Nguyên hàm tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TÍCH PHÂN

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

NỘI DUNG CÂU HỎI

Câu 1. Tính tích phânI =
π
2

Z

0

(sin 2x+ sinx) dx

A. I = 5. B. I = 3. C. I = 4. D. I = 2.

Lời giải.

Ta có: I =
π
2

Z

0

(sin 2x+ sinx) dx=
Å

−1

2·cos 2x−cosx
ã

π

2
0

= 2.

Chọn đáp án D 

Câu 2. Tính nguyên hàmI =

Z Å

2x2− 3

x
ã

dx.

A. I = 2
3x

3₋_{3 ln}_x₊_C_. _B_. _I ₌ 2

3x

3₋_{3 ln}_|_x_|₊_C_.

C. I = 2
3x

3_{+ 3 ln}_x₊_C_. _D_._I ₌ 2

3x

3_{+ 3 ln}_|_x_|₊_C_.

Lời giải.
I =

Z Å

2x2− 3

x
ã

dx= 2
3x

3₋

3 ln|x|+C.

Chọn đáp án B

Câu 3. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi
quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại
với vận tốc vA(t) = 8−2t(m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12−4t(m/s).

Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động
thẳng).

A. 36 mét. B. 32 mét. C. 34mét. D. 30mét.

Lời giải.

Thời gian quả bóngAchuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳnvA(t) = 0 ⇔8−2t= 0⇒t = 4s.

Quãng đường quả bóng A di chuyển SA=

Z 4
0

(8−2t) dx= 16m

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn vB(t) = 0 ⇔12−4t = 0 ⇒

t= 3s.

Quãng đường quả bóng B duy chuyển SB =

Z 3
0

(12−4t) dx= 18m

Vậy: Khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn làS =SA+SB = 34m.

Chọn đáp án C 

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên _R thỏa mãn fπ
2

= −1 và với mọi x ∈ _R ta có

f0(x)·f(x)−sin 2x=f0(x)·cosx−f(x).sinx. Tính tích phân I =
π
4

R
0

f(x) dx.

A. I = 1. B. I =√2−1. C. I =

√

2

2 −1. D. I = 2.
Lời giải.

Ta có f0(x)·f(x)−sin 2x=f0(x)·cosx−f(x)·sinx⇔f0(x)·f(x)−sin 2x= [f(x)·cosx]0.
Lấy nguyên hàm hai vế:R [f0(x)·f(x)−sin 2x] dx=R [f(x)·cosx]0 dx

⇔ f

2_(x)

2 +
1

2cos 2x= cosx·f(x) +C.

Vìfπ
2

=−1⇒C = 0⇒f2_{(x) + cos 2x}_{= 2 cos}_x_·_f_(x)_⇔_f2_(x)₋_{2 cos}_x_·_{f(x) + cos}2_x_{= sin}2_x
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

⇔(f(x)−cosx)2 = sin2x⇔

"

f(x)−cosx= sinx
f(x)−cosx=−sinx

.

Vì fπ
2

=−1 nên nhân f(x) = cosx−sinx.
Vậy I =

π
4

R
0

f(x) dx=
π
4

R
0

(cosx−sinx) dx= (cosx−sinx)

π
4

0 =

√

2−1.

Chọn đáp án B 

Câu 5. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên _R thỏa mãn
1
Z

0

f(x)dx= 3 và
5
Z

0

f(x)dx = 6. Tính tích

phân I =

1
Z

−1

f(|3x−2|)dx

A. I = 3. B. I =−2. C. I = 4. D. I = 9.

Lời giải.

Ta có
1
Z

−1

f(|3x−2|)dx=
2
3

Z

−1

f(−3x+ 2)dx+

1
Z

2
3

f(3x−2)dx=I1+I2.

I1 =

2
3

Z

−1

f(−3x+ 2)dx=−1

3
2
3

Z

−1

f(−3x+ 2)d(−3x+ 2).

Đặt t=−3x+ 2 suy ra x=−1⇒t= 5; x= 2

3 ⇒x= 0. Do đó I1 =
1
3

5
Z

0

f(t)dt= 2.

I2 =
1
Z

2
3

f(3x−2)dx= 1
3

Z

2
3

1f(3x−2)d(3x−2).

Đặt t= 3x−2 suy ra x= 1 ⇒t = 1; x= 2

3 ⇒x= 0. Do đó I2 =
1
3

1
Z

0

f(t)dt = 1.
Vậy I =I1+I2 = 3.

Chọn đáp án A 

Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x2_ex3+1_.

A.
Z

f(x) dx= ex3+1+C. B.
Z

f(x) dx= 3ex3+1+C.

C.
Z

f(x) dx= 1
3e

x3₊₁

+C. D.

Z

f(x) dx= x

3

3 e

x3₊₁
+C.

Lời giải.

Ta có
Z

x2ex3+1dx= 1
3

Z

ex3+1d(x3+ 1) = 1
3e

x3₊₁
+C.

Chọn đáp án C 

Câu 7. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Z

xexdx= ex+xex+C. B.

Z

xexdx=−ex+xex+C.

C.
Z

xexdx= x

2

2 e

x₊_C_. _D_.

Z

xexdx= ex+ x

2

2e

x₊_C_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta có
Z

xexdx=

Z

xdex =xex−

Z

exdx=xex−ex+C.

Chọn đáp án B 

Câu 8. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1
5x+ 4.
A. F(x) = 1

ln 5ln|5x+ 4|+C. B. F(x) = ln|5x+ 4|+C.
C. F(x) = 1

5ln|5x+ 4|+C. D.F(x) =
1

5ln(5x+ 4) +C.
Lời giải.

Ta có
Z

1

5x+ 4dx=
1

5ln|5x+ 4|+C.

Chọn đáp án C 

Câu 9. Cho hàm số f(x) = 2x + ex_{. Tìm một nguyên hàm} _F_(x) _{của hàm số} _f_(x) _{thỏa mãn}

F(0) = 2019.

A. F(x) = ex₋₂₀₁₉_. _B_. _F_{(x) =} _x2_{+ e}x₋₂₀₁₈_.

C. F(x) =x2_{+ e}x_{+ 2017}_. _D_._F_{(x) =} _x2_{+ e}x_{+ 2018}_.

Lời giải.
F(x) =

Z

(2x+ ex) dx=x2+ ex+C.

Do F(0) = 2019 nên 02_{+ e}0₊_C _{= 2019}_⇔_C _{= 2018.}
Vậy F(x) = x2_{+ e}x_{+ 2018}_.

Chọn đáp án D 

Câu 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên_R thỏa mãn điều kiện:f(0) = 2√2, f(x)>0với mọi x∈_R

và f(x).f0(x) = (2x+ 1)p1 +f2_(x) _{với mọi} _x_∈

R. Khi đó giá trị f(1) bằng

A. √15. B. √23. C. √24. D. √26.

Lời giải.

Từ giả thiết ta có2x+ 1 = f(x)·f
0_(x)

p

1 +f2_(x) ⇒
Z

f(x)·f0(x)

p

1 +f2_(x)dx=
Z

(2x+ 1) dx.

Bây giờ ta tínhI =

Z _f_(x)_·_f0_(x)
p

1 +f2_(x)dx.

Đặt p1 +f2_{(x) =} _t _⇒_{1 +}_f2_{(x) =}_t2 _⇒_2f_(x)f0_(x)dx_{= 2tdt} _⇒_f(x)f0_(x)dx₌_tdt.

Do đóI =

Z

t
tdx=

Z

dt=t+C =»1 +f2_{(x) +}_C_.

Ta nhận được p1 +f2_{(x) +}_C ₌_x2₊_x_. _f_{(0) = 2}√₂_⇒_C ₌₋₃_.
Từ đóp1 +f2_(x)₋_{3 =}_x2₊_x_{. Khi} _x_{= 1} _{ta có}

p

1 +f2₍₁₎₋_{3 = 1 + 1}_⇒_{1 +}_f2_{(1) = 25}_⇒_f_{(1) =}√₂₄_.

Chọn đáp án C 

Câu 11. Cho
1
Z

0

f(x) dx= 2 và
1
Z

0

g(x) dx= 5, khi đó
1
Z

0

[f(x)−2g(x)] dx bằng

A. −3. B. 12. C. −8. D. 1.

Lời giải.

1
Z

0

[f(x)−2g(x)] dx=

1
Z

0

f(x) dx−2

1

Z

0

g(x) dx= 2−2·5 = −8.

Chọn đáp án C 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A. ex₊_x2 ₊_C_. _B_. _ex₊ 1

2x

2₊_C_.

C. 1

x+ 1e

x₊1

2x

2₊_C_. _D_._ex_{+ 1 +}_C_.

Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

(ex+x) dx= ex+ 1
2x

2

+C

Chọn đáp án B 

Câu 13.

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo
cơng thức nào dưới đây ?

A.
2
Z

−1

(2x2−2x−4) dx. B.
2
Z

−1

(−2x+ 2) dx.

C.
2
Z

−1

(2x−2) dx. D.
2
Z

−1

(−2x2+ 2x+ 4) dx.

x

−1

2

y

O

y=−x2+ 3

y=x2−2x−1

Lời giải.
S =

2
Z

−1

(−x2+ 3)−(x2 −2x−1) dx=

2
Z

−1

(−2x2+ 2x+ 4) dx.

Chọn đáp án D 

Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(1 + lnx) là

A. 2x2_ln_x_{+ 3x}2_. _B_. _2x2_ln_x₊_x2_. _C_. _2x2_ln_x_{+ 3x}2₊_C_. _D_. _2x2_ln_x₊_x2₊_C_.

Lời giải.

Z

4x(1 + lnx) dx=

Z

(1 + lnx) d(2x2)
= 2x2(1 + lnx)−

Z

2x21
xdx
= 2x2(1 + lnx)−x2 +C
= 2x2lnx+x2+C.

Chọn đáp án D 

Câu 15. Cho
1
Z

0

xdx

(x+ 2)2 = a+bln 2 +cln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a+b +c
bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Lời giải.

1
Z

0

xdx
(x+ 2)2 =

1
Z

0

x+ 2−2
(x+ 2)2 dx

=

1
Z

0

x+ 2

(x+ 2)2dx−
1
Z

0

2
(x+ 2)2 dx

=

1
Z

0

1

x+ 2 dx−

1
Z

0

2

(x+ 2)2 dx

= ln|x+ 2|

1

0

+ 2

x+ 2

1

0

= ln 3−ln 2− 1

3.

Nêna =−1

3, b =−1, c= 1, suy ra 3a+b+c=−1.

Chọn đáp án B 

Câu 16.

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnhA1,A2,B1,B2 như
hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tơ đậm là 200.000 đồng/m2 và
phần cịn lại là100.000đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần
nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1A2 = 8m,B1B2 = 6m và tứ giác

M N P Q là hình chữ nhật có M Q= 3m ?

A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng.

C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.

M N

P
Q

A1 A2

B1
B2

Lời giải.

Giả sử phương trình elip (E) : x

2

a2 +

y2

b2 = 1.
Theo giả thiết ta có

(

A1A2 = 8

B1B2 = 6

⇔

(

2a= 8
2b = 6 ⇔

(

a= 4
a= 3

Suy ra (E) : x

2

16 +
y2

9 = 1⇒y =±
3
4

√

16−x2_.
Diện tích của elip(E) làS(E) =πab= 12π (m2).
Ta có: M Q= 3 ⇒

(

M =d∩(E)

N =d∩(E) với d:y =
3

2 ⇒M(−2

√

3;3

2)và N(2

√

3;3
2).

Khi đó, diện tích phần khơng tơ màu là S = 4

4
Z

2√3

(3
4

√

16−x2₎_d_x_{= 4π}₋₆√_3(m2₎_.

Diện tích phần tơ màu là S0 =S(E)−S = 8π+ 6

√

3.
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài tốn là

T = 100.000×(4π−6√3) + 200.000×(8π+ 6√3)≈7.322.000 đồng.

Chọn đáp án A 

Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x+ sinx là

A. x2 _{+ cos}_x₊_C_. _B_. _x2₋_cos_x₊_C_. _C_. x
2

2 −cosx+C. D.
x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Lời giải.

Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có
Z

(x+ sinx) dx= x

2

2 −cosx+C.

Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả.

Chọn đáp án C 

Câu 18. Cho
2
Z

−1

f(x)dx= 2 và
2
Z

−1

g(x)dx=−1, khi đó
2
Z

−1

[x+ 2f(x) + 3g(x)] dx bằng

A. 5

2. B.

7

2. C.

17

2 . D.

11
2 .
Lời giải.

Ta có:
2
Z

−1

[x+ 2f(x) + 3g(x)]dx=

2
Z

−1

xdx+ 2

2
Z

−1

f(x)dx+ 3

2
Z

−1

g(x)dx= 3

2+ 4−3 =
5
2.

Chọn đáp án A 

Câu 19. BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = e2x_và_F_{(0) =} 201

2 . Giá trịF
Å

1
2

ã

là

A. 1

2e + 200. B. 2e + 200. C.
1

2e + 50. D.
1

2e + 100.
Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

e2xdx= 1
2e

2x

+C.
Theo đề bài ta cóF(0) = 201

2 ⇔
1
2e

0₊_C ₌ 201

2 ⇔C = 100.

Vậy F(x) = 1
2e

2x_{+ 100}_⇒_F_{(2) =} 1

2e + 100.

Chọn đáp án D 

Câu 20. Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm sốf(x)·g(x)biếtF(1) = 3, biết
Z

f(x)dx=x+ 2018

và
Z

g(x)dx=x2+ 2019.

A. F(x) = x3+ 1. B. F(x) =x3+ 3. C. F(x) =x2+ 2. D. F(x) = x2+ 3.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x)dx=x+ 2018⇒f(x) = (x+ 2018)0 = 1

và
Z

g(x)dx=x2+ 2019⇒g(x) = (x2 + 2019)0 = 2x.

⇒f(x)·g(x) = 2x⇒F(x) =

Z

f(x)·g(x)dx=x2+C.
Mặt khác F(1) = 3⇒12+C = 3⇒C = 2.

Vậy F(x) = x2+ 2.

Chọn đáp án C 

Câu 21. Cho
Z 2

0

1

(x+ 1)(x+ 2)dx = aln 2 +bln 3 +cln 5 với a, b, c là các số thực. Giá trị của
a+b2−c3 bằng

A. 3. B. 6. C. 5. D. 4.

Lời giải.

Ta có
3
Z

2

dx

(x+ 1)(x+ 2) =

3
Z

2

Å
1
x+ 1 −

1
x+ 2

ã

dx= ln

x+ 1
x+ 2

3

2

= ln4
5−ln

3

4 = 4 ln 2−ln 3−ln 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Chọn đáp án B 
Câu 22. Cho hàm sốf(x)liên tục và có đạo hàm trên0;π

2

, thỏa mãnf(x) + tanxf0(x) = x
cos3_x.
Biết rằng √3fπ

3

−fπ

6

= aπ√3 +bln 3 trong đó a, b ∈ _R. Giá trị của biểu thức P = a+b

bằng

A. 14

9 . B. −

2

9. C.

7

9. D. −

4
9.
Lời giải.

Ta có f(x) + tanxf0(x) = x

cos3_x ⇔cosx·f(x) + sinxf

0_{(x) =} x

cos2_x ⇔[sinx·f(x)]

0 ₌ x

cos2_x.
Do đó

Z

[sinx·f(x)]0dx=

Z _x

cos2_xdx⇒sinx·f(x) =

Z _x

cos2_xdx.
Tính I =

Z

x
cos2_xdx.
Đặt





u=x
dv = dx

cos2_x

⇒

(

du= dx
v = tanx.

Khi đóI =x·tanx−

Z

tanxdx=x·tanx−

Z _{d cos}_x

cosx =x·tanx+ ln|cosx|.

Suy ra f(x) = x·tanx+ ln|cosx|
sinx =

x
cosx +

ln|cosx|

sinx .

Do √3f

π

3

−f

π

6

=aπ√3 +bln 3 =√3

Å_2π

3 −
2 ln 2

√

3
ã

−

Ç
π√3

9 + 2 ln

√

3
2

å
= 5π

√

3
9 ln 3.

Khi đó




a= 5
9
b =−1

.

Vậy P =a+b =−4

9.

Chọn đáp án D 

Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2−1là

A. x3 ₊_C_. _B_. x

3

3 +x+C. C. 6x+C. D. x

3₋_x₊_C_.

Lời giải.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z

(3x2−1) dx=x3−x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 24. Giá trị của
1
Z

0

(2019x2018−1)dx bằng

A. 0. B. 22017+ 1. C. 22017−1. D. 1.

Lời giải.

1
Z

0

(2019x2018−1)dx= 2019

1

Z

0

x2018dx−

1
Z

0

dx= (x2019−x+C)

1
0

= 0

Chọn đáp án A 

Câu 25. Hàm số f(x) = cos(4x+ 7) có một nguyên hàm là

A. −sin(4x+ 7) +x. B. 1

4sin(4x+ 7)−3. C. sin(4x+ 7)−1. D. −
1

4sin(4x+ 7) + 3.
Lời giải.

Hàm số f(x) = cos(4x+ 7) có một nguyên hàm là 1

4sin(4x+ 7)−3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Câu 26. Biết
1
Z

0

x2_{+ 2x}

(x+ 3)2dx=

a
4 −4 ln

4

b với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
a2₊_b2 _bằng

A. 25. B. 41. C. 20. D. 34.

Lời giải.
I =

1
Z

0

x2_{+ 2x}

(x+ 3)2dx. Đặt t=x+ 3 ⇒dt= dx, đổi cận
(

x= 0⇒t= 3
x= 1⇒t= 4.
I =

4
Z

3

t2₋_4t_{+ 3}

t2 dt=
4
Z

3

Å
1− 4

t +
3
t2

ã
dt=

Å

t−4 ln|t| −3

t
ã

4

3

= 5
4 −4 ln

4
3

⇒

(

a= 5
b = 3

⇒a2₊_b2 _{= 34}_.

Chọn đáp án D 

Câu 27. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

xlnx thỏa mãn F
Å₁

e
ã

= 2 và F(e) =
ln 2. Giá trị của biểu thức F

Å₁
e2

ã

+F(e2₎ _bằng

A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1.

Lời giải.

Ta có
Z

1

xlnxdx=

Z

d(lnx)

lnx = ln|lnx|+C,x >0,x6= 1.

NênF(x) =

(

ln(lnx) +C1 khi x >1

ln(−lnx) +C2 khi 0< x < 1.
MàF

Å
1
e

ã

= 2nênln
Å

−ln1
e

ã

+C2 = 2 ⇔C2 = 2;F(e) = ln 2 nênln(ln e) +C1 = ln 2⇔C1 = ln 2.

Suy ra F(x) =

(

ln(lnx) + ln 2 khi x >1
ln(−lnx) + 2 khi 0< x <1.

Vậy F
Å₁

e2

ã

+F(e2_{) = ln}

Å

−ln 1
e2

ã

+ 2 + ln(ln e2_{) + ln 2 = 3 ln 2 + 2}_.

Chọn đáp án A 

Câu 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = cosx; y = 0; x = 0 và x = π

2. Thể tích

vật thể trịn xoay có được khi (H)quay quanh trục Ox bằng

A. π
2

4 . B. 2π. C.

π

4. D.

π2
2 .
Lời giải.

Gọi V là thể tích khối trịn xoay cần tính. Ta có

V =π

π

2
Z

0

(cosx)2dx=π

π

2
Z

0

1 + cos 2x

2 dx=π
Å

x
2 +

sin 2x
4

ã

π

2

0

= π

2

4 .

Chọn đáp án A 

Câu 29. Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểmM(1; 1) và có hệ số góc âm. Giả sửd cắt các trục

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

A. 3π. B. 9π

4 . C. 2π. D.

5π
2 .
Lời giải.

O x

y

1

1 M

A
B

Giả sử A(a; 0), B(0;b). Phương trình đường thẳng d: x
a +

y

b = 1⇒d:y=−
b

ax+b(1).

MàM(1; 1)∈d nên 1

a +
1

b = 1 ⇒a+b =ab(2).

Từ (1) suy ra d có hệ số góc làk =−b

a, theo giả thiết ta có −
b

a <0⇒ab >0.

Nếu
(

a <0
b <0

thì a+b <0 mâu thuẫn với (2). Suy ra a >0, b >0. Mặt khác từ(2) suy ra b= a
a−1

kết hợp vớia >0, b >0 suy ra a >1.

Khi quay ∆OAB quanh trụcOy, ta được hình nón có chiều cao h=b và bán kính đường trịn đáy

r=a.

Thể tích khối nón là V = 1
3πr

2_h₌ 1

3πa

2_.b₌ 1

3π.
a3
a−1.

Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi a
3

a−1 đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số f(x) = x

3

x−1 =x

2₊_x_{+ 1 +} 1

x−1 trên khoảng (1; +∞).
f0(x) = 2x+ 1− 1

(x−1)2 =

x2_(2x₋₃₎

(x−1)2 ;f

0_{(x) = 0}_⇒




x= 0
x= 3
2

.

Bảng biến thiên

x
f0(x)

f(x)

1 3

2 +∞

− 0 +

+∞

27
4
27

4

+∞

+∞

Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng 1

3π.f
Å

3
2

ã

= 9π

4 .

Chọn đáp án B 

Câu 30. Cho hàm số f(x) thoả mãn
3
Z

0

[2xln(x+ 1) +xf0(x)] dx= 0 và f(3) = 1.

Biết
3
Z

0

f(x) dx=a+bln 2

2 với a, b là các số thực dương. Giá trị của a+b bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Lời giải.

Tính I =

3
Z

0

2xln(x+ 1) dx.

Đặt
(

u= ln(x+ 1)
dv= 2xdx

⇒





du= 1
x+ 1 dx
v =x2

. Khi đó

I =x2ln(x+ 1)

3

0

−

3
Z

0

x2

x+ 1dx= 9 ln 4−
Å_x2

2 −x+ ln|x+ 1|
ã

3

0

= 16 ln 2− 3

2.

Tính J =

3
R
0

xf0(x) dx.

Đặt
(

uJ =x

dvJ =f0(x)dx
⇒

(

duJ = dx

vJ =f(x)

.

J =

3
Z

0

xf0(x) dx=xf (x)|3₀−

3
Z

0

f(x) dx= 3−

3
Z

0

f(x) dx.

Mà
3
Z

0

[2xln(x+ 1) +xf0(x)] dx= 0

⇒I+J = 0⇒16 ln 2− 3

2+ 3−

3
Z

0

f(x)dx= 0⇒

3
Z

0

f(x) dx= 16 ln 2 + 3
2 =

3 + 32 ln 2
2 .

Suy ra
(

a = 3
b = 32. Vậy

a+b = 35.

Chọn đáp án A 

Câu 31. Cho f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên _R, k ∈ _R. Trong các khẳng định
dưới đây, khẳng định nào sai?

A.

Z

[f(x)−g(x)] dx=

Z

f(x)dx−

Z

g(x)dx. B.
Z

f0(x)dx=f(x) +C.

C.
Z

kf(x)dx=k

Z

f(x)dx. D.
Z

[f(x) +g(x)] dx=

Z

f(x)dx+

Z

g(x)dx.

Lời giải.

Khẳng địnhA, B, D đúng theo tính chất của nguyên hàm.
Khẳng địnhC chỉ đúng khik 6= 0.

Chọn đáp án C 

Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x(1 + 3x3₎_là

A. x2
Å

1 + 3
2x

2

ã

+C. B. x2
Å

1 + 6x

3

5
ã

+C. C. 2x
Å

x+3
4x

4

ã

+C. D. x2
Å

x+3
4x

3

ã
+C.

Lời giải.

Ta có R f(x) dx=R 2x(1 + 3x3) dx=R (2x+ 6x4) dx=x2+ 6x

5

5 +C =x

2

Å
1 + 6x

3

5
ã

+C.

Chọn đáp án B 

Câu 33. Chof(x),g(x)là các hàm số liên tục trên_Rvà thỏa mãn
1
Z

0

f(x) dx= 3,
2
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

và

2
Z

0

[2f(x) +g(x)] dx= 8. TínhI =

2
Z

1

f(x) dx.

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 0.

Lời giải.

Đặt a=

2
Z

0

f(x) dx, b =

2
Z

0

g(x) dx.

Theo giả thiết, ta có
(

a−3b= 4
2a+b= 8

⇔

(

a= 4
b= 0.

Ta có
2
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

f(x) dx+

2
Z

1

f(x) dx⇒

2
Z

1

f(x) dx=

2
Z

0

f(x) dx−

1
Z

0

f(x) dx= 4−3 = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 34. Hai người A và B ở cách nhau 180(m) trên đoạn đường thẳng và cùng chuyển động theo
một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian ,A chuyển động với vận tốc v1(t) = 6t+ 5(m/s), B
chuyển động với vận tốc v2(t) = 2at−3(m/s)(a là hằng số ), trong đó t (giây) là khoảng thời gian
tính từ lúcA và B bắt đầu chuyển động . Biết rằng lúc A đuổi theo B và sao 10(giây) thì đuổi kịp.
Hỏi sau 20(giây), A cáchB bao nhiêu mét?

A. 320(m). B. 720(m). C. 360(m). D. 380(m).

Lời giải.

Quảng đường A đi được trong 10(giây):

10
Z

0

(6t+ 5) dt= 3t2+ 5t

10

0 = 350(m).

Quảng đường B đi được trong 10(giây):

10
Z

0

(2at−3) dt = at2−3t

10

0 = 100a−30(m).
Vì lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp nên ta có:

(100a−30) + 180 = 350 ⇔a = 2⇒v2(t) = 4t−3(m/s)

Sau 20(giây) quãng đường A đi được :

20
Z

0

(6t+ 5) dt= 3t2+ 5t

20

0

= 1300(m) .

Sau 20(giây) quãng đường B đi được :

20
Z

0

(4t−3) dt= 2t2−3t

20
0

= 740(m).

Khoảng cách giữa A và B sau 20(giây) 1300−740−180 = 380(m) .

Chọn đáp án D 

Câu 35. Cho
1
Z

0

9x+ 3m

9x_{+ 3} dx=m

2₋₁_{. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số} _m

A. P = 12. B. P = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Từ giả thiết ta có

1
Z

0

9x_{+ 3m}

9x_{+ 3} dx=m

2₋₁

⇔

1
Z

0

9x

9x_{+ 3}dx+m

1
Z

0

3

9x_{+ 3}dx=m

2₋

1

⇔ m2−m

1
Z

0

3

9x_{+ 3}dx−

1
Z

0

9x

9x_{+ 3}dx−1 = 0

Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biếnm, với các hệ số

a = 1
b = −

1
Z

0

3
9x_{+ 3}dx

c = −

1
Z

0

9x

9x_{+ 3}dx−1

Áp dụng hệ thức Viet, tổng các giá trị củam là:

m1+m2 =−

b
a =

1
Z

0

3

9x_{+ 3}dx=

1
2

(dùng máy tính bỏ túi tính tích phân xác định)

Chọn đáp án B 

Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x2_{+ cos}_x _là

A. 2x−sinx+C. B. 1

3x

3_{+ sin}_x₊_C_. _C_. 1

3x

3₋_sin_x₊_C_. _D_. _x3_{+ sin}_x₊_C_.

Lời giải.

Ta có:
Z

(x2+ cosx)dx= 1
3x

3_{+ sin}_x₊_C_.

Chọn đáp án B 

Câu 37. Nếu
2
Z

1

f(x) dx= 5,

5
Z

2

f(x) dx=−1 thì
5

Z

1

f(x) dx bằng

A. −2. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải.

Ta có
5
Z

1

f(x) dx=

2
Z

1

f(x) dx+

5
Z

2

f(x) dx= 5 + (−1) = 4.

Chọn đáp án D 

Câu 38. Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y=x3−2x−1 và y= 2x−1 được
tính theo cơng thức

A. S =

0
Z

−2

x3 −4x

dx. B. S =

2
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

C. S =

2
Z

−2

x3−4xdx. D.S =

2
Z

−2

x3−4x

dx.

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm củay =x3₋_2x₋₁ _và _y_{= 2x}₋₁ _là

x3−2x−1 = 2x−1⇔x3−4x= 0⇔






x= 2
x= 0
x=−2

.

Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3₋_2x₋₁ _và _y _{= 2x}₋₁ _{được tính}
theo cơng thức S =

2
Z

−2

x3−4x

dx.

Chọn đáp án D 

Câu 39 (2D3B1-3). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x+ 1)ex là

A. (2x−1)ex₊_C_. _B_. _(2x_{+ 3)e}x₊_C_. _C_. _2xex₊_C_. _D_. _(2x₋_2)ex₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z

(2x+ 1)exdx.

Đặt
(

u= 2x+ 1
dv = exdx

⇒

(

du= 2 dx
v = ex.

⇒

Z

(2x+ 1)exdx= (2x+ 1)ex−

Z

2exdx= (2x+ 1)ex−2ex+C = (2x−1)ex+C.

Chọn đáp án A 

Câu 40. Tính thể tích khối trịn xoay sinh bởi Elip (E) : x

2

4 +
y2

1 = 1 quay quanh trục Ox.
A. 64π

9 . B.

10π

3 . C.

8π

3 . D.

8π2

3 .
Lời giải.

(E)có a2 _{= 4}_⇒_a _{= 2}_{. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ} _A0₍₋_{2; 0)} _và _{(2; 0)}_.

Vì x
2

4 +
y2

1 = 1⇒y

2 _{= 1}₋ x
2

4.

Do đó thể tích khối trịn xoay là VOx =π

2
Z

−2

y2dx=π

2
Z

−2

Å
1−x

2

4
ã

dx= 8π

3 .

Vậy VOx =

8π

3 (đvtt).

Chọn đáp án C 

Câu 41. Cho
1
Z

0

1

x2_{+ 3x}_{+ 2}dx=aln 2 +bln 3, với a, blà các số hữu tỷ. Khi đó a+b bằng

A. 0. B. 2. C. 1. D. −1.

Lời giải.

Xét
1
Z

0

1

x2_{+ 3x}_{+ 2}dx =
1
Z

0

1

(x+ 1)(x+ 2)dx=

1
Z

0

Å ₁
x+ 1 −

1
x+ 2

ã

dx = ln

Å_x_{+ 1}
x+ 2

ã

1
0

= 2 ln 2−

ln 3.

Vậy a= 2, b =−1⇒a+b= 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Câu 42.

Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn bởi một
đường Parabol và nửa đường trịn có bán kính√2 mét (phần tơ trong hình
vẽ). Biết rằng: để trồng mỗi m2 _{hoa cần ít nhất là} ₂₅₀₀₀₀ _{đồng, số tiền tối}
thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng

A. 893000 đồng. B. 476000đồng. C. 809000 đồng. D. 559000đồng. _x

y

O

−1 1

−1
1
2

Lời giải.

Nửa đường trịn (T)có phương trình y=√2−x2_.

Xét parabol(P) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng:y =ax2₊_c_.

(P) cắt Oy tại điểm (0;−1)nên ta có: c=−1.

(P) cắt (T) tại điểm (1; 1) thuộc(T) nên ta được: a+c= 1⇒a = 2.
Phương trình của(P) là:y= 2x2−1.

Diện tích miền phẳng D (tơ màu trong hình) là:

S=

1
Z

−1

Ä√

2−x2₋_2x2_{+ 1}ä _dx₌

1
Z

−1

√

2−x2_dx₊
1
Z

−1

−2x2+ 1

dx.

I1 =
1
Z

−1

−2x2+ 1

dx=
Å

−2

3x

3₊_x

ã



1

−1

= 2
3.

XétI2 =
1
Z

−1

√

2−x2_dx_{, đặt} _x₌√_{2 sin}_{t, t}_∈h₋π

2;
π
2

i

thì dx=√2 costdt.
Đổi cận: x=−1 thì t =−π

4, với x= 1 thì t=
π

4, ta được:

I2 =

π/4
Z

−π/4
p

2−2sin2t√2 costdt=

π/4
Z

−π/4

2cos2tdt

=

π/4
Z

−π/4

(1 + cos 2t)dt =
Å

t+ 1
2sin 2t

ã

π/4

−π/4

= 1 + π
2.

Suy ra S =I1+I2 =

5
3 +

π
2 m

2_.

Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 250000
Å

5
3 +

π
2

ã

≈809365 đồng. 

Câu 43. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm trên khoảng(0; +∞)thỏa mãnf(x) =x.ln

Å _x3

x.f0_(x)₋_f(x)
ã

và f(1) = 0. Tính tích phân I =

5
Z

1

f(x) dx.

A. 12 ln 13−13. B. 13 ln 13−12. C. 12 ln 13 + 13. D. 13 ln 13 + 12.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Từ giả thiết và

f(x) = x.ln

Å _x3

x.f0_(x)₋_f_(x)
ã

⇔ f(x)

x = ln

x3

x.f0_(x)₋_f_(x).

⇔ ef(x)x = x

3

x.f0_(x)₋_f(x) ⇔

x.f0(x)−f(x)
x2 .e

f(x)
x =x.

⇔

ï_f(x)
x

ò0

.ef(x)x =x. (1)

Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra ef(x)x =
x2

2 +C.

Do f(1) = 0⇒C = 1

2, nên e
f(x)

x =

x2_{+ 1}

2 ⇒f(x) = xln

x2_{+ 1}

2 với x∈(0; +∞).
I =

5
Z

1

f(x) dx=

5
Z

1

x.lnx

2_{+ 1}

2 dx (2).

Đặt u= lnx

2_{+ 1}

2 ⇒du=
2x

x2_{+ 1} dx; dv=xdx, chọn v =

x2_{+ 1}

2 .

Theo cơng thức tích phân từng phần, ta được:

I =
Å

x2+ 1
2 .ln

x2+ 1
2

ã



5

1

−

5
Z

1

xdx= 13 ln 13− x

2

2

5

1

= 13 ln 13−12.

Chọn đáp án B 

Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e2x_.

A.
Z

e2xdx= 2e2x+C. B.
Z

e2xdx= e2x+C.

C.
Z

e2xdx= e

2x+1

2x+ 1 +C. D.

Z

e2xdx= 1
2e

2x₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

e2xdx= 1
2

Z

e2xd(2x) = 1
2e

2x₊_C_.

Chọn đáp án D 

Câu 45. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn[a;b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị của hàm sốy =f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x =b, (a < b) được tính theo cơng
thức

A. S =

b

Z

a

f(x)dx

. B. S =

b

Z

a

f(x)dx. C. S =π

b

Z

a

f2(x)dx. D. S =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Lời giải.

Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tíchS của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo cơng thức

S =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án D 

Câu 46. Tính tích phânI =

5
Z

1

dx
1−2x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Lời giải.

Ta có I =

5
Z

1

dx

1−2x =−
1
2

5
Z

1

d(1−2x)
1−2x =−

1

2ln|1−2x|

5
1

=−ln 3.

Chọn đáp án C 

Câu 47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3_{, trục hoành và hai đường}
thẳng x=−1,x= 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.

A. 15

4 cm

2_. _B_. 17

4 cm

2_. _C_. ₁₇_cm2_. _D_. ₁₅_cm2_.

Lời giải.

Ta có S =

2
Z

−1

x3

dx=

0
Z

−1

x3

dx+

2
Z

0

x3

dx=−
0
Z

−1

x3dx+

2
Z

0

x3dx=−x

4

4

0

−1

+x

4

4

2

0

= 17
4 .

Do mỗi đơn vị trên trục là 2cm nên S = 17

4 ·2

2 _cm2 _{= 17} _cm2_.

Chọn đáp án C 

Câu 48. Biết
e
Z

1

lnx

√

x dx=a

√

e+b với a,b∈_Z. Tính P =ab.

A. P = 4. B. P =−8. C. P = 8. D. P =−4.

Lời giải.

Đặt







u= lnx
dv = √dx

x

⇒





du= dx
x
v = 2√x

, ta có

e
Z

1

lnx

√

x dx= 2

√

xlnx

1
e

−2

e
Z

1

dx

√

x = 2

√

xlnx

1
e

−4√x

1
e

=−2√e+ 4.

Từ đó suy ra
(

a=−2

b = 4 . Vậy P =ab=−8.

Chọn đáp án B 

Câu 49.

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h)
có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 1) và trục đối xứng song
song với trục tung như hình bên. Tính qng đường s mà vật đi được trong 4

giờ kể từ lúc xuất phát.

A. s = 40

3 (km). B. s= 8(km). C. s=

46

3 (km). D. s = 6(km).

t
v

1 4

1
2
10

O

Lời giải.

Vì đồ thị của hàm số v(t) có dạng là một phần của parabol nên v(t) = at2 ₊_bt₊_c_(a₆_{= 0, t} _≥₀₎_.
Đồ thị hàm số v(t) đi qua các điểm (0; 2), (1; 1), (4; 10)nên ta có hệ phương trình









c= 2

a+b+c= 1
16a+ 4b+c= 10

⇔









</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Do đóv(t) = t2₋_2t_{+ 2}_.

Vậy quãng đường mà vật đi được làs=

4
Z

0

v(t) dt=

4
Z

0

(t2−2t+ 2) dt= 40
3 (km).

Chọn đáp án A 

Câu 50.

Cho hàm sốy=f(x)là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Biết

Z 4
1

xf00(x−1) dx = 7 và
Z 2

1

2xf0(x2 −1) dx =−3. Phương
trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốy=f(x) tại điểm có hồnh độ

x= 3 là

A. y=x−4. B. y= 1

2x−
5
2.
C. y= 2x−7. D. y= 3x−10.

x
y

2

O

Lời giải.

Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) = 2và f0(0) = 0.
Xét tích phân

2
Z

1

2xf0(x2−1) dx. Đặtu=x2₋₁_⇒_du_{= 2x}_dx_.
Đổi cận x= 1⇒u= 0;x= 2 ⇒u= 3.

Do đó
2
Z

1

2xf0(x2 −1) dx=

3
Z

0

f0(u) du=f(u)

3
0

=f(3)−f(0)⇒f(3)−f(0) =−3⇔f(3) =−1.

Xét tích phân
4
Z

1

xf00(x−1) dx. Đặt u=x−1⇒x=u+ 1 ⇒dx= du.
Đổi cận x= 1⇒u= 0;x= 4 ⇒u= 3.

⇒

4
Z

1

xf00(x−1) dx=

3
Z

0

(u+ 1)f00(u) du =

3
Z

0

(u+ 1) df0(u) = (u+ 1)f0(x)

3
0−

3
Z

0

f0(u) du

= 4f0(3)−f0(0)−f(u)

3
0

= 4f0(3)−f0(0)−f(3) +f(0).

Do đó4f0(3)−f0(0)−f(3) +f(0) = 7⇔4f0(3) = 7 +f(3)−f(0) = 4⇔f0(3) = 1.

Như vậy, f(3) =−1, f0(3) = 1.Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh
độx= 3 là y=x−4.

Chọn đáp án A 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Đồ thị trong hình bên là của hàm số y=f(x),S là diện tích hình
phẳng (phần tơ đậm trong hình). Chọn khẳng định đúng.

A. S=

0
Z

−2

f(x) dx+

1
Z

0

f(x) dx.

B. S=

1
Z

−2

f(x) dx.

C. S=

−2
Z

0

f(x) dx+

1
Z

0

f(x) dx.

D. S=

0
Z

−2

f(x) dx−

1
Z

0

f(x) dx.

x
y

O 1

−2

Lời giải.

Từ đồ thị ta có f(x)≥0,∀x∈[−2; 0] và f(x)≤0,∀x∈[0; 1].
Do đóS =

1
Z

−2

|f(x)| dx=

1
Z

−2

|f(x)| dx+

1
Z

0

|f(x)| dx=

0
Z

−2

f(x) dx−

1
Z

0

f(x) dx.

Chọn đáp án D

Câu 52. Cho hàm sốf(x)biếtf(0) = 1,f0(x)liên tục trên[0; 3]và
3
Z

0

f0(x) dx= 9. Tínhf(3).

A. f(3) = 9. B. f(3) = 10. C. f(3) = 8. D. f(3) = 7.

Lời giải.

Ta có
3
Z

0

f0(x) dx= 9⇔ f(x)|3₀ = 9 ⇔f(3)−f(0) = 9⇔f(3) = 9 +f(0) = 9 + 1 = 10.
Vậy f(3) = 10.

Chọn đáp án B 

Câu 53. Cho hàm sốf(x)đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn[0; 2] và thỏa mãn2[f(x)]2₋

f(x)·f00(x) + [f0(x)]2 = 0 với ∀x∈[0; 2]. Biết f(0) = 1; f(2) =e6.
Tích phânI =

0
Z

−2

(2x+ 1)f(x) dxbằng

A. 1 +e. B. 1−e2_. _C_. ₁₋_e_. _D_. ₁₋_e−1_.

Lời giải.

2[f(x)]2−f(x)·f00(x) + [f0(x)]2 = 0 ⇔f(x)·f00(x)−[f0(x)]2 = 2[f(x)]2

⇔ f(x)·f

00_(x)₋_[f0_(x)]2

[f(x)]2 = 2 ⇔

Å
f0(x)

f(x)
ã0

= 2

⇔

Z Å_f0_(x)
f(x)

ã0
dx=

Z

2dx⇔ f

0_(x)

f(x) = 2x+ C1

⇔

Z _f0_(x)

f(x)dx =

Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Ta có

f(0) = 1⇒ln 1 =C2 ⇒C2 = 0

f(2) =e6 ⇒6 = 4 + 2C1 ⇒C1 = 1

⇒ ln|f(x)| =x2+x⇒f(x) = ex2+x

⇒ I =

0
Z

−2

(2x+ 1)ex2+xdx = ex2+x

0

−2 = 1−e

2

Chọn đáp án B 

Câu 54. Gọi F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e−x_{+ cos}_x_{. Tìm khẳng định đúng.}

A. F (x) = e−x+ sinx+ 2019. B. F (x) = e−x+ cosx+ 2019.

C. F (x) =−e−x+ sinx+ 2019. D.F (x) = −e−x−cosx+ 2019.

Lời giải.

Áp dụng công thức
Z

( e−x+ cosx) dx=−e−x+ sinx+C, với C là hằng số
Cho C = 2019ta có F (x) =−e−x+ sinx+ 2019.

Chọn đáp án C 

Câu 55. Nếuf(x) = (ax2+bx+c)√2x−1là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 10x

2₋_7x_{+ 2}

√

2x−1

trên khoảng

Å

1
2; +∞

ã

thì a+b+ccó giá trị bằng

A. 3. B. 0. C. 2. D. 4.

Lời giải.

Ta có:g(x) =f0(x) = (2ax+b)√2x−1+√ 1

2x−1(ax

2₊_bx₊_{c) =} (2ax+b) (2x−1) + (ax

2₊_bx₊_c)

√

2x−1 .

= 5ax

2_{+ (3b}₋_2a)_x₊_c₋_b

√

2x−1 .

Theo bài ra:g(x) = 10x

2₋_7x_{+ 2}

√

2x−1 nên

5ax2_{+ (3b}₋_2a)_x₊_c₋_b

√

2x−1 =

10x2₋_7x_{+ 2}

√

2x−1 ⇒









5a= 10

3b−2a=−7
c−b= 2

⇔









a = 2
b =−1
c= 1.

Vậy a+b+c= 2 .

Chọn đáp án C 

Câu 56. Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên [1; 3] và thỏa mãn
3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx = 10;

3

Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6. Tính tích phân I =

3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx bằng

A. I = 6. B. I = 7. C. I = 8. D. I = 9.

Lời giải.

Ta có



















3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx= 10

3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6

⇔




















3
Z

1

f(x) dx+ 3

3
Z

1

g(x) dx= 10

2

3
Z

1

f(x) dx−

3
Z

1

g(x) dx= 6

⇔



















3
Z

1

f(x) dx= 4

3
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Vậy I =

3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx=

3
Z

1

f(x) dx+

3
Z

1

g(x) dx= 4 + 2 = 6.

Chọn đáp án A 

Câu 57. Một bình cắm hoa dạng khối trịn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần
lượt là 2 dm và 4 dm. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt trịn xoay có đường sinh là
đồ thị hàm số y=√x−1. Tính thể tích bình cắm hoa đó.

A. 8π dm2. B. 15π

2 dm

2_. _C_. 14π

3 dm

3_. _D_. 15π

2 dm

3_.

Lời giải.

x
y

O 1 2 5
1

2

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm nên đáy và miệng có bán kính
đáy lần lượt là 1dm và 2dm.

Ta có √x−1 = 1⇔x= 2 và √x−1 = 2⇔x= 5.
Vậy thể tích bình hoa làS =π

5
Z

2

(√x−1)2dx= 15π
2 dm

3
.

Chọn đáp án D

Câu 58. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x3₊_x2 _là

A. x
4

4 +

x3

3 +C. B. x

4₊_x3_. _C_. _3x2_{+ 2x}_. _D_. 1

4x

4₊ 1

4x

3_.

Lời giải.

Z

x3+x2 dx= x

4

4 +
x3

3 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 59. Giá trị của

0
Z

−1

ex+1dx bằng

A. 1−e. B. e−1. C. −e. D. e.

Lời giải.

Ta có
0
Z

−1

ex+1dx= ex+1

0

−1

= e1−e0 = e−1.

Chọn đáp án B 

Câu 60. ChoF(x)là một nguyên hàm củaf(x) = 1

x−1 trên khoảng(1; +∞)thỏa mãnF(e+1) = 4

. Tìm F(x) .

A. F(x) = 2 ln(x−1) + 2. B. F(x) = ln(x−1) + 3.

C. F(x) = 4 ln(x−1). D.F(x) = ln(x−1)−3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ta có F(x) =

Z

1

x−1dx= ln(x−1) +C.
F(e + 1) = 4⇒ln e +C = 4⇒C = 3.
Vậy F(x) = ln(x−1) + 3 .

Chọn đáp án B 

Câu 61. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x−x2_{, y} _{= 0}_{. Quay} _(H) _{quanh trục}
hồnh tạo thành khối trịn xoay có thể tích là

A.
2
Z

0

(2x−x2)dx. B. π

2
Z

0

(2x−x2)2dx. C.
2
Z

0

(2x−x2)2dx. D. π

2
Z

0

(2x−x2)dx.

Lời giải.

Ta có 2x−x2 _{= 0}_⇔
"

x= 0

x= 2

.

Theo cơng thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có

V =π

2
Z

0

(2x−x2)2dx

Chọn đáp án B 

Câu 62. Cho
2
Z

0

f(x)dx= 3 và
2
Z

0

g(x)dx=−1. Giá trị của

2
Z

0

[f(x)−5g(x) +x] dx bằng

A. 12. B. 0. C. 8. D. 10.

Lời giải.

Ta có
2
Z

0

[f(x)−5g(x) +x] dx=

2
Z

0

f(x)dx−5

2
Z

0

g(x)dx+

2
Z

0

xdx= 3−5·(−1) + 1
2(2

2 ₋_{0) = 10}_.

Chọn đáp án D 

Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số y= 3x(x+ cosx)là

A. x3+ 3(xsinx+ cosx) +C. B. x3 −3(xsinx+ cosx) +C.

C. x3+ 3(xsinx−cosx) +C. D.x3 −3(xsinx−cosx) +C.

Lời giải.

Ta có I =

Z

3x(x+ cosx)dx=

Z

3x2 + 3xcosxdx=x3+ 3

Z

xcosxdx.
Tính J =

Z

xcosxdx. Đặt
(

x=u

cosxdx= dv ⇒

(

dx= du
sinx=v .

⇒J =xsinx−R

sinxdx=xsinx+ cosx+C.

Vậy I =x3_{+ 3(x}_sin_x_{+ cos}_{x) +}_C_.

Chọn đáp án A 

Câu 64. Cho
4
Z

3

5x−8

x2₋_3x_{+ 2}dx = aln 3 +bln 2 +cln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị 2

a−3b+c

bằng

A. 12. B. 6. C. 1. D. 64.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Ta có
4
Z

3

5x−8

x2₋_3x_{+ 2}dx=
4
Z

3

Å
3
x−1+

2
x−2

ã

dx= 3 ln|x−1|

4
3

+ 2 ln|x−2|

4
3

= 3 ln 3−3 ln 2 + 2 ln 2 =−ln 2 + 3 ln 3⇒







a= 3

b=−1⇒a−3b+c= 6

c= 0

.

Chọn đáp án D 

Câu 65.

Cho hàm sốy=f(x)có đồ thịf0(x)trên[−3; 2] như hình bên
(phần cong của đồ thị là một phần của paraboly=ax2_+bx+c_).
Biết f(−3) = 0, giá trị củaf(−1) +f(1) bằng

A. 23

6 . B.
31

6 . C.
35

3 . D.
9

2. x

y

O

−3 −2 −1 1 2

1

2

Lời giải.

Paraboly =ax2₊_bx₊_c _{có đỉnh}_I(₋_{2; 1)} _{và đi qua điểm} ₍₋_{3; 0)} _{nên ta có}











− b

2a =−2
4a−2b+c= 1
9a−3b+c= 0

⇔










a =−1
b =−4
c=−3

⇒y=−x2 −4x−3.

Do f(−3) = 0 nên

f(−1) +f(1) = [f(1)−f(0)] + [f(0)−f(−1)] + 2 [f(−1)−f(3)]

=

1
Z

0

f0(x) dx+

0
Z

−1

f0(x) dx+ 2
−1

Z

−3

(−x2−4x−3) dx

=S1+S2+ 2

−1
Z

−3

(−x2−4x−3) dx

= 1 + 3
2 +

8
3 =

31
6 .

Với S1, S2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f0(x), trục Ox và hai
đường thẳngx=−1,x= 0 và x= 0,x= 1.

Chọn đáp án B 

Câu 66. Cho I =

π
4

Z

0

ln(sinx+ 2 cosx)

cos2_x dx =aln 3 +bln 2 +cπ với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị
của abc bằng

A. 15

8 . B.

5

8. C.

5

4. D.

17
8 .
Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

dv = dx

cos2_x, chọn v = tanx+ 2 =

sinx+ 2 cosx

cosx . Khi đó

I = (tanx+ 2)·ln(sinx+ 2 cosx)

π
4

0 −

π
4

Z

0

Å

1−2sinx
cosx

ã
dx

= 3 ln3

√

2

2 −2 ln 2−(x+ 2 ln(cosx))

π
4

0

= 3 ln3

√

2

2 −2 ln 2−
π
4 −2 ln

√

2
2

= 3 ln 3− 5

2ln 2−
1
4π.

Vậy abc= 15
8 .

Chọn đáp án A 

Câu 67. Cho hai hàm số f(x) và f(−x) liên tục trên _R và thỏa mãn 2f(x) + 3f(−x) = 1
4 +x2.
Tính I =

2
Z

−2

f(x) dx.

A. I = π

20. B. I =
π

10. C. I =−
π

20. D. I =−
π
10.
Lời giải.

Đặt t=−x⇒dx=−dt.

Đổi cận x=−2⇒t= 2; x= 2⇒t=−2, ta có

I =−

−2
Z

2

f(−t) dt=

2
Z

−2

f(−x) dx.

Theo bài ra ta có

2f(x) + 3f(−x) = 1

4 +x2 ⇔2

2
Z

−2

f(x) dx+ 3

2
Z

−2

f(−x) dx=

2
Z

−2

1
4 +x2 dx

⇔3I+ 2I =

2
Z

−2

1

4 +x2 dx

⇔I = 1

5

2
Z

−2

1
4 +x2 dx.

Đặt x= 2 tanu ta có dx= 2 1

cos2_udu= 2 (1 + tan

2_{u) du}_.
Đổi cận x=−2⇒u=−π

4; x= 2⇒u=
π

4, ta có

I = 1
5

π

4

Z

−π
4

2 (1 +u2₎

4 + 4 tan2udu=
1
10

π
4

Z

−π
4

du= 1
10u

π

4
−π

4
= 1

10

π

4 +
π
4

= π
20.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Câu 68. Cho
2
Z

1

f(x) dx= 2. Hãy tính
4
Z

1

f(√x)

√

x dx.

A. I = 4. B. I = 1. C. I = 1

2. D. I = 2.
Lời giải.

Đặt t=√x⇒dt= 1

2√xdx⇒
1

√

xdx= 2dt.

Đổi cận x= 1⇔t= 1; x= 4⇒t= 2, ta có

I = 2

2
Z

1

f(t) dt = 2

2
Z

1

f(x) dx= 2·2 = 4.

Chọn đáp án A 

Câu 69. Cho
5
Z

−2

f(x) dx= 8 và

−2
Z

5

g(x) dx= 3. TínhI =

5
Z

−2

[f(x)−4g(x)−1] dx.

A. I = 13. B. I = 27. C. I =−11. D. I = 3.

Lời giải.

Theo tính chất của tích phân ta có

I =

5
Z

−2

[f(x)−4g(x)−1] dx=

5
Z

−2

f(x) dx−4

5
Z

−2

g(x) dx−

5
Z

−2

dx= 8·4·(−3)−x

5

−2 = 13.

Chọn đáp án A 

Câu 70. Tích phân
2
Z

0

x

x2_{+ 3}dx bằng

A. 1

2log
7

3. B. ln
7

3. C.

1
2ln

3

7. D.

1
2ln

7
3.
Lời giải.

Đặt u=x2+ 3 ⇒du= 2xdx⇒xdx= 1
2du.

Đổi cận x= 0⇒u= 3;x= 2 ⇒u= 7, ta có

I = 1
2

7
Z

3

1
udu=

1
2ln|u|

7

3

= 1
2ln 7−

1
2ln 3 =

1
2ln

7
3.

Chọn đáp án D 

Câu 71. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A.
Z

2exdx= 2 (ex+C). B.
Z

x3dx= x

4₊_C

4 .
C.

Z

1

xdx= lnx+C. D.

Z

sinxdx=−cosx+C.

Lời giải.

Ta có
Z ₁

xdx= ln|x|+C nên mệnh đề ở phương án C sai.

Chọn đáp án C 

Câu 72. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 52x?

A.
Z

52xdx= 2.52xln 5 +C. B.
Z

52xdx= 2.5

2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

C.
Z

52xdx= 25

x

2 ln 5 +C. D.

Z

52xdx= 25

x+1

x+ 1 +C.
Lời giải.

Ta có
Z

52xdx= 1
2.

52x

ln 5 +C =
25x

2 ln 5 +C.

Chọn đáp án C 

Câu 73. Cho hàm số y = f(x) có f0(x) liên tục trên [0; 2] và f(2) = 16;

2
Z

0

f(x) dx = 4 . Tính

I =

1
Z

0

xf0(2x) dx .

A. I = 7. B. I = 20. C. I = 12. D. I = 13.

Lời giải.

Đặt t= 2x⇒dt= 2dx.

Đổi cận x= 0⇒t= 0; x= 1⇒t= 2, ta có

I =

2
Z

0

t
2f

0
(t)1

2dt=
1
4

2
Z

0

tf0(t) dt.

Đặt




u=t

dv =f0(t)dt

⇒





du= dt
v =f(t)

, ta có

I = 1
4


tf(t)

2
0

−

2
Z

0

f(t) dt


=

1

4[2f(2)−4] =
1

4(2·16−4) = 7.

Chọn đáp án A 

Câu 74. Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A.

a

Z

a

kf (x) dx= 0.

B.

b

Z

a

xf(x) dx=x

b

Z

a

f(x) dx.

C.

b

Z

a

[f(x) +g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx+

b

Z

a

g(x) dx.

D.

b

Z

a

f(x) dx=−
a

Z

b

f(x) dx.

Lời giải.

Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai.

Chọn đáp án B 

Câu 75. Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và
1
Z

−1

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

1
Z

−1

f(x)

1 +ex dx bằng

A. I = 8. B. I = 4. C. I = 2. D. I = 1₄.

Lời giải.

Đặt t=−x⇒dt =−dx.

Đổi cận x= 1⇒t=−1; x=−1⇒t= 1, ta có

I =e

1
Z

−1

f(x)

1 + ex dx=−

−1

Z

1

f(−t)
1 + e−tdt=

1
Z

−1

f(−x)
1 + _e1x

dx=

1
Z

−1

ex_f₍₋_x)

1 + ex dx.

Do f(x) là hàm số chẵn nên f(x) =f(−x),∀x∈[−1; 1]⇒I =

1
Z

−1

ex_f_(x)

1 + ex dx.

Từ đó suy ra

I+I =

1
Z

−1

f(x)
1 + ex dx+

1
Z

−1

ex_f_(x)

1 + ex dx=

1
Z

−1

(ex_{+ 1)}_f_(x)

1 + ex dx=

1
Z

−1

f(x) dx= 4.

Vậy I = 2.

Chọn đáp án C 

Câu 76. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −t3_{+ 6t}2 _với _t _{là thời gian tính từ lúc}
bắt đầu chuyển động,s(t)là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t. Tính thời điểm t tại đó
vận tốc đạt giá trị lớn nhất.

A. t = 2. B. t = 1. C. t= 4. D. t= 3.

Lời giải.

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t làv(t) =s0(t) =−3t2+ 12t = 12−3(t−2)2 ≤12.
Vậy tại thời điểmt = 2 tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất.

Chọn đáp án A 

Câu 77. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y=x2 ₋₃x₊ 1

x.
A. x

3

3 −
3x

ln 3 −
1

x2 +C, C ∈R. B.

x3

3 −3

x₊ 1

x2 +C, C ∈R.

C. x
3

3 −
3x

ln 3 −ln|x|+C, C ∈R. D.
x3

3 −
3x

ln 3 + ln|x|+C, C ∈R.
Lời giải.

Ta có
Z Å

x2−3x+ 1
x

ã

dx= x

3

3 −
3x

ln 3 −
1

x2 +C,C ∈R.

Chọn đáp án D 

Câu 78. Cho tích phân I =

4
Z

0

f(x) dx= 32. Tính tích phân J =

2
Z

0

f(2x) dx.

A. J = 64. B. J = 8. C. J = 16. D. J = 32.

Lời giải.

Đặt t= 2x⇒ dt

2 = dx. Đổi cận x= 0⇒t = 0; x= 2⇒t= 4.

Khi đóJ = 1
2

4
Z

0

f(t) dt= 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Chọn đáp án C 

Câu 79. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2
4x−3.
A.

Z ₂

4x−3dx=
1

4ln|4x−3|+C. B.

Z ₂

4x−3dx= 2 ln

2x− 3

2

+C.

C.

Z ₂

4x−3dx=
1
2ln

2x− 3

2

+C. D.

Z ₂

4x−3dx=
1
2ln

Å

2x− 3

2
ã

+C.

Lời giải.

Ta có
Z

2

4x−3dx=

Z

1
2x− 3

2

dx= 1
2ln

2x−3

2

+C.

Chọn đáp án C 

Câu 80. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cosx−1

sin2x . Biết rằng giá trị lớn

nhất của F(x)trên khoảng (0;π) là√3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. F
Å

2π
3

ã
=

√

3

2 . B. F
Å

5π
6

ã

= 3−√3. C. F

π

6

= 3√3−4. D. F

π

3

=−√3.

Lời giải.

Ta có

F(x) =

Z

f(x)dx=

Z _{2 cos}_x

sin2xdx−

Z ₁

sin2xdx
=

Z ₂

sin2xd(sinx)−

Z ₁

sin2xdx
=− 2

sinx + cotx+C.

Suy ra F0(x) =f(x) = 2 cosx−1
sin2x .

Trên khoảng(0;π), F0(x) = 0⇔2 cosx−1 = 0⇔x= π
3.

x
F0(x)

F(x)

0 π

3 π

+ 0 −

−∞
−∞

√

3

√

3

−∞
−∞

Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;π) là√3 nên ta có

F π
3

=√3⇔ −3
√

3

3 +C =

√

3⇔C = 2√3.

Vậy F(x) = − 2

sinx + cotx+ 2

√

3. Do đó F π
6

= 3√3−4.

Chọn đáp án C 

Câu 81. Cho hàm sốy =f(x)có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên[0; 1]và thỏa mãn
1

Z

0

exf(x) dx=

1
Z

0

exf0(x) dx =

1

Z

0

exf00(x) dx6= 0. Giá trị của biểu thức ef

0₍₁₎₋_f0₍₀₎
ef(1)−f(0) bằng

A. −1. B. 1. C. 2. D. 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Đặt
1
Z

0

exf(x) dx=

1
Z

0

exf0(x) dx=

1
Z

0

exf00(x) dx=k.

k=

1
Z

0

exf00(x) dx=

1
Z

0

exdf0(x) = exf0(x)

1

0

−

1

Z

0

exf0(x) dx = ex_f0_(x)

1

0

−k.

Suy ra 2k= exf0(x)

1

0
.

k=

1

Z

0

exf0(x) dx =
1
Z

0

exdf(x) = exf(x)

1

0

−

1
Z

0

exf(x) dx = ex_f(x)

1

0

−k.

Suy ra 2k= exf(x)

1

0
.

Vậy ef

0₍₁₎₋_f0₍₀₎
ef(1)−f(0) =

ex_f0_(x)

1

0

ex_f(x)

1

0

= 1.

Chọn đáp án B 

Câu 82. Cho hàm sốf(x)xác định trên_R\ {1}thỏa mãnf0(x) = 1

x−1,f(0) = 2018,f(2) = 2019.

Tính S =f(3)−f(−1).

A. S = ln 4035. B. S = 4. C. S = ln 2. D. S = 1.

Lời giải.

Ta có f(x) =

Z

f0(x)dx=

Z

1

x−1dx= ln|x−1|+C

Khi đóf(−1) = ln 2 +C1;f(0) =C2 = 2018; f(2) =C3 = 2019; f(3) = ln 2 +C4

•

Z 3
2

f0(x)dx=

Z 3
2

1

x−1dx⇔f(3)−f(2) = ln 2⇔ln 2 +C4−C3 = ln 2⇒C3 =C4

•

Z 0

−1

f0(x)dx=

Z 0

−1

1

x−1dx⇔f(0)−f(−1) =−ln 2 ⇔C2−C1−ln 2 =−ln 2⇒C1 =C2

Vậy S =f(3)−f(−1) =C4−C1 = 2019−2018 = 1.

Chọn đáp án D 

Câu 83. Cho hàm sốf(x)liên tục trên_Rvà thỏa mãn
6
Z

0

f(x) dx= 7,

10
Z

3

f(x) dx= 8,

6
Z

3

f(x) dx=

9. Giá trị củaI =

10
Z

0

f(x) dx bằng

A. I = 5. B. I = 6. C. I = 7. D. I = 8.

Lời giải.

Ta có
10
Z

3

f(x) dx=

6
Z

3

f(x) dx+

10
Z

6

f(x) dx⇔

10
Z

6

f(x) dx=

10
Z

3

f(x) dx−

6
Z

3

f(x) dx= 8−9 =−1

Khi đóI =

10
Z

0

f(x) dx=

6
Z

0

f(x) dx+

10
Z

6

f(x) dx= 7−1 = 6.

Chọn đáp án B 

Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân
1+a

Z

1

dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

A. −1< a <3. B. a <−1. C. a6= 4, a6= 5. D. a <3.

Lời giải.

Tích phân
1+a

Z

1

dx

x(x−5) (x−4) tồn tại khi và chỉ khi hàm số y =

1

x(x−5) (x−4) liên tục trên
[1; 1 +a] hoặc [1 +a;a].

Mà hàm số y= 1

x(x−5) (x−4) liên tục trên khoảng(−∞; 0);(0; 4); (4; 5); (5; +∞).

Nên hàm số liên tục trên[1; 1 +a]hoặc [1 +a; 1]⇔0<1 +a <4⇔ −1< a <3.
Vậy −1< a <3.

Chọn đáp án A

Câu 85. Hàm số F (x) =x2_{ln (sin}_x₋_cos_x) _{là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?}

A. f(x) = x

2

sinx−cosx.

B. f(x) = 2xln (sinx−cosx) + x

2

sinx−cosx.
C. f(x) = 2xln (sinx−cosx) + x

2_(cos_x_{+ sin}_x)

sinx−cosx .
D. f(x) = x

2_(sin_x₊_cosx)

sinx−cosx .
Lời giải.

Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x)nên

f(x) = F0(x) = 2x·ln (sinx−cosx) +x2·(sinx−cosx)

0

sinx−cosx = 2x·ln (sinx−cosx) +x

2_·sinx+ cosx

sinx−cosx.

Chọn đáp án C 

Câu 86. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên _R thỏa mãn f0(x)−xf(x) = 0, f(x) >
0,∀x∈_R và f(0) = 1. Giá trị củaf(1) bằng

A. √1

e. B.

1

e. C.

√

e. D. e.

Lời giải.

Từ giả thiết ta có f

0_(x)

f(x) =x⇒

Z

f0(x)
f(x) dx=

Z

xdx⇒ln [f(x)] = 1
2x

2_+C_(do_f_(x)_>_0, _∀_x_∈
R).
Do đóln [f(0)] = 1

2 ·0

2₊_C _⇒_C _{= 0}_⇒_ln_f_{(x) =} 1

2x

2 _⇒_f_{(x) = e}1₂x2

⇒f(1) =√e.

Chọn đáp án C 

Câu 87. Cho hàm sốf(x) = sin22x·sinx. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàmf(x).

A. y= 4
3cos

3₋4

5sin

5_x₊_C_. _B_. _y ₌₋4

3cos

3_x₊ 4

5cos

5_x₊_C_.

C. y= 4
3sin

3_x₋ 4

5cos

5_x₊_C_. _D_._y ₌₋4

3sin

3_x₊ 4

5sin

5_x₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z

sin22x·sinxdx= 4

Z

sin3x·cos2xdx
= −4

Z

sin2x·cos2x· d (cosx) = −4

Z

1−cos2x·cos2x· d (cosx)
= −4

Z

cos2x−cos4x· d (cosx) =−4

3cos

3_x₊4

5cos

5_x₊_C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Câu 88. Tích phân

π2

Z

0

sin√x−cos√x

dx=A+Bπ. TínhA+B.

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.

Lời giải.

Đặt y=√x⇒t2 =x⇒2tdt= dx.

Đổi cận x= 0⇒t= 0; x=π2 _⇒_t₌_π _{Suy ra} _I _{= 2}

π

Z

0

(sint−cost)tdt.
Đặt u=t; dv = (sint−cost) dt⇒ du= dt;v =−cost−sint.

I = 2



t(−cost−sint)

π

0 +

π

Z

0

(cost+ sint) dt


= 2

h

π+ (sint−cost)

π

0
i

= 4 + 2π.

NênA= 4; B = 2⇒A+B = 6.

Chọn đáp án B 

Câu 89. Hàm số có đạo hàm bằng 2x+ 1
x2 là

A. y = 2x

3₋₂

x3 . B. y=

x3_{+ 1}

x . C. y=

3x3 _{+ 3x}

x . D. y=

x3 _{+ 5x}₋₁

x .
Lời giải.

Ta xét
Z Å

2x+ 1
x2

ã

dx=x2₋ 1

x +C =

x3₊_Cx₋₁

x .

Chọn C= 5 ta được hàm số thoả yêu cầu bài toán lày= x

3_{+ 5x}₋₁

x .

Chọn đáp án D 

Câu 90. Công thức nào sau đây là sai?

A.
Z

x3dx= 1
4x

4₊_C_. _B_.

Z

dx

sin2x = cotx+C.
C.

Z

sinxdx=−cosx+C. D.
Z ₁

xdx= ln|x|+C.
Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Cách giải: Ta có
Z

dx

sin2x =−cotx+C do đó đáp án B sai.

Chọn đáp án B 

Câu 91. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x3₊_x₋₁ _là:

A. x4 ₊_x2₊_x₊_C_. _B_. _12x2_{+ 1 +}_C_. _C_. _x4₊ 1

2x

2₋_x₊_C_. _D_. _x4₋ 1

2x

2₋_x₊_C_.

Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
Z

xndx= x

n+1

n+ 1 +C.
Cách giải:

Z

f(x) dx= 4· x

4

4 +
x2

2 −x+C =x

4₊ 1

2·x

2₋_x₊_C_.

Chọn đáp án C 

Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
x(lnx+ 2)2?
A.

Z

f(x) dx= 1

lnx+ 2 +C. B.

Z

f(x) dx= −1

lnx+ 2 +C.
C.

Z

f(x) dx= x

lnx+ 2 +C. D.

Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Lời giải.

Phương pháp:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Z _dx

x2 =

−1

x +C và công thức vi phân d [f(x)] = f
0_(x)dx

.

Cách giải:

Z

f(x) dx=

Z

1

x(lnx+ 2)2dx=

Z

d(lnx+ 2)
(lnx+ 2)2 =

−1

lnx+ 2 +C.

Chú ý: HS có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải bài toán này bằng cách đặt t= lnx+ 2.

Chọn đáp án B 

Câu 93. Gọi F(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) =x3−2x2+ 1thỏa mãn F(0) = 5. Khi đó
phương trình F(x) = 5 có số nghiệm thực là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm F(x)sau đó giải phương trình.

Cách giải:

Ta có: F(x) =R (x3−2x2+ 1)dx= x

4

4 −
2x3

3 +x+C.

Lại có: F(0) = 5⇔C = 5⇒F(x) = x

4

4 −
2x3

3 +x+ 5.
F(x) = 5 ⇔ x

4

4 −
2x3

3 +x= 0 ⇔x
Å_x4

4 −
2x3

3 + 1
ã

= 0⇔

"

x= 0
x≈ −1,04

.

Chọn đáp án B 

Câu 94. Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giới hạn
bởi đồ thị hàm số y=√4x−x2 _{và trục hoành.}

A. 31π

3 . B.

32π

3 . C.

34π

3 . D.

35π
3 .
Lời giải.

Ta có √4x−x2 _{= 0}_⇔_4x₋_x2 _{= 0}_⇔
"

x= 0

x= 4.

Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình (H) quanh trục Oxlà

V =π

4
Z

0

Ä√

4x−x2ä2 _dx₌_π
4
Z

0

4x−x2 dx=π
Å

2x2− x

3

3
ã

4
0 =

32π
3 đvtt.

Chọn đáp án B 

Câu 95. Chof, glà hai hàm liên tục trên[1; 3]thoả:
3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx= 10,
3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx=

6. Tính
3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx

A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.

Lời giải.

Đặt I1 =
3
Z

1

f(x) dx, I2 =
3
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>




















3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx= 10

3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6

⇔




















3
Z

1

f(x) dx+ 3

3
Z

1

g(x) dx= 10

2

3
Z

1

f(x) dx−

3
Z

1

g(x) dx= 6

⇔

(

I1+ 3I2 = 10

2I1−I2 = 6

⇔

(

I1 = 4

I2 = 2.

Vậy
3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx=I1+I2 = 6.

Chọn đáp án B 

Câu 96. Tính
Z

(x−sin 2x) dx.

A. x
2

2 + cos 2x+C. B. x

2₊ 1

2cos 2x+C. C.
x2

2 +
1

2cos 2x+C. D.
x2

2 + sinx+C.
Lời giải.

Z

(x−sin 2x) dx= x

2

2 +
1

2cos 2x+C.

Chọn đáp án C 

Câu 97. Giả sử I =

64
Z

1

dx

√

x+√3_x =aln
2

3 +b với a, b là số nguyên. Khi đó giá trịa−b là:

A. −17. B. 5. C. −5. D. 17.

Lời giải.

Đặt √6_x₌_t_⇔_x₌_t6_; _t_≥₀_{. Khi đó ta có} _dx_{= 6t}5_· _dt_.

Ta có

I =

64
Z

1

dx

√

x+√3_x =

2
Z

1

6t5_·_dt

t3₊_t2 =
2
Z

1

6t3_.dt

t+ 1

=

2
Z

1

Å

t2−t+ 1− 1

t+ 1
ã

·dt=
Å_t3

3 −
t2

2 +t−ln|t+ 1|
ã

2

1

= 6 ln2
3 + 11.

Do đóa= 6; b= 11. Vậy a−b =−5.

Chọn đáp án C 

Câu 98. Cho hàm số y =f(x). Đồ thị của hàm số y =f0(x) trên [−5; 3] như hình vẽ (phần cong
của đồ thị là một phần của paraboly=ax2+bx+c).

O

x
y

−4 −1 1 2

−5 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Biết f(0) = 0, giá trị của 2f(−5) + 3f(2) bằng:

A. 33. B. 109

3 . C.

35

3 . D. 11.
Lời giải.

Từ đồ thị ta có f0(x) =











3x+ 14 nếu−5≤x≤ −4

−2

3(x+ 1) nếu−4≤x≤ −1

−x2 + 2x+ 3 nếu−1≤x≤3

.

Suy ra f(x) =

















3· x

2

2 + 14x+ C1 nếu−5≤x≤ −4

−2

3
Å

x2
2 +x

ã

+ C2 nếu−4≤x≤ −1

−x

3

3 +x

2_{+ 3x}_{+ C}

3 nếu−1≤x≤3
.

Mặt khác

f(0) = 0⇒C3 = 0.

f(−1) =−2

3
Å

1
2 −1

ã

+ C2 =−

1

3 + 1−3⇒C2 =−2.
f(−4) = 24−56 + C1 =−

16
3 +

8

3−2⇒C1 =
82

3 .

Khi đó2f(−5) + 3f(2) = 35
3 .

Chọn đáp án C 

Câu 99. Họ các nguyên hàm của hàm số y= cosx+x là

A. sinx+1
2x

2₊_C_. _B_. _sin_x₊_x2₊_C_. _C_. ₋_sin_x₊1

2x

2 ₊_C_. _D_. ₋_sin_x₊_x2₊_C_.

Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

(cosx+x) dx= sinx+1
2x

2₊_C_.

Chọn đáp án A 

Câu 100. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y= 0, x= 0,x= 2. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?

A. S =

Z 2
0

3xdx. B. S =π

Z 2
0

32xdx. C. S =π

Z 2
0

3xdx. D. S =

Z 2
0

32xdx.

Lời giải.

Ta có S =

Z 2
0

|3x| dx=

Z 2
0

3xdx.

Chọn đáp án A 

Câu 101. Tìm tất cả các giá trị thực m thỏa mãn

m

Z

0

(2x+ 1) dx <2.

A. m <−2. B. −2< m <1. C. m≥1. D. m >2.

Lời giải.

Ta có

m

Z

0

(2x+ 1)dx <2⇔ x2+x

m

0 <2⇔m

2₊_m₋₂_<₀_{⇔ −}₂_{< m <}₁_.

Chọn đáp án B 

Câu 102. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên_R và
5
Z

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Giá trị tích phân I =

2
Z

1

f(2x+ 1) dx bằng

A. 4. B. 6. C. 8. D. 12.

Lời giải.

Đặt t= 2x+ 1 ⇒ dt = 2 dx, x= 1⇒t= 3; x= 2 ⇒t= 5.
Vậy I = 1

2

5
Z

3

f(t) dt = 6.

Chọn đáp án B 

Câu 103. Cho hàm sốy =f(x)có đạo hàm, liên tục trên_R, nhận giá trị dương trên khoảng(0; +∞)

và thỏa mãn f(1) = 1, f0(x) =f(x)·(3x2_{+ 2mx}₊_m)_với _m _{là tham số. Giá trị của tham số} _m _để

f(3) =e−4 là

A. m =−2. B. m =√3. C. m=−3. D. m= 4.

Lời giải.

Theo giả thiết ta có f

0_(x)
f(x) = 3x

2_{+ 2mx}₊_m_⇒
Z

f0(x)
f(x) dx=

Z

(3x2+ 2mx+m) dx.
Nênln[f(x)] = x3+mx2+mx+C ⇒f(x) = ex3+mx2+mx+C.

Do f(1) = 1⇒e1+2m+C = 1⇒C =−2m−1.

Vậy f(x) = ex3+mx2+mx−2m−1 ⇒f(3) =e−4 ⇔e26+10m =e−4 ⇔m=−3.

Chọn đáp án C 

Câu 104. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm, liên tục trên

ï₁
3; 3

ò

thỏa mãn f(x) +xf
Å₁

x
ã

=x3₋_x_.

Giá trị tích phân I =

3
Z

1
3

f(x)

x2₊_xdxbằng

A. 8

9. B.

16

9 . C.

2

3. D.

3
4.
Lời giải.

Theo giả thiết f(x) +xf
Å

1
x

ã

=x3₋_x_.
Đặt x= 1

t ⇒ dx=−

1

t2 dt;x= 3⇒t=

1
3;x=

1

3 ⇒t= 3.

Suy ra I =
1
3

Z

3

f
Å

1
t

ã

Å₁
t

ã2
+1

t

·

Å

−1

t2

ã
dt=

3
Z

1
3

tf
Å

1
t

ã

t2 ₊_t dt =
3
Z

1
3

xf
Å

1
x

ã

x2₊_x dx.

⇒2I =

3
Z

1
3

f(x) +xf
Å

1
x

ã

x2₊_x dx=
3
Z

1
3

x3−x
x2₊_xdx=

3
Z

1
3

(x−1) dx= 16
9 .

⇒I = 8

9.

Chọn đáp án A 

Câu 105. Cho hàm số f(x) =

(

7−4x2 khi0≤x≤1

4−x2 khi x >1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số f(x) và các đường thẳngx= 0,x= 3,y = 0.

A. 16

3 . B.

20

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Lời giải.

Phương pháp:Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳngx=a, x=b

(a < b) và các đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) là S=

Z b

a

|f(x)−g(x)|dx.

Cách giải:

Xét các phương trình hồnh độ giao điểm:

4−x2 = 0 ⇔

"

x= 2

x=−2∈/(1; +∞) ⇔x= 2.
7−4x2 _{= 0} _⇔_x₌_±

√

7

2 ∈/ [0; 1].

⇒S =

1
Z

0

7−4x2

dx+

2
Z

1

4−x2

dx+

3
Z

2

4−x2

dx

=

1
Z

0

7−4x2 dx+

2
Z

1

7−4x2 dx+

3
Z

2

7−4x2 dx

= 7−1 + 16
3 −

11
3 −3 +

16
3 = 10.

Câu 106. Cho hàm số f(x) xác định trên _R thỏa mãn f0(x) = 4x+ 3 và f(1) = −1. Biết rằng
phương trình f(x) = 10 có hai nghiệm thực x1,x2. Tính tổng log2|x1|+ log2|x2|.

A. 8. B. 16. C. 4. D. 3.

Lời giải.

Phương pháp:

Sử dụng công thức: f(x) =

Z

f0(x) dxđể tìm hàm số f(x)sau đó giải phương trình và tính tổng đề
bài u cầu.

Ta có: f(x) =

Z

(4x+ 3) dx= 2x3+ 3x+C.

Lại có: f(1) =−1⇒2·1 + 3·1 +C =−1⇔C =−6⇒f(x) = 2x2+ 3x−6.

⇒f(x) = 10⇔2x2_{+ 3x}₋_{6 = 10}_⇔_2x2_{+ 3x}₋_{16 = 0} ₍_∗₎_.
Ta có: ac= 2·(−16) =−32<0⇒(∗) ln có hai nghiệm trái dấu.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:





x1+x2 =−

3
2
x1x2 =−8.

Ta có: log₂|x1|+ log2|x2|= log2|x1x2|= log2|−8|= log223 = 3.

Chọn đáp án D 

Câu 107. Cho hàm số f(x) liên tục trên_R có
3
Z

0

f(x) dx= 8 và
5
Z

0

f(x) dx= 4.

Tính
1
Z

−1

(|4x−1|) dx.

A. 3. B. 6. C. 9

4. D.

11

4 .
Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Ta có: I =

1
Z

−1

f(|4x−1|) dx=

1
4
Z

−1

f(−4x+ 1) dx+

1
Z

1
4

f(4x−1) dx.

XétI1 =
1

4
Z

−1

f(−4x+ 1) dx.
Đặt −4x+ 1 =t ⇒ dt =−4 dx.
Đổi cận:





x=−1⇒t = 5
x= 1

4 ⇒t= 0.

⇒I1 =−

1
4

0
Z

5

f(t) dt= 1
4

5
Z

0

f(t) dt =1
4

5
Z

0

f(x) dx=1

4·4 = 1.

XétI2 =
1
Z

1
4

f(4x−1) dx.

Đặt 4x−1 = t⇒ dt= 4 dx.
Đổi cận:





x= 1 ⇒t= 3
x= 1

4 ⇒t= 0.

⇒I2 =

1
4

3
Z

0

f(t) dt= 1
4

3
Z

0

f(t) dt = 1
4

3
Z

0

f(x) dx= 1

4·8 = 2
I =I1+I2 = 1 + 2 = 3

Chọn đáp án A 

Câu 108. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và thỏa mãn

π

3
Z

0

tanxf(cos2x) dx =

8
Z

1

f(√3 _x)

x dx = 6.

Tính tích phân

√

2
Z

1
2

f(x2₎

x dx.

A. 4. B. 6. C. 7. D. 10.

Lời giải.

Xét tích phân I1 =

π

3
Z

0

tanxf(cos2x) dx= 6.

Đặt t= cos2_x_⇒ _dt₌₋_{2 sin}_x_cos_x_dx_.
Khi x= 0⇒t= 1, x= π

3 ⇒t =
1

4. Ta có

I1 =−

π

3
Z

0

−2 sinxcosx
2 cos2_x f(cos

2_{x) dx}₌
1
Z

1
4

f(t)

2t dt= 6 ⇒

2
Z

1
4

f(x)

2x dx= 6.

Xét tích phân I2 =
8
Z

1

f(√3 _x)
x dx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Khi x= 1⇒t= 1, x= 8⇒t= 2. Ta có

I2 =
2
Z

1

3t2f(t)

t3 dt = 6⇒
2
Z

1

f(x)

2x dx= 1.

Xét tích phân I =
√

2
Z

1
2

f(x2₎

x dx.

Đặt t=x2 ⇒ dt = 2xdx. Khi x= 1

2 ⇒t =
1

2, khix=

√

2⇒t = 2. Ta có

I =
√

2
Z

1
2

2xf(x2₎

2x2 dx=
2
Z

1
4

f(t)
2t dt=

2
Z

1
4

f(x)
2x dx=

1
Z

1
4

f(x)
2x dx+

2
Z

1

f(x)

2x dx= 6 + 1 = 7.

Chọn đáp án C 

Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x2_{+ 3} _là

A. x
3

3 + 3x+C. B. x

3_{+ 3x}₊_C_. _C_. x

3

2 + 3x+C. D. x

2_{+ 3 +}_C_.

Lời giải.

Sử dụng công thức
Z

xndx= x

n+1

n+ 1 +C(n 6=−1).

Chọn đáp án A 

Câu 110 (2D3B2-1). Tích phân
1
Z

0

1

2x+ 5dx bằng

A. 1

2ln
7

5. B.

1
2ln

5

7. C. −

4

35. D.

1
2log

7
5.
Lời giải.

Sử dụng công thức

Z ₁

ax+bdx=
1

aln|ax+b|+C.

Chọn đáp án A 

Câu 111. Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường cong y=−x3_{+ 12x}_và _y₌₋_x2
là

A. S = 397

4 . B. S =
937

12 . C. S =
3943

12 . D. S =
793

4 .
Lời giải.

Phương pháp:Diện tích hình phẳng(H)giới hạn bởi đồ thị hàm sốy=f(x), y =g(x)trục hoành
và hai đường thẳngx=a, x=b được tính theo cơng thứcS =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx.

Cách giải: Giải phương trình−x3 + 12x=−x2 ⇔x3−x2−12x= 0⇔






x= 0
x= 4
x=−3.

Diện tích S của hình phẳng (H) là

S =

4
Z

−3

−x3+ 12x

− −x2

dx=
4
Z

−3

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

=

0
Z

−3

−x3+ 12x+x2

dx+

4
Z

0

−x3+ 12x+x2

dx

=

0
Z

−3

−x3+ 12x+x2 dx+

4
Z

0

−x3+ 12x+x2 dx

=
Å₁

4x

4₋_6x2₋ 1

3x

3

ã

0

−3

+
Å₁

4x

4₋_6x2₋ 1

3x

3

ã



4

0

= 0−

Å₁
4·3

4₋

6·32 +1
3·3

3

ã
+

Å

−1

4·4

4

+ 6·42+ 1
3·4

3

ã

−0 = 937

12.

Chọn đáp án B 

Câu 112. Biết rằng trên khoảng

Å₃
2; +∞

ã

hàm số f(x) = 20x

2₋_30x_{+ 7}

√

2x−3 có một nguyên hàm

F(x) = (ax2₊_bx₊_c)√_2x₋_3,_{(a, b, c}_∈

Z). Tổng S =a+b+c bằng

A. 6. B. 5. C. 4. D. 3.

Lời giải.

Phương pháp: f(x) có một nguyên hàm F(x)⇔(F(x))0 =f(x).

Cách giải:

F (x) = ax2+bx+c√2x−3

⇒(F (x))0 = (2ax+b)√2x−3 + ax

2₊_bx₊_c

√

2x−3 =

(2ax+b) (2x−3) +ax2₊_bx₊_c

√

2x−3
= 5ax

2_{+ (3b}₋_6a)_x₋_3b₊_c

√

2x−3 .

f(x) có một nguyên hàm F(x)⇔(F(x))0 =f(x), khi đó








5a= 20
3b−6a=−30

−3b+c= 7

⇔









a= 4
b=−2
c= 1

.

⇒S =a+b+c= 3.

Chọn đáp án D 

Câu 113. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và f(2) = 16,

2
R
0

f(x) dx = 4. Tính tích phân I =

1
R
0

x·f0(2x) dx

A. 13. B. 12. C. 20. D. 7.

Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng công thức từng phần:

b

Z

a

udv = uv|b_a−
b

Z

a

vdu.

Cách giải:

I =

2
Z

0

x·f0(2x) dx = 1
2

1
Z

0

xd (f(2x))

= 1

2x·f(2x)|

1
0−

1
2

1

Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

= 1

2f(2)−
1
4

1
Z

0

f(2x) d(2x)

đặtt=2x

= 1

2f(2)−
1
4

2
Z

0

f(t) dt

= 1

2f(2)−
1
4

2
Z

0

f(x) dx= 1
2 ·16−

1

4 ·4 = 8−1 = 7.

Chọn đáp án D 

Câu 114. Cho hình phẳng(H)giới hạn bởi đồ thị các hàm số sauy=√x, y = 1đường thẳngx= 4

(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình (H)khi quay quanh đường thẳng y= 1

bằng

x
y

O 1
1

x= 4

4

y= 1

A. 9

2π. B.

119

6 π. C.

7

6π. D.

21
2 π.
Lời giải.

Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ mới. Cho hai hàm số y=
f(x), y =g(x) liên tục trên [a;b]. Khi đó thể tích vật thể tròn
xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y = f(x), y = g(x) và hai
đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là: V =

π

b

Z

a

f2(x)−g2(x)

dx.

Cách giải: Đặt
(

X =x−1
Y =y−1

. Ta được hệ trục tọa độ OXY

như hình vẽ:

x
y

O 1
1

4

3 X

Y

O0

Ta có: y=√x⇔Y + 1 =√X+ 1⇔Y =√X+ 1−1.
Thể tích cần tìm là

V = π

3
Z

0

Ä√

X+ 1−1ä2 dX =π

3
Z

0

Ä

X+ 2−2√X+ 1ä dX

= π
Å₁

2X

2

+ 2X− 4

3(X+ 1)

√

X+ 1
ã

3

0

=π
ïÅ₉

2+ 6−
32

3
ã

−

Å

−4

3
ãò

= 7π
6 .

Chọn đáp án C 

Câu 115. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R có đạo hàm thỏa mãn f0(x) + 2f(x) = 1,∀x ∈ _R và

f(0) = 1. Tích phân
1
R
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

A. 3

2 −
1

e2. B.

3
4 −

1

4e2. C.

1
4−

1

4e2. D. −

1
2−

1
e2.

Lời giải.

Phương pháp: (f·g)0 =f0·g+f ·g0.

Cách giải: Ta có

f0(x) + 2f(x) = 1 ⇔ e2xf0(x) + e2x·2f(x) = e2x

⇔ e2x·f(x)0 = e2x

⇒ e2x·f(x) =

Z

e2xdx

⇔ e2x·f(x) = 1
2e

2x₊_C.

Mà

f(0) = 1

⇒1 = 1

2 +C

⇒C = 1

2

⇒e2x·f(x) = 1
2e

2x₊1

2

⇔f(x) = e

2x_{+ 1}

2e2x .

1
Z

0

f(x) dx =

1
Z

0

e2x_{+ 1}

2e2x dx

=

1
Z

0

Å
1
2+

1
2e

−2x

ã
dx

=
Å

1
2x−

1
4e

−2x

ã



1

0

=
Å₁

2−
1
4e2

ã

−

Å

−1

4
ã

= 3
4−

1
4e2.

Chọn đáp án B 

Câu 116 (2D3Y1-1). Nếu
Z

f(x) dx= x

3

3 + e

x₊_C _thì _f_(x) _bằng

A. f(x) = 3x2+ ex. B. f(x) = x

4

3 + e

x_. _C_. _f_{(x) =} _x2_{+ e}x_. _D_. _f_{(x) =} x

4

12 + e

x_.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx= x

3

3 + e

x₊_C _⇒_f_{(x) =} _x2_{+ e}x_.

Chọn đáp án C 

Câu 117 (2D3Y1-1). Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2019_, _(x_∈

R) là hàm số nào trong các
hàm số dưới đây?

A. F (x) = 2019x2018₊_C, _(C _∈

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

C. F (x) = x

2020

2020 +C, (C ∈R). D.F (x) = 2018x

2019₊_C, _(C _∈
R).

Lời giải.

Áp dụng cơng thức
Z

xndx= x

n+1

n+ 1 +C (n6=−1), ta có

Z

f(x) dx=

Z

x2019dx= x

2020

2020 +C.
Câu 118 (2D3B1-1). Cho hàm số f(x) thoả mãn f0(x) = 27 + cosx và f(0) = 2019. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?

A. f(x) = 27x+ sinx+ 1991. B. f(x) = 27x−sinx+ 2019.

C. f(x) = 27x+ sinx+ 2019. D.f(x) = 27x−sinx−2019.

Lời giải.

Ta có f0(x) = 27 + cosx⇒

Z

f0(x) dx=

Z

(27 + cosx) dx⇒f(x) = 27x+ sinx+C.
Lại có f(0) = 2019⇒27·0 + sin 0 +C = 2019⇔C= 2019⇒f(x) = 27x+ sinx+ 2019.

Chọn đáp án C 

Câu 119 (2D3Y1-1). Hàm số F (x) = ex2

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. f(x) = 2xex2. B. f(x) =x2ex2. C. f(x) = ex2. D. f(x) = e

x2
2x.
Lời giải.

Ta có f(x) = (F(x))0 =Äex2ä0 = 2xex2.

Chọn đáp án A 

Câu 120 (2D3K1-1). Cho hàm sốf(x)có đạo hàm trên_Rthoả mãnf0(x)−2018f(x) = 2018x2017_e2018x

với mọix∈_R, f(0) = 2018. Tínhf(1).

A. f(1) = 2019e2018. B. f(1) = 2019e−2018. C. f(1) = 2017e2018. D. f(1) = 2018e2018.

Lời giải.

Ta có: f0(x)−2018f(x) = 2018x2017_e2018x _⇔_e−2018x_f0_(x)₋_2018e−2018x_f_{(x) = 2018x}2017_.

⇒(e−2018x_f_(x))0 _{= 2018x}2017 _⇒_e−2018x_f_(x) _là₁ _{nguyên hàm của}_2018x2017_.
Ta có:

Z

2018x2017dx=x2018 +C ⇒e−2018xf(x) = x2018+C0.

Màf(0) = 2018⇒2018 =C0 ⇒e−2018xf(x) =x2018+ 2018⇒f(x) = x2018e2018x+ 2018e2018x

⇒f(1) = e2018_{+ 2018e}2018 _{= 2019e}2018_.

Chọn đáp án A 

Câu 121 (2D3Y1-1). Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên _R. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nàosai?

A.
Z

f(x)
g(x)

dx=

Z

f(x) dx

Z

g(x) dx

,(g(x)6= 0,∀x∈R).

B.
Z

f(x)−g(x) dx=

Z

f(x) dx−

Z

g(x) dx.

C.
Z

k·f(x) dx=k

Z

f(x) dx,(k 6= 0, k ∈_R).

D.
Z

f(x) +g(x) dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx.

Lời giải.

Theo tính chất của nguyên hàm ta có mệnh đề sai là
Z

f(x)
g(x)

dx=

Z

f(x) dx

Z

g(x) dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Chọn đáp án A 
Câu 122. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3−x.

A. 3

−x

ln 3 +C. B. −
3−x

ln 3 +C. C. −3

−x₊_C_. _D_. ₋₃−x_{ln 3 +}_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

3−xdx=−3

−x

ln 3 +C.

Chọn đáp án B 

Câu 123. Giả sử f(x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α;β) và a, b, c, b+c ∈ (α;β).
Mệnh đề nào sau đây sai ?

A.

b

Z

a

f(x) dx=

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx. B.

b

Z

a

f(x) dx=

b+c

Z

a

f(x) dx−
c

Z

a

f(x) dx.

C.

b

Z

a

f(x) dx=

b+c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

b+c

f(x) dx. D.

b

Z

a

f(x) dx=

c

Z

a

f(x) dx−
c

Z

b

f(x) dx.

Lời giải.

Dựa vào tính chất của tích phân, với f(x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α;β) và a, b,

c, b+c∈(α;β)ta ln có

b

Z

a

f(x) dx =

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx

=

c

Z

a

f(x) dx−
c

Z

b

f(x) dx

=

b+c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

b+c

f(x) dx.

Vậy mệnh đề sai là

b

Z

a

f(x) dx=

b+c

Z

a

f(x) dx−
c

Z

a

f(x) dx.

Chọn đáp án B 

Câu 124. Giả sử f(x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α;β) và a, b, c, b+c ∈ (α;β).
Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

Z b

a

f(x) dx=

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx. B.
Z b

a

f(x) dx=

Z b+c

a

f(x) dx−

Z a

c

f(x) dx.

C.
Z b

a

f(x) dx=

Z b+c

a

f(x) dx+

Z a

c

f(x) dx. D.
Z b

a

f(x) dx=

Z c

a

f(x) dx−

Z c

b

f(x) dx.

Lời giải.

Dựa vào tính chất của tích phân, với f(x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α;β) và

a,b,c,b+c∈(α;β) ta có:
Z b

a

f(x) dx=

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx=

Z c

a

f(x) dx−

Z c

b

f(x) dx=

Z b+c

a

f(x) dx+

Z b

b+c

f(x) dx.
Vậy mệnh đề sai là

Z b

a

f(x) dx=

Z b+c
a

f(x) dx−

Z a
c

f(x) dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Câu 125. Cho f(x) = x4 ₋ _5x2 _{+ 4}_{. Gọi} _S _{là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số}

y=f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. S =

2
Z

−2

|f(x)|dx. B. S = 2

Z 1
0

f(x)dx

+ 2

Z 2
1

f(x)dx

.

C. S = 2

2
Z

0

|f(x)|dx. D.S = 2

2
Z

0

f(x)dx

.

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f(x) = x4₋_5x2_{+ 4} _{và trục hoành}

x4−5x2+ 4 = 0⇔

"

x2 = 1
x2 = 4

⇔

"

x=±1
x=±2.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

S =

2
Z

−2

|f(x)|dx (1)

= 2

Z 2
0

|f(x)|dx (2) (do f(x) là hàm số chẵn)

= 2

1
Z

0

|f(x)|dx+ 2

2
Z

1

|f(x)|dx

= 2

1
Z

0

f(x)dx

+ 2

2
Z

1

f(x)dx

(3) (do trong các khoảng(0; 1),(1; 2) phương trình f(x) = 0 vơ nghiệm).

Từ (1), (2) và (3) suy ra các đáp án A, B, C là đúng, đáp án D là sai.

Máy tính: Bấm máy kiểm tra, ba kết quả đầu bằng nhau nên đáp án là đáp ánD.

Chọn đáp án D 

Câu 126. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x

sin2x trên khoảng (0;π)là
A. −xcotx+ ln (sinx) +C. B. xcotx−ln|sinx|+C.

C. xcotx+ ln|sinx|+C. D.−xcotx−ln (sinx) +C.

Lời giải.
F(x) =

Z

f(x)dx=

Z _x

sin2xdx.

Đặt




u=x
dv= 1

sin2xdx

⇒

(

du=dx
v =−cotx.

Khi đó:

F(x) =

Z _x

sin2xdx=−x.cotx+

Z

cotxdx=−x.cotx+

Z _cos_x

sinxdx=−x.cotx+

Z _d_(sin_x)

sinx
=−x.cotx+ ln|sinx|+C.

Với x∈(0;π)⇒sinx >0⇒ln|sinx|= ln (sinx).
Vậy F(x) = −xcotx+ ln (sinx) +C

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Câu 127. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x

sin2_x trên khoảng (0;π)là

A. xcotx−ln|sinx|+C. B. .−xcotx+ ln (sinx) +C.

C. −xcotx−ln (sinx) +C. D.xcotx+ ln|sinx|+C.

Lời giải.
F (x) =

Z

f(x)dx=

Z

x
sin2_xdx.
Đặt





u=x

dv = 1

sin2_xdx

⇒

(

du=dx
v =−cotx.

Khi đó: F (x) =

Z _x

sin2_xdx = −x.cotx +
Z

cotxdx = −x.cotx +

Z _cos_x

sinxdx = −x.cotx +

Z

d(sinx)

sinx =−x.cotx+ ln|sinx|+C.

Với x∈(0;π) suy ra sinx >0 suy ra ln|sinx|= ln (sinx).
Vậy F (x) = −xcotx+ ln (sinx) +C.

Chọn đáp án B 

Câu 128. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) +f0(x) = e−x_,_∀_x _∈

R và f(0) = 2. Tất cả các nguyên
hàm của f(x)e2x là

A. (x−1)ex₊_C_. _B_. _(x₋_2)ex₊_ex₊_C_.

C. (x+ 1)ex₊_C_. _D_._(x_{+ 2)e}2x₊_ex₊_C_.

Lời giải.

Chọn C.

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Chuẩn hóaa= 1 (đơn vị
dài). Khi đóSA=√11Đặt OC =OD =b >0;OS =c >0 ta có:

SA2 =SC2 =SO2+OC2 =b2+c2 ⇒b2+c2 = 11(1). Tọa độ các điểmB(0;−b; 0), C(b; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0;c).
Mặt phẳng (SBC) có phương trình x_b + ₋y_b + z_c = 1 ⇒ vtpt của (SBC) là:

Å₁
b;−

1
b;

1
c

ã

. Theo giả

thiết ta có: |cos(n1;n2)| =

1
10 ⇔

|1|
√

1.√2 =
1

10 ⇔

1
c2

2
b2 +

1
c2

= 1
10 ⇔

9
c2 =

2
b2 ⇔ 9b

2 ₋_2c2 _{= 0}_{. Kết}

hợp (1) và (2) ta được: b2 = 2 và c2 = 9 ⇒ b = √2 và c = 3 (do b, c > 0). Vậy CD = OC√2 =
2;SO = 3 ⇒VS.ABCD =

1

3.SABCD.SO=
1
3.2

2_{.3 = 4} _{(đơn vị thể tích). Vậy} _V

S.ABCD = 4a3.

Câu 129.

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn
An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng
một khối trịn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình
vẽ bên dưới. Biết rằng OO0 = 5 cm, OA = 10 cm, OB = 20
cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm

A. Thể tích của chiếc mũ bằng

A. 2750π

3 (cm

3₎_. _B_. 2500π

3 (cm

3₎_.

C. 2050π

3 (cm

3₎_. _D_. 2250π

3 (cm

3₎_.

x
y

O
O0

A
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V.

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA= 10 cm và
đường cao OO0 = 5 cm là V1.

Thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn
bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trụcOy làV2.
Ta có V =V1+V2.

V1 = 5.102π = 500π (cm3).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng (P) :

y=a(x−10)2_.

x
y

O
O0

A(10; 0)
B(0; 20)

y= 1

5(x−10)

2

Vì (P)qua điểm B(0; 20) nên a= 1
5.

Do đó, (P) :y = 1

5(x−10)

2_{. Từ đó suy ra}_x_{= 10}₋√_5y _(do _{x <}₁₀_).

Suy ra V2 =π
20
Z

0

Ä

10−p5yä2dy=π
Å

3000− 8000

3
ã

= 1000
3 π (cm

3₎_.

Do đóV =V1+V2 =

1000

3 π+ 500π =
2500

3 π (cm

3₎_.

Chọn đáp án B 

Câu 130. Giả sử f(x)và g(x) là các hàm số bất kỳ liên tục trên _R và a, b, c là các số thực. Mệnh
đề nào sau đây sai ?

A.

b

Z

a

f(x) dx+

c

Z

b

f(x) dx+

a

Z

c

f(x) dx= 0.

B.

b

Z

a

cf(x) dx=c

b

Z

a

f(x) dx.

C.

b

Z

a

f(x)g(x) dx=

b

Z

a

f(x) dx·
b

Z

a

g(x) dx.

D.

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx+

b

Z

a

g(x) dx=

b

Z

a

f(x) dx.

Lời giải.

Theo tính chất tích phân ta có:

b

Z

a

f(x) dx+

c

Z

b

f(x) dx+

a

Z

c

f(x) dx=

c

Z

a

f(x) dx+

a

Z

c

f(x) dx=

a

Z

a

f(x) dx= 0.

b

Z

a

cf(x) dx=c

b

Z

a

f(x) dx, với c∈_R.

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx+

b

Z

a

g(x) dx=

b

Z

a

f(x) dx−
b

Z

a

g(x) dx+

b

Z

a

g(x) dx=

b

Z

a

f(x) dx.

Chọn đáp án C 

Câu 131. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x.

A. 1

5cos 5x+C. B. cos 5x+C. C. −cos 5x+C. D. −
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Lời giải.

Ta có
Z

sin 5xdx= 1
5

Z

sin 5xd(5x) =−1

5cos 5x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 132. ChoF(x)là nguyên hàm củaf(x) = √ 1

x+ 2 thỏa mãnF(2) = 4. Giá trịF(−1)bằng

A. √3. B. 1. C. 2√3. D. 2.

Lời giải.
F(x) =

Z

f(x) dx=

Z

1

√

x+ 2dx= 2

√

x+ 2 +C.

Theo đề bàiF(2) = 4 nên 2√2 + 2 +C = 4 ⇔C= 0 ⇒F(−1) = 2√−1 + 2 = 2.
Vậy F(−1) = 2.

Chọn đáp án D

Câu 133. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳngx= 0 và x= 4, biết rằng khi cắt
bởi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Oxtại điểm có hồnh độ x(0< x <4) thì được thiết diện

là nửa hình trịn có bán kính R=x√4−x.

A. V = 64

3 . B. V =
32

3 . C. V =
64π

3 . D. V =
32π

3 .
Lời giải.

Ta có diện tích thiết diện làS(x) = 1
2πR

2 ₌ 1

2πx

2₍₄₋_{x) =} 1

2π(4x

2₋_x3₎_.

Thể tích của vật thể cần tìm là:V =

4
Z

0

S(x) dx= 1
2π

4
Z

0

4x2 −x3 dx= 1
2π

Å
4
3x

3₋ 1

4x

4

ã

4

0

= 32π
3 .

Chọn đáp án D 

Câu 134.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = 1
3x

3₋

x2 ₋ 1

3x+ 1 và trục hồnh như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây
sai?

A. S =

1
Z

−1

f(x) dx−

3
Z

1

f(x) dx. B. S = 2

3
Z

1

f(x) dx.

C. S = 2

1
Z

−1

f(x) dx. D. S =

3
Z

−1

|f(x)| dx.

x
y

−1 0 1 3

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành:

1
3x

3₋

x2− 1

3x+ 1 = 0⇔






x=−1
x= 1
x= 3.

Từ hình vẽ ta thấy f(x)>0,∀x∈(−1; 1) và f(x)>0,∀x∈(1; 3).
Do đóS =

3
Z

−1

|f(x)| dx=

1
Z

−1

f(x) dx−

3
Z

1

f(x) dx= 2

1
Z

−1

f(x) dx.
Suy ra các phương án A, C, D đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Câu 135. Cho Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f0(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

x

f0(x)

−∞ −1 1 +∞

−∞
−∞

1
1

−1

−1

+∞

+∞

Hàm số g(x) =f(x)−x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải.

Ta có g0(x) = f0(x)−1;g0(x) = 0 ⇔f0(x) = 1.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y=f0(x) ta có f0(x) = 1 ⇔

"

x=−1
x=x0 >1

.

Bảng xét dấu củag0(x) như sau:

x
g0(x)

−∞ −1 x0 +∞

− 0 − 0 +

Vậy hàm sốg(x) = f(x)−x có một điểm cực trị .

Chọn đáp án D 

Câu 136. Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên _R và có bảng xét dấu đạo hàm
như dưới đây

x
g0(x)

−∞ −1 0 1 2 +∞

− 0 + 0 + 0 − 0 +

Hàm số y= log₂(f(2x)) đồng biến trên khoảng

A. (1; 2). B. (−∞;−1). C. (−1; 0). D. (−1; 1).

Lời giải.

Đặt g(x) = log₂(f(2x)), ta có g0(x) = 2f
0_(x)
f(2x) ln 2.

Theo giả thiết ta có f(2x)>0 với mọix∈_R. Do đó

g0(x)≥0⇔f0(2x)≥0⇔

"

−1≤2x≤1

2x≥2

⇔




− 1

2 ≤x≤

1
2
x≥1

và có dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm, suy ra hàm sốy=g(x)đồng biến trên các khoảng

Å

−1

2;
1
2

ã

và (1; +∞). Vậy hàm số đồng biến trên(1; 2).

Chọn đáp án A 

Câu 137. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyênm sao cho tồn tại hai số phức phân biệtz1, z2 thỏa
mãn đồng thời các phương trình|z−1|=|z−i| và |z+ 2m|=m+ 1. Tổng tất cả các phần tử của

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Lời giải.

Giả sử z =x+yi (x, y ∈_R). Ta có |z+ 2m|=m+ 1≥0.

TH1: m+ 1 = 0⇔m =−1⇒z = 2 (loại) vì khơng thỏa mãn phương trình |z−1|=|z−i|

TH2: m+ 1 >0⇔m >−1 (1).
Theo bài ra ta có

(

|z−1|=|z−i|
|z+ 2m|=m+ 1

⇔

(

|(x−1) +yi|=|x+ (y−1)i|
|(x+ 2m) +yi|=m+ 1

⇔

(

(x−1)2+y2 =x2+ (y−1)2
(x+ 2m)2+y2 = (m+ 1)2

⇔

(

y=x

(x+ 2m)2 = (m+ 1)2

⇔

(

y=x

2x2+ 4mx+ 3m2−2m−1 = 0(∗)
.

Để tồn tại hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình (∗) có
hai nghiệm phân biệt

⇔∆0 = 4m2−2(3m2−2m−1) = 2(−m2+ 2m+ 1)>0⇔1−√2< m <1 +√2 (2)

Từ (1), (2) vàm ∈_Z ta nhận đượcS ={0; 1; 2}.
Vậy tổng các phần tử của S là 0 + 1 + 2 = 3.

Chọn đáp án D 

Câu 138. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàBvớiAB =BC =a,

AD = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SD.

A. a

√

6

6 . B.

a√6

2 . C.

a√6

3 . D.

a√3
3 .
Lời giải.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A(0; 0; 0),B(a; 0; 0), C(a;a; 0), D(0; 2a; 0) và S(0; 0;a).
Khi đó ta có

# »

AC = (a;a; 0), SD# » = (0; 2a;−a), SA# » = (0; 0;−a),

[AC;# » SD] = (# » −a;a; 2a) và

[AC;# » SD]# » ·SA# »=−a·0 +a·0 + 2a·(−a) =−2a2.
Vậy ta có

d(AC, SD) = |[

# »

AC;SD]# » ·SA# »|
|[AC;# » SD]# »| =

2a2

√

a2₊_a2_{+ 4a}2 =

√

6
3 a.

B

A D

S

C

a

a
a

2a

x

y
z

Chọn đáp án C 

Câu 139.

Người ta sản xuất một vật lưu niệm(N)bằng thủy tinh trong
suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục của nó là
một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong(N)có hai khối
cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt làR = 3 cm, r= 1 cm tiếp
xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N),
đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của

(N). Tính thể V tích vật lưu niệm đó

A. V = 485π
6 (cm

3_). _B_. _V _{= 81π} _(cm3_).

C. V = 72π (cm3_). _D_. _V ₌ 728π

9 (cm

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

Lời giải.

L
J

K

S

F N

G

D

C

I

H
M

E

Gọi tâm của hai đường tròn trong(N)làC vàD. Ta có GS là tiếp tuyến chung của hai đường trịn
tại K và J. Khi đó DJ ⊥GS,CK ⊥GS.

Kẻ DN k GS (N ∈ IS), khi đó DHKJ là hình chữ nhật nên HK = DJ = 1 cm, do đó ta có

CH = 2 cm.

Ta có tam giác DHC đồng dạng với tam giácGJ D nên DJ

CH =
GD

CD ⇒DG=

DJ ·CD

CH = 2 cm, từ

đó suy raGF = 9 cm.

Ta lại có tam giác DHC đồng dạng với tam giác GF S nên DS

DC =
GF

DH ⇒ GS =

DC·GF
DH =
DC·GF

√

DC2 ₋_CH2 = 6

√

3 cm, từ đó suy ra F S =√GS2₋_GF2 _{= 3}√₃ _cm.

Vì tam giác GEL đồng dạng với tam giác GF S nên EL

F S =
GE

GF ⇒ EL =

GE·F S
GF =

3√3
9 =

√

3
3

cm.

Vì (N) là khối nón cụt nên V(N) =

1
3(EL

2₊_{F S}2₊_EL_·_{F S)}_·_EF ₌ 728π

9 .

Chọn đáp án D 

Câu 140.

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnhA1,A2,B1, B2
như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B1, trục
đối xứng B1B2 và đi qua các điểmM, N. Sau đó sơn phần tơ đậm
với giá 200.000 đồng/m2 và trang trí đèn led phần cịn lại với giá

500.000 đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào
dưới đây? Biết rằng A1A2 = 4m,B1B2 = 2m,M N = 2m.

M B2

B1

A2

A1

N

A. 2.431.000 đồng. B. 2.057.000 đồng. C. 2.760.000 đồng. D. 1.664.000 đồng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2.
Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0;−1),B2(0; 1).
Phương trình đường Elip(E) : x

2

4 +

y2

1 = 1⇔y =±
…

1− x

2

4.

Ta có M
Ç
−1;
√
3
2
å
,N
Ç
1;
√
3
2
å

∈(E).

Parabol(P)có đỉnhB1(0;−1)và trục đối xứng làOxnên(P)
có phương trình y=ax2−1, (a >0), đi qua M, N.

x
y

−2 2
1

−1

M B2

B1

A2

O
A1

N

⇒a=

√

3

2 + 1⇒(P)có phương trình y=
Ç√

3

2 + 1

å

x2−1.
Diện tích phần tơ đậm

S1 = 2
1
Z

0
" 

1− x

2

4 −
Ç√

3
2 + 1

å
x2+ 1

#
dx=
1

Z
0
√

4−x2_dx₋ 2

3
Ç√

3
2 + 1

å
+ 2.

Đặt x= 2 sint, t∈h−π

2;
π
2

i

⇒dx= 2 costdt. Đổi cận: x= 0⇒t= 0;x= 1 ⇒t= π
6.

⇒S1 =

π

6
Z

0
p

4−4 sin2t·2 costdt− 2

3
Ç√

3
2 + 1

å

+ 2 = 4

π

6
Z

0

cos2tdt−
√
3
3 +
4

3
= 2
π
6
Z
0

(1 + cos 2t) dt−
√

3
3 +

4

3 = (2t+ sin 2t)

π
6
0
−
√
3
3 +
4
3 =

π
3 +
√
3
6 +
4
3.

Diện tích hình Elip là S =πab = 2π.

⇒ Diện tích phần cịn lạiS2 =S−S1 =

5π
3 −
√
3
6 −
4
3.

Kinh phí sử dụng là 200000S1+ 500000S2 ≈2341000 (đồng).

Chọn đáp án A 

Câu 141. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp 2 trên _R thỏa mãn f0(1) = 1 và f(1−x) +x2_f00_{(x) = 2x}

với mọix∈_R. Tích phân
1
Z

0

xf0(x) dx bằng

A. 1. B. 2. C. 0. D. 2

3.
Lời giải.

Từ giả thiếtf(1−x) +x2f00(x) = 2x⇒f(1) = 0.
Suy ra

1
Z

0

x2f00(x) dx=

1
Z

0

2xdx−

1
Z

0

f(1−x) dx.

Đặt
(

u=x2

dv =f00(x) dx

⇒

(

du= 2xdx
v =f0(x).

Khi đó
1
Z

0

x2f00(x) dx=x2f0(x)

1

0
−2
1
Z
0

xf0(x) dx= 1−2I.

Mà
1
Z

0

2xdx−

1
Z

0

f(1−x) dx=x2

1
0
−

1
Z
0

f(x) dx= 1−

1
Z

0

f(x) dx= 1−xf(x)

1
0
+
1
Z
0

xf0(x) dx= 1+I.
Suy ra 1−2I = 1 +I ⇒I = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Câu 142. Tính tích phân I =

2

Z

1

x−1
x dx
A. I = 1−ln 2. B. I = 7

4. C. I = 1 + ln 2. D. I = 2 ln 2.
Lời giải.

Ta có

I =

2
Z

1

x−1
x dx=

2
Z

1

Å
1− 1

x
ã

dx = (x−ln|x|)|2₁

= (2−ln 2)−(1−ln 1)
= 1−ln 2

Chọn đáp án A 

Câu 143. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

1−2x trên
Å

−∞;1

2
ã

.

A. 1

2ln|2x−1|+C. B.
1

2ln|1−2x|+C. C. −
1

2ln|2x−1|+C. D. ln|2x−1|+C.
Lời giải.

Trên khoảng

Å

−∞;1

2
ã

, ta có
Z

f(x)dx=−1

2

Z

1

1−2xd(1−2x) =−
1

2ln|2x−1|+C.

Chọn đáp án C 

Câu 144. Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x

4, y= 0,x = 1, x= 4. Tính thể tích

vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình(D) quanh trục Ox.

A. 15

16. B.

15π

8 . C.

21π

16 . D.

21
16.
Lời giải.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

V =π·

4
Z

1
x

4

2

dx= πx

3

48

4

1

= 21π
16 .

Chọn đáp án C 

Câu 145. Biết rằng hàm số F(x) = mx3 + (3m+n)x2 −4x+ 3 là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = 3x2+ 10x−4. Tính mn.

A. mn= 1. B. mn= 2. C. mn= 0. D. mn= 3.

Lời giải.

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên F0(x) =f(x),∀x∈_R.
Khi đó,3mx2_{+ 2(3m}₊_n)x₋_{4 = 3x}2_{+ 10x}₋_4,_∀_x_∈

R⇔
(

3m = 3

2(3m+n) = 10

⇔

(

m= 1
n= 2.

Vậy m.n= 2

Chọn đáp án B 

Câu 146. Tích phân I =

1
Z

0

(x−1)2

x2_{+ 1} dx= a−lnb trong đó a, b là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức a+b .

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Lời giải.

Ta có

I =

1
Z

0

(x−1)2
x2_{+ 1} dx

=

1
Z

0

Å

1− 2x

x2_{+ 1}

ã
dx

= x

1

0

−ln x2 + 1




1

0

= 1−ln 2

⇒

(

a= 1

b = 2 ⇒a+b = 3.

Chọn đáp án D 

Câu 147. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2(x2₋_1);_y_{= 1}₋_x2_{. Tính thể tích}
khối trịn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox.

A. 64π

15 . B.

32

15. C.

32π

15 . D.

64
15.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị hàm sốy= 2(x2₋₁₎
và y= 1−x2 _là

2(x2−1) = 1−x2 ⇔x=±1.

Lấy đối xứng đồ thị hàm số y= 2(x2₋₁₎_{qua trục}_Ox _{ta được đồ}
thị hàm số y= 2(1−x2₎_.

Ta có 2(1−x2)≥1−x2,∀x∈[−1; 1].

Khi đó trên đoạn [−1; 2] phần thể tích của hàm số y = 2(x2−1)

chứa cả phần thể tích của hàm sốy= 1−x2.

x
y

O

−1 1
1
2

−2

y= 2x2₋₂

y= 1−x2

y=−2x2+ 2

Suy ra thể tích khối trịn xoay cần tìm là

V =π

1
Z

−1

2(x2−1)2 dx= 64π
15 .

Chọn đáp án A 

Câu 148. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f0(x) = (x−1)(x2 ₋_3)(x4 ₋₁₎ _{với mọi} _x _∈

R. So sánh

f(−2),f(0), f(2) ta được

A. f(2)< f(0) < f(−2). B. f(0)< f(−2)< f(2).

C. f(−2)< f(2) < f(0). D.f(−2)< f(0)< f(2).

Lời giải.

Ta có f0(x) = (x−1)(x2₋_3)(x4₋_{1) =}_x7₋_x6₋_3x5_{+ 3x}4₋_x3₊_x2_{+ 3x}₋₃_.

I1 =
Z 0

−2

f0(x)dx=

Z 0

−2

(x7−x6−3x5+ 3x4−x3+x2+ 3x−3)dx=−464

105 <0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

I2 =
Z 2

0

f0(x)dx=

Z 2
0

(x7−x6−3x5+ 3x4−x3+x2+ 3x−3)dx=− 44

105 <0.

⇒f(2)−f(0) <0⇒f(2) < f(0).
Vậy f(2) < f(0)< f(−2).

Chọn đáp án A 

Câu 149. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

cos2_x. Biết F
π

4 +kπ

=k với mọi

k∈_Z. Tính F(0) +F(π) +F(2π) +· · ·+F(10π).

A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x)dx=

Z

dx

cos2_x = tanx+C.

Suy ra F(x) =








































tanx+C0, x∈

Å
−π
2;
3π
2
ã

tanx+C1, x∈
π

2;
π
2

tanx+C2, x∈

Å

3π
2 ;
5π
2
ã
· · ·

tanx+C9, x∈

Å
17π
2 ;
19π
2
ã

tanx+C10, x∈

Å
19π
2 ;
21π
2
ã
⇒
































F
π

4 + 0π

= 1 +C0 = 0 ⇒C0 =−1

F

π

4 +π

= 1 +C1 = 1⇒C1 = 0

F

π

4 + 2π

= 1 +C2 = 2 ⇒C2 = 1

· · ·

F

π

4 + 9π

= 1 +C9 = 9 ⇒C9 = 8

F π

4 + 10π

= 1 +C10 = 10⇒C10 = 9.
Vậy F(0) +F(π) +F(2π) +· · ·+F(10π) = tan 0−1 + tanπ+ tan 2π+ 1 +· · ·+ tan 10π+ 9 = 44.

Chọn đáp án B 

Câu 150. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên _R và thỏa mãn
Z 1

0

f(x)dx= 1, f(1) = cot 1.
Tính tích phânI =

Z 1
0

f(x) tan2x+f0(x) tanxdx

A. −1. B. 1−ln(cos 1). C. 0. D. 1−cot 1.

Lời giải.

Ta có I =

Z 1
0

f(x) tan2x+f0(x) tanxdx=

Z 1
0

f(x) tan2xdx+

Z 1
0

f0(x) tanxdx.
Mà

Z 1
0

f(x) tan2xdx=

Z 1
0

f(x)
Å

1
cos2_x −1

ã
dx=

Z 1
0

f(x)
cos2_xdx−

Z 1
0
f(x)dx=
Z 1
0
f(x)

cos2_xdx−1.
Z 1

0

f0(x) tanxdx=

Z 1
0

tanxd(f(x)) = f(x)·tanx|1₀−

Z 1
0

f(x)

cos2_xdx= 1−
Z 1

0

f(x)
cos2_xdx.
Vậy I = 0.

Chọn đáp án C 

Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2+ sinx là

A. x3 _{+ cos}_x₊_C_. _B_. _6x_{+ cos}_x₊_C_. _C_. _x3₋_cos_x₊_C_. _D_. _6x₋_cos_x₊_C_.

Lời giải.

Z

3x2+ sinx dx= 3· x

3

3 −cosx+C =x

3₋

cosx+C.

Chọn đáp án C 

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

thức

A. S =

b

Z

a

|f(x)|dx. B. S =π

b

Z

a

|f(x)|dx. C. S =

b

Z

a

f(x) dx

. D. S =

π

b

Z

a

f(x) dx

.

Lời giải.

Cơng thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳngy= 0, x=a, x=b(a < b)và
đồ thị hàm số y=f(x)là S=

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án A 

Câu 153.

Diện tích hình phẳng bơi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định
theo công thức

A.
2
Z

−1

2x2−2x−4 dx. B.
2
Z

−1

2x2+ 2x−4 dx.

C.
2

Z

−1

−2x2+ 2x+ 4 dx. D.

2
Z

−1

−2x2−2x+ 4 dx. _x

y

O

−1 2

y=x2₋₂_x₋₁

y=−x2+ 3

Lời giải.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy cơng thức tính diện tích hình phẳng cần tính là
2

Z

−1

−x2+ 3−x2+ 2x+ 1

dx=

2
Z

−1

−2x2+ 2x+ 4

dx.

Chọn đáp án C 

Câu 154. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x+ 3
x2_{+ 3x}_{+ 2} là

A. ln|x+ 1|+ 2 ln|x+ 2|+C. B. 2 ln|x+ 1|+ ln|x+ 2|+C.

C. 2 ln|x+ 1| −ln|x+ 2|+C. D.−ln|x+ 1|+ 2 ln|x+ 2|+C.

Lời giải.

Ta có:

I =

Z

f(x)dx=

Z _x_{+ 3}

x2_{+ 3x}_{+ 2}dx=

Z _x_{+ 3}

(x+ 1)(x+ 2)dx
=

Z Å ₂

x+ 1 −
1
x+ 2

ã

dx= 2 ln|x+ 1| −ln|x+ 2|+C.

Chọn đáp án C 

Câu 155. Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho
3

Z

2

(4x+ 2) lnxdx=a+bln 2 +cln 3. Giá trị củaa+b+c bằng

A. 19. B. −19. C. 5. D. −5.

Lời giải.

Đặt I =

3
Z

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Đặt
(

u= lnx

dv = (4x+ 2)dx

⇔





du= dx
x

v = 2x2+ 2x= 2x(x+ 1)

Khi đó

I = [2x(x+ 1) lnx]|3
2−

3
Z

2

2x(x+ 1)
x dx

I = 24 ln 3−12 ln 2−2

3
Z

2

(x+ 1)dx

I = 24 ln 3−12 ln 2−2
Å_x2

2 +x
ã

3₂

I = 24 ln 3−12 ln 2−2
Å₁₅

2 −4
ã

I = 24 ln 3−12 ln 2−7 = a+bln 2 +cln 3.

⇒









a=−7

b=−12⇒a+b+c=−7−12 + 24 = 5
c= 24

.

Chọn đáp án C 

Câu 156. Cho hàm số f(x) >0 với mọi x ∈ _R, f(0) = 1 và f(x) = √x+ 1·f0(x) với mọi x ∈ _R.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 4< f(3) <6. B. f(3)<2. C. 2< f(3)<4. D. f(3) >6.

Lời giải.

Phương pháp:

+) Từ giả thiết suy ra f

0_(x)
f(x) =

1

√

x+ 1.

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 vế.

Cách giải:

Theo bài ra ta có: f(x) = √x+ 1f0(x) (*)
Do f(x)>0∀x∈R nên từ (*) ta có f

0_(x)
f(x) =

1

√

x+ 1.

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
Z _f0_(x)

f(x) dx=

Z ₁

√

x+ 1dx

⇔ln|f(x)|dx = 2√x+ 1 +C ⇔lnf(x) = 2√x+ 1 +C ⇔f(x) =e2√x+1+C_.

Ta có f(0) = 1⇒1 = e2+C _⇔_{2 +}_C _{= 0}_⇔_C ₌₋₂_.

Do đóf(x) =e2√x+1−2 _⇒_f_{(3) =}_e2 _≈_7,₄_>₆_.

Chọn đáp án D 

Câu 157. Cho hàm số y = 1
2x

2 _{có đồ thị} _(P₎_{. Xét các điểm} _{A, B} _thuộc _(P₎ _{sao cho tiếp tuyến tại}

AvàB của(P)vng góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi(P)và đường thẳngAB bằng

9

4. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của (x1+x2)

2
bằng

A. 7. B. 5. C. 13. D. 11.

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

(P) :y= 1
2x

2

Tập xác định: D =_R. Ta có y0 =x

Giả sử A
Å

x1;

1
2x

2
1

ã
;B

Å
x2;

1
2x

2
2

ã

∈(P)(x1 6=x2).

Phương trình tiếp tuyến tại điểmAcủa(P)lày=x1(x−x1) +

1
2x

2
1 ⇔

y=x1x−

1
2x

2

1(d1).

Phương trình tiếp tuyến tại điểmB của(P)lày =x2(x−x2) +

1
2x

2
2 ⇔

y=x2x−

1
2x

2
2(d2).

Do (d1)⊥(d2)nên ta có x1x2 =−1⇔x2 =

−1
x1

.

x
y

O
x1

1
2x

2
1

x2
1

2x
2
2

Phương trình đường thẳng AB:

x−x1

x2−x1

=

y−1

2x

2
1

1

2x

2
2−

1
2x

2
1

⇔ 1

2(x−x1) x

2
2−x

2
1

=
Å

y−1

2x

2

1

ã

(x2−x1)

⇔ (x−x1)(x2+x1) = 2y−x21

⇔ (x1+x2)x−2y−x1x2 = 0

⇔ y = 1

2[(x1+x2)x−x1x2] =
1

2[(x1 +x2)x+ 1]

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

S= 1
2

x2

Z

x1

(x1+x2)x+ 1−x2

dx

⇔ 9

4 =
1
2

Å

(x1+x2)

x2

2 +x−
x3

3
ã

x_x2

1

⇔ 9

4 =
1

2

ï

(x1+x2)

Å
x2₂

2 −
x2₁

2
ã

+ (x2−x1)−

x3₂ −x3₁
3

ò

⇔ 9

4 =
1

2(x1+x2) x

2

2 −x

2
1

+ (x2−x1)−

x3
2−x31

3

⇔ 27 = 3 x1x22−x
3
1+x

3
2 −x

2
1x2

+ 6 (x2−x1)−2x32+ 2x
3
1

⇔ 27 = 3x1x22−3x1x22+x

3
2−x

3

1+ 6(x2−x1)

⇔ 27 =−3(x2−x1) + (x2−x1) x21+x
2
2−1

+ 6(x2−x1)

⇔ 27 = 3(x2−x1) + (x2−x1) x21+x22 −1

⇔ 27 = (x2−x1) x21+x
2
2+ 2

⇔ 27 = (x2−x1) x21+x
2

2−2x1x2

⇔ 27 = (x2−x1)(x2−x1)
2

= (x2−x1)
3

⇔ x2−x1 = 3

Thay x2 =

−1
x1

ta có:

−1
x1

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

⇔ −1−x2₁−3x1 = 0

⇔







x1 =

−3−√5

2 ⇒x2 =
2
3 +√5
x1 =

−3 +√5

2 ⇒x2 =

−2

−3 +√5

⇔ (x1 +x2)2 = 5.

Chọn đáp án B 

Câu 158. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 1 là

A. F(x) = 2x2+x. B. F(x) = 2.

C. F(x) =C. D.F(x) = x2+x+C.

Lời giải.

Ta có

F(x) =

Z

f(x) dx=

Z

(2x+ 1) dx=x2+x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 159. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ex2

(x3₋_4x)_{. Hàm số} _F _(x2₊_x) _có
bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.

Lời giải.

Ta có

F(x) =

Z

ex2 x3−4x

dx =

Z

ex2 x2−4

xdx
= 1

2 ·

Z

(x2−4) d(ex2) = 1
2

ï

(x2−4)·ex2 −2·

Z

xex2dx
ò

= 1
2·(x

2₋_5)ex2
+C.

Đặt g(x) =F(x2₊_x)_.

Suy ra g(x) =F(x2₊_{x) =} 1

2·[(x

2₊_x)2 ₋_5]_·_e(x2₊_x₎2
+C.

⇒g0(x) = (x2₊_{x) (2x}_{+ 1)e}(x2+x)2ỵ

(x2₊_x)2₋₄ó_.

g0(x) =x(x+ 1)(2x+ 1) (x2₊_x₋_{2) (x}2₊_x_{+ 2)}_e(x2₊_x₎2

g0(x) = 0⇔










x= 0
x=±1
x= −1
2
x=−2

.

Vậy hàm sốF (x2₊_x)_{có 5 điểm cực trị.}

Chọn đáp án B 

Câu 160. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 6, AC = 8 và M là trung điểm của cạnh

AC. Khi đó thể tích của khối trịn xoay do tam giác BM C quanh cạnh AB là

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Lời giải.

Khi quay tam giácBM C quanh cạnhABtạo ra 2 khối tròn xoay có
thể tích là:V = 1

3π·AC

2_·_AB₋1

3π·AM

2_·_AB₌ 1

3π·8

2_·₆₋1

3π·4

2_·_{6 =}

96π.

B

A M C

N

Chọn đáp án C 

Câu 161. Cho hàm sốf(x)>0vớix∈_R,f(0) = 1vàf(x) = √x+ 1·f0(x)với mọix∈_R. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?

A. f(3)<2. B. 2< f(3) <4. C. 4< f(3)<6. D. f(3) < f(6).

Lời giải.

Do giả thiết f(x)>0với x∈_Rvà f(x) =√x+ 1·f0(x) suy ra √x+ 1>0.
Khi đóf(x) =√x+ 1·f0(x)⇔ f

0_(x)
f(x) =

1

√

x+ 1.

Suy ra
Z

f0(x)
f(x) dx=

Z

1

√

x+ 1dx (∗).

Mà
Z

f0(x)
f(x) dx=

Z

df(x)

f(x) = ln|f(x)|+C1. Vìf(x)>0 nên

Z

f0(x)

f(x) dx= lnf(x) +C1.

Mặt khác
Z

1

√

x+ 1 dx=

Z

d (x+ 1)

√

x+ 1 = 2

√

x+ 1 +C2.
Từ (∗) suy ra lnf(x) = 2√x+ 1 +C ⇒f(x) = e2

√

x+1+C_.

Do f(0) = 1 nên e2+C = 1⇔2 +C= 0 ⇔C =−2 suy ra f(x) = e2

√

x+1−2_.
Khi đóf(3) = e2

√

3+1−2 _{= e}2 _và_f_{(6) = e}2√7−2 _{suy ra} _f₍₃₎_{< f}₍₆₎_.

Chọn đáp án D 

Câu 162. Cho
Z

2x(3x−2)6dx =A(3x−2)8 +B(3x−2)7+C với A, B, C ∈ _R. Tính giá trị của
biểu thức 12A+ 7B.

A. 23

252. B.

241

252. C.

52

9 . D.

7

9.
Lời giải.

Ta có

Z

2x(3x−2)6dx
= 2

3

Z

3x(3x−2)6dx
= 2

3

Z

(3x−2)7+ 2(3x−2)6dx

= 2
3

ï ₁

3·8·(3x−2)

8

+ 2

3·7·(3x−2)

7

ò
+C
= 1

36·(3x−2)

8₊ 4

63·(3x−2)

7₊_C.

Suy ra A= 1
36, B =

4

63 nên 12A+ 7B =
7
9.

Chọn đáp án D 

Câu 163. Tìm nguyên hàm của hàm số y =x2₋_3x₊ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

A. x
3

3 −
3x2

2 −ln|x|+C. B.
x3

3 −
3x2

2 +
1
x2 +C.

C. x
3

3 −
3x2

2 −lnx+C. D.

x3

3 −
3x2

2 + ln|x|+C.
Lời giải.

I =

Z Å

x2−3x+ 1
x

ã

dx= x

3

3 −
3x2

2 + ln|x|+C

Chú ý khi giải: Dùng dấu giá trị tuyệt đối khi cóln|x|, học sinh có thể chọn nhầm đáp án C.

Chọn đáp án D 

Câu 164. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] và
Z 10

0

f(x) dx= 7 và
Z 6

2

f(x) dx= 3.
Tính P =

Z 2
0

f(x) dx+

Z 10
6

f(x) dx.

A. P =−4. B. P = 10. C. P = 7. D. P = 4.

Lời giải.

Ta có:
Z 10

0

f(x) dx=

Z 2
0

f(x) dx+

Z 6
2

f(x) dx+

Z 10
6

f(x) dx

⇒P =

Z 2
0

f(x) dx+

Z 10
6

f(x) dx=

Z 10

0

f(x) dx−

Z 6
2

f(x) dx= 7−3 = 4.

Chọn đáp án D

Câu 165. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = x−cosx

x2 . Hỏi đồ thị của hàm số y=F(x)
có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B. Vơ số điểm. C. 2. D. 0.

Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

f(x) dx⇒F0(x) =f(x).

⇒F0(x) = 0 ⇔ x−cosx

x2 = 0 (x6= 0)⇔g(x) =x−cosx= 0.
Xét hàm số g(x) =x−cosx ta cóg0(x) = 1 + sinx≥0,∀x∈_R.

Do đó hàm số g(x)đồng biến trên _R⇒ phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án A 

Câu 166. Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f(0) = 0. Biết
1

Z

0

f2(x) dx= 9
2 và

1
Z

0

f0(x) cosπx
2 dx=

3π

4 . Tích phân

1
Z

0

f(x) dx bằng.

b

Z

a

f(x) dx.

A. 6

π . B.

2

π. C.

4

π. D.

1
π.
Lời giải.

Phương pháp

Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân
1
Z

0

f0(x) cosπx
2 dx=

3π
4 .

Xét
1
Z

0
h

f(x) +ksinπx
2

i2

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

−ksinπx
2 dx.

Cách giải
Đặt





u= cosπx
2
dv=f0(x) dx

⇒





du=−π

2sin
πx

2 dx
v =f(x)

.

⇒

1
Z

0

f0(x) cos πx

2 dx = cos
πx

2 f(x)

1
0
+ π
2
1
Z

0

f(x) sinπx
2 dx

= f(1)·cosπ

2 −f(0)·cos 0 +
π
2

1
Z

0

f(x) sinπx
2 dx
= π
2
1
Z
0

f(x) sinπx
2 dx=

3π
4 ⇒

1
Z

0

f(x) sinπx
2 dx=

3
2.

Xét tích phân
1
Z

0
h

f(x) +ksinπx
2

i2

dx= 0 ⇔

1
Z

0
h

f2(x) + 2kf(x) sinπx
2 +k

2_sin2πx

2

i

dx= 0

⇔

1
Z

0

f2(x) dx+ 2k

1
Z

0

f(x) sinπx
2 +k

2

1
Z

0

sin2πx

2 dx= 0

⇔ 9

2+ 2k
3
2 +

1
2k

2 _{= 0}

⇔ k =−3.

Khi đó ta có
1
Z

0
h

f(x)−3 sinπx

2

i2

dx= 0 ⇔f(x)−3 sinπx

2 = 0 ⇔f(x) = 3 sin
πx
2 .
Vậy
1
Z
0

f(x)dx= 3

1
Z

0

sinπx

2 dx=−3

cosπx
2
π
2

1
0

= −6
π cos
πx
2




1
0

=−6

π

cosπ

2 −cos 0

= 6

π.

Chọn đáp án A 

Câu 167. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên _R thỏa mãn f(2x) = 3f(x),∀x ∈ _R. Biết rằng
1

Z

0

f(x)dx= 1. Tính tích phân I =

2
Z

1

f(x)dx.

A. I = 3. B. I = 5. C. I = 2. D. I = 6.

Lời giải.

Ta có I =

2
Z
1
f(x)dx=

2
Z
0
f(x)dx−
1
Z
0
f(x)dx=
2
Z
0

f(x)dx−1 =J −1,
Đ

với J =

2
Z
0
f(x)dx
é
.

Mặt khác ta có 1 =

1
Z

0

f(x)dx= 1
3

1
Z

0

3f(x)dx= 1
3

1
Z

0

f(2x)dx= 1 ⇒

1
Z

0

f(2x)dx = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Đổi cận:
(

x= 0 ⇒t = 0

x= 1 ⇒t = 2.

⇒

1
Z

0

f(2x)dx=

2
Z

0

f(t)dt=

2
Z

0

f(x)dx= 3 ⇒J = 3.

Vậy I =

2
Z

1

f(x)dx= 3−1 = 2.

Chọn đáp án C 

Câu 168.

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=f(x), trục hoành và hai đường thẳngx =a, x=b (a < b)

(phần tơ đậm trong hình vẽ). Tính theo cơng thức nào dưới
đây?

A. S=−
c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx.

B. S=

b

Z

a

f(x) dx

.

C. S=

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx.

D. S=

b

Z

a

f(x) dx.

x
y

O
a

b
c

Lời giải.

Ta có: S =

b

Z

a

|f(x)|dx=

c

Z

a

|f(x)|dx+

b

Z

c

|f(x)|dx=−
c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx.

Chọn đáp án A 

Câu 169. Cho hình phẳng (H)giới hạn bởi đồ thị y= 2x−x2 _{và trục hoành. Tính thể tích} _V _vật
thể trịn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox.

A. V = 16

15π. B. V =
16

15. C. V =
4

3. D. V =
4
3π.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm là 2x−x2 _{= 0}_⇔
"

x= 0
x= 2.

Thể tíchV =π

2
Z

0

(2x−22)2dx=π

2
Z

0

(4x2−4x3+x4) dx=π
Å

4x

3

3 −x

4₊ x
5

5
ã

2
0 =

16
15π.

Chọn đáp án A 

Câu 170. Cho hàm số f(x) liên tục trên_R và
2
Z

0

f(x) + 3x2 dx= 10. Tính
2
Z

0

f(x) dx.

A. −18. B. −2. C. 18. D. 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

Ta có:
2
Z

0

f(x) + 3x2 dx= 10⇔

2
Z

0

f(x) dx= 10−

2
Z

0

3x2dx= 10−x2

2
0 = 2.

Chọn đáp án D 

Câu 171. Tìm tập xác định D của hàm số y= (4x2−1)−3.

A. D =
Å

−∞;−1

2
ã

. B. D =_R. C. D =_R\

ß

−1

2;
1
2

™

. D. D =
Å

−1

2;
1
2

ã

.

Lời giải.

Điều kiện xác định là4x2−16= 0⇔x6=±1

2.

Vậy tập xác định của hàm số là D =_R\

ß

−1

2;
1
2

™

.

Chọn đáp án C 

Câu 172. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2_{+ sin}_x _là

A. F(x) =x3_{+ sin}_x₊_C_. _B_. _F_{(x) =} _x3₋_cos_x₊_C_.

C. F(x) = 3x3₋_sin_x₊_C_. _D_._F_{(x) =} _x3_{+ cos}_x₊_C_.

Lời giải.

Ta có: F(x) =

Z

f(x) dx=

Z

3x2+ sinx

dx=x3−cosx+C.

Chọn đáp án B 

Câu 173.

Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốcv(km/h)phụ thuộc thời gian

t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnhI(1; 3)và trục đối
xứng song song với trục tung như hình bên. Tính qng đường s mà vật
di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

A. s= 50

3 (km). B. s = 10 (km).
C. s= 20 (km). D. s = 64

3 (km).

x
y

O 1 4
3

4
12

Lời giải.

Ta có v(t) = at2₊_bt₊_c_{có dạng parabol đỉnh} _{I(1; 3)}_{, đi qua điểm} _{A(0; 4)} _và _{B(4; 12)}_.












−b
2a = 1
a+b+c= 3
v(0) = 4

⇒











−b
2a = 1

a+b+c= 3
0 + 0 +c= 4

⇒









b =−2a
a+b =−1
c= 4

⇒









b=−2a

a+ (−2a) = −1

c= 4

⇒









b=−2
a= 1
c= 4.

Do đóv(t) = t2−2t+ 4.

Quãng đường vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát được tính như sau

s=

4
Z

0

v(t) dt =

4

Z

0

t2−2t+ 4

dt =
Å_t3

3 −t

2_{+ 4t}

ã



4

0

=
Å₄3

3 −4

2_{+ 4.4}

ã

−0 = 64

3 (km).

Chọn đáp án D 

Câu 174. Cho hàm số f(x) liên tục và f(3) = 21,
3
Z

0

f(x)dx = 9. Tính tích phân I =

1
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

f0(3x)dx.

A. I = 6. B. I = 12. C. I = 9. D. I = 15.

Lời giải.

Đặt 3x=t⇒dx= dt

3. Đổi cận

(

x= 0⇒t= 0
x= 1⇒t= 3.
I =

3
Z

0

t
3f

0
(t)dt

3 =
1
9

3
Z

0

xf0(x)dx.

Đặt
(

u=x

dv=f0(x)dx ⇒

(

du=dx
v =f(x)

Suy ra I = 1
9

Ñ
xf(x)

3
0−

3
Z

0

f(x)dx
é

= 6.

Chọn đáp án A 

Câu 175. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục trên khoảng(0; +∞), biếtf0(x) + (2x+ 1)f(x) = 0,

f(x) = 0, f0(x)>0, f(2) = 1

6. Tính giá trị củaP =f(1) +f(2) +. . .+f(2019).
A. P = 2020

2019. B. P =
2019

2020. C. P =
2018

2019. D. P =
2021
2020.
Lời giải.

Ta có f0(x) + (2x+ 1)f(x) = 0⇒ −f

0_(x)

f(x) = 2x+ 1⇒

Z ₋

f0(x)
f(x) dx=

Z

(2x+ 1)dx.

Suy ra 1

f(x) =x

2_+x+c_⇒_{f(x) =} 1

x2₊_x₊_c. Màf(2) =

1

6 ⇒c= 0 ⇒f(x) =
1
x2₊_x =

1
x−

1
x+ 1.
P =f(1) +f(2) +. . .+f(2019) = 1

1 −
1
2+

1
2−

1
3 +

1

3 −. . .+
1
2019 −

1
2020 =

2019
2020.

Chọn đáp án B 

Câu 176. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f0(x) = 2− 5 sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?

A. f(x) = 2x+ 5 cosx+ 5. B. f(x) = 2x+ 5 cosx+ 3.

C. f(x) = 2x−5 cosx+ 10. D.f(x) = 2x−5 cosx+ 15.

Lời giải.

Ta có: f0(x) = 2−5 sinx⇒f(x) = R (2−5 sinx) dx= 2x+ 5 cosx+C.
Màf(0) = 10⇒C= 5 ⇒f(x) = 2x+ 5 cosx+ 5.

Chọn đáp án A 

Câu 177. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ sin 2x.

A. x2 ₋1

2cos 2x+C. B. x

2₊ 1

2cos 2x+C. C. x

2₋_{2 cos 2x}₊_C_. _D_. _x2_{+ 2 cos 2x}₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

2x+ sin 2x=x2− 1

2cos 2x+C.

Chọn đáp án A 

Câu 178. Tính tích phân
Z 2

0

2
2x+ 1dx.
A. 2 ln 5. B. 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

Ta có
Z 2

0

2

2x+ 1dx=

Z 2
0

1

2x+ 1d(2x+ 1) = ln|2x+ 1|

2
0

= ln 5.

Chọn đáp án C 

Câu 179. Cho
Z 3

0

x

4 + 2√x+ 1dx=
a

3+bln 2+cln 3, vớia, b, clà các số nguyên. Tínha+b+c.

A. 1. B. 2. C. 7. D. 9.

Lời giải.

Đặt t=√x+ 1⇒t2 =x+ 1⇒2tdt=dx. Đổi cận: x= 0 ⇒t = 1;x= 3⇒t = 2.
Ta có I =

Z 3
0

x

4 + 2√x+ 1dx=

Z 2
1

2(t2₋_1)t

4 + 2t dt=

Z 2
1

t3₋_t

t+ 2 dt=

Z 2
1

(t+ 2)(t2₋_2t_{+ 3)}₋₆

t+ 2 dt
=

Z 2
1

Å

t2−2t+ 3− 6

t+ 2
ã

dt = 1
3t

3₋

t2+ 3t−6 lnt = 7

3 −12 ln 2 + 6 ln 3.

Suy ra a= 7;b =−12;c= 6 ⇒a+b+c= 7−12 + 6 = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 180. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = xcos 2x.

A. xsin 2x

2 −

cos 2x

4 +C. B. xsin 2x−

cos 2x
2 +C.
C. xsin 2x+ cos 2x

2 +C. D.

xsin 2x
2 +

cos 2x
4 +C.
Lời giải.

Đặt u=x⇒ du= dx; dv = cos 2xdx⇒v = 1

2sin 2x. Suy ra
I =

Z

xcos 2xdx= 1

2xsin 2x−
1
2

Z

sin 2xdx= 1

2xsin 2x+
1

4cos 2x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 181. Với cách đổi biến u=√1 + 3 lnx thì tích phân
Z e

1

lnx

x√1 + 3 lnxdx trở thành
A. 2

3

Z 2
1

(u2−1) du. B. 2

9

Z 2
1

(u2 −1) du. C. 2

Z 2
1

(u2−1) du. D. 2

9

Z 2

1

u2−1
u du.
Lời giải.

Với u=√1 + 3 lnx⇒u2 _{= 1 + 3 ln}_x_⇒ u
2₋₁

3 = lnx⇒
2u

3 du=
1
xdx.

Khi đó,
Z e

1

lnx

x√1 + 3 lnxdx=

Z 2
1

u2₋₁

3 ·
2u

3
u du=

2
9

Z 2
1

(u2−1) du.

Chọn đáp án B 

Câu 182.

Cho hàm số y = ax4 ₊_bx2 ₊_c _{có đồ thị} _(C)_{, biết rằng} _(C) _{đi qua điểm}

A(−1; 0), tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hồnh độ
lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai
đường thẳngx= 0,x= 2 có diện tích bằng 28

5 (phần gạch chéo trong hình

vẽ). Tính diện tích giới hạn bởi d, đồ thị (C)và hai đường thẳng x=−1,

x= 0.

A. 2

5. B.

1

4. C.

2

9. D.

1

5. x

y

−1 O 2

Lời giải.

Ta có y0 = 4ax3_{+ 2bx}_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Phương trình hồnh độ giao điểm củad và (C) là(−4a−2b)(x+ 1) =ax4₊_bx2₊_c_.

Theo giả thiết, x = 0 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình này, lần lượt thay x = 0 và x = 2

vào ta được

(

−4a−2b=c

−12a−6b= 16a+ 4b+c ⇔

(

4a+ 2b+c= 0 (1)
28a+ 10b+c= 0 (2)

Mặt khác, diện tích của phần gạch chéo là

28
5 =

Z 2
0

(−4a−2b)(x+ 1)−(ax4+bx2+c) dx
=

ï

(−4a−2b)
Å_x2

2 +x

ã

−

Å_ax5

5 +
bx3

3 +cx
ãò

2
0

=(−4a−2b)·4−

Å₃₂
5 a+

8
3b+ 2c

ã

Tương đương với 112

5 a+

32

3 b+ 2c=−
28

5 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra a= 1, b=−3, c = 2.

Do đó,(C) :y=x4−3x2+ 2, d:y = 2x+ 2. Suy ra diện tích của hình giới hạn bởid, đồ thị(C)và
hai đường thẳngx=−1,x= 0 làS =

Z 0

−1

(x4−3x2+ 2)−(2x+ 2) dx= 1
5.

Chọn đáp án D 

Câu 183. Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và c ∈ [a;b]. Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.

A.

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx=

a

Z

b

f(x) dx. B.

b

Z

a

f(x) dx+

c

Z

a

f(x) dx=

b

Z

c

f(x) dx.

C.

b

Z

a

f(x) dx−
c

Z

a

f(x) dx=

c

Z

b

f(x) dx. D.

b

Z

a

f(x) dx+

a

Z

c

f(x) dx=

b

Z

c

f(x) dx.

Lời giải.

Theo tính chất của tích phân suy ra

a

Z

c

f(x) dx+

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

c

f(x) dx.

Chọn đáp án D 

Câu 184. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = tan2_2x₊1

2.
A.

Z Å

tan22x+ 1
2

ã

dx= 2 tan 2x−2x+C. B.
Z Å

tan22x+1
2

ã

dx= tan 2x− x

2 +C.
C.

Z Å

tan22x+ 1
2

ã

dx= tan 2x−x+C. D.
Z Å

tan22x+1
2

ã

dx= 1

2tan 2x−
x
2 +C.
Lời giải.

Ta có

Z Å

tan22x+1
2

ã
dx=

Z Å ₁

cos2_2x −

1
2

ã
dx
= 1

2tan 2x−
x
2 +C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Câu 185. Cho a > b >−1. Tích phânI =

b

Z

a

ln(x+ 1) dx bằng biểu thức nào sau đây?

A. I = (x+ 1) ln(x+ 1)

b

a

−a+b. B. I = (x+ 1) ln(x+ 1)

b

a

−b+a.

C. I = 1
x+ 1

b

a

. D.I =xln(x+ 1)

b

a

+

b

Z

a

x
x+ 1dx.
Lời giải.

Ta có

I =

b

Z

a

ln(x+ 1) d(x+ 1)

= (x+ 1) ln(x+ 1)

b

a
−

b

Z

a

(x+ 1) d (ln(x+ 1))

= (x+ 1) ln(x+ 1)

b

a

−(b−a)

= (x+ 1) ln(x+ 1)

b

a

−b+a.

Chọn đáp án B 

Câu 186. Tính tổng T = C

0
2018

3 −
C1₂₀₁₈

4 +
C2₂₀₁₈

5 −
C3₂₀₁₈

6 +· · · −

C2017₂₀₁₈
2020 +

C2018₂₀₁₈
2021.

A. 1

4121202989. B.

1

4121202990. C.

1

4121202992. D.

1
4121202991.
Lời giải.

Ta có x2(1−x)2018 =x2·

2018
P

k=0

Ck₂₀₁₈xk(−1)k=

2018
P

k=0

Ck₂₀₁₈xk+2(−1)k.

Do đó
1
Z

0

x2(1−x)2018dx=

1
Z

0
2018
X

k=0

Ck₂₀₁₈xk+2(−1)kdx.

Mặt khác
1
Z

0
2018
X

k=0

Ck₂₀₁₈xk+2(−1)kdx=

2018
X

k=0

Ck₂₀₁₈ x

k+3

k+ 3(−1)

k

1

0

=

2018
X

k=0

Ck₂₀₁₈ ·(−1)
k

k+ 3 =T.

Đặt t= 1−x⇒ dt=−dx.Đổi cận x= 0 ⇒t= 1 và x= 1 ⇒t = 0. Khi đó
1

Z

0

x2(1−x)2018dx=

0
Z

1

t2018(1−t)2(−dt)

=

1
Z

0

t2018(t2−2t+ 1) dt

=
Å

t2021

2021 −2·
t2020

2020 +
t2019

2019
ã

1

0

= 1
2021 −

2
2020 +

1
2019

= 1

1010·2019·2021 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

Chọn đáp án B 
Câu 187. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(2017 +

√

2019−x2₎ _{trên tập xác định của nó. Tính} _M ₋_m_.

A. √2019 +√2017. B. 2019√2019 + 2017√2017.

C. 4036. D.4036√2018.

Lời giải.

Tập xác định là D =ỵ−√2019;√2019ó.

Ta có

y0 = 2017 +√2019−x2₋ _√ x

2019−x2 ·x

= 2017 + 2019−2x

2

√

2019−x2

= 2017·

√

2019−x2_{+ 2019}₋_2x2

√

2019−x2 .
Ta có y0 = 0 ⇔2017·√2019−x2_{+ 2019}₋_2x2 _{= 0.}

Đặt t=√2019−x2 _>_0. _{Khi đó}_2017t_{+ 2t}2₋_{2019 = 0}_⇔



t= 1 (thỏa mãn)
t=−2019

2 (loại)
.

Với t= 1 ⇒√2019−x2 _{= 1}_⇔₂₀₁₉₋_x2 _{= 1}_⇔_x₌_±√₂₀₁₈ ₍_{thỏa mãn}_).
Bảng biến thiên

x
y0

y

−√2019 −√2018 √2018 √2019

− 0 + 0 −

−2017√2019

−2017√2019

−2018√2018

−2018√2018

2018√2018
2018√2018

2017√2019
2017√2019

Dựa vào bảng biến thiên, ta có M = 2018√2018, m =−2018√2018⇒M −m= 4036√2018.

Chọn đáp án D 

Câu 188. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ cosx là

A. x2 ₋_sin_x₊_C_. _B_. _x2_{+ sin}_x₊_C_. _C_. _{2 + sin}_x₊_C_. _D_. ₂₋_sin_x₊_C_.

Lời giải.

Z

(2x+ cosx) dx=x2+ sinx+C.

Chọn đáp án B 

Câu 189. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = −x3_{+ 3x}2₋₂_{, trục hoành và}
hai đường thẳngx= 0, x= 2 là

A. S = 5

2. B. S =
3

2. C. S =
7

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị và trục hoành −x3_{+ 3x}2₋_{2 = 0}_⇔
"

x= 1

x= 1±√3.

Diện tích cần tính là

S =

2
Z

0

| −x3+ 3x2−2|dx

=

1
Z

0

| −x3+ 3x2−2|dx+

2
Z

1

| −x3+ 3x2−2|dx

=

Å

−1

4x

4₊_x3₋_2x

ã



1

0

+

Å

−1

4x

4 ₊_x3₋_2x

ã



2

1

=

−5

4

+

5
4

= 5
2.

Chọn đáp án A 

Câu 190. Tính tích phân

π
2

Z

0

xcosxdx

A. I = π

2. B. I =
π

2 −1. C. I =
π
3 −

1

2. D. I =
π
3.
Lời giải.

I =
π
2

Z

0

xcosxdx=
π
2

Z

0

xd(sinx) = xsinx

π
2

0 −

π
2

Z

0

sinxdx= π

2 + cosx

π
2

0 =

π
2 −1.

Chọn đáp án B 

Câu 191.

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 4x và y = x

(với 0≤ x≤ 4) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tơ đậm).
Cho (H) quay quanh trục Ox. Thể tích khối trịn xoay tạo thành
bằng

A. 11π. B. 32

3 π. C.
15

7 π. D. 10π.

1 2 3 4

−2

−1
1
2
3
4

O _x

y y=x

y2 _{= 4x}

Lời giải.

y2 = 4x⇒y = 2√x (xéty≥0).
Thể tích khối trịn xoay cần tính là

V =π

4
Z

0

(2√x)2dx−π

4
Z

0

x2dx= 2πx2

4

0

− π

3x

3




4

0

= 32
3 π.

Chọn đáp án B 

Câu 192. Cho f(x) là hàm số liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) >0 và

f(x)·f(a−x) = 1. Tính

a

Z

0

dx

1 +f(x) được kết quả bằng
A. a

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

Lời giải.

f(x)·f(a−x) = 1 ⇒f(x) = 1
f(a−x).

I =

a

Z

0

dx

1 +f(x) =

a

Z

0

dx
1 + 1

f(a−x)
=

a

Z

0

f(a−x)
1 +f(a−x)dx

= −
a

Z

0

f(a−x)

1 +f(a−x)d(a−x) = −

0
Z

a

f(t)
1 +f(t)dt

=

a

Z

0

f(t)

1 +f(t)dt =

a

Z

0

f(x)
1 +f(x)dx.

2I =

a

Z

0

dx
1 +f(x)+

a

Z

0

f(x)

1 +f(x)dx=

a

Z

0

dx=a. Vậy I = a
2.

Chọn đáp án D 

Câu 193. Cho y=f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn[−6; 6]. Biết rằng

2
Z

−1

f(x) dx= 8 và
3

Z

1

f(−2x) dx= 3. TínhI =

6
Z

−1

f(x) dx.

A. I = 2. B. I = 11. C. I = 5. D. I = 14.

Lời giải.

3
Z

1

f(−2x) dx= 3 ⇔ −1

2

3
Z

1

f(−2x) d(−2x) = 3⇔ −1

2
−6
Z

−2

f(t) dt= 3⇔

−2
Z

−6

f(t) dt= 6.

I =

6
Z

−1

f(x) dx=

2
Z

−1

f(x) dx+

6
Z

2

f(x) dx= 8 +
−6
Z

−2

f(−t) d(−t) = 8 +
−2
Z

−6

f(t) dt= 14.

Chọn đáp án D 

Câu 194. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãn3f(x)+xf0(x)≥x2018
với mọix∈[0; 1]. Giá trị nhỏ nhất của tích phân

1
Z

0

f(x) dx bằng

A. 1

2019×2021. B.

1

2018×2021. C.

1

2018×2019. D.

1
2021×2022.
Lời giải.

Đặt I =

1
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Vì x∈[0; 1]⇒x2₋₁_≤₀ _nên

3f(x) +xf0(x)≥x2018

⇔ 3(x2−1)f(x) +x(x2−1)f0(x)≤(x2−1)x2018

⇔ 3x2f(x) +x3f0(x)−[3f(x) +xf0(x)]≤x2020−x2018

⇒ 3

1
Z

0

x2f(x) dx+

1
Z

0

x3df(x)−


3I+

1
Z

0

xdf(x)


≤

1
Z

0

x2020dx−

1
Z

0

x2018dx

⇒ 3

1

Z

0

x2f(x) dx+x3f(x)

1

0

−3

1
Z

0

x2f(x) dx−

đ

3I+xf(x)

1

0

−I

ơ

≤ 1

2021 −
1
2019

⇒ f(1)−[2I+f(1)]≤ −2

2019·2021

⇒ I ≥ 1

2019·2021.

Chọn đáp án A 

Câu 195. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x+ 1

x+ 2, trục hoành và đường

thẳng x= 2 là

A. 3−ln 2. B. 3−2 ln 2. C. 3 + 2 ln 2. D. 3 + ln 2.

Lời giải.

Cho x+ 1

x+ 2 = 0⇔x=−1.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

S =

2
Z

−1

x+ 1
x+ 2

dx=

2
Z

−1

Å

1− 1

x+ 2
ã

dx= (x−ln|x+ 2|)

2

−1 = 3−2 ln 2.

Chọn đáp án B 

Câu 196. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên[0; 1] và thỏa mãn
1
Z

0

x(f0(x)−2) dx=f(1).

Giá trị của I =

1
Z

0

f(x) dx bằng

A. 1. B. 2. C. −1. D. −2.

Lời giải.

Đặt
(

u=x

dv = (f0(x)−2) dx

⇒

(

du= dx
v =f(x)−2x

. Ta có

f(1) =x(f(x)−2x)

1
0

−

1
Z

0

(f(x)−2x) dx

⇔ f(1) =f(1)−2−

1
Z

0

f(x) dx

⇔

1
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Chọn đáp án D 
Câu 197. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x+ π

6

.

A.
Z

f(x) dx=−1

3sin

3x+π
6

+C. B.
Z

f(x) dx= 6 sin3x+π
6

+C.

C.
Z

f(x) dx= 1
3sin

3x+π
6

+C. D.
Z

f(x) dx= 3 sin

3x+π
6

+C.

Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

cos3x+ π
6

dx= 1
3sin

3x+ π
6

+C.

Chọn đáp án C 

Câu 198.

Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình
sau.

A. S = 8

3. B. S =
11

3. C. S =
10

3 . D. S =
7
3.

x
y

O

f(x) =√x

g(x) =x−2

2 4

2

Lời giải.

Dựa vào hình vẽ, ta có

S=

2
Z

0

√

xdx+

4
Z

2

√

x−x+ 2 dx= 2
3x

3
2

2

0

+
Å

2
3x

3
2 −x

2

2 + 2x
ã

4

2

= 10
3 .

Chọn đáp án C 

Câu 199. Nguyên hàm
Z

1 + lnx

x dx (x >0)bằng
A. x+ ln2x+C. B. ln2x+ lnx+C. C. 1

2ln

2_x_{+ ln}_x₊_C

. D. x+1
2ln

2_x₊_C
.

Lời giải.

Đặt u= 1 + lnx⇒ du= 1

xdx. Do đó

Z

1 + lnx
x dx=

Z

udu= u

2

2 +C =

(1 + lnx)2

2 +C =
1
2ln

2

x+ lnx+C.

Chọn đáp án C 

Câu 200. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng

y= 8x, y=x và đồ thị hàm số y=x3 _{là phân số tối giản. Khi đó}_a₊_b _bằng

A. 66. B. 33. C. 67. D. 62.

Lời giải.

Ta có 8x=x⇔x= 0.

8x=x3 _⇔

"

x= 0
x= 2√2.
x3 =x⇔

"

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

Diện tích hình phẳng cần tìm là

S =

1
Z

0

|8x−x| dx+

2√2
Z

1

8x−x3

dx

=

1
Z

0

(8x−x) dx+

2√2
Z

1

8x−x3

dx

= 7
2x

2




1

0

+

Å

4x2− x

4

4
ã

2√2

1

= 63
4 .

Suy ra a= 63 và b= 4 nên a+b= 67.

Chọn đáp án C 

Câu 201. Họ nguyên hàm của hàm số y=x2₋_3x₊ 1

x là
A. F(x) = x

3

3 −
3
2x

2_{+ ln}_x₊_C_. _B_. _F_{(x) =} x
3

3 −
3
2x

2 _{+ ln}_|_x_|₊_C_.

C. F(x) = x

3

3 +
3
2x

2_{+ ln}_x₊_C_. _D_._F_{(x) = 2x}₋₃₋ 1

x+C.
Lời giải.

Ta có F(x) =

Z Å

x2−3x+ 1
x

ã

dx= x

3

3 −
3
2x

2_{+ ln}_|_x_|₊_C_.

Chọn đáp án B 

Câu 202. Cho

b

Z

a

f(x) dx=−2và

b

Z

a

g(x) dx= 3. Tính I =

b

Z

a

[2f(x)−3g(x)] dx.

A. I =−13. B. I = 13. C. I =−5. D. I = 5.

Lời giải.
I =

b

Z

a

[2f(x)−3g(x)] dx= 2

b

Z

a

f(x) dx−3

b

Z

a

g(x) dx= 2·(−2)−3·3 =−13.

Chọn đáp án A 

Câu 203. Cho biết
1
Z

0

f(x) dx= 2018. Tính tích phân I =

1
Z

−1

f(|x|) dx
1 + 2018x.

A. I = e2018. B. I = 2018. C. I = 1009. D. I = 2019.

Lời giải.

Đặt x=−t ⇒dx =−dt. Đổi cậnx= 1 ⇒t=−1;x=−1⇒t = 1. Ta có

I =

1
Z

−1

f(|x|) dx
1 + 2018x =−

−1
Z

1

f(| −t|) dt
1 + 2018−t =

1
Z

−1

2018t·f(|t|) dt
1 + 2018t =

1
Z

−1

2018x·f(|x|) dx
1 + 2018x .

Khi đó2I =

1
Z

−1

f(|x|) dx= 2

1
Z

0

f(|x|) dx⇒I =

1
Z

0

f(|x|) dx.

Vì hàm y=f(|x|) là hàm số chẵn trên[−1; 1], nên I =

1
Z

0

f(|x|) dx=

1
Z

0

f(x) dx= 2018.

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

Câu 204. Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = (x+ 1)

3

x3 ,(x6= 0).

A. F(x) =x−3 ln|x| − 3

x +
1

2x2 +C. B. F(x) = x−3 ln|x|+

3
x +

1

2x2 +C.

C. F(x) =x+ 3 ln|x| − 3

x −
1

2x2 +C. D.F(x) = x−3 ln|x|+

3
x −

1

2x2 +C.

Lời giải.

Ta có f(x) = 1 + 3
x +

3

x2 +

1

x3, do đó F(x) =x+ 3 ln|x| −

3
x−

1
2x2 +C.

Chọn đáp án C

Câu 205. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10(m/s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −2t+ 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển
bao nhiêu mét?

A. 25 m. B. 44

5 m. C.

25

2 m. D.

45
4 m.
Lời giải.

Khi v = 0 thì t= 5, khi đó qng đường ơ tơ đi được đến khi dừng hẳn là

S=

5
Z

0

(10−2t) dt= 25 (m).

Chọn đáp án A 

Câu 206. Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x =y2 và đường thẳng x =a với

a >0. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của vật thể trong xoay được sinh ra khi quay hình(H)quanh
trục hồnh và trục tung. Kí hiệu ∆V là giá trị lớn nhất của V1 −

V2

8 đạt được khi a =a0 > 0. Hệ

thức nào sau đây đúng?

A. 5∆V = 2πa0. B. 5∆V = 4πa0. C. 4∆V = 5πa0. D. 2∆V = 5πa0.

Lời giải.

Ta có V1 =π

a

Z

0

xdx= πa

2

2 ; V2 = 2π
√

a

Z

0

(a2−y4) dy= 8πa

2√_a

5 ;V1 −
V2

8 =
π
10a

2₍₅₋₂√_a)_.

Do đó ∆V ≤ π

20

Å√_a₊√_a₊√_a₊√_a_{+ 10}₋₄√_a
5

ã5
= 32π

20 =
8π

5 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a=a0 = 4⇒5∆V = 2πa0.

Chọn đáp án A 

Câu 207. Tính diện tích của S của hình phẳng giới hạn bởi elip (E)có phương trình x
2

a2 +

y2

b2 = 1,
với a, b >0.

A. S =π
Å₁

b +
1
a

ã2

. B. S =π(a+b)2. C. S =πab. D. S = πa

2_b2

a+b.
Lời giải.

S = 4b
a

a

Z

0

√

a2₋_x2_dx₌_πab_.

Chọn đáp án C 

Câu 208. Giả sử f là hàm số liên tục trên đoạn h0;π
4

i

với f0;π
4

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

π
4

Z

0

x2_f_(x)

(xsinx+ cosx)2 dx=
4−π
4 +π và

π
4

Z

0

xf0(x)

cosx(xsinx+ cosx)dx= 0. Tính
π
4

Z

0

f(x)
cos2_xdx.

A. I = 1. B. I = π

4−π. C. I =
4

4 +π. D. I =
π
4 +π.
Lời giải.

Ta có

4−π
4 +π =

π
4

Z

0

x2_f(x)

(xsinx+ cosx)2 dx=
π
4

Z

0

xf(x)
cosx ·

xcosx

(xsinx+ cosx)2 dx=
π
4

Z

0

xf(x)
cosx d

Å ₋₁
xsinx+ cosx

ã

= −xf(x)

cosx ·

1
xsinx+ cosx

π
4

0

+
π
4

Z

0

f(x)
cos2_xdx+

π
4

Z

0

xf0(x)

cosx(xsinx+ cosx)dx
= −2π

4 +π +I

⇒ I = 4−π

4 +π +
2π

4 +π = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 209. Một xe buýt bắt đầu đi từ một nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 _{(m/s) (khi}
bắt đầu chuyển động từ A thì t= 0) đến nhà chờ xe buýt B cách đó 175 m. Hỏi thời gian xe đi từ
A đến B là bao nhiêu giây?

A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 5.

Lời giải.

Ta có

b

Z

0

v(t) dt= 175

⇔
b

Z

0

(10 + 3t2) dt= 175

⇔ (10t+t3)

b

0 = 175

⇔ 10b+b3 = 175

⇔ b = 5.

Vậy xe đi từ A đến B mất5 giây.

Chọn đáp án D 

Câu 210. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và thỏa mãn f(2) = 0,
2
Z

1

(f0(x))2dx=

5
12+ ln

2
3 và

2
Z

1

f(x)

(x+ 1)2 dx=−

5
12+ ln

3

2. Tính tích phân

2
Z

1

f(x) dx.

A. 3

4 + 2 ln
2

3 . B. ln
3

2 . C.

3
4−2 ln

3

2 . D.
3
4+ 2 ln

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

Ta có

2
Z

1

f(x)

(x+ 1)2dx=

1
2

2
Z

1

f(x) d
Å

x−1

x+ 1

ã
= 1

2f(x)

2

1

− 1

2

2
Z

1

x−1
x+ 1 ·f

0

(x) dx=−1

2

2
Z

1

x−1
x+ 1 ·f

0

(x) dx.

Vậy

− 5

12+ ln
3
2 =−

1
2

2
Z

1

x−1
x+ 1 ·f

0
(x) dx

⇔ −

2
Z

1

x−1
x+ 1 ·f

0

(x) dx=−5

6 + 2 ln
3

2. (1)

Mà

2

Z

1

Å
x−1
x+ 1

ã2

dx= 5
3−4 ln

3
2 ⇒

2
Z

1

đ
1
4·

Å
x−1
x+ 1

ã2ơ

dx= 5
12−ln

3

2. (2)

Mặt khác
2
Z

1

(f0(x))2dx= 5
12+ ln

2
3 =

5
12 −ln

3

2. (3)

Từ (1), (2) và3, ta được

2

Z

1

đ
1
4 ·

Å
x−1
x+ 1

ã2ơ
dx−

2
Z

1

x−1
x+ 1 ·f

0

(x) dx+

2
Z

1

(f0(x))2dx= 0

⇔

2
Z

1

ï

f0(x)−1

2

Å_x₋₁
x+ 1

ãò2

dx= 0

⇒ f0(x) = 1
2

Å_x₋₁
x+ 1

ã

⇒ f(x) = 1
2

Z Å

1− 1

x+ 1
ã

dx= 1

2x−ln|x+ 1|+C.

Màf(2) = 0⇒c= ln 3−1.
Vậy

2
Z

1

f(x) dx= 3
4 −ln

3
2.

Chọn đáp án C 

Câu 211. Sân vận động Sports Hub (Singapore) là sân có mái vịm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là
nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền
sân là một Elip (E) có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (Hình 3). Nếu cắt sân vận động
theo một mặt phẳng vng góc với trục lớn của (E) và cắt Elip (E) ở M, N (Hình a) thì ta
được thiết diện ln là một phần của hình trịn có tâm I (phần tơ đậm trong Hình b) với M N

là một dây cung và góc M IN’ = 900. Để lắp máy điều hịa khơng khí cho sân vận động thì các

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

M

N

C A

E

M N

I

Hình a Hình b

A. 57793 m3 . B. 115586 m3 . C. 32162 m3 . D. 101793m3 .

Lời giải.

Ta có 2a= 150⇒a= 75, 2b= 90⇒b = 45. Phương trình Elip có dạng x
2

752 +

y2

452 = 1.
Gọi M(x, y)∈(E)⇒N(x,−y)∈(E)⇒M N = 2|y|= 2· 45

75

√

752₋_x2 ₌ 6

5

√

752₋_x2_.
Diện tích phần gạch sọc được tính bằng

1

4S(I,IM)−S4IM N =
1
4πIM

2₋ 1

2IM

2 ₌

Å_π
4 −

1
2

ã

IM2 =
Å_π

4 −
1
2

ã Å_{M N}

√

2
ã2

.

Khi đó, thể tích phần khơng gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, được tính bằng
75

Z

−75

Å
π
4 −

1
2

ã Å
M N

√

2
ã2

dx=
Å

π
4 −

1
2

ãZ75

−75

18
25(75

2₋_x2_{) dx}_≈₁₁₅₅₈₆_m3_.

Chọn đáp án B 

Câu 212.

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y =f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =−1, x = 2

(như hình vẽ bên). Đặt a =

0
Z

−1

f(x) dx, b =

2
Z

0

f(x) dx,

mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S =b−a. B. S =b+a.

C. S =−b+a. D. S =−b−a. −1 2

1

x
y

O

Lời giải.

Ta có diện tích hình phẳng

S=

2
Z

−1

|f(x)|dx=−

0
Z

−1

f(x) dx+

2
Z

0

f(x) dx=−a+b.

Chọn đáp án A

Câu 213. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x+ 2
A.

Z

f(x) dx= 3x2+ 2x+C . B.
Z

f(x) dx= 3
2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

C.
Z

f(x) dx= 3x2−2x+C . D.
Z

f(x) dx= 3
2x

2_{+ 2x}₊_C_.

Lời giải.

Z

f(x) dx= 3
2x

2

+ 2x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 214. Biết I =

π

2
Z

0

ex·sinxdx= e

a_{+ 1}

b với a∈R, b∈N. Khi đó sina+ cos 2a+b bằng

A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 0.

Lời giải.

Đặt
(

u= sinx
dv = exdx

⇒

(

du= cosxdx

v = ex . Ta được

I = exsinx

π

2

0

−
π

2
Z

0

excosxdx

Xét

π

2
Z

0

excosxdx, đặt
(

u= cosx
dv = exdx

⇒

(

du=−sinxdx
v = ex

, ta có

π

2
Z

0

excosxdx= excosx

π

2

0

+

π

2
Z

0

exsinxdx= excosx

π

2

0

+I.

Do đó, I = exsinx

π

2

0

−excosx

π

2

0

−I ⇔2I = exsinx

π

2

0

−excosx

π

2

0

= eπ2 _{+ 1.}
Vậy a= π

2, b= 0 suy ra sina+ cos 2a+b = 0.

Chọn đáp án D 

Câu 215. Cho
4

Z

1

√

25−x2

x dx=a+b·

√

6 +c·ln
Ç

5√6 + 12
5√6−12

å

+d·ln 2 vớia,b, c,d là các số hữu
tỉ. Tính tổng a+b+c+d.

A. − 3

20. B. −

3

2. C. −

3

24. D. −

3
25 .
Lời giải.

Ta có
4
Z

1

√

25−x2

x dx=

4
Z

1

x√25−x2

x2 dx=I. Đặtt =

√

25−x2 _⇒
(

−tdt =xdx

x2 = 25−t2

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

Đổi cận x= 1⇒t= 2√6,x= 4 ⇒t= 3. Khi đó,

I =

3
Z

2√6

−t2_dt

25−t2

=

3
Z

2√6

ï

1− 25

25−t2

ị
dt

=

3
Z

2√6

ï
1−5

2
Å ₁

5−t +
1
5 +t

ãị
dt

= t+5
2ln

5−t
5 +t

3

2√6

= 3 + 5
2ln

1
4−2

√

6− 5

2ln

5−2√6
5 + 2√6
= 3−5 ln 2−2√6 + 5

2ln

5√6 + 12
5√6−12.

Vậy a= 3, b =−2, c= 5

2, d=−5suy ra a+b+c+d=−
3
2.

Chọn đáp án B 

Câu 216. Tính tích phân I =

π

2
Z

0

xcosxdx.

A. π

2 −1. B.
π

2 + 1. C. 1. D.

π
2.
Lời giải.

Đặt
(

u=x

dv = cosxdx ⇒

(

du= dx
v = sinx.

Ta có I = (xsinx)

π

2
0

−
π

2
Z

0

sinxdx= (xsinx)

π

2
0

+ cosx

π

2
0

= π
2 −1.

Chọn đáp án A 

Câu 217. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= ex

và các đường thẳngy = 0; x= 0 và x= 1 được tính bởi cơng thức nào sau đây?

A. V =

1
Z

0

e2xdx. B. V =π

1
Z

0

ex2dx. C. V =

1
Z

0

ex2dx. D. V =π

1
Z

0

e2xdx.

Lời giải.

Thể tích cần tính làV =π

1
Z

0

(ex)2dx=π

1

Z

0

e2xdx.

Chọn đáp án D

Câu 218. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = √2x+ 3.

A.
Z

f(x) dx= 2
3x

√

2x+ 3 +C. B.
Z

f(x) dx= 1

3(2x+ 3)

√

2x+ 3 +C.

C.

Z

f(x) dx= 2

3(2x+ 3)

√

2x+ 3 +C. D.
Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

Lời giải.

XétI =

Z √

2x+ 3 dx.

Đặt t=√2x+ 3, suy ra t2 _{= 2x}_{+ 3}_{. Khi đó} _t_dt _{= dx}_{. Ta có}

I =

Z √

2x+ 3 dx=

Z

t2dt = 1

3t

3₊_C ₌ 1

3(2x+ 3)

√

2x+ 3 +C.

Chọn đáp án B 

Câu 219. Cho
1
Z

0

f(2x+ 1) dx= 12 và

π
2

Z

0

f sin2x

sin 2xdx= 3. Tính

3
Z

0

f(x) dx.

A. 26. B. 22. C. 27. D. 15.

Lời giải.

Với I1 =
1
Z

0

f(2x+ 1) dx= 12.

Đặt t= 2x+ 1 ⇒ dt = 2 dx⇒ dx= dt
2 .

Đổi cận x= 0⇒t= 1, x= 1 ⇒t= 3.
Do đó, I1 =

3
Z

1

f(t)dt
2 =

1
2

3
Z

1

f(t) dt⇒

3
Z

1

f(x) dx= 24.

Với I2 =

π
2

Z

0

f sin2x

sin 2xdx= 3.

Đặt t= sin2x⇒ dx= sin 2xdx.
Đổi cận x= 0⇒t= 0, x= π

2 ⇒t = 1.

Do đó, I2 =
1
Z

0

f(t) dt⇒

1
Z

0

f(x) dx= 3.

Vậy
3
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

f(x) dx+

3
Z

1

f(x) dx= 3 + 24 = 27.

Chọn đáp án C 

Câu 220.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròny=√2−x2_{, đường}
thẳng AB biết A(−√2; 0), B(1; 1) (phần tơ đậm như hình vẽ).

A. π+

√

2

4 . B.

3π+ 2√2

4 . C.

π−2√2

4 . D.

3π−2√2

4 . _x

y

−√2
A

1
O

B

Lời giải.

Phương trình đường thẳng d: x+

√

2
1 +√2 =

y

1 ⇒d: y=
1

1 +√2(x+

√

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

Diện tích hình phẳng cần tìm là

S =

1
Z

−√2

ï√

2−x2₋ 1

1 +√2(x+

√

2)
ị

dx

=

1
Z

−√2

√

2−x2_dx₋ 1

1 +√2
Å

x2
2 +

√

2x
ã

1

−√2

= I− 1 +
√

2

2 . Trong đóI =

1
Z

−√2

√

2−x2_dx.

Tính I =

1
Z

−√2

√

2−x2_dx_.

Đặt x=√2 sint, t ∈h−π

2;
π
2

i

⇒ dx=√2 costdt.
Đổi cận x=−√2⇒t=−π

2, x= 1⇒t=
π
4.

Do đóI =
π
4

Z

−π
2

2|cost| ·costdt =
π
4

Z

−π
2

(1 + cos 2t) dt= 3π
4 +

1
2.

Do đó, S = 3π
4 −

√

2
2 .

Chọn đáp án D 

Câu 221. Cho I =

2
Z

1

x+ lnx
(x+ 1)2 dx=

a
b ln 2−

1

c, với a, b, c là các số nguyên dương và
a

b là phân số

tối giản. Tính giá trị của biểu thức S = a+b
c .
A. S = 2

3. B. S =
5

6. C. S =
1

2. D. S =
1
3.
Lời giải.

Ta có I =

2
Z

1

x+ lnx

(x+ 1)2dx=

2
Z

1

x

(x+ 1)2dx+
2
Z

1

lnx

(x+ 1)2dx=I1+I2.

Trong đóI1 =
2
Z

1

x

(x+ 1)2dx, I2 =
2
Z

1

lnx
(x+ 1)2 dx.
Tính

I1 =
2
Z

1

x

(x+ 1)2 dx =
2
Z

1

ï ₁
x+ 1 −

1
(x+ 1)2

ị
dx=

ï

ln(x+ 1) + 1
x+ 1

ị



2

1

= ln 3−ln 2− 1

6.

Tính I2 =
2
Z

1

lnx
(x+ 1)2 dx.

Đặt







u= lnx
v0 = 1

(x+ 1)2

⇒







u0 = 1
x
v =− 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

Suy ra

I2 = −

lnx
x+ 1

2

1

+

2
Z

1

1

x(x+ 1)dx=−
ln 2

3 + ln
x
x+ 1

2

1

= −ln 2

3 + ln
2

3 + ln 2 =
2 ln 2

3 −ln 3 + ln 2.

Do đóI = 2
3ln 2−

1

6. Suy ra a= 2, b = 3 và c= 6. Vậy S=
5
6.

Chọn đáp án B 

Câu 222.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [−3; 3]. Biết
rằng diện tích hình phẳng S1, S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

f(x) với đường thẳng y = −x−1 lần lượt là M, m. Tính tích phân
3

Z

−3

f(x) dx.

A. 6 +m−M. B. 6−m−M. C. M −m+ 6. D. m−M −6.

x
y

1 3

−3

−4
2

−2

0

−1

−6

S1 S2

Lời giải.

Tính diện tíchS1. Ta có

S1 =
1
Z

−3

[−x−1−f(x)] dx=M ⇔

1
Z

−3

f(x) dx=−M−

1
Z

−3

(x+ 1) dx.

Tính diện tíchS2. Ta có

S2 =
3
Z

1

[f(x) +x+ 1] dx=m⇔

3
Z

1

f(x) dx=m−

3
Z

1

(x+ 1) dx.

Do đó

3
Z

−3

f(x) dx=m−M −

3
Z

−3

(x+ 1) dx=m−M −6.

Chọn đáp án D 

Câu 223. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x.

A. 1

3sin 3x+C. B. −
1

3sin 3x+C. C. −3 sin 3x+C. D. −sin 3x+C.
Lời giải.

Ta có
Z

cos 3xdx= 1

3sin 3x+C.

Chọn đáp án A 

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

A. S =

b

Z

a

f(x)dx. B. S =

b

Z

a

|f(x)|dx. C. S =π

b

Z

a

f2(x)dx. D. S =

b

Z

a

f2(x)dx.

Lời giải.

Diện tích miền D giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b

(a < b) là S =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án B 

Câu 225. Biết
3
Z

2

x2₋_3x_{+ 2}

x2₋_x_{+ 1} dx = aln 7 +bln 3 +cln 2 +d (với a, b, c, d là các số nguyên). Tính
giá trị của biểu thức T =a+ 2b2_{+ 3c}3_{+ 4d}4_.

A. T = 6. B. T = 7. C. T = 9. D. T = 5.

Lời giải.

Ta có
3

Z

2

x2−3x+ 2
x2₋_x_{+ 1} dx=

3
Z

2

Å

1− 2x−1

x2 ₋_x_{+ 1}

ã

dx= x−ln|x2−x+ 1|


3

2 = 1−ln 7 + ln 3

⇒a=−1, b= 1, c= 0,d= 1 ⇒T = 5.

Chọn đáp án D 

Câu 226. Cho hàm số y =f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f(1) = 2 và f(2) = 2018.
Tính I =

2
Z

1

f0(x)dx.

A. I =−2016. B. I = 2018. C. I = 2016. D. I = 1016.

Lời giải.

Ta có I =

2
Z

1

f0(x)dx=f(2)−f(1) = 2016.

Chọn đáp án C 

Câu 227. Cho hàm số f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên _R thỏa mãn f(x) 6= 0 với mọi

x∈_Rvà 3f0(x) + 2f2(x) = 0. Tínhf(1) biết rằng f(0) = 1.

A. 1

5. B.

4

5. C.

3

5. D.

2
5.
Lời giải.

Ta có 3f0(x) + 2f2_{(x) = 0}_⇔ f

0_(x)
f2_(x) =−

2

3. Lấy tích phân hai vế ta được

1
Z

0

f0(x)

f2_(x)dx=−
1
Z

0

2

3dx⇔ −
1
f(x)

1
0

=−2

3x

1
0

⇔ 1

f(1) −1 =
2
3 ⇔

1
f(1) =

5

3 ⇔f(1) =
3
5.

Chọn đáp án C 

Câu 228. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1]thỏa mãn f(0) = 1,
1
Z

0

[f0(x)]2dx=

1
30,

1
Z

0

(2x−1)f(x)dx=− 1

30. Tính

1
Z

0

f(x)dx.

A. 1

30. B.

11

30. C.

11

12. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Lời giải.

Ta có − 1

30 =

Z 1
0

f(x)d(x2−x) = (x2−x)f(x)

1
0

−

Z 1
0

(x2−x)f0(x)dx⇔

Z 1
0

(x2−x)f0(x)dx= 1
30.

Ta tìm m thỏa mãn

0 =

Z 1
0

f0(x) +m(x2−x)2dx =

Z 1
0

[f0(x)]2dx+ 2m

Z 1
0

f0(x)(x2 −x)dx+m2

Z 1
0

(x2 −x)2dx ⇒

m=−1.

Do vậy, f0(x)−(x2₋_{x) = 0}_⇒_f0_{(x) =}_x2₋_x_⇒_f_{(x) =} x
3

3 −
x2

2 +C.

Màf(0) = 1⇒C = 1⇒

1

Z

0

f(x)dx=

1
Z

0

Å_x3

3 −
x2

2 + 1
ã

dx= 11
12.

Chọn đáp án C 

Câu 229. Tính tích phân I =

2019π

Z

0

√

1−cos 2xdx.

A. I = 4038√2. B. I = 2019√2. C. I = 0. D. I = 2√2.

Lời giải.

Ta có

I =

2019π

Z

0

√

1−cos 2xdx=

2019π

Z

0
p

2 sin2xdx=√2

2019π

Z

0

|sinx|dx

= √2
Ñ _π

Z

0

|sinx|dx+

2π

Z

π

|sinx|dx+

3π

Z

2π

|sinx|dx+· · ·+

2019π

Z

2018π

|sinx|dx
é

= 2019√2

π

Z

0

sinxdx

.

Mà

π

Z

0

sinxdx= 2. Suy ra I = 4038√2.

Chọn đáp án A 

Câu 230. Cho hàm sốf(x)liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãn điều kiệnf(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x,

∀x∈[0; 1]. Tính tích phân I =

1
Z

0

f 1−x2 dx.

A. I =− 4

15. B. I = 1. C. I =−
2

15. D. I =
2
15.
Lời giải.

Đặt t= 1−x, thì x∈[0; 1]⇔t ∈[0; 1].
Ta có

f(x) + 2f(1−x) = 3x2 −6x⇔f(x) + 2f(1−x) = 3(x−1)2−3

⇔ f(1−t) + 2f(t) = 3t2−3⇔2f(x) +f(1−x) = 3x2−3.

Xét hệ phương trình
(

f(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x
2f(x) +f(1−x) = 3x2−3

⇔

(

f(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x
4f(x) + 2f(1−x) = 6x2−6

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Khi đóf(1−x2_{) = (2}₋_x2₎2₋_{3 =} _x4₋_4x2_{+ 1}_.
Suy ra I =

1
Z

0

f 1−x2

dx=

1
Z

0

x4−4x2+ 1

dx=− 2

15.

Chọn đáp án C 

Câu 231. Tại một thời điểm t trước lúc đỗ xe ở điểm dừng xe, một chiếc xe đang chuyển động đều

với vận tốc là 60 km/h. Chiếc xe di chuyển trong trạng thái đó 5 phút rồi bắt đầu đạp phanh và
chuyển động chậm dần đều thêm8 phút nữa rồi mới dừng hẳn ở điểm đỗ xe. Tính quãng đường mà
xe đi được từ thời điểm t nói trên đến khi dừng hẳn.

A. 4 km. B. 5 km. C. 9 km. D. 6km.

Lời giải.

Vận tốc xe khi bắt đầu phanh là v = 60 +at (km/h), mà xe dừng khi chạy được 8 phút = 2
15 giờ

thì dừng hẳn nên 0 = 60 + 2a

15 ⇔a = −450 (m/h

2_{). Khi đó quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp}
phanh là

2
15
Z

0

(60−450t) dt= 4.

Vậy tổng quãng đường cần tính là60· 5

60+ 4 = 9 km.

Chọn đáp án C 

Câu 232. Cho f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn[a;b]với f(a) = 0. Đặt M = max

[a;b] |f(x)|. Tìm
giá trị nhỏ nhất của

b

Z

a

[f0(x)]2 dx.

A. M(b−a). B. M2_(b₋_a)_. _C_. M
2

b−a. D.
M
b−a.
Lời giải.

Gọi x0 ∈[a;b], sao cho |f(x0)|=M. Ta có

Đ _x₀

Z

a

f0(x) dx
é2

≤
x0

Z

a

[f0(x)]2 dx·
x0

Z

a

dx⇔[f(x0)−f(a)]2 ≤(x0−a)

x0

Z

a

[f0(x)]2 dx

⇔ f2(x0)≤(x0−a)·

x0

Z

a

[f0(x)]2 dx⇔M2 ≤(x0−a)·

x0

Z

a

[f0(x)]2 dx.

Mà(x0−a)·

x0

Z

a

[f0(x)]2 dx≤(b−a)·
x0

Z

a

[f0(x)]2 dx.

Suy ra M2 ≤(b−a)·
x0

Z

a

[f0(x)]2 dx⇒
x0

Z

a

[f0(x)]2 dx≥ M

2

b−a.

Dấu bằng xảy ra khif0(x) = 1 tức là khi chẳng hạn f(x) = x.

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

A. S =

b

Z

a

f(x) dx. B. S =

a

Z

b

|f(x)|dx. C. S =

b

Z

a

|f(x)|dx. D. S =−
a

Z

b

f(x) dx.

Lời giải.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh và hai đường thẳng

x=a,x=b được tính theo công thức S =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án C 

Câu 234. Cho F(x) = cos 2x−sinx+C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f(π).

A. f(π) = −3. B. f(π) = 1. C. f(π) = −1. D. f(π) = 0.

Lời giải.

f(x) = F0(x) = −2 sin 2x−cosx, suy ra f(π) = 1.

Chọn đáp án B 

Câu 235. ChoF(x)là nguyên hàm của hàm sốf(x) = x

2₊_x_{+ 1}

x+ 1 vàF(0) = 2018. TínhF(−2).

A. F(−2)khơng xác định. B. F(−2) = 2.

C. F(−2) = 2018. D.F(−2) = 2020.

Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z Å

x+ 1
x+ 1

ã

dx= x

2

2 + ln|x+ 1|+C.

Ta có F(0) = 2018 nên C = 2018.
Suy ra F(−2) = 2020.

Chọn đáp án D 

Câu 236. Tính diện tích hình phẳng tạo thành
bởi parabol y=x2_{, đường thẳng}_y₌₋_x_{+ 2}_{và trục hồnh}
trên đoạn [0; 2] (phần gạch sọc trong hình vẽ).

A. 3

5. B.

5
6.
C. 2

3. D.

7
6.

x
y

O ₁ ₂

Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta có:

Paraboly =x2 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 0.

Paraboly =x2 _{cắt đường thẳng} _y₌₋_x_{+ 2} _{tại điểm có hồnh độ} ₁_.
Đường thẳng y=−x+ 2cắt trục Ox tại điểm có hồnh độ 2.

Diện tích hình phẳng đã cho làS =

1
Z

0

x2dx+

2
Z

1

(−x+ 2) dx= 5
6.

Chọn đáp án B 

Câu 237. Biết

π
2

Z

0

xsinx+ cosx+ 2x

sinx+ 2 dx=

π2

a + ln
b

c với a, b, clà các số nguyên dương và
b

c là phân

số tối giản. TínhP =a·b·c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Lời giải.

π
2

Z

0

xsinx+ cosx+ 2x

sinx+ 2 dx =
π
2

Z

0

x(sinx+ 2) + cosx
sinx+ 2 dx

=
π
2

Z

0

Å

x+ cosx
sinx+ 2

ã
dx

=
ï_x2

2 + ln|sinx+ 2|
ò

π
2

0

= π

2

8 + ln
3
2.
P =a·b·c= 48.

Chọn đáp án C 

Câu 238. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = √x quay quanh trục hồnh. Thể
tíchV của khối trịn xoay tạo thành bằng

A. V = π

6. B. V =
π

2. C. V =π. D. V = 0.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmx=√x⇔

"

x= 0
x= 1.

Thể tích khối trịn xoay là

V =π

1
Z

0

|x2−x|dx=π

1
Z

0

(x−x2) dx= π
6.

Chọn đáp án A 

Câu 239. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] thỏa f(4− x) = f(x) ∀x ∈ [1; 3] và
3

Z

1

x.f(x) dx=−2. Giá trị
3
Z

1

f(x) dx bằng

A. 2. B. −1. C. −2. D. 1.

Lời giải.

Đặt t= 4−x⇒ dx=−dt.
Với x= 1⇒t = 3, x= 3⇒t= 1.

3
Z

1

x·f(x) dx=−

1
Z

3

(4−t)·f(4−t) dt=

3
Z

1

(4−x)·f(x) dx.

Suy ra 2

3
Z

1

x·f(x) dx= 4

3
Z

1

f(x) dxhay
3
Z

1

f(x) dx=−1.

Chọn đáp án B 

Câu 240. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
Z

0 dx=C. B.

Z

1

xdx= ln|x|+C.
C.

Z

xadx= x

a+1

a+ 1 +C. D.

Z

dx=x+C.

Lời giải.

Đáp án
Z

xadx= x

a+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Chọn đáp án C 
Câu 241. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(2x+ 3).

A.
Z

f(x) dx=−sin(2x+ 3) +C. B.
Z

f(x) dx=−1

2sin(2x+ 3) +C.
C.

Z

f(x) dx= sin(2x+ 3) +C. D.
Z

f(x) dx= 1

2sin(2x+ 3) +C.
Lời giải.

Z

f(x) dx= 1

2sin(2x+ 3) +C

Chọn đáp án D 

Câu 242. Giá trị nào của b để

b

Z

1

(2x−6) dx= 0?

A. b = 0 hoặc b = 3. B. b = 0 hoặc b= 1. C. b= 5 hoặc b= 0. D. b= 1 hoặc b= 5.

Lời giải.

Ta có

b

Z

1

(2x−6) dx= (x2−6x)

b

1

=b2−6b+ 5.

Do đó

b

Z

1

(2x−6) dx= 0⇔b2−6b+ 5 = 0⇔

"

b = 1
b = 5.

Chọn đáp án D 

Câu 243. Biết rằng I =

4
Z

3

x2₋_x_{+ 2}

x+√x−2dx =

a−4√b

c . Với a, b, c là các số nguyên dương. Tính
a+b+c.

A. 39. B. 27. C. 33. D. 41.

Lời giải.

Ta có
4
Z

3

x2₋_x_{+ 2}

x+√x−2dx=

4

Z

3

(x−√x−2) dx=
Å_x2

2 −
2
3

Ä√

x−2ä3
ã

4

3

= 25−8

√

2

6 =

25−4√8
6 .

Suy ra a= 25; b= 8; c= 6. Vậya+b+c= 39.

Chọn đáp án A 

Câu 244. Cho hàm số f(x) liên tục trên_R và

π
4

Z

0

f(tanx) dx= 2. TínhI =

1
Z

0

f(x) dx.

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 6.

Lời giải.

Từ

π
4

Z

0

f(tanx) dx= 4. Ta đặtt = tanx, ta được
1
Z

0

f(t)

t2_{+ 1} dt = 4.

Từ

π
4

Z

0

x2f(x)

x2_{+ 1} dx= 2⇔
1
Z

0

(x2+ 1−1)f(x)

x2_{+ 1} dx= 2 ⇒
1
Z

0

f(x)dx−

1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx= 2.

⇒

1
Z

0

f(x) dx= 2 +

1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx= 2 + 4 = 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

Câu 245. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f0(x)>0,∀x∈[1; 2] và
2
Z

1

[f0(x)]3

x4 dx=

7

375. Biết f(1) = 1,

f(2) = 22

15, tínhI =

2
Z

1

f(x) dx.

A. P = 71

60. B. P =
6

5. C. P =
73

60. D. P =
37
30.
Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: [f

0_(x)]3

x4 +

x2

125 +

x2

125 ≥3
3
…

[f0(x)]3

x4 ·

x2

25·
x2

25 =

3f0(x)
25 .

Lấy tích phân hai vế BĐT trên, ta có:
2

Z

1

[f0(x)]3

x4 dx+2

2
Z

1

x2

125 dx≥

2
Z

1

3f0(x)
25 ⇔

2
Z

1

[f0(x)]3

x4 dx+2·

7
375 ≥

3

25[f(2)−f(1)]⇔

2
Z

1

[f0(x)]3

x4 dx≥

7
375

Kết hợp với giả thiết ta có dấu “=” của BĐT trên xảy ra khi

[f0(x)]3

x4 =

x2

125 ⇔[f

0_(x)]3 ₌ x
6

125 ⇔f

0_{(x) =} x2

5 ⇒f(x) =
x3

15+C.

Màf(1) = 1⇒1 = 1

15+C ⇒C =
14

15 ⇒f(x) =

x3_{+ 14}

15 .

Ta có I =

2
Z

1

x3_{+ 14}

15 dx=
71
60.

Chọn đáp án A 

Câu 246. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x là:

A. F(x) = 1
2e

2x

Å
x− 1

2
ã

+C. B. F(x) = 2e2x

Å
x−1

2
ã

+C.

C. F(x) = 2e2x_(x₋_{2) +}_C_. _D_._F_{(x) =} 1

2e

2x_(x₋_{2) +}_C_.

Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

x.e2xdx.

Đặt
(

u=x

dv =e2xdx ⇒







du= dx
v = e

2x

2

⇒F(x) = xe

2x

2 −
1
2

Z

e2xdx= 1
2e

2x

(x−1

2) +C.

Chọn đáp án D 

Câu 247. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và thỏa mãn

π
4

Z

0

f(tanx) dx = 4 và
1
Z

0

x2_f_(x)

x2_{+ 1} dx = 2.

Tính tích phânI =

1
Z

0

f(x) dx.

A. 6. B. 2. C. 3. D. 1.

Lời giải.

Với J =
π
4

Z

0

f(tanx) dx= 4.

Đặt t= tanx⇒ d tanx= dt ⇒ dt

1 +t2 = dx.
Đổi cận x= 0⇒t= 0;x= π

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

Ta có J =

1
Z

0

f(t)
t2_{+ 1}dt=

1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx= 4.

Vậy I =

1

Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

(x2_{+ 1)f}_(x)

x2_{+ 1} dx=
1
Z

0

x2_f_(x)

x2_{+ 1} dx+
1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx= 2 + 4 = 6.

Chọn đáp án A 

Câu 248. Biết
2
Z

1

lnx
x2 dx=

b

c+aln 2 (với a là số thực,b, c là các số nguyên dương và
b

c là phân số

tối giản). Tính giá trị của 2a+ 3b+c.

A. 4. B. −6. C. 6. D. 5.

Lời giải.

Với I =

2
Z

1

lnx
x2 dx.

Đặt




u= lnx
dv = dx

x2

⇒







du= dx
x
v = −1

x

⇒I = −1

2 ln 2 +
1
2.

Vậy a= −1

2 , b= 1, c= 2 ⇒2a+ 3b+c= 4.

Chọn đáp án A 

Câu 249. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) :y = x−1

x+ 1 và các trục tọa

độ. Khi đó giá trị củaS bằng

A. S = ln 2−1(đvdt). B. S = 2 ln 2−1(đvdt).

C. S = 2 ln 2−1(đvdt). D.S = ln 2 + 1(đvdt).

Lời giải.

Ta có hồnh độ giao điểm của(H) với Ox làx= 1.
TrụcOy có phương trình x= 0.

Vậy S =

1
Z

0

x−1
x+ 1

dx=

1
Z

0

x−1

x+ 1dx

=|x−2 ln(x+ 1)|

1
0

= 2 ln 2−1.

Chọn đáp án C 

Câu 250. Giá trị thực dương của tham số m sao cho

m

Z

0

xe
√

x2₊₁

dx= 2500e
√

m2₊₁

là

A. m = 2250√₂500₋₂_. _B_. _m ₌√₂1000₋₁_. _C_. _m₌√₂1000_{+ 1}_. _D_. _m_{= 2}250√₂500_{+ 2}_.

Lời giải.

Đặt t=√x2_{+ 1} _⇒_t2 ₌_x2_{+ 1} _⇒_t_dt ₌_x_dx_.
Đổi cận: x= 0⇒t= 1,x=m⇒t =√m2_{+ 1}_.

⇒I =

m

Z

0

xe
√

x2₊₁
dx=

√

m2₊₁

Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Đặt
(

u=t
dv = etdt

⇒

(

du= dt
v = et.

I = tet

√

m2₊₁

1 −

√

m2₊₁

Z

1

etdt

= √m2_{+ 1}_·_e

√

m2₊₁

−e− et

√

m2₊₁

1

= √m2_{+ 1}_·_e

√

m2₊₁

−e−e
√

m2₊₁
+ e
= Ä√m2_{+ 1}₋₁ä_e

√

m2₊₁
.

Theo giả thuyết

Ä√

m2_{+ 1}₋₁ä_e

√

m2₊₁

= 2500e
√

m2₊₁

⇔ √m2_{+ 1}₋_{1 = 2}500

⇔ m2+ 1 = 2500+ 12

⇔ m =

»

(2500_{+ 1)}2₋₁

⇔ m =»(2500_{+ 1 + 1) (2}500_{+ 1}₋₁₎

⇔ m = 2250√2500_{+ 2.}

Chọn đáp án D 

Câu 251. Cho hình phẳng(H)giới hạn bởi các đườngy=xvày=x2_{. Thể tích của khối trịn xoay}
tạo thành khi quay (H)xung quanh trục Ox là

A. 2π

15. B.

3π

25. C.

π

30. D.

π
6.
Lời giải.

Xét phương trình x=x2 _⇔_x2₋_x_{= 0} _⇔
"

x= 0
x= 1.

Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay (H)xung quanh trụcOx

là

V =π

1
Z

0

x2−x4

dx=π
Å_x3

3 −
x5

5
ã

1

0

= 2π

15. O x

y

1
1

Chọn đáp án A

Câu 252. Tích phânI =

21000

Z

1

x2_{+ 4x}_{+ 1}

x2₊_x dx bằng

A. I = 21000_{+ ln}ỵ₂996_{(1 + 2}1000₎2ó_. _B_. _I _{= 2}1000₋_{1 + ln}ỵ₂996_{(1 + 2}1000₎2ó_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

Lời giải.

I =

21000

Z

1

x2_{+ 4x}_{+ 1}

x2₊_x dx

=

21000

Z

1

(x2+x) + (2x+ 1) +x
x2₊_x dx

=

21000

Z

1

Å

1 + 2x+ 1
x2₊_x +

x
x2₊_x

ã
dx

=

21000
Z

1

dx+

21000
Z

1

2x+ 1
x2₊_xdx+

21000
Z

1

1
x+ 1dx

= x

21000

1

+

21000

Z

1

d (x2₊_x)

x2₊_x + ln|x+ 1|

21000

1

= 21000−1 + lnx2+x

21000

1

+ ln 21000+ 1−ln 2

= 21000−1 + (ln|x|+ ln|x+ 1|)

21000
1

+ ln 21000+ 1

−ln 2
= 21000−1 + ln 21000+ ln 21000+ 1−ln 2 + ln 21000+ 1−ln 2
= 21000−1 + ln 21000−2 ln 2 + 2 ln 21000 + 1

= 21000−1 + ln 21000 −ln 22+ ln 21000 + 12
= 21000−1 + ln 2998+ ln 21000+ 12

= 21000−1 + lnỵ2998 21000+ 12ó.

Chọn đáp án C 

Câu 253. Cho tích phân
3
Z

0

f(x) dx= 1. Tính tích phân I =

e
Z

1

f(lnx3₎

2x dx.

A. 3

2. B. 9. C.

1

6. D. 6.

Lời giải.

Đặt t= lnx3 ⇒ dt= 1
x3 ·3x

2_dx₌ 3

xdx⇒
dx
2x =

1
6dt.

⇒I = 1

6

3
Z

0

f(t) dt= 1
6

3
Z

0

f(x) dx= 1
6·1 =

1
6.

Chọn đáp án C 

Câu 254. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số y = |x2 ₋₄_| _và

y= x

2

2 + 4 là
A. S = 32

3 . B. S = 16. C. S =
64

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

Lời giải.

|x2 −4|= x

2

2 + 4 ⇔

















x2−4≥0
x2−4 = x

2

2 + 4







x2−4<0

−(x2−4) = x

2

2 + 4

⇔







(

x2−4≥0
x2 = 16

(

x2−4<0
3x2 = 0

⇔







x= 4
x=−4
x= 0.

Suy ra
S =
0
Z
−4

|x2−4| −

Å
x2

2 + 4
ã



dx+
4
Z

0

|x2−4| −

Å
x2

2 + 4
ã



dx
=






−2
Z
−4

Å_x2

2 −8
ã
dx






+






0
Z
−2

−3x2

2 dx






+

2
Z
0

−3x2

2 dx






+






4
Z
2

Å_x2

2 −8
ã
dx






=

Å_x3

6 −8x
ã



−2
−4

+

−x3

2




0
−2





+

−x3

2




2
0





+

Å_x3

6 −8x
ã



4
2

= 20

3 + 4 + 4 +
20

3
= 64

3 .

Chọn đáp án C 

Câu 255. Cho một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = acos4_x₋_b_cos_x _với _a_, _b _∈

R biết rằng

F(0) =Fπ
2

= 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a

b =
3π

16. B. cos
Å_b

a
ã

≈0,83. C. ab <0. D. cosa
b

= 0,45.

Lời giải.

Ta có

f(x) = acos4x−bcosx
= a

Å

1 + cos 2x
2

ã2

−bcosx
= a

4 1 + 2 cos 2x+ cos

2_2x

−bcosx
= a

4
Å

1 + 2 cos 2x+1 + cos 4x
2

ã

−bcosx.

Suy ra

F(x) =

Z Å_a
4 +

a

2cos 2x+

1 + cos 4x

8 −bcosx
ã

dx
= 3a

8 x+
a

4sin 2x+
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

Mặt khác





F(0) = 0
F π

2

= 0 ⇔





C = 0
3aπ

16 −b = 0

⇒ 3aπ

16 −b= 0 ⇔
b
a =

3π
16

⇔ a

b =
16

3π ⇒cos
Å_b

a
ã

≈0,83.

Chọn đáp án B 

Câu 256. Cho hàm sốf xác định, liên tục và có đạo hàm trên_R, đạo hàm củaf cũng liên tục trên

R. Giả sử
1
Z

1
4

f(x) dx= 735

1024,f(1) = 2,f
Å

1
4

ã
= 17

64. TínhI =
π
3

Z

0

(sin 4x+ 2 sin 2x)f0(cos2x) dx.

A. 1245

1024. B.
1245

128 . C.

1245

256 . D.

1245
512 .
Lời giải.

Ta có I =

π

3
Z

0

2 sin 2x(cos 2x+ 1)f0(cos2x) dx =
π
3

Z

0

4 sin 2xcos2xf0(cos2x) dx.
Đặt t= cos2x⇒dt=−sin 2xdx.

Đổi cận x= π

3 ⇒t=
1

4; x= 0⇒t= 1.

I =

1
Z

1
4

tf0(t) dt=tf(t)

1

1
4

−

1
Z

1
4

f(t) dt= 2− 1

4 ·
17
64 −

735
1024 =

1245
1024.

Chọn đáp án A 

Câu 257. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx−cosx.

A.
Z

f(x) dx=−sinx+ cosx+C. B.
Z

f(x) dx= sinx+ cosx+C.

C.
Z

f(x) dx=−sinx−cosx+C. D.
Z

f(x) dx= sinx−cosx+C.

Lời giải.

Ta có
Z

(sinx−cosx) dx=−cosx−sinx+C =−sinx−cosx+C

Chọn đáp án C 

Câu 258. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x+ 1
x2.

A.
Z

f(x) dx= 3x+ 1

x+C. B.

Z

f(x) dx= 3

x

ln 3 +
1
x +C.
C.

Z

f(x) dx= 3x− 1

x +C. D.

Z

f(x) dx= 3

x

ln 3 −
1
x+C.
Lời giải.

Ta có

Å ₃x

ln 3 −
1
x+C

ã0
= 3

x_{ln 3}

ln 3 −
Å

− 1

x2

ã

= 3x₊ 1

x2.

Chọn đáp án D 

Câu 259. Tính tích phân I =

1
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

A. I = 1
2018 +

1

2019. B. I =
1
2020 +

1

2021. C. I =
1
2019 +

1

2020. D. I =
1
2017 +

1
2018.
Lời giải.

Ta có I =

1
Z

0

x2018+x2019 dx=
Å

x2019

20019 +
x2020

2020
ã

1
0

= 1
2019 +

1
2020.

Chọn đáp án C 

Câu 260. Cho (H)là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√2x; y= 2x−2và trục hoành. Tính
diện tích của (H).

A. 5

3. B.

16

3 . C.

10

3 . D.

8
3.
Lời giải.

Hoành độ giao điểm của đường cong y = √2x và
đường thẳngy= 2x−2là

√

2x= 2x−2⇔x= 2.

Đồ thị hàm số y= 2x−2 cắt Ox tại điểm (1; 0).
Diện tích hình phẳng là

S=

1
Z

0

√

2xdx+

2
Z

1

Ä√

2x−2x+ 2ä dx

= 5
3.

O x

y

y=√2x
y= 2x−2

Chọn đáp án A 

Câu 261. Cho tích phân I =

12
Z

1
12

Å

1 +x− 1

x
ã

ex+1x_dx ₌ a

b ·e

c

d _{trong đó} _{a, b, c, d} _{là các số nguyên}

dương và a

b,
c

d là các phân số tối giản. Tính bc−ad.

A. 24. B. 1

6. C. 12. D. 1.

Lời giải.

Ta có I =

12
Z

1
12

Å

1 +x− 1

x
ã

ex+x1 _dx₌

12
Z

1

12

ex+1x_dx₊

12
Z

1
12

Å
x− 1

x
ã

ex+1x_dx_.

XétI1 =
12
Z

1
12

ex+x1 _dx_.

Đặt





u= ex+1x

dv = dx

⇒







du=
Å

1− 1

x2

ã

ex+x1 _dx

v =x.

Do đó

I1 =xex+

1

x

12
1
12

−

12
Z

1
12

Å
x− 1

x
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

Suy ra

I =xex+1x

12
1
12

= 143
12 e

145
12_.
Vậy a= 143, b= 12, c= 145, d= 12 và bc−ad= 24.

Chọn đáp án A 

Câu 262. Cho hàm số f(x) liên tục trên_R và có
2
Z

1

f(x) dx= 1. Tính giới hạn của dãy số

un=

1
n

đ
f(1) +

… _n
3 +n ·f

Ç…
n+ 3

n
å

+
… _n

6 +n ·f
Ç…

n+ 6
n

å

+· · ·+

… _n
4n−3·f

Ç…

4n−3
n

åơ
.

A. limun= 2. B. limun=

2

3. C. limun = 1. D. limun =
4
3.
Lời giải.

Ta có:

un=

f(1)
n +

1
n






1
…

1 + 3
n

f
Ç…

1 + 3
n

å

+_… 1
1 + 2·3

n
f

Ç…

1 + 2·3
n

å

+· · ·+_… 1

1 + 3(n−1)

n

f
Ç…

1 + 3(n−1)
n

å





.

⇒limun=

1
Z

0

1

√

1 + 3xf
Ä√

1 + 3xä dx.

Đặt t=√1 + 3x⇒ dt = 3

2√1 + 3xdx⇒limun=
2
3

2
Z

1

f(t) dt = 2
3.

Chọn đáp án B 

Câu 263. Cho hàm số f(x) =







12 khi x≤3
x2₋_3x

√

x+ 1−2 khi x >3

. Tính tích phân I =

8
Z

0

f(x) dx.

A. I = 2441

15 . B. I =
1906

15 . C. I =
1606

15 . D. I =
2541

15 .
Lời giải.

Dễ dàng chứng minh hàm sốy =f(x)liên tục tại x= 3.

I =

8
Z

0

f(x) dx=

3
Z

0

f(x) dx+

8
Z

3

f(x) dx=

3
Z

0

12 dx+

8
Z

3

x2₋_3x

√

x+ 1−2dx.

= 12x|3₀+

8
Z

3

xÄ√x+ 1 + 2ä dx= 91 +

8
Z

3

x√x+ 1 dx.

XétJ =

8
Z

3

x√x+ 1 dx.

Đặt t=√x+ 1⇒t2 =x+ 1⇒2tdt= dx.
Đổi cận x= 3⇒t= 2;x= 8⇒t= 3.
Vậy J = 2

3
Z

2

t2 t2−1 dt = 1076

15 ⇒I =
2441

15 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

Câu 264. Cho
4
Z

1

f(x) dx= 9, tính I =

1
Z

0

f(3x+ 1) dx.

A. I = 9. B. I = 3. C. I = 1. D. I = 27.

Lời giải.

Ta có I =

1
Z

0

f(3x+ 1) dx= 1
3

1
Z

0

f(3x+ 1) d(3x+ 1) = 1
3

4
Z

1

f(t) dt= 3.

Chọn đáp án B 

Câu 265. Một vật chuyển động thẳng có vận tốc và gia tốc tại thời điểmtlần lượt làv(t)m/s vàa(t)

m/s2. Biết rằng1giây sau khi chuyển động, vận tốc của vật là1m/s đồng thờia(t)+v2(t)·(2t−1) = 0.
Tính vận tốc của vật sau3 giây.

A. v(3) = 1

13 m/s. B. v(3) =
1

7 m/s. C. v(3) =
1

12 m/s. D. v(3) =
1
6 m/s.
Lời giải.

Ta có a(t) +v2_(t)(2t₋_{1) = 0}_⇔ a(t)

v2_(t) = 1−2t⇔

Å ₁
v(t)

ã0

= 2t−1.

⇒ 1

v(t) =t

2₋_t₊_C_.

Màv(1) = 1⇒C = 1 ⇒v(t) = 1

t2₋_t_{+ 1} ⇒v(3) =

1

7 (m/s).

Chọn đáp án B 

Câu 266. Biết
Z

f(2x) dx= sin2x+ lnx+C, tìm nguyên hàm
Z

f(x) dx.

A.

Z

f(x) dx= sin2 x

2 + lnx+C. B.

Z

f(x) dx= 2 sin2 x

2 + 2 lnx+C.
C.

Z

f(x) dx= 2 sin2x+ 2 lnx−ln 2 +C. D.
Z

f(x) dx= 2 sin22x+ 2 lnx−ln 2 +C.

Lời giải.

Gọi F(x)là 1nguyên hàm của f(x).
Khi đó

Z

f(2x) dx= F(2x)

2 +C = sin

2_x_{+ ln}_x₊_C_.

⇒F(2x) = 2 sin2x+ 2 lnx+C= 2 sin2

2· x

2

+ 2 ln

2·x

2

+C.

⇒F(x) = 2 sin2 x
2 + 2 ln

x

2 +C = 2 sin

2 x

2 + 2 lnx+C.

Chọn đáp án B 

Câu 267. Biết
2
Z

1

f(x) dx= 1, tính
4
Z

1

1

√

xf

√

x

dx.

A. I = 4. B. I = 2. C. I = 1. D. I = 1

2.
Lời giải.

Đặt t=√x⇒,dt= dx
2√x.

Đổi cận: x= 1⇒t= 1, x= 4⇒t= 2.
Khi đóI = 2

2
Z

1

f(t) dt= 2.

Chọn đáp án B 

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

A.

c

Z

a

f(x) dx=

c

Z

b

f(x) dx−
a

Z

b

f(x) dx. B.

c

Z

a

f(x) dx=

b

Z

c

f(x) dx+

a

Z

b

f(x) dx.

C.

c

Z

a

f(x) dx=

a

Z

b

f(x) dx+

c

Z

a

f(x) dx. D.

c

Z

a

f(x) dx=

c

Z

b

f(x) dx+

a

Z

b

f(x) dx.

Lời giải.

Theo tính chất của tích phân.

Chọn đáp án A 

Câu 269. Cho
4
Z

3

1

x2₋_3x_{+ 2}dx=aln 2 +bln 3,(a, b∈Z). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a+b+ 1 = 0. B. a+ 3b+ 1 = 0. C. a−2b= 0. D. a+b=−2.

Lời giải.

4
Z

3

1

x2 ₋_3x_{+ 2}dx=
4

Z

3

Å
1
x−2 −

1
x−1

ã

dx= (ln(x−2)−ln(x−1))|4₃.

= ln 2−ln 3−(ln 1−ln 2) = 2 ln 2−ln 3 ⇒a = 2;b=−1.
Vậy a+ 3b+ 1 = 0 là khẳng định đúng.

Chọn đáp án B 

Câu 270. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3

x

e3

A. 3

x

e3_ln3

e

+C. B. 3

x

−2 ln 3·e2 +C. C.

3x_{ln 3}

e3 +C. D.

3x

e3_{ln 3} +C.

Lời giải.

Ta có
Z ₃x

e3 dx=

3x

e3_{ln 3} +C.

Chọn đáp án D 

Câu 271. Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = −sinx(4 cosx+ 1)thỏa mãn

F π
2

=−1.

A. F(x) = cos 2x+ cosx−1. B. F(x) = −2 cos 2x+ cosx−3.

C. F(x) = cos 2x+ cosx. D.F(x) = −cos 2x−cosx−2.

Lời giải.

Ta có
Z

[−sinx(4 cosx+ 1)] dx=−

Z

(2 sin 2x+ sinx) dx= cos 2x+ cosx+C.
Ta có F π

2

= cosπ+ cosπ

2 +C =−1⇔C = 0.

Vậy F (x) = cos 2x+ cosx.

Chọn đáp án C 

Câu 272. Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x3 ₋_3x2 _và

y=x2+x−4.

A. S = 253

12 . B. S =
125

12 . C. S =
16

3 . D. S =
63

4 .
Lời giải.

Ta thấy x3₋_3x2 ₌_x2₊_x₋₄_⇔_x3₋_4x2₋_x_{+ 4 = 0}_⇔






</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

Khi đóS =

1
Z

−1

x3−4x2−x+ 4 dx
+

4
Z

1

x3−4x2−x+ 4 dx
=

16
3 +

63
4 =

253
12 .

Chọn đáp án A 

Câu 273. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục Oxcủa hình giới hạn bởi đường thẳng

y= 1−x2 và Ox.

A. 16

15. B.

16π

15 . C.

4

3. D.

4π
3 .
Lời giải.

Thể tích khối trịn xoayV =π

1
Z

−1

1−x22 dx= 16π
15 .

Chọn đáp án B 

Câu 274. Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn y0 =x2_y _và _f(₋_{1) = 1}_{. Tính} _f(2)_.

A. e + 1. B. e3_. _C_. _2e_. _D_. _e2_.

Lời giải.

Ta có

f0(x) =x2 ·f(x)

⇔f0(x)·ex
3

3 +x2·e
x3

3 ·f(x) = 0

⇔ hex
3

3 ·f(x)

i0

= 0

⇒f(2)·e233 −f(−1)·e
(−1)3

3 = 0

⇔f(2) = e3.

Chọn đáp án B 

Câu 275. Tính tích phân I =

2
Z

0

maxx2,3x−2 dx.

A. 17

6 . B.

17

3 . C.

7

3. D.

7
2.
Lời giải.

Ta có I =

1
Z

0

x2dx+

2
Z

1

(3x−2) dx= 1
3 +

5
2 =

17

6 .

Chọn đáp án A 

Câu 276. Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên _R. Biết f(0)

=

f(3)

= 1. Tìm giá
trị nhỏ nhất củaI =

3
Z

0

f0(x) dx.

A. −1. B. −3. C. −2. D. 0.

Lời giải.

Ta có I =

3

Z

0

f0(x) dx=f(3)−f(0).
Ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

⇔ |f(3)−f(0)| ≤2

⇔ −2≤f(3)−f(0)≤2.

Chọn đáp án C 

Câu 277. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai?

A.
Z

1

xdx= lnx+C . B.

Z

0 dx=C.

C.
Z

exdx= ex+C. D.

Z

cosxdx= sinx+C.

Lời giải.

Mệnh đề
Z

1

xdx= lnx+C sai.

Chọn đáp án A 

Câu 278.

Cho parabol (P1) : y = −x2 + 4 cắt trục hoành tại hai điểm A, B
và đường thẳng d : y = a (0 < a < 4). Xét parabol (P2) đi qua

A, B và có đỉnh thuộc đường thẳngy =a. Gọi S1 là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi(P1)vàd,S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(P2) và trục hoành. Biết S1 = S2 (tham khảo hình vẽ bên). Tính

T =a3₋_8a2_{+ 48a}_.

A. T = 32. B. T = 64. C. T = 72. D. T = 99. _O x

y

y=a

A B

Lời giải.

Đường thẳng y=a cắt (P1) tại hai điểm có hồnh độ −

√

4−a và√4−a. Vậy

S1 =

√

4−a

Z

−√4−a

(−x2+ 4−a) dx= 4
3 ·

√

4−a·(4−a).

Parabol (P2) có dạng y = m(x2−4). Chú ý vì nó cịn đi qua điểm (0;a) nên m = −

a
4. Vậy
(P2) :y=−

a
4x

2₊_a_{. Từ đó suy ra}

S2 =
2
Z

−2

−a

4x

2₊_a _dx₌ 8a

3 .

Từ đó ta có

16(4−a)3

9 =

64a2

9 ⇔a

3₋_8a2_{+ 48a} _{= 64.}

Chọn đáp án B 

Câu 279. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên _R. Biết

x2

Z

0

f(t) dt = ex2 +x4−1 với ∀x∈ _R. Giá trị
của f(4) là

A. f(4) = e4_{+ 4}_. _B_. _f_{(4) = 4e}4_. _C_. _f_{(4) = 1}_. _D_. _e4_{+ 8}_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

Gọi F(x)là một nguyên hàm của f(x). Từ giả thiết ta cóF(x2₎₋_F_{(0) = e}x2

+x4₋₁_{. Lấy đạo hàm}
hai vế ta được

2x·f(x) = 2x·ex2 + 4x3 ⇔f(x) = ex2 + 2x.

Vậy f(4) = e4+ 8.

Chọn đáp án D 

Câu 280. Biết F(x) = (ax2₊_bx₊_c)ex _{là một nguyên hàm của hàm số}_{f(x) = (x}2_{+ 5x}_{+ 5)e}x_{. Giá}

trị của2a+ 3b+clà

A. 10. B. 6. C. 8. D. 13.

Lời giải.

Ta có F0(x) = (ax2+bx+c)ex+ (2ax+b)ex = (ax2+ (2a+b)x+b+c)ex.
Từ giả thiết ta có hệ









a= 1
2a+b = 5
b+c= 5

⇔










a= 1
b= 3
c= 2.

Vậy 2a+ 3b+c= 13.

Chọn đáp án D 

Câu 281.

Cho hàm số y=f(x)liên tục trên _Rvà có đạo hàm đến cấp hai trên
R. Biết hàm sốy=f(x)đạt cực trị tạix=−1, có đồ thị như hình vẽ
và đường thẳng∆ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh

độ bằng 2. Tính
4
Z

1

f00(x−2) dx.

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. O x

y

−1 1 2

−3

∆

Lời giải.

Đường thẳng ∆ :y = 3x−3. Vậyf0(2) = 3.
Từ giả thiết ta có

4
Z

1

f00(x−2) dx=

2
Z

−1

f00(x) dx=f0(2)−f0(1) = 3−0 = 3.

Chọn đáp án A 

Câu 282. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong y=x2−2x và y= 2x2−x−2là

A. 9

2. B. 9. C. 5. D. 4.

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmx2₋_2x_{= 2x}2 ₋_x₋₂_⇔_x_{= 1}_∨_x₌₋₂_.
Vậy S =

1
Z

−2

(x2−2x)−(2x2−x−2)

dx=

9
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

Câu 283. Cho f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên [1; 3] thỏa mãn
3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx = 10,

3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6. Tính
3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx.

A. 9. B. 8. C. 6. D. 7.

Lời giải.
Ta có


















3
Z
1

[f(x) + 3g(x)] dx= 10

3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6

⇔


















3
Z
1

f(x) dx= 4

3
Z

1

g(x) dx= 2

⇒

3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx= 4 + 2 = 6.

Chọn đáp án C 

Câu 284. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trênh0;π
2

i

thỏa mãn f(0) = 0 và

π
2

Z

0

[f0(x)]2 dx=
π

2

Z

0

sinxf(x) dx= π

4. Tích phân
π
2

Z

0

f(x) dx bằng

A. 2. B. 1. C. π

2. D.

π
4.
Lời giải.
Ta có
π
4 =
π
2
Z
0

sinxf(x) dx=
π
2

Z

0

f(x) d cosx= cosxf(x)

π
2
0
−
π
2
Z
0

cosxf0(x) dx⇒

π
2

Z

0

cosxf0(x) dx=−π

4.
Mặt khác
π
2
Z

0

cos2xdx= 1
2

π
2

Z

0

(1 + cos 2x) dx= 1
2

Å
x+1

2sin 2x
ã



π
2
0
= π
4.

Như vậy ta có 0 =

π
2

Z

0

[f0(x)]2 dx−2
π
2

Z

0

cosxf0(x) dx+
π
2

Z

0

cos2xdx=
π
2

Z

0

[f0(x)−cosx]2 dx≥0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f0(x) = cosx⇒f(x) = sinx+C. Màf(0) = 0⇒C = 0.
Vậy

π
2

Z

0

f(x) dx=
π
2

Z

0

sinxdx=−cosx

π
2
0

= 1.

Chọn đáp án B 

Câu 285. Nguyên hàm của hàm số y= 1
2−3x là
A. 1

3ln|2−3x|+C. B. −3 ln|2−3x|+C. C. −
1

3ln|2−3x|+C. D. ln|2−3x|+C.
Lời giải.

Z

1

2−3xdx=−
1
3

Z

1

2−3xd(2−3x) = −
1

3ln|2−3x|+C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

Câu 286. Cho hai hàm số f(x), g(x) là hai hàm số liên tục có F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm
của f(x), g(x). Xét các mệnh đề sau:

(I).F(x) +G(x) là một nguyên hàm của f(x) +g(x).
(II).kF(x)là một nguyên hàm của hàm số kf(x), (k∈_R).
(III). F(x)·G(x) là một nguyên hàm của f(x)·g(x).
Mệnh đề nào là mệnh đềđúng?

A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III).

Lời giải.

Chỉ có mệnh đề (I) và (II) là hai mệnh đề đúng.

Chọn đáp án B 

Câu 287. Cho hàm số y = 1
3x

3 ₊_mx2 ₋_2x₋_2m₋ 1

3 có đồ thị (C). Biết m =
a

b với a, b ∈ N
∗_,

(a;b) = 1 và m ∈

Å
0;5

6
ã

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0,

x= 2, y= 0 có diện tích bằng 4. Tính P = 2a2₊_b2_.

A. 18. B. 8. C. 6. D. 12.

Lời giải.

Xét phương trình 1

3x

3₊_mx2₋_2x₋_2m₋1

3 = 0⇔m =
1
3x

3₋_2x₋ 1

3

2−x2 (do x=±

√

2 khơng phải là
nghiệm của phương trình).

Xét hàm số f(x) = 1
3x

3₋_2x₋ 1

3.

f0(x) = x2₋₂_⇒_f0_{(x) = 0}_⇔_x₌_±√₂_{. Ta có bảng biến thiên sau}

x
f0(x)

f(x)

0 √2 2

− 0 +

−1

3

−1

3

−4
√

2 + 1
3

−4
√

2 + 1
3

−5

3

−5

3

Dễ thấy với x > √2thì 2−x2 <0 mà 1

3x

3₋_2x₋ 1

3 <0 nên
1
3x

3₋_2x₋ 1

3

2−x2 <0 nên phương trình
vơ nghiệm.

Với x >√2thì m =
1
3x

3₋_2x₋ 1

3
2−x2 >

1
2

Å
1
3x

3₋_2x₋ 1

3
ã

≥ 5

6.

Như vậy phương trìnhm =
1
3x

3₋_2x₋ 1

3

2−x2 vơ nghiệm với m ∈

Å
0;5

6
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị(C) và các đường thẳngx= 0,x= 2, y= 0 là

V =

2
Z

0

Å

−1

3x

3₋

mx2+ 2x+ 2m+1
3

ã
dx

=
Å

− 1

12x

4₋ mx3

3 +x

2

+ 2mx+1
3x

ã

2

0

= 10
3 +

4m
3 = 4

⇒ m = 1

2.

Nêna = 1, b= 2 và P = 2a2₊_b2 _{= 6.}

Chọn đáp án C 

Câu 288. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x−1)e2x_{, trục hoành và các}

đường thẳngx= 0,x= 2.

A. e
4

4 −
e2

2 −
3

4. B.
e4

4 −
e2

2 +
3

4. C.
e4

4 +
e2

2 +
3

4. D.
e4

4 +
e2

2 −
3
4.

Lời giải.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= (x−1)e2x _{và trục hồnh là nghiệm của phương trình}

(x−1)e2x = 0⇔x= 1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là

S =

2
Z

0

|(x−1)e2x|dx

=

1
Z

0

(1−x)e2xdx+

2
Z

1

(x−1)e2xdx

= 1
2

1
Z

0

(1−x) d(e2x) + 1
2

1
Z

0

(x−1) d(e2x)

= 1

2(1−x)e

2x

1

0

+ 1
2

1
Z

0

e2xdx+ 1

2(x−1)e

2x

2

1

−1

2

2
Z

1

e2xdx

= e

4

2 −
1
2+

1
4e

2x

1

0

−1

4e

2x

2

1

= e

4

4 +
e2

2 −
3
4.

Chọn đáp án D 

Câu 289. Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2mặt phẳng song song và
vng góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu 3 dm để làm một chiếc lu
đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).

A. 132π dm3. B. 41π dm3. C. 100

3 π dm

3_. _D_. _43π _dm3_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách
cho đường trịn có phương trình x2 ₊_y2 _{= 25}_⇔ _y2 _{= 25}₋_x2
quay quanh trụcOx.

Thể tích cái lu bằng

V =π

3
Z

−3

(25−x2) dx=π(25x− x

3

3 )

3

−3

= 132π dm3.

x

O
I

5 dm

3 dm
3 dm

Chọn đáp án A 

Câu 290. Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), y =g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (a < b). Diện tích hình
phẳngD được tính theo cơng thức là

A. S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx. B. S =

a

Z

b

|f(x)−g(x)| dx.

C. S =π

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx. D.S =

b

Z

a

[f(x)−g(x)] dx

.

Lời giải.

Theo lý thuyết S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx.

Chọn đáp án A 

Câu 291. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x3_{+ sin}_x₋₂ _là

A. x4_{+ cos}_x₋_2x₊_C_. _B_. x
4

4 + cosx+C.
C. 12x+ cosx+C. D.x4 −cosx−2x+C.

Lời giải.

Ta có
Z

4x3+ sinx−2

dx=x4 −cosx−2x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 292. Tích phân
2
Z

0

a

ax+ 3adx,(a >0) bằng
A. 16a

225. B. alog
5

3. C. ln
5

3. D.

2a
15.
Lời giải.

Ta có
2
Z

0

a

ax+ 3adx=

2
Z

0

1

x+ 3 dx= ln(x+ 3)|

2

0 = ln 5−ln 3 = ln

5
3.

Chọn đáp án C 

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = √3x2_{, cung}
trịn có phương trình y = √4−x2 _(với ₀ _≤ _x _≤ ₂_{) và trục}
hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

S = aπ−

√

b

c ,(a, b, c∈Z). Tính T =a+b+c.

A. 7. B. 13. C. 11. D. 12.

O x

y

2
2

Lời giải.

Ta có √3x2 =√4−x2 _⇒_3x4 _{= 4}₋_x2 _⇔_3x4₊_x2₋_{4 = 0}_⇔
"

x2 = 1

x2 =−4 ⇒x= 1 ∈[0; 2].

Diện tích của(H) được tính theo cơng thức

S =

2
Z

0

√

3x2

dx+

2
Z

1

√

4−x2
dx=

1
Z

0

√

3xdx+

2
Z

1

√

4−x2_dx.

Tính I1 =
1
Z

0

√

3x2dx=

√

3x3

3

1

0

=

√

3
3 .

Tính

I2 =
2
Z

1

√

4−x2_dx

=

0
Z

π
3

»

4−(2 cost)2_{d(2 cos}_{t) =}₋₄
0
Z

π
3

|sint|sintdt

= 4

π
3

Z

0

sin2tdt= 4
π
3

Z

0

1−cos 2t
2 dt
= 2

Å

t− sin 2t

2
ã

π
3

0

= 2π
3 −

√

3
2 .

Vậy S = 2π
3 −

√

3
2 +

√

3
3 =

4π−√3

6 ⇒a= 4, b= 3, c= 6 ⇒a+b+c= 13.

Chọn đáp án B 

Câu 294. Biết I =

2
Z

1

dx

(2x+ 2)√x+ 2x√x+ 1 =

√

a−√b−c

2 với a, b, c là các số nguyên dương.

Tính P =a−b+c.

A. P = 24. B. P = 12. C. P = 18. D. P = 22.

Lời giải.

Ta có

I = 1
2

2
Z

1

dx

(x+ 1)√x+x√x+ 1 =
1
2

2
Z

1

dx

√

x+ 1·√x √x+ 1 +√x

= 1
2

2
Z

1

√

x+ 1−√x

√

x+ 1·√x dx=
1
2

2
Z

1

Å
1

√

x −
1

√

x+ 1
ã

dx

= Ä2√x−2√x+ 1ä

2
1 = 2

√

2−√3−1 = 4

√

2−2√3−2

2 =

√

32−√12−2

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

Vậy a= 32, b = 12, c= 2 ⇒P =a−b+c= 32−12 + 2 = 22.

Chọn đáp án D 

Câu 295. Cho
e
Z

1

lnx

√

x dx=a

√

e +b với a, blà các số hữu tỉ. Tính P =a·b.

A. P =−8. B. P = 8. C. P =−4. D. P = 4.

Lời giải.

Ta có
e
Z

1

lnx

√

x dx= 4

e
Z

1

ln√x

2√x dx= 4

e
Z

1

ln √x

d √x

= 4
√

e
Z

1

lnxdx= 4 (xlnx−x)|

√

e
1 =−2

√

e + 4.

Vậy a=−2và b = 4⇒P =a·b = 8.

Chọn đáp án A 

Câu 296. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãnf(1) = 0,
1
Z

0

[f0(x)]2 dx=

7và
1
Z

0

x2f(x) dx= 1

3. Tích phân

1
Z

0

[f(x) + 2] dx bằng

A. 17

5 . B. 3. C.

15

4 . D. 6.

Lời giải.

Ta có
1
Z

0

x2f(x) dx= 1

3 ⇔ f(x)·
x3

3

1

0

−

1
Z

0

x3
3 ·f

0

(x) dx= 1
3 ⇔ −

1
Z

0

x3
3 ·f

0

(x) dx= 1
3

⇔

1
Z

0

x3f0(x) dx=−1.

⇒

1
Z

0

14x3f0(x) dx=−14.

Ta lại có
1
Z

0

49x6dx= 7.

Suy ra
1
Z

0

[f0(x)]2 dx+

1
Z

0

14x3f0(x) dx+

1
Z

0

49x6dx= 7−14 + 7 = 0⇔

1
Z

0

f0(x) + 7x32 dx= 0.

⇒f0(x) = −7x3 ⇒f(x) = −7
4 x

4 _{+ C}_⇒_f_{(1) =}₋7

4 + C = 0⇒C =
7

4 ⇒f(x) =

−7
4 x

4₊7

4.

Vậy
1
Z

0

[f(x) + 2] dx=

1
Z

0

Å

−7

4x

4₊7

4 + 2
ã

dx= 17
5 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

Câu 297.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x và
nửa đường trịn có phương trìnhy=√4x−x2 _(với₀_≤_x_≤₄₎
(phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của(H) bằng

A. 4π+ 15

√

3

24 . B.

8π−9√3
6 .
C. 10π−9

√

3

6 . D.

10π−15√3

6 . x

y

O 2 3 4

Lời giải.

Với 0≤x≤4thì √4x−x2 ₌√_x_⇔_x2₋_3x_{= 0} _⇔
"

x= 0
x= 3

.

Vậy diện tích cần tính là

S =

3
Z

0

Ä√

4x−x2₋√_xä _dx₌
3
Z

0

√

4x−x2_dx₋
3
Z

0

√

xdx=

3
Z

0

√

4x−x2_dx₋₂√_3.

Đặt x−2 = 2 sint ⇒ dx= 2 costdt, suy ra
3

Z

0

√

4x−x2_dx₌

π

6
Z

−π₂

2p1−sin2tcostdt=

π

6
Z

−π₂

2(1 + cos 2t) dt = (2t+ sin 2t)

π

6

−π

2

= 8π+ 3

√

3
6 .

Vậy S = 8π+ 3

√

3
6 −2

√

3 = 8π−9

√

3
6 .

Chọn đáp án B 

Câu 298. Cho hai hàm số y =f(x)và y =g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳngx=a, x=b(a < b) được
tính theo công thức

A. S =

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx. B. S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx.

C. S =

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx

. D.S =π

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx.

Lời giải.

Công thức đúng là S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx.

Chọn đáp án B 

Câu 299. Cho lim

x→+∞

√

3x−2

x+ 3 =a là một số thực. Khi đó giá trị của a

2 _bằng

A. 9. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải.

Ta có lim

x→+∞

√

3x−2

x+ 3 = limx→+∞

√

3− 2

x
1 + 3

x

=√3⇒a=√3⇒a2 = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

Câu 300. Biết
√
3
Z
1
dx

1 +x+√1 +x2 =a

√

3 +b√2 +c+1
2ln(3

√

2−3)vớia, b, clà các số hữu tỉ. Tính

P =a+b+c.

A. P = 1

2. B. P =−1. C. P =−
1

2. D. P =
5
2.
Lời giải.
Ta có
√
3
Z
1
dx

1 +x+√1 +x2 =

√

3
Z

1

(1 +x−√1 +x2_{) dx}

2x =

Å₁
2lnx+

1
2x
ã



√
3
1
−
√
3
Z
1

x√1 +x2

2x2 dx.

= 1
2ln

√

3 +

√

3−1
2 −I.

XétI =
√

3
Z

1

x√1 +x2

2x2 dx.

Đặt t=√1 +x2_{, khi đó} _t_dt₌_x_dx_.

Ta có
I =
2
Z
√
2
t2

2(t2₋₁₎dt

= 1
2


t




2
√
2
+1
2
2
Z
√
2
Å ₁
t−1−

1
t+ 1

ã
dt



= 1
2
ï
t+ 1

2ln
t−1
t+ 1

ị



2
√
2
= 1
2
đ

2−√2 + 1

2ln
1
3−
1
2ln
√

2−1

√

2 + 1
ơ

= 1
2

ỵ

2−√2 ln√3−ln(√2−1)ó.

Vậy I = 1
2

√

3 + 1
2

√

2− 3

2 +
1
2ln(3

√

2−3).
Do đóP =a+b+c=−1

2.

Chọn đáp án C 

Câu 301. Cho hàm số y=f(x)liên tục trên đoạn [0; 1], thỏa mãn
1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

xf(x) dx= 1 và

1

Z

0

[f(x)]2dx= 4. Giá trị của tích phân
1
Z

0

[f(x)]3dx bằng

A. 1. B. 8. C. 10. D. 80.

Lời giải.

Xét
1
Z

0

[f(x) + (ax+b)]2dx=

1
Z

0

[f(x)]2dx+ 2

1
Z

0

[f(x)·(ax+b)] dx+

1
Z

0

(ax+b)2dx

= 4 + 2a

1
Z

0

xf(x) dx+ 2b

1
Z

0

f(x) dx+ 1

3a(ax+b)

1
0

= 4 + 2(a+b) + a

2

3 +ab+b

2_.

Cần xác định a, bsao cho a
2

3 + (2 +b)a+b

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

Có ∆(a) =b3+ 4b+ 4−

4
3(b

2_{+ 2b}_{+ 4) =}₋(b−2)
2

3 ≤0 nên (1) ⇔b = 2 và a=−6.

Ta có
1
Z

0

[f(x)−6x+ 2] dx= 0 nên f(x) = 6x−2.

Vậy
1
Z

0

[f(x)]3dx=

1
Z

0

(6x−2)3dx= 10.

Chọn đáp án C 

Câu 302. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x là

A. F(x) =−1

2cos 2x+C. B. F(x) = cos 2x+C.
C. F(x) = 1

2cos 2x+C. D.F(x) = −cos 2x+C.
Lời giải.

Ta có
Z

sin 2xdx=−cos 2x

2 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 303. Nếu

d

Z

a

f(x) dx= 5 và

d

Z

b

f(x) dx= 2 (với a < d < b) thì

b

Z

a

f(x) dx bằng

A. 3. B. 7. C. 5

2. D. 10.
Lời giải.

Ta có

b

Z

a

f(x) dx=

d

Z

a

f(x) dx+

b

Z

d

f(x) dx=

d

Z

a

f(x) dx−
d

Z

b

f(x) dx= 5−2 = 3.

Chọn đáp án A 

Câu 304. Cho
1
Z

0

2x+ 3

2−x dx=a·ln 2 +b (với a, blà các số nguyên). Khi đó giá trị của a là

A. −7. B. 7. C. 5. D. −5.

Lời giải.

Ta có
1
Z

0

2x+ 3

2−x dx=−

1
Z

0

2(x−2) + 7

x−2 dx=−

1
Z

0

Å

2 + 7
x−2

ã

dx=−(2x+ 7 ln|x−2|)

1

0

= 7 ln 2−2.

Do đóa= 7.

Chọn đáp án B 

Câu 305. Một ô tô đang chạy với vận tốc v0 m/s thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đã đạp
phanh. Từ thời điểm đó ơ tơ chuyển động chậm dần đều với gia tốc a(t) = −8t m/s2 trong đó t là
thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ
tơ cịn di chuyển được 12m. Tính v0.

A. √3

1269 m/s. B. √3

36m/s. C. 12m/s. D. 16m/s.

Lời giải.

Ta có v(t) =

Z

a(t) dt=−4t2+C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

Tại thời điểm ô tô dừng hẳn t=t1 ta có v(t1) = 0⇔ −4t21+C = 0⇔t1 =

√

C
2 .

Kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển được 12m, do đó

t1

Z

0

v(t) dt= 12 ⇔

Å

−4

3t

3₊_Ct

ã

t1

0

= 12

⇔ −4

3t

3

1+Ct1 = 12⇔ −

4
3·

C√C
8 +

C√C
2 = 12

⇔ C√C = 36⇔C =√3 1296.

Vậy v0 =

3

√

1296.

Chọn đáp án A 

Câu 306. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 4] và
2

Z

0

f(x) dx = 1,
4
Z

0

f(x) dx = 3. Tính I =

1
Z

−1

f(|3x−1|) dx.

A. I = 4. B. I = 2. C. I = 4

3. D. I = 1.
Lời giải.

Đặt 3x−1 = t⇒ dx= dt
3 .

Khi x=−1 thì t =−4; khi x= 1 thì t= 2.
Ta có I = 1

3

2
Z

−4

f(|t|) dt ⇒3I =

0
Z

−4

f(|t|) dt+

2
Z

0

f(|t|) dt =

0
Z

−4

f(−t) dt+

2
Z

0

f(t) dt=J+ 1.

Tính J =

0
Z

−4

f(−t) dt. Đặt −t=x⇒ dt =−dx.
Khi t=−4thì x= 4; khi t= 0 thì x= 0.

Suy ra J =−

0
Z

4

f(x) dx=

4
Z

0

f(x) dx= 3.

Vậy 3I = 4⇔I = 4
3.

Chọn đáp án C 

Câu 307. Cho hàm sốf(x)liên tục trên _R, thỏa mãn

π
4

Z

0

f(tanx) dx= 3 và
1
Z

0

x2f(x)

x2_{+ 1} dx= 1. Tính
1

Z

0

f(x) dx.

A. 1. B. 2. C. 5. D. 4.

Lời giải.

XétA =
π
4

Z

0

f(tanx) dx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>

Khi x= 0 thì t = 0; khi x= π

4 thì t= 1.

Ta có A=

1
Z

0

f(t)

t2_{+ 1}dt=

1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx⇒
1
Z

0

f(x)

x2_{+ 1}dx= 3 (1).

Mà theo giả thiết, ta có
1
Z

0

x2f(x)

x2_{+ 1} dx= 1 (2).

Lấy(1) cộng (2) vế với vế, ta được

1
Z

0

x2f(x) +f(x)

x2_{+ 1} dx= 4⇔
1
Z

0

f(x) dx= 4.

Chọn đáp án D 

Câu 308. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0; +∞), biết f0(x) + (2x+ 4)f2_{(x) = 0}_,

f(x)>0∀x >0 vàf(2) = 1

15. Tính S =f(1) +f(2) +f(3).
A. S = 7

15. B. S =
11

15. C. S =
11

30. D. S =
7
30.
Lời giải.

Từ giả thiết, ta có

f0(x)

f2_(x) =−(2x+ 4) ⇒

Z _f0_(x)

f2_(x)dx=−
Z

(2x+ 4) dx⇒

Z _df(x)

f2_(x) =−
Z

(2x+ 4) dx.

Suy ra 1

f(x) =x

2_{+ 4x}₊_C_{. Vì} _{f(2) =} 1

15 ⇒C = 3 nên f(x) =

1
x2_{+ 4x}_{+ 3}.
Do đóS =f(1) +f(2) +f(3) = 1

8 +
1
15 +

1
24 =

7
30.

Chọn đáp án D 

Câu 309. Cho F(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 + 2x+ 3x2 _{thỏa mãn} _F_{(1) = 2}_{. Tính}

F(0) +F(−1).

A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.

Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

(1 + 2x+ 3x2)dx=x+x2+x3+c.

MàF(1) = 2⇒c=−1 hay F(x) =x+x2+x3−1.
Do đóF(0) +F(−1) =−3.

Chọn đáp án A 

Câu 310. Cho hàm số f(x) =

(

x khi x≥1

1 khi x <1. Tính tích phân I =

2
Z

0

f(x) dx.

A. I = 4. B. I = 2. C. I = 3

2. D. I =
5
2.
Lời giải.

Ta có I =

2
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

f(x) dx+

2
Z

1

f(x) dx=

1
Z

0

1 dx+

1
Z

0

xdx= 5
2.

Chọn đáp án D 

Câu 311. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) +x·f0(x) = 3x2+ 2x, ∀x∈_R. Tính f(1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>

Lời giải.

Theo giả thiết f(x) +x·f0(x) = 3x2_{+ 2x,} _∀_x_∈
R.
Ta có (xf(x))0 = 3x2 _{+ 2x}_⇒

1
Z

0

(xf(x))0 dx=

1
Z

0

(3x2+ 2x) dx= 2⇒(xf(x))

1

0

= 2⇒f(1) = 2.

Chọn đáp án A 

Câu 312.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y =x−2

và trục hồnh (hình vẽ). Quay(H)xung quanh trụcOx.

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành.

A. 10π

3 . B.
16π

3 . C.
7π

3 . D.
8π

3 .

x
y

O

y=√x

y=x−2

2 4

2

Lời giải.

Dựa vào đồ thị, ta có

V(H) =π
4
Z

0

(√x)2 dx−π

4
Z

2

(x−2)2 dx= 16π
3 .

Chọn đáp án B 

Câu 313. Biết
2
Z

1

4dx

(x+ 4)√x+x√x+ 4 =

√

a+√b−√c−d với a, b, c, d là các số nguyên dương.
Tính P =a+b+c+d.

A. 48. B. 46. C. 54. D. 52.

Lời giải.

Ta có

I =

2
Z

1

4 dx

(x+ 4)√x+x√x+ 4 =

2
Z

1

4

p

x(x+ 4) √x+ 4 +√xdx=

2
Z

1

√

x+ 4−√x

p

x(x+ 4) dx.

Khi đó,

I =

2
Z

1

Å ₁

√

x −
1

√

x+ 4
ã

dx=Ä2√x−2√x+ 4ä

2

1

= 2√2−2√6−2 + 2√5 =√8 +√20−√24−2.

Suy ra a= 8, b = 20, c= 24, d= 2. Do đó, P = 54.

Chọn đáp án C 

Câu 314. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên _R và f(0) = 0, f0(1) = 9
2,

1
Z

0

[f0(x)]2dx= 39
4 ,

1
Z

0

(x2+x)f00(x) dx= 5

2. Tính tích phân I =

2
Z

0

f(x) dx.

A. I = 14

3 . B. I = 14. C. I =
7

</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>

Ta có 5

2 =

1
Z

0

(x2+x)f00(x) dx=

1
Z

0

(x2+x) df0(x) = (x2+x)f0(x)|1
0−

1
Z

0

(2x+ 1)f0(x) dx

⇒

1
Z

0

(2x+ 1)f0(x) dx= 13
2 (1).

⇒

1
Z

0

4[f0(x)]2−12(2x+ 1)f0(x) + 9(2x+ 1)2 dx= 0

⇒

1
Z

0

[2f0(x)−3(2x+ 1)]2 dx= 0

⇒2f0(x)−3(2x+ 1) = 0⇒f(x) = 3(x

2₊_x)

2 +C

Từ f(0) = 0⇒f(x) = 3(x

2₊_x)

2 . Vậy I =

2
Z

0

3(x2₊_x)

2 dx= 7.

Chọn đáp án D 

Câu 315. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =√xlnx.

A.
Z

f(x) dx= 1
9x

3

2(3 lnx−2) +C. B.

Z

f(x) dx= 2
3x

3

2(3 lnx−2) +C.
C.

Z

f(x) dx= 2
9x

3

2(3 lnx−1) +C. D.

Z

f(x) dx= 2
9x

3

2(3 lnx−2) +C.
Lời giải.

Đặt
(

u= lnx

dv =√xdx ⇒







du= 1
xdx
v = 2

3x
3
2

.

Ta có
Z

f(x) dx= 2
3x

3

2 lnx−

Z

2
3x

3
2 · 1

xdx=
2
3x

3

2 lnx− 2
3

Z

x12 dx= 2
9x

3

2(3 lnx−2) +C.

Chọn đáp án D 

Câu 316. Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol

(P) : y=x2 và đường thẳng d: y= 2x quay xung quanh trục Ox.

A. π

2
Z

0

x2−2x2 dx. B. π

2
Z

0

4x2dx−π

2
Z

0

x4dx.

C. π

2
Z

0

4x2dx+π

2
Z

0

x4dx. D.π

2
Z

0

2x−x2

dx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol (P) :y=x2 _{và đường}
thẳng d:y = 2x là

x2 = 2x⇔

"

x= 0
x= 2.

Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol

(P) :y=x2 _{và đường thẳng} _d_:_y_{= 2x} _{quay xung quanh trục} _Ox_là

V =π

2
Z

0

4x2dx−π

2
Z

0

x4dx.

O x

y

2
4

Chọn đáp án B 

Câu 317. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R thỏa mãn f(tanx) = cos2_x,_∀_x _∈

R. Tính I =
1

Z

0

f(x) dx.

A. 2 +π

8 . B. 1. C.

2 +π

4 . D.

π
4.
Lời giải.

Đặt x= tant với t∈−π

2;
π
2

, suy ra dx= 1

cos2_t · dt.
Khi x= 0 thì t = 0.

Khi x= 1 thì t = π
4.

Ta có

I =
π
4

Z

0

f(tant)· 1

cos2_tdt=

π
4

Z

0

cos2t· 1

cos2_t · dt=

π
4

Z

0

dt = t|π4

0 =

π
4.

Chọn đáp án D 

Câu 318. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R+ _{thỏa mãn} _f0_(x) _≥ _x₊ 1

x,∀x ∈ R

+ _và _f_{(1) = 1}_{. Tìm}
giá trị nhỏ nhất của f(2).

A. 3. B. 2. C. 5

2+ ln 2. D. 4.
Lời giải.

Ta có f(2)−f(1) =

2
Z

1

f0(x) dx≥

2
Z

1

Å
x+ 1

x
ã

dx=
Å

x2

2 + lnx
ã

2

1

= 3

2 + ln 2.

Do đóminf(2) = 3

2+ ln 2 +f(1) =

5

2+ ln 2.

Chọn đáp án C

Câu 319. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = ex−1_{, các trục tọa độ và phần đường}
thẳngy = 2−xvớix≥1. Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quayDquanh trục hoành.

A. V = 1
3 +

e2₋₁

2e2 . B. V =

π(5e2₋₃₎

6e2 . C. V =

1
2+

e−1

e π. D. V =
1
2 +

e2₋₁

2e2 .

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmex−1 _{= 2}₋_x_⇔_ex−1₊_x₋_{2 = 0 (1)}
Hàm sốf(x) = ex−1₊_x₋₂_{đồng biến trên}

</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>

Đường thẳng y= 2−x cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x= 2.
Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là

V = π

1
Z

0

(ex−1)2dx+π

2
Z

1

(2−x)2dx

= π

1

Z

0

e2x−2dx+π

2
Z

1

(2−x)2dx

= 1
2πe

2x−2

1
0−

1

3π(2−x)

3

2
1

= 1
2π

Å
1− 1

e2

ã
+1

3π=

π(5e2−3)
6e2 .

Chọn đáp án B 

Câu 320. Xét hàm số y =f(x)liên tục trên miền D= [a;b] có đồ thị là một đường cong(C). Gọi

S là phần giới hạn bởi (C)và các đường thẳng x=a, x=b. Người ta chứng minh được rằng độ dài
đường cong S bằng

b

Z

a

»

1 + (f0_(x))2_dx_{. Theo kết quả trên, độ dài đường cong}_S _{là phần đồ thị của}

hàm số f(x) = lnx bị giới hạn bởi các đường x= 1, x=√3là m−√m+ ln1 +

√

m

√

n với m, n∈Z

thì giá trị m2−mn+n2 là bao nhiêu?

A. 6. B. 7. C. 3. D. 1.

Lời giải.

Ta có S =
√

3
Z

1

…
1 + 1

x2dx=

√

3
Z

1

x√1 +x2

x2 dx.
Đặt u=√1 +x2 _⇒_u2 _{= 1 +}_x2 _⇒_u_du₌_x_dx_.
Khi x= 1 thì u=√2.

Khi x=√3 thì u= 2.
Nên

S =

2
Z

√

2

u2

u2₋₁du=

2
Z

√

2

du+

2
Z

√

2

1

(u−1)(u+ 1)du

=

2
Z

√

2

du+1

2

2
Z

√

2

Å
1
u−1−

1
u+ 1

ã
du

= u|2√

2+

1
2 ln

u−1
u+ 1

2

√

2

= 2−√2 + ln1 +

√

2

√

3 .

Do đóm = 2, n= 3. Bởi vậym2−mn+n2 = 7.

Chọn đáp án B 

Câu 321. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x là

A. 5

x

ln 5 +C. B. 5

x_·_{ln 5 +}_C_. _C_. 5
x+1

x+ 1 +C. D. 5

x+1₊_C_.

Lời giải.

Áp dụng công thức
Z

axdx= a

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>

Z

5xdx= 5

x

ln 5 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 322. Gọi Dlà hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2₋_4x_{+ 3}_{, trục hoành và hai đường}
thẳngx= 1, x= 3. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quayD quanh trục hoành bằng

A. 16

15. B.

4π

3 . C.

16π

15 . D.

4
3.
Lời giải.

Thể tích của khối trịn xoay bằng

V =π

3
Z

1

(x2−4x+ 3)2dx=π

3
Z

1

(x4 −8x3+ 22x2−24x+ 9) dx= 16π
15 .

Chọn đáp án C 

Câu 323. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên đoạn [1; 2] và
2
Z

1

(x−1)f0(x) dx=a. Tính
2
Z

1

f(x) dx

theo a và b=f(2).

A. a−b. B. a+b. C. b−a. D. −b−a.

Lời giải.

Áp dụng công thức

β

Z

α

udv =uv

β
α

−
β

Z

α

vdu, ta có

a=

2
Z

1

(x−1)f0(x) dx=

2

Z

1

(x−1) d (f(x)) = (x−1)f(x)

2
1−

2
Z

1

f(x) dx

= f(2)−

2
Z

1

f(x) dx=b−

2
Z

1

f(x) dx.

Từ đó suy ra
2
Z

1

f(x) dx=b−a.

Chọn đáp án C 

Câu 324. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên _R\ {0} và thỏa mãn 2·f(3x) + 3·f
Å₂

x
ã

=−15x

2 ,

9
Z

3

f(x) dx=k. Tính I =

3
2
Z

1
2

f
Å

1
x

ã
dx.

A. I =−45 +k

9 . B. I =

45−k

9 . C. I =

45 +k

9 . D. I =

45−2k
9 .
Lời giải.

Từ giả thiết2·f(3x) + 3·f
Å₂

x
ã

=−15x

2 , suy ra

2

3
Z

1

f(3x) dx+ 3

3
Z

1

f
Å₂

x
ã

dx=

3
Z

1

Å

−15x

2
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>

Xét tích phân K =

3
Z

1

f(3x) dx.

Đặt t= 3x⇒ dx= 1

3dt. Với x= 1⇒t = 3; x= 3⇒t= 9. Suy ra

K =

9
Z

3

f(t)1
3dt=

k
3.

Xét tích phân L=

3
Z

1

f
Å₂

x
ã

dx.

Đặt 1

t =
2

x ⇔x= 2t ⇒ dx= 2 dt. Với x= 1⇒t=
1

2; x= 3 ⇒t =
3

2. Suy ra

L=

3
2
Z

1
2

f
Å₁

t
ã

2 dt = 2I.

Vậy ta có

2· k

3 + 3·2I =−30⇔I =−
45 +k

9 .

Chọn đáp án A 

Câu 325. Cho hàm số f(x) xác định trên _R \ {0} và thỏa mãn f0(x) = 1

x2₊_x4, f(1) = a và

f(−2) =b. Giá trị của biểu thứcf(−1)−f(2) bằng

A. a+b. B. b−a. C. a−b. D. −a−b.

Lời giải.

Ta có f(x) =

Z

f0(x) dx=

Z

1

x2₊_x4 dx=
Z Å

1
x2 −

1
x2_{+ 1}

ã

dx=−1

x−arctanx+C.

Do hàm sốf(x)có đạo hàm trên_R\ {0}nên liên tục trên từng khoảng(−∞; 0) và (0; +∞). Do đó,
hàm sốf(x)có dạng







− 1

x −arctanx+C1, nếu x <0

− 1

x −arctanx+C2, nếu x >0.

Thay x= 1, ta được a=−1

1 −arctan 1 +C2 ⇒C2 =a+ 1 +
π
4.

Thay x=−2, ta được b=− 1

−2 −arctan(−2) +C1 ⇒C1 =b−
1

2−arctan 2.

Do đó

f(−1)−f(2) =
ï

− 1

−1−arctan(−1) +b−
1

2 −arctan 2
ò

−

ï

−1

2−arctan 2 +a+ 1 +
π
4
ò

=b−a.

Chọn đáp án B 

Câu 326. Cho

π

2
Z

0

(4 cos 2x+ 3 sin 2x) ln(cosx+ 2 sinx) dx = cln 2− a

b, trong đó a, b, c ∈ N
∗_, a

b là

phân số tối giản. TínhT =a+b+c.

A. T =−11. B. T = 5. C. T = 7. D. T = 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>

Gọi I là tích phân đã cho. Ta có

[ln(cosx+ 2 sinx)]0 = −sinx+ 2 cosx
cosx+ 2 sinx =

(−sinx+ 2 cosx)(cosx+ 2 sinx)
(cosx+ 2 sinx)2

= 2 cos 2x+ 3 sinxcosx
cos2_x_{+ 4 sin}2_x_{+ 4 sin}_x_cos_x

= 4 cos 2x+ 3 sin 2x
4 sin 2x−3 cos 2x+ 5.

Đặt
(

u= ln(cosx+ 2 sinx)
dv = (4 cos 2x+ 3 sin 2x) dx

⇒







du= 4 cos 2x+ 3 sin 2x
4 sin 2x−3 cos 2x+ 5 dx
v = 1

2·(4 sin 2x−3 cos 2x+ 5)

.

Suy ra

I = 1

2(4 sin 2x−3 cos 2x+ 5)·ln(cosx+ 2 sinx)

π

2

0

−1

2

π

2
Z

0

(4 cos 2x+ 3 sin 2x) dx

= 4 ln 2−1

2
Å

2 sin 2x− 3

2cos 2x
ã

π

2

0

= 4 ln 2− 1

2
Å₃

2 +
3
2

ã

= 4 ln 2−3

2.

Vậy c= 4, a= 3, b= 2. Suy ra T =a+b+c= 9.

Chọn đáp án D 

Câu 327. Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = e2x.

A. F(x) = ex+C. B. F(x) = e

x

2 +C. C. F(x) = e

2x₊_C_. _D_. _F_{(x) =} e

2x

2 +C.
Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

e2xdx= e

2x

2 +C.

Chọn đáp án D 

Câu 328. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn[−1; 3]và thỏa mãn f(−1) = 4;f(3) = 7.
Tính tích phânI =

3
Z

−1

5f0(x) dx.

A. I = 20. B. I = 3. C. I = 10. D. I = 15.

Lời giải.

Ta có I =

3
Z

−1

5f0(x) dx= 5f(x)|3₋₁ = 5 (f(3)−f(−1)) = 15.

Chọn đáp án D 

Câu 329. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên[a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

b

Z

a

f(x) dx=−
a

Z

b

f(x) dx.

B.

b

Z

a

f(x) dx=

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx, ∀c∈_R.

C.

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>

D.

a

Z

a

f(x) dx= 0.

Lời giải.

Ta khơng biết được hàm số y = f(x) có liên tục tại c hay không, nên biểu thức

b

Z

a

f(x) dx =

c

Z

a

f(x) dx+

b

Z

c

f(x) dx, ∀c∈_R sai.

Chọn đáp án B 

Câu 330. Cho
3
Z

1

f(x) dx= 12, tính giá trị của tích phân I =

6
Z

2

fx
2

dx.

A. I = 24. B. I = 10. C. I = 6. D. I = 14.

Lời giải.

Đặt u= x

2 ⇒du=
dx

2 ⇒dx= 2du.

Đổi cận

Với x= 2 suy ra u= 1.
Với x= 6 suy ra u= 3.
Suy ra I = 2

3

Z

1

f(u) du= 24.

Chọn đáp án A 

Câu 331. Cho hàm sốf(x) =ax3₊_bx2₊_cx₊_d ₍_a₆_{= 0}_{) thỏa mãn} _(f(0)₋_f_{(2)) (f}₍₃₎₋_f₍₂₎₎_>₀_.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) có hai cực trị.

B. Phương trìnhf(x) = 0 ln có3 nghiệm phân biệt.

C. Hàm số f(x) khơng có cực trị.

D. Phương trình f(x) = 0 ln có nghiệm duy nhất.

Lời giải.

Ta có f0(x) = 3ax2_{+ 2bx}₊_c_.

Do (f(0)−f(2)) (f(3)−f(2))>0nên ta có hai trường hợp:

(

f(0)−f(2)>0
f(3)−f(2)>0

⇒



















f(2)−f(0) =

2
Z

0

f0(x) dx <0

f(3)−f(2) =

3
Z

2

f0(x) dx >0.

Từ đó suy ra ∃x1 ∈ (0; 2), f0(x1) <0 và ∃x2 ∈(2; 3), f0(x2) >0, suy ra f0(x1)f0(x2) <0, suy
ra f0(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (x1;x2), kết hợp f0(x) = 0 là phương trình
bậc hai suy raf0(x) = 0 ln có hai nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số có hai cực trị.
(

f(0)−f(2)<0
f(3)−f(2)<0

. Tương tự, hàm số cũng có hai cực trị.

</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>

Chọn đáp án A 
Câu 332. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=x2₋_4x_{+ 3 (P}₎ _{và các}
tiếp tuyến kẻ từ điểmA

Å₃
2;−3

ã

đến đồ thị (P). Tính giá trị củaS.

A. S = 9. B. S = 9

8. C. S =
9

4. D. S =
9
2.
Lời giải.

Ta có y0 =f0(x) = 2x−4.

Giả sử đường thẳng dtiếp xúc với đồ thị(P)tại điểmM(x0;y0),
suy ra đường thẳngd có dạng

d: y=f0(x0)(x−x0) +y0.
Đường thẳng d đi qua điểm A, nên ta có

(2x0−4)

Å₃
2−x0

ã

+x2₀−4x0 + 3 =−3

⇔3x0−6−2x20+ 4x0+x20−4x0+ 6 = 0

⇔ −x2₀ + 3x0 = 0⇔
"

x0 = 0

x0 = 3.

x
y

3

−3
O

3
2

3

(P)

d1

d2

A

Với x0 = 0⇒y0 = 3, suy ra phương trình tiếp tuyến d1 tại điểm M1(0; 3) lày =−4x+ 3.
Với x0 = 3⇒y0 = 0, suy ra phương trình tiếp tuyến d2 tại điểm M2(3; 0) lày = 2x−6.

Từ đó suy ra diện tích hình giới hạn

3
2

Z

0

(x2−4x+ 3)−(−4x+ 3)

dx+

3
Z

3
2

(x2−4x+ 3)−(2x−6)

dx=

9
4.

Chọn đáp án C 

Câu 333.

Gọi (H)là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=

−x2 + 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y = m,

y = n chia hình (H) thành 3 phần có diện tích bằng
nhau (ta có thể tham khảo hình vẽ). Tính giá trị biểu
thức T = (4−m)3_{+ (4}₋_n)3_.

A. T = 320

9 . B. T =
75

2 .
C. T = 512

15. D. T = 405.

x
y

O

y=m

y=n

Lời giải.

Hoành độ giao điểm giữa parabol và trục hoành là nghiệm của phương trình

−x2+ 4x= 0 ⇔

"

x= 0
x= 4.

Diện tích hình phẳng (H)là S =

4
Z

0

−x2+ 4x

dx=

</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>

Ta có

−x2+ 4x=y⇔x2−4x+y= 0 ⇔

"

x= 2−p

4−y
x= 2 +p4−y

(y <4).

Suy ra diện tích hình giới hạn bởi y=n, y=−x2_{+ 4x} _{và trục hoành là}

S1 =

n
Z
0



Ä

2 +p4−yä−Ä2−p4−yä

dy =
n
Z
0

2p4−ydy= −4

p

(4−y)3

3





n
0
= 32
3 −

4p(4−n)3

3 .

Tương tự ta có diện tích hình giới hạn bởiy =m,y=−x2_{+ 4x}_{và trục hồnh là}

S2 =

32
3 −

4p(4−m)3

3 .

Để hai đường thẳng y=n, y=m chia(H) thành ba phần có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi








S1 =

32
9
S2 =

64
9
⇔







32
3 −

4p(4−n)3

3 =

32
9
32

3 −

4p(4−m)3

3 =
64
9
⇔








4p(4−n)3

3 =

64
9
4p(4−m)3

3 =
32

9
⇔






(4−n)3 = 256
9
(4−m)3 = 64

9
.

Từ đó suy ra T = (4−m)3_{+ (4}₋_n)3 ₌ 320

9 .

Chọn đáp án A 

Câu 334. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và thỏa mãn

Z _f √_x_{+ 1}

√

x+ 1 dx=

2 √x+ 1 + 3

x+ 5 +C.

Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(2x)trên tập _R+.

A. x+ 3

2 (x2_{+ 4)} +C. B.

x+ 3

x2_{+ 4} +C. C.

2x+ 3

4 (x2 _{+ 1)} +C. D.

2x+ 3

8 (x2_{+ 1)} +C.

Lời giải.

Ta có

Z _f √_x_{+ 1}

√

x+ 1 dx=

Z

2fÄ√x+ 1ä dÄ√x+ 1ä = 2

√

x+ 1 + 3

√

x+ 12+ 4

+C,
suy ra

Z

fÄ√x+ 1ä dÄ√x+ 1ä =

√

x+ 1 + 3

√

x+ 12 + 4
+C

Từ đó suy ra
Z

f(2x) dx= 1
2

Z

f(2x) d(2x) = 1
2·

2x+ 3

(2x)2_{+ 4} +C =

2x+ 3

8 (x2_{+ 1)} +C.

Chọn đáp án D 

Câu 335. Biết rằng

a+√b

Z

4

1

√

−x2 _{+ 6x}₋₅dx =

π

6, ở đó a, b ∈ Z

+ _và ₄ _{< a}₊√_{b <} ₅_{. Tính tổng}

S =a+b.

A. S = 5. B. S = 7. C. S = 4. D. S = 6.

Lời giải.

Ta có π

6 =

a+√b

Z

4

1

√

−x2_{+ 6x}₋₅dx=

a+√b

Z

4

1

p

4−(x−3)2 dx. (∗)

Đặt x−3 = 2 sint, suy ra dx= 2 costdt.
Đổi cận: x= 4⇒t= π

6 và x=a+

√

b ⇒t= arcsin
Ç

a+√b−3
2

å

.

Thay vào(∗) ta có π

6 =
arcsin

a+
√
b−3
2

Z
π
6
1
p

4−4 sin2t ·2 costdt= arcsin
Ç

a+√b−3
2

å

− π

</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>

Từ đó suy ra arcsin
Ç

a+√b−3

2

å
= π

3 ⇒

a+√b−3

2 =

√

3

2 ⇒a= 3, b= 3.

Vậy S =a+b = 6.

Chọn đáp án D 

Câu 336. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2
x −

1

x2 +x trên khoảng (0; +∞).

A. F(x) = 2 ln|x|+ 1
x +

x2

2 +C. B. F(x) = lnx−lnx

2₊x
2

2 +C.
C. F(x) = lnx− 1

x+
x2

2 +C. D.F(x) = ln|x|+
1
x+

x2
2 +C.
Lời giải.

Ta có F(x) = 2 ln|x|+ 1
x +

x2

2 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 337. Cho hàm số y=f(x)liên tục trên _R và thỏa mãn
3
Z

0

f(x) dx= 20,

5
Z

0

f(x) dx= 2. Tính
5

Z

3

f(x) dx.

A. 22. B. 18. C. −18. D. −22.

Lời giải.

5
Z

3

f(x) dx=

5
Z

0

f(x) dx−

3
Z

0

f(x) dx=−18.

Chọn đáp án C 

Câu 338. Một ô tô chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu bằng 10m/s và gia tốc a(t) = −2t+ 8

m/s2, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn
nhất thì xe đi được qng đường bao nhiêu?

A. 128

3 m. B.

248

3 m. C. 70m. D. 80m.
Lời giải.

Ta có vận tốc ơ tơ là v(t) =

Z

a(t)dt =

Z

(−2t+ 8)dt = −t2 + 8t+C. Vì vận tốc ban đầu là 10

m/s nên ta có v(t) = −t2 _{+ 8t}_{+ 10 =} ₋_(t₋₄₎2_{+ 26}_≥ ₂₆_{. Vậy vận tốc lớn nhất của ô tô bằng 26}
m/s, đạt được khi t = 4. Do đó quãng đường xe đi được kể từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc
lớn nhất là:

S =

4
Z

0

v(t)dt =

4
Z

0

(−t2+ 8t+ 10)dt= 248
3 .

Chọn đáp án B 

Câu 339. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =√lnx, y = 0 và x = 2. Tính thể
tíchV của khối trịn xoay thu được khi quay hình (H)quanh trục Ox.

A. V = 2πln 2. B. V = 2π(ln 2−1). C. V =π(2 ln 2−1). D. V =π(ln 2 + 1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124>

Ta có lnx= 0⇔x= 1, suy ra thể thích V =π

2
Z

1

lnxdx=π(2 ln 2−1).

Chọn đáp án C 

Câu 340. Có bao nhiêu hàm số y=f(x) liên tục trên[0; 1] thỏa mãn
1

Z

0

(f(x))2018dx=

1
Z

0

(f(x))2019dx=

1
Z

0

(f(x))2020dx.

A. 3 . B. 2. C. 4. D. 5.

Lời giải.

Từ giả thiết ta có
1

Z

0

(f(x))2018dx+

1

Z

0

(f(x))2020dx−2

1
Z

0

(f(x))2019dx= 0⇔

1
Z

0

(f(x))2018(f(x)−1)2dx= 0.

Do đó hoặc f(x) = 0 hoặc f(x) = 1. Vì f(x) liên tục nên f(x) = 0,∀x∈ [0; 1] hoặc f(x) = 1,∀x∈

[0; 1].

Chọn đáp án B 

Câu 341. Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên _R, thỏa mãn f(0) = f(2) = 0,

max

[0;2] |f

00_(x)_|_{= 1} _và

2
Z

0

f(x) dx

= 2
3. Tính

3
2

Z

1
2

f(x) dx

.

A. 11

12. B.

11

24. C.

37

12. D.

37
24.
Lời giải.

2
Z

0

(2x−x2) dx≥

2
Z

0

f00(x)(2x−x2) dx

=

f0(x)(2x−x2)

2

0

−

2
Z

0

f0(x)(2−2x) dx

=

2
Z

0

f0(x)(2−2x) dx

=

f(x)(2−2x)

2

0

−

2
Z

0

f(x)(−2) dx

=2

2
Z

0

f(x) dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>

Mà
2
Z

0

(2x−x2) dx= 4

3. Từ đó suy ra

2
Z

0

(2x−x2) dx=

2

Z

0

f00(x)(2x−x2) dx

⇔ |f00(x)|= 1 ⇔

"

f00(x) =−1
f00(x) = 1 .

Mặt khác f00(x)liên tục trên [0; 2] nên
"

f00(x) =−1,∀x∈[0; 2]
f00(x) = 1, ∀x∈[0; 2]

.

<b>1</b> f00(x) =−1 khi đó f(x) = −x

2

2 +C1x+C2. Vìf(0) =f(2) = 0nên f(x) =−
x2

2 +x.

Khi đó

3
2

Z

1
2

f(x) dx

= 11
24.

<b>2</b> f00(x) = 1 khi đó f(x) = x

2

2 +C1x+C2. Vì f(0) =f(2) = 0nên f(x) =
x2

2 −x.

Khi đó

3
2

Z

1
2

f(x) dx

= 11
24.

Chọn đáp án B 

Câu 342. Tìm nguyên hàm I =

Z

e−x+ 2x

dx.

A. I =−e−x+x2+C. B. I = e−x+x2 +C.

C. I =−e−x₋_x2₊_C_. _D_._I _{= e}−x₋_x2₊_C_.

Lời giải.
I =

Z

e−x+ 2x dx=−e−x+x2+C.

Chọn đáp án A 

Câu 343. Giả sử F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ex_{, biết}_F_{(0) = 4}_{. Tìm} _F_(x)_.

A. F(x) = ex_{+ 2}_. _B_. _F_{(x) = e}x_{+ 3}_. _C_. _F_{(x) = e}x_{+ 4}_. _D_. _F_{(x) = e}x_{+ 1}_.

Lời giải.

Do F(x) là một nguyên hàm của f(x) = ex _nên _F_{(x) = e}x ₊_C_{. Lại có} _F_{(0) = 4} _nên _C _{= 3} _hay

F(x) = ex_{+ 3}_.

Chọn đáp án B 

Câu 344. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2 _và _y_{= 2x}_.

A. S = 5

3 (đvdt). B. S =

14

3 (đvdt). C. S =

20

3 (đvdt). D. S =

4

3 (đvdt).
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm

x2 = 2x⇔

"

x= 0
x= 2.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

S =

2
Z

0

2x−x2

dx= 4

3. x

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>

Chọn đáp án D 

Câu 345. Cho f,g là hai hàm số liên tục trên[1; 3], đồng thời thỏa mãn
3
Z

1

[f(x) + 3g(x)] dx= 10

và
3
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx= 6. Tính
3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx.

A. 6. B. 8. C. 7. D. 9.

Lời giải.

Đặt a=

3
Z

1

f(x) dx, b =

3
Z

1

g(x) dx. Theo giả thiết ta có

(

a+ 3b= 10
2a−b = 6

⇒

(

a= 4

b= 2.

Vậy
3
Z

1

[f(x) +g(x)] dx=a+b = 6.

Chọn đáp án A 

Câu 346. Tìm số thực m >1thỏa mãn

m

Z

1

(lnx+ 1) dx=m.

A. m = e + 1. B. m = 2e. C. m= e2. D. m= e.

Lời giải.

Ta có

m =

m

Z

1

(lnx+ 1) dx=x(lnx+ 1)

m

1 −

m

Z

1

dx

=m(lnm+ 1)−1−x

m

1

=mlnm.

Do m >1nên m= e.

Chọn đáp án D 

Câu 347. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [a;b] và f(a) = f(b). Hỏi mệnh đề nào sau đây
đúng?

A.

b

Z

a

f0(x)ef(x)dx= e. B.

b

Z

a

f0(x)ef(x)dx= 1.

C.

b

Z

a

f0(x)ef(x)dx= ln(b−a). D.

b

Z

a

f0(x)ef(x)dx= 0.

Lời giải.

Ta có

b

Z

a

f0(x)ef(x)dx=

b

Z

a

ef df =ef

b
a

= ef(b)−ef(a) = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>

Câu 348. Chof(x) =alnÄx+√x2_{+ 1}ä_+bx2017₊₂₀₁₈_với_{a, b}_∈

R. Biết rằngf(log (log e)) = 2019.
Tính giá trị của f(log (ln 10)).

A. 2019. B. 2020. C. 2018. D. 2017.

Lời giải.

Ta có

f(x) = alnÄx+√x2_{+ 1}ä₊_bx2017_{+ 2018}

=aln√ 1

x2_{+ 1}₋_x+bx
2017

+ 2018
=−alnÄ√x2_{+ 1}₋_xä₊_bx2017_{+ 2018}

=−aln»(−x)2_{+ 1 + (}₋_x)₋_b(₋_x)2017_{+ 2018}

= 4036−f(−x),

mà log(ln 10) = log 1

log e =−log(log e) nên

f(log (ln 10)) = 4036−f(log (log e)) = 4036−2019 = 2017.

Chọn đáp án D 

Câu 349. Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên _R thỏa mãn f(2) = −2,
2
Z

0

f(x) dx = 1.

Tính tích phânI =

4

Z

0

f0 √x

dx.

A. I =−10. B. I = 0. C. I =−5. D. I =−18.

Lời giải.

Đặt t=√x, suy ra dx= 2tdt. Khi x= 0 thi t = 0, khi x= 4 thì t = 2. Do đó

I =

2
Z

0

2tf0(t) dt = 2tf(t)

2
0−2

2

Z

0

f(t) dt= 2·2f(2)−2·1 = −10.

Chọn đáp án A 

Câu 350. Nguyên hàm của hàm số y=x2₋_3x₊ 1

x là
A. x

3

3 −
3x2

2 −ln|x|+C. B.
x3

3 −
3x2

2 +
1
x2 +C.

C. x
3

3 −
3x2

2 + lnx+C. D.

x3
3 −

3x2

2 + ln|x|+C.
Lời giải.

Ta có
Z Å

x2−3x+ 1
x

ã

dx= x

3

3 −
3x2

2 + ln|x|+C.

Chọn đáp án D 

Câu 351. Trong các hàm số sau: (I) f(x) = tan2_x_{+ 2}_{, (II)} _{f(x) =} 2

cos2_x, (III) f(x) = tan

2_x_{+ 1}_.
Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx?

A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III).

</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128>

Cách 1:

Ta có
Z

tan2x+ 2dx=

Z Å

1 + 1
cos2_x

ã

dx=x+ tanx+C.
Và

Z

2

cos2_xdx= 2 tanx+C.
Và

Z

tan2x+ 1

dx=

Z ₁

cos2_xdx= tanx+C.

Cách 2:

Ta có g0(x) = (tanx)0 = 1 + tan2_x_.

Chọn đáp án B 

Câu 352. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y =−x2 _{+ 2x}_{, trục hồnh. Quay hình phẳng} _(H)
quanh trục Ox ta được khối trịn xoay có thể tích là

A. 496π

15 . B.

32π

15 . C.

4π

3 . D.

16π
15 .
Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của(H) và Ox:−x2_{+ 2x}_{= 0}_⇔_x_{= 0} _và _x_{= 2}_.
Khi đóV =π

2
Z

0

−x2+ 2x2dx=π

2
Z

0

x4−4x3+ 4x2

dx= 16π
15 .

Chọn đáp án D 

Câu 353. Cho I =

2
Z

0

f(x)dx= 3. Khi đó J =

2
Z

0

[4f(x)−3] dxbằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Lời giải.

Ta có J =

2
Z

0

[4f(x)−3] dx= 4

2
Z

0

f(x)dx−3

2
Z

0

dx= 4·3−3·x
2
0 = 6.

Chọn đáp án B 

Câu 354. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đườngy =x2, y = 2x. Thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay(H) xung quanh trụcOx bằng

A. 32π

15 . B.

64π

15 . C.

21π

15 . D.

16π
15 .
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm:x2₋_2x_{= 0}_⇔_x_{= 0} _và _x_{= 2}_.
Thể tích khối trịn xoay là V =π

2
Z

0


x

22₋_(2x)2
dx=

64π
15 .

Chọn đáp án B 

Câu 355. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25

mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số
tiền bác Năm phải trả là

A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng.

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129>

x
y
−3
2
3
2
−9
4
O

Ta có hệ phương trình














9
4 =c
9
4a−

3

2b+c= 0
9

4a+
3

2b+c= 0

⇔










a=−1
b = 0
c= 9

4

. Vậy(P) :y=−x2 ₊9

4.

Dựa vào đồ thị, diện tích của cửa parabol là:S =
3
2

Z

−3₂
Å

−x2+9
4

ã

dx= 9
2 (m).

Số tiền phải trả là 9

2×1500000 = 6750000 (đồng).

Chọn đáp án D 

Câu 356. Cho

2
Z

1

dx

x5₊_x3 =aln 5 +bln 2 +c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a+ 2b+ 4c
bằng

A. 0. B. −1. C. −5

8. D. 1.
Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
x5₊_x3 =

2
Z

1

xdx

x4_(x2_{+ 1)} =I. Đặt t=x

2_{+ 1}_⇒_x2 ₌_t₋₁_,_x_dx₌ 1

2dt. Vớix= 1 ⇒t= 2;
x= 2⇒t= 5. Khi đó

I = 1
2

5
Z

2

dt
(t−1)2_t =

1
2
5
Z
2
dt
(t−1)2 −

1
2
5
Z
2
dt

t−1+

1
2
5
Z
2
dt
t
=− 1

2(t−1)

5
2
− 1

2ln|t−1|

5
2
+ 1
2ln|t|

5
2
= 1
2ln 5−

3
2ln 2 +

3
8.

Suy ra a= 1

2, b=−
3
2, c=

3

8 ⇒a+ 2b+ 4c=−1.

Chọn đáp án B 

Câu 357. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y=x2 _và _y₌_|_x₋₂_| _bằng

A. 13

2 . B.

21

2 . C.

9

2. D.

1
2.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm x2 ₌_|_x₋₂_{| ⇔}
"

x2 =x−2
x2 =−x+ 2

⇔

"

x= 1

x=−2. Suy ra diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2 _và _|_x₋₂_| _là

S =

1
Z

−2

|x2− |x−2||dx=

1
Z
−2

(x2− |x−2|) dx

=

1
Z
−2

[x2−(−x+ 2)] dx

=





Å
x3
3 +
x2

2 −2x
ã



1
−2

= 9
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130>

Câu 358. Tìm họ nguyên hàm
Z

(2x−1) lnxdx
A. F(x) = (x2₋_{x) ln}_x₋ x

2

2 +x+C. B. F(x) = (x

2₋_{x) ln}_x₊x
2

2 −x+C.
C. F(x) = (x2₊_{x) ln}_x₋ x

2

2 +x+C. D.F(x) = (x

2₋_{x) ln}_x₋x
2

2 −x+C.
Lời giải.

Đặt




u= lnx

dv = (2x−1) dx

⇒





du= 1
xdx
v =x2₋_x

F(x) =

Z

(2x−1) lnxdx= (x2−x) lnx−

Z

(x−1) dx= (x2−x) lnx−x

2

2 +x+C.

Chọn đáp án A 

Câu 359. Tìm họ nguyên hàm
Z

sin2xdx
A. x

2 +
sin 2x

4 +C. B.
x
2 +

sin 2x

2 +C. C.
x
2 −

sin 2x

4 +C. D.
x
2 −

sin 2x
2 +C.
Lời giải.

Z

sin2xdx=

Z

1−2 cos 2x
2 dx=

x
2 −

sin 2x
2 +C.

Chọn đáp án D 

Câu 360. Với cách đổi biến u=√4x+ 5 thì tích phân
1
Z

−1

x√4x+ 5 dx trở thành

A.
3
Z

1

u2_(u2₋₅₎

8 du. B.

1
Z

−1

u2_(u2₋₅₎

8 du. C.

3
Z

1

u2_(u2₋₅₎

4 du. D.

3
Z

1

u(u2₋₅₎

8 du.
Lời giải.

Đặt u=√4x+ 5 ⇒x= u

2₋₅

4 và dx=
u
2du.

Đổi cận: x −1 1

u 1 3

Suy ra,
1
Z

−1

x√4x+ 5 dx=

3
Z

1

u2_(u2₋₅₎

8 du

Chọn đáp án A 

Câu 361. Tìm họ nguyên hàm
Z

1
2x−1dx
A. I = ln|2x−1|

2 +C. B. I = ln(2x−1) +C.
C. I = ln|2x−1|+C. D.I = ln(2x−1)

2 +C.
Lời giải.

Z ₁

2x−1dx=

ln|2x−1|

2 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 362. Cho hàm số y=x4₋_3x2₊_m _{có đồ thị là} _(C) _{cắt trục hoành tại} ₄ _{điểm phân biệt. Gọi}

</div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131>

A. 1. B. 2. C. 3

2. D.

5
4.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x4 ₋_3x2 ₊_m _{= 0} ₍₁₎_{. Đặt} _t ₌ _x2_, _t _≥ ₀_{, ta được phương}
trình t2 ₋_3t ₊_m _{= 0} ₍₂₎_{. Ta có} _(C) _{cắt trục hồnh tại}
bốn điểm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm cùng dương ⇔









∆>0

S >0
P >0

⇔









9−4m >0
3>0
m >0

⇔0< m < 9
4.

x
y

x2 x3

x1 x4

O

Gọi các nghiệm của phương trình(1) làx1 < x2 < x3 < x4, x1, x2, x3, x4 6= 0. Do đồ thị(C)nhận

trục tung là trục đối xứng nên ta có

S1 = 2
0
Z

x2

(x4−3x2+m) dx và S2 = 2

x2

Z

x1

(−x4+ 3x2−m) dx.

Vì S1 =S2 nên

x2

Z

x1

(−x4+ 3x2−m) dx=

0
Z

x2

(x4 −3x2+m) dx⇔

Å

−x

5
2

5 +x

3

2−mx2

ã

−

Å

−x

5
1

5 +x

3

1 −mx1

ã

=−

Å
x5₂

5 −x

3

2+mx2

ã

⇔ x

5
1

5 −x

3

1+mx1 = 0.

Suy ra






x5
1

5 −x

3

1+mx1 = 0

x4₁−3x2₁+m = 0

⇔







x5
1

5 −x

3
1+ (3x

2
1 −x

4

1)x1 = 0

m= 3x2₁−x4₁

⇔







x2₁ = 5
2
m = 5
4.

Chọn đáp án D 

Câu 363. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm trên[0; 1]thỏa mãnf(1) = 1,

1
Z

0

xf(x) dx= 4
15,

1
Z

0

[f0(x)]2dx=

49

45. Tích phân

1
Z

0

[f(x)]2dx bằng

A. 2

9. B.

1

6. C.

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132>

Đặt
(

u=xf(x)
dv = dx

⇒

(

du= [f(x) +xf0(x)] dx
v =x

. Khi đó

1
Z

0

xf(x) dx=x2f(x)

1
0−

1
Z

0

x[f(x) +xf0(x)] dx

=f(1)−

1
Z

0

xf(x) dx−

1
Z

0

x2f0(x) dx.

Suy ra
1
Z

0

x2f0(x) dx= 1−2· 4

15 =
7

15. Khi đó dự đốn dạngf

0_{(x) =}_mx2_{, với} _m_∈

R. Ta có

1
Z

0

[mx2−f0(x)]2dx=

1
Z

0

m2x4dx−

1
Z

0

2mx2f0(x) dx+

1
Z

0

[f0(x)]2dx

= m

2

5 −
14m

15 +
49
45 =

(3m−7)2

45 .

Ta cần
1
Z

0

[mx2−f0(x)]2dx= 0⇔ (3m−7)

2

45 = 0⇔m=
7

3. Như vậy ta có

1
Z

0

ï₇
3x

2₋

f0(x)
ị2

dx= 0.

Suy ra f0(x) = 7
3x

2 _⇒ _f_{(x) =} 7x
3

9 +C. Từ f(1) = 1 ⇒ C =
2

9. Khi đó f(x) =
7x3

9 +
2

9 thỏa mãn

1
Z

0

xf(x) dx= 4
15. Vậy

1
Z

0

[f(x)]2dx=

1

Z

0

Å_7x3

9 +
2
9

ã2

dx= 2
9.

Chọn đáp án A 

Câu 364. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b], trục
hoành và hai đường thẳng x=a, x=b (với a < b) cho bởi công thức nào sau đây?

A. S =

b

Z

a

|f(x)| dx. B. S =π

b

Z

a

|f(x)| dx. C. S =π

b

Z

a

f2(x) dx. D. S =

b

Z

a

f(x) dx.

Lời giải.

Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) liên tục trên [a;b], trục
hoành và hai đường thẳng x=a, x=b (với a < b) được cho bởi công thứcS =

b

Z

a

|f(x)| dx.

Chọn đáp án A 

Câu 365. Tính tích phân I =

e
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133>

A. I = 1

2. B. I =

e2−2

2 . C. I =

e4 + 1

4 . D. I =

e2−1
4 .

Lời giải.

Đặt
(

u= lnx
dv =xdx

⇒







du= 1
xdx
v = x

2

2.

Khi đó

I = x

2_ln_x

2

e

1

−1

2

e
Z

1

xdx= x

2_ln_x

2

e

1

−x

2

4

e

1

= e

2

2 −
Å

e2
4 −

1
4

ã
= e

4_{+ 1}

4 .

Chọn đáp án C 

Câu 366. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ex_{+ cos}_x_{+ 2018}_là

A. F(x) = ex+ sinx+ 2018x+C. B. F(x) = ex−sinx+ 2018x+C.

C. F(x) = ex+ sinx+ 2018x. D.F(x) = ex+ sinx+ 2018 +C.

Lời giải.

Ta có

F(x) =

Z

f(x) dx=

Z

(ex+ cosx+ 2018) dx= ex+ sinx+ 2018x+C.

Chọn đáp án A 

Câu 367.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y =x−2

và trục hồnh (hình vẽ). Diện tích của (H)bằng

A. 10

3 . B.
16

3 . C.
7

3. D.
8
3.

x
y

O

f(x) =√x

g(x) =x−2

2 4

2

Lời giải.

Dựa vào đồ thị, ta có

S(H) =
2
Z

0

√

x dx+

4
Z

2

√

x−(x−2) dx=

2
3x

3
2

2

0

+
Å_x2

2 −
2
3x

3
2 −_2x

ã



4

2

= 10

3 ·

Chọn đáp án A 

Câu 368. Biết
2
Z

1

dx

(x+ 1)√x+x√x+ 1 =

√

a−√b−√cvới a,b, clà các số nguyên dương. Tính

P =a+b+c.

A. P = 44. B. P = 42. C. P = 46. D. P = 48.

Lời giải.

Ta có 1

(x+ 1)√x+x√x+ 1 =

√

x+ 1−√x

√

x+ 1·√x =
1

√

x −
1

√

</div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134>

Suy ra

2
Z

1

dx

(x+ 1)√x+x√x+ 1 =

2
Z
1
Å ₁
√

x −
1
√

x+ 1
ã
dx
=
2
Z
1
2

2√xdx−

2
Z

1

2

2√x+ 1d(x+ 1) =
Ä

2√x−2√x+ 1ä

2
1

=Ä2√2−2√3ä−Ä2−2√2ä =√32−√12−2 =√32−√12−√4.

Do đóa= 32,b = 12, c= 4. VậyP =a+b+c= 48.

Chọn đáp án D 

Câu 369. Cho hàm số f(x) xác định trên _R\ {−1; 1} và thỏa mãn f0(x) = 1

x2₋₁· Biết rằng

f(−3) +f(3) = 0 và f
Å
−1
2
ã
+f
Å
1
2
ã

= 2. Tính T =f(−2) +f(0) +f(4).

A. T = 1 + ln9

5. B. T = 1 + ln
6

5. C. T = 1 +
1
2ln

9

5. D. T = 1 +
1
2ln

6
5.
Lời giải.

Ta có f(x) =

Z

1

x2₋₁dx=

1
2

Z Å ₁

x−1 −
1

x+ 1

ã

dx= 1
2ln

x−1
x+ 1

+C.

Với x∈(−∞;−1) ta có f(x) = 1
2ln

x−1
x+ 1

+C1.
Với x∈(1; +∞) ta cóf(x) = 1

2ln

x−1
x+ 1

+C3.
Màf(−3) +f(3) = 0⇔ 1

2ln

−3−1

−3 + 1

+C1+

1
2ln

3−1
3 + 1

+C3 = 0

⇔ 1

2ln 2 +C1+
1
2ln

1

2+C3 = 0⇔C1+C3 = 0.

Do đóf(−2) = 1

2ln 3 +C1;f(4) =
1
2ln

3
5+C3.

Với x∈(−1; 1) ta có f(x) = 1
2ln

x−1
x+ 1

+C2.

f
Å
−1
2
ã
+f
Å₁
2
ã

= 2⇔ 1

2ln

−1

2 −1

−1

2+ 1

+C2+

1
2ln







1
2−1

1
2 + 1

+C2 = 2.

⇔ 1

2ln 3 +C2+
1
2ln

1

3+C2 = 2⇔C2 = 1.

Do đó vớix∈(−1; 1): f(x) = 1
2ln

x−1
x+ 1

+ 1 ⇒f(0) = 1.
Vậy T =f(−2) +f(0) +f(4) = 1 + 1

2ln
9
5·

Chọn đáp án C 

Câu 370. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
1
Z

0

[f0(x)]2 dx =

1
Z

0

(x+

1)exf(x) dx= e

2₋₁

4 và f(1) = 0. Tính

1
Z

0

f(x) dx.

A. e−1

2 . B.

e2

4. C. e−2. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>

Lời giải.

Ta có

e2₋₁

4 =

1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx= [xexf(x)]

1
0

−

1
Z

0

xexf0(x) dx=−

1
Z

0

xexf0(x) dx.

⇒2

1
Z

0

xexf0(x) dx=−e

2₋₁

2 .

Ta lại có
1
Z

0

x2e2xdx= e

2 ₋₁

4 và

1
Z

0

[f0(x)]2 dx= e

2₋₁

4 .

Khi đó

1
Z

0

[f0(x)]2 dx+ 2

1
Z

0

xexf0(x) dx+

1
Z

0

x2e2xdx= 0

⇔

1

Z

0

[f0(x) +xex]2 dx= 0.

Vì [f0(x) +xex_]2 _≥

0, ∀x∈[0; 1] và f0(x) liên tục trên[0; 1] nên
1
Z

0

[f0(x) +xex]2 dx≥0.
Đẳng thức xảy ra khi

f0(x) +xex = 0⇔f0(x) =−xex ⇔f(x) = (1−x)ex+C.

Lại có f(1) = 0 nên C = 0.
Vậy f(x) = (1−x)ex_.

Do đó

1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

(1−x)exdx= (2−x)ex
1

0 = e−2.

Chọn đáp án C 

Câu 371. Tính nguyên hàm của hàm số f(x) = ex

Å

2017− 2018e

−x

x5

ã
.
A.

Z

f(x) dx= 2017ex+ 2018

x4 +C. B.
Z

f(x) dx= 2017ex+504,5
x4 +C.

C.
Z

f(x) dx= 2017ex− 504,5

x4 +C. D.
Z

f(x) dx= 2017ex−2018

x4 +C.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z

ex
Å

2017− 2018e

−x

x5

ã
dx=

Z Å

2017ex− 2018

x5

ã

dx= 2017ex+504,5
x4 +C.

Chọn đáp án B

Câu 372. Biết
1
Z

0

x3_{+ 2x}2_{+ 3}

x+ 2 dx=
1
a +bln

3

2,(a, b >0). Tìm các giá trị k để

ab

Z

8

dx < lim

x→+∞

(k2_{+ 1)x}_{+ 2017}

</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136>

A. k < 0. B. k 6= 0. C. k >0. D. k ∈_R.

Lời giải.

Ta có
1
Z

0

x3_{+ 2x}2_{+ 3}

x+ 2 dx=

1
Z

0

Å

x2+ 3
x+ 2

ã
dx=

Å_x3

3 + 3 ln(x+ 2)
ã

1
0

= 1
3+ 3 ln

3
2·

⇒

(

a= 3
b = 3

⇒
ab

Z

8

dx=

9
Z

8

dx= 1. Mặt khác lim

x→+∞

(k2_{+ 1)x}_{+ 2017}

x+ 2018 =k

2 _{+ 1.}

⇒
ab

Z

8

dx < lim

x→+∞

(k2+ 1)x+ 2017

x+ 2018 ⇔1< k

2

+ 1⇔k 6= 0.

Chọn đáp án B 

Câu 373. Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn
4
Z

0

2x2_{+ 4x}_{+ 1}

√

2x+ 1 dx =
1
2

3
Z

1

(au4 +bu2 +c) du,
trong đó u=√2x+ 1. Tính giá trị S =a+b+c.

A. S = 3. B. S = 0. C. S = 1. D. S = 2.

Lời giải.

Đặt u=√2x+ 1⇒u2 = 2x+ 1⇒x= u

2₋₁

2 ·

Đổi cận x 0 4

u 1 3

Khi đó
4
Z

0

2x2+ 4x+ 1

√

2x+ 1 dx=

3
Z

1

2
Å

u2−1
2

ã2
+ 4

Å
u2−1

2
ã

+ 1

u ·udu=
1
2

3
Z

1

(u4+ 2u2 −1) du.

⇒









a= 1
b= 2
c=−1

⇒S =a+b+c= 2.

Chọn đáp án D 

Câu 374. Cho hình phẳng(H)giới hạn bởi đường congy= ln√x

x, trục hồnh và đường thẳngx= e.

Khối trịn xoay tạo thành khi quay(H) quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. S = π

2. B. S =
π

3. C. S =
π

6. D. S =π.
Lời giải.

Hoành độ giao điểm của(H) với trục Ox là nghiệm phương trình ln√x

x = 0 ⇔x= 1.

Khi đó thể tíchV =π

e
Z

1

ln2x

x dx=π

e
Z

1

ln2xd(lnx) = π· ln

3

x
3

e
1

= π
3·

Chọn đáp án B 

Câu 375. Cho hàm sốf(x)xác định trên_R\{1}thỏa mãnf0(x) = 1

x−1,f(0) = 2017,f(2) = 2018.

Tính S =f(3)−f(−1).

A. S = 1. B. S = ln 2. C. S = ln 4035. D. S = 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137>

Ta có f(x) =

Z

f0(x) dx=

Z

1

x−1dx= ln|x−1|+C.

⇒f(0) =C = 2017 và f(2) =C = 2018⇒f(x) =

(

ln|x−1|+ 2017 nếux <1
ln|x−1|+ 2018 nếux >1

⇒

(

f(3) = ln 2 + 2018
f(−1) = ln 2 + 2017

⇒S=f(3)−f(−1) = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 376. Biết ln có hai số avà b đểF(x) = ax+b

x+ 4 (4a−b6= 0) là nguyên hàm của hàm sốf(x)

thỏa mãn 2f2_{(x) = (F}_(x)₋₁₎_f0_(x)_{. Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?}

A. a = 1, b= 4. B. a= 1, b=−1. C. a= 1, b∈_R\{4}. D. a∈_R, b∈_R.

Lời giải.

Ta có f(x) = F0(x) = 4a−b
(x+ 4)2; f

0_{(x) =} −2(4a−b)
(x+ 4)3 .
Thay vào biểu thức, ta có

2f2(x) = (F(x)−1)f0(x)⇔4a−b=−(a−1)x−b+ 4

⇔(a−1)x+ 4(a−1) = 0 (1)
(1) đúng với mọi x6=−4 khia= 1, 4a−b6= 0⇒b 6= 4.

Chọn đáp án C 

Câu 377. Cho hai hàm số y=f(x)và y=g(x)liên tục trên đoạn[a;b] vàf(x)≥g(x), ∀x∈[a;b].
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x =a, x = b.
Mệnh đề nào dưới đây làsai?

A. S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx. B. S =

b

Z

a

[f(x)−g(x)] dx.

C. S =

b

Z

a

[g(x)−f(x)] dx. D.S =

b

Z

a

f(x)−g(x) dx

.

Lời giải.

Vì f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]nên f(x)−g(x)≥0, ∀x∈[a;b].
Vậy S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx=

b

Z

a

f(x)−g(x) dx

=

b

Z

a

[f(x)−g(x)] dx.

Chọn đáp án C 

Câu 378. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x(1 + 3x3)là

A. x2_{(1 + 3x}2_{) +}_C_. _B_. _2x_(x₊_x3_{) +}_C_. _C_. _x2_(x₊_x3_{) +}_C_. _D_. _x2

Å

1 + 6x

3

5
ã

+C.

Lời giải.

Ta có
Z

2x 1 + 3x3

dx=

Z

2x+ 6x4

dx=x2+6x

5

5 +C =x

2

Å

1 + 6x

3

5
ã

+C.

Chọn đáp án D 

Câu 379. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ax+ b

x2 (x 6= 0). Biết F(−1) = 1,

F(1) = 4, f(1) = 0. Giá trị củaM = 2a−b là

A. M = 9

2. B. M = 3. C. M =
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138>

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z Å

ax+ b
x2

ã

dx= ax

2

2 −
b
x +C.

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình








F(−1) = 1
F(1) = 4
f(1) = 0

⇔









a+b+C = 1
a−b+C = 4
a+b = 0

⇒







a= 3
2
b=−3

2·

Vậy M = 2a−b = 3 + 3
2 =

9
2·

Chọn đáp án A 

Câu 380. Biết rằng

k

Z

1

lnxdx= 1 + 2k (k >1). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. k ∈(1; 4). B. k ∈(6; 9). C. k ∈(18; 21). D. k ∈(11; 14).

Lời giải.

Đặt
(

u= lnx
dv = dx

⇒





du= 1
xdx
v =x.

Suy ra

k

Z

1

lnxdx=xlnx

k

1

−

k

Z

1

dx=klnk−x

k

1

=klnk−k+ 1.

Theo giả thiết, ta có klnk−k+ 1 = 1 + 2k⇔lnk = 3⇔k = e3 ∈(18; 21).

Chọn đáp án C 

Câu 381.

Cho đường tròn nội tiếp hình vng cạnh3a (như hình vẽ bên). Gọi

S là hình phẳng giới hạn bởi đường trịn và hình vng (phần nằm
bên ngồi đường trịn và bên trong hình vng). Tính thể tích vật

thể trịn xoay khi quay S quanh trục M N. M N

A. V = 9πa

3

2 . B. V =
9πa3

4 . C. V = 9πa

3_. _D_. _V _{= 27πa}3_.

Lời giải.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, đường trịn tâmO,
bán kínhR = 3

2 có phương trình là

x2+y2 = 9
4·

Từ đồ thị suy ra thể tích khối trịn xoay cần tính là

V = 2πa3
3
2

Z

0

ï₉
4−

Å₉
4 −x

2

ãị

dx= 9πa

3

4 ·

M N x

y

O

−3

2

3

2

−3

2
3
2

Chọn đáp án B 

</div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139>

A. π

4 +
1

6. B.

π
2 +

1

3. C.

π

2 + 1. D.
π
4 −

1
6.
Lời giải.

Phương trình đường tròn (C)là x2₊_y2 _{= 2}_.

Tọa độ giao điểm của(P)và(C)là nghiệm của hệ phương trình
(

y =x2

x2+y2 = 2 ⇒x

2 _{= 1}_⇒_x₌_±_1.

Từ đồ thị, diện tích hình phẳng (H)là

S = 2

1
Z

0

Ä√

2−x2₋_x2ä _dx₌ π

2 +
1

3.

x
−1 1

y

O

Chọn đáp án B 

Câu 383. Cho hai hàm sốf(x),g(x)liên tục trên_R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A.
Z

[f(x) +g(x)] dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx.

B.
Z

[f(x)·g(x)] dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dx.

C.
Z

[f(x)−g(x)] dx=

Z

f(x) dx−

Z

g(x) dx.

D.
Z

kf(x) dx=k

Z

f(x) dx.

Lời giải.

Ta có
Z

(2·x) dx=x2+C, cịn
Z

2 dx·

Z

xdx= 2x·x

2

2 +C nên

Z

(2·x) dx6=

Z

2 dx·

Z

xdx.

Chọn đáp án B 

Câu 384. Tìm hàm sốF(x)biết F(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) =√xvàF(1) = 1.

A. F(x) = 2
3x

√

x. B. F(x) = 2
3x

√

x+1

3. C. F(x) =
1
2√x+

1

2. D. F(x) =
2
3x

√

x− 5

3.
Lời giải.

Xét

Z _√

xdx

Đặt t=√x⇒t2 ₌_x _và _dx_{= 2 dt}_{. Khi đó}

Z √

xdx trở thành
Z

t·2tdt= 2
3t

3₊_C_.
Như vậy

Z _√

xdx= 2
3x

√

x+C ⇒F(x) = 2
3x

√

x+C.
Vì F(1) = 1 nên C = 1

3.

Vậy F(x) = 2
3x

√

x+ 1
3.

Chọn đáp án B 

Câu 385. Cho hàm số y=f(x)liên tục trên_R và
2
Z

0

xf(x2) dx= 2. Hãy tínhI =

4
Z

0

f(x) dx.

A. I = 2. B. I = 1. C. I = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140>

Xét tích phân
2
Z

0

xf(x2) dx= 2. Đặt x2 ₌_t_⇒_x_dx₌ 1

2dt.

Đổi cận: x= 0 thì t = 0 ; x= 2 thì t= 4.
Do đó

2
Z

0

xf(x2) dx= 2 ⇔ 1

2

4

Z

0

f(t) dt= 2 ⇔

4
Z

0

f(t) dt= 4 ⇒

4
Z

0

f(x) dx= 4 hay I = 4.

Chọn đáp án D 

Câu 386. Cho F(x) = a

x(lnx+b)là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

1 + lnx

x2 , trong đóa,b là
các số nguyên. Tính S =a+b.

A. S =−2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0.

Lời giải.

XétI =

Z

f(x) dx=

Z

1 + lnx
x2 dx.
Đặt





u= 1 + lnx
dv = 1

x2 dx

⇒








du= 1
xdx
v =−1

x

. Khi đó

I =−1

x(1 + lnx) +

Z

1

x2 dx=−

1

x(1 + lnx)−
1

x +C=−
1

x(lnx+ 2) +C ⇒a=−1;b= 2.

Vậy S =a+b = 1.

Chọn đáp án B 

Câu 387. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy=x2_,_y₌₋1

3x+
4

3 và trục hồnh.
A. 11

6 . B.

61

3 . C.

343

162. D.

39
2 .
Lời giải.

x
y

O 1 4

1

Phương trình hồnh độ giao điểm của các đườngy =x2_, _y₌₋1

3x+
4
3 là

x2 =−1

3x+
4
3 ⇔3x

2₊_x₋_{4 = 0}_⇔



x= 1
x=−4

3

.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=−1

3x+
4

3 với trục hoành làx= 4.

Hoành độ giao điểm của paraboly=x2 _{với trục hồnh là} _x_{= 0}_.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S =

1
Z

0

x2dx+

4
Z

1

Å

−1

3x+
4
3

ã

dx= x

3

3

1

0

+
Å

−1

6x

2

+4
3x

ã

4

1

= 11
6 .

Chọn đáp án A 

</div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141>

t(s)
v(m)

O
50

10

Biết rằng sau 10 s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu
đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

A. 1000

3 m. B.

1100

3 m. C.

1400

3 m. D. 300 m.
Lời giải.

Quãng đường xe đi được chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục Ox.
Gọi (P) :y=ax2₊_bx₊_c_{. Do}_(P₎ _{qua gốc tọa độ nên} _c_{= 0}_.

Đỉnh(P) làI(10; 50) nên






− b

2a = 10

− ∆

4a = 50

⇔

(

b=−20a
b2 =−200a

⇔





b = 10
a=−1

2

.

Ta có
10
Z

0

Å

−1

2x

2_{+ 10x}

ã

dx= 1000

3 .

Vậy quãng đường xe đi được bằng 1000

3 m.

Chọn đáp án A 

Câu 389.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị(C):y=f(x), trục hoành,
hai đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ bên). Giả sử

SD là diện tích của hình phẳng D. Chọn cơng thức đúng

trong các phương án A, B, C, D dưới đây?

A. SD =−

0
Z

a

f(x) dx−
b

Z

0

f(x) dx.

B. SD =

0
Z

a

f(x) dx−
b

Z

0

f(x) dx.

C. SD =−

0
Z

a

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx.

D. SD =−

0
Z

a

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx.

x
y

O

y =f(x)

a

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142>

Dựa trên đồ thị ta thấy:

- Đồ thị cắt trục hoành tạiO(0; 0).

- Trên đoạn [a; 0], đồ thị ở phía dưới trục hồnh nên |f(x)|=−f(x).
- Trên đoạn [0;b], đồ thị ở phía trên trục hồnh nên |f(x)|=f(x).
Do đóSD =

b

Z

a

|f(x)|dx=−

0
Z

a

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx.

Chọn đáp án C 

Câu 390. Tính nguyên hàm
Z

cos 3xdx.

A. −1

3sin 3x+C. B.
1

3sin 3x+C. C. −3 sin 3x+C. D. 3 sin 3x+C.
Lời giải.

Z

cos 3xdx= 1
3

Z

cos 3xd(3x) = 1

3sin 3x+C.

Chọn đáp án B 

Câu 391.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f0(x) trên _R và đồ
thị của hàm số f0(x) cắt trục hoành tại điểm a, b, c, d

(hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau

A. f(c)> f(a)> f(b)> f(d).

B. f(a)> f(c)> f(d)> f(b).

C. f(a)> f(b)> f(c)> f(d).

D. f(c)> f(a)> f(d)> f(b). x

y

0

S2

S1 S3

a b c d

Lời giải.

Từ đồ thị của hàm sốf0(x), ta có dấu của f0(x)và bảng
biến thiên như hình bên.

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy raf(a)vàf(c)cùng lớn
hơn f(b)và f(d).

x
y0

y

−∞ a b c d +∞

+ 0 − 0 + 0 − 0 +
f(a)

f(a)
f(b)
f(b)

f(c)
f(c)

f(d)
f(d)

S1 < S2 ⇒

a

Z

b

f0(x) dx <

c

Z

b

f0(x) dx⇒f(a)−f(b)< f(c)−f(b) ⇒f(a)< f(c).

S2 < S3 ⇒

c

Z

b

f0(x) dx <

c

Z

d

f0(x) dx⇒f(c)−f(b)< f(c)−f(d) ⇒f(b)> f(d).
Vậy ta có f(c)> f(a)> f(b)> f(d).

Chọn đáp án A 

Câu 392. Giả sử tích phân I =

5
Z

1

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143>

a+b+c.
A. S = 5

3. B. S =
8

3. C. S =
7

3. D. S =
4
3.
Lời giải.

Đặt t= 1 +√3x+ 1⇒3x+ 1 = (t−1)2 ⇒ dx= 2

3(t−1) dt.

Đổi cận x= 1⇒t= 3;x= 5⇒t= 5. Khi đó

I = 2
3

5
Z

3

t−1
t dt =

2
3

5
Z

3

Å
1− 1

t
ã

dt= 2

3(t−ln|t|)

5
3 =

4
3+

2
3ln 3−

2
3ln 5.

Suy ra a= 4
3, b=

2

3, c=−
2
3.

Vậy S = 4
3.

Chọn đáp án D 

Câu 393. Cho hàm số f(x) thỏa mãn
1
Z

0

(x + 3)f0(x) dx = 15 và f(1) = 2, f(0) = 1. Tính
1

Z

0

f(x) dx.

A. I =−12. B. I =−10. C. I = 12. D. I = 10.

Lời giải.

Đặt u=x+ 3 và dv =f0(x) dx, ta có du= dx và v =f(x). Do đó
1

Z

0

(x+ 3)f0(x) dx= (x+ 3)f(x)

1
0−

1
Z

0

f(x) dx

= 4f(1)−3f(0)−

1
Z

0

f(x) dx.

Suy ra 4·2−3·1−

1
Z

0

f(x) dx= 15

Vậy
1

Z

0

f(x) dx=−10.

Chọn đáp án B 

Câu 394. Biết
5
Z

2

dx

x2₋_x = aln 4 +bln 2 +cln 5, với a, b, c là 3 số nguyên khác 0. Tính P =

a2_{+ 2ab}_{+ 3b}2₋_2c.

A. 7. B. 5. C. 4. D. 8.

Lời giải.

Ta có
5
Z

2

dx
x2₋_x =

5
Z

2

Å
1
x−1−

1
x

ã

dx= (ln|x−1| −ln|x|)

5

2

= ln 4−ln 5 + ln 2.

Suy ra a= 1, b = 1, c=−1.Vậy P = 8.

Chọn đáp án D

</div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144>

A. S = 1
ln 2 −

1

2. B. S =
1

ln 2 + 3. C. S =
1

ln 2 + 1. D. S =
47
50.
Lời giải.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của các đường ta có:

2x₌₋_x_{+ 3}_⇔_x_{= 1}_;₂x _{= 1}_⇔_x_{= 0}_;₋_x_{+ 3 = 1}_⇔_x_{= 2}_.

Diện tích cần tìm là

S =

1
Z

0

(2x−1) dx+

2
Z

1

(−x+ 3−1) dx= 1
ln 2 −

1
2·

x

1 2 3 4

y

2
3

O

y= 2x

y=−x+ 3

y= 1

Chọn đáp án A 

Câu 396. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và có
1
Z

0

f(x) dx = 2;
3
Z

0

f(x) dx = 6. Tính I =

1
Z

−1

f(|2x−1|) dx.

A. I = 6. B. I = 4. C. I = 2

3. D. I =
3
2.

Lời giải.

I =

1
Z

−1

f(|2x−1|) dx=

1
2
Z

−1

f(1−2x) dx+

1
Z

1
2

f(2x−1) dx

=−1

2

1
2
Z

−1

f(1−2x)d(1−2x) + 1
2

1
Z

1
2

f(2x−1)d(2x−1)

=−1

2

0
Z

3

f(t) dt+ 1
2

1
Z

0

f(t) dt=−1

2

0
Z

3

f(x) dx+1
2

1
Z

0

f(x) dx= 1
2 ·6 +

1

2·2 = 4.

Chọn đáp án B 

Câu 397. Cho tích phân

π

2
Z

π

3

sinx

cosx+ 2dx=aln 5+bln 2vớia, b∈Z. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2a+b = 0. B. a−2b = 0. C. 2a−b= 0. D. a+ 2b = 0.

Lời giải.

Đặt t= cosx+ 2 ⇒ dt=−sinxdx

x= π

3 ⇒t=
5
2,
x= π

2 ⇒t = 2.

I =

5
2
Z

2

1

t dt= lnt

5
2
2

= ln 5−2 ln 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145>

Chọn đáp án A 

Câu 398. Nguyên hàm I =

Z

2x2−7x+ 5
x−3 dx là

A. I =x2₋_x_{+ 2 ln}_|_x₋₃_|₊_C_. _B_. _I ₌_x2₋_x₋_{2 ln}_|_x₋₃_|₊_C_.

C. I = 2x2₋_x_{+ 2 ln}_|_x₋₃_|₊_C_. _D_._I _{= 2x}2₋_x₋_{2 ln}_|_x₋₃_|₊_C_.

Lời giải.
I =

Z _2x2₋_7x_{+ 5}

x−3 dx=

Z Å

2x−1 + 2
x−3

ã

dx=x2−x+ 2 ln|x−3|+C.

Chọn đáp án A 

Câu 399. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x−sin 6x là

A.
Z

f(x) dx= x

2

2 −

cos 6x

6 +C. B.

Z

f(x) dx= x

2

2 −
sin 6x

6 +C.
C.

Z

f(x) dx= x

2

2 +

cos 6x

6 +C. D.

Z

f(x) dx= x

2

2 +
sin 6x

6 +C.
Lời giải.

Z

(x−sin 6x) dx= x

2

2 +

cos 6x
6 +C.

Chọn đáp án C 

Câu 400. Cho hai tích phân
5
Z

−2

f(x) dx= 8 và

−2
Z

5

g(x) dx= 3. Tính
5
Z

−2

[f(x)−4g(x)−1] dx

A. I =−11. B. I = 13. C. I = 27. D. I = 3.

Lời giải.

5
Z

−2

[f(x)−4g(x)−1] dx=

5

Z

−2

f(x) dx+ 4
−2
Z

5

g(x) dx−

5
Z

−2

dx

= 8 + 4·3−[5−(−2)]
= 13.

Chọn đáp án B 

Câu 401. Tính tích phân

π

Z

0

x2cos 2xdx bằng cách đặt
(

u=x2

dv= cos 2xdx. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. I = 1
2x

2

sin 2x

π

0

−
π

Z

0

xsin 2xdx. B. I = 1
2x

2

sin 2x

π

0

−2

π

Z

0

xsin 2xdx.

C. I = 1
2x

2_{sin 2x}

π

0

+ 2

π

Z

0

xsin 2xdx. D.I = 1
2x

2_{sin 2x}

π

0

+

π

Z

0

xsin 2xdx.

Lời giải.

Ta có
(

u=x2

dv= cos 2xdx ⇒





du= 2x
v = 1

2sin 2x

Áp dụng cơng thức ta cóI = 1
2x

2_{sin 2x}

π

0

−
π

Z

0

xsin 2xdx

</div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146>

Câu 402. Cho tích phân I =

π

2
Z

0

x2_{+ (2x}_{+ cos}_{x) cos}_x_{+ 1}₋_sin_x

x+ cosx dx = aπ

2₊_b₋_ln c

π, với a, b, c

là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thứcP =ac3 ₊_b _là

A. 3. B. 5

4. C.

3

2. D. 2.

Lời giải.

I =

π

2
Z

0

x2+ (2x+ cosx) cosx+ 1−sinx
x+ cosx dx

=

π

2
Z

0

(x+ cosx)2_{+ 1}₋_sin_x

x+ cosx dx

=

π

2
Z

0

(x+ cosx) dx+

π

2
Z

0

1−sinx
x+ cosxdx

=

π

2
Z

0

(x+ cosx) dx+

π

2
Z

0

d(x+ cosx)
x+ cosx

=
Å_x2

2 + sinx
ã

π

2
0

+ ln|x+ cosx|

π

2
0

= π

2

8 + 1 + ln
π
2
= 1

8π

2 _{+ 1}₋_ln2

π

Suy ra a= 1

8; b= 1;c= 2

Vậy P = 2.

Chọn đáp án D 

Câu 403. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm trên _R thỏa f0(x)−2018f(x) = 2018·x2017_·_e2018x _{với mọi}

x∈_Rvà f(0) = 2018. Giá trị f(1) là

A. 2019e2018_. _B_. _2018e−2018_. _C_. _2018e2018_. _D_. _2017e2018_.

Lời giải.

Theo đề bài, ta có

f0(x)−2018·f(x) = 2018·x2017·e2018x

⇔e−2018x·f0(x)−2018·e−2018x·f(x) = 2018·x2017

⇔

e−2018x·f0(x) = 2018·x2017

⇔e−2018x·f(x) +C =

Z

2018x2017dx

⇔e−2018x·f(x) +C =x2018

Thay x= 0 ta được f(0) +C = 0 ⇔2018 +C = 0⇔C =−2018

</div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147>

Thay x= 1 ta được

e−2018·f(1)−2018 = 1⇔ f(1)

e2018 = 2019⇔f(1) = 2019e
2018_.

Chọn đáp án A 

Câu 404. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
sốy =f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b (a < b) là

A. S =

a

Z

b

|f(x)| dx. B. S =

b

Z

a

f(x) dx. C. S =

b

Z

a

|f(x)| dx. D. S =

a

Z

b

f(x) dx.

Lời giải.

Diện tích hình phẳng cần tìm là S=

b

Z

a

|f(x)| dx.

Chọn đáp án C 

Câu 405. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x3+ 2x.

A. x
4

4 −x

2₊_C_. _B_. x

4

4 +x

2₊_C_. _C_. x

4

4 +C. D. x

2₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z

x3+ 2x

dx= x

4

4 +x

2₊_C_.

Chọn đáp án B 

Câu 406. Tính tích phân I =

1
Z

0

dx
x+ 1.

A. ln 2. B. 1. C. 0. D. ln3

2.
Lời giải.

I =

1
Z

0

dx

x+ 1 = ln|x+ 1|

1

0 = ln 2.

Chọn đáp án A 

Câu 407.

Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốcv (km/h) phụ thuộc vào
thời gian t (h) có đồ thị như hình vẽ. Trong khoảng thời gian 3 giờ
kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có
đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời
gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính
qng đường s mà vật đó đi được trong 4giờ.

A. 28,5 (km). B. 27 (km). C. 24 (km). D. 26,5 (km).

t
2 3 4
v

9

0
Lời giải.

Giả sử phương trình parabol có dạng y=ax2+bx+c(a6= 0).
Vì parabol đi qua O(0; 0) nên c= 0.

Do tọa độ đỉnh là I(2; 9) nên





− b

2a = 2
4a+ 2b= 9

⇒





a=−9

4
b= 9

⇒v(t) = −9

4t

</div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148>

Quãng đường vật chuyển động được trong3 giờ đầu là
3
Z

0

Å

−9

4t

2_{+ 9t}

ã

dt= 81
4 (km).

Vận tốc của vật tại thời điểmt = 3 làv(3) = 27

4 ⇒ quãng đường vật đi được trong 1giờ cuối là
27

4

(km).

Vậy quãng đường vật đi được trong4 giờ là 81

4 +
27

4 = 27 (km).

Chọn đáp án B 

Câu 408. Cho
2
Z

1

ln(9−x2) dx=aln 5 +bln 2 +c (với a, b, c∈_Z). Tính S =|a|+|b|+|c|.

A. S = 34. B. S = 13. C. S = 18. D. S = 26.

Lời giải.

Có
2
Z

1

ln(9−x2) dx=xln(9−x2)

2
1

−

2
Z

1

2x2

x2 ₋₉dx= 2 ln 5−3 ln 2−2
2
Z

1

dx−3

2
Z

1

Å ₁
x−3 −

1
x+ 3

ã
dx

= 2 ln 5−3 ln 2−2−3 ln

x−3
x+ 3

2
1

= 5 ln 5−6 ln 2−2⇒S = 13.

Chọn đáp án B 

Câu 409. Cho hàm số f(x) xác định trên _R\ {−1} thỏa mãn f0(x) = 1

x+ 1 và f(0) = 2018. Giá

trị của biểu thứcf(3)−f(1) bằng

A. ln 2. B. ln 4. C. ln 3. D. ln 5.

Lời giải.
f(x) =

Z

1

x+ 1dx = ln|x+ 1|+C. Vì f(0) = 2018 nên C = 2018 ⇒ f(x) = ln|x+ 1|+ 2018 ⇒
f(3)−f(1) = ln 4−ln 2 = ln 2.

Chọn đáp án A 

Câu 410. Cho hàm số f(x) = a

(x+ 1)3 +bxe

x_{. Tìm} _a _và _b _{biết rằng} _f0_{(0) =}₋₂₂ _và

1
Z

0

f(x) dx=
5.

A. a =−2, b=−8. B. a= 2, b= 8. C. a= 8, b= 2. D. a=−8, b =−2.

Lời giải.

Ta có f0(x) =− 3a

(x+ 1)4 +b(x+ 1)e

x_{, suy ra} ₋_3a₊_b ₌_f0_{(0) =}₋₂₂_{. Lại có}

5 =

1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

ï _a

(x+ 1)3 +bxe

x

ị
dx=

ï

− a

2(x+ 1)2 +b(x−1)e

x

ị



1

0

= 3a
8 +b

nên ta có hệ phương trình





−3a+b=−22

3a

8 +b = 5

⇒

(

a= 8
b = 2.

Chọn đáp án C 

Câu 411. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3√x+x.

A.
Z

3√x+x dx=x√x+x

2

2 +C. B.

Z

3√x+x dx= 3
2x

√

x+x

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149>

C.
Z

3√x+x dx= 2x√x+x

2

2 +C. D.

Z

3√x+x dx= 2
3x

√

x+x

2

2 +C.
Lời giải.

Z

3√x+x dx=

Z Å
3x

1
2 ₊_x

ã

dx= 2x

3
2 ₊ x

2

2 +C = 2x

√

x+ x

2

2 +C.

Chọn đáp án C 

Câu 412. Cho hàm số f(x)liên tục trên đoạn [−2; 2]và là hàm số chẵn. Biết
1
Z

0

f(2x) dx= 4. Tính

I =

2
Z

−2

f(x) dx.

A. I = 16. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 2.

Lời giải.

Đặt t= 2x⇒ dt= 2 dx, với x= 0 ⇒t= 0 và x= 1 ⇒t= 2.
Ta có

1
Z

0

f(2x) dx= 1
2

2
Z

0

f(t) dt⇔

2
Z

0

f(t) dt = 2×4 = 8.

Vì f(x) là hàm chẵn trên [−2; 2] nên I =

2
Z

−2

f(x) dx= 2

2
Z

0

f(x) dx= 2

2
Z

0

f(t) dt = 2×8 = 16.

Chọn đáp án A 

Câu 413. Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x+ 1, y = 1−x và trục Ox.
Diện tích S của hình (H)bằng bao nhiêu?

A. S = 4

3. B. S =
7

6. C. S =
3

2. D. S =
5
4.
Lời giải.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm

√

x+ 1 = 1−x

⇔

(

x+ 1 = 1−2x+x2
x≤1

⇔

(

x2−3x= 0
x≤1

⇔x= 0.

Đồ thị y=√x+ 1 cắt Ox tại điểmx=−1và đồ thị y= 1−x

cắt Ox tại x= 1.
Vậy S =

0
Z

−1

√

x+ 1 dx+

1
Z

0

(1−x) dx

= 2
3 +

1
2
= 7

6.

x
y

O 1

−1

y=√x+ 1

y= 1−x

</div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150>

Câu 414. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y =f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x= b(a < b). Diện tích hình D được tính
theo cơng thức

A. S =

b

Z

a

|f(x)|dx. B. S =

b

Z

a

f|x|dx. C. S =

b

Z

a

f(x) dx

. D. S =

b

Z

a

f(x) dx.

Lời giải.

Ta có S =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án A 

Câu 415. Tích phân

2
Z

0

2x+ 1

x+ 3 dx bằng
A. 4−5 ln3

5. B. 4−5 log
5

3. C. 4 + 5 ln
5

3. D. 4−5 ln
5
3.
Lời giải.

Ta có
2
Z

0

2x+ 1
x+ 3 dx=

2
Z

0

Å

2− 5

x+ 3
ã

dx= (2x−5 ln|x+ 3|)

2

0

= 4−5 ln 5
3.

Chọn đáp án D 

Câu 416. Cho đường trịn (C) có phương trình x2 ₊_y2 _{= 5}_{, và đường thẳng} _d _{có phương trình}

y= 1. Biết dcắt (C)tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi(H)là hình phẳng giới hạn bởidvà cung nhỏ

AB của (C). Quay hình (H) xung quanh đường thẳng d ta được một khối tròn xoay có thể tích V.
Giá trị của V gần nhất với số nào sau đây?

A. 46,1. B. 12,4. C. 11,3. D. 33,5.

Lời giải.

Tọa độ giao điểm của d và (C)là nghiệm của hệ
(

y= 1
x2+y2 = 5

⇔

(

x2 = 4
y= 1

⇔

(

x=−2
y= 1 hoặc

(

x= 2
y= 1

Vậy giao điểm làA(−2; 1) và B(2; 1).

Phương trình nửa đường trịn phía trên trụcOx lày =√5−x2_.
Gọi I là giao điểm của d và Oy, suy ra I(0; 1). Tịnh tiến hệ trục tọa

x
y

d
1

O

−2 2

B
A

độ theo OI# » = (0; 1) thành hệ trục XIY với
(

x−0 = X
y−1 =Y

⇔

(

x=X
y =Y + 1

, trục IX nằm trùng với
đường thẳngd. Khi đó hình phẳng quay quanh trục IX.

Đối với hệ trục XIY phương trình nửa đường trịn là Y = √5−X2 ₋₁_{. Do đó, thể tích khối trịn}
xoay là V =π

2
Z

−2

Ä√

5−X2₋₁ä2 _dX ₌ 44π

3 −10 arcsin
2

√

5 ≈11,295.

Chọn đáp án C 

Câu 417. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm khơng âm trên đoạn [0; 1]thỏa (f(x))4·(f0(x))2·(x2_{+ 1) =}

</div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151>

A. 2< f(1) < 5

2. B.
5

2 < f(1)<3. C.
3

2 < f(1)<2. D. 3< f(1)<
7
2.
Lời giải.

Ta có: (f(x))4·(f0(x))2·(x2+ 1) = 1 + (f(x))3

⇔(f(x))2·f0(x)·√x2_{+ 1 =} »_{1 + (f(x))}3

⇔ √ 1

x2_{+ 1} =

(f(x))2·f0(x)
»

1 + (f(x))3

⇔

1
Z

0

1

√

x2_{+ 1}dx=

2
3

1
Z

0

dÄ1 + (f(x))3ä
2»1 + (f(x))3

⇔lnÄx+√x2_{+ 1}ä




1

0

= 2

3 ×

»

1 + (f(x))3

1

0

⇔lnÄ1 +√2ä = 2
3 ×

»

1 + (f(1))3−3

⇔f(1)≈2,605.

Chọn đáp án B 

Câu 418. Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], gọi S là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b. Khi đó:

A. S =

b

Z

a

|f(x)|dx. B. S =

a

Z

b

|f(x)|dx. C. S =

a

Z

b

f(x) dx. D. S =

b

Z

a

f(x) dx.

Lời giải.

Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phânS =

b

Z

a

|f(x)|dx.

Chọn đáp án A 

Câu 419. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e12x_.

A.
Z

f(x) dx= 2e12x₊_C_. _B_.
Z

f(x) dx= 1
2e

1
2x₊_C_.

C.
Z

f(x) dx= e12x₊_C_. _D_.
Z

f(x) dx= 2
3e

1
2x₊_C_.

Lời giải.

Theo công thức nguyên hàm
Z

e12x_dx_{= 2e}
1

2x₊_C_.

Chọn đáp án A 

Câu 420. Cho
2
Z

1

f(x) dx= −4,
5
Z

1

f(x) dx = 6,
5
Z

2

g(x) dx = 8. Tích phân
5
Z

2

[4f(x)−g(x)] dx có
giá trị là

A. 12. B. 0. C. 48. D. 32.

Lời giải.

Ta có
2
Z

1

f(x) dx+

5
Z

2

f(x) dx=

5
Z

1

f(x) dx.

Suy ra
5
Z

2

f(x) dx=

5
Z

1

f(x) dx−

2
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152>

Do đó
5
Z

2

[4f(x)−g(x)] dx= 4

5
Z

2

f(x) dx−

5
Z

2

g(x) dx= 4·10−8 = 32.

Chọn đáp án D 

Câu 421. Giả sử tích phân I =

5
Z

1

1

1 +√3x+ 1dx=a+bln 3 +cln 5. Lúc đó
A. a+b+c= 4

3. B. a+b+c=
5

3. C. a+b+c=
7

3. D. a+b+c=
8
3.
Lời giải.

Đặt t=√3x+ 1 ⇒t2 _{= 3x}_{+ 1} _⇒_2t_dt_{= 3 dx}_⇒ _dx₌ 2t

3 dt.

Đổi cận

"

x= 1 ⇒t= 2
x= 5 ⇒t= 4.
I = 2

3

4
Z

2

t

1 +tdt=
2
3

4
Z

2

Å

1− 1

t+ 1
ã

dt= 2

3(t−ln|t+ 1|)

4

2

= 4
3+

2
3ln 3−

2
3ln 5.

Vậy a= 4
3; b=

2

3; c=−
2

3 suy ra a+b+c=
4
3 +

2
3 −

2
3 =

4
3.

Chọn đáp án A 

Câu 422.

Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số

y=f(x). Biết hàm số y=f0(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =f(x)

trên đoạn [0;d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. M +m=f(0) +f(c). B. M +m =f(d) +f(c).

C. M +m=f(b) +f(a). D. M +m =f(0) +f(a).

O x

y

a b c
d

Lời giải.

Dựa vào đồ thị hàm số của f0(x) ta có bảng biến thiên cho hàmf(x)
x

f0(x)

f(x)

0 a b c d

− 0 + 0 − 0 +

Dưạ vào BBT ta có M ∈ {f(0), f(b), f(d)} và m∈ {f(a), f(c)}.

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H1) :








x= 0, x=a
y= 0

y=f0(x)

.

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H2) :








x=a, x=b
y= 0
y=f0(x)

</div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153>

Gọi S3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H3) :








x=b, x =c

y= 0
y=f0(x)

.

Gọi S4 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H4) :








x=c, x =d
y= 0
y=f0(x)

.

Ta có

S1 =

a

Z

0

|f0(x)|dx=−f(x)

a

0 =f(0)−f(a), S2 =

b

Z

a

|f0(x)|dx=f(x)

b

a =f(b)−f(a).

Dễ dàng thấy S1 > S2 nên f(0)−f(a)> f(b)−f(a)⇒f(0)> f(b).
Ta có

S3 =

c

Z

b

|f0(x)|dx=−f(x)

c

b =f(b)−f(c) và S4 =
d

Z

c

|f0(x)|dx=f(x)

d

c =f(d)−f(c).

Do S3 > S4 nên f(b)> f(d). Từ đó suy ra f(0) > f(b)> f(d) và M =f(0).
Mặt khác S3 > S2 nên f(a)> f(c) hay m=f(c).

Vậy M +m =f(0) +f(c).

Chọn đáp án A 

Câu 423.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f0(x) cắt
trụcOxtại ba điểm có hồnh độa < b < c như hình vẽ.
Xét 4 mệnh đề sau:

(1): f(c)< f(a)< f(b).

(2): f(c)> f(b)> f(a).

(3): f(a)> f(b)> f(c).

(4): f(a)> f(b).

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

O

x
y

a _b c

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải.

Từ đồ thị hàm sốy =f0(x)ta có bảng biến thiên như sau

x
y0
y

−∞ a b c +∞

+ 0 − 0 + 0 −

f(a)
f(a)

f(b)
f(b)

f(c)
f(c)

Từ đó ta thấy mệnh đề (4) đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154>

diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f0(x), trục Ox, x=b, x =c.
Do đó

b

Z

a

(−f0(x)) dx <

c

Z

b

f0(x) dx⇔ −f(x)

b

a

< f(x)

c

b

⇔ −(f(b)−f(a))< f(c)−f(b)⇔f(a)<
f(c).Mà f(a)> f(b)⇒f(a)> f(b)> f(c), hay mệnh đề (3) đúng.

Chọn đáp án C 

Câu 424. Cho
5
Z

−1

f(x) dx= 4. Tính I =

2
Z

−1

f(2x+ 1) dx.

A. I = 2. B. I = 5

2. C. I = 4. D. I =
3
2.
Lời giải.

Đặt 2x+ 1 =t ⇒ dx= 1
2dt.

Với x=−1⇒t =−1.

Với x= 2⇒t = 5.

Suy ra I =

2
Z

−1

f(2x+ 1) dx=

5
Z

−1

f(t)· 1

2dt=
1
2

5
Z

−1

f(x) dx= 2.

Chọn đáp án A

Câu 425. Cho bốn mệnh đề sau
I)

Z

cos2xdx= cos

3_x

3 +C.

II)
Z

2x+ 1

x2₊_x_{+ 2018}dx= ln(x

2₊_x_{+ 2018) +}_C_.
III)

Z

3x 2x+ 3−x

dx= 6

x

ln 6 +x+C.

IV)
Z

3xdx= 3x·ln 3 +C.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải.

Ta lần lượt xét 4 mệnh đề đã cho
Mệnh đề(I) sai vì

Z

cos2xdx=

Z

1 + cos 2x
2 dx=

1
2

Å

x+sin 2x
2

ã
+C.

Mệnh đề(II) đúng vì
Z

2x+ 1

x2₊_x_{+ 2018}dx=
Z

d(x2₊_x_{+ 2018)}

x2₊_x_{+ 2018} = ln(x

2₊_x_{+ 2018) +}_C.
Mệnh đề(III)đúng vì

Z

3x 2x+ 3−x

dx=

Z

(6x+ 1) dx= 6

x

ln 6 +x+C.

Mệnh đề(IV) sai vì
Z

3xdx= 3

x

ln 3 +C.

Vậy có2 mệnh đề đúng.

Chọn đáp án C 

Câu 426. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = √2 + cosx, trục hoành và các đường
thẳngx= 0, x= π

2. Khối trịn xoay tạo thành khi quayD quanh trục hồnh có thể tíchV bằng bao

nhiêu?

A. V =π−1. B. V =π+ 1. C. V =π(π−1). D. V =π(π+ 1).

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155>

V =π
π
2

Z

0

(2 + cosx) dx= (2x+ sinx)

π
2

0 =π(π+ 1).

Chọn đáp án D 

Câu 427. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x.
A.

Z

sin 3xdx=−cos 3x

3 +C. B.

Z

sin 3xdx= cos 3x
3 +C.
C.

Z

sin 3xdx=−sin 3x

3 +C. D.

Z

sin 3xdx=−cos 3x+C.

Lời giải.

Áp dụng công thức cơ bản
Z

sinkxdx=−coskx

k +C.

Chọn đáp án A 

Câu 428. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a;b]. Gọi D là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm sốy=f(x), trục hồnh và hai đường thẳngx=a,x=b(a < b).
Thể tích của vật thể trịn xoay khi quayD quanh Ox được tính theo công thức

A. S =

Z b
a

[f(x)]2 dx. B. S =π

Z b
a

[f(x)]2 dx.

C. S =

Z b

a

f(x2) dx. D.S =π

Z b

a

f(x2) dx.

Lời giải.

Thể tích của vật thể trịn xoay khi quayDquanh Oxđược tính theo cơng thứcS =π

Z b

a

[f(x)]2 dx.

Chọn đáp án B 

Câu 429. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2√x+ 3x là

A. 4

3x

√

x+3x

2

2 +C. B. 2x

√

x+3x

2

2 +C. C.
3
2x

√

x+ 3x

2

2 +C. D. 4x

√

x+3x

2

2 +C.
Lời giải.

Đặt √x=t ⇒x=t2 ⇒dx= 2tdt. Ta được
Z

2t+ 3t22tdt =

Z

4t2+ 6t3 dt= 4
3t

3₊ 3

2t

4₊_C ₌ 4

3x

√

x+ 3x

2

2 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 430. Biết rằng
e
Z

1

xlnxdx=ae2+b với a, b∈_Q. Tính T =a+b.

A. T = 1

4. B. T = 0. C. T =
1

2. D. T = 10.
Lời giải.

e
Z

1

xlnxdx= 1
2

e

Z

1

lnxdx2 = 1
2

Ñ

x2lnx
e
1−

e
Z

1

xdx
é

= 1
2

Å
e2−1

2x

2

e
1

ã
= 1

4e

2₊1

4. Vậy T =
1
2.

Chọn đáp án C 

Câu 431. Cho hình (H)là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y=x2 vày =x+ 2.
Tính diện tíchS của hình (H).

A. S = 3

2. B. S =−
9

2. C. S =
9

</div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156>

Xét phương trình x2 ₌_x_{+ 2} _⇔
"

x=−1
x= 2

.

Vậy S =

2
Z

−1

|x2−x−2|dx=−

2
Z

−1

(x2−x−2) dx=−

Å
1
3x

3₋ 1

2x

2₋_2x

ã

2

−1 =

9
2.

Chọn đáp án C

Câu 432.

Cho hàm sốy =f(x)có đồ thịy=f0(x)cắt trục Oxtại ba điểm có hồnh độ

a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f(a)> f(b)> f(c).

B. f(c)> f(a)> f(b).

C. f(b)> f(a)> f(c).

D. f(c)> f(b)> f(a). x

y

0

c
b
a

Lời giải.

Gọi S1 là diện tích của hàm số y = f0(x) và trục Ox trên đoạn [a;b] và S2 là
diện tích của hàm sốy=f0(x)và trục Ox trên đoạn [b;c]. Ta có

S1 =−

b

Z

a

f0(x) dx=f(a)−f(b) và S2 =

c

Z

b

f0(x) dx=f(c)−f(b).
Từ đồ thị ta có S2 > S1 >0⇒f(c)> f(a)> f(b).

x
y

0

c
b
a

Chọn đáp án B 

Câu 433. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R và là hàm số chẵn, biết
1
Z

−1

f(x)

1 + ex dx = 1. Tính

1
Z

−1

f(x) dx.

A. 1

2. B. 4. C. 1. D. 2.

Lời giải.

Ta có
1
Z

−1

f(x)
1 + ex dx=

0
Z

−1

f(x)
1 + ex dx+

1
Z

0

f(x)
1 + ex dx.

Đặt I =

0
Z

−1

f(x)
1 + ex dx.

Đặt x=−t ⇒ dx=−dt. Với x=−1⇒t= 1;x= 0⇒t= 0.
I =−

0
Z

1

f(−t)
1 + e−tdt=

1
Z

0

et_f_(t)

1 + et dt =

1
Z

0

ex_f_(x)

</div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157>

1
Z

−1

f(x)
1 + exdx=

0
Z

−1

f(x)
1 + exdx+

1
Z

0

et_f(x)

1 + ex dx=

1
Z

0

(ex_{+ 1)f}_(x)

1 + ex dx=

1
Z

0

f(x) dx ⇒

1
Z

0

f(x) dx= 1.

Vậy
1
Z

−1

f(x) dx=

0
Z

−1

f(x) dx+

1
Z

0

f(x) dx= 2

1
Z

0

f(x) dx= 2.

Chọn đáp án D 

Câu 434. Cho hàm số f(x)có đạo hàm không âm trên [0; 1] thỏa mãn [f(x)]4_·_[f0_(x)]2_·_(x2_{+ 1) =}

1 + [f(x)]3 _và _f(x)_>₀_, _∀_x _∈_{[0; 1]} _biết _{f(0) = 2}_{. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định}
sau.

A. 3< f(1) < 7

2. B.
5

2 < f(1)<3. C.
3

2 < f(1)<2. D. 2< f(1)<
5
2.
Lời giải.

Ta có

[f(x)]4 ·[f0(x)]2· x2+ 1 = 1 + [f(x)]3 ⇒ [f(x)]2·f0(x)·√x2_{+ 1 =}»_{1 + [f}_(x)]3

⇒ 3·[f(x)]

2_·_f0_(x)
2p1 + [f(x)]3 =

3
2√x2_{+ 1}

⇒ h»1 + [f(x)]3i

0

= 3

2√x2_{+ 1}

⇒

Z 1
0

h»

1 + [f(x)]3i

0

dx= 3
2

Z 1
0

1

√

x2_{+ 1}dx.

Màf(0) = 2 nên ta được p1 + [f(1)]3₋_{3 =} 3

2ln

Ä

1 +√2ä⇒f(1)≈2,6.

Chọn đáp án B 

Câu 435.

Một con quạ khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng
cổ lọ lại cao nó khơng thị mỏ uống được nên đã gắp từng viên
bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên. Hỏi con quạ
cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên bi để có thể uống nước?
Biết rằng viên bi có bán kính là 3

4 (đvđd) và khơng thấm nước,

cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là

2

đồ thị của một hàm bậc 3, mực nước ban đầu trong lọ ở vị trí mà mặt thống tạo thành hình trịn
có bán kính lớn nhất R= 3, mực nước mà quạ có thể uống được là vị trí mà hình trịn có bán kính
nhỏ nhất r= 1 và khoảng cách giữa hai mặt này bằng2, được minh họa ở hình vẽ trên.

A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.

</div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158>

Đặt cái bình vào hệ trục Oxy sao cho O trùng với tâm đường tròn
lớn, Oxtrùng với trục của cái bình, đi qua tâm hai đường trịn lớn
và bé.

Khi đó một đường sinh của cái bình là đồ thị hàm bậc ba có hai
điểm cực trị là A(3; 0) và B(2; 1).

Gọi hàm bậc ba đó là y=ax3+bx2+cx+d ta có hệ















y0(0) = 0
y0(2) = 0
y(0) = 3
y(2) = 1

⇔
















c= 0
d= 3
3a+b = 0
4a+ 2b=−1

⇔(a;b;c;d) =
Å

1
2;−

3
2; 0; 3

ã
.

O x

y

Từ đó thể tích phần bình từ đường trịn lớn lên đường trịn nhỏ là

V1 =π
Z 2

0

Å
1
2x

3₋3

2x

2_{+ 3}

ã2

dx= 314π
35 .

Thể tích một viên bi là V2 =

4
3π

Å
3

4

ã3
= 9π

16. Ta có
V1

V2

= 5024

315 ≈15,95.

Do đó số viên bi ít nhất cần phải thả vào lọ là16 viên.

Chọn đáp án B 

Câu 436. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.

A.
Z

cosxdx= sinx+C. B.
Z

cosxdx=−sinx+C.

C.
Z

cosxdx= sin 2x+C. D.
Z

cosxdx=−1

2sinx+C.
Lời giải.

Ta có
Z

cosxdx= sinx+C

Chọn đáp án A 

Câu 437. Thể tích của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y =√x, trục Ox và
hai đường thẳngx= 1;x= 4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi cơng thức nào?

A. V =π

4
Z

1

xdx. B. V =

4
Z

1

√

x dx. C. V =π2
4
Z

1

xdx. D. V =π

4
Z

1

√

xdx.

Lời giải.

Thể tích là V =π

4
Z

1

xdx.

Chọn đáp án A 

Câu 438. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x_{+ 1}_.

A. 5

x

ln 5 +x+C. B. 5

x_{ln 5 +}_x₊_C_. _C_. ₅x_ln_x₊_x₊_C_. _D_. ₅x₊_x₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

(5x+ 1) dx= 5

x

lnx +x+C.

Chọn đáp án A 

Câu 439. Cho F(x)là một nguyên hàm của hàm f(x) = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159>

A. F(2) = 1

2ln 3 + 2. B. F(2) =
1

2ln 3−2. C. F(2) = ln 3 + 2. D. F(2) = 2 ln 3−2.
Lời giải.

Ta có
Z

1

2x−1dx=
1

2ln|2x−1|+C. Mà F(1) = 2⇔C = 2. Vậy F(2) =
1

2ln 3 + 2.

Chọn đáp án A 

Câu 440. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Oxhình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thịy =x2₋_4x_{+ 6} _và _y₌₋_x2₋_2x_{+ 6}_.

A. 3π. B. π−1. C. π. D. 2π.

Lời giải.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

x2−4x+ 6 =−x2−2x+ 6⇔2x2−2x= 0⇔

"

x= 0
x= 1.

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y =
x2−4x+ 6, y =−x2−2x+ 6 là:

V =π

1
Z

0


x

2₋_4x_{+ 6}2_{− −}_x2 ₋_2x_{+ 6}2

dx=π

1
Z

0

36x2−12x3−24x

dx

= 3π.

Chọn đáp án A 

Câu 441. Cho I =

Z e
1

lnx

x(lnx+ 2)2 dx có kết quả dạng I = lna+b (với a >0, b ∈R). Khẳng định
nào sau đây đúng:

A. 2ab=−1. B. 2ab= 1. C. −b+ ln 3
2a =−

1

3. D. −b+ ln
3
2a =

1
3.
Lời giải.

Đặt t= lnx⇒ dt= dx

x . Khi đó:

I =

1
Z

0

tdt
(t+ 2)2 =

1
Z

0

Å ₁
t+ 2 −

2
(t+ 2)2

ã
dt=

Å

ln|t+ 2|+ 2
t+ 2

ã



1

0

= ln3
2 −

1
3.

Vậy lna+b = ln3
2−

1

3 ⇔ −b+ ln
3
2a =

1
3.

Lưu ý.Với bài tốn này, nếu đọc đề khơng kĩ thì rất dễ rơi vào phương án nhiễu vì các bộ số a, bở
đây là không duy nhất. Nhiều em học sinh sau khi giải ra đượcI = ln3

2−
1

3 = lna+b (∗)

đã vội vàng kết luậna= 3

2, b =−
1

3, do đó2ab=−1 và rơi vào phương án nhiễu của đề bài. Dễ thấy

a= 3

2e, b=
2

3 cũng thỏa mãn (∗)nhưng 2ab6=−1.

Chọn đáp án D 

Câu 442. Giả sử
Z

(2x+ 3) dx

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1 = −
1

g(x) +C (C là hằng số). Tính tổng của các

nghiệm của phương trình g(x) = 0.

A. −1. B. 1. C. 3. D. −3.

Lời giải.

Ta có

x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = x2+ 3x

x2+ 3x+ 2

+1 = x2 + 3x2+2 x2+ 3x

</div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160>

Do đó

Z

(2x+ 3) dx

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1 =

Z

(x2+ 3x+ 1)0 dx
(x2_{+ 3x}_{+ 1)}2 =−

1

x2_{+ 3x}_{+ 1} +C.

Vậy 1

g(x) =

1
x2_{+ 3x}_{+ 1}.

Suy ra g(x) =x2_{+ 3x}_{+ 1}_{. Do đó} _{g(x) = 0}_⇔_x2_{+ 3x}_{+ 1 = 0}_.

Vậy theo định lí Viet, tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 là−3.

Chọn đáp án D 

Câu 443. Giá trị I =

9

3
√

4
Z

1

3
√

6

x2sin πx3

ecos(πx3) dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:

A. 0,046. B. 0,036. C. 0,037. D. 0,038.

Lời giải.

Xét tích phân I =

9

3
√

4
Z

1

3
√

6

x2sin πx3

ecos(πx3) dx. Đặt t= cos (πx3₎_⇒_dt₌₋_3πx2_{sin (πx}3_{) dx}_.

Đổi cận: x= √₃1

6 ⇒t=

√

3
2 ; x=

9
3

√

4 ⇒t = cos
729π

4 = cos

π

4 + 182π

=

√

2
2 .

Vậy I =− 1

3π
√

2
2
Z

√

3
2

etdt =− 1

3πe

t

√

2
2

√

3
2

= e
√

3

2 −_e

√

2
2

3π ≈0,037.

Chọn đáp án C 

Câu 444. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2_{+ 2x}_{+ 5} _là

A. F(x) =x3₊_x2_{+ 5}_. _B_. _F_{(x) =} _x3₊_x₊_C_.

C. F(x) =x3₊_x2_{+ 5x}₊_C_. _D_._F_{(x) =} _x3₊_x2₊_C_.

Lời giải.

Rõ ràng nguyên hàm của f(x) = 3x2_{+ 2x}_{+ 5} _là _F_{(x) =} _x3₊_x2_{+ 5x}₊_C.

Chọn đáp án C 

Câu 445. Tích phânI =

1
Z

0

(2x−1)dx có giá trị bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải.
I =

1
Z

0

(2x−1)dx= x2−x

1
0

= 0.

Chọn đáp án D

Câu 446. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên _R và thỏa mãn f(4−x) = f(x) ∀x ∈ _R. Biết
3

Z

1

xf(x)dx= 5, tính I =

3
Z

1

f(x)dx.

A. I = 5

2. B. I =
7

2. C. I =
9

2. D. I =
11

</div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161>

Lời giải.

Trong tích phân
3
Z

1

xf(x)dx,đặtx= 4−t,ta được5 =

1
Z

3

(4−t)f(4−t)d(4−t) =

3
Z

1

(4−t)f(t)dt=

4

2
Z

1

f(t)dt−

3
Z

1

tf(t)dt. Suy ra

3
Z

1

f(x)dx=

3
Z

1

f(t)dt = 5
2.

Chọn đáp án A 

Câu 447. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x= a, x =b. Thể tích V của khối trịn xoay thu
được khi quayD quanh trục hồnh được tính theo cơng thức

A. V =π

b

Z

a

f2(x)dx. B. V =π2

b

Z

a

f2(x)dx. C. V =π2

b

Z

a

f(x)dx. D. V = 2π

b

Z

a

f2(x)dx.

Lời giải.

Chọn đáp án A 

Câu 448. Cho parabol (P) :y=x2+ 2và hai tiếp tuyến của(P)tại các điểm M(−1; 3)vàN(2; 6).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến đó bằng

A. 9

4. B.

13

4 . C.

7

4. D.

21
4 .
Lời giải.

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại N(2; 6) là (d1) : y =

4x−2.

Phương trình tiếp tuyến của(P)tại M(−1; 3)là(d2) :y =

−2x+ 1.

(d1) cắt (d2) tại điểm

Å
1

2; 0

ã

. Ta có diện tích

S =
1
2

Z

−1

(x2+ 2 + 2x−1)dx+

2
Z

1
2

(x2+ 2−4x+ 2)dx= 7
4.

x
y

O

(P) :y=x2+ 2
(d1) :y= 4x−2

(d2) :y =−2x+ 1

−1 1

2
2
3
6

Chọn đáp án C 

Câu 449. Biết rằng
2
Z

1

ln(x+ 1) dx = aln 3 +bln 2 +c, với a, b, c là các số nguyên. Tính S =
a+b+c.

A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2 . D. S =−2.

Lời giải.

Đặt





u= ln(x+ 1)
dv = dx

ta có




du= 1
x+ 1 dx
v =x+ 1

từ đây suy ra
2
Z

1

ln(x+ 1) dx= (x+ 1) ln(x+ 1)
2
1−

2
Z

1

dx= 3 ln 3−2 ln 2−1. Vậy a+b+c= 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162>

Câu 450. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm.
Biết cứ 1000cm3 _{dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu}
được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.

A. 183.000đ. B. 180.000đ. C. 185.000đ . D. 190.000đ.

Lời giải.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của
Elip là x

2

142+

y2

Å
25

2

ã2 = 1. Suy ra phương trình nửa đường

Elip nằm phía trên trục hồnh lày = 25
28

√

196−x2_.
Thể tích của quả dưa hấu là

V =π

14
Z

−14

Å
25
28

√

196−x2

ã2

dx= 9162cm3

. Vậy từ quả dưa hấu có thể thu được số tiền là20.000·

9.162 = 183.000đ.

O x

y

14

−14

25
2

−25

2

Chọn đáp án A 

Câu 451. Cho hàm số y = f(x) xác định trên _R \

ß₁
3

™

thỏa mãn f0(x) = 3

3x−1, f(0) = 1,
f

Å
2
3

ã

= 2. Giá trị của biểu thức f(−1) +f(3) bằng

A. 5 ln 2 + 3. B. 5 ln 2−2. C. 5 ln 2 + 4. D. 5 ln 2 + 2.

Lời giải.

Ta có
Z

3

3x−1dx= ln|3x−1|+C từ đây suy ra f(x) =







ln|3x−1|+C1, nếux >

1
3
ln|3x−1|+C2, nếux <

1
3

.

f(0) = 1⇒C2 = 1, f

Å₂
3

ã

= 2⇒C1 = 2.

Vậy f(−1) +f(3) = ln 4 + 2 + ln 8 + 1 = 5 ln 2 + 3.

Chọn đáp án A 

Câu 452. Cho
2
Z

−1

f(x) dx= 2 và
2
Z

−1

g(x) dx=−1, Tính I =

2
Z

−1

[x+ 2f(x)−3g(x)] dx

A. I = 11

2 . B. I =
7

2. C. I =
17

2 . D. I =
5
2.
Lời giải.

I =

2
Z

−1

[x+ 2f(x)−3g(x)] dx=

2
Z

−1

xdx+ 2

2
Z

−1

f(x) dx−3

2
Z

−1

g(x) dx= 17
2

Chọn đáp án C 

Câu 453. Một ô tô đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 200 +at(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh vàaÄm/s2ä là gia tốc. Biết rằng khi đi được1500 m thì xe
dừng hẳn, hỏi gia tốc của xe bằng bao nhiêu?

A. a =−200

13 m/s

2_. _B_. _a₌₋100

13 m/s

2_. _C_. _a₌ 40

3 m/s

2_. _D_. _a₌₋40

3 m/s

</div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163>

Lời giải.

Thời điểm xe dừng hẳn là 200 +at= 0⇒t=−200

a .

Khi đó ta có

−200
a

Z

0

(200 +at) dt= 1500⇔ −200

2

2a = 1500⇔a=−
40

3 .

Chọn đáp án D 

Câu 454. Cho
4
Z

0

f(x) dx= 16. Tính I =

2
Z

0

f(2x) dx.

A. I = 32. B. I = 8. C. I = 16. D. I = 4.

Lời giải.

Ta có I =

2

Z

0

f(2x) dx= 1
2

2
Z

0

f(2x) d(2x) = 1
2

4
Z

0

f(u) d(u) = 8.

Chọn đáp án B 

Câu 455. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên _R và thỏa mãn f(x) > 0, ∀x ∈ _R. Biết f(0) = 1 và

f0(x)

f(x) = 2−2x, hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có hai

nghiệm thực phân biệt?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Lời giải.

Theo bài ra ta có
Z

f0(x)
f(x) dx=

Z

(2−2x) dx⇔ln|f(x)|= 2x−x2+C. (1)

Thay x= 0 vào (1) ta được C = 0, từ đó suy ra ln|f(x)|= 2x−x2 ⇔f(x) = e2x−x2.

Phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình m = e2x−x2 có hai
nghiệm phân biệt tương đương với −x2_{+ 2x}₋_ln_m _{= 0} _{có hai nghiệm phân biệt tương đương với}

∆0 = 1−lnm >0⇔0< m <e, từ đó suy ra m = 1 hoặc m= 2.

Chọn đáp án B 

Câu 456. Cho hàm sốf(x)liên tục trên đoạn[0; 3]. Nếu
3
Z

0

f(x) dx= 2thì tích phân
3
Z

0

[x−2f(x)] dx

có giá trị bằng

A. 5

2. B.

1

2. C. 7. D. 5.

Lời giải.

Ta có
3
Z

0

[x−2f(x)] dx= x

2

2

3

0

−2

3
Z

0

f(x) dx= 9

2 −4 =
1
2.

Chọn đáp án B

</div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164>

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi 1

4 đường trịn có bán

kínhR= 2, đường congy =√4−xvà trục hồnh (như
hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho
hình (H)quay quanh trục Ox.

A. V = 40π

3 . B. V =

53π
6 .
C. V = 67π

6 . D. V =

77π
6 .

x

−2 −1 1 2 4

y

−1
1
2

Lời giải.

Phần đường trịn có phương trình hàm số y =√4−x2_{, nên thể tích khi quay hình giới hạn quanh}

trục Ox là

π

0
Z

−2

(4−x2) dx+π

4
Z

0

(4−x) dx= 40π
3 .

Chọn đáp án A 

Câu 458. Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số: f(x) = x2−3x.

A. F(x) =x3₋ 3

2x

2₊_C_. _B_. _F_{(x) =} _x3₋_3x2₊_C_.

C. F(x) = x

3

3 −
3
2x

2₊_C_. _D_._F_{(x) = 2x}₋_{3 +}_C_.

Lời giải.

Họ nguyên hàm của hàmf(x) =x2₋_3x _là_F_{(x) =} x
3

3 −
3x2

2 +C.

Chọn đáp án C 

Câu 459. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu
Z

f(x) dx=F(x) +C thì
Z

f(u) du=F(u) +C.

B. NếuF(x)và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) =G(x).

C.
Z

[f1(x) +f2(x)] dx=
Z

f1(x) dx+
Z

f2(x) dx.

D.
Z

kf(x) dx=k

Z

f(x) dx (k là hằng số vàk 6= 0).

Câu 460. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = x2√_{4 +}_x3_.

A. 2√4 +x3₊_C_. _B_. 2

9
»

(4 +x3₎3₊_C_. _C_. ₂»_{(4 +}_x3₎3₊_C_. _D_. 1

9
»

(4 +x3₎3₊_C_.

Lời giải.

Đặt t=√4 +x3 _⇒_t2 _{= 4 +}_x3 _⇒_2tdt _{= 3x}2_dx_⇒_x2_dx₌ 2

3tdt.

Ta có
Z

f(x)dx=

Z

2
3t

2_dt₌ 2

9t

3₊_C ₌ 2

9

»

(4 +x3₎3₊_C.

Chọn đáp án B 

Câu 461. Tính tích phân
100
Z

0

xe2xdx.

A. 1

4(199e

200_{+ 1)}_. _B_. 1

4(199e

200₋₁₎_. _C_. 1

2(199e

200_{+ 1)}_. _D_. 1

2(199e

200₋₁₎_.

Lời giải.

Đặt
(

u=x
dv = e2xdx

⇒





du= dx
v = 1

2e

</div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165>

⇒I =x· e

2x

2

100

0

−

100
Z

0

1
2e

2x_dx_{= 50e}200₋1

4e

200₊1

4 =
1
4 199e

200_{+ 1}
.

Chọn đáp án A 

Câu 462. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đườngy = x

4,y= 0,x= 1,x= 4

quay quanh trụcOx bằng

A. 21

16. B.

21π

16 . C.

15

16. D.

15π
8 .
Lời giải.

Thể tích cần tính bằng V =π

4
Z

1
x

4

2

dx= 21π
16 .

Chọn đáp án B 

Câu 463. ChoF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = ex2(x3−4x). Hàm sốF(x)có bao nhiêu
điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải.

Ta có F0(x) =f(x) = ex2(x3−4x).

Khi đó,F0(x) = 0⇔x3₋_4x_{= 0}_⇔





x= 0
x=−2
x= 2

.

Bảng biến thiên:

x
F0(x)

F(x)

−∞ −2 0 2 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞

+∞

CT
CT

CĐ
CĐ

CT
CT

+∞

+∞

Suy ra hàm sốF(x) có3 điểm cực trị.

Chọn đáp án C 

Câu 464. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [−4; 4] biết
0
Z

−2

f(−x) dx = 2 và
2

Z

1

f(−2x) dx= 4. TínhI =

4
Z

0

f(x) dx

A. I = 10. B. I =−6. C. I = 6. D. I =−10.

Lời giải.

Với giả thiết

0
Z

−2

f(−x) dx= 2, ta đặt t=−x. Khi đó 2 =

0
Z

−2

f(−x) dx=−

0
Z

2

f(t) dt=

2
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166>

Mặt khác
2
Z

1

f(−2x) dx= 4, ta đặtt= 2x. Khi đó cùng với giả thiết f(x) là hàm số lẻ ta có

4 =

2
Z

1

f(−2x) dx= 1
2

4
Z

2

f(−t) dt=−1

2

4
Z

2

f(t) dt ⇒

4
Z

2

f(t) dt=−8.

Vậy
4
Z

0

f(x) dx= 2 + (−8) =−6.

Chọn đáp án B 

Câu 465. Họ nguyên hàm
Z

x√3 x2_{+ 1 dx} _bằng

A. 1

8
3

√

x2_{+ 1 +}_C_. _B_. 3

8
3

√

x2_{+ 1 +}_C_. _C_. 3

8
3

p

(x2_{+ 1)}4₊_C_. _D_. 1

8
3

p

(x2 _{+ 1)}4₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

x√3x2_{+ 1 dx}₌ 1

2

Z

(x2+ 1)13 d(x2+ 1) = 3
8
3
»

(x2_{+ 1)}4₊_C.

Chọn đáp án C 

Câu 466. Họ nguyên hàm
Z

sinxdxbằng

A. cosx+C. B. −sinx+C. C. −cosx+C. D. sinx+C.

Lời giải.

Có
Z

sinxdx=−cosx+C.

Chọn đáp án C 

Câu 467. Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = x

2₋_2x

x−1 , đường thẳng
d: y=x−1 và x=a, x= 2a (a >1)bằng ln 3.

A. a = 1. B. a= 4. C. a= 3. D. a= 2.

Lời giải.

Ta có x
2₋_2x

x−1 =x−1⇒x

2₋_2x₌_x2₋_2x_{+ 1}_⇒ _{vơ nghiệm.}

⇒ S =

2a

Z

a

x2 ₋_2x

x−1 −(x−1)

dx =

2a

Z

a

−1
x−1

dx =

2a

Z

a

1

x−1dx = ln(x−1)

2a
a

= ln2a−1

a−1 = ln 3

⇔ 2a−1

a−1 = 3⇔a= 2.

Chọn đáp án D 

Câu 468. Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn
bởi đồ thị hàm số (P) : y= 2x−x2 _{và trục} _Ox_.

A. V = 19π

15 . B. V =
13π

15 . C. V =
17π

15 . D. V =
16π

15 .
Lời giải.

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trụcOx là nghiệm của phương trình 2x−x2 = 0 ⇔

"

</div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167>

Khi đó thể tích khi quay hình phẳng D là

V =π

2
Z

0

(2x−x2)2dx=π

2
Z

0

(4x2−4x3+x4) dx

=π
Å_4x3

3 −x

4₊ x5

5
ã

2
0

= 16π
15 ·

Chọn đáp án D 

Câu 469. Cho
2
Z

1

[3f(x) + 2g(x)] dx= 1 và
2
Z

1

[2f(x)−g(x)] dx=−3. Khi đó
2
Z

1

f(x) dx bằng

A. 11

7 . B. −

5

7. C.

6

7. D.

16

7 .
Lời giải.

Ta có


















2
Z

1

[3f(x) + 2g(x)] dx= 1

2

Z

1

[2f(x)−g(x)] dx=−3

⇔



















3

2
Z

1

f(x) dx+ 2

2
Z

1

g(x) dx= 1

2

2
Z

1

f(x) dx−

2
Z

1

g(x) dx=−3

⇔



















2
Z

1

f(x) dx=−5

7

2
Z

1

g(x) dx= 11
7

.

Chọn đáp án B 

Câu 470. Tính I =

Z

8 sin 3xcosxdx=acos 4x+bcos 2x+C. Khi đó a−b bằng

A. 3. B. −1. C. 1. D. 2.

Lời giải.

Ta có I = 4

Z

(sin 4x+ sin 2x) dx=−cos 4x−2 cos 2x+C⇒

(

a=−1

b=−2 ⇒a−b = 1.

Chọn đáp án C 

Câu 471. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc là v0(t) = 3

t+ 1 (m/s

2₎_{. Vận tốc}
ban đầu của vật là6 m/s. Tính vận tốc của vật sau10giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

A. 11 m/s. B. 12 m/s. C. 13 m/s. D. 14 m/s.

Lời giải.

Vận tốc v =

Z

v0(t) dt =

Z

3

t+ 1 dt = 3 ln|t+ 1|+C.

Vì v(0) = 6⇒C= 6 ⇒v(t) = 3 ln|t+ 1|+ 6⇒v(10) = 3 ln 11 + 6 = 13 m/s.

Chọn đáp án C 

Câu 472. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x là

A. sin 2x+C. B. 1

2sin 2x+C. C. −
1

2sin 2x+C. D. 2 sin 2x+C.
Lời giải.

Ta có:
Z

cos 2xdx= 1

2sin 2x+C.

Chọn đáp án B 

</div>
<span class='text_page_counter'>(168)</span><div class='page_container' data-page=168>

A. V =π

1
Z

0

√

2x+ 1 dx. B. V =π

1
Z

0

(2x+ 1) dx.

C. V =

1
Z

0

(2x+ 1) dx. D.V =

1
Z

0

√

2x+ 1 dx.

Lời giải.

Ta có V =π

1

Z

0

Ä√

2x+ 1ä2 dx=π

1
Z

0

(2x+ 1) dx.

Chọn đáp án B 

Câu 474. Tích phân
1
Z

0

dx

√

3x+ 1 bằng

A. 4

3. B.

3

2. C.

1

3. D.

2
3.
Lời giải.

Đặt t=√3x+ 1 ⇒t2 = 3x+ 1 ⇒2tdt= 3 dx⇒ 2t

3 dt = dx.

Đổi cận: x= 0⇒t= 1;x= 1 ⇒t= 2. Khi đó
1

Z

0

dx

√

3x+ 1 =
2
3

1
Z

0

1

t ·tdt=
2
3

1
Z

0

dt= 2
3t

1

0

= 2
3.

Chọn đáp án D 

Câu 475. Chof(x)liên tục trên_Rvà thỏa mãnf(2) = 16,

1
Z

0

f(2x) dx= 2. Tích phân
2
Z

0

xf0(x) dx

bằng

A. 30. B. 28. C. 36. D. 16.

Lời giải.

Đặt t= 2x⇒ dx= dt

2 , ta có: x= 0⇒t= 0, x= 1⇒t= 2.

1
Z

0

f(2x) dx= 1
2

2
Z

0

f(t) dt= 2 ⇒

2
Z

0

f(t) dt= 4 ⇒

2
Z

0

f(x) dx= 4.

Khi đó

2
Z

0

xf0(x) dx=

2
Z

0

xd (f(x)) = xf(x)

2

0

−

2
Z

0

f(x) dx= 2f(2)−4 = 28.

Chọn đáp án B 

Câu 476.

Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn
đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa
(được tơ mầu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch
bằng

A. 800 cm2. B. 800

3 cm

2_. _C_. 400

3 cm

</div>
<span class='text_page_counter'>(169)</span><div class='page_container' data-page=169>

Lời giải.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng10cm= 1dm),
các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình lày = x

2

2,
y=−x

2

2 , x=−
y2

2, x=
y2

2 .

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện
tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x

2

2 ,y =

√

2x và
hai đường thẳngx= 0;x= 2.

Do đó diện tích một cánh hoa bằng
2

Z

0

Å√

2x− x

2

2
ã

dx=
Ç

2√2
3

√

x3₋x
3

6
å

2

0

= 4
3.

Vậy diện tích một cánh hoa là 4

3 dm

2 ₌ 400

3 cm

2_.

x
y

O

2

Chọn đáp án C 

Câu 477. Cho hàm sốf(x)thỏa mãn(f0(x))2+f(x)·f00(x) = 15x4_+12x,_∀_x_∈

Rvàf(0) =f0(0) = 1.
Giá trị của f2₍₁₎ _bằng

A. 9

2. B.

5

2. C. 10. D. 8.

Lời giải.

Ta có

(f0(x))2+f(x)·f00(x) = 15x4+ 12x

⇔ [f0(x)·f(x)]0 = 15x4+ 12x

⇔ f0(x)·f(x) = 3x5+ 6x2+C1.

Do f(0) =f0(0) = 1 nên ta có C1 = 1. Do đó:

f0(x)·f(x) = 3x5+ 6x2+ 1

⇔

Å
1
2f

2

(x)
ã0

= 3x5+ 6x2 + 1

⇔ f2(x) = x6+ 4x3+ 2x+C2.

Màf(0) = 1 nên ta có C2 = 1. Vậy f2(x) = x6+ 4x3+ 2x+ 1 suy ra f2(1) = 8.

Chọn đáp án D 

Câu 478. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và f(0) +f(1) = 0. Biết
1

Z

0

f2(x) dx= 1
2,

1
Z

0

f0(x) cos (πx) dx= π
2. Tính

1
Z

0

f(x) dx.

A. π. B. 1

π. C.

2

π. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(170)</span><div class='page_container' data-page=170>

Đặt
(

u= cos (πx)
dv =f0(x) dx

⇔

(

du=−πsin (πx) dx
v =f(x)

. Khi đó:

1
Z

0

f0(x) cos (πx) dx = cos (πx)f(x)

1

0

+π

1
Z

0

f(x) sin (πx) dx

= −(f(1) +f(0)) +π

1
Z

0

f(x) sin (πx) dx=π

1

Z

0

f(x) sin (πx) dx

⇒

1
Z

0

f(x) sin (πx) dx= 1
2.

Cách 1: Ta có
1

Z

0

[f(x)−ksin (πx)]2 dx =

1
Z

0

f2(x) dx−2k

1
Z

0

f(x) sin (πx) dx+k2

1
Z

0

sin2(πx) dx

= 1

2−k+
k2

2 = 0⇔k = 1.

Do đó
1
Z

0

[f(x)−sin (πx)]2 dx= 0 ⇒f(x) = sin (πx).

Vậy
1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

sin (πx) dx= 2
π.

Cách 2: Sử dụng BĐT Holder




b

Z

a

f(x)g(x) dx



2

6

b

Z

a

f2(x) dx·
b

Z

a

g2(x) dx

Dấu “=” xảy ra⇔f(x) =kg(x),∀x∈[a;b].
Áp dụng vào bài ta có

1
4 =




1
Z

0

f(x) sin (πx) dx



2

6
1
Z

0

f2(x) dx·

1
Z

0

sin2(πx) dx= 1

4, suy ra f(x) =ksin (πx).

Mặt khác:
1

Z

0

f(x) sin (πx) dx= 1
2 ⇔k

1
Z

0

sin2(πx) dx= 1

2 ⇔k = 1⇒f(x) = sin (πx).

Vậy
1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

sin (πx) dx= 2

π.

Chọn đáp án C 

Câu 479. Xác định m để đồ thị hàm số (C) : y = 5x4 −8x2 +m cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh có phần trên và phần dưới bằng
nhau.

A. 9

16. B.

16

9 . C. 9. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(171)</span><div class='page_container' data-page=171>

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị(C) và trục hoành là 5x4 ₋_8x2₊_m_{= 0}_.
Đặt t=x2_,_t _≥₀_{. Ta có} _5t2₋_8t₊_m _{= 0.} ₍₁₎

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
dương phân biệt









∆0 >0
P > 0
S > 0

⇔













16−5m >0
m

5 >0
8
5 >0

⇔0< m < 16
5 .

Ta có hàm số y = f(x) = 5x4 −8x2 +m là hàm số chẵn nên S1 +S2 = S3 ⇒ S2 =

1

2S3. Gọi
x1 < x2 < x3 < x4 là bốn hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hồnh ta có

S2 =

1
2S3 ⇒

x4

Z

x3

(−f(x)) dx=

x3

Z

0

f(x) dx.

⇔
x4

Z

x3

f(x) dx+

x3

Z

0

f(x) dx= 0 ⇔
x4

Z

0

f(x) dx= 0⇔
x4

Z

0

(5x4−8x2+m) dx= 0

⇔

Å

x5− 8

3x

3₊_mx

ã

x4

0

= 0 ⇔x5₄− 8

3x

3

4+mx4 = 0 ⇔



x4 = 0

x4₄ −8

3x

2

4+m= 0 (2)

Với x4 = 0⇒m = 0 (loại).
Xét(2) ⇔(5x4

4−8x24+m)−4x44+

16
3 x

2

4 = 0⇔4x44−

16
3 x

2

4 = 0⇔x24 =

4

3 ⇒m =
16

9 (nhận).

Chọn đáp án B 

Câu 480. Biết

π

Z

0

(x−sin 2x) dx= a
bπ

2 _{trong đó}_a_,_b _{là các số thực và} a

b (tối giản). Tínha+b.

A. −3. B. 5. C. 3. D. 2.

Lời giải.

Ta có

π

Z

0

(x−sin 2x) dx =
Å_x2

2 +
1
2cos 2x

ã

π

0

= π

2

2 +
1
2 −

1
2 =

π2

2 . Suy ra a = 1, b = 2 khi đó
a+b= 3.

Chọn đáp án C 

Câu 481. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Đẳng thức nào sai?

A.

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

a

f(x) dt. B.

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

a

f(t) dt.

C.

b

Z

a

f(x) dx=−
a

Z

b

f(t) dt. D.

b

Z

a

f(x) dx=

a

Z

b

f(t) d(−t).

Lời giải.

Ta có

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

a

f(t) dt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(172)</span><div class='page_container' data-page=172>

Câu 482. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên _R thỏa mãn điều kiện
4
Z

0

f0(x) dx = 5,
5

Z

2

f0(2u) du= 6, f(0) = 3. Giá trị của f(10) bằng

A. 4. B. 20. C. −4. D. −20.

Lời giải.

Đặt x= 2u⇒ dx= 2 du.

Đổi cận u= 2⇒x= 4,u= 5 ⇒x= 10.
Khi đó

5
Z

2

f0(2u)du =

5
Z

2

f0(x)dx
2 =

1
2

5
Z

2

f0(x) dx.

Mà
5
Z

2

f0(2u)du= 6⇒ 1

2

5
Z

2

f0(x) dx= 6 ⇒

5
Z

2

f0(x) dx= 12.

Ta có
10
Z

0

f0(x) dx =

4
Z

0

f0(x) dx +

10
Z

4

f0(x) dx = 5 + 12 = 17. Mà
10
Z

0

f0(x) dx = f(10) − f(0)

⇒f(10) = 20.

Chọn đáp án B 

Câu 483. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
3x+ 1 là
A. ln|3x+ 1|+C. B. 1

3x+ 1 +C. C.
9

(3x+ 1)2 +C. D. 3 ln|3x+ 1|+C.

Lời giải.

Ta có

Z ₃

3x+ 1dx= ln|3x+ 1|+C.

Chọn đáp án A 

Câu 484. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx,

y= 0, x= e khi quay quanh trục Ox.

A. 5e
3_{+ 2}

27 π. B.

5e3₋₂

27 π. C.

5e3 _{+ 2}

25 π. D.

5e3₋₂

25 π.
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmxlnx= 0⇔x= 1.
Thể tích khối trịn xoay sinh ra V =π

e
Z

1

x2ln2x

dx=π

e
Z

1

x2ln2xdx

. Xét
e
Z

1

x2ln2xdx

Đặt u= ln2x⇒ du= 2

xlnx, dv =x

2_dx_⇒_v ₌ x
3

3 . Ta được

e
Z

1

x2ln2xdx

= x

3

3 ln

2_x





e

1

−2

3

e
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(173)</span><div class='page_container' data-page=173>

Xét
e
Z

1

x2lnxdx. Đặtu= lnx⇒ du= 1

xdx, dv =x

2_dx_⇒_v ₌ x
3

3. Ta được

e
Z

1

x2lnxdx= x

3

3 lnx

e

1

− 1

3

e
Z

1

x2dx= x

3

3 lnx

e

1

− 1

9x

3

e

1

= e

3

3 −
e3

9 +
1
9.

Khi đó
e
Z

1

x2ln2xdx = e

3

3 −
2
3

Å
e3

3 −
e3

9 +
1
9

ã
= 5

27e

3₋ 2

27 =

5e3−2

27 . Vậy thể tích khối tròn xoay

V = 5e

3₋₂

27 π.

Chọn đáp án B 

Câu 485. Một quả đào có dạng hình cầu đường kính 6 cm. Hạt của nó là khối trịn xoay sinh ra
bởi hình Ê-líp khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F1, F2. Biết tâm của Ê-líp trùng với
tâm của khối cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4cm và 2 cm. Thể tích phần cùi (phần ăn
được) của quả đào bằng a

bπ(cm

3₎_với _a_, _b _{là các số thực và} a

b (tối giản), khi đó a−b bằng

A. 97. B. 36. C. 5. D. 103.

Lời giải.

Xét Elip có độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ lần lượt là 4và 2. Ta có a= 2,

b= 1. Phương trình chính tắc của Ê-líp là

x2

4 +
y2

1 = 1.

Gọi V1 là thể tích khối cầu. V2 là thể tích khối trịn xoay sinh ra bởi hình
Ê-líp khi quay quanh trục Ox. Khi đó thể tích V phần cùi (phần ăn được)

của quả đào làV =V1−V2.

Ta có V1 =

4
3πR

3 ₌ 4

3π3

3 _{= 36π}_.

x
y

Ta có V2 = 2π
2
Z

0

1− x

2

4

dx= 2π

2
Z

0

Å
1− x

2

4
ã

dx= 2π
Å

x− x

3

12

ã

2

0

= 2π·4

3 =
8π

3 .

Khi đóV =V1−V2 = 36π−

8π
3 =

100π

3 . Khi đó a= 100, b= 3 suy ra a−b= 97.

Chọn đáp án A 

</div>
<span class='text_page_counter'>(174)</span><div class='page_container' data-page=174>

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f0(x) như
hình bên. Đặt h(x) = f(x)− x

2

2. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. Hàm số y=h(x) đồng biến trên khoảng (−2; 3).

B. Hàm số y=h(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).

C. Hàm số y=h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).

D. Hàm số y=h(x) đồng biến trên khoảng (0; 4).

x
y

2 4

2
4

O

−2

−2

Lời giải.

Ta có h(x) = 2f(x) − x2 _nên _h0_{(x) = 2f}0_(x) ₋ _2x ₌
2 (f0(x)−x).

Vẽ đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm (−2;−2),

(2; 2),(4; 4) tạo ra hai miền (H1),(H2)có diện tích là S1 và

S2. Trong đó

S1 =
4
Z

2

(x−f0(x))dx >0

nên 0<2

4
Z

2

(x−f0(x))dx= x2−2f(x)

4

2

=h(2)−h(4).
Do đóh(2) > h(4).

x
y

2 4

2
4

O

−2

−2

S1

Ta có f(x)là hàm liên tục nênh(x)cũng là hàm liên tục, ∀x∈(2; 4), màh(2) > h(4)nên suy ra
hàm sốy =h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).

Chọn đáp án C 

Câu 487. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e2018x.
A.

Z

f(x) dx= e2018x+C. B.
Z

f(x) dx= 1
2018 ·e

2018x₊_C_.

C.
Z

f(x) dx= 2018·e2018x+C. D.
Z

f(x) dx= e2018x·ln 2018 +C.

Lời giải.

Ta có
Z

f(x) dx=

Z

e2018xdx= 1
2018e

2018x_{d(2018x) =} 1

2018 ·e

2018x₊_C.

Chọn đáp án B 

Câu 488. BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = sin 2xvàFπ
4

= 1.TínhFπ
6

.
A. F

π

6

= 5

4. B. F

π

6

= 0. C. F

π

6

= 3

4. D. F

π

6

= 1
2.
Lời giải.

Ta có

π
4

Z

π
6

sin 2xdx= 1
4 =F

π

4

−F

π

6

⇒F

π

6

=F

π

4

−1

4 = 1−
1
4 =

3
4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(175)</span><div class='page_container' data-page=175>

Câu 489. Một học sinh làm bài tích phân I =

1
Z

0

dx

1 +x2 theo các bước sau.
Bước 1: Đặtx= tant, suy ra dx= (1 + tan2_{t) dt.}

Bước 2: Đổi cậnx= 1 ⇒t= π

4;x= 0⇒t= 0.

Bước 3:I =
π
4

Z

0

1 + tan2_t

1 + tan2tdt=
π
4

Z

0

dt=t

π

4
0

= 0− π

4 =−
π
4.

Các bước làm ở trên, bước nào sai?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Không bước nào.

Lời giải.

Bước 3 bị sai. Sửa đúng là I =
π
4

Z

0

1 + tan2_t

1 + tan2_tdt=

π
4

Z

0

dt=t

π

4
0

= π

4 −0 =
π
4.

Chọn đáp án C 

Câu 490. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) :y = x−1

x+ 1 và các trục tọa

độ. Khi đó giá trị củaS bằng

A. ln 2−1. B. 2 ln 2−1. C. ln 2 + 1. D. ln 2 + 1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số H cắt trục tọa độ tại các điểm

(0;−1) và (1; 0).

Vậy diện tích S=

1
Z

0

Å

−x−1

x+ 1
ã

dx= 2 ln 2−1.

O

x
y

−3 −2 −1 1 2 3

−1
1

2
3
4

y = 2x−1
x+ 1

Chọn đáp án B 

Câu 491. Tính tích phân I =

5
Z

1

dx

x√3x+ 1 ta được kết quả I =aln 3 +bln 5.

Giá trịS =a2₊_ab_{+ 3b}2 _là

A. 4. B. 1. C. 0. D. 5.

Lời giải.

Đặt t=√3x+ 1 ⇒t2 _{= 3x}_{+ 1} _⇒_2tdt_{= 3dx}_.
Đổi cận: x= 1⇒t= 2;x= 5⇒t= 4.

I =

5
Z

1

dx
x√3x+ 1 =

2
3

4
Z

2

tdt
t2₋₁

3 ·t
= 2

4
Z

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(176)</span><div class='page_container' data-page=176>

=

4
Z

2

Å
1
t−1 −

1
t+ 1

ã

dt= ln

t−1
t+ 1

4

2

= 2 ln 3−ln 5.

Khi đóa= 2, b=−1⇒a2₊_ab_{+ 3b}2 _{= 4}₋_{2 + 3 = 5}_.

Chọn đáp án D 

Câu 492. Cho hàm số f(x) liên tục trên _R+ thỏa mãnf0(x)≥x+ 1

x,∀x∈R

+ _và _{f(1) = 1}_{. Khẳng}
định nào sau đây là đúng?

A. f(2)≥5. B. f(2)≥4. C. f(2)≥ 5

2+ ln 2. D. f(2) ≥
5

2+ 2 ln 2 .
Lời giải.

Lấy tích phân hai vế ta có:
2

Z

1

f0(x)dx≥

2
Z

1

Å
x+ 1

x
ã

dx⇔f(2)−f(1)≥

Å_x2

2 + lnx
ã

2

1

⇔f(2)−1≥ 3

2 + ln 2⇔f(2) ≥
5

2 + ln 2.

Chọn đáp án C 

Câu 493. Cho số thực a >0. Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn

f(x)·f(a−x) = 1. Tính tích phân I =

a

Z

0

1

1 +f(x)dx?
A. I = 2a

3 . B. I =
a

2. C. I =
a

3. D. I =a.
Lời giải.

Đặt t=a−x⇒dt =−dx.

Đổi cận x= 0⇒t=a;x=a⇒t= 0.
Ta có f(x)·f(a−x) = 1⇒f(x) = 1

f(a−x).

Vậy I =

0
Z

a

−dt
1 + 1

f(t)
=−

0
Z

a

f(t)

1 +f(t)dt=−

0
Z

a

1 +f(t)−1
1 +f(t) dt

=

a

Z

0

1 +f(t)−1
1 +f(t) dt =

a

Z

0

Å

1− 1

1 +f(t)
ã

dt=

a

Z

0

Å

1− 1

1 +f(x)
ã

dx= x|a₀−I =a−I.
Do đó ta có I =a−I ⇔I = a

2.

Chọn đáp án B 

Câu 494. Tích phân
1
Z

0

e−xdx bằng

A. e−1. B. 1

e −1. C.
e−1

e . D.

1
e.
Lời giải.

Ta có
1
Z

0

e−xdx= −e−x
1
0 =

e−1
e .

Chọn đáp án C 

Câu 495. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳngx= 0, x=π, đồ thị hàm số y= cosx

</div>
<span class='text_page_counter'>(177)</span><div class='page_container' data-page=177>

A. S =

π

Z

0

cosxdx. B. S =

π

Z

0

cos2xdx. C. S =

π

Z

0

|cosx|dx. D. S =π

π

Z

0

|cosx|dx.

Lời giải.

Theo công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân ta cóS =

π

Z

0

|cosx|dx.

Chọn đáp án C 

Câu 496. Họ nguyên hàm của hàm số y= cos 3x là

A. sin 3x

3 +C. B. −
sin 3x

3 +C. C. sin 3x+C. D. −sin 3x+C.
Lời giải.

Áp dụng cơng thức
Z

cos(ax+b) dx= sin(ax+b)

a +C ta có

Z

cos 3xdx= sin 3x
3 +C.

Chọn đáp án A 

Câu 497. Biết
1
Z

0

2x2_{+ 3x}_{+ 3}

x2_{+ 2x}_{+ 1} dx=a−lnb vớia, blà các số nguyên dương. TínhP =a
2₊_b2_.

A. P = 13. B. P = 5. C. P = 4. D. P = 10.

Lời giải.

I =

1
Z

0

2x2+ 3x+ 3
x2_{+ 2x}_{+ 1} dx=

1
Z

0

Å

2− x−1

(x+ 1)2

ã
dx

=

1
Z

0

Å

2− 1

x+ 1 +
2
(x+ 1)2

ã
dx

=
Å

2x−ln|x+ 1| − 2

x+ 1
ã

1

0

= 3−ln 2.

Suy ra P = 13.

Chọn đáp án A 

Câu 498. Cho I =

m

Z

0

(2x−1)e2xdx. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để I < m là
khoảng (a;b). Tính P =a−3b.

A. P =−3. B. P =−2. C. P =−4. D. P =−1.

Lời giải.

Ta có: I =

m

Z

0

(2x−1)e2xdx. Đặtu= 2x−1⇒ du= 2 dx; dv = e2x _⇒_v ₌ 1

2e

2x_.

Vậy I = 1
2e

2x_(2x₋₁₎

m

0

−
m

Z

0

e2xdx= e2m(m−1) + 1.

Ta có I < m⇔e2m(m−1) + 1< m⇔(m−1)(e2m−1)<0⇔0< m <1.
Vậy m∈(0; 1) theo đóP = 0−3·1 = −3

Chọn đáp án A

Câu 499. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x+y−2 = 0; y =√x;

y= 0 quay quanh trục Ox bằng

A. 5

6. B.

6π

5 . C.

2π

3 . D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(178)</span><div class='page_container' data-page=178>

Lời giải.

Đặt f(x) = 2−x; g(x) =√x; h(x) = 0.
Xét2−x=√x⇔

(

2−x_>0
(2−x)2 =x ⇔

(

x₆2

x2−5x+ 4 = 0 ⇔x= 1.

Ta có (H1) :








y=√x
y= 0

x= 0, x= 1

và (H2) :








x+y−2 = 0
y = 0

x= 1, x= 2

.

Cho (H1), (H2) quay quanhOxcó thể tích lần lượt là V1, V2 và thể tích cần
tìm làV =V1 +V2.

x
y

4

0 1 2

2

V1 =π
1
Z

0

g2(x) dx=π

1
Z

0

xdx=π
Å

x2
2

ã

1

0

= π
2.

V2 =π
2
Z

1

f2(x) dx=π

2
Z

1

(2−x)2dx=

2
Z

1

(x−2)2d(x−2) =π· (x−2)

3

3

2

1

= π
3.

Vậy V =V1+V2 =

π
2 +

π

3 =

5π
6 .

Chọn đáp án D 

Câu 500. Biết

π

Z

0

xsin2018x

sin2018x+ cos2018_xdx =

πa

b trong đó a, b là các số ngun dương. Tính P =
2a+b.

A. P = 8. B. P = 10. C. P = 6. D. P = 12.

Lời giải.

Đặt f(x) = sin

2018_x

sin2018x+ cos2018_x.
Đặt t=π−x.

π

Z

0

xf(x) dx=−

0
Z

π

(π−t)f(π−t) dt

=

π

Z

0

(π−t)f(π−t) dt =

π

Z

0

(π−x)f(π−x) dx=

π

Z

0

(π−x)f(x) dx

=

π

Z

0

πf(x) dt−
π

Z

0

xf(x) dt.

Suy ra

π

Z

0

xf(x) dx= π
2

π

Z

0

f(x) dx.

XétI1 =

π

Z

0

f(x) dx. Đặtt = π
2 −x.

I1 =−

−π
2

Z

π
2

f(π

2 −t) dt=
π
2

Z

−π
2

cos2018_t

cos2018_t_{+ sin}2018_tdt = 2

π
2

Z

0

cos2018_t

cos2018_t_{+ sin}2018_tdt

= 2
π
2

Z

0

cos2018_x

</div>
<span class='text_page_counter'>(179)</span><div class='page_container' data-page=179>

XétI2 =

π
2

Z

0

cos2018_x

cos2018_x_{+ sin}2018_xdx.
Đặt t= π

2 −x.

I2 =

π
2

Z

0

cos2018

π

2 −t

cos2018π

2 −t

+ sin2018

π

2 −t

dt =

π
2

Z

0

sin2018t

cos2018_t_{+ sin}2018_tdt

=
π
2

Z

0

sin2018x

cos2018_x_{+ sin}2018_xdx.

Khi đóI1 = 2I2 =I2+I2 =

π

Z

0

dx= π

2. Suy ra

π

Z

0

xf(x) dx= π
2I1 =

π2

4 .

Suy ra a= 2;b = 4. Do đó 2a+b= 8.

Chọn đáp án A 

Câu 501. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y= 1
(x+ 1)2.

A.
Z

1

(x+ 1)2 dx=

2

(x+ 1)3 +C. B.
Z

1

(x+ 1)2 dx=

−1

x+ 1 +C.
C.

Z ₁

(x+ 1)2 dx=

1

x+ 1 +C. D.

Z ₁

(x+ 1)2 dx=

−2

(x+ 1)3 +C.

Lời giải.

Z ₁

(x+ 1)2dx=

Z ₁

(x+ 1)2d(x+ 1) =

−1

x+ 1 +C.

Chọn đáp án B 

Câu 502. Cho hàm sốf(x)liên tục trên[a;b]. Giả sử hàm sốu=u(x)có đạo hàm liên tục trên[a;b]

vàu(x)∈[α;β],∀x∈[a;b], hơn nữaf(u)liên tục trên đoạn [α;β]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(u) du. B.

u(b)
Z

u(a)

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(u) du.

C.

b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

u(b)
Z

u(a)

f(u) du. D.

b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(x) du.

Lời giải.

Ta có

b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

u(b)
Z

u(a)

f(u) du.

Chọn đáp án C 

Câu 503. Tính tích phân I =

π

2

Z

0

sinπ
4 −x

dx.

A. I = π

4. B. I =−1. C. I = 0. D. I = 1.
Lời giải.

Ta có I = cosπ
4 −x

π

2
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(180)</span><div class='page_container' data-page=180>

Chọn đáp án C 
Câu 504. Cho f(x) = x

cos2_x trên

−π

2;
π
2

và F(x) là một nguyên hàm của x·f0(x) thỏa mãn

F(0) = 0. Biết α∈−π

2;
π
2

và tanα= 3. TínhF(α)−10α2_{+ 3α}_.

A. −1

2ln 10. B. −
1

4ln 10. C.

1

2ln 10. D. ln 10.
Lời giải.

Theo cơng thức tích phân từng phần ta có
Z

x·f0(x) dx=x·f(x)−

Z

f(x) dx.

Cũng theo cơng thức tích phân từng phần lại có
Z

f(x) dx=

Z

x·(tanx)0dx=x·tanx−

Z

tanxdx=x·tanx+ ln|cosx|+C.

Do đó

F(x) =

Z

x·f0(x) dx=x·f(x)−x·tanx−ln|cosx|+C.

Mà F(0) = 0 nên F(x) = x·f(x)−x·tanx−ln|cosx|. Lại có tanα = 3 nên 1

cos2_α = 10. Từ đó

F(α)−10α2_{+ 3α}₌₋_ln_√1

10 =
1
2ln 10.

Chọn đáp án C 

Câu 505. Cho In =

1
Z

0

e−nx_dx

1 + e−x, n ∈N. Đặt un = 1 (I1 +I2) + 2 (I2+I3) +· · ·+n(In+In+1)−n.

Biết limun=L. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. L∈(−1; 0). B. L∈(−2;−1). C. L∈(0; 1). D. L∈(1; 2).

Lời giải.

Ta có

In+In−1 =
1
Z

0

e−nx_{+ e}−(n−1)x

1 + e−x dx=

1
Z

0

e−(n−1)xdx= − 1

n−1e
−(n−1)x

1

0

=− 1

n−1
Ä

e−(n−1)−1ä.

Do đó(n−1) (In−1+In) = 1−

1

en−1. Suy ra

un =−

đÅ
1
e

ãn
+

Å
1
e

ãn−1

+· · ·+1
e
ô

.

Nên−un =

1
e

n+1

−1

1
e −1

−1và limun=

1

1−e. Vậy L∈(−1; 0).

Chọn đáp án A 

Câu 506. Cho số thực a >0. Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn

f(x)·f(a−x) = 1,∀x∈[0;a]. Tính tích phân I =

a

Z

0

1

1 +f(x)dx.
A. I = 2a

3 . B. I =
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(181)</span><div class='page_container' data-page=181>

Đặt t=a−x thì

I =−

0
Z

a

1

1 +f(a−t)dt=

a

Z

0

1

1 + _f1₍_t₎ dt=

a

Z

0

f(t)
1 +f(t)dt.

Từ đó ta cóI+I =

a

Z

0

dx=a. Do đó I = a
2.

Chọn đáp án B 

Câu 507. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx, y = cosx, x = 0, x=a, với

a∈hπ

4;
π
2

i
là 1

2
Ä

−3 + 4√2−√3ä. Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây?

A.

Å ₇
10; 1

ã

. B.

Å₅₁
50;

11

10

ã

. C.

Å₁₁
10;

3
2

ã

. D.

Å
1;51

50
ã

.

Lời giải.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sinx, y= cosx, x= 0, x=a là

S =

a

Z

0

|sinx−cosx|dx=

π

4
Z

0

|sinx−cosx|dx+

a

Z

π

4

|sinx−cosx|dx

=

π

4
Z

0

(cosx−sinx) dx−
a

Z

π

4

(cosx−sinx) dx

= 2√2−1−cosa−sina.

Theo bài ra ta có

Ä

−3 + 4√2−√3ä=−2 + 4√2−2 cosa−2 sina ⇔sina+ π
4

=

√

3 + 1
2√2 = sin

5π
12.

⇒a+π

4 =
7π

12 ⇔a=
π

3 ≈1,047⇒a∈
Å₅₁

10;
11
10

ã

.

Chọn đáp án B 

Câu 508. Cho hai hàm số y =f(x) và y = g(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích của hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (a < b) được tính
theo cơng thức

A. S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx. B. S =π

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx.

C. S =

b

Z

a

(f(x)−g(x)) dx. D.S =

b

Z

a

f(x)−g(x) dx

.

Lời giải.

Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =f(x), y =g(x) và hai
đường thẳngx=a, x=b (a < b) là S =

b

Z

a

|f(x)−g(x)| dx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(182)</span><div class='page_container' data-page=182>

Câu 509. Giá trị của tích phân I =

1
Z

0

x

x+ 1dx là

A. I = 2 + ln 2. B. I = 1 + ln 2. C. I = 1−ln 2. D. I = 2−ln 2.

Lời giải.

Ta có

I =

1
Z

0

x

x+ 1 dx=

1
Z

0

x+ 1−1
x+ 1 dx=

1
Z

0

Å

1− 1

x+ 1
ã

dx=

1
Z

0

dx−

1
Z

0

1
x+ 1dx
=x

1

0−ln(x+ 1)



1

0 = 1−ln 2.

Chọn đáp án C 

Câu 510. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(1) = 0,

1
Z

0

[f0(x)]2 dx =

1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx= e

2₋₁

4 . Tích phân

1
Z

0

f(x) dx bằng

A. e−1

2 . B.

e2

4. C.

e

2. D. e−2.
Lời giải.

Đặt I =

1
Z

0

[f0(x)]2 dx=

1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx= e

2₋₁

4 .

Xét

1
Z

0

exf(x) dx= xexf(x)|1₀−

1
Z

0

xd (exf(x)) =−

1
Z

0

(xexf(x) +xexf0(x)) dx.

Suy ra

1
Z

0

xexf0(x) dx=−

1
Z

0

xexf(x) dx−

1
Z

0

exf(x) dx=−I = 1−e

2

4 .

Khi đó

1
Z

0

f0(x) (f0(x) +xex) dx=

1
Z

0

Ä

[f0(x)]2+xexf0(x)ä dx=

1
Z

0

[f0(x)]2 dx+

1
Z

0

xexf0(x) dx= 0.

Do f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], xex _{liên tục trên} _{[0; 1]} _⊂

R,
1
Z

0

[f0(x)]2 dx 6= 0, suy ra

f0(x)6= 0 với mọi x∈[0; 1] nên

f0(x) = −xex ⇒f(x) =−

Z

xex =−

Z

xdex =−xex+

Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(183)</span><div class='page_container' data-page=183>

Từ f(1) = 0suy ra C= 0. Vậy f(x) =−xex₊_ex_. _{Do đó}

1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

(−xex+ex) dx=−

1
Z

0

xexdx+

1
Z

0

exdx=−

1
Z

0

xdex+

1
Z

0

exdx

=−xex

1
0

+ 2

1
Z

0

exdx=−e+ 2ex

1
0

=−e+ 2(e−1) = e−2.

Chọn đáp án D 

Câu 511. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x.

A. 2 cos 2x+C. B. 2 cos 2x+C. C. 1

2cos 2x+C. D. −
1

2cos 2x+C.
Lời giải.

Nguyên hàm của hàm sốf(x) = sin 2xlà −1

2cos 2x+C.

Chọn đáp án D 

Câu 512. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x2 ₋₁ _{và nửa đường trịn có phương}
trình y=√2−x2 _với ₍₋√₂_≤_x_≤√₂₎_{(phần tơ đậm trong hình vẽ).}

x
y

O

−1

√

2

√

2

Diện tích của (H) bằng

A. 3π+ 2

6 . B.

3π+ 10

3 . C.

3π+ 10

6 . D.

3π−2
6 .
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của paraboly =f(x) = 2x2₋₁_{và nửa đường tròn}

y=g(x) = √2−x2 ₍₋√₂_≤_x_≤√₂₎_là

2x2−1 =√2−x2

⇔

(

2x2 ≥1

2−x2 = 4x4−4x2+ 1

⇔





x2 ≥ 1

2

4x4−3x2−1 = 0

⇔















x≤ −
√

2

2 ∨x≥

√

2
2




x2 = 1
x2 =−1

4 (vô lý)

⇔







x≤ −
√

2

2 ∨x≥

√

2
2
x= 1∨x=−1

⇔

"

x= 1
x=−1

.

S =

1
Z

−1

|f(x)−g(x)|dx=

1
Z

−1

|2x2−1−√2−x2_|_dx₌
1
Z

−1

</div>
<span class='text_page_counter'>(184)</span><div class='page_container' data-page=184>

=

1
Z

−1

√

2−x2_dx₋₂
Z 1

−1

x2dx+

Z 1

−1

1 dx=A−2B+C

Trong đó:

A=

1

Z

−1

√

2−x2_dx

Đặt x=√2 sint ⇒ dx=√2 costdt với t∈[−π;π]

Đổi cận: x= 1⇒t= π

4; x=−1⇒t=−
π
4.

Khi đóA=
π
4

Z

−π
4

√

2−2cos2_t_·√_{2 cos}_t_dt₌
Z π₄

−π
4

2|cost| ·costdt

=
π
4

Z

−π
4

cos2tdt =
π
4

Z

−π
4

2·

Å

cos 2t+ 1
2

ã
dt

=
π
4

Z

−π
4

cos 2tdt+
π
4

Z

−π
4

1 dt= 1

2·sin 2t

π

4
−π₄ +t

π
4
−π₄ =

1
2·2 +

π

2 = 1 +
π
2
B =

Z 1

−1

x2dx= x

3

3

1

−1

= 2
3
C =

1
Z

−1

1 dx= 2

Suy ra S =A−2B+C = 1 + π
2 −2·

2
3+ 2 =

3π+ 10
6 .

Chọn đáp án C 

Câu 513. Cho hàm sốf(x) xác định trên_R\

ß₁
2

™

thỏa mãnf0(x) = 2

2x−1,f(0) = 1và f(1) = 2.

Giá trị của biểu thức f(−1) +f(3) bằng

A. 2 + ln 15. B. 4 + ln 15. C. 3 + ln 15. D. ln 15.

Lời giải.

Ta có f(x) = ln|2x−1|+C=







ln(2x−1) +C1 khix≥

1
2

ln(1−2x) +C2 khix <

1
2.

Do f(0) = 1 và f(1) = 2nên ta có C1 = 2 và C2 = 1.
Vậy f(−1) +f(3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15.

Chọn đáp án C

Câu 514. Tính tích phân I =

3
Z

0

dx
x+ 2.
A. I =− 21

100. B. I = ln
5

2. C. I =
4581

5000. D. I = log
5
2.

Lời giải.

I =

3
Z

0

dx

x+ 2 = ln|x+ 2|

3
0

= ln 5−ln 2 = ln5
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(185)</span><div class='page_container' data-page=185>

Câu 515.

Cho H là hình phẳng được tơ đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi
các đường có phương trìnhy= 10

3 x−x

2_,_y ₌
(

−x khi x≤1

x−2 khi x >1. Diện

tích của H bằng

A. 11

2 . B.
13

2 . C.
11

6 . D.

14
3 .

O x

y

−1
1

1

3

Lời giải.

Ta có S =

1
Z

0

Å₁₀
3 x−x

2₊_x

ã
dx+

3
Z

1

Å₁₀
3 x−x

2₋_x_{+ 2}

ã

dx= 13
2 .

Chọn đáp án B 

Câu 516. Cho hàm số y=πx _{có đồ thị} _C_{. Gọi} _D _{là hình phẳng giới hạn bởi}_C_{, trục hoành và hai}

đường thẳng x = 2, x = 3. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh
được tính theo cơng thức

A. V =π3

3
Z

2

πxdx. B. V =π2

3
Z

2

πxdx. C. V =π

2
Z

3

π2xdx. D. V =π

3
Z

2

π2xdx.

Lời giải.

Ta có: V =π

3
Z

2

(πx)2 dx=π

3
Z

2

π2xdx.

Chọn đáp án D 

Câu 517. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (0; +∞)\ {e} thỏa mãn f0(x) = 1
x(lnx−1),
f

Å
1
e2

ã

= ln 6 và f(e2_{) = 3}_{. Giá trị của biểu thức} _f

Å
1
e

ã

+f(e3₎ _bằng

A. 3 (ln 2 + 1). B. 2 ln 2. C. 3 ln 2 + 1. D. ln 2 + 3.

Lời giải.

Ta có f(x) =

Z

f0(x) dx=

Z

1

x(lnx−1)dx=

Z

d (lnx−1)

lnx−1 = ln|lnx−1|+C
=

(

ln (lnx−1) +C1 khi x >e

ln (1−lnx) +C2 khi 0< x < e
.

Vì f
Å₁

e2

ã

= ln 6⇒ln
Å

1−ln 1
e2

ã

+C2 = ln 6⇒ln 3 +C2 = ln 6⇒C2 = ln 6−ln 3 = ln 2.
Vì f(e2) = 3⇒ln (ln e2−1) +C1 = 3⇒C2 = 3.

Do đóf
Å₁

e
ã

+f(e3) = ln
Å

1−ln1
e

ã

+ ln 2 + ln (ln e3−1) + 3 = 2 ln 2 + ln 2 + 3 = 3 (ln 2 + 1).

Chọn đáp án A 

Câu 518. Biết
1
Z

0

πx3_{+ 2}x_{+ ex}3_·₂x

π+ e·2x dx =

1
m +

1
e lnnln

Å

p+ e
e +π

ã

với m, n, p là các số nguyên
dương. Tính tổngS =m+n+p.

A. S = 7. B. S = 6. C. S = 8. D. S = 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(186)</span><div class='page_container' data-page=186>

1
Z

0

πx3_{+ 2}x_{+ ex}3_·₂x

π+ e·2x dx=

1
Z

0

x3_(π_{+ e}_·₂x_{) + 2}x

π+ e·2x dx=

1
Z

0

Å

x3+ 2

x

π+ e·2x

ã

dx=

1
Z

0

x3dx+

1
Z

0

2x

π+ e·2x dx

= x

4

4

1

0

+ 1
ln 2

1
Z

0

d (2x₎

π+ e·2x =

1
4+

1

e·ln 2ln|π+ e·2

x_|

1

0

= 1
4+

1
e·ln 2 ln

π+ 2e
π+ e =

1
4+

1
e·ln 2ln

Å

1 + e
e +π

ã

.

Suy ra S = 7.

Chọn đáp án A 

Câu 519. Họ nguyên hàm của hàm số exe_{+ 4} _là

A. exe+1+ 4x+C. B. e2xe−1+C. C. ex
e+1

e + 1 + 4x+C. D.
xe+1

e + 1 + 4x+C.
Lời giải.

Ta có:
Z

(exe+ 4) dx= e

Z

xedx+

Z

4 dx= ex

e+1

e + 1 + 4x+C.

Chọn đáp án C 

Câu 520. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 cosx+ 1

x2 trên (0; +∞).

A. 3 cosx+ lnx+C. B. 3 sinx− 1

x +C. C. −3 sinx+
1

x+C. D. 3 cosx+
1
x+C.
Lời giải.

Ta có:
Z

(3 cosx+ 1

x2) dx= 3
Z

cosxdx+

Z ₁

x2dx= 3 sinx−

1
x +C.

Chọn đáp án B 

Câu 521. Cho số dương avà hàm số f(x)liên tục trên _Rthỏa mãnf(x) +f(−x) =a, ∀x∈_R. Giá
trị của biểu thức

Z a

−a

f(x)dxbằng

A. 2a2_. _B_. _a2_. _C_. _a_. _D_. _2a_.

Lời giải.

Đặt x=−t, suy ra dx=−dt. Khi đó

I =

Z a

−a

f(x)dx=−

Z −a

a

f(−t)dt=

Z a

−a

f(−t)dt=

Z a

−a

[a−f(t)] dx=

Z a

−a

adx−I

⇒I = 1

2

Z a

−a

adx= 1

2a·(a+a) = a

2_.

Chọn đáp án B 

Câu 522. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm sốf(x) = x3_?

A. y = x

4

4 −1. B. y=
x4

4 + 1. C. y=
x4

4 . D. y= 3x

2_.

Lời giải.

Ta có

Z

x3dx= x

4

4 +C.

Suy ra hàm sốy = 3x2 _{không phải là nguyên hàm của} _y₌_x3_.

Chọn đáp án D 

Câu 523. Cho F(x)là một nguyên hàm của hàm số y=x2. Giá trị của biểu thức F0(4) là

A. 2. B. 4. C. 8. D. 16.

Lời giải.

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F0(x) = x2_{. Suy ra} _F0_{(4) = 16}_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(187)</span><div class='page_container' data-page=187>

Câu 524.

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

Dlà hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho và trụcOx. Quay hình
phẳngDquanh trụcOxta được khối trịn xoay có thể tíchV được
xác định theo cơng thức nào dưới đây?

A. V =π2
Z 3

1

(f(x))2dx. B. V =

Z 3
1

(f(x))2dx.

C. V = 1
3

Z 3
1

(f(x))2dx. D. V =π

Z 3
1

(f(x))2dx.

x
y

O 1 3

−1

y=f(x)

Lời giải.

Theo cơng thức tính thể tích khối trịn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, ta có

V =π

Z 3
1

(f(x))2dx.

Chọn đáp án D 

Câu 525. Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol y = ax2 −2 và

y= 4−2ax2 _{có diện tích bằng} ₁₆_{. Tìm giá trị của}_a_.

A. 1. B. 1

2. C.

1

4. D. 2.

Lời giải.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax2₋_{2 = 4}₋_2ax2 _⇔_x2 ₌ 2

a ⇔x=±

√

2

√

a.

Đặt m=

√

2

√

a >0. Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol là

S =

Z m

−m

|3ax2−6|dx=

Z m

−m

(6−3ax2)dx= (6x−ax3)|−m→m = 12m−2am3 =

8√2

√

a .

Từ đó suy ra 8

√

2

√

a = 16⇔a=
1
2.

Chọn đáp án B 

Câu 526.

Cho hàm sốy =f(x)liên tục trên_Rvà có đồ thị như hình vẽ bên. Tính
diện tíchS của hình phẳng được đánh dấu trong hình.

A. S=

Z b

a

f(x) dx−

Z c

b

f(x) dx.

B. S=

Z b

a

f(x) dx+

Z c

b

f(x) dx.

C. S=−

Z b

a

f(x) dx+

Z c

b

f(x) dx.

D. S=

Z b

a

f(x) dx−

Z b

c

f(x) dx.

x
y

O

y=f(x)

a b c

Lời giải.

Ta có S =

Z b

a

f(x) dx

+

Z c

b

f(x) dx

=

Z b

a

f(x) dx−

Z c

b

f(x) dx.

Chọn đáp án A 

Câu 527. Cho hàm số f(x) =

(

1−2x nếu x >0

cosx nếu x≤0. Tính giá trị biểu thức I =

1
Z

−π
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(188)</span><div class='page_container' data-page=188>

A. Đáp án khác. B. I = 1

2. C. I = 1. D. I = 0.
Lời giải.

Ta có

I =

1
Z

−π
2

f(x) dx=

0
Z

−π
2

f(x) dx+

1
Z

0

f(x) dx=

0
Z

−π
2

cosxdx+

1
Z

0

(1−2x) dx

= sinx|0₋π

2 + (x−x

2

)
1
0 = 1.

Chọn đáp án C 

Câu 528. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 22x_.

A. F(x) = 22x·ln 2. B. F(x) = 2

2x

ln 2 +C.
C. F(x) = 4

x

ln 4 +C. D.F(x) = 4

x_·_{ln 4 +}_C_.

Lời giải.

Ta có F(x) =

Z

f(x) dx=

Z

22xdx=

Z

4xdx= 4

x

ln 4 +C.

Chọn đáp án C 

Câu 529. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 ₋_2x _và _y ₌

−x2_{+ 4x}_.

A. S = 12. B. S = 9. C. S = 11

3 . D. S = 27.
Lời giải.

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm

x2−2x=−x2+ 4x⇔x2−3x= 0 ⇔

"

x= 0
x= 3
.

Suy ra diện tích hình giới hạn là

S =

3
Z

0

|x2−2x−(−x2 + 4x)|dx=

3
Z

0

(2x2−6x) dx

= 9.

Chọn đáp án B 

Câu 530. Cho I =

1
Z

0

(2x−m2) dx. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m đểI+ 3 ≥0.

A. 4. B. 0. C. 5. D. 2.

Lời giải.

Ta có I =

1
Z

0

(2x−m2) dx= (x2 −m2x)
1

0 = 1−m
2_.

Để I+ 3≥0⇔4−m2 _≥₀_⇔_m2 _≤₄_{⇔ −}₂_≤_m _≤₂_.
Từ đó suy ra có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Chọn đáp án D 

Câu 531. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và

</div>
<span class='text_page_counter'>(189)</span><div class='page_container' data-page=189>

A. V = 2π. B. V = 5π. C. V = 4π. D. V = 3π.

Lời giải.

Do thiết diện là nửa đường trịn với đường kính √5x2 nên diện tích của thiết diện là

S(x) =
π

Ç√
5x2

2
å2

2 =

5πx4

8 .

Từ đó suy ra thể tích của vật thể là

V =

2
Z

0

S(x) dx=

2
Z

0

5πx4

8 dx= 4π.

Chọn đáp án C 

Câu 532.

Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốc v (km/h)

phụ thuộc vào thời giant(h) có đồ thị vận tốc như hình
vẽ bên. Trong khoảng thời gian1giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol
có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục
tung. Khoảng thời gian cịn lại vật chuyển động chậm
dần đều. Tính qng đường S mà vật đi được trong 4

giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. S = 23,71km. B. S = 23,58 km.

C. S = 23,56km. D. S = 23,72 km.

t

1 2 3 4

v

4
9

O
Lời giải.

Trong 1 giờ đầu, ta gọi phương trình vận tốc của vật là v =at2₊_bt₊_c_{, suy ra} _v0 _{= 2at}₊_b_.

Theo giả thiết ta có










v(0) = 4
v(2) = 9
v0(2) = 0

⇔









c= 4

4a+ 2b+ 4 = 9
4a+b = 0

⇔












a=−5

4
b = 5
c= 4

.

Suy ra v(t) = −5

4t

2_{+ 5t}_{+ 4}_{, từ đó ta có}_{v(1) =} 31

4 .

Trong 3 giờ sau, gọi phương trình vận tốcv(t) = at+b.
Theo giả thiết ta có





v(1) =a+b = 31
4
v(4) = 4a+b= 4

⇔





a=−5

4
b= 9

.

Suy ra v(t) = −5

4t+ 9.

Quãng đường vật đi trong 4 giờ là

S=

1
Z

0

Å

−5

4t

2 _{+ 5t}_{+ 4}

ã
dt+

4
Z

1

Å

−5

4t+ 9
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(190)</span><div class='page_container' data-page=190>

Chọn đáp án A 
Câu 533. Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1; 4] và thỏa mãn hệ thức sau với mọi

x∈[1; 4]
















f(1) = 2g(1) = 2
f0(x) = 1

x√x ·
1
g(x)
g0(x) = − 2

x√x ·
1
f(x).

Tính I =

4
Z

1

[f(x)g(x)] dx.

A. I = 4 ln 2. B. I = 4. C. I = 2 ln 2. D. I = 2.

Lời giải.

Theo bài ra ta có

[f(x)g(x)]0 =f0(x)g(x) +g0(x)f(x) = 1
x√x−

2

x√x =−
1
x√x

⇒f(x)g(x) = −

Z

1

x√xdx=
2

√

x +C.

Kết hợp với giả thiết ta có

f(1)g(1) = 2 = √2

1+C ⇒C = 0.

Từ đó suy ra

I =

4
Z

1

[f(x)g(x)] dx=

4
Z

1

2

√

xdx= 4.

Chọn đáp án B 

Câu 534. Cho hàm sốf(x)liên tục trên đoạn[a;b]. Chọn mệnh đềsaitrong các mệnh đề sau?

A.

b

Z

a

f(x) dx=

b

Z

a

f(u) du.

B.

b

Z

a

[f(x)·g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx·
b

Z

a

g(x) dx.

C.

a

Z

a

f(x) dx= 0.

D.

b

Z

a

[f(x) +g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx+

b

Z

a

g(x) dx.

Lời giải.

Ta có
1
Z

0

(x·x) dx= 1
3x

3

1
0 =

1
3 và

1
Z

0

xdx·

1
Z

0

xdx= 1
2x

2

1

0·

1
2x

2

1
0 =

1
4

⇒

1
Z

0

(x·x) dx6=

1
Z

0

xdx·

1

Z

0

xdx⇒
b

Z

a

[f(x)·g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx·
b

Z

a

g(x) dx là mệnh đề sai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(191)</span><div class='page_container' data-page=191>

Câu 535. Biết
2

Z

1

ln(9−x2) dx=aln 5 +bln 2 +cvới a, b, c∈_Z. Tính S =a+b+c.

A. S = 0. B. S =−2. C. S =−3. D. S =−1.

Lời giải.

Ta có
2
Z

1

ln(9−x2) dx= ln(9−x2)
2
1−

2
Z

1

xd ln(9−x2)

= ln 5−ln 8 + 2

2

Z

1

x2

9−x2 dx

= ln 5−2 ln 2 +

2
Z

1

Å

−2 + 3

x+ 3 −
3
x−3

ã
dx

= ln 5−2 ln 2 + (−2x+ 3 ln|x+ 3| −3 ln|x−3|)

2
1

= 5 ln 5−6 ln 2−2.

Vậy S =−3.

Chọn đáp án C 

Câu 536. Cho I =

Z

sin 2x

cos4_x_{+ sin}4_xdx. Đặt t= cos 2x thì mệnh đề nào đúng?

A. I =

Z ₋₁

t2_{+ 1} dt. B. I =

Z ₁

t2_{+ 1}dt. C. I =

1
2

Z ₋₁

t2_{+ 1} dt. D. I = 2

Z ₁

t2 _{+ 1}dt.

Lời giải.

Ta có sin 2x

cos4_x_{+ sin}4_x =

sin 2x

1−2 sin2xcos2_x =

sin 2x
1−1

2sin
2_2x =

2 sin 2x
1 + cos2_2x.

dt=−2 sin 2xdx⇒2 sin 2xdx=−dt ⇒I =

Z ₋

1

t2_{+ 1} dt.

Chọn đáp án A 

Câu 537. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=x12e
x

2, y= 0, x= 1, x= 2 quanh trục Ox.

A. V =π(e2 ₋_e)_. _B_. _V ₌_πe2_. _C_. _V ₌_π(e2_{+ e)}_. _D_. _V ₌_πe_.

Lời giải.

Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay ta có

V =π

2
Z

1

xexdx=π

2
Z

1

xdex

= πxex|2₁−π

2
Z

1

exdx=π Ä2e2−ex− ex|2₁ä=πe2.

Chọn đáp án B 

Câu 538. Tìm nguyên hàm I của hàm sốy = ex₋_3x2_.

A. I = ex₋_x3₊_C_. _B_. _I _{= e}x₊_x3₊_C_. _C_. _I _{= e}x_{+ 6x}₊_C_. _D_. _I _{= e}x₋_6x₊_C_.

Lời giải.
I =

Z

(ex−3x2) dx= ex−x3+C.

Chọn đáp án A 

</div>
<span class='text_page_counter'>(192)</span><div class='page_container' data-page=192>

điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số k diện tích phần mảnh
vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần đất cịn lại?

A. = 1

3. B. =

√

3

3 . C. =

1

2. D. =

2 + 3√2
7 .
Lời giải.

Giả sử mảnh vườn được gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên.
Khi đó phương trình hai parabol có đỉnh là trung điểm AB, CD

lần lượt là y= 2
9x

2 _và _y₌₋2

9x

2_{+ 2}_{. Xét phương trình}

2
9x

2 ₌₋2

9x

2_{+ 2} _⇒_x₌_±3

√

2
2 .

Miền diện tích giới hạn bởi các parabol (như hình vẽ) có diện tích
là

O x

y

−3 3
2 y=−29x

2_{+ 2}

y=2₉x2

−3√2
2

3√2
2

B
A

C
D

S =
3√2

2

Z

−3√2
2

−2

9x

2_{+ 2}₋ 2

9x

2

dx=
3√2

2

Z

−3√2
2

Å
2−4

9x

2

ã

dx= 4√2.

Ta có SABCD = 12⇔k =

4√2
12−4√2 =

2 + 3√2
7 .

Chọn đáp án D 

Câu 540. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên _R và f(0) = 0, f0(1) = 9
2,

1
Z

0

[f0(x)]2dx= 39
4 ,

1
Z

0

(x2+x)f00(x) dx= 5

2. Tính tích phân I =

2
Z

0

f(x) dx.

A. I = 14

3 . B. I = 14. C. I =
7

3. D. I = 7.
Lời giải.

Ta có 5

2 =

1
Z

0

(x2+x)f00(x) dx=

1
Z

0

(x2+x) df0(x) = (x2+x)f0(x)|1
0−

1
Z

0

(2x+ 1)f0(x) dx

⇒

1
Z

0

(2x+ 1)f0(x) dx= 13
2 (1).

⇒

1
Z

0

4[f0(x)]2−12(2x+ 1)f0(x) + 9(2x+ 1)2

dx= 0

⇒

1
Z

0

[2f0(x)−3(2x+ 1)]2 dx= 0

⇒2f0(x)−3(2x+ 1) = 0⇒f(x) = 3(x

2₊_x)

2 +C

Từ f(0) = 0⇒f(x) = 3(x

2₊_x)

2 . Vậy I =

2
Z

0

3(x2₊_x)

2 dx= 7.

Chọn đáp án D 

Câu 541. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x2 _{+ 1}_{, trục hoành và hai}
đường thẳngx= 0,x= 2 là

A. S = 8. B. S = 12. C. S = 10. D. S = 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(193)</span><div class='page_container' data-page=193>

Ta có S =

2
Z

0

3x2+ 1

dx=

2
Z

0

(3x2+ 1) dx= (x3+x)

2

0

= 10.

Chọn đáp án C 

Câu 542. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ex_{+ e}−x _là

A. ex_{+ e}−x₊_C_. _B_. _ex₋_e−x₊_C_. _C_. _e−x₋_ex₊_C_. _D_. _2e−x₊_C_.

Lời giải.

Ta có
Z

(ex+ e−x) dx= ex−e−x+C.

Chọn đáp án B 

Câu 543.

1
Z

0

x−1

x2₋_2x_{+ 2}dxbằng

A. ln 2. B. −ln 2. C. ln√2. D. −ln√2.

Lời giải.

Ta có
1
Z

0

x−1

x2₋_2x_{+ 2}dx=

1
2

1
Z

0

1

x2₋_2x_{+ 2}d(x

2₋_2x_{+ 2) =} 1

2ln

x2−2x+ 2





1
0

=−1

2ln 2.

Chọn đáp án D 

Câu 544. Biết

π
4

Z

0

5 sinx+ cosx

sinx+ cosx dx=aπ+ lnb, với a, blà các số hữu tỉ. Tính S =a+b.
A. S = 2 +√2. B. S = 11

4 . C. S =
5

4. D. S =
3
4.
Lời giải.

Phân tích5 sinx+ cosx=α(sinx+ cosx) +β(−sinx+ cosx)⇒α= 3, β =−2.
Suy ra

π
4

Z

0

5 sinx+ cosx
sinx+ cosx dx=

π
4

Z

0

Å

3−2−sinx+ cosx
sinx+ cosx

ã
dx

= (3x−2 ln|sinx+ cosx|)

π
4

0

= 3π
4 −2 ln

√

2 = 3π
4 + ln

1
2

⇒S =a+b = 3

4 +
1
2 =

5
4.

Chọn đáp án C 

Câu 545. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=√x, đường thẳng y = 2−x và trục
hồnh. Thể tích của khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trụcOx bằng

A. 7π

6 . B.
4π

3 . C.
5π

6 . D.
5π

4 .

O

x

y

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(194)</span><div class='page_container' data-page=194>

Ta có √x=−x+ 2⇔

(

−x+ 2 ≥0

x= (−x+ 2)2

⇔

(

x≤2

x2−5x+ 4 = 0

⇔x= 1.

Thể tíchV =π

1
Z

0

√

x2 dx+π

2
Z

1

(−x+ 2)2dx=π
đ

x2
2

1

0

+
Å

x3
3 −2x

2_{+ 4x}

ã



2

1

ơ
= 5π

6 .

Chọn đáp án C 

Câu 546. Cho hàm sốf(x)xác định trên_R\{−1; 2}thỏa mãnf0(x) = 3

x2₋_x₋₂,f(−2) = 2 ln 2+2
và f(−2)−2f(0) = 4. Giá trị của biểu thứcf(−3) +f

Å₁
2

ã

bằng

A. 2 + ln 5. B. 2 + ln5

2. C. 2−ln 2. D. 1 + ln

5
2.
Lời giải.

Ta có f(x) =

Z

f0(x) dx=

Z

3

x2₋_x₋₂dx=
Z Å

− 1

x+ 1 +
1
x−2

ã

dx= ln

x−2
x+ 1

+C.

⇒f(x) =















lnx−2

x+ 1 +C1, x∈(−∞;−1)
ln2−x

x+ 1 +C2, x∈(−1; 2)
lnx−2

x+ 1 +C3, x∈(2; +∞)

Xét điều kiện
(

f(−2) = 2 ln 2 + 2
f(−2)−2f(0) = 4

⇒

(

C1 = 2

C2 =−1
.

Suy ra f(−3) +f
Å₁

2
ã

= ln5

2 + 2 + ln 1−1 = 1 + ln
5
2.

Chọn đáp án D 

Câu 547. Cho hàm sốy=f(x)là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−π;π]thỏa mãn

π

Z

0

f(x) dx=

2018. Tính

π

Z

−π

f(x)
2018x_{+ 1}dx.

A. 2018. B. 4036. C. 0. D. 1

2018.
Lời giải.

Đặt t=−x⇒ dt=−dx. Đổi cận x=−π ⇒t=π; x=π⇒t=−π. Khi đó

I =

π

Z

−π

f(x)

2018x_{+ 1}dx=−
π

Z

−π

f(−t)

2018−t_{+ 1}(−dt) =
π

Z

−π

2018t_·_f_(t)

2018t_{+ 1} dt=
π

Z

−π

2018x_·_f_(x)

2018x_{+ 1} dx.

⇒2I =

π

Z

−π

f(x)

2018x_{+ 1}dx+
π

Z

−π

2018x·f(x)
2018x_{+ 1} dx=

π

Z

−π

f(x) dx= 2

π

Z

0

f(x) dx= 4036⇒I = 2018.

Chọn đáp án A 

Câu 548. Cho
1
Z

−2

f(x) dx= 3. Tính tích phân I =

1
Z

−2

[2f(x)−1] dx.

A. −9. B. 3. C. −3. D. 5.

Lời giải.
I =

1
Z

−2

[2f(x)−1] dx= 2

1
Z

−2

f(x) dx−

1
Z

−2

</div>
<span class='text_page_counter'>(195)</span><div class='page_container' data-page=195>

Chọn đáp án B 

Câu 549. Tích phân
2
Z

1

(x+ 3)2dx bằng

A. 61

9 . B. 4. C. 61. D.

61
3 .
Lời giải.

2
Z

1

(x+ 3)2dx=

2
Z

1

(x2+ 6x+ 9) dx=
Å

x3

3 +
6x2

2 + 9x
ã

2

1

= 61
3 .

Chọn đáp án D 

Câu 550. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cos 2x là

A. −sin 2x+C . B. −2 sin 2x+C. C. sin 2x+C. D. 2 sin 2x+C.

Lời giải.

Z

2 cos 2xdx= 2· 1

2sin 2x+C.

Chọn đáp án C 

Câu 551. Cho
1
Z

1
3

x

3x+√9x2₋₁dx=a+b

√

2, với a, blà các số hữu tỉ. Khi đó giá trị củaa là

A. 26

27. B. −

26

27. C. −

27

26. D. −

25
27.
Lời giải.

Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của3x+√9x2₋₁_{ta được}

I =

1
Z

1
3

x

3x+√9x2₋₁dx=
1
Z

1
3

x(3x−√9x2₋_{1) dx}_{= 3}
1

Z

1
3

x2dx−

1
Z

1
3

x√9x2₋_{1 dx}

Đặt u= 9x2−1⇒ du= 18xdx và đổi cận, ta được

I =x3

1

1
3

− 1

18

1
Z

1
3

√

9x2₋₁_·_18x_dx₌_x3




1

1
3

− 1

18

8
Z

0

√

udu= 26
27 +

Ñ

−u

3
2

27
é

8

0

= 26
27 −

16√2
27 .

Chọn đáp án A 

Câu 552.

Cho(H)là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm sốy= e,

y = ex và y = (1−e)x+ 1 (tham khảo hình vẽ bên). Diện
tích của (H) là

A. S = e + 1

2 . B. S = e +
1
2.
C. S = e + 3

2. D. S =
e−1

2 .

x
−2 −1 1

y

−1
1
2
3

O

y= e

y= ex

</div>
<span class='text_page_counter'>(196)</span><div class='page_container' data-page=196>

Lời giải.

Dựa vào hình vẽ, ta xác định nhanh các hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị hàm số lần lượt là

x=−1, x= 0, x= 1.

S =

0
Z

−1

(e−(1−e)x+ 1) dx+

1
Z

0

(e−ex) dx= e + 1
2

Chọn đáp án A

Câu 553. Cho hàm sốf(x)xác định trên_R\{−1; 1}và thỏa mãnf0(x) = 1

x2₋₁,f(−3)+f(3) = 0.
Tính giá trị của biểu thức f(0) +f(4).

A. P = 1 + 1
2ln

3

5. B.
1
2ln

3

5. C. 1 + ln
3

5. D. ln
3
5 + 2.
Lời giải.

f0(x) = 1

x2₋₁ ⇒f(x) =
Z

1

x2₋₁dx=

1
2ln

1−x
1 +x

+C.

Theo giả thiết, ta có

f(−3) +f(3) = 0⇔ 1

2ln 2 +
1
2ln

1

2 + 2C = 0 ⇔C = 0.

Vậy f(0) +f(4) = 1
2ln 1 +

1
2ln

3

5 + 2C =
1
2ln

3
5.

Chọn đáp án B 

Câu 554. Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãnf(1) = 0và
1
Z

0

[f0(x)]2dx=

1

Z

0

(x+ 1)exf(x) dx= e

2₋₁

4 . Tính tích phân

1
Z

0

f(x) dx.

A. I = e−2. B. I = 2−e. C. I = e−1

2 . D. I =
e
2.
Lời giải.

Tính
1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx. Đặt
(

u=f(x)

dv = (x+ 1)exdx ⇒

(

du=f0(x) dx
v =xex .

1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx=xexf(x)

1

0

−

1

Z

0

xexf0(x) dx= ef(1)−

1
Z

0

xexf0(x) dx=−

1
Z

0

xexf0(x) dx

Mà
1
Z

0

(x+ 1)exf(x) dx= e

2₋₁

4 ⇒

1
Z

0

xexf0(x) dx= 1−e

2

4 .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

Å
1−e2

4
ã2

=
Đ ₁

Z

0

xexf0(x) dx
é2

≤

Ñ ₁

Z

0

(xex)2dx

é Ñ ₁

Z

0

[f0(x)]2dx
é

⇔

Å₁₋_e2

4
ã2

≤ e

2₋₁

4

1
Z

0

[f0(x)]2dx⇔ e

2₋₁

4 ≤

1
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(197)</span><div class='page_container' data-page=197>

Dấu bằng xảy ra khif0(x) =axex_{, với} _a_∈

R.
Ta có

1
Z

0

xexf0(x) dx= 1−e

2

4 ⇒

1
Z

0

a(xex)2dx= 1−e

2

4 ⇔a·

e2₋₁

4 =

1−e2

4 ⇔a=−1.

Suy ra f0(x) = −xex⇒f(x) =−ex(x−1) +C, mà f(1) = 0 nên C = 0.
Vậy

1
Z

0

f(x) dx=

1
Z

0

−ex(x−1) dx= e−2.

Chọn đáp án A 

Câu 555. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên[0; +∞) và

x2

Z

0

f(t) dt=xsin(πx). Tínhf(4).

A. f(4) = π−1

4 . B. f(4) =
π

2. C. f(4) =
1

2. D. f(4) =
π
4.
Lời giải.

Gọi F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ta có

x2

Z

0

f(t) dt =F(x)

x2

0

=F(x2)−F(0) =xsin(πx).
Lấy đạo hàm hai vế, ta được 2xF0(x2) = sinπx+πxcosπx.
Thay x= 2 vào ta được4F0(4) = 2π ⇔F0(4) = π

2 ⇔f(4) =
π
2.

Chọn đáp án B 

Câu 556. Cho hàm số y = f(x) liên tục, xác định trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x =b được tính theo công
thức

A. S =

b

Z

a

|f(x)| dx. B. S =

b

Z

a

f(x) dx. C. S =−
b

Z

a

f(x) dx. D. S =

a

Z

b

|f(x)| dx.

Lời giải.

Câu hỏi lý thuyết.

Chọn đáp án A 

Câu 557. Nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = 3− 1

sin2x là

A. F(x) = 3x−tanx+C. B. F(x) = 3x+ tanx+C.

C. F(x) = 3x+ cotx+C. D.F(x) = 3x−cotx+C.

Lời giải.
F(x) =

Z Å

3− 1

sin2x
ã

dx= 3x+ cotx+C.

Chọn đáp án C 

Câu 558. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàmf0(x)liên tục trên đoạn[1; 4],f(1) = 12và
Z 4

1

f0(x) dx=
17. Giá trị của f(4) bằng

A. 29. B. 5. C. 19. D. 9.

Lời giải.

Ta có
4
Z

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(198)</span><div class='page_container' data-page=198>

Chọn đáp án A 

Câu 559. Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đường cong có phương trình y =√2−x2 _{và trục} _Ox_,
quay(S) xung quanh trụcOx. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng

A. V = 8

√

2π

3 . B. V =
4√2π

3 . C. V =
4π

3 . D. V =
8π

3 .
Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của đường cong y=√2−x2 _{và trục} _Ox _là

√

2−x2 _{= 0}_⇔_x₌_±√_2.

Thể tích khối tròn xoay là V =π
√

2
Z

−√2

(2−x2) dx=π
Å

2x− x

3

3
ã

√

2

−√2

= 8

√

2π

3 .

Chọn đáp án A

Câu 560. Cho
1
Z

0

dx

√

x+ 2 +√x+ 1 =a

√

b− 8

3

√

a+2

3,a, b∈N

∗_{. Tính} _a_{+ 2b}_.

A. a+ 2b = 7. B. a+ 2b= 8. C. a+ 2b=−1. D. a+ 2b = 5.

Lời giải.

Ta có

1
Z

0

dx

√

x+ 2 +√x+ 1 =

1
Z

0

√

x+ 2−√x+ 1

dx

√

x+ 2 +√x+ 1 √x+ 2−√x+ 1

=

1
Z

0

Ä√

x+ 2−√x+ 1ä dx

= 2
3

ỵ

(x+ 2)32 −(x+ 1)
3
2

ó

1
0

= 2√3− 8

3

√

2 + 2
3.

Suy ra a= 2 và b = 3. Vậy a+ 2b= 8.

Chọn đáp án B 

Câu 561. Cho hàm sốf(x)xác định trên_R\{−2; 1}thỏa mãnf0(x) = 1

x2₊_x₋₂,f(−3)−f(3) = 0
và f(0) = 1

3. Giá trị của biểu thứcf(−4) +f(−1)−f(4) bằng
A. 1

3ln 2 +
1

3. B. ln 80 + 1. C.
1
3ln

4

5+ ln 2 + 1. D.

1
3ln

8
5+ 1.
Lời giải.

Ta có f(x) =

Z ₁

(x+ 2)(x−1)dx=



















1
3ln

x−1
x+ 2

+C1,∀x∈(−∞;−2)

1
3ln

x−1
x+ 2

+C2,∀x∈(−2; 1)

1
3ln

x−1
x+ 2

+C3,∀x∈(1; +∞)
.

Trên khoảng(−∞;−2), ta có f(−3) = 1

3ln 4 +C1.

Trên khoảng(−2; 1), ta có f(0) = 1
3ln

1

2 +C2 =
1

3 ⇒C2 =
1

3(1 + ln 2).

Do đóf(−1) = 2
3ln 2 +

</div>
<span class='text_page_counter'>(199)</span><div class='page_container' data-page=199>

Trên khoảng(1; +∞), ta có f(3) = 1
3ln

2
5 +C3.

Theo giả thiết f(−3)−f(3) = 0⇔C1−C3 =

1
3ln

1
10.

Khi đó

f(−4) +f(−1)−f(4) = 1
3ln

5

2 +C1+
2
3ln

1
2 +

1
3 −

1
3ln

1
2−C3
= 1

3ln
5
2 +

2
3ln

1
2 +

1
3 −

1
3ln

1
2 +

1
3ln

1
10
= 1

3ln 2 +
1
3.

Chọn đáp án A 

Câu 562. Cho hàm số y =f(x)xác định và liên tục trên _R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

f(x) >0,∀x∈ _R; f0(x) = −ex·f2(x),∀x ∈ _R và f(0) = 1

2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại

điểm có hồnh độx0 = ln 2 là

A. 2x+ 9y−2 ln 2−3 = 0. B. 2x−9y−2 ln 2 + 3 = 0.

C. 2x−9y+ 2 ln 2−3 = 0. D.2x+ 9y+ 2 ln 2−3 = 0.

Lời giải.

f0(x) =−ex·f2(x)

⇔ −f

0_(x)
f2_(x) = e

x

⇔

ln 2
Z

0

ï

−f

0_(x)
f2_(x)

ò
dx=

ln 2
Z

0

exdx

⇔

Å ₁
f(x)

ã

ln 2

0 = e

x

ln 2
0

⇔ 1

f(ln 2) −
1
f(0) = 1

⇔ f(ln 2) = 1
3.

f0(ln 2) =−eln 2_·_f2_{(ln 2) =}₋₂_·

Å₁
3

ã2
=−2

9.

Vậy phương trình tiếp tuyến là y=−2

9(x−ln 2) +
1

3 ⇔2x+ 9y−2 ln 2−3 = 0.

Chọn đáp án A 

Câu 563. Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn: g(x) =
1 + 2018

x

Z

0

f(t) dt, g(x) = f2_(x)_{. Tính}
1
Z

0

»

g(x) dx.

A. 1011

2 . B.

1009

2 . C.

2019

2 . D. 505.
Lời giải.

Vì f(x)>0 và g(x) =f2_(x) _nên _g(x)_>₀_.

g(x) = 1 + 2018

x

Z

0

f(t) dt nên g(0) = 1 + 2018

0
Z

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(200)</span><div class='page_container' data-page=200>

Ta có

g(x) = 1 + 2018

x

Z

0

f(t) dt

⇒ g0(x) = 2018f(x) = 2018»g(x)

⇒ g

0_(x)

p

g(x) = 2018

⇒
t

Z

0

g0(x)

p

g(x)dx= 2018

t

Z

0

dx

⇒ 2»g(t)−1= 2018t

⇒ »g(t) = 1009t+ 1

⇒

1
Z

0

»

g(t) dt=

1
Z

0

(1009t+ 1) dt= 1011
2 .

Chọn đáp án A

Câu 564. Cho hàm số y=f(x)liên tục trên đoạn [a;b] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) được tính theo công

thức.

A.

a

Z

b

|f(x)|dx. B. π

b

Z

a

f(x) dx. C. π

b

Z

a

|f(x)|dx. D.

b

Z

a

|f(x)|dx.

Lời giải.

Chọn đáp án D 

Câu 565. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1−x+x2 là

A. F(x) =x− x

2

2 +
x3

3 +C. B. F(x) = −
x2

2 +
x3

3 +C.
C. F(x) =−1 + 2x+C. D.F(x)x−x2+x3+C.

Lời giải.

Chọn đáp án A

Câu 566. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x−2)<3là

A. (−∞; 10). B. (2; 6). C. (2; 10). D. [2; 10).

Lời giải.

Điều kiện: x >2.

Phương trình tương đương với: x−2<8⇔x <10.

Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; 10).

Chọn đáp án C 

Câu 567. Tích phân
1
Z

0

3e3xdx bằng

A. e3₋₁_. _B_. _e3_{+ 1}_. _C_. _e3_. _D_. _2e3_.

</div>

<!--links-->