skkn Giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT môn Toán

MỤC LỤC
STT

MỤC

TRANG

1

Mục lục

1

2

Từ ngữ viết tắt

2

3

1.

Lời giới thiệu

3

4

2.

Tên chuyên đề

3

5

3.

Tác giả chuyên đề

4

6

4.

Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề

4

7

5.

Lĩnh vực áp dụng chuyên đề

4

8

6.

Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu

4

9

7.

Mô tả bản chất của chuyên đề

4

10

7.1.

Cơ sở Lý luận

4

11

7.2.

Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

4

12

7.3.

Giải pháp thực hiện

13

7.4

Việc tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh

40

14

7.5.

Việc bồi dưỡng học sinh yếu kém

40

15

7.6

Đối với học sinh

42

16

7.7

Đối với phụ huynh học sinh

42

17

8. Những thông tin cần được bảo mật

43

18

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề

43

19

10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng chuyên đề

44

20

11. Danh sách những tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
thử hoặc áp dụng chuyên đề lần đầu

45

21

Tham khảo

5 39

46

0


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

BGH

Ban giám hiệu.

CM

Chứng minh

ĐKXĐ

Điều kiện xác định

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

THCS

Trung học cơ sở.

THPT

Trung học phổ thông.

TMĐK

Thỏa mãn điều kiện

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ CHUYÊN ĐỀ

1. Lời giới thiệu:
Trong chương trình các mơn học ở bậc THCS, mơn Tốn là mơn học
chiếm vị trí đặc biệt quan trọng. Các kiến thức và kĩ năng của mơn Tốn là cơ sở
giúp cho học sinh học tốt các môn học khác. Trong đời sống hàng ngày, các kĩ
năng như tính tốn, vẽ hình, đo đạc, ước lượng; kĩ năng sử dụng các dụng cụ
tốn học, máy tính điện tử là rất cần thiết đối với người lao động trong thời kì
cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa.
Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt những tri thức và rèn
luyện kĩ năng, mơn Tốn cịn có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực
trí tuệ, phát triển khả năng tư duy sáng tạo ở học sinh như phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hóa, khái qt hóa, . . .
Ngồi ra, mơn Tốn cịn góp phần phát triển nhân cách cho học sinh, nó
hình thành ở học sinh các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động
như: đức tính cẩn thận, kiên trì, ý chí vượt khó, tác phong làm việc khoa học, …
Do có vị trí quan trọng như vậy nên mơn Tốn ln có mặt trong tất cả
các kì thi đối với học sinh ở bậc học phổ thông. Đối với học sinh lớp 9, ngồi
các kì thi học sinh giỏi thì cịn có một kì thi rất quan trọng đối với các em đó là
kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Kết quả của kì thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT là một tiêu chí để đánh giá chất lượng dạy và học tốn của các trường
THCS. Vì vậy việc nâng cao chất lượng đại trà mơn Tốn cho học sinh lớp 9 là
một nhiệm vụ đối với các nhà trường cũng như giáo viên giảng dạy mơn Tốn.
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 9, tơi đã tích lũy được một số
kinh nghiệm và viết thành chuyên đề: “Một số giải pháp nâng cao chất lượng
thi vào lớp 10 THPT mơn tốn ''
2. Tên chun đề:
“Giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT mơn tốn''
3. Tác giả chuyên đề :
- Họ và tên: Trần Thị Thanh Tâm.
- Địa chỉ tác giả chuyên đề: Trường THCS Lũng Hòa- Huyện Vĩnh Tường
2

- Tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 01663537268.
Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề
- Họ và tên: Trần Thị Thanh Tâm.
- Địa chỉ tác giả chuyên đề: Trường THCS Lũng Hòa- Huyện Vĩnh Tường
- Tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 01663537268.
Email:
5. Lĩnh vực áp dụng chuyên đề:
Trong dạy học mơn tốn khối 9 ở trường THCS.
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu : Từ năm học 2015 – 2016.
7. Mô tả bản chất của chuyên đề:
7.1. Cơ sở lí luận:
Trong những năm gần đây, chất lượng giáo dục của trường THCS Lũng
Hịa có đi lên đáng kể. Song vấn đề cần bàn đến ở đây là chất lượng đại trà mơn
tốn thi vào lớp 10 các năm trước kết quả còn rất khiêm tốn. Điều này khiến cho
bản thân tôi và một số giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 9 khơng khỏi
băn khoăn, suy nghĩ với mong muốn tìm ra giải pháp tối ưu giúp học sinh khối 9
thi vào lớp 10 THPT mơn tốn đạt được kết quả cao.
7.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Là một giáo viên dạy tốn có thâm niên trong nghề nhưng nhiều năm
trước chất lượng môn toán thi vào lớp 10 chưa cao. Trước kết quả như vậy bản
thân tôi cùng các đồng nghiệp trong trường đã trăn trở tìm tịi và đưa ra nhiều
phương pháp, xây dựng giáo án với hệ thống bài tập đa dạng phong phú phù hợp
với từng đối tượng học sinh để hướng dẫn các em tiếp cận những dạng bài tập
thường gặp ở những đề thi các năm.
7.3. Giải pháp thực hiện:

Năm học vừa qua, HS lớp 9 đã thi vào THPT với 3 mơn Tốn, Văn và
Tiếng Anh. Đây là 3 mơn cơ bản trong chương trình THCS, với thực tế học sinh
3


học mơn tốn là rất khó vì mơn học địi hỏi tư duy cao, tính logic của mơn học
cũng rất cao vì thế khơng chỉ giáo viên tốn đứng lớp lo mà học sinh, phụ huynh
và các cấp lãnh đạo cũng rất quan tâm đến chất lượng bộ môn này.
Tuy vậy, những năm vừa qua, trường THCS Lũng Hòa đạt được kết quả mơn
tốn thi vào lớp 10 THPT cao so với các năm học trước
Đạt được kết quả như vậy là sự kết hợp của nhiều yếu tố: GV, HS, PH,
BGH nhưng giáo viên trực tiếp giảng dạy vẫn là người đóng vai trị then chốt.
Để giữ vững, phát huy hơn nữa kết quả năm học vừa rồi, tôi mạnh dạn đưa ra
một số biện pháp như sau:
7.3.1. Đối với GV:
Nghiên cứu kĩ đối tượng học sinh thông qua bài kiểm tra đầu kỳ ơn tập, từ
đó xây dựng nội dung chương trình vừa theo sự chỉ đạo của cấp trên vừa sát với
trình độ của HS mình.
- Chú ý ôn, luyện theo chuyên đề.
- Dạy - rèn – kiểm tra - rút kinh nghiệm theo từng chuyên đề.
- Giảng và yêu cầu học thuộc lý thuyết trên cơ sở lấy được ví dụ áp dụng
và làm được bài tập theo chun đề, giáo viên ln có câu hỏi “ Vì sao em làm
như thế? ” để kiểm tra sự hiểu của học sinh, không chú ý lắm đến đáp án của câu
trả lời là gì mà chú ý đến cách làm bài và phương pháp giải quyết bài tập. Vì thế,
GV nên ra bài tập áp dụng ngay sau khi học lý thuyết, khơng có ý gác lại sau,
đặc biệt rèn cho học sinh biết nhận dạng đề ra và cách thức làm từng dạng.
Dành tối đa lượng thời gian trên lớp để giảng dạy nhiệt tình, có hiệu quả,
chú ý công tác quản lý học sinh khi làm bài và trả lời, nếu khơng học sinh sẽ
nhìn bài nhau, ỷ lại, lười suy nghĩ nhưng vẫn có câu trả lời đúng, do đó GV sẽ
dễ bị ngộ nhận về đối tượng. Chú trọng công tác đôi bạn cùng tiến, học sinh

giỏi, khá giúp học sinh trung bình, yếu cách làm bài.
Cung cấp đủ và đúng các tài liệu cho học sinh ơn thi có định hướng, phơ
tơ các bài kiểm tra theo chuyên đề bài 90 phút, 120 phút và đề thi thử .
Đừng quá ép học sinh làm quá nhiều bài tập về nhà thuộc môn mình vì sẽ
làm cho học sinh căng thẳng.
4


Giờ ơn tập hay ơn thi HS hay có cảm giác chán học, nhất là đối tượng học
sinh trung bình, yếu, kém, vì vậy giáo viên nên thỉnh thoảng tổ chức các trò chơi
lồng ghép vào các bài tập như hái hoa dân chủ, trò chơi tiếp sức, . . .
* Phân loại học sinh
Ngay từ đầu năm học, BGH nhà trường cùng với GV đã phân luồng học
sinh một cách tương đối chính xác để học sinh có cùng trình độ trong một lớp
khi tổ chức dạy chuyên đề và ôn tập thi vào lớp 10. Đối với biện pháp này tôi
phải thực hiện 2 việc là :
Phân chia khối 9 thành 3 đối tượng theo học lực :
Lớp đối tượng 1: gồm các học sinh có học lực Khá - Giỏi.
Lớp đối tượng 2: gồm các học sinh có học lực Trung bình.
Lớp đối tượng 3: gồm các học sinh có học lực Yếu - Kém.
* Xây dựng chương trình, tài liệu ơn tập :
Căn cứ vào nội dung sách giáo khoa, hướng dẫn giảm tải, tài liệu ôn thi
vào lớp 10 các năm học trước và một số tài liệu tham khảo khác tôi đã xây dựng
các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT. Mỗi dạng bài tập đều có lý thuyết,
phương pháp giải và ví dụ minh họa cùng với bài tập áp dụng. Cụ thể:
CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI-CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI BIỂU
THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm điều kiện để các biểu thức xác định
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
- Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó.
Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN
Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x
Kiến thức bổ trợ:
1.

Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi.
5


2.

Các PP phân tích đa thức thành nhân tử (Nhân tử chung, HĐT, nhóm,
tách)

3.

PP quy đồng mẫu thức các phân thức

4.

Phép tính trên căn thức.

5.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ.

6.

Một số chú ý khi giải tốn về biểu thức

+) Tìm ĐKXĐ chú ý : Biểu thức trong căn  0 ,Mẫu  0 , biểu thức chia 0
+)Rút gọn biểu thức
- Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thường tìm cách đưa thừa số ra
ngồi dấu căn. Cụ thể là:
+Số thì phân tích thành tích các số chính phương
+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn
- Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về
các căn đồng dạng
- Nếu biểu thức là tổng, hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục
căn thức ở mẫu trước, có thể không phải quy đồng mẫu nữa.
- Nếu biểu thức chứa các phân thức chưa rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức
trước
- Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trước khi
- Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính, chú ý dùng dấu ngoặc,
cách viết căn
Chú ý: Một số bài toán như: Chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức
không phụ thuộc vào biến, cũng quy về rút gọn biểu thức
+) Tính giá trị của biểu thức
- Cần rút gọn biểu thức trước, nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì
nên thay giá trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp
- Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thay
vào tính
+) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
- Cần rút gọn biểu thức trước
6

- Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
Đối với đối tượng học sinh khá giỏi sẽ yêu cầu thực hiện được tất cả các dạng
tốn trên, tuy nhiên đối với HS trung bình ,yếu thì mức độ yêu cầu sẽ nhẹ hơn và
lựa chọn theo từng phần ở từng dạng bài sao cho khi làm bài điểm ở mỗi phần
học sinh làm được là tuyệt đối
� x  3 x �� x  3

x 2

9 x

�

1
:


��
�
Ví dụ 1: Cho biểu thức C  �
�
��
�
� x  9 ��2  x 3  x x  x  6 �

a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 4
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên

Lời giải
a) ĐKXĐ : x �0; x �4; x �9
b) Ta có:
� x  3 x �� x  3
x 2
9 x �
C �
1
:


��
�
�
��
�
� x  9 ��2  x 3  x x  x  6 �
�
�
1
�
�
�
�
1
�
�






3
.
x 3

Vậy C =





��
�
3 x
x 2
9 x
��
�
:


��
x

2
x

3
x 3

x 3
x 2
x 3 �
��
�
2
2
�
��
x ��3  x 3  x  x  2  9  x � x  3  x 9  x  x  2  9  x
:
:
�
x 3
x  3 ��
x 2
x 3
x 2
x 3
�
�
��
�
x

x 3









x 2







x 3

x 2

3



2

 

























3
x 2

với x �0; x �4; x �9

x 2

c) C = 4 



3
x 2

=4 

3
x 2 
4

11
121
x x =
( Thỏa mãn điều kiện
4
16

xác định )
d ) C nhận giá trị nguyên khi
của 2  x  2    2;2;1; 1 

3

nhận giái trị nguyên khi đó

x 2
x   0;4;3;1  x   0;16;9;1 .

x 2

là ước

Vì x �0; x �4; x �9 nên x =  0;1;16
Vậy với x  0;1;16  thì C nhận giá trị nguyên
7


* Ví dụ 2: Cho biểu thức
3
3
 1
1 
2
1 1 x  y x  x y  y

A 

.
  :
với x > 0 , y > 0


3
3
x
y
x
y
x

y



x y  xy


a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Lời giải
ĐKXĐ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1 1

.
  :
a/ A 
y  x  y x y 
 x

 x y
2
x  y 

.

:


xy

xy
x

y





 2
x  y 


:
 xy

xy






x y
xy
x y

Vậy A =

xy

b/ Ta có 




2

A



x  y x



xy  y  xy



xy x  y





x y





xy  x  y 

x

y

x



xy

y

.

với x>0 ;y >0
2

y  0 


x

x y 2

x


Do đó

x 3 y  xy 3

y  x  y

x

xy

.



x3  y x  x y  y3

x

y

xy



2

Vậy min A = 1 khi

* Sai lầm thường gặp

xy
xy



2

16
16

xy 0

y 2
1

xy .

( vì xy = 16 )

�
�x  y
� x  y  4.
�
xy  16
�

:

-Tìm ĐKXĐ , rút gọn biểu thức sai do HS không chú ý hết các điều kiện cần

đặt , do HS phân tích nhân tử sai dẫn đến rút gọn sai
8


-Khi tìm được giá trị của biến khơng kiểm tra lại ĐKXĐ
-Trong bài tốn tìm min , max khơng chú ý đến ĐKXĐ để tìm hoặc khơng biết
các bất đẳng thức khác để áp dụng .....
* Biện pháp khắc phục
- Hướng dẫn HS ôn tập hằng đẳng thức ,các phương pháp phân tích thành nhân
tử để HS biết rút gọn , lưu ý cho HS các điều kiện cần đặt để HS biết tìm ĐKXĐ
- Lưu ý cho HS tất cả các bài tốn có liên quan đến giá trị của biến phải chú ý
kiểm tra lại ĐKXĐ rồi mới kết luận
CHUYÊN ĐỀ 2 :HÀM SỐ BẬC NHẤT
1.Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
3.Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch
biến.
4. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc nhọn,
góc tù.
5. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua một điểm A (x 0; y0) cho
trước, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y 0 , cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ bằng x0 , đi qua giao điểm của đồ thị hai hàm số cho trước
6. Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy.
7.Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số
8. Tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số: cắt nhau, cắt nhau tại một điểm
nằm trên trục tung, hồnh; song song; trùng nhau; vng góc;
9. Lập phương trình của một đường thẳng:
 Đi qua 2 điểm A (x1; y1) và B(x2; y2) cho trước.
 Đi qua điểm A (x1; y1) và vng góc với đường thẳng cho trước.
 Đi qua điểm A (x1; y1) và song song với đường thẳng cho trước.

Phương pháp giải đối với một số dạng toán :
*Dạng bài tập về sự tương giao của hai hay nhiều đường thẳng
9


1. Bài tập về chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng.
Phương pháp:
Bước 1: Dựa vào hệ số góc và hệ số tự do kiểm tra nhanh xem các đường
thẳng song song hay trùng nhau không (thường xảy ra với các bài tốn mở) .
Bước 2: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng trong các đường thẳng
(nên chọn hai đường thẳng có cơng thức đơn giản) bằng cách giải hệ phương
trình có hai phương trình là cơng thức của hai đương thẳng đó hoặc giải phương
trình tương giao của hai đường thẳng đó.
Bước 3: Thay toạ độ điểm vừa tìm được vào cơng thức các hàm số cịn lại
+ Nếu toạ độ điểm đó thoả mãn cơng thức các hàm số còn lại ta được các
đường thẳng đồng quy.
+ Nếu toạ độ điểm đó khơng thoả mãn cơng thức các hàm số cịn lại thì
các đường thẳng đó khơng đồng quy.
Bước 4: Kết luận trả lời bài tốn.
2. Bài tập về tìm giá trị của tham số để các đường thẳng đồng quy.
Phương pháp:
Bước 1: Xét xem hai trong các đường thẳng có song song, trùng nhau khơng.
Tìm điều kiện của tham số (nếu có) để hai trong các đường thẳng cắt nhau.
Bước 2: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng trong các đường thẳng (nên
chọn hai đường thẳng có cơng thức đơn giản) bằng cách giải hệ phương trình có
hai phương trình là cơng thức của hai đường thẳng đó hoặc giải phương trình
tương giao của hai đường thẳng đó (lưu ý đến điều kiện của tham số vì trong toạ
độ của giao điểm có thể chứa tham số ở mẫu, ở trong dấu căn bậc chẵn)
Bước 3: Thay toạ độ điểm vừa tìm được vào cơng thức các hàm số cịn lại ta có
được phương trình một ẩn (ẩn chính là tham số, phương trình có thể là bậc nhất,

bậc hai, bậc ba, chứa ẩn ở mẫu……. ).
Bước 4: Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 5: Đối chiếu điều kiện của tham số nếu có và kết luận trả lời bài tốn.
3 .Bài tập về tính chu vi, diện tích, số đo góc trong của tam giác giới hạn bởi
đồ thị các hàm số với trục toạ độ.
10


Phương pháp:
Bước 1: Lập các phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nếu cần.
Bước 2: Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy
Bước 3: Tìm toạ độ giao điểm của các đường thẳng vừa vẽ bằng suy luận và xác
định tam giác giới hạn bởi các đường thẳng và trục toạ độ (tuỳ theo yêu cầu của
đề bài) .
Bước 4: Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết để tính được chu vi, diện tích, số
đo các góc của tam giác (sử dụng cơng thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết toạ
độ hai đầu đoạn thẳng, cách tính khoảng cách từ một điểm đến các trục toạ độ,
cách tính số đo góc tạo bởi đồ thị hàm số với trục hoành đã được trình bày trong
phần lý thuyết) .
Bước 5: Kết luận tồn bài.
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  (m  2) x  m  3 .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất luôn đồng biến.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số song song với đường thẳng
y  3 x  2017 .

c) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ
bằng

3
.

5

d) Tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng có phương trình
y  (m  2) x  m  3 luôn đi qua với mọi m

Lời giải:
a) Hàm số là hàm số bậc nhất luôn đồng biến khi và chỉ khi m  2  0
�m2

Vậy với m  2 thì hàm số là hàm số bậc nhất ln đồng biến
b)Đồ thị của hàm số y  (m  2) x  m  3 song song với đường thẳng y  3 x  2017

11


m  2 �0
�
�
khi và chỉ khi �m  2  3
�
m  3 �2017
�
m �2
�
�
��
m5
� m5
�
m �2014

�

Vậy với m = 5 thì đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng
y  3 x  2017

c) Đồ thị của hàm số cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng
m  2 �0
�
�
khi �
3
m3 
�
5
�

Vậy với m  
bằng

3
khi và chỉ
5

m �2
�
�m �2
18
�
�
��

��
3
18 � m  
5
m    3 �m  
�
5
5
�
�

18
thì đồ thị cùa hàm số cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ
5

3
5

d) Gọi A (x 0 ;y 0 ) là tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng có phương trình
y  (m  2) x  m  3 luôn đi qua

Nên : Tọa độ của điểm A (x 0 ;y 0 ) thỏa mãn công thức y  (m  2) x  m  3
Hay : y 0 =(m-2) x 0 +m+3 đúng m  m(x 0 +1) -2x 0 +3- y 0 =0 m
 x 0  1 0
 x 0  1
 
 
  2 x0  3  y 0 0
 y 0 5

Vậy tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng y=(m-2)x+m+3 ln đi qua
là A(-1;5)
Ví dụ 2 :Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m – 2) x + m + 3 song song với đường thẳng
y=x+1
12


c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2;
y = 2x – 1 đồng quy.
Lời giải:
a) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 luôn nghịch biến khi m – 2 < 0 � m < 2.
Vậy với m< 2 thì hàm số đã cho luôn nghịch biến
b) Do đồ thị của hàm số y = (m – 2)x + m + 3 song song với đường thẳng
 m  2 1
 m 3
 
 m=3
 m  3 1
 m  2

y=x+1 nên ta có : 

Vậy với m=3 thì đồ thị của hàm số y = (m – 2) x + m + 3 song song với đường
thẳng y=x+1
c) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ phương
�y   x  2
�y  2 x  1

trình : �

giải hệ này ta được (x;y) = (1;1).

Để đồ thị các hàm số y = (m – 2) x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy
thì đồ thị các hàm số y = (m – 2) x + m + 3 phải đi qua điểm (x; y) = (1; 1).
Vì vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của phương trình:
1
y = (m – 2)x + m + 3.Với (x;y) = (1;1) � m 
2

Vậy với m 

1
thì đồ thị của các hàm số y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và
2

y = 2x – 1 đồng quy
Ví dụ 3: Cho hai điểm A (1; 1); B (2; -1).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải:
Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) nên ta có hệ phương trình :
1 a b
a  2
�
�
��
�
b3

�1  2a  b
�

Vậy phương trình đường thẳng AB cần tìm là y = - 2x + 3.
*Dạng : Tập hợp điểm
Phương pháp:
Bước 1: Xác định được toạ độ của điểm K trong hệ trục toạ độ Oxy ln có toạ
độ tổng quát là K( x; y).
Bước 2: Lập hệ điều kiện trong đó có phương trình thứ nhất là x bằng hoành độ
13


của điểm K, phương trình thứ hai là y bằng tung độ của điểm K. Sau đó từ mỗi
phương trình trên biểu thị tham số m theo x và theo y
Bước 3: Từ quan hệ của m theo x và theo y lập mối quan hệ y theo x
Bước 4: Thử lại: Cho m một giá trị bất kỳ sau đó kiểm tra xem toạ độ điểm K có
thoả mãn công thức đường thẳng vừa lập được không.
Bước 5: Nếu toạ độ điểm K thoả mãn thì kết luận tập hợp điểm cần tìm, nếu
khơng thì kiểm tra lại các bước làm ở trên.
Đối với HS khá, giỏi thì yêu cầu làm được tất cả các dạng toán trên, tuy nhiên
với đối tượng HS trung bình và yếu thì khơng u cầu làm dạng tốn tập hợp
điểm cịn lại các dạng khác từng bước hướng dẫn và yêu cầu HS phải áp dụng và
làm được
Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm K có toạ độ K(4m – 1; 2 -

3
m ) trong hệ trục toạ
5

độ Oxy

Lời giải:
Vì: Điểm K thuộc hệ trục toạ độ Oxy
Nên : Toạ độ của điểm K là K( x; y)
3
5

Mà : Theo bài có toạ độ K(4m – 1; 2 - m )
� x 1
m
�x  4m  1
�4m  x  1
�
�
�
�
4
� �
Suy ra: �
3 � �3
y  2 m
m  2 y
�m  10  5 y
�
�
5
�
�5
�
3

Do đó:

x  1 10  5 y
� 3( x + 1) = 4( 10 – 5y)

4
3

� 3x + 3 = 40 – 20y
� 20y = - 3x + 37 � y =

3
37
x
20
20

Thử lại: Với m nhận một giá trị bất kỳ giả sử m = 5
Khi đó toạ độ điểm K (19; -1)
Thay hồnh độ điểm K vào đường thẳng y =

3
37
x
20
20

14

Có: y =

3
37 57 37 20
�
19 



 1 ( bằng tung độ của điểm K)
20
20 20 20 20

Hay: Điểm K (19; -1) thuộc đường thẳng y =

3
37
x
20
20

3
5

Vậy: Tập hợp các điểm K(4m – 1; 2 - m ) là đường thẳng y =

3
37
x
20

20

*Sai lầm thường gặp : không đặt điều kiện để hàm số chứa tham số là hàm số
bậc nhất và khi tìm được giá trị của tham số HS không kiểm tra lại điều kiện của
tham số
* Phương pháp khắc phục: GV khi dạy chuyên đề này cần lưu ý cho HS khi nào
cần đặt điều kiện để hàm số là hàm số bậc nhất, cũng cần lưu ý với HS bất kì bài
nào có điều kiện của tham số khi tìm được giá trị của tham số đều cần kiểm tra
theo điều kiện xem có thỏa mãn khơng
CHUN ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
+Dạng 1: Hệ phương trình khơng chứa tham số: thơng thường là giải hệ
phương trình. Ở dạng này GV hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp
như giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, hay đổi biến để tìm
nghiệm của hệ phương trình
+Dạng 2: Hệ phương trình chứa tham số
-Dạng 2. 1: Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước: Cách giải quay
trở về dạng 1
- Dạng 2. 2: Giải và biện luận hệ phương trình.
* Phương pháp giải:
Bước 1: Từ hai phương trình của hệ ta dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số,
ta thu được một phương trình mới (chỉ cịn một ẩn)
Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và
biện luận hệ phương trình đã cho
-Dạng 2.3: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn
một trong các điều kiện ( K) sau:
ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x 2 + y đạt giá trị nhỏ
nhất; x,y là các số nguyên; ; ….
* Phương pháp giải:
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m.
Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K.

15


Bước 3: Giải điều kiện K tìm m.
Bước 4: Trả lời yêu cầu bài toán.
(m  1) x  my  3m  1
�
2x  y  m  5
�

Ví dụ 1:. Cho hệ phương trình : �
a) Giải hệ phương trình với m =2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x2- y2 < 4.
Lời giải
�x  2 y  5
2x  y  7
�

a) Khi m = 2 , ta có �

�x  3
��
�y  1

Vậy khi m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1)
b)
(m  1) x  my  3m  1
�
�

2x  y  m  5
�

(1)
(2)

Từ phương trình (2) có y = 2x – m – 5 . Thế vào phương trình (1) ta được :
(m – 1)x – 2mx + m2 + 5m – 3m+1 = 0
 ( m+1).x = (m+1)2

(3).

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất,
phương trình (3) có nghiệm duy nhất khi : m �1
Khi đó phương trình (3)
Suy ra

 x=m+1

y=m–3

Mà x2- y2 < 4. nên (m + 1)2 - (m – 3)2< 4  m <

3
2

� 3
m
�
Vậy với � 2

�
m �1
�

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x2- y2 < 4.
 2 x  (9a 2  2) y 3a
Ví dụ 2 : Tìm giá trị của tham số a để hệ 
có nghiệm duy
 x  y 1

nhất? Có vơ số nghiệm? Vơ nghiệm?
Lời giải
�
2 x  (9a 2  2) y  3a
�
�x  y  1

�
2 x  (9a 2  2) y  3a (1)
��
2x  2 y  2
(2)
�
16


Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được (9a2 - 4)y = 3a – 2
2
3

(3)

Nếu a �� thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất y 
x = 1

1
3a  1

3a  2 3a  2

1
thay vào (2) có
3a  2

2
3

Nếu a= thì phương trình (3) trở thành 0y = 0 (phương trình có vơ số nghiệm)
=> hệ có vơ số nghiệm.
Nếu a= 

2
thì phương trình (3) trở thành 0y = -4 (phương trình vơ nghiệm)
3

=> hệ vơ nghiệm.
2
3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a �� ; hệ có vơ số nghiệm khi a=

nghiệm khi a= 

2
, hệ vô
3

2
3

* Sai lầm thường gặp : khi rút ẩn x theo y (hoặc y theo x) HS đã thu được một
phương trình có chứa tham số ở dưới mẫu mà không quan tâm xem mẫu đã khác
0 chưa
* Phương pháp khắc phục: Khi dạy GV phải lưu ý với HS nếu rút y theo x thì hệ
số gắn với y phải không chứa tham số (hoặc ngược lại)
- Ở dạng tốn này đối với HS trung bình và yếu thì việc đầu tiên là yêu cầu học
sinh làm tốt được dạng 1: giải hệ phương trình, các dạng cịn lại GV hướng dẫn
dần dần để có thể làm được từng bước
CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Điều kiện phương trình bậc 2 có nghiệm, vơ nghiệm
Có thể xảy ra các trường hợp như sau :
- Muốn chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm, có 2 nghiệm phân
biệt, vô nghiệm ta chứng minh  luôn không âm, ln dương, ln âm.
- Muốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm ta giải bất
phương trình:  > 0 hoặc  < 0
Dạng 2 : Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét
* Dạng 2.1: Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phương pháp giải :
- Kiểm tra điều kiện có nghiệm. Tính tổng, tích 2 nghiệm theo Vi-et
17

- Biến đổi biểu thức về dạng tốn tổng, tích 2 nghiệm
Chú ý: - Nếu gặp hiệu, căn thì tính bình phương rồi suy ra
- Nếu biểu thức khơng đối xứng thì có thể dùng ax12  bx1  c  0 ;
ax22  bx2  c  0

- Nếu mũ q lớn thì có thể nhẩm nghiệm
Ngồi ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
* Dạng 2. 2: Tìm 2 số biết tổng và tích : Dùng phương pháp thế đưa về phương
trình bậc hai
* Dạng 2. 3: Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm
Khi lập phương trình bậc hai cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1 , x2 ta làm như sau :
Tính x1  x2  S , x1.x2  P
Vậy phương trình bậc hai cần lập là : x2- Sx+ P =0
* Dạng 2. 4 : Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm. Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng, Tích 2
nghiệm. Nếu khơng được thì giải hệ. . . (Hệ thức có bậc 1)
Chú ý : - Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm.
- Nếu hệ thức chứa Hiệu, căn thì có thể bình phương, chứa dấu giá trị
tuyệt đối thì có thể chia thành 2 trường hợp theo định nghĩa giá trị tuyệt đối
* Dạng 2. 5 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Vi - ét
Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại
Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao
trước bằng cách như phương pháp cộng trong giải HPT
* Dạng 2. 6 : Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai: ax 2  bx  c 0 (a 0)

Có  b 2  4ac
P = x1 x 2 

c
a

S = x1  x 2 

b
a

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một
số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần
18


giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét.
  0

1. Phương trình có 2 nghiệm dương   P0
 S 0


2. Phương trình có 2 nghiệm âm

 �0
�
�
 �P  0
�S  0

�

3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0
Nhiều bài tốn địi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1
nghiệm khơng âm. Thường có 2 cách giải:
Cách 1: Có P  0 (Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm âm)
Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:

 P 0

  0
 S 0


Thì hai nghiệm đều dương.

Cách 2:
Trước hết phải có  0 khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu:
S 0 (Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S = 0 (Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc S 0, P 0 (Trường hợp này có 1 nghiệm khơng âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
Ví dụ: Cho phương trình x 2  2mx  2m  1  0
a) Giải phương trình với m=

1
2

b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Chứng minh rằng phương
trình có 2 nghiệm với mọi m
2
2
c) Tính giá trị của biểu thức A  2  x1  x1   5x1 x2 theo m

d) Tìm m để A = 27
e) Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Lời giải
1

 x 0

a) Với m= phương trình đã cho có dạng: x 2 -x =0  x (x-1) =0  
2
 x 1

19


1
2

Vậy với m= thì phương trình đã cho có tập nghiệm là S=  0;1
b) Xét phương trình: x 2  2mx  2m  1  0
ta có   m 2  2m  1   m  1 �0, m , do đó phương trình có 2 nghiệm với mọi giá
trị của m
2

c) Vì phương trình x 2  2mx  2m  1  0 có nghiệm x1, x2. với mọi m

�x1  x2  2m
(*)
�x1.x2  2m  1

Theo Vi-ét ta có: �

từ A  2  x12  x12   5 x1 x2 � A  2  x1  x2   9 x1 x2 (**)
2

thay (*) vào (**) ta được: A  2  2m   9  2m  1  8m 2  18m  9
2

d) A = 27  8m 2  18m  9  27 � 8m 2  18m  18  0 � m1  3; m2  



3
4

3
4

Vậy với m   3;  thì A = 27
e) giả sử x1 = 2. x2, kết hợp (*) ta có:
4m
�
x1 
�
3
x1  2 x2

x1  2 x2
�
�
�
2m
�
�
�
x1  x2  2m � �
3 x2  2 m
��
x2 
�
�
3
�
�
�
x1.x2  2m  1
x1.x2  2m  1
�
�
�4m 2m
�3 . 3  2m  1
�

3
2

giải phương trình 8m2  18m  9  0 � m1  ; m2 

4m
�
x1 
�
3
�
2m
�
x2 
�
3
�
�
8m 2  18m  9  0
�
�

3
4

3 3
 2 4



Vậy m   ;  thì phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

*Sai lầm thường gặp: Khi áp dụng hệ thức Vi-ét khơng tìm điều kiện để phương
trình có nghiệm,và khi tìm được giá trị của tham số thì không kiểm tra lại điều

kiện của tham số để phương trình có nghiệm
* Khắc phục sai lầm của HS thì khi dạy dạng toán này GV cần khắc sâu cho HS
trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét thì phải tìm điều kiện để phương trình có
nghiệm và khi tìm được giá trị tham số phải kiểm tra lại điều kiện
* Trong chuyên đề này đối với đối tượng HS khá, giỏi thì yêu cầu làm thành
thạo tất cả các dạng tốn, tuy nhiên đối với HS trung bình và yếu thì yêu cầu đầu
tiên là phải giải thành thạo phương trình bậc hai theo cơng thức nghiệm, các
20


dạng toán khác GV hướng dẫn theo từng bước và phải yêu cầu học sinh thực
hiện tốt từng bước trong khả năng của bản thân

21


CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
(HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH )
* Dạng 1 : Dạng tốn liên quan đến số học.
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng lũy thừa của 10:
.
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2(

)

 Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:
Các trường hợp

Số thứ

Số thứ hai(hoặc chữ
nhất(hoặcchữ số
số hàng đơn vị)
hàng chục)

Mối liên hệ

Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
Ví dụ : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng
6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng chữ số đó
nhưng theo thứ tự ngược lại.
* Phân tích tìm lời giải:

Chữ số hàng chục

x

Chữ số hàng đơn vị

y

Số cần tìm
Số mới
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y, ( x,y N; 0Vì tổng các chữ số của nó bằng 6 nên ta có phương trình : x+y=6 (1)
Khi thêm vào số đó 18 đơn vị thì thu được số mới là:
Nên ta có phương trình:

+18 =

 10x +y +18 = 10y +x

 x-y=-2

(2)

22


Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

 x  y 6

 x  y 2

Giải hệ ta được x = 2 (TMĐK) ; y = 4 (TMĐK)
Vậy số đã cho là 24.
* Sai lầm thường gặp:
- Đặt điều kiện cho ẩn là chữ số không đúng hoặc không đầy đủ.
- Khơng có ghạch trên thể hiện số có 2, 3,… chữ số.
- Khơng kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra trước khi trả lời
bài toán dẫn đến kết luận sai hoặc thiếu hoặc thừa.
* Dạng 2 : Dạng toán về chuyển động
s = v.t => v=

s
t

; t=

s
v

Hoặc đối với chuyển động trên sơng có dịng nước chảy.
Thì : Vận tốc xi dịng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dịng nước
Vận tốc xi dịng - Vận tốc ngược dòng = 2 lần vận tốc dòng

Các trường hợp

Vận
tốc(km/h)

(Hay loại phương tiện)

Thời gian(h)

Quãng
đường(km)

Theo dự định
Theo thực tế
Phương trình lập được (nếu
có)
Ví dụ : Đường sơng từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ
10 km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2 giờ.
Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của ơ tơ là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô?

Các trường hợp
(Hay loại phương tiện)

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng
đường(km)
23


Ca nơ

x

Ơ tơ
x+17
Phừơng trình lập được

Gọi vận tốc của ca nô là:

2

2.(x+ 17)

Lời giải :
x (km/h), x > 0

Vận tốc của ô tô là: x +17 (km/h)

Đường sông từ A đến B dài là: 3.
Đường bộ từ A đến B dài là:

1
3

(km )

2.(x+17) (km)

Theo đề bài thì đường sơng ngắn hơn đường bộ là 10 km ta có phương trình:

(thoả mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
* Sai lầm thường gặp:
Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là khi chọn ẩn không đầy
đủ và rõ ràng; Khi đặt điều kiện cho ẩn, trong bài tốn chuyển động trên dịng
nước thì muốn chuyển động ngược dịng được thì vận tốc phải lớn hơn vận tốc
dịng nước.
* Nhận xét: Với dạng tốn chuyển động thơng thường GV nên hướng dẫn
HS đọc hiểu đề bài và tóm tắt bằng sơ đồ để giúp HS có cái nhìn trực quan và dễ
dàng hơn trong quá trình phân tích tìm lời giải cho bài tốn.
* Dạng 3 : Dạng tốn về cơng việc làm chung, làm riêng.
- Hướng dẫn học sinh thông qua lập bảng như sau:

24