Đáp án HSG Toán học lớp 9 An Phú, An Giang 2018-2019 - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÒNG GD ĐT </b>
<b>HUYỆN AN PHÚ </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
Số báo danh: ...
Phịng:...

<b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN </b>
<b>Năm học 2018-2019 </b>

Khóa ngày 19-01-2019
<b>MƠN: TỐN </b>

<i>Thời gian làm bài: 150 phút </i>
<i>(Khơng kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1: (4,0 điểm) </b>

Chứng minh rằng

3 + 5 + 3 − 5 = 10

.

<b>Câu 2: (4,0 điểm) </b>

Tìm các số

𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑔

tại bảy đỉnh ở

hình vẽ bên sao cho tổng các số ghi ở hai đỉnh liền kề là

số được ghi trên mỗi cạnh tương ứng.

<b>Câu 3: (4,0 điểm)</b>

Trên mặt phẳng tọa độ

𝑂𝑥𝑦

cho ba điểm

𝐴 𝑚; 0 ; 𝐵 0; 𝑛

với

𝑚 > 0; 𝑛 > 0

và

𝐶(3; 2)

.

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

𝐴𝐵

.

b. Tìm hệ thức liên hệ giữa

𝑚, 𝑛

sao cho ba điểm

𝐴; 𝐵; 𝐶

thẳng hàng.

c. Tìm

𝑚; 𝑛

sao cho diện tích tam giác

𝑂𝐴𝐵

có diện tích nhỏ nhất.

<b>Câu 4: (4,0 điểm) </b>

Cho hai số

𝑎 > 𝑏 > 0

thỏa

𝑎

2

+ 𝑏

2

=

5

2

𝑎𝑏

. Hãy tính

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏

<b>Câu 5: (4,0 điểm) </b>

Cho hình thoi

𝐴𝐵𝐶𝐷

có

𝐴𝐶 = 20; 𝐵𝐴𝐷

= 60

0

.

𝑁

là một điểm nằm trên cạnh

𝐶𝐷

; gọi

𝑃

;

𝑄

lần lượt là hình chiếu vng góc của

𝑁

lên

𝐵𝐷

và

𝐴𝐶

.

a. Tính diện tích hình thoi

𝐴𝐵𝐶𝐷

.

b. Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn

𝑃𝑄

.

--- Hết ---

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>PHÒNG GD ĐT </b>

<b>AN PHÚ </b> <b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Khóa ngày 19/01/2019 </b>
<b>MƠN: TỐN</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM </b>
I- YÊU CẦU

- Tổ chấm trong quá trình thảo luận đáp án có thể phân điểm chi tiết trong từng câu đến
0,25 đ.

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
II- NỘI DUNG CHI TIẾT

<b>Câu </b> <b>Nội dung gợi ý </b> <b>Điểm </b>

Câu 1

4,0 đ 3 + 5 + 3 − 5 =
1

2. 6 + 2 5 + 6 − 2 5
= 2

2 . 5 + 2 5 + 1 + 5 − 2 5 + 1
= 2

2 5 + 1
2

+ 5 − 1 2
= 2

2 5 + 1 + 5 − 1
= 10

Vậy 3 + 5 + 3 − 5 = 10

4,0 đ

Câu 2 Theo đề bài ta có hệ

𝑎 + 𝑏 = 2
𝑏 + 𝑐 = −8

𝑐 + 𝑑 = 13
𝑑 + 𝑒 = 7
𝑒 + 𝑓 = −5
𝑓 + 𝑔 = −9
𝑔 + 𝑎 = −4

Cộng trừ hai vế của các phương trình ta được

𝑎 + 𝑏 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑑 + 𝑒 + 𝑒 + 𝑓 − 𝑓 + 𝑔
+ 𝑔 + 𝑎 = 2 + 8 + 13 − 7 − 5 + 9 − 4

⟺ 2𝑎 = 16 ⟹ 𝑎 = 8

Khi đó 𝑏 = −6; 𝑐 = −2; 𝑑 = 15; 𝑒 = −8; 𝑓 = 3; 𝑔 = −12

Các số cần tìm là (8; −6; −2; 15; −8; 3; −12).

4,0 đ

Câu 3a 𝐴 𝑚; 0 ; 𝐵 0; 𝑛 với 𝑚 > 0; 𝑛 > 0 và 𝐶(3; 2).
Phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
đường thẳng qua 𝐴 𝑚; 0 ⟹ 0 = 𝑎. 𝑚 + 𝑏

đường thẳng qua 𝐵 0; 𝑛 ⟹ 𝑛 = 𝑎. 0 + 𝑏
⟹ 𝑏 = 𝑛; 𝑎 = − 𝑏

𝑚 = −
𝑛
𝑚

Vậy phương trình đường thẳng 𝐴𝐵: 𝑦 = − 𝑛

𝑚𝑥 + 𝑛
⟺ 𝑦_𝑛 = −_𝑚𝑥 + 1 ⟺ _𝑚𝑥 +𝑦_𝑛 = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu
3b

𝐴; 𝐵; 𝐶 thẳng hàng khi đường thẳng 𝐴𝐵 qua 𝐶(3; 2)

⟹ 3

𝑚+
2

𝑛 = 1 ⟺ 3𝑛 + 2𝑚 = 𝑛𝑚

Vế trái là số dương nên 𝑚 > 3; 𝑛 > 2

1,0
điểm

Câu 3c Diện tích tam giác 𝑂𝐴𝐵 là 𝑆 =1

2𝑚. 𝑛

Mặt khác 1 = 3

𝑚 +
2

𝑛 ≥ 2
3
𝑚 .

2

𝑛 = 2
6

𝑚𝑛 ⟺ 𝑚𝑛 ≥ 2 6 ⟺ 𝑚𝑛 ≥ 24.

Vậy 𝑆 =1

2𝑚𝑛 ≥ 12 dấu bằng xảy ra khi
3
𝑚 =
2
𝑛;
3
𝑚+
2

𝑛 = 1 ⟹ 𝑚 = 6; 𝑛 = 4

diện tích nhỏ nhất của tam giác 𝑂𝐴𝐵 bằng 12 khi 𝑚 = 6; 𝑛 = 4.

1,0
điểm

Câu 4 Cho hai số 𝑎 > 𝑏 > 0 thỏa 𝑎2 + 𝑏2 =5

2𝑎𝑏. Hãy tính
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
2
=𝑎

2 _{+ 𝑏}2 _{+ 2𝑎𝑏}
𝑎2 _{+ 𝑏}2 _{− 2𝑎𝑏} =

5

2 𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏
5

2 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
=9

1

Do 𝑎 > 𝑏 > 0 nên 𝑎+𝑏

𝑎−𝑏
2

= 9 ⟹ 𝑎+𝑏_𝑎−𝑏 = 3

4,0 đ

Câu 5
4,0 đ

Tam giác 𝐴𝐵𝐷 đều có đường cao

𝐴𝑂 =1

2𝐴𝐶 = 10

Độ dài cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐷 là

𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 2𝐴𝑂
3 =

20
3=

20 3
3

Vậy diện tích hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 là

𝑆 =1

2𝐴𝐶. 𝐵𝐷 =
1
2.

20.20 3

3 =

200 3
3 .

2,0 đ

Dễ thấy 𝑂𝑃𝑁𝑄 là hình chữ nhật nên 𝑂𝑁 = 𝑃𝑄. Do 𝑂 và 𝐶𝐷 cố định,

𝑃𝑄 ngắn nhất khi 𝑂𝑁 ngắn nhất, khi đó 𝑂𝑁 vng góc 𝐶𝐷.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 𝑂𝐶𝐷 ta được

1
𝑂𝑁2 =

1
𝑂𝐷2 +

1
𝑂𝐶2 =

1
10
3

2 +
1
102 =

4
100=

1

25⟹ 𝑂𝑁 = 5

Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn 𝑃𝑄 là 5.

</div>

<!--links-->