Định lý giới hạn trung tâm và những ứng dụng trong xác suất thông kê

Đại Học
Học Quốc
Quốc Gia
Gia Tp.
Tp. Hồ
Hồ Chí
Chí Minh
Minh
Đại
TRƯỜNG ĐẠI
ĐẠI HỌC
HỌC BÁCH
BÁCH KHOA
KHOA
TRƯỜNG
---------------------------------------------

NGUYỄN ĐÌNH
ĐÌNH NG
NG
NGUYỄN

ĐỊNH LÝ
LÝ GIỚI
GIỚI HẠN
HẠN TRUNG
TRUNG TÂM
TÂM VÀ
VÀ NHỮNG
NHỮNG
ĐỊNH

ỨNG DỤNG
DỤNG TRONG
TRONG XÁC
XÁC SUẤT-THỐNG
SUẤT-THỐNG KÊ
KÊ
ỨNG
Chun ngành:
ngành: TỐN
TỐN GIẢI
GIẢI TÍCH
TÍCH ỨNG
ỨNG DỤNG
DỤNG
Chuyên
Mã ngành: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006.
TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006.


Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
-----------------------

NGUYỄN ĐÌNH NG

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG
ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006.


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỊAN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: ............................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
Cán bộ chấm nhận xét 1: ...................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Cán bộ chấm nhận xét 2: ...................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày…… tháng ……năm


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp.HCM, ngày 03 tháng 12 năm 2006.
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: NGUYỄN ĐÌNH NG

Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 18 -03 – 1979

Nơi sinh: Thái Bình

Chuyên ngành: Toán giải tích ứng dụng

MSHV: 02405544

I- TÊN ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG
TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ.
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
-

Tóm tắt những khái niệm cơ bản trong Giải tích thực.

-

Chứng minh Các luật số lớn và Định lý giới hạn trung tâm.

-

Dựa trên Định lý giới hạn trung tâm tìm hiểu các ứng dụng.

-

Xây dựng thuật toán và mô hình Định lý giới hạn trung tâm bằng Maple.

-

Nhận xét, đánh giá khả năng áp dụng và hướng phát triển đề tài.

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

03 – 07 – 2006

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:
V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

03 – 12 – 2006
PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP

PGS. TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua
Ngày 31 tháng 09
năm 2006

TRƯỞNG PHÒNG ĐT- SĐH

TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến Phòng đào tạo sau đại học và Bộ môn
Toán ứng dụng đã tổ chức lớp Cao học Toán giải tích ứng dụng để chúng em có
điều kiện được học tập.
Em xin cảm ơn chân thành đến các Thầy trong bộ môn Toán ứng dụng đã
giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho chúng em trong hai năm học vừa qua.
Với lòng biết ơn sâu sắc Em xin gửi đến Thầy PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP đã
tận tình hướng dẫn để Em hoàn thành bản luận văn này.
Xin cảm ơn chân thành đến các bạn học cùng lớp và các bạn bè đồng nghiệp
đã có những giúp đỡ q báu trong học tập và nhất là trong thời gian thực hiện
luận văn.
Cuối cùng là lòng biết ơn sâu sắc đến Bố mẹ và toàn thể Gia đình đã tạo
điều kiện cho Con học tập trong thời gian qua.


TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Luận văn gồm có 3 chương.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Chương này gồm các khái niệm, định lý
được sử dụng trong chương 2.
Chương 2. Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm. Chương này trình bày
chứng minh các luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm tổng quát.
Chương 3. Ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm. Chương này trình bày
các ứng dụng của các định lý giới hạn (là định lý giới hạn trung tâm hoặc các hệ quả
của nó) trong xác suất và trong thống kê. Ở đây chúng tơi đưa ra một số ví dụ khá tiêu
biểu cho việc vận dụng lý thuyết và thực tế. Chúng tôi cũng chỉ rõ cơ sở lý thuyết để
xây dựng các thuật toán trong ước lượng và kiểm định giả thuyết trong thống kê.
Cuối cùng là phần kết luận, nhận xét và hướng phát triển của đề tài.


vi

MỤC LỤC
trang
Bìa............................................................................................................................. i
Cơng trình ................................................................................................................. ii
Nhiệm vụ luận văn.................................................................................................... iii
Lời cám ơn................................................................................................................ iv
Tóm tắt...................................................................................................................... v
Mục lục ..................................................................................................................... vi
Lời nói đầu................................................................................................................ 1
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị.................................................................... 2
§1. Độ đo ....................................................................................................... 2
1. σ -đại số.............................................................................................. 2
2. Độ đo.................................................................................................. 2
3. Độ đo Borel và Lebesgue................................................................... 3
4. Tích của các độ đo. Độ đo trên

n

.................................................... 4

5. Hàm đo được. Hàm đơn giản ............................................................. 4
§2. Tích phân ................................................................................................ 5
1. Tích phân hàm đơn giản khơng âm.................................................... 5
2. Tích phân và hàm khả tích ................................................................. 6
3. Định lý Fubini .................................................................................... 7
4. Các loại hội tụ .................................................................................... 7
§3. Khơng gian các hàm khả tích .................................................................. 8
1. Không gian Lp ................................................................................... 8
2. Bất đẳng thức Chebyshev .................................................................. 8

3. Không gian l p .................................................................................... 8
4. Không gian L2 và l2 ........................................................................... 9

§4. Độ đo Radon............................................................................................ 9
1. Độ đo có dấu. Độ đo phức ................................................................. 9
2. Độ đo Radon ...................................................................................... 10


vii

§5. Giải tích Fourier ..................................................................................... 11
1. Hình xuyến T n ................................................................................... 11
2. Biến đổi Fourier ................................................................................. 12
3. Giải tích Fourier của độ đo ................................................................ 12
Chương 2. Luật số lớn và Định lý giới hạn trung tâm ...................................... 14
§1. Các khái niệm cơ bản .............................................................................. 14
§2. Luật số lớn ............................................................................................... 21
§3. Định lý giới hạn trung tâm ...................................................................... 25
Chương 3. Ứng dụng của Định lý giới hạn trung tâm ...................................... 28
§1. Các ứng dụng trong xác suất .................................................................. 28
1. Bất đẳng thức Chebyshev .................................................................. 28
2. Định lý Chebyshev............................................................................. 29
3. Định lý giới hạn trung tâm Liapounov............................................... 30
§2. Các ứng dụng trong thống kê .................................................................. 36
1. Phân phối của tỉ lệ mẫu ...................................................................... 36
2. Phân phối của trung bình mẫu ........................................................... 36
§3. Mơ hình định lý giới hạn trung tâm ........................................................ 41
Kết luận-hướng phát triển......................................................................................... 47
Tài liệu tham khảo .................................................................................................... 48

1

Lời nói đầu
Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người có bắt buộc phải tiếp xúc và
xử lý rất nhiều những hiện tượng ngẫu nhiên, là những hiện tưọng khơng thể biết
trước. Một lĩnh vực của Tốn học có tên là “Lý thuyết Xác suất” đã ra đời nhằm
nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính tốn các hiện tượng ngẫu nhiên.
Ngày nay Lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Tốn học lớn, chiếm vị
trí quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng. Một mặt Lý thuyết Xác suất là một ngành
Tốn học có tầm lý thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng dụng rộng rãi trong
nhiều ngành Khoa học Kỹ thuật và cả Khoa học Xã hội và Nhân văn. Đặc biệt Lý
thuyết Xác suất gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương pháp thu
thập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thơng tin định lượng. Trong Xác suất -Thống kê
ứng dụng thì theo kinh nghiệm quan sát phân phối chuẩn và tìm cách xấp xỉ phân phối
chuẩn là cực kỳ thường gặp. Cơ sở để giải thích cho những điều này chính là Các luật
số lớn và Các định lý giới hạn mà đỉnh cao là “Định lý giới hạn trung tâm”. Đây là
một định lý nổi tiếng và có vai trị hết sức quan trọng. Định lý cho kết quả về sự hội tụ
yếu của một dãy các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp đơn giản nhất, với các biến
ngẫu nhiên độc lập, phân phối đồng nhất có cùng kỳ vọng, phương sai thì Định lý giới
hạn trung tâm đã được chứng minh trong nhiều giáo trình Xác suất-Thống kê dưới tên
gọi là định lý Chebyshev. Nhưng trong trường hợp tổng quát việc chứng minh đòi hỏi
rất nhiều kiến thức bổ trợ nên chỉ được trình bày trong một số sách chuyên sâu về Lý
thuyết Xác suất.
Luận văn của chúng tơi trình bày một cách chứng minh của Định lý giới hạn
trung tâm tổng quát dựa vào những thành tựu của lý thuyết độ đo và giải tích Fourier.
Phần Lý thuyết Xác suất trình bày ở đây có thể coi như một ngành hẹp của giải tích
Fourier. Hiện nay Định lý giới hạn trung tâm đã có một số cách chứng minh khác
nhau (Xem các tài liệu tham khảo [5] trang 69, [6] trang 367). Một phần quan trọng
khác của luận văn là nêu các ứng dụng của Định lý Giới hạn trung tâm trong Xác suất

- Thống kê.


2

Chương 1.
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. ĐỘ ĐO
1. σ -đại số

Cho X là một tập khác rỗng. Một họ A các tập con của X gọi là một σ -đại số
nếu thỏa mãn các điều kiện
i) ∅, X ∈ A;
ii) {E j} ⊂ A thì
∞

1

∞

∪E

j

∈A;

1

iii) E ∈ A thì E c = X \ E ∈ A.
Cho ξ là một họ các tập con của X. Khi đó giao của tất cả các σ -đại số của X

chứa ξ là một σ -đại số, ký hiệu là A ( ξ ) . Vì P (X) là một σ -đại số chứa ξ nên A ( ξ )
tồn tại, nó là σ -đại số nhỏ nhất chứa ξ nên cũng gọi là σ -đại số sinh bởi ξ .
2. Độ đo

Cho tập X và một σ -đại số A trên X. Ta gọi một độ đo trên X là một hàm
μ : X → [ 0, ∞ ] thỏa mãn các điều kiện

i) μ(∅) = 0 ;
⎛

∞

⎞

∞

⎝

1

⎠

1

ii) Nếu {E j}1 là một dãy các tập rời nhau trong A thì μ ⎜ ∪ E j ⎟ = ∑ μ ( E j ) .
∞

Tính chất (ii) gọi là tính chất cộng tính đếm được. Tính chất sau đây gọi là tính
chất cộng tính hữu hạn
⎛

n

⎞

n

⎝

1

⎠

1

ii’) Nếu E1 ,..., E n là các tập đơi một rời nhau trong A thì μ ⎜ ∪ E j ⎟ = ∑ μ ( E j ) .
Dễ dàng thấy rằng i) và ii) suy ra ii’). Nếu μ thỏa mãn i) và ii’) nhưng khơng
thỏa mãn ii) thì μ gọi là một độ đo cộng tính hữu hạn.
σ -đại số A gọi là miền của độ đo μ .

Tập X cùng một σ -đại số A trên X gọi là một không gian đo được, ký hiệu là

( X, A ) . Một không gian đo được cùng với một độ đo

μ trên nó gọi là một không gian


3

độ đo, ký hiệu là ( X, A, μ ) hoặc X.

Độ đo μ trên X gọi là hữu hạn nếu μ(X) < ∞, độ đo μ gọi là σ -hữu hạn nếu
tồn tại dãy {X n } ⊂ A sao cho μ ( X n ) < ∞ với mọi n và

∞

∪X

n

= X.

1

Định lý 1. Cho ( X, A, μ ) là một không gian độ đo . Khi đó

a) (Tính chất đơn điệu). Nếu E, F ∈ A, E ⊂ F thì μ (E) ⊂ μ (F) ;
⎛

∞

⎞

∞

⎝

1

⎠

1

b) (Tính chất cộng tính dưới ). Nếu {E j}1 ⊂ A thì μ ⎜ ∪ E j ⎟ ≤ ∑ μ(E j ) ;
∞

c) (Tính chất liên tục dưới). Nếu {E j}1 ⊂ A, E1 ⊂ E 2 ⊂ ... thì
∞

⎛∞ ⎞
μ ⎜ ∪ E j ⎟ = lim μ(E j ) ;
⎝ 1
⎠

d) (Tính chất liên tục trên). Nếu {E j}1 ⊂ A, E1 ⊃ E 2 ⊃ ... và μ ( E1 ) < ∞ thì
∞

⎛∞ ⎞
μ ⎜ ∩ E j ⎟ = lim μ(E j ) .
⎝ 1
⎠

Một độ đo μ trên ( X, A ) gọi là đủ nếu E ∈ A có μ(E) = 0 thì mọi F ⊂ E đều
có F ∈ A A
Với một độ đo μ bất kỳ trên ( X, A ) , ký hiệu N là các tập con có độ đo 0 của
A (gọi là các tập không). Ký hiệu A là họ các tập con của X có dạng A ∪ B trong đó

A ∈ A và B ⊂ E với E ∈ A . Khi đó A là một σ -đại số chứa A . Trên A định nghĩa

μ ( A ∩ B ) = μ(A).

Khi đó μ là một độ đo đủ trên A , μ ( A ) = μ(A) với mọi A ∈ A. Độ đo μ gọi
là bổ sung đủ của độ đo μ .
3. Độ đo Borel và Lebesgue

Cho X là một không gian tôpô. Gọi ξ là họ các tập con mở của X. Khi đó ta
gọi σ -đại số sinh bởi ξ là σ -đại số Borel của X, ký hiệu là BX . Độ đo trên một σ -đại
số Borel gọi là độ đo Borel.
Trên \ tồn tại duy nhất một độ đo Borel μ bất biến với phép tịnh tiến sao cho


4

μ ([ 0,1]) = 1 . Bổ sung đủ của μ gọi là độ đo Lebesgue trên \ , ký hiệu là m. Miền của

độ đo m ký hiệu là L .
4. Tích của các độ đo. Độ đo trên

n

Cho (X j , A j , μ j ), j = 1,..., n là các không gian độ đo. Ký hiệu A 1 ⊗ ... ⊗ A n hay
n

⊗ A j là σ -đại số của
1

n

∏X

n

j

1

sinh bởi họ các tập A = ∏ A j , A j ∈ A j , j = 1,..., n. Trên
1

n

⊗ A j có duy nhất độ đo μ sao cho
1

⎛ n
⎞ n
μ(A) = μ ⎜ ∏ A j ⎟ = ∏ μ ( A j ).
⎝ 1
⎠ 1

Độ đo μ gọi là tích của các độ đo μ1 ,..., μ n , ký hiệu là μ1 × ... × μ n .
Xét trường hợp đặc biệt X j =

và μ j = m với mọi j= 1,…,n ta có độ đo

m × ... × m trên σ -đại số L ⊗ ... ⊗ L (n lần) của

n

. Bổ sung đủ của độ đo này gọi là

độ đo Lebesgue trên \ n , ký hiệu là mn (hoặc m); miền của độ đo này ký hiệu là Ln

(hoặc L ).
Nếu A ∈ BX thì A gọi là tập Borel (trong không gian tôpô X).
Nếu A ∈ Ln thì A gọi là tập đo được Lebesgue, m n (A) gọi là độ đo Lebesgue
của A.
5. Hàm đo được. Hàm đơn giản

Cho hai không gian đo được (X, A ) và ( Y,V ) . Ánh xạ f : X → Y gọi là đo
được (hay (A , V ) - đo được) nếu f −1 (E) ∈ A với mọi E ∈ V .

Hàm f trên không gian (X, A ) gọi là A - đo được nếu nó là ánh xạ ( A, B
được. Hàm f :

n

→

gọi là đo được Lebesgue nếu nó là ( L, B

được Borel nếu nó là ( B n , B

) -đo được.

Cho tập con E của (X, A ) . Ta gọi hàm χΕ xác định bởi

⎧1 nếu x ∈ E
χE ( x) = ⎨
c
⎩0 nếu x ∈ E

là hàm đặc trưng của E.

) -đo

) -đo được; gọi là đo


5

Dễ dàng thấy rằng χΕ đo được nếu và chỉ nếu E ∈ A .
Hàm đo được f trên (X, A ) gọi là hàm đơn giản nếu f chỉ nhận hữu hạn giá trị
khác nhau a1 ,...,a n . Đặt E j = f −1 ( a j ) ta có các tập E j ∈ A , rời nhau và
n

f= ∑ a jχE j .
1

Cách biểu diễn như vậy gọi là cách biểu diễn tiêu chuẩn của hàm đơn giản f.
Nếu f và g là các hàm đơn giản thì f+g và f.g cũng là hàm đơn giản.
§2. TÍCH PHÂN
1. Tích phân hàm đơn giản khơng âm

Cho khơng gian độ đo (X, A, μ) . Ký hiệu L+ là tập các hàm đo được không
n

âm trên X. Nếu ϕ là hàm đơn giản, ϕ có biểu diễn tiêu chuẩn là ϕ = ∑ a jχ E j thì ta gọi
1

tích phân của ϕ theo độ đo μ là
n

∫ ϕdμ = ∑ a μ ( E ) ,
1

j

j

chú ý rằng 0.∞ = 0 và ∫ ϕdμ có thể bằng ∞ . Tích phân ∫ ϕdμ cịn ký hiệu là ∫ ϕ hoặc

∫ ϕ ( x )dμ ( x ) nếu ϕ là hàm của biến x.
Định lý 2. Cho ϕ và ψ là các hàm đơn giản thuộc L+ thì

a) c ≥ 0 thì ∫ cϕ = c ∫ ϕ với mọi c ∈

;

b) ∫ ( ϕ + ψ ) = ∫ ϕ + ∫ ψ ;
c) Nếu ϕ ≤ ψ thì ∫ ϕ ≤ ∫ ψ ;
d) Ánh xạ A

∫ ϕ là một độ đo trên A .

A

Ở đây ∫ ϕ = ∫ ϕ.χ Α .
A

Với mọi f ∈ L+ ta định nghĩa tích phân của f theo độ đo μ là

∫ fdμ = sup{∫ ϕdμ 0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ là hàm đơn giản}.


6

Tích phân ∫ fdμ cịn ký hiệu là ∫ f hoặc ∫ f (x)dμ(x) .
Từ định lý 2 với mọi f ,g ∈ L+ , c ≥ 0 , ta có

∫ cf = c∫ f ,
f ≤ g thì ∫ f ≤ ∫ g.
Định lý 3 (Định lý hội tụ đơn điệu). Nếu {f n } là một dãy trong L+ sao cho
f1 ≤ f 2 ≤ ... và f = lim ∫ f n thì

∫ f = lim ∫ f .
n

Định lý 4. (Bổ đề Fatou). Nếu {f n } là một dãy tùy ý trong L+ . Khi đó

∫ limf

n

≤ lim ∫ f n .

2. Tích phân và hàm khả tích

Cho f là một hàm đo được trên ( X, A,μ ) . Đặt
f + = max {0,f } , f − = max {0,-f } .

Khi đó f + ∈ L+ và f = f + − f − . Nếu có ít nhất ∫ f + hoặc ∫ f − hữu hạn thì ta định

nghĩa tích phân cùa f là

∫f = ∫f

+

− ∫f − .

Trường hợp cả ∫ f + và ∫ f − đều hữu hạn thì f gọi là khả tích. Dễ thấy rằng f khả
tích nếu và chỉ nếu

∫f

< ∞ . Tập các hàm khả tích ký hiệu là L1 hoặc L1 (X) , hoặc

L1 (μ).
Một tính chất P(x) gọi là đúng hầu khắp nơi (h.k.n) x ∈ X nếu tồn tại tập
E ∈ A có độ đo khơng sao cho

{x ∈ X P(x) sai } ⊂ E .
Định lý 5. (Định lý hội tụ bị trội). Cho {f n } là một dãy hàm đo được trên X
thỏa mãn

i) f n → f h.k.n;
ii) Tồn tại g ∈ L1 sao cho f n ≤ g với mọi n. Khi đó f ∈ L1 và ∫ f = lim ∫ f n .
n →∞


7

3. Định lý Fubini

Cho hai không gian độ đo ( X, A, μ ) và ( Y, V , ν ) . Với mọi E ⊂ X × Y và
x ∈ X, y ∈ Y ta gọi x-lát cắt E x và y-lát cắt E y của E là

{

}

{

}

E x = y ∈ Y ( x, y ) ∈ E ; E y = x ∈ X ( x, y ) ∈ E .

Nếu f là một hàm trên X × Y thì ta gọi x-lát cắt f x và y-lát cắt f y của f là
f x ( y ) = f y ( x ) = f ( x, y ) .

Định lý 6. (Định lý Fubini). Cho ( X, A, μ ) và ( Y, V , ν ) là các không gian độ đo
σ - hữu hạn. Khi đó

a) Nếu f ∈ L+ ( X × Y ) thì g ( x ) = ∫ fxdν và h ( y ) = ∫ f y dμ thuộc L+ ( X ) và
L+ ( Y ) tương ứng;

b) Nếu f ∈ L1 ( X × Y ) thì f x ∈ L1 ( ν ) h.k.n x ∈ X , f y ∈ L1 ( μ ) h.k.n y ∈ Y và
các hàm g ( x ) = ∫ f x d ν , h ( y ) = ∫ f y dμ thuộc L1 ( μ ) và L1 ( ν ) tương ứng.

c) Nếu f ∈ L+ ( X × Y ) hoặc f ∈ L1 ( X × Y ) thì

∫ fd ( μ × ν ) = ∫ ( ∫ f ( x, y ) dν ( y ) ) dμ ( x )

= ∫ ( ∫ f ( x, y ) dμ ( x ) ) dν ( y ).
Ta thường viết
được viết là:

∫ fd ( μ × ν )

là

∫ ∫ fdμdν

và đẳng thức trong c) của định lý 6

∫ ( ∫ f ( x, y ) dμ ( x ) ) dν ( y ) = ∫ ∫ f ( x, y ) dμ ( x )dν ( y ) = ∫∫ fdμdν .

4. Các loại hội tụ

Cho không gian độ đo ( X, A,μ ) , dãy hàm {f n } và hàm f trên X.
Dãy {f n } gọi là hội tụ hầu khắp nơi đến f nếu tập

{x ∈ X f (x) → f (x)}
n

là tập con của một tập có độ đo khơng thuộc A (Khái niệm này đã định nghĩa ở đoạn
trên).
Nếu {f n } ⊂ L1 thì ta nói {f n } hội tụ trong L1 dến f nếu

∫f

n

− f → 0 . Như vậy


8

hội tụ trong L1 là hội tụ theo chuẩn . 1 .
Nếu {f n } là dãy các hàm đo được trên X thì ta nói {f n } hội tụ đến f theo độ đo
nếu mọi ε > 0

({

}) = 0 .

lim μ x f n (x) − f (x) ≥ ε
n →∞

§3. KHƠNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH
1. Không gian Lp

Cho không gian độ đo ( X, A,μ ) . Với hàm f đo được trên X và 0 < p ≤ ∞ ta
định nghĩa
f
f

p

∞

=

1
p p

(∫ f )

nếu 0 < p < ∞ ;

{ ({

}) = 0}.

= inf a μ x f ( x ) > a

Ký hiệu
Lp = {f f đo được và f

p

< ∞ }.

Trong Lp ta đồng nhất các hàm bằng nhau h.k.n .
Định lý 7. Với mọi p = [1, ∞ ] , Lp là không gian Banach với chuẩn f

f p.

2. Bất đẳng thức Chebyshev
Định lý 8. (Bất đẳng thức Chebyshev). Nếu f ∈ Lp , ( 0 < p < ∞ ) thì ∀α > 0 ta có

({

})

μ x f (x) > α

p

⎛ f ⎞
≤⎜ p ⎟ .
⎜ α ⎟
⎝
⎠

3. Không gian l p

Trường hợp X = A ≠ 0 , A = P (A) và μ là độ đo đếm
⎧card(E) nếu E hữu hạn
μ(E) = ⎨
nếu E vơ hạn,
⎩ ∞

thì ta ký hiệu Lp ( X, A,μ ) là l p (A). Đặt biệt nếu A = N thì l p ( N ) ký hiệu là l p . Với
mọi x ∈ l p , đặt x(n) = x n . Khi đó có thể viết x = ( x n ) .


9
1
p

⎛
p⎞

Dễ thấy x ∈ l p nếu và chỉ nếu x p = ⎜ ∑ x n ⎟ < ∞;
⎝ 1
⎠
∞

x ∈ l ∞ nếu và chỉ nếu x

∞

= sup x n < ∞.

4. Không gian L2 và l2

Với mọi f, g ∈ L2 , đặt
f ,g = ∫ fg;

với mọi x = ( x n ) , y = ( y n ) ∈ l2, đặt
∞

x, y = ∑ x n y n .
1

ta có các tích vơ hướng trên L2 và l2. Chuẩn sinh bởi các tích vơ hướng này đủ, do vậy
L2 và l2 là không gian Hilbert.
§4. ĐỘ ĐO RADON
1. Độ đo có dấu. Độ đo phức

Cho ( X, A ) là một không gian đo được. Ta gọi độ đo có dấu trên A là một
hàm ν : A →

thỏa mãn các điều kiện

i) ν(∅) = 0 ;
ii) ν chỉ nhận nhiều nhất một trong hai giá trị ∞ và −∞ ;
iii) ν cộng tính đếm được.
Cho ν là một độ đo có dấu trên X. Tập con E ∈ A gọi là tập dương nếu
ν ( F ) ≥ 0 với mọi F ∈ A, F ⊂ E; gọi là tập âm nếu ν ( F ) < 0 với mọi F ∈ A, F ⊂ E;

gọi là tập không nếu ν ( F ) = 0 với mọi F ∈ A, F ⊂ E.
Định lý 9. (Định lý phân tích Hahn). Cho ν là một độ đo có dấu trên ( X, A ) .
Khi đó tồn tại tập dương P và tập âm N sao cho P ∪ N = X, P ∩ N = ∅ . Nếu cặp P’,

N’ cũng có tính chất đó thì P Δ P ' = N Δ N ' là tập không theo ν .
Cặp (P, N) thỏa mãn định lý 9 gọi là một phân tích Hahn của ν . Với mọi
E ∈ A đặt


10

ν + (E) = ν(E ∩ P),
ν − (E) = −ν (E ∩ N),
ν (E) = ν + (E) + ν − (E).

Dễ thấy ν + , ν − và ν là các độ đo dương trên A , các độ đo này khơng phụ
thuộc vào phân tích Hahn.
Các độ đo ν + , ν − , ν gọi lần lượt là biến phân dương, biến phân âm và biến
phân tồn phần của ν .

Ta có ν = ν + − ν − , tức là ν(E) = ν + (E) − ν − (E) với mọi E ∈ A .
Độ đo ν gọi là hữu hạn hay σ -hữu hạn nếu các độ đo ν + và ν − có tính chất

tương ứng.
Ta gọi một độ đo phức trên không gian đo được

( X, A )

là một hàm

ν : A → C thỏa mãn các điều kiện

i) ν(∅) = 0;
∞

⎛∞ ⎞
ii) Nếu {E j} là dãy các tập rời nhau trong A thì ν ⎜ ∪ E j ⎟ = ∑ ν (E j ), ở đây
⎝1 ⎠ 1

chuỗi ở vế phải hội tụ tuyệt đối.
2. Độ đo Radon

Cho X là một không gian tôpô Hausdorff compact địa phương, μ là một độ đo
Borel trên X sao cho μ(K) < ∞ với mọi tập con compact K của X.
Cho μ là độ đo Borel trên X và E ∈ BX . Khi đó μ gọi là chính quy ngồi trên
E nếu
μ(E) = inf {μ(U) U ⊃ E, U mở

},

μ gọi là chính quy trong trên E nếu
μ(E) = sup {μ(K) K ⊂ E, K compact

}.

Nếu μ đồng thời chính quy ngồi và chính quy trong trên mọi E ∈ BX thì μ gọi
là độ đo chính quy.
Ta gọi một độ đo Radon trên X là một độ đo Borel hữu hạn trên mọi tập con
compact và chính quy.


11

Ta gọi một độ đo Radon có dấu trên X là một độ đo Borel có dấu mà biến
phân dương và biến phân âm của nó đều là độ đo Radon.
Ta gọi một độ đo Radon phức là một độ đo Borel phức mà phần thực và phần
ảo của nó đều là độ đo Radon có dấu.
Ký hiệu tập các độ đo Radon phức trên X là M(X) . Với mỗi μ ∈ M(X) ta
định nghĩa
μ = μ (X) ,

ở đây μ là biến phân toàn phần của μ .
Định lý 10. Nếu μ là độ đo Borel phức thì μ là độ đo Radon phức nếu và chỉ
nếu μ là độ đo Radon. Hơn nữa M(X) là một không gian định chuẩn với chuẩn
μ

μ .

Định lý 11. Giả sử μ n , μ ∈ M( ) và đặt Fn (x) = μn ( ( −∞, x ]) , F(x) = μ ( ( −∞, x ]) .
Khi đó nếu sup n μ n < ∞ và Fn (x) → F(x) với mọi x mà F liên tục thì μ n → μ .
§5. GIẢI TÍCH FOURIER
1. Hình xuyến Tn

Hàm f trên \ n gọi là tuần hoàn (chu kỳ 1) nếu f(x+k) = f(x) với mọi k ∈ Z n .
Hàm tuần hoàn được xác định khi biết thu hẹp của nó trên hình lập phương đơn vị
n

⎡ 1 1⎞
Q = ⎢ − , ⎟ . Hàm tuần hoàn cũng có thể xét như là hàm trên khơng gian thương
⎣ 2 2⎠
\ n / Z n và gọi là hình xuyến n chiều. T n là compact, Hausdorff. Có thể đồng nhất T n

với tập các điểm z = ( z1 ,..., z n ) ∈ C n , z j = 1 với j =1,…,n bởi ánh xạ

( x1 ,..., x n ) → ( e2 πix ,...,e2 πix
1

n

).

Vì vậy trên T n có một độ đo cảm sinh bởi độ đo Lebesgue trên Q . Ta sẽ
thường xuyên xét Tn là một không gian độ đo với độ đo nói trên.
Định lý 12. Nếu ϕ là một hàm đo được trên \ n (trên Tn ) sao cho ϕ(x + y) =
ϕ(x).ϕ(y) và ϕ = 1 thì tồn tại ξ ∈

n

( ξ ∈ Z ) sao cho ϕ(x) = e
n

2 πix.ξ

.


12

2. Biến đổi Fourier

Với mọi f ∈ L2 (Tn ) ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là f ∈l2( Z n ) xác định
bởi
f (K) = f , E K =

∫ f (x)e

−2 πiK.x

dx.

Tn

Với mọi f ∈ L1 (

n

) ta gọi biến đổi Fourier của f là
Ff ( ξ ) = f ( ξ ) =

∫ f (x)e

−2 πiξx

dx.

n

Định lý 13. Nếu a >0 và f (x) = e

−πa x

−

2

n
2

thì

f (ξ) = a e

−π ξ
a

2

.

3. Giải tích Fourier của độ đo

Xét không gian các độ đo Radon phức M (

n

) . Nhúng L ( ) vào M ( )
1

n

n

bằng cách đồng nhất f ∈ L1 với độ đo dμ = fdm (tức độ đo μ(E) = ∫ fdm) .
E

Cho f và g là hai hàm đo được trên

n

. Ta gọi tích chập của f và g là hàm

f ∗ g được xác định bởi
f ∗ g ( x ) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy .

Giả sử μ , v ∈ M (

n

) . Ta định nghĩa μ × ν ∈ M (

d ( μ × ν )( x, y ) =

n

×

n

) bởi

dμ
dν
(x)
(y)d ( μ × ν ) (x, y).
dμ
dν

Ta gọi tích chập của μ và ν là độ do μ * v ∈ M (

n

) xác định bởi

μ ∗ ν ( E ) = μ ∗ ν ( A −1 ( E ) ) ,

ở đây A :

n

∗

n

→

n

là ánh xạ cộng A ( x, y ) = x + y . Như vậy ta cũng có
μ ∗ v ( E ) = ∫∫ χ E ( x + y ) dμ ( x ) dν ( y ).

Định lý 14. a) Tích chập các độ đo có tính chất giao hoán và kết hợp;

b) Với mọi hàm h đo được Borel và bị chặn ta có

∫ h d(μ * ν) = ∫∫ h(x + y)dμ(x)dν(y);


13

c) μ * ν ≤ μ . ν ;
d) Nếu dμ = fdm và dν = gdm thì d ( μ * ν ) = (f * g)dm.
Định lý 15. Nếu

f ∈ L(

n

) , 1 ≤ p ≤ ∞ và

μ∈M(

n

)

f * μ(x) = ∫ f (x − y)dμ(y) tồn tại với h.k.n x, f * μ ∈ Lp và f * μ p ≤ f

và h.k.n theo độ đo Lebesgue).

thì tích phân
p

μ (Ở đây Lp


14

Chương 2.
LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Độ đo P trên tập Ω gọi là độ đo xác suất nếu P(Ω) = 1 . Nếu P là độ đo xác suất
thì khơng gian độ đo (Ω, B, P) gọi là một không gian xác suất.
Cho (Ω, B, P) là một không gian xác suất. Khi đó các tập con B -đo được của
Ω gọi là các biến cố. Với mọi A ∈ B , P(A) gọi là xác suất của biến cố A. Một hàm X
đo được trên Ω gọi là một biến ngẫu nhiên. Hội tụ h.k.n theo P gọi là hội tụ hầu chắc
chắn. Hội tụ theo P gọi là hội tụ theo xác suất.

Nếu X là một biến ngẫu nhiên và X ∈ Lp = Lp (Ω, P) thì X gọi là có mơmen cấp
p hữu hạn.
Cho biến ngẫu nhiên X. Ta gọi kỳ vọng của X là
E ( X ) = ∫ XdP .

Điều kiện để X có kỳ vọng là X ∈ L1 .
Cho X ∈ L2 . Ta gọi phương sai của X là số
σ 2 ( X ) = ∫ X − E ( X ) dP,
2

độ lệch của X là số
σ ( X ) = σ2 ( X ) .

Vì P(Ω) = 1 nên X ∈ L2 thì X ∈ L1 . Do đó mọi X ∈ L2 đều có phương sai.
Ta cũng thấy rằng σ ( X ) đo khoảng cách giữa X và trung bình (kỳ vọng) của X.
Cho ( Ω, B, P ) là một không gian xác suất, ( Ω ', B ') là một không gian đo
được, ϕ : Ω → Ω ' là một ánh xạ ( B, B ') - đo được. Với mọi E ∈ B ' đặt
Pϕ ( E ) = P ( ϕ−1 ( E ) ) .

Bổ đề 1. Pϕ là một độ đo trên Ω , gọi là độ đo ngược cảm sinh bởi P.


15

Chứng minh. Ta có Pϕ ( ∅ ) = P ( ϕ−1 ( ∅ ) ) = P ( ∅ ) = 0 . Nếu {A i }1 là dãy các
∞

tập rời nhau trong B ' thì {ϕ−1 ( A i )} là dãy các tập rời nhau trong B , do đó
∞

1

⎛ ⎛∞
⎛∞
⎞

Pϕ ⎜ ∪ A i ⎟ = P ⎜ ϕ−1 ⎜ ∪ A i
⎝ 1
⎠
⎝ ⎝ 1

⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
⎛ ∞ −1
⎞
= P ⎜ ∪ ϕ ( Ai ) ⎟
⎝ 1
⎠
∞

(

= ∑ P ϕ−1 ( A i )
1

)

∞

= ∑ Pϕ (A i ).
1

Vậy Pϕ là độ đo trên B ' .
Định lý 1. Nếu f : Ω ' → R là một hàm đo được thì

∫

Ω'

fdPϕ = ∫ ( f ϕ )dP
Ω

khi cả hai vế xác định.
Chứng minh. Nếu f = χ E , E ∈ B ' thì đẳng thức đúng theo định nghĩa của Pϕ .

Từ đó, do tính chất tuyến tính đẳng thức đúng với các hàm đơn giản trên Ω ' . Vì các
hàm đo được là giới hạn của một dãy các hàm đơn giản nên đẳng thức đúng cho
trường hợp tổng quát.
Nếu X là một biến ngẫu nhiên trên Ω , thì PX là một độ đo xác suất Borel trên
, được gọi là phân phối của X . Hàm
F ( t ) = PX ( ( −∞, t ) ) = P ( X < t )

gọi là hàm phân phối của X .
Tổng quát, nếu X1 ,..., X n là những biến ngẫu nhiên trên Ω , thì có thể xét

( X1 ,..., X n )

như là một ánh xạ từ Ω →

n

. Độ đo P( X1 ,...,Xn ) trên \ n gọi là phân phối

đồng thời của X1 ,..., X n .
Theo định lý 1 ta có

EX = ∫ tdPX ( t ) ;
σ2 ( X ) = ∫ ( t − E ( X ) ) dPX ( t ) ;
2

E ( X + Y ) = ∫ ( t + s ) dP( X,Y ) ( t,s ).


16

Ta sẽ giải thích trường hợp E ( X ) = ∫ tdPX ( t ) .
Ta có cơng thức tổng quát của E ( X ) = ∫ X ( t ) dP ( t ) . Áp dụng định lý 1 ta có
Ω

f:

→ ,f ( t ) = t là một hàm đo được. Với X : Ω →

∫ f ( t ) dP ( t ) = ∫ ( f
x

Ω

, t = 1X ta có

X ) dPx ( t ) = ∫ ( t X ) dPX ( t ) = ∫ XdPX ( t ) = E ( X ) (đpcm).

Các trường hợp cịn lại hồn toàn tương tự.
Nếu {X α } là một họ các biến ngẫu nhiên sao cho PXα = PXβ , ∀α, β thì các biến
ngẫu nhiên X α được gọi là cùng phân phối. Trong trường hợp này, kỳ vọng E ( X ) và
phương sai σ2 ( X ) của các X α là độc lập với α .

Cho không gian xác suất ( Ω, B, P ) và biến cố E sao cho P ( E ) > 0 . Khi đó hàm
PE ( F ) =

P ( E ∩ F)
P(E)

là một độ đo xác suất trên Ω , gọi là xác suất có điều kiện trên E, PE ( F ) là xác suất của
biến cố F khi biến cố E đã xảy ra.
Nếu PE ( F ) = P ( F ) thì xác suất của F không phụ thuộc vào E xảy ra hoặc
không xảy ra, ta nói F là độc lập với E. Điều đó cũng tương đương với
P ( E ∩ F) = P ( E ) P ( F) .

Như vậy F độc lập đối với E thì E cũng độc lập đối với F. Điều này cũng có
nghĩa cả khi P ( E ) = 0 .
Họ các biến cố {E α }α∈A gọi là độc lập nếu

(

)

N

( )

P E α1 ∩ ... ∩ E αn = ∏ P E α1
1

với mọi α1 ,..., α n ∈ A, n ∈ N .
Chú ý rằng tính độc lập ở đây chặt chẽ hơn tính đơi một độc lập của các biến
cố.

( )

Ví dụ 1. Giả sử Ω = {a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } , B = P (Ω), P {a j} =

{a1 ,a 2 } , A 2 = {a 2 ,a 3} , A3 = {a 3 ,a 4 }. Dễ thấy

1
với mọi j, A1 =
4


17

P(Ai .A j ) = P(A i ).P(A j )
vói mọi i ≠ j nên A1 , A 2 , A 3 đôi một độc lập.
Tuy nhiên chúng không độc lập vì

1
= P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ≠ P(A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 0 .
8
Họ các biến ngẫu nhiên {X α }α∈A gọi là độc lập trên Ω nếu họ các biến cố

{Xα ∈ Bα } = X α−1 ( Bα ) là độc lập với mọi tập Borel Bα trong

.

Để kiểm tra điều này, với mọi α1 ,..., α n ∈ A , ta viết X j = X α j . Khi đó

(

P ( X1−1 ( B1 ) ∩ ... ∩ X −n1 ( Bn ) ) = P ( X1 ,..., X n )

−1

( B1 × ... × Bn ) )

= P( X1 ,...,Xn ) ( B1 × ... × Bn ) .
Vậy

∏ P ( X ( B )) = ∏ P ( B )
n

n

−1
j

j

1

1

Xi

j

⎛ n
⎞

= ⎜ ∏ PX j ⎟ ( B1 × ... × Bn ) .
⎝ 1
⎠

Vì B j là các tập Borel tùy ý trong

, nên đẳng thức trên xảy ra nếu và chỉ nếu
n

P( X1 ,...,Xn ) = ∏ PX j .
1

Suy ra: Các biến ngẫu nhiên X α độc lập nếu và chỉ nếu phân phối đồng thời
của các biến cố bằng tích của các phân phối của các biến riêng lẻ.
Định lý 2. Cho {X nj :1 ≤ j ≤ j ( n ) ,1 ≤ n ≤ N} là các biến ngẫu nhiên độc lập,
fn :

j( n )

→

là các hàm đo được Borel với 1 ≤ n ≤ N . Khi đó các biến ngẫu nhiên

(

)

Yn = f n X n1 ,..., X nj( n ) , 1 ≤ n ≤ N

là độc lập.

(

)

Chứng minh. Đặt X n = X n1 ,..., X nj( n ) . Với các tập Borel B1 ,..., BN ta có
Yn−1 ( Bn ) = X −n1 ( f n−1 ( Bn ) ) .

Vì vậy