Dao động cơ học

TỔNG ÔN DAO ĐỘNG CƠ HỌC
NOTE

Dao động cơ là 1 chủ đề nền tảng, cốt lõi giúp cho việc học Sóng cơ, Điện xoay
chiều trở nên dễ dàng hơn. Do đó các em nên học thật kỹ chương này nhé !!!
Trong đề thi THPT QG 2021, Dao động cơ có:
- 2 câu nhận biết
- 2 câu thông hiểu
- 2 câu Vận dụng
- 1 câu Vận dụng cao

A. LÍ THUYẾT
I. DAO ĐỘNG
Dao động là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng của vật.
Quả lắc của đồng hồ treo tường đung đưa sang trái, sang phải quanh một vị trí cân bằng (là vị trí
thấp nhất của quả lắc) nên ta nói quả lắc đồng hồ đang dao động.
Trên mặt hồ gợn sóng, mẩu gỗ nhỏ bồng bềnh, nhấp nhơ tại vị trí của nó trên mặt hồ. Ta nói mẩu gỗ
nhỏ đang dao động.
II. DAO ĐỘNG TUẦN HỒN
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những
khoảng thời gian bằng nhau xác định.
III. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Định nghĩa
Xét một vật dao động trên trục Ox xung quanh vị trí cân bằng của vật tại O. Trong q trình vật
chuyển động, vị trí của vật được xác định bởi tọa độ x gọi là li độ.
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian nhân với
một hằng số.
Chú ý

Dao động điều hòa là một trường hợp riêng của dao động tuần hoàn, dao động tuần hồn có thể khơng
điều hịa.

HDedu - Page 1


2. Phương trình dao động
Một vật dao động điều hịa thì có phương trình dao động=
là x A cos ( ω t + ϕ )
3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hịa
• x là li độ của vật (li độ là tọa độ x của vật trên trục tọa độ Ox). Đơn vị chuẩn là mét (m), thường
dùng là centimet (cm).
• A là biên độ, là giá trị cực đại của li độ x ứng với lúc cos ( ω t + ϕ ) =1 . Biên độ ln dương, và có
đơn vị của li độ.
• ( ωt + ϕ ) được gọi là pha của dao động tại thời điểm t. Pha chính là đối số của hàm cơsin và là một
góc. Đơn vị là độ hoặc rad.
• φ là pha ban đầu của dao động, tức là pha dao động tại thời điểm t = 0.
• ω gọi là tần số góc của dao động. Là tốc độ biến đổi của góc pha, có đơn vị là rad/s hoặc độ/s.
• Chu kì T là thời gian mà vật thực hiện được một dao động toàn phần.
Chú ý
Độ lớn của li độ x là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng.

T=

2π
. Chu kì có đơn vị là giây (s)
ω

• Tần số f là số dao động vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian. Đơn vị
1
là Héc (Hz) hay .
s

f

So dao dong thuc hien duoc trong khoang thoi gian t 1
=
Thoi gian t thuc hien so dao dong do
T

4. Phương trình vận tốc
Vận tốc bằng đạo hàm của li độ theo thời gian.

v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ ) = ωAsin ( ωt + ϕ + π )
π
π


= ωAcos  ωt + ϕ + π −  = ωAcos  ωt + ϕ + 
2
2


Nhận xét:
- Vận tốc biến đổi điều hịa, và cùng tần số góc (cùng chu kì, tần số) với li độ của vật.
- Vận tốc có chiều là chiều chuyển động của vật.
Nhận xét
Vận tốc mang dấu dương (+) khi vật chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ Ox. Vận tốc mang
dấu âm (-) khi vật chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ Ox.
HDedu - Page 2


- Xét độ lệch pha giữa vận tốc và li độ, tức xét hiệu số pha giữa pha của vận tốc và pha của li độ:

π
π

∆ϕvx = ϕv − ϕx =  ωt + ϕ +  − ( ωt + ϕ ) = > 0
2
2

Từ đó ta có ϕv > ϕx và ϕv =ϕx +
góc là

π
nên ta nói rằng: Vận tốc sớm pha hơn li độ và sớm pha hơn một
2

π
.
2

Ngược lại, nếu ta xét độ lệch pha giữa li độ và vận tốc, thì ta có ∆ϕxv = −

ϕx =ϕv −

π
< 0 hay ϕx < ϕv và
2

π
π
nên ta nói rằng: li độ trễ pha so với vận tốc một góc bằng .

2
2

Ngồi ra, nếu khơng xét đến đại lượng nào sớm hay trễ hơn so với đại lượng cịn lại, thì ta nói x
vng pha với v hoặc v vng pha với x.
Chú ý
π

Chú ý rằng theo Tốn học, ta có: −1 ≤ cos  ωt + ϕ +  ≤ 1 nên do đó:
2


−ωA ≤ v ≤ ωA

Vận tốc cực đại
π
π
π

Ta có v = ωA khi cos  ωt + ϕ +  = 1 ⇔ ωt + ϕ + = k2π ⇔ ωt + ϕ = − + k2π, k ∈ 
2
2
2


x 0, v > 0 , tức là khi vật đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương) nên vận tốc cực
(khi đó=
đại của vật là v max = ωA khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
Vận tốc cực tiểu
π

π
π

Ta có v = −ωA khi cos  ωt + ϕ +  = −1 ⇔ ωt + ϕ + = π + k2π ⇔ ωt + ϕ = + + k2π, k ∈ 
2
2
2


x 0, v < 0 , tức là khi vật đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm) nên vận tốc cực tiểu
(khi đó=
của vật là v min = −ωA khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Chú ý
Chúng ta cần phân biệt giữa vận tốc và tốc độ. Tốc độ là độ lớn của vận tốc, là v . Do đó:
0 ≤ v ≤ ωA .

HDedu - Page 3


5. Phương trình gia tốc
Gia tốc a của vật dao động điều hòa bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian, hay là đạo hàm hạng
2 của li độ x theo thời gian.
a = v ' ( t ) = x '' ( t ) = −ω2 Acos ( ωt + ϕ ) = ω2 Acos ( ωt + ϕ + π ) = −ω2 x .

Nhận xét:
- Gia tốc biến đổi điều hịa cùng tần số góc (cùng chu kì, tần số) với vận tốc và li độ của vật.
- Gia tốc có chiều ngược với chiều chuyển động của vật a = −ω2 x và ln có chiều hướng về vị trí
cân bằng.
Xét độ lệch pha giữa gia tốc và vận tốc, gia tốc và li độ ta thấy:
- Gia tốc sớm pha

π
π
so với vận tốc, hay vận tốc trễ pha
so với gia tốc.
2
2

- Gia tốc sớm pha π so với li độ, hay nói cách khác, gia tốc ngược pha so với li độ.
Gia tốc cực đại
Khi x = −A (vật ở biên âm) thì a = ω2 A nên gia tốc cực đại là a max = ω2 A .
Gia tốc cực tiểu
Khi x = + A (vật ở biên dương) thì a = −ω2 A nên gia tốc cực tiểu là a min = −ω2 A .
Nhận xét
Vì −A ≤ x ≤ A nên ta có: −ω2 A ≤ a ≤ ω2 A .

IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐỘC LẬP THỜI GIAN
Phương trình độc lập thời gian là phương trình liên hệ giữa các đại lượng như li độ x, vận tốc v và
gia tốc a mà không phụ thuộc vào thời gian t.
1. Phương trình độc lập thời gian giữa v và x
Ta có

=
 x A cos ( ωt + ϕ )

 v = −ωA sin ( ωt + ϕ )
Mặt khác, trong toán học, ta ln có sin 2 α + cos 2 α =1 nên
x

2

2
cos ( ωt + ϕ ) = A
v2
x  v 
2
2
2
Suy
ra
x
+
=
A2
→
cos
t
sin
t
1
⇒
+
−
=
ω
+
ϕ
+
ω
+
=

ϕ
(
)
(
)





2
ω
 A   ωA 
sin ( ωt + ϕ ) = − v

ωA

HDedu - Page 4


Nhận xét:
- Phương trình trên cho phép ta tính được một trong bốn đại lượng x, v, A, ω khi biết ba đại lượng
còn lại.
- Nếu A và ω cho trước thì đồ thị (v,x) là đường Elip
x2
v2
+
=
1
A 2 ( ωA ) 2

TỔNG QUÁT
Tổng quát lên, với hai đại lượng biến thiên điều hịa m và n vng pha với nhau thì ta ln có:
2

2

 m   n 
1

 +
 =
 m max   n max 
2. Phương trình độc lập thời gian giữa a và v
Vì gia tốc a và vận tốc v vuông pha với nhau, nên ta có
2

2

a 2 v2
 a   v 
+
=⇔
1
+ 2 =
A2
 2  

4
ω ω

 ω A   ωA 
Nhận xét:
- Phương trình độc lập thời gian giữa a và v cho phép ta tính được một trong bốn đại lượng a, v, ω,
A khi biết ba đại lượng cịn lại.
- Nếu A và ω cho trước thì đồ thị (v,a) là đường Elip

a2
v2
+
=
1
ω4 A 2 ω2 A 2
Chú ý

Ngồi cách sử dụng tính chất vng pha để suy ra biểu thức trên, ta có thể làm cách sau: thay x =

−a
ω2

vào phương trình độc lập thời gian giữa x và v ta được:
2

2

a2
v2
 a   v 
1⇔ 4 2 + 2 2 =
1
 2  +

 =
ωA ωA
 ω A   ωA 

3. Phương trình độc lập thời gian giữa x và a
Phương trình độc lập thời gian giữa x và a là a = −ω2 x

HDedu - Page 5


V. CON LẮC LỊ XO
Con lắc lị xo gồm một lị xo có độ cứng k, khối lượng khơng đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia
gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng.
1. Con lắc lò xo nằm ngang
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang. Vật chuyển động trên một mặt phẳng
ngang khơng có ma sát. Chọn gốc tọa độ O tại vị trí lị xo khơng biến dạng. Chiều Ox hướng từ trái
sang phải.

Khi vật ở vị trí có li độ x thì các lực tác dụng lên vật gồm:


- Trọng lực P .

- Phản lực N do mặt phẳng tác dụng lên vật.

- Lực đàn hồi của lò xo Fđh .

Xét các giá trị đại số của các vectơ trên trục Ox. Ta có:



- Trọng lực P có phương vng góc với Ox nên giá trị đại số trên trục Ox bằng 0.

- Phản lực N do mặt phẳng tác dụng lên vật cũng có phương vng góc với Ox nên giá trị đại số
trên trục Ox bằng 0.

- Lực đàn hồi của lị xo Fđh có giá trị đại số là Fđh =−k∆l =−kx . (Dấu trừ biểu thị lực đàn hồi ln

có chiều ngược với chiều biến dạng của lị xo)

Bây giờ, theo định luật II Newton thì tổng tất cả các lực tác dụng lên vật sẽ bằng ma , nhưng theo

phương Ox thì trọng lực bằng khơng, phản lực bằng khơng, gia tốc a có giá trị đại số là a = x '' nên
ta có

Fđ=
ma ⇔ −kx
= mx '' ⇔ x ''+
h

k
=
x 0
m

HDedu - Page 6


Chú ý

∆l = l − l0 là độ biến dạng đại số của lị xo:

- ∆l > 0 thì lị xo dãn
- ∆l < 0 thì lị xo nén
- ∆l =x thì con lắc lị xo nằm ngang.

k
Đặt ω2 = ,khi đó phương trình có dạng: x ''+ ω2 x = 0
m
có nghiệm=
là x A cos ( ωt + ϕ ) . (Nếu khơng tin đó là nghiệm, thì các em có thể thay ngược trở lại
phương trình để kiểm chứng).
Nhận xét

x ''+ ω2 x = 0 là phương trình vi phân. Chúng ta sẽ học trong Toán cao cấp trên bậc Đại học. Ở đây, ta chỉ
cần biết nó giải được và có nghiệm như bên.
Kết luận:
+ Con lắc lò xo nằm ngang ta đang xét dao động điều hịa, với tần số góc:

T=

2π
m
= 2π
ω
k

f=

1 1 k
=
T 2π m

+ Chu kì và tần số dao động lần lượt là:

ω=

k
m

2. Con lắc lò xo thẳng đứng
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo đặt thẳng đứng. Bỏ qua lực
cản của khơng khí.
Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng của vật. Chiều dương Ox hướng từ trên
xuống dưới.
Ban đầu, khi chưa kích thích cho vật dao động thì vật cân bằng, nên
 
P + Fđh =
0 , do đó độ lớn P = Fđh , tức là

mg = k∆l0
Ở đây k là độ cứng của lò xo, ∆l0 là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân
bằng. Lúc sau, kích thích cho vật dao động. Khi vật ở vị trí có li độ x thì các
lực tác dụng lên vật gồm:

HDedu - Page 7


Vật chịu tác dụng của các lực:


- Trọng lực P .


- Lực đàn hồi của lò xo Fdh .

- Trọng lực P .

- Lực đàn hồi của lò xo Fđh .
 

Theo định luật II Newton ta có (dạng véc-tơ): P + Fđh =
ma .

Viết dưới dạng đại số, ta có:

mg − k∆l =mx "
Trong đó ∆l =∆l0 + x là độ dãn đại số của lò xo, k là độ cứng của lị xo. Khi đó ta có:

mg − k ( ∆l0 + x ) = mx " ⇔ mx "+ kx = ( mg − k∆ l0 ) = 0 ⇔ x ''+

k
x= 0
m

k
Đặt ω2 = , khi đó phương trình có dạng: x ''+ ω2 x = 0
m
Phương trình này giống như phương trình thu được ở con lắc lị xo nằm ngang nên phương trình
này cũng có nghiệm=
là x A cos ( ωt + ϕ ) .
Kết luận:
+ Con lắc lò xo thẳng đứng cũng dao động điều hịa, với tần số góc:

T=

2π
m
= 2π
ω
k

f=

1 1 k
=
T 2π m

+ Chu kì và tần số dao động lần lượt là:

ω=

k
m

3. Năng lượng của con lắc lò xo
Xét con lắc lị xo dao động với phương trình:
=
x A cos ( ωt + ϕ ) . Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng
của con lắc.
Vận tốc của con lắc là v = −ωA sin ( ωt + ϕ ) .
3.1. Động năng
Động năng của vật dao động điều hòa được xác định bởi

HDedu - Page 8


W=
đ

2
1
1
1
2
mv=
m  −ωA sin ( ωt + ϕ ) =
mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ )
2
2
2

Vì 0 ≤ sin 2 ( ωt + ϕ ) ≤ 1 nên 0 ≤ Wđ ≤

=
- Wđ max

1
mω2 A 2 . Do đó:
2

1
mω2 A 2 khi sin 2 ( ωt + ϕ ) = 1 ⇔ cos 2 ( ωt + ϕ ) = 0 ⇒ x = 0 tức là khi vật ở vị trí cân bằng.

2

- Wđ max = 0 khi sin 2 ( ωt + ϕ ) = 0 ⇒ ωt + ϕ = kπ, k ∈  ⇒ x = ± A tức là khi vật ở một trong hai vị trí
biên.
Các giá trị MIN - MAX

=
- Wđmax

1
mω2 A 2 khi x = 0
2

- Wđ min = 0 khi x = ± A

Ngoài ra, khi sử dụng cơng thức hạ bậc, ta có

W=
đ

1
1
mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ=
) mω2 A 2 1 − cos 2 ( 2ωt + 2ϕ )
2
4

Do đó, động năng biến thiên tuần hồn với tần số góc ω ' = 2ω .
3.2. Thế năng
Thế năng của con lắc bao gồm thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường. Chọn mốc tính thế

năng đàn hồi và mốc tính thế năng trọng trường tại vị trí cân bằng của con lắc, thì:
- Trong trường hợp con lắc lị xo nằm ngang, thế năng của con lắc chỉ có thế năng đàn hồi
1
Wt = kx 2 (thế năng trọng trường bằng 0).
2
- Trong trường hợp con lắc lò xo thẳng đứng, thế năng của con lắc bao gồm thế năng trọng trường
1
và thế năng đàn hồi, tổng lại vẫn bằng Wt = kx 2 (ta hồn tồn có thể chứng minh điều này).
2
Chú ý
Trong chương trình Vật lí phổ thơng, nếu đề bài khơng nói gì về mốc thế năng, thì ta hiểu là ta đã chọn
mốc thế năng đàn hồi và mốc thế năng trọng trường tại vị trí cân bằng của con lắc. Do đó, thế năng của
1
con lắc trong trường hợp con lắc lò xo nằm ngang cũng như thẳng đứng đều là Wt = kx 2
2
Như vậy, thế năng của con lắc lò xo trong cả 2 trường hợp đều được xác định bởi

=
Wt

2
1 2 1
1 2
=
kx
k  A cos ( ωt + ϕ
=
kA cos 2 ( ωt + ϕ )
)
2

2
2

HDedu - Page 9


Vì 0 ≤ cos 2 ( ωt + ϕ ) ≤ 1 nên 0 ≤ Wđ ≤

1 2 1
kA = mω2 A 2 . Do đó:
2
2

1 2
kA khi cos 2 ( ωt + ϕ ) = 1 ⇔ sin 2 ( ωt + ϕ ) = 0 ⇒ x = ± A tức là khi vật ở một trong hai
2
vị trí biên
- Wt max =

- Wt min = 0 khi cos 2 ( ωt + ϕ ) = 0 ⇒ x = 0 tức là khi vật ở vị trí cân bằng.
Ngồi ra, sử dụng cơng thức hạ bậc, ta có

=
Wt

1 2
1 2
kA cos 2 ( ω=
t + ϕ)
kA 1 + cos 2 ( 2ωt + 2ϕ ) 

2
4

Do đó, thế năng biến thiên tuần hồn với tần số góc ω ' = 2ω .
Các giá trị MIN - MAX

1 2 1
kA =
mω2 A 2 khi x =
±A
- Wt max =
2
2
-=
Wt min 0=
khi x 0
- Động năng và thế năng biến thiên tuần hồn với tần số góc gấp 2 lần tần số góc của vật ω ' = 2ω
3.3. Cơ năng
Cơ năng của con lắc lò xo là tổng của động năng và thế năng

1
1
mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ ) + kA 2 cos 2 ( ωt + ϕ )
2
2
1
1
=
mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ ) + mω2 A 2 cos 2 ( ωt + ϕ )
2

2
1
1
1
=
mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ ) + cos 2 ( ωt + ϕ=
)  mω2 A=2 kA 2
2
2
2

W
= Wđ + W
=
t

Nhận xét:
- Cơ năng của vật luôn luôn không đổi và tỉ lệ với bình phương biên độ.
- Cơ năng của vật bằng động năng của vật khi vật ở vị trí cân bằng.
- Cơ năng của vật bằng thế năng của vật khi vật ở một trong hai vị trí biên.
- Cơ năng của vật bằng động năng cực đại và cũng bằng thế năng cực đại của vật.
VI. CON LẮC ĐƠN
1. Cấu tạo

HDedu - Page 10


- Con lắc đơn gồm sợi dây nhẹ không dãn có chiều dài l, đầu trên được treo cố định đầu dưới được
gắn với vật nặng có khối lượng m.

- Vật m có kích thước khơng đáng kể so với chiều dài của sợi dây, cịn sợi dây có khối lượng không
đáng kể so với khối lượng của vật nặng m.
Chú ý
Con lắc đơn chỉ được coi là dao động điều hịa nếu có biên độ góc α 0 ≤ 10° hay α 0 ≤ 0,1745 rad.
2. Thí nghiệm
Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α0 ( α 0 ≤ 10° ) rồi buông tay không vận tốc đầu, trong mơi
trường khơng có ma sát (mọi lực cản khơng đáng kể) thì con lắc đơn dao động điều hịa với biên độ
góc α0.
3. Phương trình dao động của con lắc đơn
Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài hoặc li độ góc

=
s S0 cos ( ωt + ϕ )

α = α 0 cos ( ωt + ϕ )
Với s = lα . Trong đó:
• l chiều dài dây treo (m)

• s là li độ dài (cm, m,...).

• S0 là biên độ dài (cm, m, ...)

• α là li độ góc (rad).

• α0 là biên độ góc (rad).
• ω=

• T=

g

(rad/s) (g là gia tốc trọng trường m/s2, l là chiều dài dây treo (m))
l
2π
l
(s) là chu kì của con lắc đơn.
= 2π
ω
g

f
•=

1 g
ω
=
(Hz) là tần số của con lắc đơn.
2π 2π l

4. Phương trình vận tốc trong dao động điều hịa của con lắc đơn
Tương tự như trong dao động điều hòa, vận tốc của con lắc đơn
v = s ' = −ω S0sin ( ω t + ϕ ) .

Các nhận xét tương tự như nhận xét đối với vận tốc trong dao động điều hịa.
5. Phương trình gia tốc trong dao động điều hòa của con lắc đơn
a = v ' = s '' = −ω2 S0 cos ( ω t + ϕ ) = −ω2s

HDedu - Page 11


Các nhận xét tương tự như nhận xét đối với gia tốc trong dao động điều hịa.

6. Các phương trình độc lập thời gian
Ta có các phương trình độc lập thời gian giống như phần dao động điều hòa đã trình bày. Ở đây li
độ dài s giống với x.
 2
v2
a2
v2
2
 2
v2 a 2 v2
α
=α
+
=
+
2
S0 =s + 2 = 4 + 2 s =αl  0
l2 ω2 l2 ω4 l2 ω2
→
ω
ω ω 

2

 a = −ω2 α
a = −ω s
 l

7. Năng lượng của con lắc đơn
- Động năng: Động năng của con lắc đơn là động năng của vật (coi là chất điểm): Wđ =

1
mv 2
2

- Thế năng: Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường của vật. Nếu chọn mốc tính thế
năng là vị trí cân bằng thì thế năng của con lắc đơn ở li độ góc α là: W=
mgl (1 − cos α )
t
- Cơ năng: Nếu bỏ qua mọi ma sát thì cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn

W= Wđ + W=
t

1
mv 2 + mgl (1 − cos α )= const
2

VII. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
Cách 1. Phương pháp áp dụng trực tiếp cơng thức tính A và tan ϕ
A
A12 + A 22 + 2A1A 2 cos ( ϕ2 − ϕ1 )
=
=

 x1 A1 cos ( ωt + ϕ1 )
x A cos ( ωt + ϕ ) 
⇒
=


A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2
=
 x 2 A 2 cos ( ωt + ϕ2 )
 tan ϕ =
A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ2


π

* Nếu một dạng hàm cos, một dạng hàm sin thì đổi: sin ( ωt +=
α ) cos  ωt + α − 
2


Các trường hợp đặc biệt

k2π ⇒ A max= A1 + A 2 .
* Nếu hai dao động cùng pha: ϕ2 − ϕ=
1
* Nếu hai dao động thành phần ngược pha: ϕ2 − ϕ=
1
* Nếu hai dao động thành phần vuông pha: ϕ2 − i=
1

( 2k + 1) π ⇒ A min=

( 2k + 1)

π
⇒ A=

2

A1 − A 2

A12 + A 22

HDedu - Page 12


Cách 2. Phương pháp giản đồ vectơ: Mỗi một dao động
=
x A cos( ωt + ϕ )

được biểu diễn bởi một vecto A có độ lớn đúng bằng biên độ, có hướng
hợp với Ox góc φ


A

ϕ

Ox

Như vậy chỉ cần biểu diễn các dao động thành các vecto rồi dùng phương pháp tổng hợp các vecto
theo quy tắc hình bình hành
Cách 3. Phương pháp cộng số phức.

x = x1 + x 2 + ...
x= A1∠ϕ1 + A 2 ∠ϕ2 + ...
Kinh nghiệm

1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hòa có thể dùng một trong ba cách trên. Khi cần tổng hợp ba dao
động điều hịa trở lên thì nên dùng cách 2 hoặc cách 3.
2) Phương pháp cộng số phức chỉ áp dụng trong trường hợp các số liệu tường minh hoặc biên độ của
chúng có dạng nhân cùng với một số.
3) Trường hợp chưa biết một đại lượng nào đó thì nên dùng phương pháp vectơ quay hoặc cộng hàm lượng
giác. Trường hợp hai dao động thành phần cùng biên độ thì nên dùng phương pháp lượng.
VIII. CÁC LOẠI DAO ĐỘNG
1. Dao động tự do
Dao động tự do là dao động mà chu kì của hệ chỉ phụ thuộc vào đặc tính bên trong của hệ mà
khơng phụ thuộc vào các yếu tố bên ngồi.
Ví dụ:
- Con lắc lị xo dao động với chu kì T = 2π

- Con lắc đơn có chu kì T = 2π

m
chỉ phụ thuộc vào đặc tính riêng của hệ là m và k.
k

l
chỉ phụ thuộc vào đặc tính riêng của hệ là l và g.
g

Chú ý
- Dao động tắt dần càng nhanh khi ma sát càng lớn.
- Khi ma sát nhỏ, dao động tắt dần có thể coi gần đúng là tuần hồn với tần số góc bằng tần số góc của
dao động điều hịa khi khơng có ma sát.
2. Dao động tắt dần
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.

HDedu - Page 13


- Nguyên nhân: Do ma sát, lực cản (độ nhớt) của môi trường gây ra.
- Ứng dụng: Sử dụng trong các thiết bị đóng cửa tự động, giảm xóc ơ tơ,...
3. Dao động duy trì
Dao động duy trì là dao động tắt dần được cung cấp năng lượng đúng bằng phần năng lượng bị
tiêu hao do ma sát sau mỗi chu kì, hay nói cách khác, dao động được duy trì bằng cách giữ cho biên
độ khơng đổi mà khơng làm thay đổi chu kì dao động riêng gọi là dao động duy trì.
- Ứng dụng: Chế tạo đồng hồ quả lắc.
4. Dao động cưỡng bức. Sự cộng hưởng
4.1. Định nghĩa
Dao động cưỡng bức là dao động của một vật chịu sự tác dụng của ngoại lực cưỡng bức biến thiên
tuần hoàn theo thời gian.
=
F F0 cos ( ωt + ϕ ) .

4.2. Đặc điểm
Khác với dao động tắt dần, dao động cưỡng bức có các đặc điểm sau đây:
- Biên độ của dao động cưỡng bức không đổi.
- Tần số của dao động cưỡng bức bằng tần số của lực cưỡng bức.
f= f=
F

ω
2π

Trong đó f là tần số của dao động cưỡng bức, fF là tần số của lực cưỡng bức.
- Biên độ của dao động cưỡng bức Acb phụ thuộc vào:
+ Biên độ của lực cưỡng bức F0.

+ Độ chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số riêng (f0) của hệ
f − f0 .

Độ chênh lệch này càng nhỏ thì biên độ của dao động cưỡng bức càng lớn.
+ Lực cản môi trường. Lực cản mơi trường càng lớn thì biên độ của dao động cưỡng bức càng nhỏ
và ngược lại.
4.3. Hiện tượng cộng hưởng
Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần
số fF của lực cưỡng bức bằng tần số dao động riêng của hệ f0.
fF = f0

HDedu - Page 14


CÂU HỎI ÔN TẬP
Câu 1: Chọn phát biểu sai khi nói về dao động điều hồ:
π
A. Vận tốc ln trễ pha
so với gia tốc.
B. Gia tốc sớm pha góc π so với li độ.
2
π
C. Vận tốc và gia tốc luôn ngược pha nhau.
D. Vận tốc luôn sớm pha
so với li độ.
2
Câu 2: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều hoà có dạng là
A. đường parabol.
B. đường trịn.
C. đường elip.

D. đường hypebol.
Câu 3: Đối với dao động điều hịa, điều gì sau đây sai ?
A. Thời gian vật đi từ vị trí biên này sang vị trí biên kia là 0,5T.
B. Năng lượng dao động phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.
C. Lực kéo về có giá trị cực đại khi vật qua vị trí cân bằng.
D. Tốc độ đạt giá trị cực đại khi vật qua vị trí cân bằng.
Câu 4: Phát biểu nào sau đây về mối quan hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc là đúng ?
A. Trong dao động điều hòa vận tốc và li độ ln cùng dấu.
B. Trong dao động điều hịa gia tốc và li độ luôn cùng dấu.
C. Trong dao động điều hịa vận tốc và gia tốc ln trái dấu.
D. Trong dao động điều hòa gia tốc và li độ luôn trái dấu.
Câu 5: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của gia tốc theo li độ trong dao động điều hồ có dạng là
A. đoạn thẳng.
B. đường thẳng.
C. đường hình sin.
D. đường parabol.
Câu 6: Năng lượng dao động của một vật dao động điều hồ
A. biến thiên điều hịa theo thời gian với chu kì T.
T
B. biến thiên tuần hồn theo thời gian với chu kì .
2
C. bằng động năng của vật khi qua vị trí cân bằng.
D. bằng thế năng của vật khi qua vị trí cân bằng.
Câu 7: Cho một con lắc đơn có dây treo dài  , quả nặng khối lượng m, kéo con lắc lệch khỏi vị trí
cân bằng một góc α 0 rồi thả nhẹ cho vật dao động. Bỏ qua mọi ma sát, chọn gốc thế năng tại vị trí
cân bằng của vật. Cơ năng của con lắc trong quá trình dao động là
A. mg(1 − cos α 0 ) .
B. mg  cos α 0 .
C. mg  .

D. mg  (1 + cos α 0 ).

Câu 8: Chọn phát biểu đúng khi nói về lực căng của dây treo con lắc đơn ?
A. Như nhau tại mọi vị trí.
B. Lớn nhất tại vị trí cân bằng và lớn hơn trọng lượng của con lắc.
C. Lớn nhất tại vị trí cân bằng và nhỏ hơn trọng lượng của con lắc.
D. Nhỏ nhất tại vị trí cân bằng và bằng trọng lượng của con lắc.

HDedu - Page 15


Câu 9: Phát biểu nào dưới đây về dao động tắt dần là sai ?
A. Tần số dao động càng lớn thì quá trình dao động tắt dần càng nhanh.
B. Lực ma sát, lực cản sinh công làm tiêu hao dần năng lượng của dao động.
C. Lực cản hoặc lực ma sát càng lớn thì quá trình dao động tắt dần càng kéo dài.
D. Dao động có biên độ giảm dần do lực ma sát, lực cản của môi trường tác dụng lên vật dao
động.
Câu 10: Một con lắc lò xo gồm lị xo nhẹ và vật nhỏ có khối lượng m đang dao động điều hịa. Khi
vật có tốc độ v thì động năng của con lắc là
1
1
A. mv 2
B. mv
C. mv
D. mv 2
2
2
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 6cos4πt(cm). Hỏi vật dao động với
biên độ là bao nhiêu ?
A. 6cm

B. 3cm
C. 4cm
D. 2cm
π

Câu 12: Hai dao động điều hịa có phương trình dao động lần lượt =
là x1 15cos  2πt +  và
2


π

=
x 2 15cos  2πt −  . Độ lệch pha của hai dao động này có độ lớn là
3

π
π
5π
π
A.
B.
C.
D.
4
6
3
6
Câu 13: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ lần lượt là A1 = 9cm , A 2 ;
−π

π
ϕ1 = , ϕ2 = . Khi biên độ của dao động tổng hợp là 9 cm thì biên độ A 2 là
3
2

A. A2 = 4,5 3 cm.

B. A2 = 9 3 cm.

C. A2 = 9 cm.

D. A2 = 18 cm.

Câu 14: Một vật dao động điều hịa có động năng bằng 3 thế năng khi vật có li độ
2
3
1
A.
B. x = ±
A.
C. x = ± A.
D. x = ± 0,5A.
2
2
3
=
x 4 cos 5πt (cm). Thời điểm đầu tiên vật có
Câu 15: Một vật dao động điều hồ với phương trình
tốc độ bằng một nửa tốc độ cực đại là
1

1
7
11
A.
B. s.
C.
D.
s.
s.
s.
6
30
30
30

A. x = ±

π

Câu 16: Một vật dao động điều hịa với phương=
trình x 6cos  4π t +  cm . Tính quãng đường vật
3

đi được sau 1 s kể từ thời điểm ban đầu.
A. 24 cm.
B. 60 cm.
C. 48 cm.
D. 64 cm.
Câu 17: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lị xo có độ cứng 36 (N/m) và vật nhỏ có khối
lượng 100g. Lấy π2 =

10 . Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số.
A. 6 Hz
B. 3 Hz
C. 12 Hz
D. 1 Hz
π

Câu 18: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương
=
x1 2sin 10t −  ( cm ) ;
3

π

=
x 2 cos 10t +  ( cm ) . Vận tốc cực đại của vật là
6

A. 5 cm/s
B. 1 cm/s
C. 10 cm/s

D. 20 cm/s.

HDedu - Page 16


Câu 19: Cho 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là
π
π

và − . Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
3
6
π
π
π
π
A. −
B.
C.
D.
4
6
12
2
Câu 20: Một con lắc lị xo gồm vật có khối lượng m và lị xo có độ cứng k khơng đổi, dao động điều
hoà. Nếu khối lượng m = 200 g thì chu kì dao động của con lắc là 2 s. Để chu kì con lắc là 1 s thì
khối lượng m bằng
A. 800 g
B. 100 g
C. 50 g
D. 200 g
Câu 21: Quả nặng có khối lượng 500 g gắn vào lị xo có
độ cứng 50 N/m. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, kích
thích để quả nặng dao động điều hòa. Đồ thị biểu diễn li độ
theo thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động của vật
là
π

A. x 8cos 10t +  cm

=
6

π

B. x 8cos 10t −  cm
=
6

π

C. x 8cos 10t +  cm
=
3


π

D. x 8cos 10t −  cm
=
3

Câu 22: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s. Biết rằng
khi động năng và thế năng bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s. Biên độ dao động
của con lắc là
A. 6 cm

B. 6 2 cm

C. 12 cm

D. 12 2 cm

π

Câu 23: Một vật dao động điều hòa với phương trình x =−4 cos  4πt +  , x tính bằng cm, t tính
6

bằng s. chu kỳ dao động của vật là
1
1
1
A. ( s ) .
B. 4s.
C. ( s ) .
D. ( s ) .
4
2
8
1
Câu 24: Một vật dao động điều hòa với biên độ dao động là A. Tại thời điểm vật có vận tốc bằng
2
vận tốc cực đại thì vật có li độ là

A
A
3
.
B. ±
.

C.
.
D. A 2 .
2
3
2
Câu 25: Một quả cầu có khối lượng m = 200 g treo vào đầu dưới của một lò xo có chiều dài tự nhiên
A. ± A

l0 = 35 cm , độ cứng k = 100 N/m , đầu trên cố định. Lấy g = 10 m/s 2 . Chiều dài lị xo khi vật dao
động qua vị trí có vận tốc cực đại ?
A. 33 cm.
B. 39 cm.

C. 35 cm.

D. 37 cm.

HDedu - Page 17


Câu 26: Một con lắc lị xo có k = 1N/cm , treo vật có khối lượng 1000g, kích thích cho vật dao động
với biên độ 10 2 cm . Tìm thời gian lị xo bị nén trong một chu kỳ ?
π
π
π
π
B. s.
C.
D.

s.
s.
s.
2
5
10
20
Câu 27: Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương với phương trình
π

và x 2 A 2 cos (10πt + ϕ2 ) cm. Phương trình tổng hợp dao động là
=
x1 10 cos 10πt +  cm=
4


A.

π

=
x 5 3 cos 10πt +  cm. Viết phương trình dao động x2.
12 

5π 
7π 


A. x 2 5cos 10πt −  cm.
B. x 2 5cos 10πt −  cm.

=
=
12 
12 


π
π


C. x 2 5 3 cos 10πt −  cm.
D. x 2 5cos 10πt −  cm.
=
=
4
3


Câu 28: Một con lắc đơn có chiều dài  được kích thích dao động tại nơi có gia tốc trọng trường là
g và con lắc dao động với chu kỳ T. Hỏi nếu giảm chiều dài dây treo đi một nửa thì chu kỳ của con
lắc sẽ thay đổi như thế nào?

A. Không đổi.

B. Tăng

2 lần.

C. Giảm

2 lần.

D. Giảm 2 lần.

Câu 29: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc α 0 =5 . Chu kỳ dao động là 1 s. Tìm thời gian
0

ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng về vị trí có li độ góc α 0 =2,50.
A.

1
s.
12

B.

1
s.
8

C.

1
s.
4

D.

1
s.

6

π

Câu 30: Một vật dao động điều hịa với phương trình
=
x 4cos  4πt +  cm . Xác định thời điểm vật
6

đi qua vị trí x = 2cm lần thứ 2011
12049
12061
12025
A.
B.
C.
D. Đáp án khác.
s.
s.
s.
24
24
24
Câu 31: Một chất điểm tham gia đồng thời 3 dao động cùng phương với phương trình tương ứng là
x1 , x 2 , x 3 . Biết rằng tổng hợp của hai trong ba dao động trên có phương trình tương ứng là
π
5π 
7π 




=
x12 8cos  ωt +  (cm);=
x13 8 3 cos  ωt −  (cm);=
x 23 8cos  ωt −  (cm) . Hỏi khi dao động
12 
12 
12 




thứ nhất qua vị trí có tọa độ x1 = 2 3(cm) theo chiều âm thì dao động thứ hai có:
A. x 2 = −2 3(cm) theo chiều dương.

B. x 2 = −2 3(cm) theo chiều âm.

C. x 2 = 2(cm) theo chiều âm.

D. x 2 = 2(cm) theo chiều dương.

Câu 32: Con lắc lị xo gồm vật có khối lượng m = 100 g treo vào lò xo có độ cứng k = 90 N/m .
Thời điểm ban đầu, kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều âm một đoạn 10 cm rồi truyền cho vật
vận tốc ban đầu là 3 3 m/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
2π 

A. x 20 cos  30t −  .
=
3 


π

C. x 20 cos  30t −  .
=
3


2π 

B. x 20 cos  30t +
=
.
3 

π

D. x 20 cos  30t +  .
=
3


HDedu - Page 18


Câu 33: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01 kg mang điện
tích q = +5.10−6 C được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hịa trong điện trường đều mà
vectơ cường độ điện trường có độ lớn E = 104 V/m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g = 10m/s2,
π = 3,14. Chu kỳ dao động điều hòa của con lắc là:
A. 0,58 s.
B. 1,40 s.

C. 1,15 s.
D. 1,99 s.
Câu 34: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, lị xo có khối lượng khơng đáng kể. Hịn bi đang ở vị trí cân
bằng thì được kéo xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 3 cm rồi thả nhẹ cho nó dao động.
Hịn bi thực hiện 50 dao động mất 20 s. Cho g =π2 =10 m/s 2 . Tỉ số độ lớn lực đàn hồi cực đại và cực
tiểu của lò xo khi dao động là
A. 7.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Câu 35: Một chất điểm dao động điều hoà. Tại thời điểm t1 li độ của chất điểm là x1 = 3 cm và

v1 = −60 3 cm/s. tại thời điểm t2 có li độ x 2 = 3 2 cm và v 2 = 60 2 cm/s. Biên độ và tần số góc dao
động của chất điểm lần lượt bằng
A. 6 cm; 12 rad/s.
B. 6 cm; 20 rad/s.
C. 12 cm; 20 rad/s.
Câu 36: Một vật dao động điều hịa trên trục Ox có đồ thị
x(cm)
+4
như hình vẽ. Tìm tốc độ dao động cực đại của vật

D. 12 cm; 10 rad/s.

t (ms )

A. 80 cm/s
C. 0,04 m/s

B. 0,08 m/s

D. 40 cm/s

O 52

366

−4

Câu 37: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn 2
cm thì động năng của vật là 0,48 J. Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn 6 cm thì động năng của vật
là 0,32 J. Biên độ dao động của vật bằng
A. 12 cm.
B. 10 cm.
C. 14 cm.
D. 8 cm.
Câu 38: Trên mặt phẳng nhắn nằm ngang có hai lị xo cùng độ
A
B
I
cứng k và chiều dài tự nhiên 25 cm. Gắn một đầu lò xo vào giá
đỡ I cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ A , B có khối lượng lần
lượt là m và 4m (Hình vẽ). Ban đầu A , B được giữ đứng yên sao cho lò xo gắn A dãn 5 cm, lò xo
gắn B nén 5 cm. Đồng thời buông tay để các vật dao động, khi đó khoảng cách nhỏ nhất giữa A và
B gần với giá trị
A. 45 cm.
B. 40 cm.
C. 55 cm.
D. 50 cm.
Câu 39: Một vật có khối lượng 200 g, dao động điều Wd (mJ )
hòa quanh vị trí cân bằng. Đồ thị hình bên mơ tả động

40
năng của vật ( Wd ) thay đổi phụ thuộc vào thời gian t.
Tại t = 0 , vật đang có li độ âm. Lấy π2 =
10 . Phương
trình dao động của vật là

20

O

3π 

A. x 5cos  4πt −  cm
=
4 

π

C. x 4 cos  8πt +  cm
=
4


0, 25

t (s)

3π 

B. x 4 cos  8πt −  cm

=
4 

π

D. x 5cos  4π +  cm
=
4


HDedu - Page 19


Câu 40: Hai con lắc đơn có khối lượng như nhau, cùng dao động điều hòa với biên độ nhỏ trong hai
mặt phẳng thẳng đứng song song nhau. Biết chu kì con lắc thứ nhất gấp 2 lần chu kì con lắc thứ hai,
biên độ của con lắc thứ hai gấp 3 lần biên độ của con lắc thứ nhất. Chọn mốc thế năng của mỗi con
lắc ở vị trí cân bằng của chúng. Tại một thời điểm nào đó, hai con lắc có cùng li độ, đồng thời động
năng con lắc thứ nhất gấp 3 lần thế năng của nó. Tỉ số giữa tốc độ của con lắc thứ hai và con lắc thứ
nhất tại thời điểm đó bằng
A.

140
.
3

B.

35
.
3

C.

35
.
3

D.

140
.
3

----------- HẾT ----------

ĐÁP ÁN

1C

2C

3C

4D

5A

6C

7A

8B

9C

10A

11A

12B

13B

14D

15A

16C

17A

18C

19D

20C

21D

22B

23D

24A

25D

26D

27A

28C

29A

30A

31B

32A

33C

34A

35B

36D

37B

38A

39A

40D

HDedu - Page 20