Sử dụng phương pháp không lưới petrov galerkin giải bài toán dầm chịu uốn

Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

1

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PETROV-GALERKIN
GIẢI BÀI TOÁN DẦM CHỊU UỐN.
(Meshless Local Petrov-Galerkin Method for Bending Beam Problems)
LỜI CẢM ƠN.
Trước hết tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của tôi đến PGS. Phan Ngọc
Châu- thầy giáo hướng dẫn chính luận văn này đã chỉ bảo tận tình, luôn thôi thúc,
động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn. Tiếp theo tôi
muốn được cảm ơn Ths. Nguyễn Hoài Sơn- là giảng viên trường ĐH Sư Phạm Kỹ
Thuật TP. HCM- người đã cung cấp nhiều tài liệu tham khảo bổ ích và hướng dẫn tôi
rất tận tình phần lập trình MATLAB để giải quyết bài toán của Luận văn.
Xin được bày tỏ lòng cảm ơn tới tất cả các thầy, cô giáo đã giảng dạy và hướng dẫn
tôi trong toàn bộ khoá học. Trân trọng cảm ơn toàn thể cán bộ Phòng Đào tạo SĐH
trường ĐHBK đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. Lòng biết ơn của
tôi muốn được gửi tới Ban Giám Hiệu và Khoa Kiến Trúc – Xây Dựng trường Đại
Học Văn Lang là nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và
nghiên cứu.
Cuối cùng tôi muốn cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè của tôi đã động viên
và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Đặc biệt, tôi muốn được cảm ơn thật nhiều tới bạn
gái của tôi- Lê Thị Tuyết Chinh, người luôn động viên tinh thần trong suốt thời gian
tôi học tập và và thực hiện luận văn này.

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu

Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

2
TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn gồm năm chương từ chương 1 tới chương 5, với nội dung chính của các
chương như sau:
Chương 1 trình bày một cách tóm tắt về sự phát triển và ứng dụng của phương pháp
không lưới hiện nay ở trên thế giới và ở Việt Nam. Trong đó có trình bày các ưu
điểm của phương pháp này so với các phương pháp số khác như FEM hay BEM. Cơ
sở của phương pháp không lưới và sự khác nhau giữa các phương pháp không lưới
cũng được trình bày trong chương này. Phần mục đích của luận văn được trình bày
trong phần tiếp theo sau phần giới thiệu của chương.
Chương 2 thể hiện nội dung chính của phương pháp không lưới Petrov- Galerkin
(MLPG), gồm các vấn đề chính sau: Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS)
và phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động suy rộng (GMLS) được trình bày trước
tiên. Tiếp theo là các dạng hàm trọng số và cách chọn hàm trọng số cho phép xấp
xỉ. Các dạng yếu địa phương của MLPG được xây dựng từ phương pháp phần dư có
trọng cho bài toán từ phương trình Poisson. Dạng yếu địa phương này dùng để thiết
lập phương trình để giải của phương pháp MLPG. Phương pháp biên phạt (Penalty
method) để chỉnh lý điều kiện biên chính được trình bày trong tiếp theo của chương.
Các công thức trong tích phân số Gauss được trình bày trong phần cuối cùng của
chương này.
Chương 3 là phần áp dụng phương pháp MLPG cho bài toán thuộc lớp Co của bài
toán một chiều (1-D), cụ thể là bài toán thanh chịu kéo (nén) đúng tâm được áp
dụng cho phương pháp MLPG. Dạng yếu của phương pháp được xây dựng trên cơ sở
dạng mạnh và phương pháp phần dư có trọng. Ví dụ cụ thể về bài toán kéo (nén)

đúng tâm được tính toán trong phần lập trình (Bài toán 1).
Chương 4 rất quan trọng của luận văn, với nội dung chính là giải quyết bài toán
dầm Euler- Bernoulli và dầm Timoshenko bằng phương pháp MLPG, gồm có các
phần chính sau: Giới thiệu lý thuyết chung về dầm Euler- Bernoulli mà phần thiết
lập phương trình vi phân chủ đạo được giới thiệu trước tiên trong chương này. Dạng
yếu được thiết lập trên cơ sở phương trình vi phân chủ đạo và phương pháp phần dư
có trọng là phần tiếp theo. Phép xấp xỉ GMLS được sử dụng cho bài toán dầm
Euler- Bernoulli và phép xấp xỉ MLS được áp dụng cho bài toán dầm Timoshenko.
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

3

Việc lựa chọn hàm kiểm tra của phương pháp cũng được trình bày trong chương
này. Tiếp đến là cách thức thiết lập các phương trình để giải cho bài toán. Hai bài
toán cụ thể được trình bày trong chương này theo cả MLPG và phương pháp chính
xác. Sau hai bài toán là phần đánh giá về kết quả của bài toán.
Chương 5 là phần đánh giá và kết luận cho luận văn. Đây là chương cuối cùng của
luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số của phương pháp MLPG so với lời giải
chính xác. Và cuối cùng là phần kết luận.
Cũng như các luận văn khác, hướng phát triển tiếp theo của luận văn, phần danh
mục các tài liệu tham khảo và phần phụ lục được trình bày trong phần cuối cùng của
luận văn này.

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

4

Ngành: XDDD & CN

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN. ...............................................................................................................1
TÓM TẮT LUẬN VĂN................................................................................................2
MỤC LỤC .....................................................................................................................4
BẢNG CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................5
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VÀ MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN ..................................9
1.1. Giới thiệu chung về sự phát triển của phương pháp không lưới. ...........................9

1.1.1. Tình hình nghiên cứu và ứng dụng phương pháp không lưới trên thế giới. 9
1.1.2. Tình hình nghiên cứu và ứng dụng phương pháp không lưới ở Việt Nam.13
1.2. Mục đích của luận văn................................................................................................14

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PETROV-GALERKIN ..................15
2.1. Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving least squares approximation)
(MLS). .............................................................................................................................15
2.2. Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu ñoäng suy roäng (Generalized Moving Least
Squares approximation- GMLS) [1] ...........................................................................21
2.3. Hàm trọng số (Weight function)...............................................................................25
2.4. Các dạng yếu của phương pháp MLPG [1].............................................................28

2.5. Phương pháp biên phạt (Penalty method) để chỉnh lý điều kiện biên chính [6].
..........................................................................................................................................34
2.6. Giới thiệu sơ lược về tích phân Gauss (Phép cầu phương Gauss).........................35

2.6.1. Công thức tích phân Gauss một chiều ...................................................... 35
2.6.2. Công thức tích phân Gauss hai chiều........................................................ 36
CHƯƠNG 3. MLPG ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN C0 (1-D).......................................36
3.1. Dạng yếu của bài toán................................................................................................36
3.2. Thiết lập các phương trình để giải. ..........................................................................41

CHƯƠNG 4. MLPG ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN DẦM ...........................................43
4.1. Dầm Euler- Bernoulli.................................................................................................43

4.1.1. Phương trình vi phân chủ đạo của dầm Euler- Bernoulli. ........................ 43
4.1.2. Dạng yếu địa phương dầm Euler- Bernoulli............................................. 46
4.1.3. Áp dụng phép xấp xỉ GMLS cho bài toán dầm Euler- Bernoulli. ............ 59
4.1.4. Lựa chọn hàm kiểm tra cho bài toán dầm Euler- Bernoulli. .................... 64
4.1.5. Xây dựng các phương trình để giải cho phương pháp MLPG................... 66
4.2. Bài toán dầm Timoshenko.........................................................................................71

4.2.1. Dạng yếu của bài toán .............................................................................. 71
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

5

Ngành: XDDD & CN

4.2.2. Thiết lập phương trình để giải .................................................................. 73
4.3. Các bài toán.................................................................................................................75

4.3.1. Bài toán 1: Thanh chịu lực phân bố bậc nhất dọc trục. ............................ 75
4.3.2. Bài toán 2: Dầm Timoshenko chịu tải ở đầu ở đầu tự do. ........................ 81
4.3.3. Giới thiệu chương trình MLPG giải hai bài toán. ..................................... 89
CHƯƠNG 5. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ BÀI TOÁN VÀ KẾT LUẬN .........................92
5.1. Sai số và đánh giá sai số. ............................................................................................92

5.1.1. Nguyên nhân của sai số. ........................................................................... 92
5.1.2. Cách đánh giá sai số ................................................................................. 92
5.1.3. Một số đánh giá và kết luận về kết quả hai bài toán................................ 94
5.2. Kết luận chung. ...........................................................................................................95

HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO CỦA LUẬN VĂN ......................................97
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................97
PHỤ LỤC.....................................................................................................................98

BẢNG CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

6

Ngành: XDDD & CN

Trong luận văn, các kí tự Latin hoặc Hy Lạp được dùng để kí hiệu các hàm, các vô
hướng hoặc các biến. Các kí tự thường in đậm là các véctơ, còn kí hiệu chữ in hoa
đậm là các ma trận. Bảng dưới đây liệt kê các kí hiệu và viết tắt thường được sử
dụng trong luận văn.
Kí hiệu (viết tắt)
BEM
EBC
FEM
GMLS
LWF
MLPG
MLS
MM
PP. PTHH
NBC
1-D
2-D
3-D
A, B
E
I
I, Iyy
K
L, l
M

M

N
P
P
Q
Q

Q
E
K(node)
K(bdry)
L2, J, Hh
ro
rj
di , dj
Phạm Tiến Cường

Giải thích - ý nghóa
Phương pháp phần tử biên
Điều kiện biên chính
Phương pháp phần tử hữu hạn
Bình phương tối thiểu động suy rộng
Dạng yếu địa phương
Phương pháp không lưới Petrov- Galerkin
Bình phương tối thiểu động
Các phương pháp không lưới
Phương pháp phần tử hữu hạn
Điều kiện biên tự nhiên
Một chiều
Hai chiều
Ba chiều

Các ma trận trong phép xấp xỉ MLS
Môđul đàn hồi
Ma trận đơn vị
Mômen quán tính của tiết diện dầm
Ma trận độ cứng tổng thể
Chiều dài của thanh, dầm
Mômen nội lực trong dầm
Trị số mômen áp đặt tại biên phụ
Hàm dạng trong FEM hoặc số nút của bài toán thanh, dầm
Ma trận trong GMLS
Tải tập trung tác dụng lên thanh, dầm
Ma trận trong GMLS
Lực cắt trong dầm
Trị số lực cắt áp đặt tại biên phụ
Chuẩn sai số
Ma trận “nút” trong phương trình của MLPG
Ma trận “biên” trong phương trình của MLPG
Chuẩn sai số rời rạc có trọng trong MLS và GMLS
Bán kính miền con- Miền hàm kiểm tra
Bán kính miền xấp xỉ của MLS - Miền hàm thử
Khoảng cách từ x đến nút xi hoặc xj
CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só
d

dˆ
f
f(node)

f(bdry)
f
m
nx
p
px
q

q
tˆ

u

u
uˆ j

uˆ
ν, νi
wj
w

w
ˆj
w

Ngành: XDDD & CN

7

Véctơ chuyển vị trong dầm

ˆ và tˆ )
Véctơ các trị số chuyển vị nút giả định trong dầm (gồm w
Tải trọng phân bố tác dụng trên thanh, dầm
Véctơ tải “nút” trong phương trình của MLPG
Véctơ tải “biên” trong phương trình của MLPG
Véctơ tải tổng thể
Số phần tử trong cơ sở
Cosine chỉ phương của của pháp tuyến ngoài của miền Ω
Hàm cơ sở các đơn thức
Đạo hàm của hàm cơ sở các đơn thức
Biến thứ cấp trong bài toán Co
Tải tập trung áp đặt tại biên phụ trong bài toán 1-D Co
Véctơ các trị số góc xoay giả định trong dầm
Chuyển vị dọc trục trong bài toán 1-D (Co)
Chuyển vị áp đặt tại biên chính trong bài toán 1-D (Co)
Trị số chuyển vị giả định tại nút j
Véctơ các chuyển vị giả định
Hàm trọng số, hàm kiểm tra
Các hàm trọng số
Độ võng trong bài toán dầm
Chuyển vị áp đặt tại biên chính trong bài toán dầm 1-D (C1)
Độ võng giả định tại nút j trong bài toán dầm

∆x
Γ
ΓM
Γq
ΓQ

Véctơ các độ võng giả định trong bài toán dầm

Véctơ các toạ độ không gian
Toạ độ địa phương của x
Khoảng cách giữa các nút
Biên tổng thể của miền Ω
Biên của bài toán mà tại đó áp đặt M
Biên của bài toán mà tại đó áp đặt q
Biên của bài toán mà tại đó áp đặt Q

Γs
ΓsM
Γsq
ΓsQ

Biên của miền con Ωs
Biên của miền con Ωs mà tại đó áp đặt M
Biên của miền con Ωs mà tại đó áp đặt q
Biên của miền con Ωs mà tại đó áp đặt Q

Γsu
Γsw
Γsθ
Γu
Γw
Γθ

Biên của miền con Ωs mà tại đó có gán u
Biên của miền con Ωs mà tại đó có gán w
Biên của miền con Ωs mà tại đó có gán θ
Biên của của bài toán mà tại đó có gán u
Biên của của bài toán mà tại đó có gán w

Biên của của bài toán mà tại đó có gán θ

ˆ
w
x

x

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só
Ω
Ωs
Ωx
α
αu
αw
αθ
δij
θ

Miền tổng thể của bài toán
Miền con thuộc miền tổng thể của bài toán
Miền con xấp xỉ thuộc miền tổng thể của bài toán
Hằng số phạt
Hằng số phạt cho chuyển vị
Hằng số phạt cho độ võng

Hằng số phạt cho góc xoay
Delta Kronecker
Góc xoay trong bài toán dầm
Trị số góc xoay áp đặt tại biên chính
Góc xoay giả định tại nút j

θ
θˆ j

Các hàm trọng số trong bài toán đầm
Hằng số của độ võng trong bài toán dầm

λj

µ
µ

(w )
i
(θ)
i

Hằng số của góc xoay trong bài toán dầm

φj

χ

,χ

(w )
i
(w )
i

ψ

Ngành: XDDD & CN

8

(θ)
i
(θ)
i

,ψ

Phạm Tiến Cường

Hàm dạng trong phép xấp xỉ MLS
Các hàm kiểm tra cho độ võng và góc xoay trong bài toán dầm
Các hàm dạng của độ võng và góc xoay trong bài toán dầm

CBHD: PGS. Phan Ngọc Chaâu


Luận Văn Thạc Só

9

Ngành: XDDD & CN

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VÀ MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN
Trong chương này, trước tiên trình bày sơ lược về sự phát triển của các phương pháp
không lưới trên thế giới và tại Việt Nam. Phần tiếp theo của chương là phần mục
đích của luận văn.

1.1. Giới thiệu chung về sự phát triển của phương pháp không lưới.
1.1.1. Tình hình nghiên cứu và ứng dụng phương pháp không lưới trên thế giới.
Hơn 5 thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) đã trở thành một công
cụ tính toán đắc lực cho nhiều lónh vực kỹ thuật đặc biệt là cơ học. Tuy nhiên, vẫn
còn một số hạn chế mà PPPTHH chưa thực sự giải quyết được hoặc chưa phù hợp.
Chẳng hạn khi giải bài toán có biến dạng lớn, khi đó phần tử dễ bị suy biến về mặt
hình học dẫn đến kết quả thiếu chính xác (Thường phải chia lại phần tử), hoặc sự
không liên tục của các biến thứ cấp (ứng suất chẳng hạn) trên biên các phần tử tiếp
giáp nhau cũng là một vấn đề hạn chế. Hay công việc phải chia lại lưới (phần tử)
trong nhiều trường hợp cũng làm mất thời gian cho người tính toán (Đặc biệt trong
bài toán 3D).
Trong 2 thập kỷ gần đây, các nhà nghiên cứu đã tìm ra được phương pháp tính gần
đúng (Phương pháp số) mới. Đó là các phương pháp không lưới (Meshless
methods). Đây là công cụ rất tốt để giải các bài toán trị biên mà đặc biệt là các bài
toán có biến dạng lớn. Đặc điểm của phương pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các
điểm nút cùng với các miền ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp
xỉ mà không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút. Tuy nhiên, trong phương
pháp không lưới còn phải chỉnh lý lại các điều kiện biên chính để chúng thoả mãn
(Thường dùng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc biên phạt để chỉnh lý điều kiện
biên chính). Như vậy so với PPPTHH, phương pháp này không cần phải chia lưới
hay chia phần tử cho kết cấu tính toán. Hơn nữa việc thêm hay bớt các nút được thực
hiện dễ dàng hơn. Bởi vậy, phương pháp này ngày càng được chú ý và đã được áp

dụng cho các bài toán cơ học rất hiệu quả.
Phương pháp này được gọi với nhiều tên khác nhau nhưng thường gọi với tên chung
là phương pháp không lưới (Meshless Method).

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

10

Mấy năm gần đây, phương pháp không lưới được rất nhiều tác giả nghiên cứu theo
nhiều hướng khác nhau. Đó là các phương pháp không lưới như SPH (Smooth
Particle Hydrodynamics), DEM (the Diffuse Element Method), EFG (the ElementFree Galerkin, the Hp- clouds, RKPM (the Reproducing Kernel Particle Method),
PUFEM (the Partition of Unity Finite Element Method) và MLPG (Meshless Local
Petrov- Galerkin method). Tất cả các phương pháp này đều mang một đặc điểm
chung là chỉ cần các điểm nút để xác định trường chuyển vị thông qua các hàm nội
suy. Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp là ở chỗ cách nội suy (hay cách xấp
xỉ) của từng phương pháp là khác nhau. Nói chung, các phương pháp không lưới
thường dùng 3 phương pháp nội suy đó là phương pháp nhân chất điểm (Kernel
method), xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving Least Squares approximation)
và phân chia đồng nhất (Partion of Unity).
Mặc dù các phương pháp không lưới chỉ mới phát triển phổ biến trong mấy năm gần
đây, song tư tưởng của nó đã có từ cuối những năm 70 của thế kỷ XX. Lucy (1977)
đã giới thiệu phương pháp SPH khi mô hình hoá các hiện tượng vật lý thiên thể.
Monaghan (1982) đã xây dựng một cơ sở hữu tỷ mới cho SPH bởi việc sử dụng khái

niệm hàm nhân tử (Kernel function). Hàm này cho phép xây dựng hàm thử cho các
miền con địa phương (trial function) của bài toán. Libersky và Petchek (1991) đã
ứng dụng phương pháp này để giải các bài toán cơ học vật rắn.
Nayroles, Touzot và Villon (1992) đã nghiên cứu một hướng khác cho các phương
pháp không lưới. Họ đã đề xuất phương pháp phần tử khuyếch tán

(Diffuse

Element Method- DEM). Phương pháp này dựa trên cách xấp xỉ bình phương tối
thiểu động (Moving least squares approximation) mà cách xấp xỉ này cũng đã được
phát triển bởi Lancaster và Salkauskas từ năm 1981. Tuy nhiên, cách xấp xỉ này
đã không ai sử dụng cho tới khi Nayroles, Touzot và Villon sử dụng vào năm 1992.
Belytschko, Lu và Gu (1994) đã phát triển thêm DEM và gọi phương pháp này là
phương pháp phần tử tự do Galerkin (Element Free Galerkin (EFG) method). EFG
vẫn dựa trên cơ sở xấp xỉ bình phương tối thiểu động. Và kết quả của EFG tin cậy,
chính xác và hội tụ hơn so với SPH và DEM. Đặc biệt, phương pháp EFG thật hiệu
quả khi xử lý các bài toán cơ học vật rắn nứt (Bài toán biến dạng lớn).

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

11

Ngành: XDDD & CN

Liu và một số tác giả khác (1995) đã đưa vào hàm điểu chỉnh trong nhân tử của

phép biến đổi tích phân trong SPH để chỉnh lý các điều kiện tái sinh. Điều này làm
tăng độ chính xác của kết quả tính toán so với SPH. Phương pháp sử dụng hàm nhân
tử điều chỉnh trong việc biến đổi tích phân này được gọi là phương pháp tái sinh
nhân chất điểm và viết tắt là RKPM (Reproducing Kernel Particle Method).
Duarte vaø Oden (1996), Melenk vaø Babuska (1996) lần lượt đề xuất phương pháp
Hp-Clouds và phương pháp PUFEM (Partition of Unity Finite Element Method).
Cả hai phương pháp đều sử dụng một sự phân chia đồng nhất (partition of unity) để
xây dựng xấp xỉ không lưới. Họ đã chỉ ra rằng phương pháp mà dựa trên cơ sở xấp
xỉ bình phương tối thiểu động là một trường hợp riêng của phân chia đồng nhất.
Sự giống nhau của các phương pháp không lưới trên đây đã được Belytschko cùng
một số tác giả khác (1996) và Duarte (1995) tóm tắt và tổng hợp lại. Tuy nhiên,
các phương pháp này đã sử dụng các lưới nền (background cells) hoặc các phần tử
mờ (shadow elements) để tích phân dạng yếu tổng thể Galerkin. Điều đó nói nên
rằng, đó không phải là phương pháp không lưới thực sự (truly meshless).
Atluri và Zhu (1998) đã giới thiệu một phương pháp không lưới thực (“true
meshless” method) mà nó không cần sử dụng lưới (hoặc chia phần tử) để nội suy
các biến của bài toán hay để tích phân dạng yếu. Phương pháp này dựa trên dạng
yếu đối xứng địa phương cùng với phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động. Bởi vậy,
nó được gọi là phương pháp không lưới Petrov- Galerkin (Meshless Local PetrovGalerkin method) và được viết tắt là MLPG. Trong phương pháp MLPG dạng yếu
được xây dựng trên một miền con (sub-domain). Thông thường, miềm con này lấy
dạng hình tròn trong bài toán 2D và hình cầu trong bài toán 3D. Tất cả các tích phân
trong công thức này đều được xác định bởi miền dạng thông thường bằng việc sử
dụng phép tính tích phân số Gauss, do vậy không cần đến lưới nền.
Atluri và một số tác giả khác (1999a) đã tìm ra được việc dùng các hàm kiểm tra
(test function) như các hàm cơ sở để xây dựng hàm thử (trial function). Như vậy
phương pháp MLPG giống như phương pháp Galerkin và dẫn tới một ma trận độ
cứng có tính đối xứng. Atluri và một số tác giả khác (1999b) đã phát triển phép
xấp xỉ bình phương tối thiểu bằng cách kết hợp đạo hàm của các biến vào phép nội
suy để có thể đạt được kết quả phép xấp xỉ từ phương trình vi phân cấp bốn.
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

12

Ngành: XDDD & CN

Các bài toán vật thể đàn hồi đã được Atluri và Zhu (2000) giải bằng phương pháp
MLPG; họ đã kiểm tra độ chính xác và mức độ hội tụ bởi những thí nghiệm số và
các ví dụ cụ thể. Trong phương pháp MLPG, ứng suất và biến dạng được tính toán
biến thiên phù hợp trong vật thể. Những kết quả bằng số cho biết phương pháp này
cho nhứng kết quả tốt gần như đối với vật liệu đàn hồi tuyệt đối. Kim và Atluri
(2000) đã giới thiệu cách dùng những nút phụ (thứ cấp) với phương pháp MLPG.
Với cách dùng các nút phụ này cho phép sự tính toán sẽ linh hoạt hơn bởi việc thêm
nút ở bất kỳ chỗ nào trên kết cấu và đã đạt được độ chính xác cao.
Lin và Atluri (2000a) đã phân tích bài toán khuyếch tán- đối lưu bằng phương pháp
MLPG và đã cho những kết quả rất tốt. Lin và Atluri (2000a) cũng giải phương
trình Navier- Stokes cho chất lỏng không nén được bằng cách thêm các số hạng
“ngược” vào dạng yếu để thoả mãn điều kiện Babuska- Brezzi. Do vậy mà khử
được trường áp lực và vận tốc giả của bài toán.
Liu và Gu (2000) đã kết hợp phương pháp MLPG với FEM và với phương pháp
phần tử biên (BEM) để làm tăng hiệu quả của phương pháp MLPG.
Ching và Batra (2001) đã gia tăng thêm những hàm đa thức cơ sở trong phương
pháp MLPG. Họ sử dụng tiêu chuẩn “quan sát được” hay tiêu chuẩn nhiễu xạ để
giải thích cho các trường chuyển vị bất liên tục tại một vết nứt và đã phân tích dao
động phức tạp cho bài toán 2D. Những kết quả cho vài ví dụ cụ thể cũng đã được
thểû hiện bằng phương pháp này và việc dự đoán các trường ứng suất cạnh vết nứt là

rất hiệu quả. Các hệ số cường độ ứng suất tính toán cũng phù hợp với các kết quả
tham khảo. Gu và Liu (2001a,b) đã áp dụng phương pháp MLPG để giải bài toán
dao động tự do và cưỡng bức cho dầm và tấm mỏng. Vì điều kiện yếu của ma trận
độ cứng sinh ra bởi phương pháp phạt khi dùng nó để chỉnh lý các điều kiện biên
chính, nên phương pháp biến đổi trực giao đã được sử dụng để chỉnh lý các điều
kiện biên chính và kết quả của bài toán dao động (tần số, các modes…) có thể đạt
được là khá chính xác. Trong bài toán giao động cưỡng bức, cả phương pháp
Newmark và phương pháp sai phân trung tâm được áp dụng cho tính toán các tích
phân thời gian.
Warlock và một số tác giả khác (2002) đã dùng phép biến đổi Laplace theo giải
tích và số bằng phương pháp MLPG cho bài toán biến dạng phẳng với trường hợp
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

13

Ngành: XDDD & CN

bài toán có lỗ hình chữ nhật chịu áp lực. Một số ràng buộc được áp đặt cho điều kiện
biên cũng được thoả mãn khi dùng phương pháp phạt (“penalty”).
Long và Atluri (2002) đã giới thiệu lời giải cho bài toán tấm mỏng chịu uốn bằng
phương pháp MLPG. Đáp số từ các ví dụ chỉ ra rằng các lời giải khá chính xác có
thể đạt được cho bài toán tấm tựa đơn hay tấm có liên kết ngàm.
Atluri và Shen (2002) đã tổng kết và đánh giá sự phát triển của phương pháp
MLPG, và đã so sánh mức độ hiệu quả và chính xác trong việc sử dụng các dạng
hàm thử và hàm kiểm tra khác nhau. Các ví dụ cụ thể cho thấy rằng một vài trong

những cách sử dụng trên của phương pháp MLPG cho kết quả hội tụ nhanh hơn và
mức độ chính xác còn cao hơn hai phương pháp quen thuộc FEM và BEM.
Như vậy, phương pháp MLPG nói riêng và các phương pháp không lưới (meshless
methods) nói chung mới chỉ phát triển trong khoảng hơn 10 năm trở lại đây, nhưng
nó đã bộc lộ khá nhiều những ưu điểm so với các phương pháp số khác. Tác giả tin
và mong rằng trong tương lai gần phương pháp MLPG sẽ trở nên phổ biến và quan
trọng như FEM.
1.1.2. Tình hình nghiên cứu và ứng dụng phương pháp không lưới ở Việt Nam.
Qua tìm hiểu tại Việt Nam, được biết phương pháp không lưới vẫn chưa được
nghiên cứu và ứng dụng tại Việt Nam. Hiện tại (2005), chỉ có một tác giả Nguyễn
Hoài Sơn1 đang là NCS tại trường Đại học Liège (Vương quốc Bỉ) có nghiên cứu về
phương pháp không lưới. Năm 2000, Nguyễn Hoài Sơn đã bày về phương pháp
RKPM tại hội nghị khoa học quốc tế Nha Trang. Và năm 1999 cũng tác giả Nguyễn
Hoài Sơn đã giới thiệu về phương pháp EFG (Element Free Galerkin method) trên
tạp chí cơ học (số 4, tập 21).
Như vậy các phương pháp không lưới vẫn còn rất mới ở Việt Nam. Qua luận văn
này tác giả mong muốn sẽ có nhiều người quan tâm hơn đến phương pháp MLPG
nói riêng và các phương pháp không lưới nói chung.

1

Nguyễn Hoài Sơn là GVC, Th.S khoa Kỹ thuật cơ sở-Trường ĐH Sư Phạm kỹ thuật TP. HCM. Anh
đang là NCS tại trường ĐH Liège của Bỉ.

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

14

Ngành: XDDD & CN

1.2. Mục đích của luận văn.
Bài toán dầm chịu uốn (Dầm Euler- Bernoulli và dầm Timoshenko) là bài toán khá
quen thuộc trong cơ học. Các bài toán này đã được rất nhiều tác giả phân tích với
nhiều phương pháp khác nhau và đã có kết quả khá rõ ràng về nó. Tuy nhiên, áp
dụng phương pháp MLPG cho bài toán dầm thì hiện tại vẫn còn mới mẻ. Bởi vậy,
luận văn này sẽ nghiên cứu về bài toán dầm chịu uốn bằng phương pháp MLPG với
ví dụ cụ thể. Qua đó đánh giá mức độ chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp
này so với phương pháp chính xác (Lời giải theo giải tích) để từ đó thấy được những
ưu điểm của phương pháp MLPG.

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

15

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PETROV-GALERKIN
Trong chương này, phương pháp không lưới Petrov- Galerkin được giới thiệu một
cách khái quát nhất. Trong đó, phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving
least squares approximation) sẽ được giới thiệu khá kỹ cũng như việc lựa chọn hàm

kiểm tra (test function) hay hàm trọng số (weight function) cũng được nghiên cứu
trong chương này. Trong chương này, dạng yếu địa phương của bài toán cũng được
đề cập dưới dạng tổng quát.

2.1. Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving least squares
approximation) (MLS).
Như đã trình bày trong chương 1, phép xấp xỉ MLS đã được Lancaster và
Salkauskas sử dụng từ năm 1981. Tuy nhiên, cách xấp xỉ trên đã không ai sử dụng
cho tới khi Nayroles, Touzot và Villon sử dụng vào năm 1992 để xây dựng các
hàm xấp xỉ. Các tác giả Belytschko, Lu và Gu (1994) đã trình bày khá chi tiết về
MLS. Năm 1998 hai tác giả Atluri và Zhu đã dùng phép xấp xỉ MLS để xây dựng
phương pháp MLPG khá thành công. Đặc biệt hai ông còn xây dựng phép xấp xỉ
MLS mở rộng. Năm 2001 Raju và Chen cũng đã dùng MLS trong các nghiên cứu
của mình. Phép xấp xỉ MLS đã được dùng nhiều trong các phương pháp không lưới
như

phương pháp DEM (Diffuse Element Method) hoặc phương pháp EFG

(Element Free Galerkin) và đặc biệt là trong phương pháp không lưới PetrovGalerkin đang được nghiên cứu trong luận văn này.
Nhìn chung phép xấp xỉ MLS được xem như là một trong những phép nội suy tốt
nhất cho bài toán cơ học theo phương pháp không lưới mà kết quả của nó cho độ
chính xác cao và dễ dàng áp dụng cho các bài toán nhiều chiều.
Nội dung tổng quát của phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) như sau:
Trong phương pháp không lưới Petrov- Galerkin (MLPG), trường chuyển vị (hàm)
u(x) được xấp xỉ bằng MLS. Phép xấp xỉ này dựa trên 3 thông số:
- Một hàm trọng số (weight function) của miền ảnh hưởng liên quan đến mỗi nút;
- Một cơ sở đơn thức hoàn chỉnh;
- Một tập các hệ số phụ thuộc vào vị trí x của điểm cần xấp xỉ.
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

16

Xét một miền con Ωx chứa điểm x và gọi là miền xác định của phép xấp xỉ MLS
cho hàm thử (trial function) tại điểm x. Miền con Ωx này nằm trong miền tổng thể Ω
của bài toán (Xem hình 2.1).
Ω x = Miền con xấp xỉ
(miề n hàm thử u(x))

x

Miền ảnh hưởng
nút j

j

Ω

rj
xB

Ω xB

Γ

Hình 2.1: Phép xấp xỉ MLS trên miền con
Để xấp xỉ hàm u(x) trong miền Ωx trên các nút xj, (j=1,2,…,N), N= số nút trong miền
Ωx, giá trị xấp xỉ bình phương tối thiểu động uh(x) của u(x) có thể được viết như sau:
u(x) ≅ u h (x) = p T (x)a(x)

∀x ∈ Ω x

(2.1)

Trong đó:
pT(x)= [p1(x), p2(x),… , pm(x)] là một cơ sở đơn thức hoàn chỉnh, với m= số phần tử
trong cơ sở.
Nếu gọi t= bậc cao nhất của đa thức của phần tử trong cơ sở, thì quan hệ giữa t và m
được thể hiện như sau:
m=

(t + 1)(t + 2)
trong bài toán 2-D
1.2

m=

(t + 1)(t + 2)(t + 3)
trong bài toán 3-D
1.2.3

m=

(t + 1)(t + 2)...(t + k)

trong bài toán k chiều
1.2...k

Trong bài toán 1-D, ta có thể chọn:
pT(x)= [1, x1] -cho cơ sở tuyến tính, m=2
Phạm Tiến Cường

(2.2a)
CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

17

pT(x)= [1, x1, x12] -cho cơ sở bậc hai, m=3

(2.2b)

Trong bài toán 2-D, ta có thể chọn:
pT(x)= [1, x1, x2] -cho cơ sở tuyến tính, m=3

(2.3a)

Ở đây, p1(x)= 1; p2(x)= x1; p3(x)= x2;
pT(x)= [1, x1, x2, x12, x1x2, x22] -cho cơ sở bậc hai, m=6

(2.3b)

Trong bài toán 3-D, ta có thể chọn:
pT(x)= [1, x1, x2, x3] -cho cơ sở tuyến tính, m=4

(2.4a)

pT(x)= [1, x1, x2, x3, x12, x22, x32, x1x2, x2x3, x3x1] -cho cô sở bậc hai, (2.4b)
m=10
Ta cũng có thể xác định cơ sở pT(x) từ tam giác Pascal (Cook-2002, Zienkiewicz và
Taylor-1989) cho bài toán 2-D hoặc tháp Pascal cho bài toán 3-D (Tương tự như
trong FEM).
a(x)=[a1(x), a2(x),…, am(x)]T là véctơ gồm các thành phần chưa biết aj(x), j= 1,2,…,m.
Nói chung, a(x) là hàm của các thông số toạ độ không gian x=[x1, x2, x3]T hoặc kí
hiệu x=[x, y, z]T
Véc tơ a(x) được xác định bằng việc cực tiểu hoá chuẩn sai số rời rạc có trọng L2
(Nayroles-1992) được định nghóa như sau:
N

J(a(x)) = ∑ w j (x)[p T (x j )a(x) − uˆ j ]2

(2.5)

j=1

Trong đó:
xj = Véc tơ vị trí của nút j;
wj(x)= Hàm trọng số của nút j mà wj(x)>0 với mọi x nằm trong miền ảnh hưởng của
wj(x).
N= số nút trong miền Ωx mà hàm trọng số wj(x) >0 trên đó.
Các ma trận P và W được định nghóa như sau:

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

18

 p T (x1 ) 
 T

p (x2 ) 

= (N x m) - Ma traän
P=
 ... 
 T

p (x N ) 

(2.6)

0 
 w1 ( x) "

W= #

%
#  = (N x N) - Ma trận
 0
" w N (x) 

(2.7)

Và véctơ:
uˆ T = [uˆ 1 , uˆ 2 ,..., uˆ N ] = (1 x N) - Vectơ

(2.8)

Trong công thức (2.5) và (2.8) các giá trị uˆ j là các trị số giả định của nút j. Nói
chung nó không phải là các trị số thực của hàm uh(x). Tức là chúng không bằng các
trị số của uh(x). Trên hình 2.2 giải thích sự khác nhau giữa uˆ j và uj trong bài toán
một chiều (1-D).
Cá c trị số giả định

uh(x)

uj

uj

Sai số

x

u

x1

x2

xj

Nút biên

Hình 2.2: Sự khác nhau giữa uˆ j và uj trong bài toán một chiều (1-D).
Công thức (2.5) có thể được viết như sau:
J(a(x)) = [P.a(x) − uˆ ]T .W.[P.a(x) − uˆ ] = aT p T wpa − 2aT p T wuˆ + uˆ T wuˆ

(2.9)

Để xác định a(x) ta cực tiểu hoá J(a(x)) như sau:
∂J(x)
= 0, j=1,2,...,N
∂a j

(2.10)

Hoặc có thể viết:
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

19

∂J(x)
=0
∂a T

Ngành: XDDD & CN

(2.11a)

Hay:
∂J(x)
= 2p T wpa − 2p T wuˆ = 0
T
∂a

(2.11b)

Từ phương trình (2.11b) dẫn đến:
[ A] {a} = [B] {uˆ }
(m,m) (m,1)

(2.12)

(m,N) ( N,1)

Trong đó:
[A]= ma trận vuông m hàng m cột;
[B]=ma trận m hàng N cột được xác định như sau:
N

[ A] = p T wp = [B]p = ∑ w j (x)p(x j )p T (x j )

(2.13)

[B] = p T w = [w1 (x)p(x1 ), w 2 (x)p(x 2 ),..., w N ( x)p( x N )]

(2.14)

j=1

Từ (2.12) ta suy ra được {a} như sau:
{a} = [A]-1 [B] {uˆ }
(m,1)

(2.15)

(m,m) (m,N) (N,1)

Theo biểu thức (2.15) ta thấy {a} được xác định khi [A]-1 tồn tại. Nghóa là ma trận
[A] không được suy biến. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hạng của ma trận [P]Nxm
phải bằng m. Bởi vậy điều kiện cần cho phép xấp xỉ MLS là phải có ít nhất m hàm
trọng số w(x) khác không (N≥ m) cho mỗi điểm x ∈ Ωx
Thế biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.1) cho ta một mối liên hệ được viết dưới dạng
hàm nội suy tương tự như trong FEM nhö sau:
N

u(x) ≅ u h (x) = p T (x)[ A]−1 [B] {uˆ } = Φ T (x)uˆ = ∑ φ j (x)uˆ j
(1,m)

(m,m) (m,N) ( N,1)

j=1

(2.16)

u (x j ) ≡ u j ≠ uˆ j ; ∀x ∈ Ω x
h

Trong đó:
Φ T (x) = p T (x)[ A]−1 [B]
(1,m)

(m,m) (m,N)

Phạm Tiến Cường

(2.17)
CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

20

Hay:
m

(

φ j (x) = ∑ pg (x) [ A]−1 [B]
g =1

)

(2.18)

gj

Trong biểu thước (2.16) và (2.18) hàm φj(x) thường được gọi là hàm dạng (shape
function) của phép xấp xỉ MLS đối với nút j (Xem hình 2.1).
Từ hai biểu thức (2.14) và (2.18), φj(x)=0 chỉ khi wj(x)=0. Thông thường ta chọn
wj(x)≠0 trên miền ảnh hưởng của nút j. Miền ảnh hưởng của điểm nút j thường được
chọn là hình tròn có bán kính rj và tâm là j đối với bài toán 2-D và được chọn là hình
cầu đối với bài toán 3-D. (Hàm trọng số sẽ được trình bày chi tiết trong phần 2.3).
Rõ ràng hàm dạng φj(x) không thoả mãn điều kiện Kronecker Delta δjk. Tức là
φj(xjk) ≠ δjk mà ta luôn có:
N

∑ φ ( x) = 1
j=1

(2.19)

j

Đặc điểm này làm cho điều kiện biên chính khó thoả mãn hơn FEM. Chính vì vậy
trong phương pháp MLPG, việc chỉnh lý điều kiện biên chính là cần thiết. Có nhiều
phương pháp chỉnh lý điều kiện biên khác nhau như phương pháp nhân tử Lagrange

(Belytschko-1994), phương pháp biên phạt (Atluri và Zhu- 1998)… Trong luận văn
này tác giả sử dụng phương pháp biên phạt (Penalty) để chỉnh lý điều kiện biên
chính (Sẽ được trình bày kỹ trong phần sau).
Đạo hàm của φj(x) theo xk được tính như sau (Belytschko-1994):
m

φ j,k (x) = ∑  pg,k ( A −1B)gj + pg ( A −1B,k + A,k−1B)gj 
g =1

(2.20a)

Trong đó:
Kí hiệu ( ),k là viết tắt của đạo hàm thay cho kí hiệu quen thuộc ∂ ( ) / ∂x k .
Trong bài toán một chiều, xk=x, nên ta có thể viết (2.20) dưới dạng đạo hàm toàn
phần như sau:
m

φ j,x (x) = ∑  pg,x ( A −1B)gj + pg ( A −1B,x + A ,x−1B)gj 
g =1

Phạm Tiến Cường

(2.20b)

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

21

A-1,k = [A-1],k là đạo hàm của ma trận nghịch đảo của ma trận [A], được tính như
sau:
Từ biểu thức AA-1= I (với I là ma trận đơn vị), lấy đạo hàm 2 vế cho ta:
A,k−1 = − A −1 A,k A −1

(2.21)

Đạo hàm cấp 2 của φj(x) được tính như sau:
m

φ j,kl (x) = ∑  p g,kl ( A −1B)gj + p g,k ( A −1B ,l + A ,l−1B)gj + p g,l ( A −1B,k + A ,k−1B)gj +
g =1

(2.22)

+ pg ( A B,kl + A B + A B,k + A B,l )gj 
−1

−1
,kl

−1
,l

−1
,k

Trong đó:
−1
A,kl
= A −1 A,l A −1 A,k A −1 − A −1 A ,kl A −1 + A −1 A ,k A −1 A ,l A −1

(2.23)

Trong phép xấp xỉ MLS cần phân biệt giữa Ωx và miền ảnh hưởng (support) của
một nút. Ωx là miền xác định (miền con) của MLS mà trên đó xây dựng hàm thử
u(x) tại một điểm x. Miền con xác định tại x này là miền mà hàm trọng số wj(x)≠ 0,
với j= 1, 2,…, N. Còn miền ảnh hưởng của nút j nào đó thường được chọn là hình tròn
(hoặc hình cầu) có bán kính rj và tâm tại j mà trên miền ảnh hưởng này hàm trọng
số wj(x)≠ 0. Trên hình 2.1 thể hiện sự khác nhau giữa 2 miền này.

2.2. Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động suy rộng (Generalized Moving
Least Squares approximation- GMLS) [1]
Phép xấp xỉ MLS trình bày trong phần 2.1 của chương này được xem như là trường
hợp đặc biệt của phép xấp xỉ GMLS. Phép xấp xỉ GMLS được dùng trong trường
hợp tổng quát khi mà yêu cầu của bài toán có liên quan đến xấp xỉ đạo hàm của các
biến. Các tác giả Atluri, Cho và Kim- (1999) đã dùng rất thành công phép xấp xỉ
này khi phân tích bài toán dầm mỏng (thin beam). Và cũng tác giả trên cũng dùng
GMLS để giải bài toán dầm chịu cắt…
Trong GMLS, véctơ các hệ số chưa biết a( x ) trong biểu thức 2.1 có kích thước (m x
1) được xác định bằng cách cực tiểu hoá chuẩn sai số rời rạc bình phương tối thiểu
có trọng Hh thay vì chuẩn sai số L2 như đã dùng trong MLS:

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu

Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

22

N 

)
(α )
2
α T
α
J (h
b
=
(
)
 ∑ w j ( x )[D p (x j )b − D uˆ j )]  , ∀x ∈ Ω x
∑
x
j=1  α ≤ h


(2.24)

Trong đó:
w αj (x) = Hàm trọng số của xi và là hàm trọng số với đạo hàm riêng cấp α, w αj (x) >0

với mọi x nằm trong miền ảnh hưởng. Trong bài toán 1 chiều (1-D) thì x = x.
Dα= Đạo hàm riêng thứ α
N= Số nút trong miền con Ωx.
Trị số h trong biểu thức (2.24), được chọn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức trong
cơ sở p và (m-1). Tức là h≤ min(r, m-1). Trong đó, r là bậc của đa thức trong cơ sở
và m là số lượng các thành phần trong cơ sở.
Véc tơ các hệ số a( x ) tại mỗi vị trí x = x được chọn khi cực tiểu chuẩn sai số rời rạc
có trọng Hh:
)
(h )
m
H h (a( x )) ≡ J (h
x (a ( x )) ≤ J x (b ), ∀b ∈ R

(2.25)

Ví dụ, GMLS trong H1 thì chuẩn sai số rời rạc có trọng trong bài toán một chiều sẽ
là:
N 

α T
α
)
(α )
2
ˆ
(
)
w
(x)[D

(x
)
D
u
)]
J (h
b
=
p
b
−

 ≡
∑
∑
x
j
j
j

j=1  α ≤1

N 

dp(x j )T
T
2
(1)
ˆ
p

b
b − θˆ j ]2 
≡ ∑  w (0)
(x)[
(x
)
−
u
)]
+
w
(x)[
j
j
j
j


dx
j=1 


(2.26)

Trong đó:
uˆ j , θˆ j là các trị số giả định tương ứng với u(xi) và ∂u(x j ) / ∂x

∑

Chỉ sự lấy tổng của các đạo hàm cho tới cấp h.

α ≤h

Dùng kí hiệu ma trận ta viết được như sau:

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

23

)
(h )
ˆ T (0) (x) + [Px a − tˆ]T w (1) (x)[Px a − tˆ] =
J (h
x (b ) ≡ J x (a) = [ Pa − u ] w
T

0    P 
uˆ   w (0) (x)
uˆ  
  P 
=    a −   
a −   =





(1)
w (x)    Px 
  Px 
 tˆ   0
 tˆ  
= [Qa − dˆ ]T W (x)[Qa − dˆ ] = a T Q T WQa − 2aT Q T Wdˆ + dˆ T Wdˆ ,
(1,2N)

(2N,2N)

(2.27)

(2 N,1)

a≡b

Trong đó:
P = [p(x1 ), p(x 2 ),..., p(x N )]T =Ma traän (N x m)

(2.28a)

T

∂p(x N ) 
 ∂p(x1 ) ∂p(x 2 )
Px = 
,

,...,
=Ma traän (N x m)
∂x
∂x 
 ∂x

(2.28b)

P
Q =   =Ma traän (2N x m)
 Px 

(2.28c)

uˆ = [u(x1 ), u(x 2 ),..., u(x N )]T = [uˆ 1 , uˆ 2 ,..., uˆ N ]T = Véctơ (N x 1)

(2.28d)

T

∂u(x N ) 
 ∂u(x1 ) ∂u(x 2 )
,
,...,
= [θˆ 1 , θˆ 2 ,..., θˆ N ]T = Véctơ (N x 1)
tˆ = 

∂x
∂x 
 ∂x

(2.28e)

uˆ 
dˆ =   =Ma traän (2N x m)
 tˆ 

(2.28f)

 w1( α ) (x)

0
(α )
w (x) = 
#

 0

0
w (2α ) (x)
"
"

"
#
%
0


0


#
 =Ma trận (N x N) và α=0,1

0

w (Nα ) (x) 

(2.28g)

Thực hiện cực tiểu hoá chuẩn sai số Hh(a) của (2.27) tương tự như đố với MLS
(

∂H1 ∂H1
≡
= 0, j= 1, 2,...,N ), ta được phương trình quan hệ giữa các ma trận sau:
∂b j
∂a j

A(x) a(x) = B(x) dˆ
(m,m) (m,1)

(m,2 N) (2 N,1)

(2.29)

Trong đó:
A(x) = Q T W(x) Q = P T w (0) P + PxT w (1) Px
(m,m)

(m,2 N) (2N,2 N) (2N,m)

Phạm Tiến Cường

(2.30a)

CBHD: PGS. Phan Ngọc Chaâu


Luận Văn Thạc Só

Ngành: XDDD & CN

24

B(x) = Q T W (x) =  P T w (0) , PxT w (1) 
(m,2 N)

(2.30b)

(m,2 N) (2 N,2 N)

Từ (2.29), ta tìm được a(x) như sau:
a(x) = A −1 (x) B(x) dˆ
(m,1)

(m,m)

(2.31)

(m,2 N) (2 N,1)

Thay (2.31) vào (2.1) ta biểu diễn thông qua hàm dạng như sau (Tương tự như trong
FEM):
N

(

u h (x) = Ψ Tu (x)uˆ +Ψ θT (x)tˆ = ∑ uˆ j ψ (uj ) (x) + θˆ j ψ (jθ) (x)
j=1

)

(2.32)

Trong đó:
Ψ Tu (x)=p T (x) A −1 (x)P T w (0) (x)
Ψ Tθ (x)=p T (x) A −1 (x)PxT w (1) (x)

(2.33)

Hoaëc:
m

ψ (uj ) (x) = ∑ pg (x j )[ A −1 P T w (0) ]gj
g =1
m

ψ (x) = ∑ pg (x j )[ A P w ]gj
( θ)

j

g =1

−1

T
x

(2.34)

(1)

Trong biểu thức xấp xỉ (2.32), uˆ , tˆ lần lượt là 2 tập các trị số giả định tại các nút của
hàm và của đạo hàm tương ứng. Ví dụ, trong bài toán dầm chịu uốn thì chính là độ
võng và góc xoay. Còn ψ (uj ) (x) và ψ (jθ) (x) là các hàm dạng của phép xẫp xỉ GMLS
trong bài toán 1-D.
Tương tự như trong MLS, phép xấp xỉ GMLS chỉ xác định khi ma trận A được tính
trong (2.30) là không suy biến. Để đảm bảo điều kiện này thì hạng của ma trận Q
không được nhỏ hơn m và phải có ít nhất m hàm trọng số trên đường chéo của ma
trận w phải khác không.
Phép xấp xỉ GMLS được áp dụng cho bài toán dầm chịu uốn sẽ được trình bày trong
các chương tiếp theo của luận văn này.

Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu


Luận Văn Thạc Só

25

Ngành: XDDD & CN

2.3. Hàm trọng số (Weight function)
Hàm trọng số là một thành phần quan trọng trong các phương pháp không lưới nói
chung và trong MLPG nói riêng. Việc lựa chọn hàm trọng số có hợp lý hay không,
nó sẽ ảnh hưởng trực tiếp tới kết quả của bài toán như sự hội tụ hay tính chính xác
của lời giải…
Để xây dựng phép xấp xỉ MLS cho phương pháp MLPG, công việc đầu tiên thương
phải làm là chọn cơ sở hàm P(x) và chọn hàm trọng số wi(x) sao phù hợp với từng
bài toán cụ thể. Việc chọn cơ sở hàm P(x) thì dễ dàng hơn khi chọn hàm trọng số
wi(x) (P(x) đã được trình bày trong phần 2.1).
Khi thiết lập phép xấp xỉ MLS, thông thường ta chọn các dạng hàm trọng số sau:
- Hàm trọng số power [6] được chọn có dạng:
 1 − (d 2 / r 2 )  α
j
j 
w j ( x) =  
0

Khi 0 ≤ d j ≤ rj

(2.35)

Khi d j > rj

Trong đó:
rj= Bánh kính của miền ảnh hưởng;

dj= Khoảng cách giữa điểm x và nút xj, được tính như sau: d j = x - x j ;
α= 2, 3, hoặc 4.
- Hàm trọng số Gauss [1] có dạng:
 exp[−(d j / c j ) 2k ] − exp[−(rj / c j ) 2k ]
Khi 0 ≤ d j ≤ rj

1 − exp[−(rj / c j )2k ]
w j (x) = 
0
Khi d j > rj


(2.36)

Trong đó:
rj và dj như trong biểu thức (2.35);
cj= Hàng số (thông số) quy định dạng của hàm trọng số wj và còn gọi là trọng số
quan hệ. Việc lựa chọn cj là tuỳ theo kinh nghiệm và chưa có một lý thuyết nào xác
được giá trị tối ưu của cj. Belytschko, Lu và Gu (1994) đã giới thiệu một phương
pháp chọn cj. Các tác giả này đã gợi ý, cj được xem như là khoảng cách từ nút xj tới
nút thứ ba gần nhất và bán kính miềm ảnh hưởng rj chọn sao cho thoả mãn rj/cj ≥ 3.5
Phạm Tiến Cường

CBHD: PGS. Phan Ngọc Châu