Nghiên cứu phương pháp dãi hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 147 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
---oOo---

Nhiệm vụ luận án cao học
Họ và tên học viên
Ngày, tháng, năm sinh
Chuyên ngành

: Lê Hiền Anh
: 13-08-1975
: Xây Dựng DD & CN

Phái
Nơi sinh
Khoá

: nam
: TP. Đà Nẵng
: 10

1. Tên đề tài:
Lập trình tính toán kết cấu bằng phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng trong việc tính
dao động tấm có sườn.
2. Nhiệm vụ và nội dung:
 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phương pháp dải hữu hạn.
 Xây dựng phần mềm tính toán.

 ng dụng khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng hình học của tấm có sườn đến dao động tấm
 Kết luận và kiến nghị về phương pháp dải hữu hạn.
3. Ngày giao nhiệm vụ:
4. Ngày hoàn thành nhiệm vụ:
5. Họ và tên cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Chu Quốc Thắng.
6. Họ và tên cán bộ phản biện 1:
7. Họ và tên cán bộ phản biện 2:
Cán bộ hướng dẫn

Cán bộ phản biện 1

Cán bộ phản biện 2

PGS.TS. Chu Quốc Thắng
Nội dung và đề cương luận án cao học đã được thông qua hội đồng chuyên ngành.
Phòng Quản Lý Khoa Học – Sau Đại Học

Ngày

tháng
năm 2003
Chủ nhiệm ngành

PGS.TS. Chu Quốc Thắng

CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

Nhận xét của cán bộ hướng dẫn :PGS.TS. Chu Quốc Thắng.

............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
Nhận xét của cán bộ phản biện 1:
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
Nhận xét của cán bộ phản biện 2:
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

3. Tìm tải trọng tới hạn và dạng mất ổn định.
Luận văn gồm 5 chương:
Chương 1 - Chương tổng quan :
Chương 2 – Cơ sở lý thuyết của phương pháp
Chương 3 – Ví dụ minh hoạ
Chương 4 – Khảo sát ảnh hưởng của sườn gia cường đến dao động của tấm chử nhật.
Chương 5 – kết luận; kiến nghị

Một số ký hiệu viết tắt


a

: khoảng cách các sườn gia cường



b

: bề rộng phần tử dải



c

: tham số hàm chuyển vị tổng quát



f

: hàm chuyển vị tổng quát



h

: chiều dày phần tử



i

: biến đếm; số phức



j

: biến đếm



k

: hệ số động



l

: chiều dài khoảng nút



m

: số đường nút



n

: số phần tử



p

: tải phân bố đường



q

: tải phân bố diện tích



r

: chuyển vị góc quanh trục y (chuyển vị đại diện cho đường nút)



s

: số thứ tự chuổi đang xét



t

: thời gian



u

: chuyển vị phương x



v

: chuyển vị phương y



w

: chuyển vị phương z



x

: tọa độ địa phương



y

: tọa độ địa phương



z

: tọa độ địa phương



Ai

: diện tích mặt cắt phần tử lăng trụ thứ i



A

: diện tích lấy tích phân



B

: ma trận tính biến dạng



C

: ma trận hệ số cản nhớt



D

: ma trận tính chất vật liệu



E

: mô dun đàn hồi Young



F

: hàm dạng tổng quát



G

: ma trận hiệu chỉnh (khi giải bài toán dao động cưỡng bức)



K

: ma trận độ cứng



KG : ma trận độ cứng hình học



L

: chiều dài phần tử



M

: ma trận khối lượng



N

: hàm nội suy phương x



P

: tải tập trung



Q

: hàm tải theo thới gian



S

: tổng số chuổi cần tính toán



T

: ma trận chuyển trục



U

: năng lượng biến dạng



V

: thể tích lấy tích phân



X

: chuổi hàm nội suy phương x (bài toán lớp hữu hạn)



Y

: chuổi hàm nội suy phương y



 góc giữa hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ tổng thể



 tỷ số giữa tần số lực cưỡng bức và tần số riêng



 độ biến thiên của chuyển vị góc (thành phần thêm vào trong phần tử bậc cao HO2)



 vectochuyển vị đại diện



 vecto biến dạng



 vecto riêng mô tả mode dao động



xy thành phần biến dạng góc = 2xy



 : hệ số xác định tải trọng tới hạn



 hệ số chu kỳ chuổi



 hệ số nở hông



 khối lượng riêng



 vecto ứng suất



 biến thời gian (biến tạm dưới dấu tích phân)



 : tham số đặc tính chuổi (trong công thức các chuổi hàm phương y)



 tần số riêng







 thế năng biến dạng toàn phần



 : tần số tương đương



 chuyển vị tương đương

độ biến thiên

Luận văn tốt nghiệp cao hoc ngành XD DD&CN K10

GVHD:PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN ...........................................................................................................1
1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD – FSM)................... 1
2. QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CỦA FSM .......................................................................................2

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP. ...................................................5
1. PHẦN TỬ DẢI TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DECAC ............................................................................5
2. PHƯƠNG PHÁP LỚP HỮU HẠN ................................................................................................19
3. PHƯƠNG PHÁP LĂNG TRỤ HỮU HẠN ....................................................................................20
4. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG ............................................................................................................22
5. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH BẰNG FSM ............................................................................................23

6. BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC GIẢI BẰNG FSM ........................................................................27
7. FSM viết tronh hệ toạ độ trụ..........................................................................................................32
8. NHẬN XÉT PHƯƠNG PHÁP .......................................................................................................34

CHƯƠNG 3: VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................35
1. BÀI TOÁN TÌM ỨNG SUẤT, CHUYỂN VỊ (VÍ DỤ 1) ...............................................................35
2. BÀI TOÁN TÌM TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CHO DẦM (VÍ DỤ 2) .......................................38
3. BÀI TOÁN TÌM TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CHO TẤM CÓ SƯỜN (VÍ DỤ 3) ..................... 39
4. BÀI TOÁN TÌM TẢI TRỌNG TỚI HẠN (VÍ DỤ 4) ....................................................................44
5. TÌM CHUYỂN VỊ TẤM CÓ SƯỜN (NHƯ VÍ DỤ 3) CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU H OÀ –
SO SÁNH VỚI BÀI TOÁN TĨNH CÓ CÙNG CƯỜNG ĐỘ (VÍ DỤ 5) ........................................45
6. TÌM CHUYỂN VỊ TẤM CÓ SƯỜN CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG BẤT KỲ(VÍ DỤ 6) ......... 49

CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA SƯỜN GIA CØNG ĐẾN DAO ĐỘNG CỦA
TẤM CHỬ NHẬT. ..........................................................................................................................51
1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...............................................................................................................................51
2. KHẢO SÁT TẤM KHÔNG SƯỜN ...............................................................................................52
3. KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU CAO SƯỜN ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG VÀ
MODE SHAPE TƯƠNG ỨNG ......................................................................................................53
4. KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA KHOẢNG CÁCH CÁC SƯỜN ................................................58
5. KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG TỶ LỆ GIỮA CHIỀU DÀI & CHIỀU DÀY TẤM ĐẾN TẦN SỐ RIÊNG
THỨ NHẤT ...................................................................................................................................62
6. KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU DÀY SƯỜN ĐỐI VỚI TẦN SỐ RIÊNG
THỨ NHẤT .........................................................................................................................................64

CHƯƠNG 5: GIỚI THIỆU CHƯƠNG TRÌNH ..........................................................................68
1. THUẬT TOÁN ..............................................................................................................................68
THỰC HIỆN : LÊ HIỀN ANH

Trang 1

Luận văn tốt nghiệp cao hoc ngành XD DD&CN K10

GVHD:PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

2. SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH .......................................................................................................70

CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...............................................................................76
1. KẾT LUẬN ...................................................................................................................................77
2. KIẾN NGHỊ ...................................................................................................................................78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................................80

THỰC HIỆN : LÊ HIỀN ANH

Trang 2

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD – FSM).
FSM là trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method –
FEM) khi sử dụng phần tử 2 và 3 chiều, và điều kiện tương thích. Nếu như đối với FEM người ta
xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức nội suy theo tất cả các phương, thì đối với FSM hàm chuyển
vị được xấp xỉ bằng việc kết hợp chuổi hàm và đa thức nội suy. Do xuất phát từ việc giải bài toán
tấm chử nhật nên phương pháp có tên là FSM (strip có nghóa là dải). Thực ra FSM bao gồm cả
các phương pháp: lớp hữu hạn và lăng trụ hữu hạn. Đặc điểm của FSM là kết cấu phải có đặc
điểm hình học không đổi theo phương mô tả bằng chuổi hàm.
Cho đến nay FSM đã thành công trong việc phân tích các bài toán sau:


Bài toán tấm; vỏ; kết cấu 3 chiều có mặt cắt không đổi theo 1 phương – sử dụng phần tử
tương tự phần tử shell trong FEM với các điều kiện biên khác nhau.



Bài toán tổ hợp kết cấu tấm và thanh (hệ dầm sàn …).



Bài toán tấm trên nền đàn hồi; và phi đàn hồi.



Tương tự như trên nhưng sử dụng phần tử 3 chiều (lăng trụ hữu hạn).



Bài toán tấm nhiều lớp (lớp hữu hạn).



Cũng những bài toán như trên nhưng giải với phần tử bậc cao như trong FEM.



p dụng cả trong hệ toạ độ decac và toạ độ trụ thậm chí trong hệ toạ độ không vuông góc để
giải các bài thẳng, cong, xiên …



Sử dụng phối hợp nhiều loại hệ trục toạ độ để giải bài toán dải không đều; lăng trụ không
đều …



Tấm cong ghềnh có hình chiếu chử nhật; hình bình hành hay hình quạt.



Cho phép giải các bài toán động lực học và bài toán ổn định.



Cho phép giải các bài toán phi tuyến vật liệu; phi tuyến hình học.



Cho phép kết hợp giữa FEM và FSM
Thông qua phạm vi ứng dụng nêu trên, ta có thể lầm tưởng FSM thực hiện được tất cả

những bài toán mà FEM có thể giải quyết được. Thực ra khi sử dụng FSM ta phải luôn nhớ là kết
cấu phải có hình dạng hình học đơn giản để việc mô phỏng không cần dùng quá nhiều số hạng
chuổi. Chính vì vậy FSM thường hay dùng trong tính toán cầu.

Trang 1

Trong FSM phần chuổi hàm là phần đáng để quan tâm nghiên cứu nhất, vì đây là phần
khác biệt duy nhất giữa FEM và FSM. Trong các loại chuổi hàm đã được nghiên cứu, chuổi
lượng giác và chuổi Spline là 2 loại chuổi phổ biến nhất. FSM sử dụng chuổi lượng giác, còn

được gọi là phương pháp bán giải tích (semi analysis), là phương pháp cơ bản vì nó nêu bật được
tất cả các đặc điểm của FSM. Tuy nhiên do phạm vi ứng dụng không rộng nên chỉ thường được
sử dụng để nghiên cứu. FSM với chuổi Spline thực sự là 1 cuộc cách mạng trong FSM khi nó
giúp các nhà khoa học mỡ rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp.
2. QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CỦA FSM
Phương pháp dải hữu hạn (FSM) do Y.K. Cheung khởi xướng. Tác phẩm đầu tiên được
xuất bản năm 1968 đã đề cập đến lời giải cho bài toán tấm tựa đơn. Năm 1969 Rowel và Orden
cũng đưa ra lời giải cho bài toán cầu bản chữ nhật 1 cách độc lập với Y.K.Cheung. Sau đó
phương pháp này đã được nghiên cứu ở rất nhiều nước tập trung vào cuối thập niên 1960 và đầu
thập niên 1970. Riêng trong việc nghiên cứu FSM để giải các bài toán thiết kế cầu đã có rất
nhiều thành tựu:
•

Tấm chữ nhật với điều kiện biên tổng quát của Y.K. Cheung năm 1968.

•

Cầu dầm hộp của Y.K.Cheung 1969.

•

Lớp hữu hạn để giải bài toán tấm dày của Y.K.Cheung và Chakrabarti năm 1971.

•

Lăng trụ hữu hạn để giải cầu hộp dày của Zienkiewicz và Too năm 1972.

•

Tấm cong tròn và cầu dầm hộp (Y.K Cheung năm 1969 ; Y.K.Cheung và

M.S.Cheung năm 1971).

•

Tấm gấp khúc và cầu dầm hộp của ( Brown và Ghali, 1972 và 1975).

•

Cầu bản liên tục, tiếp cận mềm (tương tự phương pháp lực) của M.S.Cheung,
Y.K.Cheung và Ghali năm 1970.

•

Cầu dầm hộp liên tục có sườn ngang, tiếp cận mềm của Loo năm 1975.

•

Cầu bản và cầu dầm hộp tiếp cận cứng của Wu và Cheung năm 1974; Decourt và
Cheung năm 1978).

•

Tính dao động tự do (M.S.Cheung và Cheung năm 1971)

•

Phản ứng động của cầu bản dưới tác động của tải trọng di động của Smith năm 1973

•

Tính ổn định của Premieniecki năm 1973 Wittrick và Plank năm 1974.

Trang 2

Năm 1976 Y.K.Cheung; năm 1978 Loo và Cusens tổng kết những lý thuyết cơ bản của
phương pháp dải hữu hạn và những ứng dụng của nó trong lónh vực kỹ thuật cầu cùng với những
thành tựu trong suốt thời gian qua.
Từ giữa những năm 1970 nhựng cố gắng lớn đều tập trung cho các đề tài phức tạp với
những chủ đề chính:
•

Tính toán tấm tổng quát (Bucco, Mazumdar và Sved 1979)

•

Tính toán cầu cong composite chịu “tương tác thiếu “ (Arizumi năm 1982)

•

Ứng xử của cầu hộp composite trong quá trình thi công (Branco và Green 1985)

•

Phương pháp dải vó mô để giải bài toán tấm với chiều dày biến đổi theo phương
ngang (Arabi và Li năm 1991)

•

Phương pháp dải hổn hợp để giải bài toán cầu bản và cầu dầm hộp với gối tựa trung

gian và sườn cứng của Puckett năm 1983; Maleki 1987; Wiseman và Puckett 1991.

•

Tính toán cầu vòm bản và cầu dầm hộp của M.S.Cheung, Akhras và Li năm 1994

•

ng xử của cột mất ổn định và tính toán kết cấu tấm mất ổn định cục bộ của GraveSmith và Sridharan, 1978; Hancock, 1981; Langyel và Cusens, 1983; Gierlinski và
Grave-Smith, 1984; Azizian và Dawe, 1985.

•

Tính toán kết cấu thép phi tuyến vật liệu của Olawale và Plank 1988; M.S.Cheung,
Ng và Zong 1980; Ng và những người khác 1991.

•

Tính toán phi tuyến vật liệu của tấm bê tông cốt thép của Guo và những người khác
1988; M.S. Cheung và Li, 1990

•

Tính toán kết cấu tấm đàn dẻo biến dạng lớn của Abayakoon 1989.

•

Tính toán phi tuyến cầu dây văng của M.S Cheung, Li và Jaeger, 1988và 1990.

Năm 1982 Y.K.Cheung và một số người khác đã đưa hàm B3 spline để mô tả chuyển vị

dọc của đường nút trong bài toán tấm chử nhật. Hàm spline có thể mô tải bất kỳ điều kiện biên
nào và dể dàng mô tả mô men tại điểm có lực tập trung cũng như gối tựa trung gian. Bằng cách
biến đổi hệ trục toạ độ nó giúp ta mô tả bất kỳ dạng đường cong nào. Do đó phương pháp này
phổ biến hơn phương pháp dùng chuổi lượng giác.
Trong những năm sau đó, phương pháp dải hữu hạn dùng hàm spline đã được mỡ rộng:
•

Cho cầu dầm hộp thẳng (Y.K.Cheung và Fan 1983) ;

•

Cho tấm cong ghềnh (Chen, Tham và Cheung 1984)

•

Cho cầu bản cong tùy ý (Y.K.Cheung và 1 số người khaùc 1986)
Trang 3

•

Cho cầu dầm hộp cong tròn và cong không tròn (Li, Tham và Cheung 1988)

•

Tính toán dải hỗn hợp (chen, Gutkowski và Puckett 1990 và 1991

•

Tính toán dao động và ổn định (P.Cheung và 1 số người khác1987; Mizusawa1988)

•

Tính toán cầu bản bê tông cốt thép có xét đến tính phi tuyến vật liệu ( M.S.Cheung;
Ng và Zhao 1993)

Ngoài ra còn rất nhiều thành tựu trong lónh vực này không thể liệt kê hết .
Tại Việt Nam, FSM là phương pháp còn mới mẻ. Đề tài “sử dụng dải hữu hạn bậc cao
trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi” của Lê Văn Bình đã được bảo vệ tại Hội Đồng Khoa
Học Trường Đại Học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh chỉ mới tập trung nghiên cứu bài toán tìm ứng
suất và chuyển vị cho tấm chử nhật ứng suất phẳng. Trong đó tác giả chỉ thực hiện được việc tính
toán với 1 số hạng chuổi và chương trình tính toán không đáng tin cậy lắm khi các ví dụ tính toán
đều cho kết quả sai. Đề tài “phân tích kết cấu tấm và ứng dụng trong kết cấu cầu dầm hộp” của
Phạm Sanh (Đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh) sẽ được bảo vệ trong thời gian tới hy vọng là
đề tài mang tính thực tiển cao.
Nội dung luận văn cao học này là sự tổng hợp kiến thức cơ bản kèm theo phần mềm tính
toán các bài toán tìm ứng suất; chuyển vị; tần số dao động riêng; dạng dao động; bài toán động
lực học kết cấu (kết cấu chịu tác dụng tải trong điều hoà và tải trọng thay đổi bất kỳ theo thời
gian); bài toán tìm tải trọng tới hạn và dạng mất ổn định tương ứng của kết cấu trong hệ không
gian 3 chiều 2 đầu tựa đơn (các điều kiện biên dọc theo kết cấu là tuỳ ý) bằng FSM. Sau đó sử
dụng phần mềm trên để khảo sát dao động của tấm có sườn.

Trang 4

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP.
Tương tự FEM xây dựng từ điều kiện tương thích, FSM cũng lấy cơ sở là chuyển vị. Các
thành phần chuyển vị của 1 điểm bất kỳ được xấp xỉ bằng hàm dạng (shape function) và các
chuyển vị đại diện (đại diện cho chuyển vị đường nút, khác với chuyển vị nút như trong FEM).
Hàm dạng, như đã đề cập trên, gồm hàm nội suy (hoàn toàn tương tự FEM) và chuổi hàm (phần

mang tính khác biệt giữa FEM và FSM). Chuổi hàm cần thoả đầu tiên là các điều kiện biên, điều
kiện khả vi và liên tục đến đạo hàm cấp 2. Kế đến chuổi hàm phải đảm bảo tính hội tụ cho bài
toán. Cho đến nay 2 chuổi hàm được sử dụng phổ biến nhất là chuổi lượng giác và chuổi B3
Spline. Các chuyển vị đại diện được tính từ điều kiện cực tiểu thế năng biến dạng toàn phần.
1. PHẦN TỬ DẢI TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DECAC
1.1. Mô tả phần tử:

y
w

z

v
u

b

r

L

x

1.2. Hàm chuyển vị.
Chuyển vị tại 1 điểm bất kỳ được mô tả như sau:
f ( x, y ) =

S →∞

∑ c F ( x, y )

s =1

s

(1.1)

s

Với


f(x,y) là hàm mô tả 1 thành phần chuyển vị nào đó nhö u(x,y); v(x,y); w(x,y); r(x,y) …
o Fs ( x, y ) là hàm dạng thứ s của thành phần chuyển vò f. Fs (x, y ) = N (x )Ys ( y ) .
 N ( x ) là đa thức nội suy mô tả chuyển vị phương ngang (phương cạnh ngắn).
 Ys ( y ) là số hạng chuổi thứ s mô tả chuyển vị phương dọc (phương cạnh dài).



cs mô tả các chuyển vị đại diện của đường nút.
1.2.1. Hàm chuyển vị khi mô tả bằng phần tử bậc thấp LO2:

Trang 5

(1.2)



u ( x, y ) = ∑ (N1uis + N 2u js )Y1s


s
v( x, y ) = ∑ (N1vis + N 2v js )Y2 s

s
f ( x, y ) = w( x, y ) = (N w + N r + N w + N r )Y
∑s 3 is 4 is 5 js 6 j 1s


∂w( x, y )
= ∑ (N 7 wis + N8 ris + N 9 w js + N10 rjs )Y1s
r ( x , y ) =
∂x
s


(1.3)

 cs chính là uis hay vis hay wis là các thành phần chuyển vị đại diện tương ứng theo phương x, y,
z và ris là thành phần chuyển vị goùc yz

(

)
)

(

)

6 2


 N = 1 − 3x 2 + 2 x3  N 7 = x − x
b
 3

2
2
 N 8 = 1 − 4 x + 3 x
 N1 = 1 − x  N 4 = x 1 − 2 x + x
 N là đa thức noäi suy: 
; 
; 
2
3
 N 2 = x
 N5 = 3x − 2 x
N = 6 x − x2

 9 b
2
 N 6 = x x − x

2
 N10 = 3 x − 2 x
 trong đó: x = x
b

(

)

(

(

(

)

)

(

(

(

)

)

(1.4)

)

(1.5)

 Y1; Y2 là chuổi hàm (ta ký hiệu khác nhau vì thành phần chuyển vị v (theo phương y) có thể có
đều kiện biên khác với u; w; r).
1.2.1.1.

Đối với phương pháp bán giải tích (hay phương pháp sử dụng chuổi lượng giác)

 Chuổi hàm lấy từ phương trình vi phân dao động dầm:

 µy 
 µy 
 µy 
 µy 
Y ⇒ Y = χ1 sin   + χ 2 cos  + χ 3 sinh   + χ 4 cosh 
L
 L 
 L 
 L 
 L 
 Trong đó χ1 , χ 2 ,... là các hệ số xác định từ điều kiện bieõn.

Y "" =

à4

(1.6)

4

ã Baứi toaựn dam 2 ủau khụựp

à y
Ys ( y ) = sin  s  (Duøng cho chuyển vị u; w; r)
 L 

µ y
hay Ys ( y ) = cos s  (Dùng cho chuyển vị v)
 L 
với µ s = sπ (s = 1,2,3,...) ; χ1 = 1; χ 2 = χ 3 = 4 = 0

(1.7)
(1.8)
(1.9)

ã Baứi toaựn 2 ủau ngaứm

à y
à y

− υ s  cos s − cosh s  (Dùng cho chuyển vị u; w; r) (1.10)
L
L
L
L 

µ y
µ y
µ y
µ y

hay Ys = cos s − cosh s − υ s  sin s − sinh s  (Dùng cho chuyển vị v) (1.11)
L
L
L
L 


sin µ s − sinh µ s
với υ s =
;
(1.12)
cos µ s − cosh µ s
µs là nghiệm của phương trình sau: cos µ s cosh µ s = 1
Ys = sin

µs y

− sinh

µs y

trong đó 12 giá trị đầu tiên cho theo bảng sau:

Trang 6

Bảng 12 giá trị đầu tiên của µs

µ1

4.730040744862704

µ7

23.56194490204045

µ2

7.853204624095837

µ8

26.70353755550818

µ3

10.99560783800176

µ9

29.84513020910325

µ4

14.13716549125746

µ10

32.98672286269282

µ5

17.27875965739948

µ11

36.12831551628262

µ6

20.42035224562606

µ12

39.26990816987241

Với s>12 có theồ tớnh gan ủuựng à s = (s + 0.5)

(1.13)

ã Bài toán 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn

Ys = sin

µs y
L

hay Ys = cos
với υ s =

− υ s sinh

µs y
L

µs y

L

− υ s cosh

sin µ s
sinh µ s

(Dùng cho chuyển vị u; w; r)

µs y
L

(1.14)

(Dùng cho chuyển vị v)

(1.15)
(1.16)

µs là nghiệm của phương trình sau: tan µ s = tanh µ s
Bảng 4 giá trị đầu tiên của µs

µ1

3.92660231204792

µ3

10.21017612281303

µ2

7.06858274562873

µ4

13.35176877775409

Với s>4 có thể tính gần đúng µ s = (s + 0.25)π

(3.17)

• Bài toán cả 2 đầu tự do (liên kết theo phương dọc kết cấu)

µ y
µ y

− υ s  cos s + cosh s  (Duøng cho chuyển vị u; w; r) (1.18)
L
L
L
L 

µ y
µ y
µ y
µ y

hay Ys = cos s + cosh s − υ s  sin s + sinh s  (Duøng cho chuyển vị v) (1.19)
L

L
L
L 

sin µ s − sinh µ s
với υ s =
(1.20)
cos µ s − cosh µ s
µs là nghiệm của phương trình sau: tan µ s = tanh µ s
Ys = sin

µs y

+ sinh

µs y

Bảng 14 giá trị đầu tiên của µs

µ1

0

µ8

20.42035224562606

µ2

1

µ9

23.56194490204045

µ3

4.730040744862704

µ10

26.70353755550818

µ4

7.853204624095837

µ11

29.84513020910325

µ5

10.99560783800176

µ12

32.98672286269282

µ6

14.13716549125746

µ13

36.12831551628262

µ7

17.27875965739948

µ14

39.26990816987241

Trang 7

Với s>14 có thể tính gần đúng µ s = (s − 1.5)π

(1.21)

• Bài toán 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn

µ y
µ y

− υ s  cos s − cosh s  (Dùng cho chuyển vị u; w; r) (1.22)
L
L

L
L 

µ y
µ y
µ y
µ y

hay Ys = cos s − cosh s − υ s  sin s − sinh s  (Dùng cho chuyển vị v) (1.23)
L
L
L
L 

sin µ s + sinh µ s
với υ s =
;
(1.24)
cos µ s + cosh µ s
µs là nghiệm của phương trình sau: cos µ s cosh µ s = −1
Ys = sin

µs y

− sinh

µs y

trong đó 10 giá trị đầu tiên cho theo bảng sau:
Bảng 10 giá trị đầu tiên của µs

µ1

1.87510406871196

µ6

17.27875953208823

µ2

4.69409113297417

µ7

20.42035225104125

µ3

7.85475743823761

µ8

23.56194490180644

µ4

10.99554073487547

µ9

26.70353755551830

µ5

14.13716839104647

µ10

29.84513020910282

Với s>10 có thể tính gần đúng µ s = (s − 0.5)π

(1.25)

• Bài toán 1 đầu khớp 1 đầu tự do

Ys = sin

µs y
L

hay Ys = cos
với υ s =

+ υ s sinh

µs y
L

µs y
L

+ υ s cosh

sin µ s
sinh µ s

(Dùng cho chuyển vị u; w; r)

µs y
L

(1.26)

(Dùng cho chuyển vị v)

(1.27)
(1.28)

µs là nghiệm của phương trình sau: tan µ s = tanh µ s
Bảng 5 giá trị đầu tiên của µs

µ1

1

µ4

10.21017612281303

µ2

3.92660231204792

µ5

13.35176877775409

µ3

7.06858274562873

Với s>5 có thể tính gần đúng µ s = (s − 0.75)π

(1.29)

 Điểm chung của tất cả các hàm trên là:
L

•

∫Y Y

s1 s 2

dy = 0 khi s1≠s2

(1.30)

dy = 0 khi s1≠s2

(1.31)

0

L

•

∫Y Y

" "
s1 s 2

0

Trang 8

1.2.1.2.

Đối với phương pháp Spline

 Chuổi hàm là đa thức bậc 3 từng khúc viết dựa trên các yêu cầu sau:
• Độc lập tuyến tính (nghiễm nhiên thỏa nếu không chọn các node trùng nhau).
• Liên tục đến đạo hàm cấp 2.
• Tổng tất cả các số hạng chuổi cho giá trị bằng 1 trên toàn miền.
 Chính vì yêu cầu liên tục đến đạo hàm cấp 2 nên chuổi hàm phải là hàm bậc 3.
 Và vì là hàm bậc 3 nên cần 4 hệ số độc lập tuyến tính để mô tả (viết qua 4 khoảng nút).

 Kết quả như sau:

0
f
 1
 f
Ys ( y ) =  2
 f3
 f4

 0

y < ys − 2
ys − 2 ≤ y < ys −1
ys −1 ≤ y < ys
ys ≤ y < ys +1
ys +1 ≤ y < ys + 2
ys + 2 ≤ y

(1.32)

Với

3

(
y − ys − 2 )
f1 =

( ys +1 − ys − 2 )( ys − ys − 2 )( ys −1 − ys − 2 )


3

(
ys + 2 − ys − 2 )( y − ys −1 )
 f 2 = f1 − ( y − y )( y − y )( y − y )( y − y )
s+2
s −1
s +1
s −1
s
s −1
s −1
s−2

3
(
)(
)
y
y
y
y
−
−
s+2
s−2
s +1
f = f −
4

 3
( ys +1 − ys − 2 )( ys +1 − ys −1 )( ys +1 − ys )( ys + 2 − ys +1 )

( ys + 2 − y )3

f4 =

( ys + 2 − ys −1 )( ys + 2 − ys )( ys + 2 − ys +1 )

(1.32a)

 Trường hợp đặc biệt khi các khoảng nút bằng nhau (bằng l) ta coù:

0
( y − y )3
s−2

2
3
3
2
1 l + 3l ( y − ys −1 ) + 3l ( y − ys −1 ) − 3( y − ys −1 )
Ys ( y ) = 3  3
2
3
6l l + 3l 2 ( ys +1 − y ) + 3l ( ys +1 − y ) − 3( ys +1 − y )
( ys + 2 − y )3

0

y ≤ ys − 2
ys − 2 ≤ y ≤ ys −1
ys −1 ≤ y ≤ ys
y s ≤ y ≤ y s +1
y s +1 ≤ y ≤ y s + 2
ys − 2 ≤ y

(1.33)

 Tuỳ theo điều kiện biên mà các số hạng chuổi ở 2 đầu khác nhau:
• Đầu tự do w(0) ≠ 0 và w’(0) ≠ 0

Y−u1/ v / w / r = Y−1 ;

Y1u / v / w / r = Y1 ;

Y0u / v / w / r = Y0 ;

(1.34)(1.35)(1.36)

• Đầu tựa đơn w(0) = 0 vaø w’(0) ≠ 0

Y−u1/ v / w / r = 0 ;

Y0u / v / w / r = Y0 − 4Y−1 ;

Y1u / v / w / r = Y1 − 1 ;

(1.37)(1.38)(1.39)

Y0
+ Y−1 ;
2

(1.40)(1.41)(1.42)

• Đầu ngàm w(0) = 0 vaø w’(0) = 0

Y−u1/ v / w / r = 0 ;

Y0u / v / w / r = 0 ;

Y1u / v / w / r = Y1 −

• Đầu ngàm trượt w(0) ≠ 0 và w’(0) = 0

Trang 9

Y−u1/ v / w / r = 0 ;

Y1u / v / w / r = Y1 −

Y0u / v / w / r = Y0 ;

Y0
− Y−1 ;
2

(1.43)(1.44)(1.45)

 Tương tự cho đầu y=L
• Đầu tự do w(L) ≠ 0 vaø w’(L) ≠ 0

YSu+/1v / w / r = YS +1 ;

YSu / v / w / r = YS ;

YSu−/1v / w / r = YS −1 ;

(1.46)(1.47)(1.48)

• Đầu tựa đơn w(L) = 0 và w’(L) ≠ 0

YSu+/1v / w / r = 0 ;

YSu / v / w / r = YS − 4YS +1 ;

YSu−/1v / w / r = YS −1 − 1 ;

(1.49)(1.50)(1.51)

YS
+ YS +1 ;
2

(1.52)(1.53)(1.54)

• Đầu ngàm w(0) = 0 và w’(0) = 0

YSu+/1v / w / r = 0 ;

YSu / v / w / r = 0 ;

YSu−/1v / w / r = YS −1 −

• Đầu ngàm trượt w(0) ≠ 0 vaø w’(0) = 0

YSu+/1v / w / r = 0 ;

YSu / v / w / r = YS ;

YSu−/1v / w / r = YS −1 −

YS
+ YS +1 ;
2

(1.55)(1.56)(1.57)

 Điểm chung hàm Spline là:
L

•

∫Y Y

s1 s 2

dy = 0 khi |s1-s2|>2

(1.58)

dy = 0 khi |s1-s2|>2

(1.59)

dy = 0 khi |s1-s2|>2

(1.60)

0

L

•

∫Y Y

' '
s1 s 2

0

L

•

∫Y Y

" "
s1 s 2

0

Đây là điểm khác biệt đáng lưu ý khi dùng hàm Spline
1.2.2. Hàm chuyển vị khi mô tả bằng phần tử bậc cao
Bậc cao ở đây được hiểu là hàm nội suy theo phương x là đa thức bậc cao hơn so với đa
thức mô tả trong phần tử bậc thấp. Chính vì vậy phương pháp triển khai phần tử bậc cao
trong FSM được thực hiện như trong FEM.
1.2.2.1.

Có 2 hướng tạo phần tử bậc cao:

 Thêm các thành phần mô tả đặc tính chuyển vị như độ cong dải


χ=

∂3w
∂2w
;
…. Phần tử bậc cao thu được được gọi là phần tử HO2.
ℵ
=
∂x 3
∂x 2

 Thêm đường nút: Thêm 1 hay 1 vài đường nút giữa phần tử. Phần tử bậc cao thu được được gọi
là phần tử HO3 hay HO4 … tuỳ theo số đường nút thêm vào.

1.2.2.2.

Phần tử HO2 (đối với bài toán tấm chịu uốn)

 Thoả mãn các 1 vài tính chất như mô men uốn liên tục qua các phần tử dải (thậm chí biểu đồ
mô men có thể là 1 hàm trơn tại các đường nút nhờ thêm vào đại lượng ℵ ) tuy nhiên điều này
tỏ ra không đúng với thực tế khi áp dụng cho kết cấu tấm có chiều dày thay đổi hay tấm gấp
khúc. Người ta thường sử dụng phần tử HO2 với 1 đại lượng χ thêm vào để giải bài toán tấm
phẳng có chiều dày không đổi.

Trang 10



w( x, y ) = (N w + N r + N χ + N w + N r + N χ )Y
∑s 11 is 12 is 13 is 14 is 15 js 16 is 1s


∂w( x, y )
f ( x, y ) =  r ( x , y ) =
∂x

2
∂
w
( x, y )
 χ ( x, y ) =

∂x 2

(1.61)

 Đa thức nội suy theo phương x có daïng sau:

 N11 = 1 − 10 x 3 + 15 x 4 − 6 x 5

2
3
4
 N12 = x 1 − 6 x + 8 x − 3 x
 N = x 2 1 − 3 x + 3 x 2 − x 3 2
13

3
4
5
N
 14 = 10 x − 15 x + 6 x
 N = x − 4 x 2 + 7 x3 − 3x 4
 15
 N16 = x 2 x − 2 x 2 + 3 x 3 2
x
trong đó x =
b

(

(

1.2.2.3.

(

(

)

)

)

(1.62)

)

(1.5)

Phần tử HO3

 Cho phép giải nhanh hơn các bài toán có tải phân bố tam giác hay phân bố phức tạp so với
phần tử bậc thấp.

u (x, y ) = ∑ (N 21uis + N 22u js + N 23u ks )Y1s

s
v( x, y ) = ∑ (N 21vis + N 22v js + N 23v ks )Y2 s

s
 f ( x, y ) = 

w( x, y ) = ∑ (N 24 wis + N 25 ris + N 26 w js + N 27 ris + N 28 wks + N 29 r ks )Y1s

s

∂w
r ( x , y ) =
∂x

 N 24 = 1 − 23x 2 + 66 x 3 − 68 x 4 + 24 x 5

2
3
4
 N 21 ( x ) = 1 − 3 x + 2 x 2  N 25 = x 1 − 6 x + 13x − 12 x + 4 x
 N = 16 x 2 − 32 x 3 + 16 x 4

;  26
 {N ( x )} =  N 22 ( x ) = 4 x − 4 x 2
2
3
4
 N (x ) = − x + 2 x 2
 N 27 = x − 8 x + 32 x − 40 x + 16 x
 23
 N = 7 x 2 − 34 x 3 + 52 x 4 − 24 x 5
 28
 N 29 = x − x + 5 x 2 − 8 x 3 + 4 x 4

(

)

(

)

(

x
b
1.3. Xác định các thành phần biến dạng

(1.5)

 ∂u 


  ∂x 
εx
  ∂v 
εy

=
∂y 


= 2ε xy 
 ∂u + ∂v 
 ∂y ∂x 

(1.65)

1.3.1. Các thành phần biến dạng khi mô tả bằng phần tử LO2
1.3.1.1.

(1.64)

)

 trong đó x =


{ε } = 
γ
 xy

(1.63)

Bài toán ứng suất phẳng

Trang 11




{ε } = 
γ
 xy

 ∂u 


  ∂x 
ex
  ∂v 
ey
 = B p {δ p }
=
y
∂
= 2exy   ∂u ∂v 
 + 
 ∂y ∂x 

[ ]

(1.66)

Với :

 ∂ ( N1Y1 )

 ∂x
Bp =  0

 ∂(N Y )
1 1

 ∂y

[ ]



{δ } = {u



p

1

1.3.1.2.

0
∂ ( N1Y2 )
∂y
∂ ( N1Y2 )
∂x

v1 u2

v2 }

∂ ( N 2Y1 )
∂x
0
∂ ( N 2Y1 )
∂y


  − Y1
 
b
∂ ( N 2Y2 )  
= 0
∂y 
'

∂ ( N 2Y2 )   1 − x Y1
 
∂x 
0

(

)

0

(1 − x )Y

'
2

−

Y2
b

Y1
b
0
xY1'


0 

xY2'  (1.67)
Y2 
b 
(1.68)

T

Đối với bài toán tấm chịu uốn

∂w

u = − z ∂x
 
∂w
v = − z

∂y

∂2w 
 −z 2 
∂x 


2
∂
w 

⇒ {e} =  − z 2  = z[Bb ]{δ b }
∂y 

∂2w 

2
−
z

∂x∂y 


(1.69)

(1.70)

 Với :





 ∂ 2 ( N 3Y1 )
∂ 2 ( N 6Y1 ) 
∂ 2 ( N 4Y1 )

∂ 2 ( N 5Y1 )
−
−
−

−
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2


∂ 2 ( N 6Y1 ) 
∂ 2 ( N 3Y1 )
∂ 2 ( N 4Y1 )
∂ 2 ( N 5Y1 )

[Bb ] =  −
=
−
−
−
∂y 2 
∂y 2
∂y 2
∂y 2


2
2

2
2
− 2 ∂ ( N 3Y1 ) − 2 ∂ ( N 4Y1 ) − 2 ∂ ( N 5Y1 ) − 2 ∂ ( N 6Y1 ) 

∂x∂y 
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
  12 x 6 
 6x 2  
 12 x 6 
 6x 4 
  3 − 2 Y1
 2 − Y1 
 − 3 + 2 Y
 2 − Y1
b 
b
b 
b 
b
 b
b
  b
2
3
2
2
3
2

 3 x
 2 x x  "  3x
x
2x 
2x 
x 
+ 2 Y1  2 − 3 Y1" x 2 − Y1" 
= − 1 − 2 + 3 Y1" x1 −
b
b 
b b 
b 
b 

 b
b

2
2
2
2
 12  x
 3x
 3x
4x 
12  x
2x  
x
x
 2 − Y1'

 2 − Y1'
 − 2 + Y1'  2 − Y1' 

b
b 
b b
b
b  
 b
 b
 b b

{δ b } = {w1

r1

w2

r2 }

(1.71)

(1.72)

T

1.3.2. Các thành phần biến dạng khi mô tả bằng phần tử HO2

Trang 12

Chỉ áp dụng cho bài toán tấm chịu uốn.

∂w

u = − z ∂x
 
∂w
v = − z

∂y

⇒


∂2w 
−
z


∂x 2 

2
{e} =  − z ∂ w2  = z[Bb ]{δ b }
∂y 

∂2w 

2
−

z

∂x∂y 


(1.69)(1.70)

Với:

 ∂ 2 (N11Y1 )
∂ 2 (N12Y1 )
∂ 2 (N13Y1 )
∂ 2 (N14Y1 )
∂ 2 (N15Y1 )
∂ 2 (N16Y1 ) 
−
−
−
−
−

−
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2



∂ 2 (N11Y1 )
∂ 2 (N12Y1 )
∂ 2 (N13Y1 )
∂ 2 (N14Y1 )
∂ 2 (N15Y1 )
∂ 2 (N16Y1 ) 

[Bb ] =  −
−
−
−
−
−

∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2


2
2
2
2
2
2
− 2 ∂ (N11Y1 ) − 2 ∂ (N12Y1 ) − 2 ∂ (N13Y1 ) − 2 ∂ (N14Y1 ) − 2 ∂ (N15Y1 ) − 2 ∂ (N16Y1 )


∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y 

{δ b } = {w1

χ1 w2 r2

r1

(1.73)

χ2}

(1.74)

T

1.3.3. Các thành phần biến dạng khi mô tả bằng phần tử HO3
1.3.3.1.




{e} = 
γ
 xy

Bài toán ứng suất phẳng

 ∂u 


  ∂x 
ex
  ∂v 
ey
 = B p {δ p }
=
∂y 


= 2exy 
 ∂u + ∂v 
 ∂y ∂x 

[ ]

(1.66)

Với:





 ∂ (N 21Y1 )


 ∂x
Bp =  0

 ∂(N Y )
21 1

 ∂y

0
∂ (N 21Y2 )
∂y
∂ (N 21Y2 )
∂x

[ ]

{δ } = {u
p

1.3.3.2.

∂w

u = − z ∂x
 
∂w
v = − z

∂y

1

v1 u2

v2

u3

∂ (N 22Y1 )
∂x
0
∂ ( N 22Y1 )
∂y

0
∂ (N 22Y2 )
∂y
∂ ( N 22Y2 )
∂x

v3 }

∂ (N 23Y1 )
∂x
0
∂ ( N 23Y1 )
∂y





∂ (N 23Y2 )
∂y 
∂ ( N 23Y2 )

∂x 
0

(1.75)

(1.76)

T

Đối với bài toán tấm chịu uốn

⇒


∂2w 
−
z


∂x 2 

2
{e} =  − z ∂ w2  = z[Bb ]{δ b }
∂y 


∂2w 

2
−
z

∂x∂y 


(1.69)(1.70)

Với

Trang 13

 ∂ 2 ( N 24Y1 )
∂ 2 ( N 25Y1 )
∂ 2 ( N 26Y1 )
∂ 2 ( N 27Y1 )
∂ 2 ( N 28Y1 )
∂ 2 ( N 29Y1 ) 
−
−
−
−
−

−

∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2
∂x 2


∂ 2 ( N 24Y1 )
∂ 2 ( N 25Y1 )
∂ 2 ( N 26Y1 )
∂ 2 ( N 27Y1 )
∂ 2 ( N 28Y1 )
∂ 2 ( N 29Y1 ) 

[Bb ] =  −
−
−
−
−
−

∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2
∂y 2



2
2
2
2
2
2
− 2 ∂ ( N 24Y1 ) − 2 ∂ ( N 25Y1 ) − 2 ∂ ( N 26Y1 ) − 2 ∂ ( N 27Y1 ) − 2 ∂ ( N 28Y1 ) − 2 ∂ ( N 29Y1 ) 
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y 


{δ b } = {w1

r1

w2

r2

w3

r3 }

(1.77)(1.78)

T

1.4. Xác định các thành phần ứng suất trong tấm
Bài toán USP: {σ p } = [D ]{ε p }
σ x 
 
Hay  σ y 
σ 
 xy  p

 Ex
 (1 − ν ν )
x y

Exν y
= 
(1 − ν xν y )

0



(1.79)

Exν x
(1 − ν xν y )
Ey

(1 − ν ν )
x

y

0


0 
 εx 
 
0   ε y 
 γ 
Exy   xy 
 p

(1.80)

Bài toán tấm chịu uốn : {σ b } = [D ]{ε b } = z[D ][Bb ]{δ b }

(1.81)

Với vật liệu đẳng hướng:
 Ex = Ey = E (mô đun đàn hồi Young)

(1.82)

 νx=νy=ν (hệ số nở ngang Poisson)

(1.83)

 Exy = G = E/[2(1+ν)] (mô đun đàn hồi trượt).

(1.84)

1.5. Thế năng biến dạng của tấm:

U=

1 T
1
σ εdV = ∫ {δ }T [B ]T [D ][B ]{δ }dV
∫
2V
2V

(1.85)

1.6. Công của ngoại lực:
W = ∑ Pf ( xP , yP ) + ∑ ∫ qL f (xq , y )dy + ∑ ∫ qb f (x, yq )dx + ∑ ∫ q A f (x, y )dA .
L

b

(1.86)

A

 Trong đó xp, yp : là tọa độ lực tập trung P
 L : biên chịu tải trọng qL phân bố đường (dọc theo trục y đi qua x = xq)
 b : biên chịu tải trọng qb phân bố đường (dọc theo trục x đi qua y = yq)
 A : diện tích chịu tải phân bố mặt.
Hay viết đơn giản: W = ∫ q[N ]Y {δ }dxdy

(1.87)

1.7. Thế năng toàn phần:

Π = U −W
1.8. Lập các phương trình từ điều kiện cực trị của thế năng toàn phần :

∂Π
= 0 với i=1,2,3,…n ;
∂ci

(1.88)

(1.89)

ci chính là chuyển vị đại diện ui, vi, wi … như đã nêu trên.
Trang 14

1.8.1. Phương trình cực trị thế năng biến dạng toàn phần khi mô tả bằng dải bậc thấp LO2
Mỗi phần tử có 8 thành phần chuyển vị

{δ }s = {u1

v1

w1 r1 u2

v2

w2

r2 }s

(1.90)

Với s=1,2,3,…S ta thu được n= 8*S phương trình cho 1 phần tử có 2 đường nút như sau:

∂Π

= K11u1; s =1 + K12 v1; s =1 + ...K18 r2; s =1 + K19 u1; s = 2 + ... + ...K1(8 S )r2; s = S − Pu1 ; s =1 = 0

∂u1; s =1

∂Π

= K 21u1; s =1 + K 22 v1; s =1 + ...K 28 r2; s =1 + K 29 u1; s = 2 + ... + ...K 2 (8 S )r2; s = S − Pv1 ; s =1 = 0

∂v1; s =1

...

∂
Π

= K 81u1; s =1 + K 82 v1; s =1 + ...K 88 r2; s =1 + K 89 u1; s = 2 + ... + ...K 8(8 S )r2; s = S − Pr2 ; s =1 = 0
(1.91)

r

∂
s
2
;
1
=

∂Π

= K 91u1; s =1 + K 92 v1; s =1 + ...K 98 r2; s =1 + K 99 u1; s = 2 + ... + ...K 9 (8 S )r2; s = S − Pu1 ; s = 2 = 0

∂u1; s = 2

...

∂
Π

= K (8 S )1u1; s =1 + K (8 S )2 v1; s =1 + ...K (8 S )8 r2; s =1 + K (8 S )9 u1; s = 2 + ... + ...K (8 S )(8 S )r2; s = S − Pr2 ; s = S = 0
 ∂r2; s = S
1.8.2. Phương trình cực trị thế năng biến dạng toàn phần khi mô tả bằng dải bậc cao HO3
Mỗi phần tử có 12 thành phần chuyển vị

{δ }s = {u1

v1

w1 r1 u2

v2

w2

r2

u3

v3

w3

r3 }s

(1.92)

K cũng có dạng tương tự

1.9. Phương trình để giải:

[K ]{δ } = {P}

(1.93)

Trong đó {K} là ma trận độ cứng; {P} là vecto tải trọng ngoài.

[K ]s1; s 2

 h/2 L b
T
 ∫ ∫ ∫ B p s1 [D ] B p s 2 dxdydz


= −hh//22 L0 b0
T

z 2 [Bb ]s1 [D ][Bb ]s 2 dxdydz
− h∫/ 2 ∫0 ∫0

[K ]s1;s 2

 Lb
T
h ∫ ∫ B p s1 [D ] B p s 2 dxdy

=  03 0L b
T
h
[
Bb ]s1 [D ][Bb ]s 2 dxdy
∫
∫
12 0 0

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

L b
T
∫ ∫ N p ( x ) q( x, y )Ys ( y )dxdy
{P}s =  L0 b0
 [N ( x )]T q( x, y )Y ( y )dxdy
s
∫0 ∫0 b

[

]

Bài toán ứng suất phẳng

(1.94)

Bài toán uốn

(1.95)

Bài toán ứng suất phẳng

(1.96)

Bài toán uốn

(1.97)

Bài toán ứng suất phẳng

(1.98)

Bài toán uốn

(1.99)

1.9.1. Công thức ma trận độ cứng phần tử bậc thấp LO2 có 2 đầu tựa đơn
Trang 15

Ñaët: E1 =

Ey
Ex
;
=
1 − ν xν y 1 − ν xν y

 k1 p
k
k2 p
 3p
 0
0
k1b
dx

0
0
k 3b k 2 b

 [K ] = 
k 4 p − k6 p
0
0
k1 p

k5 p
0
0 − k3 p k 2 p
 k6 p
 0
0
k 4 b k5 b
0
0
k1b

0 − k5 b k 6 b
0
0 − k 3b
 0













k2b 

Với:

(1.100)



k1 p =

L
Lbµ s2
E1 +
Exy
2b
6



k2 p =

L
Lbµ s2
E xy +
E2
2b
6





k3 p =

Lµ s
Lbµ s
Exy
ν x E1 −
4
4





k4 p = −

L
Lbµ s2
E1 +
Exy
2b
12



h3  9 Lbµ s4

12 Lµ s2
6 Lµ s2
6L 

ν x E1 − 3 E1 
k1 p = 
E1 −
E xy −
12  140
5b
5b
b




k5 p = −

L
Lbµ s2
Exy +
E2
2b
12



k1 p =



k6 p =



h3  Lb 3 µ s4
Lbµ s2
Lbµ s2
L 

k1 p =  −
E1 −
E xy −
ν x E1 + E1 
12  280
15
30
b 



Lµ s
Lbµ s
Exy
ν x E1 +
4
4

k1 p =

h3  13Lbµ s4
12 Lµ s2
6 Lµ s2
6L 

ν x E1 + 3 E1 
E1 +
E xy +
12  70
5b
5b
b


h3  Lb 3 µ s4
4 Lbµ s2
2 Lbµ s2
2L 

ν x E1 +
k1 p = 
E1 +
E xy +
E1 
12  210
15
15
b

3

2 4
2
2
h  11Lb µ s
Lµ s
3 Lµ s
2L 
ν x E1 + 2 E1 
k1 p = 
E1 +
E xy +
12  420
5
5
b


h 3  13Lb 2 µ s4
Lµ 2
Lµ 2
3L 

E1 − s E xy − s ν x E1 − 2 E1 
12  840
5
10
b


Các ma trận độ cứng phần tử khác do quá phức tạp nên không được trình bày ở đây. Hơn nữa để

tránh nhầm lẫn, công thức ma trận K nên được thiết lập thông qua các chương trình toán học như
matlab; maple …

1.10. Ghép nối phần tử
Ma trận chuyển trục:
 cos(α )
 0

− sin(α )

[T ] =  0







0 sin(α )
1
0
0 cos(α )
0
0

[0]

0
0
0

1




[0]



cos(α ) 0 sin(α ) 0
0
1
0
0

− sin(α ) 0 cos(α ) 0

0
0
0
1

(1.101)

Trong đó α là góc từ trục X tổng thể đến trục x địa phương.

{δ }* = [T ]{δ }; [K ]* = [T ]T [K ][T ] ; {P}* = [T ]{P}

(1.102)(1.103)(1.104)

Trang 16

Quy trình ghép nối ma trận độ cứng cũng như vecto tải trọng được thực hiện hoàn toàn
như bài toán khung phẳng trong FEM. Do đó ở đây xin không nhắc lại.
Gọi S là số chuổi; m là số đường nút; mỗi đường nút có 4 thành phần chuyển vị (đối với
phần tử bậc thấp, đối với phần tử bậc cao số thành phần chuyển vị sẽ nhiều hơn) vậy ta có
n=4*m*S là số phương trình và cũng là số ẩn số.
1.11. Rút gọn lời giải đối với phương pháp bán giải tích
Khi tính toán giá trị các phần tử Kij ta luôn bắt gặp các thừa số sau:
 L
s =s ≠0
dy =  2 1 2
 0
s1 ≠ s2
0
Vì vậy các giá trị Kij tính với các số hạng chuổi s1≠s2 đều bằng 0.
L

∫Y Y

(1.105)

s1 s 2

K có dạng sau:

  K11 ... K1; 4 m 



[0]s1=1; s 2 = 2
...
... 
  ...
  K 4 m;1 ... K 4 m; 4 m 
 s1= s 2 =1

 K11 ... K1; 4 m 




[0]s1= 2; s 2 =1
...
... 
 ...

 K 4 m;1 ... K 4 m; 4 m 

s1= s 2 = 2

...
...



[0]s1= S ; s 2 =1
[0]s1=1; s 2 = 2



Mặt khác vecto tải trọng {P} có dạng sau:

{{P1

P2 ... P4 m }s =1

{P1

P2 ... P4 m }s = 2 ...

{P1

...

...
...

 K11

...  ...
 K 4 m;1



[0]s1=1; s 2 = S






[0]s1≠ s 2 = S



...

... K1; 4 m 



...
... 

... K 4 m; 4 m  s1= s 2 = S 

P2 ... P4 m }s = S }

(1.106)

(1.107)

T

Do đó từ 1 hệ 4mS phương trình 4mS ẩn suy biến thành S hệ phương trình 4m ẩn. Và đó
chính là lý do ta có thể giải theo từng số hạng chuổi.
1.12. Nhận xét FSM với chuổi lượng giác


Ưu điểm: vì có thể giải theo từng số hạng chuổi nên bài toán trở nên rất gọn nhẹ, cho kết quả
nhanh.



Nhược điểm thứ nhất: chỉ đơn giản với bài toán 2 đầu tựa đơn. Đối với bài toán biên ngàm;
ngàm trượt hay tự do công thức ma trận độ cứng phần tử rất phức tạp.



Nhược điểm thứ 2: chỉ giải được với điều kiện biên không đổi (tự do, khớp, ngàm …) chính vì
vậy không thể ghép các phần tử theo chiều dọc kết cấu. Do đó hạn chế rất nhiều trong việc
mỡ rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp.

Trang 17

Nghiên cứu phương pháp dãi hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về