Ứng dụng phương pháp element free galerkin giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi

Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
-------------------------

DƯƠNG QUỐC HÙNG

Đề Tài

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN
GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Chuyên Ngành: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp
Mã Số Ngành: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1 :………………………………………………………………………………………

Cán bộ chấm nhận xét 2 :………………………………………………………………………………………

Luận văn thạc só được bảo vệ tại :
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …………...tháng ……...năm 200…

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

________________________

__________________________________

Tp. HCM, ngày............tháng……….năm 200…

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên : DƯƠNG QUỐC HÙNG

Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 24 - 01 - 1975

Nơi sinh : Hà Nội

Chuyên ngành : Xây dựng dân dụng & công nghiệp

MSHV

Khóa : 14 ( Năm học 2003 – 2005)

Mã Ngành : 23.04.10

: 02103526

I. TÊN ĐỀ TÀI :
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN GIẢI BÀI
TOÁN PHẲNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
II. NHIỆM VỤ :
Giới thiệu lý thuyết phương pháp Element Free Galerkin. Áp dụng lý thuyết của
phương pháp Element Free Galerkin cho bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi qua các ví dụ

cụ thể, giải bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, so sánh kết quả với lời giải chính xác,
phần mềm Sap2000, Prokon. Từ đó rút ra kết luận về phương pháp Element Free

Galerkin.

III . NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 03 - 07 - 2006
IV . NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 03 -12 -2006
V . HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TSõ CHU QUỐC THẮNG
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Ngày………..tháng……năm 200…
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn tất cả thầy cô giáo đã truyền đạt cho chúng em
nhiều kiến thức quý giá trong thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Phó giáo sư Tiến sỹ Chu Quốc Thắng, người
đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Chính những
kiến thức mà em có được từ sự truyền đạt hướng dẫn tận tụy của Thầy đã giúp em
hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Hoài Sơn Trưởng khoa Kỹ thuật cơ
sở Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM, người đã hướng dẫn em rất nhiều
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin trân thành cảm ơn những người bạn đã chân tình động viên giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học và giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, xin được cảm ơn ba mẹ, anh chị em và những người thân, trong gia
đình đã luôn luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn thực hiện với nội dung trình bày trong 5 chương như sau

Chương 1 : Trình bày tổng quan về phương pháp Element free Galerkin
, tình hình phát triển phương pháp Element free Galerkin thế giới và ở Việt
Nam, phạm vi nghiên cứu và mục tiêu của luận văn .

Chương 2 : Chương này thể hiện nội dung chính của phương pháp
Element free Galerkin, trình bày về lý thuyết của phương pháp Element free
Galerkin, phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động, hàm trọng số, các dạng hàm

trọng số .

Chương 3 : Trình bày tổng quan về toán phẳng lý thuyết đàn hồi, phép
tính tích phân Gauss, trình tự phân tích và trình tự tính toán bài toán theo
phương pháp Element free Galerkin, xây dựng sơ đồ so sánh với phương pháp
phần tử hữu hạn, thiết lập sơ đồ khối cho bài toán .

Chương 4 : Trình bày các ví dụ tính toán và kết quả tính toán, được áp
dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán, với các số liệu tính toán, hình học
cụ thể cho từng bài toán, sau đó so sánh kết quả với lời giải chính xác, với kết
quả của chương trình Sap 2000 và kết quả của chương trình Prokon.
Chương 5 : Nhận xét, kết luận, kiến nghị hướng phát triển tiếp theo cho
phương pháp Element free Galerkin .

Phần tài liệu tham khảo.
Giới thiệu các tài liệu về phương pháp không lưới, phương pháp Element
free Galerkin, và một số tài liệu khác hỗ trợ cho luận văn.

Phụ lục tính toán cho các ví dụ
Trình bày chi tiết chương trình chính cho các ví dụ cụ thể, được sử dụng
bằng ngôn ngữ Matlab.

1


MỤC LỤC
TÓM TẮT LUẬN VĂN .............................................................................................. 1
MỤC LỤC ..................................................................................................................... 2
CÁC KÝ HIỆU ............................................................................................................. 5

Chương 1 : Tổng quan phương pháp Element free Galerkin (EFG)– mục
tiêu của luận văn .............................................................................................. 7
1.1.Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới ....................... 7
1.2. Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại việt Nam ....................... 10
1.3. Mục tiêu của luận văn ............................................................................ 10
1.4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 10

Chương 2 : Lý thuyết phương pháp Element free Galerkin .................... 11
2.1. Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động .................................................. 11
2.2. Hàm trọng số ........................................................................................... 17
2.3. EFG với hàm nhân tử Lagrange.............................................................. 20
2.3.1 Phương pháp Lagrange Multipliers ................................................ 20
2.3.2 Dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange. ..................................... 20
2.3.3 Xây dựng EFG với nhân tử Lagrange............................................. 22

Chương 3 : Các bước phân tích và trình tự tính toán................................ 32
3.1. Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi ............................................................ 32
3.1.1. Bài toán ứng suất phẳng................................................................ 32
2


3.1.2. Bài toán biến dạng phẳng ............................................................. 34
3.2. Tích phân Gauss....................................................................................... 35
3.2.1. Tích phân Gauss một chiều. .......................................................... 35
3.2.2. Tích phân Gauss hai chiều............................................................. 36
3.3. Lưới nền trong phương pháp EFG............................................................ 37
3.4.Trình tự phân tích bài toán ........................................................................ 39
3.5.Trình tự tính toán bài toán ........................................................................ 40
3.6. Thiết lập sơ đồ khối ................................................................................. 53

Chương 4 : Ví dụï tính toán ............................................................................. 54
4.1.Ví dụ 1 ...................................................................................................... 54
4.1.1. Trường hợp bài toán chia 4x11 = 44 nút ........................................ 55
4.1.2. Kết quả bài toán tại 1 điểm theo số nút ........................................ 57
4.2.Ví dụ 2 ...................................................................................................... 61
4.2.1. Trường hợp bài toán chia 5x13 = 65 nút ........................................ 62
4.2.2. Kết quả bài toán tại 1 điểm theo số nút ........................................ 64
4.3.Ví dụ 3 ...................................................................................................... 67
4.3.1. Trường hợp bài toán chia 5x13 = 65 nút ........................................ 68
4.3.2. Kết quả bài toán tại 1 điểm theo số nút ........................................ 70
4.4.Ví dụ 4 ...................................................................................................... 75

3


chương 5 : Kết luận và kiến nghị ..................................................................... 82
5.1. Nhận xét .................................................................................................. 82
5.2.Kết luận .................................................................................................... 82
5.3. Kiến nghị – hướng phát triển tiếp theo.................................................... 84

Tài liệu tham khảo........................................................................................... 85
Phụ luïc ............................................................................................................... 87

4


CÁC KÍ HIỆU
EFG

Element free Galerkin

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn

MLPG

Phương pháp không lưới Petrov-Galerkin

MLS

Bình phương cực tiểu động

PT

Hàm cơ sở đơn thức

1-D

Một chiều

2-D

Hai chiều

3-D

Ba chiều

A, B

Các ma trận trong phép nội suy MLS của hàm cơ sở, hàm trọng số

E

Modul đàn hồi

J, L2, H

Chuẩn sai số có trọng

( ),i

đạo hàm δ( )/δxi

W

Hàm trọng số

φ

Hàm dạng của phép xấp xỉ MLS

di

Khoảng cách từ nút xi đến nút x

dmax

Khoảng cách xa nhất của miền con theo các phương

Δx

Khoảng cách giữa hai nút

ci

Tham số điều khiển dạng hàm trọng số

^

ui

Giá trị chuyển vị giả định tại nút i

Γ

Biên của miền tổng thể Ω

5


Γu
−

Biên tại chính

u

Chuyển vị giả định

α

Tham số phạt

Δ

ma trận vi phân

BI

Ma trận tính biến dạng cho nút I

λ

Nhân tử Lagrange

KIJ

Ma trận cứng của nút

K

Ma trận cứng tổng thể

U

Vec tơ tham số chuyển vị tổng thể

F

Vec tơ tải tổng thể

fI

Vec tơ tải tại nút

δjk

Kronecker delta

Ω

Miền tổng thể của bài toán

B

6


Chương 1 : Giới thiệu

Chương 1
Giới thiệu tổng quan phương pháp Element free
Galerkin ( EFG )- mục tiêu của luận văn
1.1 Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới
Trong nhiều thập niên qua sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn
(FEM) với ý tưởng thay thế hàm liên tục đã cho bởi sự xấp xỉ các phân đoạn
dùng các đa thức thông thường, giúp giải quyết thành công nhiều bài toán cơ
học, nó trở một phương pháp rộng rãi phát triển cho tới ngày hôm nay, tuy nhiên

vẫn còn một số vấn đề khó khăn trong phương FEM như thay đổi về hình học,
các bài toán biến dạng lớn, các bài toán vết nứt…thường thì trong tính toán
phương pháp FEM phải chia lại lưới cho bài toán, nhưng việc chia lại lưới phải
đảm bảo tính liên tục cho bài toán, thường thì việc kết nối nút cho phần tử trong
tính toán thường bị thiếu sót.
Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán, mà không xấp xỉ trên phân tử, từ
đó các nhà khoa học đưa ra một phương pháp gọi là phương pháp “Meshless”
ngoài ra phương pháp này còn có tên gọi là phương pháp “Mesh free”. Đây là
một phương pháp tính gần đúng, phương pháp này giải quyết hiệu quả các bài
toán trị biên. Đặc điểm của phương pháp này chỉ yêu cầu xây dựng một hệ các
điểm nút cùng các miền ảnh hưởng của nút, từ đó xây dựng lời giải xấp xỉ mà
không phụ thuộc vào sự kết nối, hay ràng buộc giữa các nút, trái ngược với
phương pháp phần tử hữu hạn, ở chỗ là không cần phải kết nối phần tử. Hơn nữa
việc thêm bớt các nút được thực hiện dễ dàng trên miền phân tích, vì vậy nó tiện
lợi và linh hoạt trong sử dụng.Với những ưu điểm đó mà phương pháp này ngày
càng được ưa chuộng trong tính toán các bài toán cơ kỹ thuật.
Phương pháp này được gọi với nhiều tên như phương pháp không lưới
(Meshless ), lưới tự do ( Meshfree )

7


Chương 1 : Giới thiệu

Trong những năm gần đây phương pháp này trở nên phổ biến và được
nhiều tác giả phát triển theo nhiều hướng khác nhau như The Smooth Particle
Hydroynamics (SPH), The Diffuse Element Method (DEM), The Hp-Clouds,
The Partion of Unity Finite Element (PUFEM), Meshless Local Petrov Galerkin
vaø The Element Free Galerkin (EFG). Tất cả các phương pháp này điều có
chung một đặc điểm là chỉ cần xây dựng các điểm nút, các điểm nút được xác

định trong miền xấp xỉ mà không cần tìm cả miền, chỗ khác nhau giữa các
phương pháp này ở kỹ thuật nội suy. Nói chung có nhiều cách nội suy, ví dụ như
phương pháp nhân chất điểm ( The Kernel method ), xấp xỉ bình phương cực tiểu
động ( The Moving least quares approximation ) và phương pháp phân chia đồng
nhất ( The Partition of Unity )
Mặc dù phương pháp không lưới được phổ biến trong những năm gần đây
nhưng ý tưởng của nó đãõ có vào những năm 1970. Lucky (1977) giới thiệu The
Smooth Particle Hydroynamics (SPH). Khi mô phỏng các hiện tượng vậït lý
Monaghan (1982 ) đãõ xây dựng cơ sở lý thuyết từ ý tưởng của SPH bởi chấp
nhận khái niệm hàm nhân tử, Hàm nhân tử này cho phép xây dựng hàm thử cho
bài toán.
Libersky và Petcheck (1991) ứng dụng phương pháp này để giải quyết một
số vấn đề trong bài toán cơ kỹ thuật tuy nhiên nó ích chính xác.
Nayroles, Touzot và Villon (1992 ) sử dụng phép xấp xỉ bình phương cực
tiểu động ( MLS ) trong phương pháp Garlerkin và gọi phương pháp khuyếch tán
phần tử ( Diffuse Element Method ) cơ sở của phương pháp này là dựa trên cách
xấp xỉ bình phương cực tiểu động mà cơ sở này cũng được phát triển bởi
Lancaster và Salkauskas (1981 ).
Belytschko, Liu và Gu (1994) đãõ đưa hàm nhân tử Lagrange vào phép biến
đổi tích phân trong phương pháp DEM và sử dụng phép cầu phương trên lưới
nền cơ bản , việc điều chỉnh này làm tăng sự chính xác cho kết quả tính toán so
với phương pháp ban đầu và gọi là phương Pháp “ Element Free Galerkin “ .
Belytschko, Y.Y.Lu, L.Gu và M.Tabbara (1995) ứng dụng phương pháp
Element Free Galerkin cho bài toán tónh và động học cơ phá hủy.
Duarte và Oden (1996), và Melenk và Babuska (1996) đưa ra phương pháp
The Hp –Clouds và The Partition of Unity Finite Element Method ( PUFEM) .Caû
2 phương pháp này cùng sử dụng sự phân chia đồng nhất để xây dựng hàm xấp
xỉ không lưới. Họ đãõ thừa nhận cơ bản của phướng pháp bình phương cực tiểu
động là trường hợp riêng của sự phân chia đồng nhất. The Hp-Clouds và PUFEM
8

Chương 1 : Giới thiệu

những phương pháp này là cơ sở ngoài nhằm tăng cường cho việc giải quyết bài
toán.Sự giống nhau của các phương pháp không lưới bên trên được tóm tắt tổng
kết lại bởi Belytschko cùng một số tác giả khác (1996) và Duarte (1995).
N.sukumar,B.moran, T.Black, T. Belytschko (1997) ứng dụng phương pháp
Element free Galerkin vào tính toán cơ phá hủy 3 chiều.
Atluri và Zhu ( 1998 ) giới thiệu phương pháp không lưới mà phương pháp
không yêu cầu lưới rõ ràng cho phép nội suy của việc giải quyết các biến, nền
tảng cơ bản của phương pháp này là dạng yếu đối xứng cục bộ kết hợp với phép
xấp xỉ bình phương cực tiểu động và được gọi là phương pháp không lưới cục bộ
Petrov – Galerkin (The meshless Local Petrov Galerkin Method ) (MLPG).
Bouillardand Suleau 1998 đã ứng dụng phương pháp mesh free xây dựng
vấn đề âm học cho kết quả khá tốt.
Onate và Idelsohn 1998 đưa ra phương pháp mesh free “finite point
method” cơ bản trên phép nội suy bình phương trọng số nhỏ nhất với sự sắp sắp
xếp nút và ứng dụng trong bài toán cơ lưu chất.
Atluri và một số tác giả khác (1999a) đãõ tìm ra được việc hàm kiểm tra
(test funtion ) như các hàm cơ sở cho việc kiểm tra bài toán trong phương pháp
MLPG và dẫn tới ma trận cứng đối xứng . Atluri và một số tác giả khác đãõ mở
rộng phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động bằng cách kết hợp đạo hàm các
biến vào trong phép nội suy để có thể đặt được kết quả xấp xỉ phương trình vi
phân cấp 4.
Atluri và Zhu (2000) giải bài toán đàn hồi tónh học bằng phương pháp
MLPG. Họ kiểm tra độ chính xác và hội tụ bằng các thí nghiệm số. Trong
phương pháp MLPG ứng suất và biến dạng được tính toán biến thiên phù hợp
trong vật thể.Những kết quả bằng số cho thấy phương pháp này cho kết quả tốt
gần đối với vật liệu không nén ( incompressible materials ).

Kim và Altluri (2000) đãõ chứng minh cách dùng nút thứ cấp (The secondary
nodes ) kết hợp với MLPG. Việc dùng nút thứ cấp cho phép tính toán sẽ dễ dàng
cho việc thêm nút trong miền tính toán và đặt được độ chính xác cao hơn.
M.H.Karganovin, H.E.Toussi, S.J.Faiborz (2004) với phương pháp Element
Free Galerkin cho vấn đề Elasto-plastic.
IV Singh (2004) ứng dụng phương pháp EFG trong bài toán cơ lưu chất.

9


Chương 1 : Giới thiệu

Hơn thế nữa một số tác giả kết hợp giữa phương pháp khác và phương pháp
Mesh – free để đưa ra nhiều phương pháp có lợi hơn như phương pháp Finite
Volume kết hợp với phương pháp không lưới MLPG.

1.2 Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại Việt Nam

Năm 2000 Nguyễn Hoài Sơn tại hội nghị khoa học quốc tế tại Nha Trang
có trình bày về phương pháp dùng hàm điều chỉnh nhân tử (Reproduccing
Kernel Particle Method (RKPM) ) là một trong những phương pháp không lưới.
Năm 2005 Phạm Tiến Cường thực hiện luận văn cao học tại trường Đại
Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh với đề tài “ Ứng Dụng Phương Pháp
Không Lưới Petrov-Galerkin Giải Bài Toán Dầm Chịu Uốn “.
Vậy tại Việt Nam phương pháp Element Free Galerkin khá mới mẽ. Qua
luận văn này tác giả mong muốn sẽ có nhiều người biết đến và quan tâm đến
phương pháp EFG.

1.3 Mục tiêu luận văn
Nghiên cứu lý thuyết phương pháp EFG

p dụng phương pháp EFG giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, tính
toán cho các ví dụ cụ thể, sử dụng ngôn ngữ Matlab để tính toán giải các ví dụ.
Từ kết quả đánh giá độ chính xác, hiệu quả của phương pháp Element
free Galerkin so với phương pháp khác như lời giải chính xác, Sap2000…
Nhận xét đánh giá phương pháp EFG trong phạm vi nghiên cứu của luận
văn và phương hướng phát triển tiếp theo.

1.4 Phạm Vi Nghiên Cứu
Sử dụng phương pháp EFG khảo sát chuyển vị, ứng suất, cho bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi, thông qua các ví dụ tính toán.

10


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

Chương 2

Lý thuyết phương pháp Element free Galerkin
2.1 Xấp xỉ bình phương cực tiểu động (The moving least square
approximation ) [2][7][9][11]
Với các bài toán cơ học việc tìm hàm chưa biết của bài toán trong miền xác
định của nó khá phức tạp, do đó việc tìm dạng xấp xỉ của hàm trên mỗi miền con
ở dạng xấp xỉ đơn giản và dễ thực hiện hơn, điều này cho phép ta có khả năng
thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền bằng việc tìm nghiệm trên
mỗi miền con.
Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) bắt nguồn từ các nhà toán học
từ việc xây dựng bề mặt và kết nối dữ liệu. Ưu điểm của phép xấp xỉ MLS được
tìm thấy bởi Lancaster và Salkauskas (1981)và ứng dụng nó vào tính toán kỹ
thuật. Ngày nay phép MLS được sử dụng rộng rải trong việc xây dựng hàm dạng

trong các phương pháp không lưới.
Trong phương pháp EFG hàm chuyển vị u(x) thì được xấp xỉ bởi kỹ thuật
bình phương cực tiểu động, phép xấp xỉ này dựa trên ba thông số cơ bản
. Hàm trọng số của miền ảnh hưởng liên quan đến mỗi nút.
. Ma trận các đơn thức hoàn chỉnh
. Các hệ số phụ thuộc vào vị trí điểm x ( điểm cần xấp xỉ )
Xét miền con ΩX chứa điểm x và những điểm lân cận x, gọi là miền xác định
của phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) cho hàm thử tại điểm x.
Để xấp xỉ hàm u(x) trong miền ΩX tại các nút {xi} với i=1,2,…….,n,
n : số nút chứa trong miền Ωx
Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động uh(x) của u(x), ∀ x∈ Ωx có thể định nghóa
như sau :
uh(x) =

m

∑p

j

( x)a j ( x) ≡ pT(x)a(x)

j

11

(2.1)


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

Trong đó a(x) là vectơ các tham số hay vectơ các tọa độ tổng quát aj(x), j =
0,1,2….,m là hàm thể hiện không gian tọa độ x=[x,y,z]T như sau :
aT(x) = [ a0(x) a1(x) ….. am(x) ]

(2.2)

pT(x) cơ sở đơn thức hoàn chỉnh, m là số phần tử trong phần cơ sở.
pT(x) =[ p0(x), p1(x), p2(x)……. pm(x)]

(2.3)

Gọi t là bậc cao nhất của đa thức tại các điểm cơ sở thì mối quan hệ t và m là :
. Cho bài toán 2-D
m=

(t + 1)(t + 2)
(t + 1)(t + 2)
=
1x 2
2

. Cho bài toán 3-D
m=

(t + 1)(t + 2)(t + 3) (t + 1)(t + 2)(t + 3)
=
1x 2 x3
6

. Cho baøi toán l chiều
m=

(t + 1)(t + 2) + ..... + (t + l )
1x 2 x....xl

Ví dụ ta có thể chọn :
. Bài toán 1-D
pT(x) =[1,x]

. m =2 ( xấp xỉ tuyến tính )

pT(x) =[1,x, x2]

. m = 3 ( xấp xỉ bậc 2 )

. Bài Toán 2-D

pT(x) =[1, x , y ]

. m = 3, t =1 ( xaáp xỉ tuyến tính )

pT(x) =[ 1, x, y , xy , x2, y2 ]

. m = 6, t=2 ( xaáp xỉ bậc 2 )

. Bài Toán 3-D

pT(x) =[1, x , y , z ]

. m =4, t=1( xấp xỉ tuyến tính )

pT(x) =[1, x , y , x , xy , yz, xz, x2, y 2, z2 ]

. m =10 (xấp xỉ bậc 2 )

Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học.
Như vậy các đa thức xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa độ phần tử .
Các dạng đa thức cơ bản được chọn từ tam giác Palcal cho bài toán 2 chiều và từ
tháp Pascal cho bài toán 3 chieàu. [6][7][9]

12


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

Vectơ a(x) được xác định bằng cách cực tiểu hoá chuẩn sai số L2 có trọng
(Nayroles et al.., 1992).[2][7]
n

T

^

J ( a ( x)) = ∑ Wi ( x)[ p ( xi ) a ( x) − u i ]

2

(2.4a)

i =1

Hay
^

^

J (a ( x)) = [ P.a( x) − u ]T .W .[ P.a ( x) − u ]

(2.4b)

Trong đó :
xi biểu diễn vị trí nút i
Wi (x) = W(x-xi ) là hàm trọng số của nút i với Wi(x)>0 với mọi x nằm trong
miền ảnh hưởng của Wi(x)
n số nút lân cận của x trong miền Ωx với hàm trọng số Wi(x)>0
Ma trận P và W được định nghóa như sau
⎡ P T ( x1 ) ⎤
⎢ T
⎥
P ( x2 )⎥
⎢
= ( n x m ) ma traän
P= ⎢
............⎥
⎢
⎥
⎢⎣ P T ( x n )⎥⎦

⎡ w ( x) K

0 ⎤⎥
⎢ 1
⎢
⎥
W= ⎢ M O M ⎥
⎢
⎥
⎢ 0
K wn ( x ) ⎥
⎢⎣
⎥⎦

= ( n x n ) ma traän

T

^
^
⎡^ ^
⎤
u = ⎢u 1 , u 2 ,..., u n ⎥ = ( 1 x n )
⎣
⎦

(2.5)

(2.6)

(2.7)

^

ui , i = 1,2…n trong công thức (2.4a) và (2.7) là giá trị giả định của nút i, nó

không phải là giá trị nút của hàm thử uh(x) và nói chung không bằng giá trị nút
của hàm thử uh(x) ( xem hình H1.2 đơn giản cho bài toán 1 chiều cho sự khác biệt
^

giữa ui và ui )

13


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

^

Hình 1.2 : Sự khác biệt giữa u và ui
i

Công thức (2.2) có được viết lại như sau
−

^

^

^

^T

^

J( x ) =[P.a(x)- u ]T.W.[P.a(x)- u ] = aT PT W Pa - 2aTPT W u + u W u

(2.8)

−

Để xác định a(x) cực tiểu hoá hàm J( x ) [7]
−

∂J ( x)
=0
∂ai

,

j=1,2,…..m

(2.9)

Công thức (2.9) có thể viết lại như sau
−

−

^
∂J ( x)
∂J ( x)

T
T T
=
0
hay
=
2P
WPa
2a
P
W
u
=0
∂a T
∂a T

(2.10)

Từ ( 2.10 ) dẫn đến
^

(2.11)

[ A] {a} = [ B ] {u}
( m , m ) ( m ,1)

( m , n ) ( n ,1)

[A] laø ma trận vuông m hàng, m cột
[B] là ma trận m hàng, n cột

Trong đó :
N

[ A] = P T W P = B ( x) P = ∑ Wi ( x) p ( xi ) p T ( xi )
i =1

14

(2.12)


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

[ B ] = P T W = [W1 ( x) p ( x1 ),W2 ( x) p ( x 2 ),......,Wn ( x) p ( x n )

(2.13)

Từ công thức ( 2.6 ) xác định {a} như sau :
^

(2.14)

{a} = [ A] −1 [ B] {u}
( m ,1)

( m , m ) ( m , n ) ( n ,1)

Từ công thức (2.14) ta có thể thấy a(x) tồn tại chỉ khi ma trận A(x) trong công
thức (2.12) không được suy biến, khi và chỉ khi hạng của P ( với n hàng và m cột )
bằng m .Vì vậy điều kiện cần thiết cho phép xấp xỉ MLS là có ít nhất m hàm

trọng số khác không ( n ≥ m ) cho mỗi điểm x∈Ω. [2]
Thay a(x) từ công thức (2.14) vào công thức (2.1) ta có mối quan hệ viết dưới
dạng hàm nội suy tương tự như FEM.
^

uh(x) = pT(x)a(x) = PT(x).[A]-1[B] {u}

(2.15 )

Hay
^

uh(x) = ΦT(x). u =

n

i =1

^

^

∑ φ ( x) u
i

;

u h ( xi ) ≡ u h ≠ u i

(2.16)

i

x∈Ωx

Trong đó :
ΦT(x)=PT(x).A-1(x).B(x)

(2.17)

Hay
m

φi ( x) = ∑ p j ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji

(2.18)

j =1

φi (x) được gọi là hàm dạng của phép xấp xỉ MLS đối với nút yi , từ công

thức (2.13) và (2.18) có thể thấy hàm φi =0 chỉ khi wi(x) = 0. Trong ứng dụng hàm
wi(x) được chọn khác không trên miền ảnh hưởng của nút yi , miền ảnh hưởng
thường chọn là miền tròn bán kính ri, tâm tại nút yi hay chữ nhật cho bài toán 2D
với khoảng cách dmax và hình cầu cho bài toán 3D.
^

Từ công thức (2.16) u i không phụ thuộc vào x nên ta chỉ lấy đạo hàm φi ( x k )
Đạo hàm φi ( x k ) , theo xk ta được
m

φ,ik ( x) = ∑ [ p j ,k ( A −1 B) ji + p j ( A −1 B, k + A,−k1 B) ji ]
j =1

15

(2.19)


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

A,−k1 =(A-1),k là đạo hàm của ma trận nghịch đảo của ma trận [A] theo xk, được tính

từ đạo hàm của ma trận đơn vị I =A-1A
A,−k1 =-A-1A,kA-1

(2.20)

kí hiệu ( ),i là kí hiệu cho đạo hàm δ( )/δxi
Từ công thức (2.19) tính đạo hàm cấp 2 như sau :
m

φ,ikl (x) = ∑[ p j,k ( A−1B) ji + p j ( A−1B,kl + A,−l 1B) ji + p j ,l ( A−1B, k + A,−k1B) ji +
j =1

−1

−1
,kl

−1
,l
,k

(2.21)

−1
,k ,l

+ p j ( A B,kl + A B + A B + A B ) ji ]

Với :
A,−k1 =A-1A,lA-1A,kA-1 – A-1A,klA-1 + A-1A,kA-1A,lA-1

(2.22)

Khi sử dụng phép xấp xỉ MLS của phương pháp EFG hàm cơ sở P(x) và hàm
trọng số Wi (x) nên chọn trước.
Trong phép xấp xỉ MLS cần phân biệt giữa miền xác định (definition) Ω miền
con của phép xấp xỉ MLS của điểm x và miền ảnh hưởng (support) của nút. Miền
xác định của điểm x là miền mà trọng soá W i(x)≠ 0, i =1, 2, ……., n ; và miền ảnh
hưởng của nút J thì được chọn là hình chử nhật, hình vuông, hình tròn, hay hình
cầu bán kính ri , tâm tại xJ , với hàm trọng số W i(x)≠0 trên miền này thì khác
không.

Hình 2.3 . Miền ảnh hưởng của nút và miền định nghóa của phép xấp xỉ
MLS cho hàm thử tại điểm x
16

Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

Độ phẳng mượt của hàm dạng φi(x) thì được xác định bởi hàm cơ sở P(x) và
hàm trọng số W i(x).

2.2 Hàm trọng số ( Weight funtion )[1][7][9][17]
Hàm trọng số đóng vai trò quan trọng trong phương pháp MFree việc lựa
chọn hàm trọng số ảnh hưởng tới kết quả bài toán, như trình bày bên trên nếu hàm
trọng số W(x) =0 dẫn tới hàm dạng bằng không.
Trong phép xấp xỉ MLS có nhiều cách chọn hàm trọng số, các hàm trọng số
thường được chọn như sau.
Hàm trọng số Spline bậc 3 được định nghóa như sau [9]
⎧2
2
3
⎪ 3 − 4d i + 4d i
⎪
4
⎪4
2
Wi ( x) = ⎨ − 4d i + 4d i − d i3
3
⎪3
⎪0
⎪
⎩

di ≤

1

2

1
< di ≤ 1
2

(2.26)

di > 1

Haøm trọng số Spline bậc 4 được định nghóa như sau [9]
⎧1 − 6d i 2 + 8d i 3 − 3d i 4
⎪
Wi ( x) = ⎨
⎪0
⎩

Với : di =

x − xi
d max

;

x − xi

0 ≤ di ≤ 1
di > 1

(2.27)

là khoảng cách giữa x và xi

dmax được chọn với khoảng cách xa nhất của miền con theo các phương và
được chọn sao cho bao phủ các nút tính toán. Hàm trọng số tại một điểm bất kì có
thể tính toán như sau [17]
W(x-xi )=Wdx.Wdy
Theo một số tác giả thì 1 < dmax ≤ 1.5 cho kết quả khá tốt [17]
Hàm trọng số Gauss của nút i được viết như sau [1]

17


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG
⎧ exp[ −( d i / ci ) 2 k ] − exp[ −( ri / ci ) 2 k ]
⎪⎪
1 − exp[−( ri / ci ) 2 k ]
wi ( x) = ⎨
⎪
⎪⎩0

0 ≤ d i ≤ ri

(2.28)

d i ≥ ri

Trong đó :
ci : Tham số điều khiển dạng hàm trọng số wi và gọi là trọng số quan hệ.
ri : bán kính của miền ảnh hưởng đối với hàm trọng số

k : cũng là một tham số điều khiển dạng của hàm trọng số Gauss và để
đơn giản người ta chọn k =1.
Hiện nay chưa có lý thuyết nào xác định tối ưu giá trị tham số ci và chỉ được
chọn theo kinh nghiệm. Lu, Belytschko và Gu (1994) giới thiệu một phương pháp
chọn ci .Các tác giả gợi ý xem ci được xem như khoảngg cách từ nút xi đến nút
thứ ba gần nhất và bán kính miền ảnh hưởng ri được chọn sao cho

ri
≥ 3.5 để hàm
ci

trọng số wi đủ che phủ nút trong miền của hàm trọng số , để đảm bảo cho ma trận
A trong công thức (2.14) không suy biến.[2]
Kích thước của ri của miền ảnh hưởng cũng rất quan trọng, ri được chọn sao
đủ lớn để hàm trọng số wi đủ che phủ số nút của miền con Ωx ( N ≥ m ) để đảm
bảo cho ma trận A không suy biến. Nếu ri chọn quá nhỏ có thể dẫn đến sai số lớn
cho phép tính toán cầu phương Gauss của hệ thống ma trận. Mặc khác ri nên chọn
vừa đủ nhỏ để bảo đảm phép xấp xỉ MLS có tính chất cục bộ phần tử ( the local
character for the MLS approximation).
Ví dụ ta xét thanh có chiều dài L chia thành 9 nút với khoảngg cách các nút
là Δx = 0.5 ta vẽ các dạng hàm trọng số tại nút số 5 các thông số sau .
Bán kính miền ảnh hưởng : r5 = 0.55, tâm tại nút 5
Khoảngg cách từ x đến x5 : d5 = x − x5 = 0
d4và 6 = x − x 4va 6 = x − 0.5 = 0.5
Với hàm trọng số dạng Power α = 4
Với hàm trọng số dạng Gauss các thông số chọn như sau : k=1, r5/c5 = 4>3.5
Ỵ c5 = r/4
Vùng ngoài bán kính miền ảnh hưởng hàm trọng số bằng khoâng

18

Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

Hình 2.4. Thanh có chiều dài L có 9 nút với khoảngg cách các nút là Δx

Hình 2.5 Thể hiện các dạng hàm trọng số

19


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

2.3 EFG với hàm nhân tử Lagrange (Lagrange Multipliers)[9]
2.3.1 Phương pháp Lagrange Multipliers
Trong phương pháp Lagrange Multipliers, hàm Lagrange được viết như sau :
~

L = L +∫ΩλTC(u)dΩ

(2.29)

Trong đó λ vec tơ nhân tử lagrange được viết như sau
λT ={λ1, λ2,…….., λk}

(2.30)

C(u) : là ma trận các hệ số
⎧ C1 (u ) ⎫
⎪ C (u ) ⎪

⎪ 2 ⎪
C(u)= ⎨
⎬
⎪ M ⎪
⎪
⎪
⎩ C k (u )⎭

Nhân tử Lagrange là hàm chưa biết và độc lập với tọa độ trong miền Ω.
Theo nguyên lý Haimlton ta có :
t2

~

(2.31)

δ ∫ Ldt = 0
t1

2.3.2 Dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange [9]
Dạng yếu Galerkin được tính trực tiếp từ nguyên lý Hamilton cho các bài
toán kỹ thuật như sau
Cho bài toán động lực học
−

..

∫ΩδεTσdΩ -∫ΩuTb dΩ - ∫Γt δuT t dΓ + ∫ΩρδuT u dΩ = 0

(2.32)

Cho bài toán tónh học
−

∫ΩδεTσdΩ -∫ΩuTb dΩ - ∫Γt δuT t dΓ = 0

(2.33)

Trong đó
ε : ma trận biến dạng
σ : ma trận ứng suất
ε = Δ.u
Với

;

σ = c.ε

⎡u ⎤
u = ⎢⎢v ⎥⎥ chuyển vị theo 3 phương x, y, z
⎢⎣w⎥⎦
20

(2.34)


Chương 2 : Lý thuyết phương pháp EFG

⎡
⎢∂ ∂x

⎢
⎢ 0
⎢
⎢
Δ =⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎢∂ ∂z
⎢
⎢∂ ∂y
⎣

⎤
0
0 ⎥
⎥
∂ ∂y 0 ⎥
⎥
0 ∂ ∂z ⎥
⎥
∂ ∂z ∂ ∂y ⎥
⎥
0 ∂ ∂x ⎥
⎥
∂ ∂x 0 ⎥
⎦

(2.35)

⎤

⎡
0
0 ⎥
⎢c11 c12 c12 0
⎥
⎢
0
0 ⎥
c11 c12 0
⎢
⎥
⎢
⎢
c11 0
0
0 ⎥
⎥
⎢
c11 − c12
c= ⎢
0
0 ⎥
⎥
⎢
2
⎥
⎢
c11 − c12
⎢
0 ⎥

⎥
⎢ ñx
2
⎥
⎢
c11 − c12 ⎥
⎢
2 ⎦⎥
⎣⎢

(2.36)

c : ma trận các hệ số đàn hồi
Với :
c11 =

E (1 − ν )
;
(1 − 2ν )(1 + ν )

hay

G=

Eν
;
(1 − 2ν )(1 + ν )

c12 =

G=

c11 − c12
2

E
2(1 + ν )

(2.37)
(2.38)

Trong đó
E : Mô đun đàn hồi
ν : hệ số Poisson
Từ (2.31), (2.32),(2.33) ta có dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange như sau :
Cho bài toán động học
−

∫Ωδ(Δu)Tc(Δu)dΩ - ∫ΩuTb dΩ - ∫Γt δuT t dΓ - ∫ΩδλTC(u)dΩ ..

- ∫ΩλTδC(u)dΩ + ∫ΩρδuT u dΩ = 0

(2.39)
21