De thi HSG Toan 9 + DA

PGD& ĐT huyện Long Điền
Trường THCS Trần Nguyên Hãn
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2009 – 2010
Thời gian 150 phút.
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K =
3 9 3 1 2
3 2 1
x x x x
x x x x
+ − + −
− +
+ − + −

( )
0; 1x x≥ ≠
a/ Rút gọn K
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)
B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1)
C = 666…….666 (m chữ số 6)
Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho abc = 1.Tính S =
1 1 1
1 1 1a ab b bc c ac
+ +
+ + + + + +
b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167
Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một
đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.

a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định
và thẳng hàng với B
b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường
tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D,
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.
ĐÁP ÁN
Bài 1(4 điểm)
a/ K =
3 9 3 1 2
3 2 1
x x x x
x x x x
+ − + −
− +
+ − + −
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 1 1 2 2
2 1
x x x x x x
x x
+ − − + − − − +
+ −
(0,5điểm)
=
( ) ( )
3 2
2 1

x x
x x
+ +
+ −
=
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
x x
x x
+ +
+ −
=
1
1
x
x
+
−
(1,5điểm)
b/ K =
1
1
x
x
+
−
= 1 +
2

1x −
(0,5điểm)
K nguyên khi 2
( )
1x −M

1x⇔ − ∈
Ư(2) =
{ }
1; 2± ±
(0,75điểm)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm)
Bài 2: (4 điểm)
A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) =
2
10 1
9
m
−
(0,5điểm)
B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1) =
1
10 1
9
m+
−
(0,5điểm)
C = 666…….666 (m chữ số 6) =
( )
6 10 1

9
m
−
(0,5điểm)
A + B + C + 8 =
2
10 1
9
m
−
+
1
10 1
9
m+
−
+
( )
6 10 1
9
m
−
+ 8 =
2
10 16.10 64
9
m m
+ +
=
2

10 8
3
m
 
+
 ÷
 
(1điểm)
Mà 10
m
+ 8
M
3 nên 10
m
+ 8 là số nguyên (0,25điểm)
Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm)
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho abc = 1.
1
ab
c
⇒ =

S =
1 1 1
1 1 1a ab b bc c ac
+ +
+ + + + + +
=
1 1 1

1
1
1
abc b bc c ac
a
c
+ +
+ + + +
+ +
(0,5điểm)
=
( )
1 1
1 1 1
c
c ac b ac c c ac
+ +
+ + + + + +
=
( )
1
1
bc b
b c ac
+ +
+ +
=
( )
( )
1

1
1
b c ac
b c ac
+ +
=
+ +
(1.5điểm)

b/ phương trình 3x + 7y = 167
3x + 7y = 167
⇔
x =
167 7
3
y−
=
1
56 2
3
y
y
+
− −
(0,5điểm)
đặt
1
3
y +
= t

⇔
y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (t
∈
Z) (0,5điểm)
Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0
⇔
t >
1
3
và 58 – 7t > 0
⇔
t <
58
7
(0,5điểm)
Vì t
∈
Z n ên t
∈

{ }
1;2;3;4;5;6;7;8
(0,25điểm)
Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9;
20), (2; 23) (0,25điểm)
Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm)
a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng
Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N .
Vì
ˆ

NMA
= 90
0
nên AN là đường kính của đường tròn (O)
⇒
N cố định (0,5điểm)
Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’
Vì
ˆ
' 'N M A
= 90
0
nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’)
⇒
N’ cố định (0,5điểm)
B thuộc đường tròn đường kính AN nên
ˆ
ABN
= 90
0
(0,25điểm)
B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên
ˆ
'ABN
= 90
0
(0,25điểm)
⇒
ˆ
'NBN

=
ˆ
ABN
+
ˆ
'ABN
= 180
0
(0,25điểm)
Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm)
b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của
∆
ANN’
⇒
OI = O’A = R’ (0,5điểm)
Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r
Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r
⇔
R’ + r = R (0,5điểm)
Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của
∆
ANN’
⇒
O’I = OA = R (0,5điểm)
mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r
⇒
(I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,5điểm)
Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,5điểm)
Bài 5 (4 điểm) hình vẽ (0,5điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM
Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25điểm)
Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD (0,25điểm)
Kẻ MH
⊥
AB (H
∈
AB) ta có MH
≤
MO = R (0,25điểm)
Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CD
≥
AB = 2R (0,5điểm)
Ta có S
ABDC
=
( )
2
. .
2
2 2 2
AC BD AB
CD AB AB AB
R
+
= ≥ =
(0,5điểm)
S
MAB
=

2
. .
2 2
MH AB MO AB
R≤ =
(0,5điểm)
Nên S
ACM
+ S
BDM
= S
ABDC
- S
MAB

≥
2R
2
–R
2

⇒
S
ACM
+ S
BDM

≥
R
2

(0,5điểm)
Dấu “=” xảy ra
⇔
H
≡
O (0,25điểm)
⇔
M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)(0,25điểm)
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)
Thì S
ACM
+ S
BDM
nhỏ nhất và bằng R
2
(0,25điểm)
( Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho tròn điểm)
A
B
C
D
M
H
O
x
y

O
O'
A

M
M'
N
N'
I B
Hình bài 5 hình bài 4