Đề và đáp án HSG 6,7,8

PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 ( 2,5 điểm ) :
a) Tính tổng S =
32.29
6
...
11.8
6
8.5
6
5.2
6
++++
và chứng tỏ tổng S < 1 ?

b) So sánh hai phân số
a
a 1
−
và
b
b 1
+
( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ≠ 0 )
Bài 2 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất.
Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2009 . x

2006
- 2008 . y
2007

b) Tìm x biết
22)
42424242
33333333
303030
333333
2020
3333
12
33
.(
4
7
=+++−
x
Bài 3 ( 2,0 điểm ) :
Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu
số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ?
Bài 4 ( 3,0 điểm ) :
Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy
ta kẻ các tia Om và On sao cho mOx = a
0
; mOn = b
0
( a > b ). Vẽ tia Ot là phân giác của
xOn :

a) Tính số đo mOt theo a và b trong hai trường hợp ( tia On nằm giữa hai tia Ox và
Om ; tia Om nằm giữa hai tia Ox và On ) ?
b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot . Chứng
tỏ trong cả hai trường hợp trên ta đều có tia Ot’ là tia phân giác của nOy ?

---------- Hết ----------
PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 ( 2,5 điểm ) Tìm số nguyên x biết :
a)






−+






−+







−=
1
939393
929292
1
626262
616161
313131
303030
1
186
x
.
b)
( )
0
5
2
:
5
2
12
5
2
333
=







−






+−−
+
xxxx
m
m
( với m ∈ N ; x ≠ 0 ) .
Bài 2 ( 2,0 điểm ) :
a) Chứng minh : 3
2005
+ 3
2006
+ 3
2007
+ 3
2008
+ 3
2009
chia hết cho 11 .

b) Cho :
2009
2008
5
4
4
3
3
2
2
1
...
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=====
. Chứng tỏ rằng :
2009
1
2008
2009432
2008321

...
...
x
x
xxxx
xxxx
=








++++
++++
.
Bài 3 ( 2,0 điểm ) :
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với
các số 1 ; 2 và 3 ?
Bài 4 ( 3,5 điểm ) :
Cho ∆ABC có A < 90
0
, đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực
của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt cắt AB
và AC tại I và K. Chứng minh :
a) CI // HM và BK // HN .
b) Trong trường hợp A ≥ 90
0

, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN .
----------- Hết -----------
PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 ( 2,0 điểm ) :
Cho biểu thức P =
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233
−
−








−
+

+








+
−
−
x
xx
x
x
x
x
x
x
a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên.
Bài 2 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho biểu thức M =
32
2
2
++
xx
.

Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ?
b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn
chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ?
Bài 3 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho a ≥ 1 và b ≥ 1 . Chứng minh :
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
. Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :
mx
xm
mm
mx
m
+
=
−

+−
+
−
1343
22
2

Bài 4 ( 3,0 điểm ) :
Cho ∆ABC vuông ở A, có B = 20
0
. Vẽ phân giác BI của ABC ( I ∈ AC ) và lấy điểm
H ∈ AB sao cho ACH = 30
0
:
a) Chứng minh BI
2
< AB . BC ?
b) Vẽ CK là phân giác của HCB, chứng minh CK // IH ?
c) Tính số đo của CHI ?
----------- Hết -----------
PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
S = 2.







+++
32.29
3
...
11.8
3
8.5
3
5.2
3
..........................................................0,25đ
S = 2.






−++−+−+−
32
1
29
1
...
11
1
8

1
8
1
5
1
5
1
2
1
. ..........................................0,25đ
S = 2.






−
32
1
2
1
=
32
30
................................0,25đ
Vì 30 < 32 nên S < 1 ..................................0,25đ
b) 1,5 điểm
Có
a

a 1
−
= 1 -
a
1
và
b
b 1
+
= 1 +
b
1
.................................................................0,5đ
* Nếu a > 0 và b > 0 thì
a
1
> 0 và
b
1
> 0 ..................................................0,25đ
⇒ 1 -
a
1
< 1 +
b
1
hay
a
a 1
−

<
b
b 1
+
..........................................................0,25đ
* Nếu a < 0 và b < 0 thì
a
1
< 0 và
b
1
< 0 .................................................0,25đ
⇒ 1 -
a
1
> 1 +
b
1
hay
a
a 1
−
>
b
b 1
+
..........................................................0,25đ
Bài 2 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + ....+ ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99 ................. 0,25đ

x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + ... + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .............0,25đ
x = 0 ⇒ x
2006
= 0
và y = - 1 ⇒ y
2007
= ( - 1 )
2007
= - 1 ............................................................................................0,25đ
Do đó ta có A = 2009 . x
2006
- 2008 . y
2007
= 0 - 2008.( -1 ) = 2008 .............................................0,25đ
b) 1,5 điểm
Ta có
22)
42424242
33333333
303030
333333
2020
3333
12
33
.(
4
7
=+++−
x

⇒
22)
42
33
30
33
20
33
12
33
.(
4
7
=+++−
x
..........................................................................0,25đ
⇒
22)
42
1
30
1
20
1
12
1
.(33.
4
7
=+++−

x
......................................................................0,25đ
⇒
22)
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
.(33.
4
7
=−+−+−+−−
x
....................................................0,25đ
⇒
22)
7
1

3
1
.(33.
4
7
=−−
x
⇒
22
21
4
.33.
4
7
=−
x
.....................................................0,5đ
⇒ -11.x = 22 ⇒ x = - 2 .................................................................0,25đ
Bài 3 ( 2,0 điểm )
Gọi phân số tối giản lúc đầu là
b
a
. Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số
b
a
bb
a
2
=
+

; phân
số này nhỏ hơn phân số
b
a
2 lần .............................................................0,5đ
Để
b
ba
2
+
gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a ..............................0,5đ
⇒ Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a .....................................................................0,5đ
Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là
3
1
.........................................................0,5đ
Bài 4 ( 3,0 điểm )
m t’
a) 2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n
* Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t
+ Vì tia On nằm giữa hai tia
Om và Ox ⇒ xOn = a
0
- b
0
......................0,25đ x y
O
+ Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt =
2
1

xOn =
2
00
ba
−
................0,25đ
+ Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt =
2
00
0
ba
b
−
+
=
2
00
ba
+
............0,5đ
* khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’
+ Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On t
⇒ xOn = xOm + mOn = a
0
+ b
0
............. 0,25đ
+ Vì Ot là phân giác của xOn nên
xOt =
2

1
xOn =
2
00
ba
+
......................0,25đ x O y
+ Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt =
−
0
a
2
00
ba
+
=
2
00
ba
−
...................0,5đ
b) 1,0 điểm
Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 90
0
....................0,5đ
Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) ..................................................0,25đ
⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy ....................................................0,25đ
Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 6 ) đúng vẫn cho điểm tối đa
---------- Hết ----------
PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7