Lý 12 các bài toán trong dao động điều hòa

HDeducation

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Viết phương trình dao động điều hịa
1. Phương pháp giải
Phương trình tổng quát:

x = A cos ( ωt + ϕ )
Tìm biên độ A:
A=

L S v max a max
v2
= =
= 2 = x2 + 2
2 4
ω
ω
ω

Tìm tần số góc ω:

Ví dụ: Một vật thực hiện dao động điều hòa theo
trục Ox với tần số f = 1 Hz. Tại thời điểm bắt đầu
khảo sát, người ta xác định được vật có li độ x =
5cm và vận tốc v = 10π cm/s khi đang chuyển
động theo chiều dương. Tìm phương trình dao động
của vật.
Hướng dẫn

Tìm tần số góc và biên độ:

ω = 2πf = 2π.1 = 2π ( rad / s )

(10π ) = 5 2cm
v2
= 52 +
2
2
ω
( 2π )
2

ω=

v
v max
a max
2π
=
=
=
= 2πf
A
A
T
A2 − x2

Tìm pha ban đầu φ:
Cách 1:

Tại thời điểm ban đầu (t = 0), ta có:

 x ( t = 0 ) = A cos ϕ

 v ( t = 0 ) = −ωA sin ϕ

2
a ( t = 0 ) = −ω A cos ϕ

A = x2 +

Tìm pha ban đầu φ:

Cách 1:
Tại thời điểm ban đầu (t = 0), ta có:

 x ( t = 0 ) = 5 2 cos ϕ = 5cm

 v ( t = 0 ) = −5 2.2π.sin ϕ = 10π cm / s

( −π ≤ ϕ ≤ π )

1
π

cos ϕ = 2 ⇒ ϕ = ± 4
π
⇒
⇒ϕ=−
4

sin ϕ = − 1 ⇒ ϕ = − π

4
2

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa v và φ

Cách 2:

Vật chuyển động theo chiều dương trục Ox:

x ( t = 0 ) = 5 2 cos ϕ = 5 ⇒ ϕ = ±

Giải 2 trong 3 phương trình trên để tìm φ

v>0⇒ϕ<0

Vật chuyển động theo chiều âm trục Ox:

Do: v ( t = 0 ) = 10π > 0 ⇒ ϕ < 0 ⇒ ϕ = −

v<0⇒ϕ>0

Cách 3:
Sử dụng máy tính fx – 570ES PLUS
Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn hàm phức CMPLX
Bước 2: Chọn chế độ nhập góc (pha ban đầu) dưới
dạng độ hoặc rad. Nếu pha ban đầu có đơn vị là
radian nên ta sẽ chọn cách nhập theo rad, muốn vậy

π
4
π
4

Bấm máy chuyển chế độ số phức và rad theo bước
1 và bước 2. Thực hiện thao tác bước 3:
5 −

10π
SHIFT ENG SHIFT 2 3 =
2π

HDedu - Page 79


HDeducation

chỉ cần bấm Shift MODE 4. Trên màn hình sẽ thể
1
Hiển thị kết quả: 5 2∠ − π
hiện R.
4

Bước 3: Bấm hàm x 0 −

vo
i
ω

Tóm lại phương trình dao động của vật có dạng:

π

x = 5 2 cos  2πt −  cm
4


2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một thực vật hiện dao động điều hòa theo trục Ox với tần số góc ω = 2π rad/s. Tại thời điểm
ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x 0 = 2,5cm và vận tốc v0 = 5π 3 cm/s. Phương trình dao động của vật
là

π

A. x = 5cos  2πt −  cm
3

π

C. x = 2,5cos  2πt +  cm
3


π

B. x = 5cos  2πt +  cm
3

π


D. x = 10 cos  2πt −  cm
3


Ví dụ 2: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng, gồm một vật nặng m = 100g và một lị xo có khối lượng
khơng đáng kể, có độ cứng k = 40 N/m. Kéo vật nặng xuống dưới, cách vị trí cân bằng một đoạn bằng
5cm rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng thẳng
đứng lên trên, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động. Cho g = 10 m/ s 2 . Phương trình dao động của
vật là:

A. x = 5cos ( 20t ) cm
π

C. x = 5cos  20t +  cm
2


B. x = 5cos ( 20t + π ) cm
π

D. x = 5cos  20t −  cm
2


Ví dụ 3: Con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền
vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/ s 2 . Phương trình dao động của con lắc
là:

A. s = 20sin 7t (cm)

π

C. s = 20sin  7t −  (cm)
2


π

B. s = 2 cos  7t +  (cm)
2

π

D. s = 2 cos  7t −  (cm)
2


HDedu - Page 80


HDeducation

3. Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ 5cm, chu kì là 2s. Tại thời điểm t = 0,
vật đi qua vị trí cân bằng O theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:
π

A. x = 5cos  πt −  cm
2


π

B. x = 5cos  2πt −  cm
2


π

C. x = 5cos  2πt +  cm
2


π

D. x = 5cos  πt +  cm
2


Câu 2. Khi treo vật m vào lị xo thì lị xo dãn ∆l0 = 25cm . Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống theo phương
thẳng đứng một đoạn 20cm rồi bng nhẹ để vật dao động điều hịa. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua
vị trí cân bằng theo chiều dương hướng xuống. Lấy g = π2 ( m / s 2 ) . Phương trình chuyển động của vật có
dạng nào sau đây?

π

A. x = 20 cos  2πt +  cm
2


π

B. x = 20 cos  2πt −  cm
2


π

C. x = 10 cos  2πt +  cm
2


π

D. x = 10 cos  2πt −  cm
2


Đáp án

1-A

2–B

HDedu - Page 81


HDeducation

Dạng 2. Bài toán thời gian trong dao động điều hịa

Bài tốn 1: Tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x 2 .
1. Phương pháp giải
Đối với bài tốn tìm thời gian trong dao động điều Ví dụ: Một vật dao động trên trục Ox với phương
hịa có nhiều cách giải khác nhau, dưới đây là cách
π

trình: x = 5cos  4πt −  cm. Tìm khoảng thời gian
giải tổng quát áp dụng cho mọi bài tốn. Sau đó là
3

các ví dụ với các cách giải nhanh.
ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = −2,5 cm đến li độ

x 2 = 2,5 3 cm?
Bước 1: Sử dụng đường tròn lượng giác xác định vị
trí chất điểm trên vịng trịn tương ứng với hai li độ Hướng dẫn
x1 và x 2 (mỗi li độ sẽ cho 1 vị trí ở nửa trên và Bước 1:
Li độ x1 cho 2 vị trí M1 ; M 2
nửa dưới vòng tròn).
Li độ x 2 cho 2 vị trí N1 ; N 2

Bước 2: Chọn vị trí thỏa mãn điều kiện sao cho góc Bước 2:
quét của bán kính quay từ li độ x1 đến li độ x 2 là Theo quy ước chiều chuyển động của chất điểm
(ngược chiều kim đồng hồ) và để góc quét nhỏ nhất
nhỏ nhất và vật chuyển động theo một chiều.
nên phải chọn M1 và N1 .
Bước 3: Xác định góc quét

Bước 3:

Xác định góc quay:


sin α1 =


sin α =
2



sin α1 =

sin α =
2


x1
⇒ α1
∆ϕ
A
⇒ ∆ϕ = α1 + α 2 ⇒ ∆t =
ω
x2
⇒ α2
A

x1 2,5 1
π
=

= ⇒ α1 =
A
5
2
6
x 2 2,5 3
π
3
=
=
⇒ α2 =
A
5
2
3

∆ϕ = α1 + α 2 =

π π π
+ =
6 3 2

π
∆ϕ 2 1
⇒ ∆t =
=
= (s)
ω 4π 8

HDedu - Page 82

HDeducation

Cách giải nhanh: Gặp bài tốn có các li độ đặc biệt

A A 2 A 3
;±
;±
; ± A thì sử dụng trục
2
2
2
phân bố thời gian để tính.
như 0; ±

Áp dụng giải ví dụ trên:

x1 = −2,5 = −

A 3
T T T 2π 1
A
; x 2 = 2, 5 3 =
⇒t A A 3 =t A +t A 3 = + = =
= (s)
− →O
O→
− →
2

2
12 6 4 4.ω 8
2
2
2
2

2. Ví dụ minh họa
π

Ví dụ 1: Một vật dao động trên trục Ox với phương trình: x = 4cos  2t −  cm. Khoảng thời gian ngắn
6


nhất để vật đi từ vị trí x = 2cm đến vị trí có gia tốc a = −8 2cm / s 2 là:

A.

π
s
24

B.

π
s
2, 4

C. 2, 4π s

Ví dụ 2: Thời gian ngắn nhất của chất điểm đi từ vị trí có li độ bằng −
A.

T
4

B.

3T
4

C.

7T
24

D. 24π s

A 3
A 2
đến
là:
2
2
D.

5T
12

HDedu - Page 83

HDeducation

Bài tốn 2: Tìm li độ trước hoặc sau thời điểm xét một khoảng ∆t .
1. Phương pháp giải
Xét tỉ số:

Ví dụ: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hịa với
chu kì T. Tại thời điểm t1, vật có li độ x1 = 2 cm và

∆t
=k
T
2

 x = x1
+ TH1: k là số nguyên chẵn ⇒  2
 v 2 = v1
 x = − x1
+ TH2: k là số nguyên lẻ ⇒  2
 v 2 = − v1
+ TH3: k khơng thuộc trường hợp trên thì sử dụng
phương pháp biến đổi lượng giác.

đang có xu hướng giảm. Xác định trạng thái của vật
sau đó 4,5T.
Hướng dẫn
Xét tỉ số:

∆t 4, 5T
=
= 9 là số nguyên lẻ nên
T
T
2
2

 x 2 = − x1 = −2cm
li độ âm và đang tăng.

 v 2 = − v1 > 0

2. Ví dụ minh họa

π

Ví dụ 1: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hịa theo phương trình: x = 5cos  4πt −  cm. Tại thời
3

7
điểm t1 , vật có li độ 2,5 2 cm và đang có xu hướng giảm. Li độ của vật sau thời điểm đó
s là
48
A. 2,5 cm

B. −2, 5 2 cm

C. −2, 5 3 cm

D. −2, 5 cm

HDedu - Page 84


HDeducation

Bài toán 3: Thời điểm vật qua li độ x 0 lần thứ n.
1. Phương pháp giải
a) Thời gian vật qua vị trí có li độ x 0 lần thứ n
(khơng tính đến chiều chuyển động)

Ví dụ: Một vật dao động điều hịa theo phương
trình x = 10 cos (10πt ) cm, thời điểm vật qua vị trí
x = 5 cm lần thứ n?
a) n = 2019

b) n = 2018

Hướng dẫn
T=
n −1
Với n lẻ: t n = t1 +
T
2
t1 là thời gian vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí có li

2π 2π
=
= 0, 2 (s)

ω 10π

a) Do n = 2019 lẻ áp dụng: t n = t1 +

n −1
T
2

Sử dụng trục phân bố thời gian để tìm t1

độ x 0 lần thứ nhất.

t1 = t
t 2019 =
Với n chẵn: t n = t 2 +

n−2
T
2

A→

A
2

=

T
6

0, 2 2019 − 1
1211
(s)
+
.0, 2 =
6
2
6

b) Do n = 2018 chẵn áp dụng: t n = t 2 +

n−2
T
2

t 2 là thời gian vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí có li Sử dụng trục phân bố thời gian để tìm t 2

độ x 0 lần thứ hai.

t 2 = t A →− A + t − A →0 + t

t 2018 =

A
0→
2

=

T T T 5T

+ + =
2 4 12 6

5.0, 2 2018 − 2
6053
(s)
+
.0, 2 =
6
2
30

HDedu - Page 85


HDeducation

b) Thời gian vật qua vị trí có li độ x 0 lần thứ n (có
xét đến chiều chuyển động)

Ví dụ: Một dao động điều hịa có phương trình

π

x = 4 cos  4πt +  cm. Thời điểm vật qua vị trí x =
6

t1 là thời gian kể từ vị trí ban đầu đến vị trí x 0 theo 2 cm theo chiều dương lần thứ 2019?
Hướng dẫn
chiều xác định lần đầu tiên.

t n = t1 + ( n − 1) T

T=

2π 2π
=
= 0, 5 (s)
ω 4π

π

 x 0 = 4 cos 6 = 2 3cm
Tại t = 0: 
Do ϕ = π > 0 ⇒ v < 0
0

6
Sử dụng trục thời gian:

t1 = t A

3
2

=

→0

+ t 0→− A + t − A →0 + t

0→

A
2

T T T T 3T
+ + + =
= 0,375 (s)
6 4 4 12 4

t 2019( +) = 0,375 + ( 2019 − 1) .0, 5 =

8075
(s)
8

c) Thời gian vật cách vị trí cân bằng một khoảng Ví dụ: Một dao động điều hịa dọc theo trục Ox với
π
x 0 lần thứ n.

phương trình: x = 4 cos  2πt +  cm. Tính từ lúc
3

Khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng x 0 , tức là
bắt đầu dao động, vật cách vị trí cân bằng một
khi đó có 2 khả năng sau xảy ra x = x 0 hoặc
khoảng 2 3 cm lần thứ 2019 vào thời điểm nào?
x = − x 0 . Điều này có nghĩa là trong 1 chu kì, sẽ có
Hướng dẫn

4 lần vật cách vị trí cân bằng một khoảng x 0 . Để
2019 : 4 = 504 dư 3 nên b = 3
xác định thời điểm lần thứ n vật cách vị trí cân
Ta có: t 2019 = t1 + 504T
bằng một khoảng x , ta làm như sau:
0

Bước 1: Lấy n : 4 = a dư b. Trong đó, b nhận 1
trong 4 giá trị là 1, 2, 3 hoặc 4.
Tại t = 0:
Ví dụ, nếu n = 21 thì 21 : 4 = 5 dư 1.
Bước 2: t n = t b + aT với t b là thời gian vật cách vị

π

 x 0 = 4 cos 3 = 2cm

ϕ = π > 0 ⇒ v < 0
0

3

trí cân bằng một khoảng x 0 lần thứ b.

HDedu - Page 86


HDeducation

T=

2π 2π
=
= 1 (s)
ω 2π

t1 = t 2→0 + t 0→− A + t − A →0 + t

=

0→

A 3
2

T T T T 3T 3
+ + + =
= (s)
12 4 4 6
4 4

t 2019 =

3
2019
+ 504.1 =
(s)
4
4

2. Ví dụ minh họa
π

Ví dụ 1: Cho một vật dao động điều hịa có phương trình chuyển động: x = 10 cos  2πt +  cm. Vật đi
6

qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần đầu tiên vào thời điểm

A.

1
3

B.

1
6

C.

2
3

D.

1
12

π


Ví dụ 2: Cho một vật dao động điều hịa có phương trình chuyển động: x = 10cos  2πt −  cm. Vật đi
6

qua vị trí cân bằng lần thứ 2018 vào thời điểm
A.

3019
s
3

B.

6053
s
6

C.

3016
s
3

D.

3020
s
3

HDedu - Page 87

HDeducation

Bài toán 5: Thời gian vật chuyển động trong khoảng giá trị của li độ, vận tốc hoặc gia tốc
1. Phương pháp giải

Thời gian li độ của vật có độ lớn khơng lớn hơn
một giá trị x 0 nào đó, tức là x ≤ x 0

⇒ − x 0 ≤ x ≤ x 0 ⇒ ∆t =
Với: cos ϕ0 =

∆ϕ 2π − 4 ϕ0
=
ω
ω

x0 
π
;  ϕ0 < 
A 
2

2. Ví dụ minh họa

π

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa dọc theo trục Ox với phương trình x = 10 cos  10πt −  cm. Trong
3


một chu kì, khoảng thời gian vật cách vị trí cân bằng một đoạn khơng vượt q 5 3 cm là:
A.

2
s
15

B.

2
s
30

C.

3
s
30

D.

5
s
30

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 5cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian
T
để vật có độ lớn gia tốc khơng vượt quá 100 cm/ s 2 là . Lấy π2 = 10 . Tần số dao động của vật là
3
A. 4 Hz

B. 3 Hz

C. 2 Hz

D. 1 Hz

HDedu - Page 88


HDeducation

Bài toán 6: Đếm số lần vật đi qua li độ x 0 trong khoảng thời gian từ t1 đến t 2 .
Chú ý:

Quãng đường vật đi được trong 1T là: 4A
Quãng đường vật đi được trong

T
là: 2A
2

Ví dụ: Chất điểm dao động điều hòa với biên độ
4cm và chu kì T. Trong khoảng thời gian 1 chu kì
chất điểm qua vị trí x = 2 cm bao nhiêu lần?

Trong 1 chu kì vật qua vị trí x 0 2 lần (1 lần theo Hướng dẫn
chiều dương, 1 lần theo chiều âm). Nếu bài tốn
khơng xét đến chiều chuyển động thì vật qua x 0 là
2 lần, cịn xét đến chiều chuyển động thì vật qua x 0

là 1 lần. Chú ý: Trong 1T vật qua mỗi biên 1 lần.

Trong khoảng thời gian 1 chu kì chất điểm qua vị
trí x = 2 cm 2 lần.

1. Phương pháp giải

Ví dụ: Một dao động điều hòa dọc theo trục Ox với
π
2

pt x = 6 cos  4πt −  (cm). Từ thời điểm t1 = s
3
3

37
đến thời điểm t 2 =
s, hãy cho biết số lần vật đi
12
qua vị trí có li độ x = −1 cm?

t −t
Bước 1: Lập tỉ số: 2 1 = n, m .
T

Hướng dẫn:

37 2
−
t 2 − t1 12 3 29

=
=
= 4,83
Ta
có:
Nếu m = 0 thì: Số lần vật đi qua x 0 : N = 2.n hoặc
2π
T
6
N = 1.n (xét chiều chuyển động)
4π
Nếu m ≠ 0 thì: Số lần vật đi qua x 0 là:
N = 2n + N d− hoặc N = 1n + N d−

Bước 2: Xác định vị trí điểm M trên vòng tròn, ứng
với thời điểm t1 (hoặc trục thời gian).

Như vậy trong khoảng thời gian này, vật thực hiện
được hơn 4 chu kì, ta có thể viết:

( t 2 − t1 ) = 4.T + t d−

và số lần vật đi qua vị trí

x = −1 cm là N = 2.4 + N d−

Bước 3: Xác định vị trí điểm N trên đường tròn ứng Thay t1 và t 2 vào các phương trình x và v ta được:
với thời điểm t 2 (hoặc trục thời gian).
 x1 = 3cm
 x = 6cm

và  2

 v1 < 0
 v2 = 0
Bước 4: Vẽ hình mơ tả trạng thái ( x1 , v1 ) và

( x 2 , v 2 ) rồi dựa vào hình vẽ để tính số lần N d− vật
còn đi qua x 0 trong phần lẻ của chu kì.

Suy ra: N d− = 2 lần
⇒ N = 2.4 + 2 = 10 lần

2. Ví dụ minh họa
2π 

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5 cos  πt +
 cm. Số lần vật
3 

26,5
qua vị trí x = 2 cm theo chiều âm từ thời điểm t1 = 2s đến thời điểm t 2 =
s là bao nhiêu?
3

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

HDedu - Page 89

HDedu - Page 159


HDeducation

Bài toán 7: Thời gian nén, dãn của con lắc lị xo.
Ví dụ: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm một
vật nhỏ có khối lượng m = 250g treo phía dưới một
lị xo nhẹ có k = 100 N/m. Từ vị trí cân bằng, người
ta kéo vật xuống một đoạn sao cho lò xo dãn 7,5
cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hịa. Tìm tỉ số
giữa thời gian lò xo dãn và thời gian lò xo nén
trong một chu kì dao động là?

1. Phương pháp giải:

Hướng dẫn:
Tại vị trí cân bằng, lị xo dãn một đoạn ∆l0
∆l 0 =

mg 0, 25.10
=
= 0, 025 m = 2,5 cm
k
100

Tại thời điểm ban đầu, lò xo dãn 7,5cm, do đó vật
sẽ cách vị trí cân bằng (li độ) một đoạn
x = 7,5 − 2,5 = 5, 0 cm.

A ≥ ∆l 0

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian, ta có:
A = x2 +

v2
= 52 + 02 = 5 cm
2
ω

Thời gian lị xo nén một chu kì: ∆t nÐn = 2

cos ∆ϕ =

∆ϕ
ω

∆l0 2,5
π
=
→ ∆ϕ =
A 5, 0
3

→ ∆t nÐn = 2

∆ϕ 2π
=
ω 3ω

Thời gian lò xo dãn trong một chu kì:
Thời gian lị xo nén: ∆t = 2

∆ϕ
ω

Thời gian lò xo dãn: T − ∆t =
Với: cos ∆ϕ =

2 ( π − ∆ϕ )
ω

∆l0
A

∆t d·n =

→

2π − 2∆ϕ 4π
=
ω
3ω

∆t d·n
∆t nÐn

4π
= 3ω = 2
2π
3ω

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng lị xo dãn một đoạn ∆l0 . Kích thích để quả
nặng dao động điều hịa theo phương thẳng đứng với chu kì T. Thời gian lị xo bị dãn trong một chu kì là
2T
. Biên độ dao động của vật là:
3

A. A =

3
∆l0
2

B. A = 2∆l0

C. A = 2∆l0

D. A = 1,5∆l0

HDedu - Page 90


HDeducation

3. Bài tập tự luyện dạng toán thời gian
Câu 1. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Người ta kích thích cho quả nặng dao động điều hịa theo
phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng. Biết thời gian quả nặng đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí
π
cao nhất cách nhau 10 cm là s. Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là
5
A. 50 m/s

B. 25 m/s

C. 50 cm/s

D. 25 cm/s

Câu 2. Một con lắc lị xo treo thẳng đứng, lị xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nặng có khối lượng m =
100g. Lấy g = 10 m/ s 2 , π 2 = 10 . Kéo vật xuống khỏi vị trí cân bằng theo phương thẳng đứng 2 cm rồi
buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Thời gian lò xo bị nén trong khoảng thời gian 0,5s kể từ khi thả vật
là

A.

1
s
6

B.

1
s
15

C.

2
s
15

D.

1
s
30

Câu 3. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có vật m. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, trục Ox
thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Kích thích quả cầu dao động với phương trình: x = 5cos ( 20t + π )
cm. Lấy g = 10 m/ s 2 , π 2 = 10 . Khoảng thời gian vật đi từ lúc t = 0 đến vị trí lị xo khơng biến dạng lần
thứ nhất là

A.

π
s
30

B.

π
s
15

C.

π
s
10

D.

π
s
5

Câu 4. Một lò xo treo thẳng đứng, đầu trên cố định, đầu dưới có vật m = 100g, độ cứng k = 25 N/m, lấy
g = 10 m / s 2 , π 2 = 10 . Chọn trục Ox thẳng đứng có chiều dương hướng xuống. Vật dao động với phương
π

trình x = 4 cos  5πt +  cm. Thời điểm lúc vật qua vị trí lị xo bị dãn 2cm lần đầu tiên là:
3


A.

1
s
30

B.

1
s

25

C.

1
s
15

D.

1
s
5

Câu 5. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng 100g và một lị xo nhẹ có độ cứng k
= 100 N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo dãn 4cm rồi truyền cho nó một
vận tốc 40π cm/s theo phương thẳng đứng từ dưới lên. Coi vật dao động điều hòa theo phương thẳng
đứng. Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lị xo bị nén 1,5 cm là:
A. t min = 0, 2s

B. t min =

1
s
15

C. t min =

1
s

10

D. t min =

1
s
20

Câu 6. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng 100g và một lị xo nhẹ có độ cứng k
= 100 N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo dãn 4cm rồi truyền cho nó một
vận tốc 40π cm/s theo phương thẳng đứng từ dưới lên. Coi vật dao động điều hòa theo phương thẳng
đứng. Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí cao nhất đến vị trí lị xo bị nén 1,5 cm là:
A. t min = 0, 2s

B. t min =

1
s
15

C. t min =

1
s
10

D. t min =

1
s

30

HDedu - Page 91


HDeducation

Câu 7. Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng là m kg
và lị xo có độ cứng là k N/m. Chọn trục Ox có gốc tọa độ O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương
hướng xuống dưới. Tại thời điểm lị xo dãn a m thì tốc độ của vật là

8b m/s. Tại thời điểm lò xo dãn

2a m thì tốc độ của vật là 6b m/s. Tại thời điểm lị xo dãn 3a m thì tốc độ của vật là
thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. 0,8
Đáp án:

B. 1,25
1-D

2-A

C. 0,75
3-A

4-C

5-B

2b m/s. Tỉ số

D. 2
6-D

7–B

HDedu - Page 92


HDeducation

Dạng 3. Bài tốn qng đường
Bài tốn 1: Tính qng đường vật đi từ thời điểm t1 đến t 2
Ví dụ: Một dao động điều hòa dọc theo trục Ox với

1. Phương pháp giải

π

pt: x = 6 cos  4πt −  (cm). Hãy tính quãng đường
3

vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
2
37
t1 = s đến thời điểm t 2 = s .
3
12

Hướng dẫn
t −t
Bước 1: Lập tỉ số: 2 1 = n, m .
T
Nếu m = 0 thì: Quãng đường đi được: S = n.4A

37 2
−
t −t
29
Ta có: 2 1 = 12 3 =
= 4,83
2
π
T
6
4π

Nếu m ≠ 0 thì: Quãng đường vật đi được là: Như vậy, trong khoảng thời gian này, vật thực hiện
S = n.4A + Sdu
được hơn 4 chu kì, ta có thể viết:

( t 2 − t1 ) = 4.T + t du

và quãng đường vật đi được là

S = 4.4A + Sdu .

Bước 2: Xác định vị trí điểm M trên vòng tròn, ứng

với thời điểm t1 (hoặc trên trục thời gian).
Bước 3: Xác định vị trí điểm N trên đường tròn ứng
với thời điểm t 2 (hoặc trên trục thời gian).

Thay t1 và t 2 vào các phương trình x và v ta được:
 x1 = 3cm
 x = 6cm
và  2

 v1 < 0
 v2 = 0

Bước 4: Vẽ hình mơ tả trạng thái ( x1 , v1 ) và
( x 2 , v 2 ) rồi dựa vào hình vẽ để tính Sdu vật cịn đi Qua hình vẽ: Sdu = 3 + 6 + 6 + 6 = 21 cm
trong phần lẻ của chu kì.

Suy ra: S = 4.4A + Sdu = 4.4.6 + 21 = 117 cm

2. Ví dụ minh họa
2π 

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos  πt +
 cm. Quãng
3 

26, 5
đường vật đi được từ thời điểm t1 = 2s đến thời điểm t 2 =
s là bao nhiêu?
3

A. 60cm

B. 67,5cm

C. 70cm

D. 80cm

π

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 12 cos  50t −  cm. Quãng
2

π
đường vật đi được trong khoảng thời gian t = s kể từ thời điểm ban đầu là:
12
A. 6cm

B. 90cm

C. 102cm

D. 54cm

HDedu - Page 93


HDeducation

Bài toán 2: Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được xét trong cùng khoảng thời gian ∆t .

1. Phương pháp giải
Phương pháp này áp dụng cho mọi bài tốn, dưới Ví dụ: Một vật nhỏ thực hiện dao động với phương
đây là các cơng thức tổng qt:
π

trình x = 6 cos  3πt +  cm. Xét trong cùng khoảng
4

T
thời gian
như nhau. Tìm quãng đường dài nhất,
4
ngắn nhất mà vật có thể đi được?
Hướng dẫn

Bước 1: Xác định góc quét
∆ϕ = ω∆t = nπ + ∆ϕ0

Bước 2: Xác định Smax ; Smin theo:
Smax

∆ϕ
= 2nA + 2A sin 0
2

Với: ∆ϕ0 < π

∆ϕ = ω.∆t = ω.

Trong trường hợp này: ∆ϕ = ∆ϕ0

Smax

π
∆ϕ
π
= 2A sin
= 2A sin 2 = 2A sin
2
2
4
= 2A

∆ϕ 

Smin = 2nA + 2A  1 − cos 0 
2 


Với: ∆ϕ0 < π

T ωT 2 π π
=
=
= <π
4
4
4 2

2
= A 2 = 6 2 cm

2

∆ϕ 

Smin = 2A  1 − cos

2 



2
π

= 2.6  1 − cos  = 12  1 −
 cm
4
2




∆Smax = 2A sin

∆ϕ0
2

∆ϕ 

∆Smin = 2A  1 − cos 0 
2 



HDedu - Page 94


HDeducation

BẢNG TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU CỦA QUÃNG ĐƯỜNG
∆t

T
6

T
4

T
3

T
2

2T
3

3T
4

5T
6

T

Smax

A

A 2

A 3

2A

2A + A

2A + A 2

2A + A 3

4A

Smin

2A − A 3

2A − A 2

A

2A

4A − A 3

4A − A 2

3A

4A

Tốc độ trung bình lớn nhất: v tb max =

Smax
∆t

Tốc độ trung bình nhỏ nhất: v tb min =

Smin
∆t

2. Ví dụ minh họa
π

Ví dụ 1: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình x = 7 cos  4πt −  cm. So sánh
9

17
trong những khoảng thời gian
s như nhau, quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật có thể đi được là
12
bao nhiêu?

A. Smax = 82cm;Smin = 77cm

B. Smax = 70cm;Smin = 7cm

C. Smax = 82cm;Smin = 70cm

D. Smax = 70cm;Smin = 60cm

π

Ví dụ 2: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hịa theo phương trình x = 3cos  4πt +  cm. So sánh
5


trong cùng quãng đường S = 3 3 cm như nhau, khoảng thời gian dài nhất và ngắn nhất vật đi được là bao
nhiêu?

HDedu - Page 95


HDeducation

Bài tốn 3: Tốc độ trung bình
Ví dụ: Vật nhỏ dao động điều hịa với biên độ A.
Tính tốc độ trung bình khi vật di chuyển trên
Lưu ý: Vận tốc có thể âm hoặc dương hoặc bằng đoạn đường theo một chiều từ vị trí
A 3
A
khơng, cịn tốc độ thì khơng âm.

có li độ x1 =
đến vị trí li độ x 2 = −
2
2

1. Phương pháp giải

Hướng dẫn

Tốc độ trung bình:

Tốc độ trung bình:

v tb =

Qu·ng ®−êng S
=
∆t
Thêi gian

v tb =

S
=
∆t

−

A 3 A
+

2
2 2A 3 + 1
=
T T
T
+
6 12

(

)

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Một vật dao động điều hịa có độ lớn vận tốc cực
đại là 31,4 cm/s. Lấy π = 3,14 . Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là:
A. 20 cm/s

B. 10 cm/s

C. 0

D. 15 cm/s

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ A và tần số góc ω. Tốc độ trung bình
T
lớn nhất và nhỏ nhất vật đạt được trong cùng khoảng thời gian
là:
4
A.

(

4A 2 A 8 − 4 2
;
T
T

)

B.

A 2 2A − A 2
;
T
T

C.

4A 2A
;
T T

D.

A 3 2A − A 3
;
T
T

HDedu - Page 96

HDeducation

3. Bài tập tự luyện dạng toán quãng đường
Câu 1. Một con lắc lị xo gồm một lị xo có độ cứng k = 100 N/m và vật có khối lượng m = 250g, dao
động điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật
π
đi được trong
s đầu tiên là
10
A. 6 cm

B. 24 cm

C. 9 cm

D. 12 cm

Câu 2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng m = 250g, k = 100 N/m. Đưa vật lên theo phương thẳng đứng
đến vị trí lị xo dãn 0,5 cm rồi thả nhẹ. Lấy g = 10 m/ s 2 . Tốc độ trung bình của vật trong thời gian từ lúc
bng đến lúc lị xo dãn 3,5 cm lần thứ hai là

A. 23,9 cm/s

B. 28,6 cm/s

C. 24,7 cm/s

D. 19,9 cm/s

Câu 3. Con lắc lò xo treo thẳng đứng, gồm lò xo độ cứng k = 100 N/m và vật nặng khối lượng m = 100g.
Kéo vật theo phương thẳng đứng xuống dưới làm lò xo dãn 3 cm rồi truyền cho nó vận tốc 20π 3 cm/s
hướng lên. Lấy g = π2 = 10m / s 2 . Trong khoảng thời gian 0,25 chu kì quãng đường vật đi được kể từ lúc
bắt đầu chuyển động là:

A. 4 cm
Đáp án:

B. 8 cm
1-B

2-A

C. 5,46 cm

D. 2,54 cm

3–C

HDedu - Page 97


HDeducation

Dạng 4. Năng lượng của dao động điều hòa
1. Phương pháp giải
Ví dụ 1: Một con lắc lị xo có độ cứng k = 900
N/m. Vật nặng dao động với biên độ A = 10cm, khi
vật qua li độ x = 4 cm thì động năng của vật bằng

Áp dụng các công thức sau:
Động năng:
Wd =

1
1
mv 2 = mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ )
2
2

A. 3,78 J

C. 0,28 J

D. 4,22 J

Hướng dẫn

Thế năng:
Wt =

B. 0,72 J

Ta tính động năng qua hiệu của cơ năng và thế
năng:

1 2 1
kx = mω2 A 2 cos 2 ( ωt + ϕ )
2

2

Cơ năng: W = Wd + Wt =

1
mω2 A 2
2

Wd = W − Wt =

Trong dao động điều hòa, cơ năng của vật là đại
lượng bảo toàn.

1
k ( A2 − x 2 )
2

1
= .900. ( 0,12 − 0, 04 2 ) = 3, 78 J
2

Động năng và thế năng biến thiên tuần hồn với → Chọn A.
T
chu kì: T′ = ; f ′ = 2f ; ω′ = 2ω
2
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa theo phương
Khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng
π

trình: x = 10 cos  4πt +  (cm), với t tính bằng

T
3

bằng thế năng là
4
giây. Động năng của vật đó biến thiên với chu kì
bằng:

Khi động năng gấp n lần thế năng:

Wd = nWt → x = ±

A. 0,5 s

n
A
;v= ±
.ωA
n +1
n +1

B. 0,25 s

C. 1,5 s

D. 1,0 s

Hướng dẫn
Áp dụng:

Khi thế năng gấp n lần động năng:

Wt = nWd → x = ±

T′ =

n
ωA
A;v=±
n +1
n +1

T 2π / ω π π 1
=
= =
= = 0, 25s
2
2
ω 4π 4

→ Chọn B.

Trường hợp con lắc đơn:
Góc α

Động năng

α bất kì

1

Wd = mv 2
2

α < 10°

Wd =

1
mv 2
2

Thế năng

Wt = mgh = mgl (1 − cos α )

Wt =

1
mglα 2
2

Cơ năng
W = Wd + Wt =

1
mω2S02
2

= mgl (1 − cos α 0 )
W = Wd max = Wt max =

=

1
mglα 20
2

1
mω2S02
2

HDedu - Page 98


HDeducation

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một con lắc đơn gồm dây treo dài 1m và vật có khối lượng 1kg dao động với biên độ góc 5, 73° .
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật, lấy g = 10 m/ s 2 . Cơ năng của con lắc là:

A. 0,1 J

B. 0,01 J

C. 0,05 J

D. 0,5 J

Ví dụ 2: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hịa với biên độ góc α 0 nhỏ.
Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có
động năng bằng thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng:

A.

α0
3

B.

α0
2

C. −

α0
2

D.

−α 0
3

Ví dụ 3: (ĐH 2014) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng 100g đang dao động điều hòa
π
theo phương ngang, mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Từ thời điểm t1 = 0 đến t 2 = s , động năng của
48
con lắc tăng từ 0,096 J đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064 J. Ở thời điểm t 2 , thế năng của con lắc bằng
0,064 J. Biên độ dao động của con lắc là:

A. 5,7 cm

B. 7,0 cm

C. 8,0 cm

D. 3,6 cm

3. Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Một vật nhỏ có khối lượng 100g dao động theo phương trình: x = 8cos10t (x tính bằng cm; t
tính bằng s). Động năng cực đại của vật là:
A. 32 mJ

B. 16 mJ

C. 64 mJ

D. 128 mJ

Câu 2. Một vật có khối lượng 100g dao động điều hòa. Khi hợp lực tác dụng lên vật có độ lớn 0,8 N thì
tốc độ của nó là 0,6 m/s. Khi hợp lực tác dụng lên vật có độ lớn là

2
2
N thì tốc độ của vật là
m/s.
2
2

Cơ năng của vật bằng bao nhiêu?

A. 2,5 J

B. 0,05 J

C. 0,25 J

D. 5 J

Câu 3. Một con lắc đơn dao động điều hịa với biên độ góc α 0 = 4° và cơ năng dao động bằng 0,1 J.
Động năng của vật khi vật có li độ góc: α = 3° là:

A. 0,05625 J

B. 0,025 J

C. 0,04375 J

D. 0,075 J

Câu 4. Con lắc đơn dao động với biên độ góc 2° thì có năng lượng dao động là 0,2 J. Để năng lượng dao
động là 0,8 J, biên độ dao động bằng:
A. 4°

B. 8°

C. 3°

D. 6°

Câu 5. Một chất điểm dao động điều hịa khơng ma sát. Khi vừa qua khỏi vị trí cân bằng một đoạn S
động năng của chất điểm là 1,8 J. Đi tiếp một đoạn S nữa thì động năng chỉ cịn 1,5 J. Nếu đi thêm một

đoạn S nữa thì động năng của chất điểm là bao nhiêu? (Biết trong quá trình này vật chưa đổi chiều
chuyển động).
A. 0,9 J
Đáp án

B. 1,0 J
1-A

2-B

C. 0,8 J
3-C

4-A

D. 1,2 J

5–B

HDedu - Page 99


HDeducation

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

π

Câu 1. Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 8cos  πt −  cm. Thời điểm thứ 2010 vật qua
4


vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng là:
A.

12059
s
12

B.

21095
s
12

C.

12095
s
2

D.

12094
s
2

Câu 2. Một vật dao động được kích thích để dao động điều hòa với vận tốc cực đại bằng 3 m/s và gia tốc
cực đại bằng 30π m / s 2 . Thời điểm ban đầu t = 0 vật có vận tốc v = 1,5 m/s và thế năng đang tăng. Hỏi
sau đó bao lâu vật có gia tốc bằng 15π m / s 2 ?

A. 0,05 s

B. 0,15 s

C. 0,1 s

D. 0,2 s

π

Câu 3. Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 8cos  2πt −  cm. Tìm số lần vật qua vị trí có
3

vận tốc v = −8π cm / s trong thời gian 5,75s tính từ thời điểm gốc?
A. 14 lần

B. 13 lần

C. 12 lần

D. 11 lần

Câu 4. Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm, tần số 2 Hz. Tại thời điểm t = 0 vật chuyển động
theo chiều dương và đến thời điểm t = 2s vật có gia tốc 80π2 2 cm / s 2 . Tính quãng đường vật đi được từ
lúc t = 0 đến khi t = 2,625s?

A. 220 cm

B. 210 cm

C. 214,14 cm

D. 205,86 cm

Câu 5. Một chất điểm dao động điều hòa với tần số f = 2,5 Hz. Tại thời điểm vật đi qua vị trí li độ x =
1,2 cm thì tỉ số giữa động năng và năng lượng tồn phần là 96%. Tốc độ trung bình của vật trong một
chu kì là:
A. 60 cm/s

B. 40 cm/s

C. 50 cm/s

D. 30 cm/s

Câu 6. Một vật dao động điều hòa với biên độ A, vào thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
A 3
lần thứ 30 vào thời điểm 43s (kể từ lúc t = 0). Tốc độ trung bình của
2
trong thời gian trên là 6,643 cm/s. Biên độ dao động của vật là:

dương. Vật đi qua vị trí x =

A. 2 cm

B. 4 cm

C. 5 cm

D. 3 cm

Câu 7. Một chất điểm dao động điều hịa có vận tốc cực đại 60 cm/s và gia tốc cực đại 2π m / s 2 . Chọn
mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Thời điểm ban đầu (t = 0), chất điểm có vận tốc 30 cm/s và thế năng
đang tăng. Chất điểm có gia tốc bằng π m / s 2 lần đầu tiên ở thời điểm:

A. 0,35 s
Đáp án:

B. 0,15 s
1-A

2-B

C. 0,1 s
3-C

4-C

5-A

D. 0,25 s
6-C

7-D

HDedu - Page 100