A5

cách

Vẫn cần chú ý trong tập hợp đã cho có chứa chữ số 0, tương tự bài toán 4, ta
sẽ lập tùy ý và trừ đi trường hợp các số có chữ số 0 đứng đầu.
+ Lập tùy ý có:

2

2

C 4 . A5  1 2 0

số

+ Các số có chữ số 0 đứng đầu, có:
 n

A

 120  12  108  P

A



2

1

C 3 .C 4  1 2

108
1080

số

1



10

 Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng cơng thức
và kĩ thuật của tốn tổ hợp. Đối với các bài tốn như vậy thì học sinh cần
phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.
 Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để
vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
- Nhận dạng loại tốn: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…, nếu tính phần
bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối
- Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
24


Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất
Dạng II: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất
* Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là
các bài tốn ln tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác

suất biểu diễn qua các biến cố này) hoặc giả thiết đã cho.
* Khi dùng quy tắc cộng xác suất, học sinh cần chú ý điều kiện các biến cố có
xung khắc. Khi dùng quy tắc nhân xác suất cần chú ý các biến cố có độc lập.
* Vẫn chú ý phân tích đề xem có thể xét biến cố đối của biến cố cần tính xác
suất hay khơng
* Một số xác suất đặc biệt hay gặp:
o Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì
Xác suất xuất hiện mặt sấp là

1
2

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là

1
2

o Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì
 Xác suất xuất hiện từng mặt là

1
6

 Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn

1
2

 Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ

1
2

 Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3 là

1
2

…..
Bài tốn 1. Có 2 lơ hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm.
Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là

.

Hãy tính xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
25