Phân tích ổn định và ứng xử sau mất ổn định tấm mỏng trên nền đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

HỒ BÌNH PHƯƠNG

ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN
ĐỊNH TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Mã số ngành : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH – tháng 12 năm 2005


Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên
Ngày, tháng, năm sinh
Chuyên ngành
I- TÊN ĐỀ TÀI

: HỒ BÌNH PHƯƠNG
Phái:
Nam
: 04/08/1978
Nơi sinh:
Vónh Long
: Xây dựng DD&CN
Mã số:
23.04.10
: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM
MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI.

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
• Tổng quan.
• Cơ sở lý thuyết của tấm độ võng nhỏ, độ võng lớn trên nền đàn hồi:
- Cơ sở lý thuyết tấm có độ võng nhỏ trên nền đàn hồi.
- Cơ sở lý thuyết tấm có độ võng lớn trên nền đàn hồi.
• Ổn định tấm có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi.
• Ứng xử sau mất ổn định tấm có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi hai thông số
• Khảo sát một số trường hợp với ví dụ số.
• Kết luận và kiến nghị.
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ
V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

: 07/07/2005
: 07/12/2005
: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS.Nguyễn Thị Hiền Lương PGS.TS.Chu Quốc Thắng
Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Tp. HCM, ngày
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

tháng

năm 2005

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hùng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn Thạc só được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng …… naêm 2005

LỜI CẢM ƠN
Trải qua thời gian học tập tại trường với sự hướng
dẫn tận tình của quý Thầy, Cô, các Giáo sư về kiến thức
chuyên môn cũng như các phương pháp nghiên cứu, tôi đã
hoàn thành luận văn cao học chuyên ngành Xây dựng
Dân Dụng và Công Nghiệp. Đây không phải là một
phát minh hay một nghiên cứu mới mà chỉ là sự tổng hợp
những gì tôi học được, đọc được, phát hiện được trong thời
gian “học nghiên cứu” của mình. Tôi hy vọng luận văn
này là bước khởi đầu cho các nghiên cứu mang tính khoa
học hơn của tôi sau này.
Chân thành cảm ơn các Giáo sư, quý Thầy Cô đã tận
tình chỉ dẫn tôi trong thời gian học. Xin cảm ơn Ban giám
hiệu trường Cao đẳng Xây dựng Miền Tây tỉnh Vónh
Long đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi làm việc và học
tập trong những năm qua.
Chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền
Lương đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn
thành Luận Văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Gia đình và
những người thân, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên
và chia sẽ với tôi những lúc khó khăn trong công việc cũng
như trong quá trình học tập nghiên cứu.


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn............................................................................................................. 0
Chương 1: TỔNG QUAN ....................................................................................... 1
1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài ................................................................................ 1

1.2 Nhiệm vụ luận văn và ý nghóa thực tiễn ......................................................... 4
Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN .................................. 5
2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng ................................................................. 5
2.1.1 Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 5
2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm .................................................................... 5
2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff........................................................... 7
2.2.1 Giả thuyết Kirchhoff ............................................................................. 7
2.2.2 Phương trình vi phân cân bằng trong hệ tọa độ vuông góc................... 7
2.2.3 Quan hệ biến dạng và chuyển vị (Quan hệ động học) ......................... 9
2.2.4 Quan hệ ứng suất và biến dạng (Quan hệ ứng xử) ............................. 10
2.2.5 Tấm chịu tác dụng đồng thời lực ngang và lực trong mặt phẳng tấm 11
2.2.6 Năng lượng biến dạng trong tấm......................................................... 14
2.2.7 Tấm mỏng trên nền đàn hồi ................................................................ 15
a. Các loại mô hình nền ...................................................................... 15
b. Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi ..................................... 16
2.2.7 Điều kiện biên của tấm Kirchhoff ...................................................... 17
2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán)........................... 18
2.3.1 Phương trình vi phân chủ đạo .............................................................. 18
2.3.2 Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi ......................................... 20
2.3.3 Năng lượng biến dạng trong tấm......................................................... 20
2.2.7 Điều kiện biên của tấm độ võng lớn................................................... 21
2.4 Sơ lược chương trình tính toán Mathematica................................................. 21


Chương 3: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TẤM .......................................................... 23
3.1 Ổn định tấm có độ võng nhỏ ......................................................................... 23
3.1.1 Những khái niện cơ bản về ổn định .................................................... 23
3.1.2 Phương trình cân bằng ổn định tấm..................................................... 24
3.1.3 Phương pháp năng lượng trong phân tích tấm..................................... 25
a. Phương pháp Rayleigh_Ritz ............................................................ 25

b. Phương pháp Galerkin..................................................................... 26
3.1.4 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler không xét độ cong
ban đầu ................................................................................................ 27
a. Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi .................................... 27
b. Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn ....................................... 28
c. Tấm có bốn cạnh ngàm ................................................................... 29
3.1.5 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler có xét độ cong ban
đầu ...................................................................................................... 31
a. Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi .................................... 31
b. Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn ....................................... 32
c. Tấm có bốn cạnh ngàm ................................................................... 33
3.2 Ổn định tấm có độ võng lớn .......................................................................... 34
3.2.1 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler không xét độ cong
ban đầu ............................................................................................... 35
a. Phương pháp Galerkin ..................................................................... 35
b. Tấm có bốn cạnh tựa đơn ................................................................ 36
c. Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn........................................ 37
d. Tấm có bốn cạnh ngàm ................................................................... 39
3.2.2 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler có xét độ cong ban
đầu ...................................................................................................... 40
a. Phương pháp Galerkin ..................................................................... 42
b. Tấm có bốn cạnh tựa đơn ................................................................ 42
c. Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn........................................ 43
d. Tấm có bốn cạnh ngàm ................................................................... 45


3.3 So sánh ổn định tấm độ võng nhỏ_ tấm độ võng lớn trên nền Winkler ...... 46
3.4 Nhận xét và kết luận ..................................................................................... 47
Chương 4: ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CHỮ NHẬT CÓ ĐỘ CONG
BAN ĐẦU TRÊN NỀN ĐÀN HỒI HAI THÔNG SỐ ..................... 50

4.1 Cơ sở lý thuyết .............................................................................................. 50
4.2 Phương trình vi phân chủ đạo ........................................................................ 51
4.3 Phương pháp kết hợp gần đúng từng bước _ Galerkin .................................. 53
4.4 Phương pháp kết hợp nhiễu loạn _ Galerkin................................................. 55
4.5 Nhận xét và kết luận ..................................................................................... 60
Chương 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN ........ 66
4.1 Kết luận ......................................................................................................... 66
4.2 Hướng phát triển của luận văn ...................................................................... 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 68


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Chương 1

TỔNG QUAN
1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài
Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách
nhau một khoảng h gọi là chiều dày tấm. Chiều dày tấm có ảnh hưởng đến các
tính chất của nó khi chịu uốn hơn các kích thước khác [7].
Kết cấu tấm được sử dụng rất nhiều trong công nghiệp xây dựng. Nhiều
nỗ lực để triển khai các mô hình giải tích tấm chịu uốn được đánh dấu bằng
những công trình nghiên cứu vào thập niên 80 của thế kỷ 18 như: Sophie
Germain(1776-1831), Lagrange (1736-1813) và L. D. Poisson(1781-1840). Đáng
kể nhất vào năm 1823, trong một bài báo của mình, L. Navier đã thành công
trong việc áp dụng giả thuyết Bernoulli vào bài toán dầm chịu uốn bằng cách
xét tác động hai phương của ứng suất và biến dạng. Ông đã định nghóa chính xác
phương trình vi phân cân bằng chủ đạo cho tấm chịu lực ngang pz

D(

∂4w
∂4w ∂4w
2
) = p z ( x, y )
+
+
∂x 4
∂x∂y ∂y 4

(1.1)

Trong phương trình này D là độ cứng chống uốn của tấm, và tỷ lệ bậc ba với bề
dày, w(x,y) là chuyển vị của mặt trung bình tấm. Đến năm 1850, G. R. Kirchhoff
(1824-1887) đã phát triển lý thuyết tấm chịu uốn “hoàn hảo” đầu tiên. Ông cũng
dựa vào giả thuyết Bernoulli về dầm thiết lập phương trình vi phân cân bằng
tương tự như của Navier nhưng sử dụng phương pháp biến thiên năng lượng [10].
Sự ra đời của lý thuyết tấm cổ điển tuyến tính Kirchhoff đã đặt nền tảng
cho việc nghiên cứu các bài toán tấm sau này. Tuy nhiên lý thuyết này phải
chấp nhận nhiều giả thiết như : bỏ qua biến dạng trong mặt phẳng tấm, bỏ qua
biến dạng trượt và độ võng phải nhỏ so với bề dày tấm. Các điều kiện biên
tương thích không được triển khai mãi đến năm 1850 Kirchhoff mới đưa ra.Ông
cũng đã cho lời giải chính xác đối với ví dụ tấm tròn. Ông cho rằng hai điều kiện
biên sẽ thích hợp hơn ba và định nghóa một lực cắt tương đương đặc biệt để giảm
số lực trên biên tự do xuống còn hai. Sau đó, năm 1883, W. Thomson(18241907) và P. G. Tait(1831-1901) đã bổ sung một biểu thức liên hệ năng lượng của
các lực cắt tương đương với sự giải thích rõ ràng về mặt vật lý [1,3].
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất
đã được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm. Do tính ứng dụng rộng rãi của nó, ta
có thể tìm thấy các lời giải các bài toán tấm với các hình dạng và điều kiện

biên, tải trọng khác nhau trong các giáo trình của Timoshenko và W. Krieger
năm 1959. Tính đơn giản của lý thuyết tấm Kirchhoff ở chỗ giả thiết rằng pháp
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

1


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

tuyến vuông góc với mặt phẳng tấm vẫn thẳng và vuông góc trước và sau khi
biến dạng. Giả thiết này cũng không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt.
Điều này dẫn đến kết quả sai lệch khi bề dày của tấm khá lớn.
Một số nghiên cứu cố gắng cải tiến các giả thiết về tấm mỏng chịu uốn
của Kirchhoff nhằm kể tới các ứng suất gây trượt trong tấm được thực hiện bởi
D.H Donnell, A. L. Goldenweizer, E. Reissner và Mindlin. Trong đó, lý thuyết
được công nhận rộng rãi là lý thuyết tấm tương đối dày Reissner-Mindlin. Đầu
tiên, Reissner xem rằng các góc xoay của các đoạn thẳng vuông góc mặt phẳng
trung bình và hai mặt phẳng còn lại cùng hàm độ võng được xem như những
biến độc lập trong lý thuyết tính toán. Nhưng sau đó, Mindlin đã đơn giản hóa
giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến trước và sau khi biến dạng
là thẳng, nhưng sau khi biến dạng chúng không còn vuông góc với mặt trung
bình của tấm [7].
Khoa học kỹ thuật tiến bộ đòi hỏi sử dụng nhiều kết cấu tấm lớn về kích
thước nhưng phải chịu lực tốt và nhẹ. Chẳng hạn như các kết cấu trong ngành
hàng không, vũ trụ, đóng tàu, …và những công trình dân dụng đòi hỏi không gian
lớn. Tất cả các kết cấu đó trước tiên phải mỏng để đạt được yêu cầu về nhẹ.
Điều này tương đương với việc độ võng của tấm phải lớn (xem như cùng bậc với
bề dày tấm) và kéo theo các biến dạng trong mặt phẳng tấm cũng lớn. Lúc này,

các giả thiết Kirchhoff không còn được thỏa mãn mà cần có một lý thuyết khác
thích hợp hơn, ít giả thiết hơn. Và lý thuyết tấm phi tuyến Von Kármán ra đời
năm 1910. Ông đã đưa ra hệ phương trình vi phân phi tuyến cho tấm có độ võng
lớn trong đó phương trình tương thích được đưa vào.
Việc giải chính xác các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến bằng
phương pháp giải tích là rất phức tạp, khó tìm được nghiệm tường minh. Nên các
tác giả đã dùng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau như : phương pháp sai
phân hữu hạn, phương pháp năng lượng, … Trong đó, phương pháp năng lượng
được sử dụng nhiều nhất : Cox H. L. (1933), Timoshenko (1936), Marguerre và
Trefftz (1937). Năm 1942 Levy đã sử dụng chuỗi Fourier để giải bài toán tấm
vuông độ võng lớn. J. C. Brown và J. M. Harvey (1969) dùng phương pháp sai
phân hữu hạn để giải bài toán tấm chữ nhật có độ võng lớn [13].
Tấm độ võng nhỏ trên nền đàn hồi đã được trình bày rất nhiều trong các
giáo trình về tấm của các tác giả: S. P. Timoshenko năm 1971 [3], A. C. Ugural
năm 1999 [4], R. Szilard năm 2004 [10],… Trái lại, tấm có độ võng lớn trên nền
đàn hồi ít được đề cập đến. Tuy nhiên, vấn đề này đã được quan tâm từ rất sớm
dưới dạng các bài nghiên cứu đăng trên các tạp chí chuyên ngành với nhiều
phương pháp khác nhau. Năm 1963, S. N. Sinha [12] đã dùng phương pháp năng
lượng để giải bài toán tấm phi tuyến trên nền Winkler. Một phương pháp khác
được sử dụng rất nhiều trong thời gian gần đây là phương pháp phần tử biên. Ưu
điểm của phương pháp này là có thể giải được các bài toán có biên phức tạp. Và
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

2


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

J. T. Katsikadelis (1991) [14] đã dùng phương pháp này để phân tích tấm phi
tuyến trên nền Winkler.
Hầu hết, khi phân tích dầm chịu uốn trên nền đàn hồi đều dựa trên giả
thiết tác động của nền lên tấm tỷ lệ với chuyển vị của dầm tại điểm đó. Giả
thiết này đầu tiên được giới thiệu bởi Winkler năm 1867. Mô hình Winkler rất
đơn giản nhưng không thể hiện đúng đặc điểm của nhiều loại nền trong thực tế.
Một vài nghiên cứu đã cố gắng cải tiến mô hình Winkler trong đó mô hình nền
hai thông số (Pasternak type) được sự quan tâm nhiều nhất, đặc biệt khi phân
tích tấm trên nền đàn hồi. Việc nghiên cứu tấm chữ nhật nhiều lớp không đối
xứng trục trên nền đàn hồi Pasternak được thực hiện bởi Sharma (1980). Và năm
1998, Hui Shen Shen phân tích tấm dày phi tuyến trên nền hai thông số bằng
phương pháp Galerkin kết hợp nhiễu loạn [19]. Mặt khác, một đặc tính của nền
ít được đề cập trong các phân tích tấm trước đây là tính không chịu kéo. Khi chịu
lực, có những vị trí của tấm nhô lên và tại đó tấm không còn tiếp xúc với nền.
Bằng sự hổ trợ của phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) A. A Khathlan (1994)
[16] và A. R. D. Silva, R. A. M. Silverira, P. B. Gonỗaves (2001) [20] đã phân
tích tấm độ võng lớn trên nền không chịu kéo với hai mô hình Winkler và Bán
không gian đàn hồi.
Khi tấm có độ võng lớn thì vấn đề ổn định được xem là quan trọng hàng
đầu trong phân tích. Với phương pháp gần giống phương pháp nhiễu loạn
Manuel Stein (1959) [11] đã vẽ ra các dạng mất ổn định dưới tác dụng của tải
nằm trong mặt phẳng tấm và nhiệt độ. Việc nghiên cứu càng có ý nghóa hơn khi
ta xem xét ứng xử của tấm sau mất ổn định (Postbuckling behaviour). Đây là vấn
đề được sự quan tâm nhiều nhất trong thời gian gần đây vì một ý nghóa thực tiễn
là chúng ta có thể tận dụng được khả năng làm việc của kết cấu tấm. Huang
Yuying, Zhong Weifang and Qin Qinghua(1992) [15] phân tích ứng xử sau khi
mất ổn định bằng phương pháp phần tử biên (BEM). Năm 1997, Qing Hua Qin
[18] dùng phương pháp lai PTHH -Trefftz để phân tích ổn định và ứng xử sau
mất ổn định tấm trên nền Winkler với kết quả số khảo sát cho tấm vuông và tấm
tròn. Gần đây nhất, năm 2003, A. S. de Holanda, P. B. Goncalves [23] với

phương pháp PTHH đã giải bài toán tấm trên nền không chịu kéo Winkler với
việc giải quyết bài toán tiếp xúc.
Những phân tích được kể trên đều cho bài toán tấm hoàn hảo. Tuy nhiên,
trong thực tế do tính chất của việc chế tạo, loại kết cấu tấm không tránh khỏi có
những khuyết tật ban đầu về mặt hình học như : tấm có bề dày thay đổi, tấm có
độ cong ban đầu… Do đó, vấn đề ổn định của tấm không hoàn hảo trên nền đàn
hồi cần được xem xét, nghiên cứu. Về mặt lý thuyết có rất ít thông tin về mất ổn
định cũng như ứng xử của tấm sau mất ổn định trên nền đàn hồi có kể đến
khuyết tật hình học ban đầu. Năm 1995, với phương pháp nhiễu loạn, Hui Shen
Shen [17] đã giải bài toán tấm chữ nhật trực hướng tựa đơn trên nền đàn hồi hai
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

3


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

thông số có kể đến độ cong ban đầu. Và năm 2003, Trần Hữu Trí [29]đã khảo
sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm độ võng nhỏ
trong luận văn thạc só của mình. Khuyết tật hình học mà tác giả đề cập đến là
tấm có bề dày thay đổi. Gần đây, Đặng Thụy Minh Tường [30] đã phát triển tiếp
với bài toán tấm mỏng độ võng lớn có độ cong ban đầu và có chiều dày thay
đổi.
1.2 Nhiệm vụ của luận văn và ý nghóa thực tiễn
Trước tiên qua phần tổng quan, ta nhận thấy vấn đề tấm trên nền đàn hồi
cũng được nhiều tác giả quan tâm. Đăc biệt những bài báo của những năm gần
đây như A. S. de Holanda, P. B. Goncalves naêm 2003; A. R. D. Silva, R. A. M.
Silverira, P. B. Gonỗaves naờm 2001; Qing Hua Qin naờm 1997.; …Và phương pháp

nhiễu loạn đã được sử dụng rất nhiều bởi các tác giả. Đây là một phương pháp
giải tích khá hiệu quả trong phân tích kết cấu đặc biệt là các bài toán cơ học.
Ngoài ra, phương pháp này còn có ý nghóa khi phân tích tính “nhạy” của kết cấu
vì trong nhiều trường hợp kết cấu chỉ chịu thêm một lực gia tăng rất nhỏ cũng có
thể bị phá hoại. Một vấn đề được quan tâm nhiều nhất là ứng xử sau khi mất ổn
định (Postbuckling behaviour) của tấm. Vì yêu cầu thực tế cần những kết cấu
nhẹ và chịu lực tốt nên việc tận dụng khả năng làm việc của kết cấu là cần thiết.
Về mặt ý nghóa thực tiễn thì tấm trên nền đàn hồi được sử dụng nhiều
trong xây dựng như : kết cấu móng phẳng, kết cấu vỉa hè đường, đường băng sân
bay…Ýùnghóa thực tiễn càng thấy rõ hơn khi xét đến khuyết tật hình học của tấm
bởi lẽ trong thực tế ít có kết cấu nào hoàn hảo.
Nhiêm vụ chính trong luận văn này là:
Phân tích và so sánh ổn định tấm trên nền đàn hồi Winkler
trong các trường hợp: Tấm mỏng chữ nhật độ võng nhỏ, Tấm
mỏng chữ nhật độ võng lớn có và không có độ cong ban đầu với
các điều kiện biên khác nhau.
Phân tích ứng xử sau mất ổn định của tấm mỏng chữ nhật độ
võng lớn có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi hai thông số
(Pasternak-type) bằng phương pháp kết hợp gần đúng từng
bước_Galerkin và phương pháp kết hợp nhiễu loạn_Galerkin
với sự hổ trợ của chương trình tính toán Mathematica.

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

4


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN
2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng.
2.1.1 Các khái niệm cơ bản.
Tấm là kết cấu, phẳng, thẳng, có một kích thước (bề dày h) nhỏ hơn rất
nhiều so với kích thước hai phương còn lại. Về mặt hình học, nó được giới hạn
bởi những đường cong hoặc thẳng gọi là biên của tấm. Ở trạng thái tónh, tấm có
các điều kiện biên như: tự do, tựa đơn giản, ngàm. Ngoài ra, còn có các liên kết
đàn hồi.
Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai mặt biên trên và biên dưới của
tấm, khi chịu uốn mặt trung bình bị cong đi.
Chu vi tấm là giao tuyến của mặt trung bình và các mặt bên cạnh tấm.

Hình 2.1: Tấm mỏng trong hệ tọa độ (Oxyz)
Để tiện nghiên cứu và khảo sát thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
(Hình 2.1). Mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung bình của tấm, trục z hướng
xuống. Vị trí gốc tọa độ O sẽ được chọn tùy ý vào hình dạng, chu vi và đặc trưng
liên kết biên sao cho phù hợp với các bài toán cụ thể.
2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm.
Do tính phức tạp của kết cấu thực tế, người ta thường xem xét kết cấu
dưới dạng các mô hình đơn giản với những thông số quan trọng thể hiện hầu hết
các phản ứng tónh và động của nó với tải trọng. Các vấn đề cần quan tâm khi
phân tích tấm là:
1. Hình dạng hình học và liên kết của tấm.
2. Ứng xử của vật liệu tấm.
3. Loại tải trọng và phương thức tác dụng.
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

5


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Việc xem xét tấm là kết cấu liên tục ba chiều trong phân tích đàn hồi là
cần thiết. Tuy nhiên, một phương pháp mang đến quá nhiều khó khăn về mặt
toán học sẽ trở nên không thực tế. Ngay khi bài toán được giải thì kết quả cũng
không có tính ứng dụng cao. Để tiện cho việc phân tích, ta phân biệt thành bốn
loại tấm dựa trên tỷ số (h/L) [10].
1. Tấm mỏng: (

h 1
1
=
→ ) có độ cứng chống uống( độ cứng trụ)ï, có
L 50 10

khả năng chịu tải ngang và tải trong mặt phẳng tấm, nội lực chủ
yếu là moment. Thông thường người ta gọi là tấm mềm ngoại trừ
một số trường hợp đặc biệt.
2. Màng: (

h 1
< ) là tấm rất mỏng không có độ cứng chống uốn. Chỉ
L 50

chịu kéo trong mặt phẳng và chịu tải ngang vuông góc với mặt

phẳng tấm.
3. Tấm tương đối dày (còn được gọi là tấm Reissner-Mindlin):
(

h 1
1
= → ) tương tự tấm mỏng nhưng thành phần biến dạng trượt
L 10
5

trong mặt phẳng tấm được kể đến trong trường hợp này.
4. Tấm dày : (

h 1
> ) là dạng kết cấu đàn hồi liên tục ba chiều.
L 5

Bên cạnh đó, để thuận tiện cho việc thiết lập các phương trình đàn hồi
giải bài toán tấm, nhiều mô hình được đưa ra với các giả thiết khác nhau kèm
theo.
Mô hình Kirchhoff (Kirchhoff model):
Sử dụng cho tấm mỏng với biến dạng nhỏ, các thành phần biến dạng trượt
do lực cắt được bỏ qua trong khảo sát [3]. Trong tấm mỏng, các ứng suất màng
là rất nhỏ so với các ứng suất gây ra sự uốn tấm do tải trọng vuông góc tấm gây
1
4

ra. Tấm được gọi là có độ võng nhỏ khi ( wmax ≤ h ). [7]
Mô hình von Kármán (von Kármán model):
Về cơ bản mô hình này phát triển từ mô hình Kirchhoff để sử dụng cho

tấm mỏng với biến dạng lớn, các thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát
([3]) và được đặc trưng bởi các ứng suất uốn được đi liền với các ứng suất màng
kéo hay nén tương đối lớn trong mặt phẳng trung bình, các ứng suất màng ảnh
hưởng đáng kể đến moment uốn khi tính toán tấm. Lý thuyết của mô hình này
rất quan trọng cho việc phân tích và khảo sát kết cấu tấm mỏng sau khi mất ổn
định (post-buckling) trong kỹ thuật. Tấm được gọi là tấm độ võng lớn khi
wmax >

1
h . [7]
4

Mô hình Ressner – Mindlin (Ressner – Mindlin model):
Lý thuyết tấm tương đối dày với biến dạng nhỏ. Không như tấm mỏng,
biến dạng trượt do lực cắt phải được kể đến trong phân tích.
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

6


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Mô hình chính xác (Exact model):
Phân tích chính xác các tác động lên tấm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn
hồi ba chiều [27].
Trong luận văn này chỉ sẽ tập trung vào hai mô hình Kirchhoff và mô hình
von Kármán
2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff.

2.2.1 Giả thiết Kirchhoff.
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff dựa trên các giả thiết sau:
1. Vật liệu tấm đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính, nghóa là
tuân theo định luật Hooke.
2. Tấm ban đầu phẳng.
3. Mặt trung bình của tấm không có biến dạng trong khi chịu uốn.
4. Bề dày của tấm h là hằng số và nhỏ so với các kích thước còn lại
b
, với b là kích thước phương ngang nhỏ nhất). [10]
10
1
5. Chuyển vị đứng w(x,y) nhỏ so với bề dày tấm wmax ≤ h . Góc xoay
4

(h ≤

của mặt trung bình nhỏ.
6. Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng
và vuông góc với mặt trung bình khi chịu tải và độ dài của chúng là
không đổi. Như vậy, không có sự trượt trong mặt phẳng đó,
hay γ yz = 0 , γ xz = 0 . Vì độ dài các đoạn thẳng vuông góc này không
thay đổi nên dễ thấy rằng biến dạng dài theo phương z bằng không
hay εz = 0.
7. Sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ
qua. Tức là ứng suất pháp σz có thể bỏ qua (vì nhỏ so với σx ,σy).
Giả thiết thứ hai được thỏa khi tấm bi uốn cong thành mặt khả triển. Nếu
không, khi chịu uốn mặt trung gian của tấm sẽ bị biến dạng. Bên cạnh đó cần
lưu ý rằng, nếu ngoài tải trọng ngang còn có tải trọng nằm trong mặt phẳûng
trung bình của tấm thì giả thiết thứ hai cũng không còn đúng[28].
2.2.2 Phương trình vi phân cân bằng trong hệ tọa độ vuông góc:

Xét phần tử tấm dxdy trong hệ tọa độ Oxyz (Hình 2.2). Giả sử tấm chỉ
chịu tác dụng của lực ngang pz. Từ phương trình tổng moment theo phương y
baèng 0 ( ∑ M( y ) = 0 ) ta được:
(Mx +

∂M yx
∂M x
dx )dy − M x dy + ( M yx +
dy )dx − M yx dx
∂x
∂y
∂Q
dx
dx
−(Qx + x dx )dy − ∂Qx dy
=0
∂x
2
2

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.1)

7


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Mxydx
x
Myxdx
y
Mydx
y

Mxdx
x
Qx dx
x

Qy dx
y

Hình 2.2: Nội lực và ngoại lực trên vi phân tấm dxdy
Sau khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao

1 ∂Qx 2
dx dy (2.1) trở thành
2 ∂x

∂M yx
∂M x
dxdy +
dxdy − Qx dxdy = 0
∂x
∂y

Đơn giản dxdy chúng ta được

∂M x ∂M yx
+
= Qx
∂x
∂y

(2.2)

(2.3)

Tương tự, từ phương trình tổng moment theo phương x bằng 0( ∑ M( x ) = 0 ) cho ta
∂M xy
∂x

+

∂M y
∂y

= Qy

(2.4)

Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương z ta có.

hay:

∂Qy

∂Qx
dxdy +
dydx + pz dxdy = 0
∂x
∂y

(2.5)

∂Qx ∂Qy
+
= − pz
∂x
∂y

(2.6)

Thay phương trình (2.3), (2.4) vào (2.6), và Mxy = Myx

∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
+
2
+
= − pz
∂x 2
∂x∂y
∂y 2

(2.7)

Môment xoắn và môment uốn trong (2.7) đều phụ thuộc vào biến dạng, và biến
dạng là hàm của các chuyển vị thành phần (u, v, w). Do đó, bước tiếp theo ta
xác định mối liên hệ giữa moment và các thành phần chuyển vị.

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

8


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

2.2.3 Quan hệ biến dạng và chuyển vị (Quan hệ động học).
Từ giả thiết 6 ta có mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị như sau:
∂u
∂x
∂v
εy =
∂y
∂w
=0
εz =
∂z
∂u ∂w
∂u
∂w
γ xz = +
=0→
=−

∂z ∂x
∂z
∂x
∂v ∂w
∂v
∂w
γ yz = +
=0→
=−
∂z ∂y
∂z
∂y
∂u ∂v
γ xy = +
∂y ∂x

εx =

(2.8a-c)

(2.9)
(2.10)
(2.11)

Trong đó độ võng của tấm không phụ thuộc vào z mà chỉ phụ thuộc vào x,y
( w = w( x, y ) ). Điều này có ý nghóa là tất cả các điểm nằm trên đoạn thẳng vuông
góc với mặt trung bình đều có cùng độ võng.
Tích phân (2.9), (2.10) theo phương z ta coù:
∂w
+ f1 ( x , y )

∂x
∂w
v = −z
+ f2 ( x , y )
∂y

u = −z

(2.12)
(2.13)

Các hàm x,y được xác định bằng cách sử dụng giả thiết về tính không biến dạng
kéo nén của mặt trung bình:
u0 = u z= 0 = f1 ( x , y ) = 0
(2.14)
v0 = v

z= 0

= f2 ( x , y ) = 0

(2.15)

Vậy các thành phần chuyển vị u, v, w là

∂w
∂x
∂w
v = −z
∂y

u = −z

w=w

Các thành phần biến dạng:

∂u
∂2w
= − z 2 = zκ x
∂x
∂x
∂v
∂2w
ε y = = − z 2 = zκ y
∂y
∂y

εx =

γ xy =

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

∂u ∂v
∂2w
+
= −2 z
= 2 zκ xy
∂y ∂x
∂x∂y

(2.16a)
(2.16b)
(2.16c)
(2.17a)
(2.17b)
(2.17c)

9


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Với:
κx = −

∂2w
∂x 2

κy = −

∂2w
∂y 2

κ xy = −

∂2w
∂x∂y

(2.18a-c)

Điều này có nghóa các chuyển vị, biến dạng thành phần của tấm đều được biểu
diễn được qua hàm độ võng w của mặt trung bình.
2.2.4 Quan hệ ứng suất và biến dạng (quan hệ ứng xử).
Giả thiết rằng vật liệu là đàn hồi, cho phép ta sử dụng định luật Hooke.
Các biến dạng γyz = 0, γzx = 0 nên bài toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng
với quan hệ ứng suất và biến dạng như sau :
⎛
⎞
⎧σ x ⎫
⎜1 ν
0 ⎟ ⎧ε x ⎫
⎪ ⎪
⎟⎪ ⎪
E ⎜
0 ⎟ ⎨ε y ⎬
ν 1
⎨σ y ⎬ =
2 ⎜
⎪ ⎪ 1 −ν ⎜
1 − v ⎟ ⎪γ xy ⎪
⎩τ xy ⎭
⎜0 0
⎟⎩ ⎭
2 ⎠
⎝

(2.19)

Với các giả thiết về tấm mỏng chịu uốn các ứng suất σx, σy, τxy thay đổi
tuyến tính khắp độ dày của tấm nên các nội lực trong tấm được biểu diễn:
Các moment :
h
2

M x = − ∫ σ x zdz
h
2
h
2

−

(2.20)

M y = − ∫ σ y zdz
h
−
2

h
2

M xy = M yx = − ∫ τ xy zdz
−

h
2

Theá (2.19) vaøo (2.20):
⎧M x ⎫
⎪
⎪
E
⎨M y ⎬ =
2
⎪
⎪ 1 −ν
⎩ M xy ⎭

⎛
⎞
⎜1 ν
⎟ ⎧ε x ⎫
0
h
⎜
⎟⎪ ⎪
2
1
0
ν
h
⎜
⎟ ⎨ε y ⎬ zdz
∫− 2
⎜
⎟

1 − v ⎪γ xy ⎪
⎜0 0
⎟⎩ ⎭
2 ⎠
⎝

(2.21)

hay:
⎧ ∂2w ⎫
⎪
⎛
⎞ −z 2 ⎪
∂x ⎪
⎧M x ⎫
⎜1 ν
0 ⎟⎪
h
⎪
⎪
⎜
⎟ ⎪⎪ ∂ 2 w ⎪⎪
E
2
=
ν
1
0
M
⎨ y⎬

⎟ ⎨− z 2 ⎬ zdz
2 ∫− h ⎜
∂y ⎪
2⎜
⎪
⎪ 1 −ν
1− v ⎟ ⎪
M
xy
⎩
⎭
⎜0 0
⎟⎪
∂2w ⎪
⎝
2 ⎠ ⎪−2 z
⎪
∂x∂y ⎭⎪
⎩⎪
HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.22)

10


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

⎧ ∂2w ⎫
⎧ ∂2w ⎫
⎪
⎪
⎛
⎞
⎛
⎞⎪ 2 ⎪
∂x 2 ⎪
∂x
⎪
⎪
⎧M x ⎫
⎜1 ν
⎟
⎜
⎟
0
1 ν
0 ⎪ 2
3
2
⎪
⎪
⎜
⎟ ⎪⎪ ∂ w ⎪⎪
⎜
⎟ ⎪⎪ ∂ w ⎪⎪
Eh
0 ⎟ ⎨ 2 ⎬ = − D ⎜ν 1

0 ⎟⎨ 2 ⎬
⎨M y ⎬ = −
⎜ν 1
∂y
∂y
12(1 − v 2 ) ⎜
⎪
⎪
⎪
⎪
⎟
⎜
1− v
1− v ⎟ ⎪ 2 ⎪
M
xy
2
⎩
⎭
⎜0 0
⎟⎪ ∂ w ⎪
⎜0 0
⎟⎪ ∂ w ⎪
⎝
⎝
2 ⎠ ⎪2
2 ⎠ ⎪2
⎪
⎪
⎩⎪ ∂x∂y ⎭⎪

⎩⎪ ∂x∂y ⎭⎪

Với

D =

E h3
12(1 − ν 2 )

(2.23)

: độ cứng chống uốn trong tấm.

E : Modul đàn hồi của vật liệu tấm; ν : Hệ số Poison
Thay (2.23) vào (2.7) nhận được phương trình vi phân chủ đạo của tấm chịu tải
ngang:
∂4w
∂ 4 w ∂ 4 w p z ( x, y )
2
+
+
=
D
∂x 4
∂x∂y ∂y 4

(2.24)

Ngoài ra ta cũng có thể biểu diễn lực cắt theo chuyển vị ngang w bằng cách thay
(2.22) vào (2.3), (2.4)

Qx =
Qy =

∂M x ∂M yx
∂ ∂2w ∂2w
+
= −D ( 2 + 2 )
∂x
∂y
∂x ∂x
∂y
∂M y
∂y

+

∂M xy
∂x

= −D

∂ ∂2w ∂2w
+
(
)
∂y ∂x 2 ∂y 2

(2.25)
(2.26)

2.2.5 Tấm chịu tác dụng đồng thời lực ngang và lực trong mặt phẳng tấm:
Ở trên, ta thiết lập phương trình vi phân chủ đạo với giả thiết không có
lực tác dụng trong mặt trung bình tấm. Tuy nhiên, lực trong mặt phẳng tấm
thường phát sinh do nhiệt độ thay đổi và tải trong mặt phẳng tác dụng trực tiếp
tại biên. Hơn nữa, lực này có thể xảy ra khi tấm có chuyển vị song song với mặt
trung bình của nó. Nghóa là liên kết tại biên phải di chuyển được theo phương
tác dụng lực[10].
Bây giờ ta xem xét cân bằng phần tử vi phân tấm dx, dy với các lực màng
trên đơn vị chiều dài Nx, Ny, Nxy=Nyx .(Hình 2.3)
Khi bỏ qua các lực thể tích và chiếu các lực màng lên trục x ta được
(Nx +

∂N yx
∂N x
dx)dy − N x dy + ( N yx +
dy )dx − N yx dx = 0
∂x
∂y

(2.27)

Sau khi đơn giản (2.27) trở thành

∂N x ∂N yx
+
=0
∂x
∂y

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.28)

11


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

dx
(a)

Nx

Nyx
Nxy

(b)

Ny

Ny

⎛ ∂ Nx ⎞
Nx + ⎜
⎟ dx
⎝ ∂x ⎠

⎛ ∂ Nx ⎞

Nx + ⎜
⎟ dx
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂ Nxy ⎞
Nxy + ⎜
⎟ dx
⎝ ∂x ⎠

⎛ ∂ Nyx
Nyx + ⎜⎜
⎝ ∂y
⎛ ∂ Ny ⎞
⎟⎟ dy
Ny + ⎜⎜
⎝ ∂y ⎠

⎞
⎟⎟ dy
⎠

Hình 2.3: Lực màng trong phần tử tấm
Tương tự khi chiếu các lực trong mặt phẳng lên trục y ta được
∂N xy
∂x

Từ (2.8),(2.11) ta coù
εx =

∂u
∂x

+

∂N y

εy =

∂y

(2.29)

=0

∂v
∂y

γ xy =

∂u ∂v
+
∂x ∂y

(2.30a-c)

Thay thế những thành phần biến dạng bằng những biểu thức tương đương của
định luật Hooke:
εx =

1
1 ⎛ ∂2F

∂2 F ⎞
( N x −ν N y ) =
⎜ 2 −ν 2 ⎟
Eh
Eh ⎝ ∂y
∂x ⎠

1
1 ⎛ ∂2 F
∂2F ⎞
( N y −ν N x ) =
⎜ 2 −ν 2 ⎟
Eh
Eh ⎝ ∂x
∂y ⎠
2(1 +ν )
2(1 + ν ) ∂ 2 F
N xy = −
=
Eh
Eh ∂x∂y

(2.31a-c)

εy =
γ xy

Trong đó:
Nx =

∂2 F
∂y 2

Ny =

∂2F
∂x 2

N xy = N yx = −

∂2F
∂x∂y

F(x,y) laø haøm ứng suất Airy
Lấy đạo hàm cấp hai của các biểu thức (2.30) rồi cộng những hệ thức vừa nhận
được ấy lại, thì có được:
2
2
∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
−
=0
(2.32)
2
2
∂y

∂x

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

∂x∂y

12


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

dx
dy

x

Nxy
Nxy

y

⎛ ∂Nxy⎞
Nxy+ ⎜
⎟dx
⎝ ∂x ⎠

∂w
∂y

∂w ⎛ ∂ 2 w ⎞
⎟ dx

+⎜
∂y ⎜⎝ ∂x∂y ⎟⎠

Hình 2.4: Độ võng của phân tố tấm dxdy
Thay những biểu thức (2.31) vào phương trình (2.32), ta có phương trình tương
thích :
∇4 F =

∂4F
∂4 F
∂4F
+
+
=0
2
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

(2.33)

Khi chiếu các lực này lên trục z và kể đến độ võng của tấm. Lực pháp tuyến Nx
có hình chiếu lên trục z , khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao:
Nx

∂N x ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy
2
∂x ∂x

∂x

(2.34)

∂N y ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy
2
∂y ∂y
∂y

(2.35)

Tương tự, ta có hình chiếu của lực pháp tuyến Ny trên trục z
Ny

Khi chiếu lực trượt Nxy, trên trục z cần phải xét độ võng của phân tố dxdy ở mặt
trung bình như hình H.2.4, các góc xoay
hình chiếu là:
N xy

∂w ∂ 2 w
∂w
và
+
dx , mà lực trượt có
∂y ∂x∂y
∂y

∂N xy ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy
∂x∂y
∂x ∂y

(2.36)

Ta cũng nhận biểu thức tương tự đối với hình chiếu lên trục z của lực trượt Nyx
là.
N yx

∂N yx ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy
∂x∂y
∂x ∂y

(2.37)

Xem tác dụng theo phương z của các lực màng như một tải trọng phân bố đều pz*
tác dụng lên phân tố dxdy. Vậy tổng các lực theo phương z

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

13

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

∂N y ∂w
∂N x ∂w
∂2w
∂2w
dxdy
dxdy
N
dxdy +
dxdy +
+
+
y
2
2
∂x
∂x ∂x
∂y
∂y ∂y
∂N xy ∂w
∂N yx ∂w
∂2w
∂2w
+ N xy
dxdy +
dxdy + N yx
dxdy +

dxdy = p*z dxdy
∂x∂y
∂x ∂y
∂x∂y
∂x ∂y

∑ Fz = N x

(2.38)

Sau khi bỏ qua các đại lượng nhỏ bậc cao
Nx

∂2w
∂2w
∂2w
+
+
= p*z ( x, y )
N
N
2
y
xy
2
2
∂x
∂y
∂x∂y

(2.39)

Thêm tác dụng của lực ngang p*z ( x, y ) vào phương trình vi phân chủ đạo (2.24)
D(

∂4w
∂4w ∂4w
2
+
+ 4 ) = pz ( x, y ) + p*z ( x, y )
4
∂x
∂x∂y ∂y
= p z ( x, y ) + N x

∂2w
∂2w
∂2w
+
N
+
N
2
y
xy
∂x 2
∂y 2
∂x∂y

(2.40)

Nếu có cả lực thể tích tác động trong mặt phẳng trung bình của tấm, phương
trình (2.28), (2.29) trở thành
∂N x ∂N yx
+
+X =0
∂x
∂y
∂N y ∂N xy
+
+Y = 0
∂y
∂x

(2.41)
(2.42)

Ở đây, X và Y là hai thành phần của lực thể tích tại một đơn vị diện tích trên
mặt trung bình của tấm. Khi đó phương trình vi phân chủ đạo của mặt võng tấm
có chiều dày không đổi sẽ là:
∂4w
∂4w
∂4w 1 ⎛
∂2w
∂2w
∂2w
∂w
∂w ⎞
2
2

p
N
N
N
+
+
=
+
+
+
−X
−Y
⎜
⎟ (2.43)
z
x
y
xy
4
2
2
4
2
2
D⎝
∂x
∂x ∂y
∂y
∂x
∂y

∂x∂y
∂x
∂y ⎠

Nếu tấm có độ cong ban đầu w0 thì phương trình (2.40) trở thành [10]
D(

∂ 2 ( w + w0 )
∂ 2 ( w + w0 )
∂ 2 ( w + w0 )
∂4w
∂4w
∂4w
p
N
N
N
+
2
+
)
=
+
+
+
2
(2.44)
z
x
y

xy
∂x 4
∂x 2∂y 2 ∂y 4
∂x 2
∂y 2
∂x∂y

2.2.6 Năng lượng biến dạng trong tấm :
Trong trường hợp tổng quát, năng lượng biến dạng trong tấm bao gồm
năng lượng do các moment uốn (Ub) và các lực màng gây ra (Um).
Năng lượng biến dạng do moment uốn:
Ub =

Trong đó:
κx = −

1
( M xκ x + M yκ y + M xyκ xy )dxdy
2 ∫∫

∂2w
∂x 2

κy = −

M x = − D(

∂2w
∂y 2

κ xy = −

∂2w
∂2w
+
ν
)
∂x 2
∂y 2

HOÀ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

∂2w
∂x∂y

(2.45)

(2.46a-c)
(2.47a)

14


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

M y = − D(

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

∂2w

∂2w
ν
)
+
∂y 2
∂x 2

M xy = − D(1 −ν )

∂2w
∂x∂y

(2.47b)
(2.47c)

Thay (2.46), (2.47) vào (2.45) ta được
⎧⎪⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ 2
⎡ ∂2w ∂2w
1
∂ 2 w 2 ⎤ ⎫⎪
U b = ∫∫ D ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν ) ⎢ 2
) ⎥ ⎬ dxdy
−(
2
2
∂x
∂y ⎠
∂x∂y ⎦ ⎪
⎣ ∂x ∂y
⎩⎪⎝

⎭

(2.48)

Nếu tất cả các cạnh của tấm không di chuyển được thì số hạng thứ 2 của biểu
thức (2.48) bằng 0 , tức là:
2

⎛ ∂2w ∂2w ⎞
1
U b = ∫∫ D ⎜ 2 + 2 ⎟ dxdy
2
∂y ⎠
⎝ ∂x

(2.49)

Năng lượng biến dạng do ứng suất màng:
1
( N x ε x + N y ε y + N xy γ xy )dxdy
2 ∫∫
∂u
∂v
∂u ∂v
εx =
εy =
γ xy = +
∂y
∂x ∂y
∂x

Um =

Trong đó

(2.50)

2.2.7 Tấm mỏng trên nền đàn hồi:
Nhiều vấn đề quan trọng trong thực tế cần được xem xét liên quan đến
việc giải quyết tấm trên nền đàn hồi. Chẳng hạn như: vỉa hè đường cao tốc,
đường băng sân bay, móng bản công trình xây dựng,…[10]
a. Các loại mô hình nền:
Có rất nhiều loại mô hình nền nhưng ở đây, giới hạn trong luận văn này
chỉ trình bày hai dạng môhình nền: Mô hình nền Winkler và mô hình nền hai
thông số Pasternak. Và một điều lưu ý nữa là ta chỉ xét tác động của nền pnz(x,y)
lên tấm mà không xét cấu tạo của nền.
Mô hình nền Winkler (Winkler-type): hay còn gọi là mô hình nền biến
dạng cục bộ, xem nền là đồng nhất đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính.
Tác động của nền lên tấm:
pzn ( x, y ) = kw

(2.51)

Trong đó: k là hệ số nền, w là độ võng của tấm.
Mô hình nền hai thông số (Pasternak-type): biểu diễn nền đàn hồi bằng
hai thông số. Thông số thứ nhất đặc trưng cho hệ số nén, thông số thứ hai đặc
trưng cho hệ số trượt.
Tác động của nền lên tấm:
pzn ( x, y ) = k1w − k2∇ 2 w

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.52)

15


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

h

r

Tấm tròn với phần tấm nhô lên khỏi mặt tiếp xúc chung
x

x

1

0

h

Hình 2.5 : Tấm trên nền không chịu kéo
Mô hình nền không chịu kéo (Tentionless Foundation Model): dạng khác
của mô hình Winkler: Chúng ta có thể xem nền Winkler như một chuỗi các lò xo
tuyến tính độc lập có khả năng chịu kéo hoặc nén. Giả thiết này đúng cho hầu
hết các trường hợp, vì việc tách rời giữa tấm và nền do lực ngang ít khi xảy ra.

Tuy nhiên có những loại vật liệu nền chỉ chịu nén. Khi đó, với tấm mềm chịu
một loại tải trọng nào đó đặt trên nền thì ứng suất kéo tại mặt tiếp xúc chung nơi
tấm và nền tách khỏi nhau là không tồn tại. Trong vùng không tiếp xúc, tấm nhô
lên khỏi nền và một khoảng trống giữa tấm và nền được tạo ra (Hình 2.5).
Nhiệm vụ của chúng ta là xác định điều kiện hình thành vùng không tiếp xúc và
tính toán vị trí, bề rộng của chúng [10].
Tác động của nền lên tấm có thể viết [23]:
⎧o khi w > 0 ⎫
pzn ( x, y ) = ⎨
⎬
⎩kw khi w ≤ 0 ⎭

(2.53)

b. Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi:
Khi tấm được đặt trên nền đàn hồi liên tục thì ngoại lực tác dụng vuông
góc với mặt phẳng tấm bao gồm lực ngang pz(x,y) và phản lực của nền pnz(x,y).
Lúc này phương trình (2.24) trở thành:
D(

∂4w
∂4w
∂4w
2
) = pz − pzn
+
+
4
2
2

4
∂x
∂x ∂y
∂y

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.54)

16


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Và (2.40) trở thành:
D(

∂4w
∂4w
∂4w
∂2w
∂2w
∂2w
n
2
)
2
+

+
=
−
+
+
+
p
p
N
N
N
z
z
x
y
xy
∂x 4
∂x 2∂y 2 ∂y 4
∂x 2
∂y 2
∂x∂y

(2.55)

2.2.8 Điều kiện biên của tấm Kirchhoff:
Xét tại cạnh x=a
ƒ Cạnh tựa đơn:
( w) x = a = 0 ;

(M x ) x=a = (

ƒ Cạnh ngàm cứng:

(2.56a-b)

∂w
) x=a = 0
∂x

(2.57a-b)

∂2w
∂2w
+
ν
) x=a = 0
∂x 2
∂y 2

(2.58a)

∂3w
∂3w
+
(2
−
ν
)
) x=a = 0
∂x3

∂x∂y 2

(2.58b)

( w) x = a = 0 ;

(

ƒ Cạnh tự do:
(M x ) x=a = (

∂2w
∂2w
+
ν
) x=a = 0
∂x 2
∂y 2

(Qxqd ) x = a = (

ƒ Cạnh ngàm một phần:
( w) x = a = 0 ;

(

∂w
∂2w
∂2w
) x = a = −( ρ φ ) −1 D( 2 + ν 2 ) x = a

∂x
∂x
∂y

(2.59a-b)

ƒ Cạnh tựa đàn hồi:
(M x ) x=a = (

∂2w
∂2w
+
ν
) x=a = 0
∂x 2
∂y 2

( w) x = a = ρ −1 D (

∂3w
∂3w
(2
ν
)
) x=a
+
−
∂x3
∂x∂y 2

(2.60a)
(2.60b)

ƒ Cạnh tựa đàn hồi và hạn chế xoay:
∂3w
∂3w
(2
ν
)
) x=a
+
−
∂x3
∂x∂y 2
∂2w
∂2w
= − ( ρ φ ) −1 D ( 2 + ν 2 ) x = a
∂x
∂y

( w) x = a = ρ −1 D(
(

Trong đó:

∂w
) x=a
∂x

(2.61a)

(2.61b)

ρφ : Độ cứng xoay của liên kết
ρ : Hệ số đàn hồi của liên kết [10]

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

17


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Hình 2.6: Các dạng liên kết biên
2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán)
Trong phần trước ta giả thiết rằng chuyển vị là nhỏ so với bề dày tấm.
Tuy nhiên, một vài kết cấu tấm ứng dụng trong thực tế - đặc biệt trong ngành
công nghiệp hàng không, hải quân-có chuyển vị không nhỏ. Do đó, khi phân tích
phải xét thêm ảnh hưởng do chuyển vị lớn. Khi biên độ của chuyển vị tăng lên
vượt quá 0.3h (w≥0.3h) thì quan hệ giữa tải ngoài và chyển vị không còn tuyến
tính nữa. Đồng thời, khi chuyển vị lớn ứng suất trong mặt trung bình không thể
bỏ qua, phải kể thêm các ứng suất màng trong quá trình phân tích.[10]
2.3.1 Phương trình vi phân chủ đạo
Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chuyển vị nhỏ chịu tác dụng đồng
thời lực ngang và lực trong mặt phẳng (2.40) cũng có thể áp dụng cho tấm có độ
võng lớn. Tuy nhiên, trong trường hợp này các lực màng Nx, Ny, Nxy=Nyx không
phải là hằng số dọc theo mặt phẳng tấm màø là một hàm phụ thuộc x, y
Nx =

∂ 2 F ( x, y )
∂y 2

Ny =

∂ 2 F ( x, y )
∂x 2

N xy = N yx = −

∂ 2 F ( x, y )
∂x∂y

(2.62a-c)

Trong đó:F(x,y) là hàm ứng suất Airy.
Biến dạng trong tấm có thêm số hạng phi tuyến(Nonlinear)(Hình 2.7).
ε xNL =

ds − dx
∂w
1 ∂w
= 1 + ( )2 − 1 = ( )2
dx
∂x
2 ∂x

ε x = ε xL + ε xNL =

∂u 1 ⎛ ∂w ⎞

+ ⎜
⎟
∂x 2 ⎝ ∂x ⎠

2

(2.63)
(2.64a)

2

∂v 1 ⎛ ∂w ⎞
εy = ε +ε = + ⎜ ⎟
∂y 2 ⎝ ∂y ⎠
∂u ∂v ∂w ∂w
γ xy = γ xyL + γ xyNL = + +
∂x ∂y ∂x ∂y
L
y

NL
y

HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017

(2.64b)
(2.64c)
18